TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPOS DISCRETOS

TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPOS DISCRETOS

OPPENHEIM SEALES Y SISTEMA

CARRIZO, YAMILA MAKARENAUTN-FRTPROF: ING. ADRA RICARDOAO 2015

5 -TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO

5.0 Introduccin3

5.1 Representacin de seales aperidicas: Transformada de Fourier de tiempo discreto45.1.1 Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto5.1.2 Ejemplos de transformadas de Fourier de tiempo discreto5.1.3 Problemas de la convergencia asociados con la transformada de Fourier de tiempo discreto

5.2 La transformada de Fourier para seales peridicas135.3 Propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto185.3.1 Periodicidad de la transformada de Fourier de tiempo discreto5.3.2 Linealidad de la transformada de Fourier5.3.3 Desplazamiento de tiempo y desplazamiento de frecuencia5.3.4 Conjugacin y simetra conjugada5.3.5 Diferenciacin y acumulacin5.3.6 Inversin en tiempo5.3.7 Expansin en tiempo5.3.8 Diferenciacin en frecuencia5.3.9 La relacin de Parseval

5.4 La propiedad de convolucin285.4.1 Ejemplos

5.5 La propiedad de multiplicacin355.6 Tablas de las propiedades de la transformada de Fourier y pares bsicos de la transformada de Fourier385.7 Dualidad405.7.1 Dualidad en la serie discreta de Fourier5.7.2 Dualidad entre la transformada de Fourier de tiempo discreto y la serie contina de Fourier

5.8 Sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes475.9 Resumen515.10 Ejecicios52

5.0 INTRODUCCIN

El captulo 4 presenta el mtodo de la transformada continua de Fourier y desarrolla las diversas caractersticas de esa transformada que hacen de los mtodos de anlisis de Fourier un medio de gran valor para el anlisis y la comprensin de las propiedades de las seales y sistemas continuos. En el presente capitulo completa el desarrollo de las herramientas bsicas del anlisis de Fourier mediante la introduccin y el examen de la transformada de Fourier de tiempo discreto.En el anlisis de la serie de Fourier en el captulo 3, vimos que hay muchas similitudes y un fuerte paralelismo en el anlisis de las seales continuas y discretas. Sin embargo, tambin hay diferencias importantes. Por ejemplo, como vimos en la seccin 3.6, la representacin en serie de Fourier de una seal peridica discreta es una serie finita, opuesta a la representacin en serie infinita requerida para las seales peridicas continuas. Como veremos en este captulo, existen diferencias que son correspondientes entre las transformadas de Fourier continua y de tiempo discreto.En el resto del captulo aprovecharemos las similitudes entre el anlisis de Fourier de tiempo continuo y de tiempo discreto siguiendo una estrategia idntica a la que se us en el captulo 4. En particular, comenzar extendiendo la descripcin de la serie de Fourier de seales peridicas para desarrollar una representacin de la transformada de Fourier para seales aperidicas discretas, y continuaremos con un anlisis de las propiedades y las caractersticas de la transformada de Fourier de tiempo discreto, semejante al que se desarrollaron en el captulo 4. Al actuar as, no slo reafirmamos la comprensin de los conceptos bsicos del anlisis de Fourier, que son comunes tanto al tiempo continuo como al tiempo discreto, sino que contrastamos sus diferencias a fin de profundizar en la comprensin de las distintas caractersticas de cada uno.

5.1 REPRESENTACIN DE SEALES APERIDICAS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO

5.1.1 Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discretoEn la seccin 4.1 [ecuacin (4.2) y figura 4.2] vimos que los coeficientes de la serie de Fourier para una onda cuadrada peridica continua pueden considerarse como las muestras de una funcin envolvente y que, conforme el periodo de la onda cuadrada se incrementa, estas muestras llegan a estar cada vez ms cercanas unas de otras. Esta propiedad sugiri la representacin para una seal aperidica construyendo primero una seal peridica que igualara a sobre un periodo. Entonces, conforme este periodo se aproximaba a infinito, era igual a sobre intervalos de tiempo cada vez ms grandes, y la representacin en serie de Fourier para se aproximaba a la representacin de la transformada de Fourier de . En esta seccin aplicaremos un procedimiento anlogo a las seales discretas para desarrollar la representacin de la transformada de Fourier para secuencias aperidicas discretas.Considere una secuencia general que tiene duracin finita. Esto es, para algunos enteros N1 y N2, = 0 fuera del intervalo -N1 n N2. En la figura 5.1 (a) se muestra una seal de este tipo. A partir de esta seal aperidica podemos construir una secuencia peridica para la cual sea un periodo, como se ilustra en la figura 5.1 (b). Cuando hacemos que el periodo sea ms grande, es idntica a sobre un intervalo ms grande, y conforme para cualquier valor finito de n.Examinemos ahora la representacin de serie de Fourier de . En concreto, rescribiendo las ecuaciones (3.94) y (3.95), tenemos

Ecuacin (5.1)

Ecuacin (5.2)

Puesto que = sobre un periodo que incluye el intervalo es conveniente seleccionar un intervalo de la sumatoria en la ecuacin (5.2) que incluya este intervalo, de manera que pueda reemplazarse por en la sumatoria. Por lo tanto,

Ecuacin (5.3)

Donde en la segunda igualdad nos hemos valido del hecho de que es cero fuera del intervalo . Definiendo la funcinEcuacin (5.4)

Vemos que los coeficientes son proporcionales a las muestras de es decir,Ecuacin (5.5)

Donde es el espaciamiento de las muestras en el dominio de la frecuencia. Combinando las ecuaciones (5.1) y (5.5) obtenemosEcuacin (5.6)

Ya que o de manera equivalente, , la ecuacin (5.6) se puede rescribir comoEcuacin (5.7)

Al igual que con la ecuacin (4.7), conforme aumenta, disminuye, y conforme la ecuacin (5.7) se vuelve una integral. Para ver esto ms claramente, considere que representamos como el trazo en la figura 5.2. A partir de la ecuacin (5.4), puede verse que es peridica en con periodo y tambin lo es . Entonces,

load(draw);plot2d( 3*cos (2*t),[t,-%pi,%pi]);

Figura 5.2 Interpretacin grfica de la ecuacin (5.7).

El producto tambin ser peridico. Como hemos representado en la figura, cada trmino en la sumatoria de la ecuacin (5.7) representa el rea de un rectngulo de altura y ancho . A medida que , la sumatoria se vuelve una integral. Ms an, puesto que la sumatoria se lleva a cabo sobre intervalos consecutivos de ancho , el intervalo total de integracin siempre tendr un ancho de . Por lo tanto, a medida que , y la ecuacin (5.7) se convierte en:

Donde, debido a que es peridica con periodo , el intervalo de integracin se puede tomar como cualquier intervalo de longitud . En consecuencia, tenemos el siguiente par de ecuaciones:Ecuacin (5.8)

Ecuacin (5.9)

Las ecuaciones (5.8) y (5.9) son la contraparte discreta de las ecuaciones (4.8) y (4.9). La funcin se conoce como la transformada de Fourier de tiempo discreto y el par de ecuaciones se conoce como el par de transformada de Fourier. La ecuacin (5.8) es la ecuacin de sntesis y la (5.9) es la ecuacin de anlisis. Nuestra deduccin de estas ecuaciones indica cmo una secuencia aperidica puede considerarse como una combinacin lineal de exponenciales complejas. En particular, la ecuacin de sntesis es en efecto una representacin de como una combinacin lineal de exponenciales complejas infinitesimalmente cercanas en frecuencia y con amplitudes . Por esta razn, al igual que en el caso continuo, a menudo se hace referencia a la transformada como el espectro de , dado que nos proporciona la informacin acerca de cmo est compuesta de exponenciales complejas a frecuencias diferentes.Observe tambin que, al igual que en tiempo continuo, nuestra deduccin de la transformada de Fourier de tiempo discreto nos provee de una importante relacin entre la serie y la transformada de Fourier de tiempo discreto. En particular, los coeficientes de la serie de Fourier de una seal peridica se pueden expresar en trminos de muestras igualmente espaciadas de la transformada de Fourier de una seal aperidica de duracin finita, que es igual a en un periodo y es cero en otro caso. Este hecho es de importancia considerable en el procesamiento y anlisis de Fourier de seales prcticas, y profundizaremos en este asunto en el problema 5.41.Como se indica en nuestra deduccin, la transformada de Fourier de tiempo discreto tiene muchas similitudes con el caso de tiempo continuo. Las principales diferencias entre los dos casos son la periodicidad de la transformada de tiempo discreto y el intervalo finito de integracin en la ecuacin de sntesis. Estas diferencias emanan de un hecho que hemos indicado ya varias veces: las exponenciales complejas de tiempo discreto que difieren en frecuencia por un mltiplo de son idnticas. En la seccin 3.6 vimos que, para las seales peridicas discretas, las implicaciones de esta afirmacin consisten en que los coeficientes de la serie de Fourier son peridicos y que la representacin en serie de Fourier es una suma finita. Para seales aperidicas las implicaciones anlogas indican que es peridica (con periodo ) y que la ecuacin de sntesis involucra una integracin solamente sobre el intervalo de frecuencia que produce, distintas exponenciales complejas (es decir, cualquier intervalo de longitud ). En la seccin 1.3.3 hicimos notar una consecuencia adicional de la periodicidad de como una funcin de : y producen la misma seal. Las seales a frecuencias cercanas a estos valores o a cualquier otro valor mltiplo par de varan lentamente y por lo tanto se consideran como seales de baja frecuencia. De manera similar, las altas frecuencias en el caso discreto son los valores de cercanos a mltiplos impares de . De este modo, la seal mostrada en la figura 5.3(a) con la transformada de Fourier representada en la figura 5.3(b) vara ms lentamente que la seal de la figura 5.3(c), cuya transformada se muestra en la figura 5.3(d).

5.1.2 Ejemplos de transformadas de Fourier de tiempo discretoPara ilustrar la transformada de Fourier de tiempo discreto, examinemos varios ejemplos.

Ejemplo 5.1Considere la seal:.

En este caso,

Ejemplo 5.2Sea.

Esta seal est trazada en la figura 5.5(a) para . Su transformada de Fourier se obtiene a partir de la ecuacin (5.9) como

Haciendo la sustitucin de variables en la segunda sumatoria, obtenemos:

Ambas sumatorias son series geomtricas infinitas que se pueden evaluar en forma cerrada, con lo que se obtiene:

En este caso es real y se ilustra en la figura 5.5 (b), de nuevo para .

Ejemplo 5.3Considere el pulso rectangular:Ecuacin (5.10)

El cual se ilustre en la figura 5.6(a) para . En este caso,

Ecuacin (5.11)

Usando el mismo tipo de clculos que hicimos para obtener la ecuacin (3.104) en el ejemplo 3.12, podemos escribir:Ecuacin (5.12)

Esta transformada de Fourier est trazada en la figura 5.6(b) para . La funcin en la ecuacin (5.12) es la contraparte de tiempo discreto de la funcin sin c, la cual aparece en la transformada de Fourier del pulso rectangular continuo (vase el ejemplo 4.4). La diferencia ms importante entre estas dos funciones es que la funcin en la ecuacin (5.12) es peridica con periodo , mientras que la funcin sinc es aperidica.

5.1.3 Problemas de la convergencia asociados con la transformada de Fourier de tiempo discreto

A pesar de que el argumento utilizado para deducir la transformada de Fourier de tiempo discreto en la seccin 5.1.1 se bas suponiendo que era de duracin arbitraria pero finita, las ecuaciones (5.8) y (5.9) siguen siendo validas para una amplia clase de seales de duracin infinita (como las seales en los ejemplos 5.1 y 5.2). En este caso, sin embargo, nuevamente debemos considerar el tema de la convergencia de la sumatoria infinita en la ecuacin de anlisis (5.9). Las condiciones sobre que garantizan la convergencia de esta suma son la contraparte directa de las condiciones de convergencia para la transformada continua de Fourier.1 Especficamente, la ecuacin (5.9) converger si es absolutamente sumable, esto es, Ecuacin (5.13)

O si la secuencia tiene energa finita, es decir, Ecuacin (5.14)

En contraste con la situacin para la ecuacin de anlisis (5.9), por lo general no hay problemas de convergencia asociados con la ecuacin de sntesis (5.8), ya que la integral en esta ecuacin es sobre un intervalo de integracin de duracin finita. Esta es, con mucho, la misma situacin que se presenta con la ecuacin de sntesis (3.94) de la seria de Fourier de tiempo discreto, la cual involucra una suma finita y en consecuencia no presenta problemas de convergencia asociados con ella. En particular, si aproximamos una seal aperidica mediante una integral de exponenciales complejas con frecuencias tomadas sobre el intervalo es decir,Ecuacin (5.15)

1Para mayores detalles acerca de los problemas de convergencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto, vea A. V. Oppenheim y R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing (Englewood Cliffs, N.J. Prentice-Hall, Inc., 1989), y L. R. Rabiner y B. Gold, Theory and Application of Digital Signal Processing (Englewood Cliffs, N.J:Prentice-Hall, Inc., 1975).

Entonces para . De esta manera, al igual que en la figura 3.18, esperaramos no poder observar ningn comportamiento como el fenmeno de Gibbs al evaluar la ecuacin de sntesis de la transformada de Fourier de tiempo discreto. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.4Sea el impulso unitario; esto es,

En este caso, la ecuacin de anlisis (5.9) se evala fcilmente, con lo que obtiene

En otras palabras, al igual que en el caso continuo, el impulso unitario tiene una representacin en transformada de Fourier que consiste de contribuciones iguales en todas las frecuencias. Si aplicamos entonces la ecuacin (5.15) a este ejemplo, obtenemosEcuacin (5.16)

En la figura 5.7 se ofrece una grfica de lo anterior para varios valores de W. Como puede verse, la frecuencia de las oscilaciones en la aproximacin se incrementa a medida que crece W, lo cual es similar a lo observado en el caso continuo. Por otro lado, en contraste con este caso, la amplitud de dichas oscilaciones disminuye en relacin con la magnitud de conforme se incrementa y stas desaparecen por completo cuando .

5.2 LA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SEALES PERIDICAS

Al igual que en el caso continuo, las seales peridicas discretas se pueden incorporar dentro del marco de referencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto cuando se interpreta la transformada de una seal peridica como un tren de impulsos en el dominio de la frecuencia. Para deducir la forma de esta representacin, considere la seal

Ecuacin (5.17)

En el caso continuo vimos que la transformada de Fourier de se puede interpretar como un impulso en . Por lo tanto, podemos esperar que resulte el mismo tipo de transformada para la seal discreta de la ecuacin (5.17). Sin embargo, la transformada de Fourier de tiempo discreto debe ser peridica en con periodo . Esto sugiere entonces que la transformada de Fourier de en la ecuacin (5.17) debe tener impulsos en y as sucesivamente. De hecho, la transformada de Fourier de es el tren de impulsosEcuacin (5.18)

El cual se ilustra en la figura 5.8. Para verificar la validez de esta expresin, debemos evaluar la transformada inversa. Sustituyendo la ecuacin (5.18) en la ecuacin de sntesis (5.8), encontramos que

load(finance)$graph_flow([200,200,200,200,200])$

Observe que cualquier intervalo de longitud incluye exactamente un impulso en la sumatoria dada en la ecuacin (5.18). Por lo tanto, si el intervalo de integracin seleccionado incluye el impulso localizado en entonces

Ahora considere una secuencia peridica con periodo y representacin en serie de FourierEcuacin (5.19)

En este caso, la transformada de Fourier es:Ecuacin (5.20)

De modo que la transformada de Fourier de una seal peridica se puede construir de manera directa a partir de sus coeficientes de Fourier.Para verificar que la ecuacin (5.20) es, en efecto, correcta, observe que en la ecuacin (5.19) es una combinacin lineal de seales de la forma en la ecuacin (5.17), y as la transformada de Fourier de debe ser una combinacin lineal de transformadas de la forma de la ecuacin (5.18). En particular, suponga que seleccionamos el intervalo de la sumatoria en la ecuacin (5.19) como de modo queEcuacin (5.21)

De tal forma, es una combinacin lineal de seales, como en la ecuacin (5.17), con . La transformada de Fourier resultante se ilustra en la figura 5.9. En la figura 5.9(a) hemos representado la transformada de Fourier del primer trmino del miembro derecho de la ecuacin (5.21): la transformada de Fourier de la seal constante es un tren de impulsos peridicos, como en la ecuacin (5.18), con y un escalamiento de en cada uno de los impulsos. Adems, gracias al captulo 4 sabemos que los coeficientes de la serie de Fourier son peridicos con periodo N, de modo que . En la figura 5.9(b) hemos ilustrado la transformada de Fourier del segundo trmino en la ecuacin (5.21), donde hemos usado nuevamente la ecuacin (5.18), en este caso para , y el hecho de que .

load(finance)$graph_flow([-5000,-3000,800,1300,1500,2000])$

De manera similar, la figura 5.9(c) muestra el trmino final. Por ltimo, la figura 5.9(d) ilustra la expresin completa de . Observe que debido a la periodicidad de se puede interpretar como un tren de impulsos que ocurren en mltiplos de la frecuencia fundamental , con el rea del impulso localizada en , siendo la cual es exactamente la establecida en la ecuacin (5.20).

Ejemplo 5.5Considere la seal peridica

De la ecuacin (5.18), podemos escribir inmediatamente

Esto es,

Y se repite peridicamente con un periodo de , como se ilustra en la figura 5.10.

Ejemplo 5.6

La contraparte discreta del tren de impulsos peridicos del ejemplo 4.8 es la secuencia

Como se ilustra en la figura 5.11(a). Los coeficientes de la serie de Fourier para esta seal se pueden calcular de manera directa a partir de la ecuacin (3.95):

Seleccionando el intervalo de la sumatoria como tenemos:

Usando las ecuaciones (5.26) y (5.20) podemos entonces representar la transformada de Fourier de la seal como

5.3 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO

Al igual que ocurre con la transformada continua de Fourier, hay una gran variedad de propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto que proporcionan un mayor conocimiento de la transformada y, adems, son a menudo tiles para reducir la complejidad de la evaluacin de las transformadas y las transformadas inversas. En sta y en las siguientes dos secciones examinaremos dichas propiedades, y en la tabla 5.1 presentaremos un resumen conciso de ellas. Si comparamos esta tabla con la tabla 4.1, podremos obtener una clara imagen de algunas de las similitudes y diferencias entre las propiedades de la transformada continua de Fourier y la de tiempo discreto. Cuando la deduccin y la interpretacin de una propiedad de la transformada de Fourier de tiempo discreto es esencialmente idntica a su contraparte continua, simplemente estableceremos la propiedad. Asimismo debido a la estrecha relacin que existe entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier, muchas de las propiedades de la transformada se transfieren directamente a las propiedades correspondientes de la serie de Fourier de tiempo discreto, las cuales resumimos en la tabla 3.2 y analizamos brevemente en la seccin 3.7.En los siguientes anlisis ser conveniente adoptar una notacin similar a la usada en la seccin 4.3 para indicar el par de una seal y su transformada. Esto es,

5.3.1 Periodicidad de la transformada de Fourier de tiempo discretoComo analizamos en la seccin 5.1, la transformada de Fourier de tiempo discreto siempre es peridica en con periodo ; es decir,

(5.28)

Esta expresin contrasta con la transformada continua de Fourier, la cual en general es no peridica.

5.3.2 Linealidad de la transformada de FourierSi

Y

Entonces (5.29)

5.3.3 Desplazamiento de tiempo y desplazamiento de frecuenciaSi

Entonces (5.30)

Y (5.31)

La ecuacin (5.30) se puede obtener mediante la situacin directa de en la ecuacin de anlisis (5.9), mientras que la ecuacin (5.31) se deduce al sustituir en la ecuacin de sntesis (5.8). Como consecuencia de las propiedades de periodicidad y desplazamiento de frecuencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto, existe una relacin especial entre los filtros ideales de tiempo discreto paso bajas y paso altas. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.7En la figura 5.12(a) hemos trazado la respuesta en frecuencia de de un filtro paso bajas con frecuencia de corte , mientras que en la figura 5.12(b) presentamos ; esto es, la respuesta en frecuencia desplazada medio periodo, es decir . Puesto que en tiempo discreto las altas frecuencias se concentran cerca de (y otros mltiplos non de ), el filtro en la figura 5.12(b) es un filtro ideal paso altas con frecuencia de corte . Esto es,

Como podemos deducir en la ecuacin (3.122), y como analizaremos de nuevo en la seccin 5.4, la respuesta en frecuencia de un sistema LTI es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema. Por lo tanto, si y respectivamente denotan las respuestas al impulso de los filtros paso bajas y paso altas respectivamente,

Por ltimo, la ecuacin (5.32) y la propiedad de desplazamiento de frecuencia implican que los filtros paso bajas y paso altas estn relacionados por

5.3.4 Conjugacin y simetra conjugadaSi

Entonces

Tambin, si es de valor real, su transformada es el simtrico conjugado.Esto es, real

A partir de esto se deduce que es una funcin par de y es una funcin impar de . De manera similar, la magnitud de es una funcin par y el ngulo de fase es una funcin impar. Adems,

Y

Donde y denotan las partes par e impar, respectivamente, de . Por ejemplo, si es real y par, su transformada de Fourier tambin es real y par. El ejemplo 5.2 ilustra esta simetra para

5.3.5 Diferenciacin y acumulacin

En esta subseccin examinamos la contraparte de tiempo discreto de la integracin, es decir, la acumulacin, y su inverso, la primera derivada. Sea una seal con transformada de Fourier . Entonces, a partir de las propiedades de linealidad y desplazamiento de tiempo tenemos que el par de la transformada de Fourier para la seal de primera diferencia est dado por

A continuacin, considere la siguiente seal:

Ya que , podemos concluir que la transformada de debera estar relacionada con la transformada de dividindola entre . Esto es parcialmente correcto, pero al igual que con la propiedad de integracin continua proporcionada por la ecuacin (4.32), hay ms elementos involucrados. La relacin precisa es:

El tren de impulsos del miembro derecho de la ecuacin (5.39) refleja el valor de dc o promedio que puede resultar de la sumatoria.

Ejemplo 5.8Deduzcamos la transformada de Fourier de del escaln unitario haciendo uso de la propiedad de acumulacin y sabiendo que:

De la seccin 1.4.1 sabemos que el escaln unitario es la suma consecutiva del impulso unitario. Esto es,

Tomando la transformada de Fourier de ambos lados y usando la acumulacin se obtiene

5.3.6 Inversin en tiempo

Sea una seal con espectro , y considere la transformada de . De la ecuacin (5.9),

Sustituyendo en la ecuacin (5.40), obtenemos:

Esto es:

5.3.7 Expansin en tiempo

Debido a la naturaleza discreta del ndice de tiempo para las seales discretas, la relacin entre el escalamiento de tiempo y de frecuencia en tiempo discreto toma una forma algo diferente de su contraparte continua. Especficamente, en la seccin 4.3.5 deducimos la propiedad de tiempo continuo

Sin embargo, si tratamos de definir la seal , si no es un entero nos meteramos en dificultades. Por lo tanto, no podemos hacer lenta la seal escogiendo . Por otro lado, si hacemos que sea un entero diferente de (por ejemplo, si consideramos ), no necesariamente aceleramos la seal original. Esto es, ya que puede tomar slo valores enteros, la seal consiste slo de muestras pares de . Sin embargo, hay un resultado que es en gran medida paralelo a la ecuacin (5.43). Sea un entero positivo, y definamos la seal

Como se muestra en la figura 5.13 para , se obtiene a partir de colocando ceros entre valores sucesivos de la seal original. Intuitivamente, podemos pensar en como una versin desacelerada de . Puesto que es igual a a menos que sea un mltiplo de , es decir, a menos que , vemos que la transformada de Fourier de est dada por

Adems, ya que , encontramos que

Esto es,

Observe que, conforma la seal se expande y desacelera en el tiempo al tomar , su transformada de Fourier se comprime. Por ejemplo, puesto que es peridica con periodo , es peridica con periodo . Esta propiedad se ilustra en la figura 5.14 para un pulso rectangular.Ejemplo 5.9Para ilustrar la utilidad que la propiedad de expansin en el tiempo nos presta para determinar las transformadas de Fourier, consideremos la secuencia presentada en la figura 5.15(a). Esta secuencia se puede relacionar con la secuencia ms sencilla mostrada en la figura 5.15(b). En particular,

Donde

Y representa a desplazada una unidad a la derecha. Las seales y se ilustran en las figuras 5.15(c) y (d), respectivamente.En seguida, observe que , donde es un pulso rectangular como el examinado en el ejemplo 5.3 (con ) y como se ilustra en la figura 5.6(a). En consecuencia, del ejemplo 5.3 y la propiedad de desplazamiento de tiempo, vemos que

Usando la propiedad de expansin en tiempo, obtenemos entonces

Y usando las propiedades de linealidad y desplazamiento de tiempo, obtenemos

Combinando ambos resultados, tenemos

5.3.8 Diferenciacin en frecuencia

De nuevo, sea

Si usamos la definicin de en la ecuacin de anlisis (5.9) y derivamos ambos lados, obtenemos

El miembro derecho de esta ecuacin es nada menos que la transformada de Fourier de . Por lo tanto, multiplicando ambos miembros por vemos que

La utilidad de esta propiedad se ilustrar en el ejemplo 5.13 en la seccin 5.4.5.3.9 La relacin de ParsevalSi y son un par de transformada de Fourier, entonces

Podemos observar que sta es similar a la ecuacin (4.43) y el proceso de deduccin se efecta en forma similar. La cantidad del miembro izquierdo de la ecuacin (5.47) es la energa total en la seal y la relacin de Parseval establece que esta energa tambin se puede determinar integrando la energa por unidad de frecuencia, , sobre un intervalo completo de distintas frecuencias de tiempo discreto. En analoga con el caso continuo, se conoce como el espectro de densidad de energa de la seal . Observe tambin que la ecuacin (5.47) es la contraparte para seales aperidicas de la relacin de Parseval, la ecuacin (3.110), para seales peridicas, la cual iguala la potencia promedio en una seal peridica con la suma de las potencias promedio de sus componentes armnicas individuales. Dada la transformada de Fourier de una secuencia, es posible usar las propiedades de la transformada de Fourier para determinar si una secuencia particular tiene varias propiedades diferentes. Para ilustrar esta idea, presentamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.10Considere la secuencia cuya transformada de Fourier est dibujada para en la figura 5.16. Deseamos determinar si , en el dominio del tiempo, es o no peridica, real, par y/o de energa finita.

De acuerdo con lo anterior, observamos primero que la periodicidad en el dominio del tiempo implica que la transformada de Fourier es cero, excepto posiblemente para impulsos localizados en varios mltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Esto no se cumple para . Concluimos, entonces, que no es peridica. En seguida, a partir de las propiedades de simetra para las transformadas de Fourier, sabemos que una secuencia de valor real debe tener una transformada de Fourier de magnitud par y una funcin de fase que sea impar. Esto se cumple para y . Por lo tanto, deducimos que es real.En tercer lugar, si es una funcin par, entonces, de acuerdo con las propiedades de simetra para las seales reales, debe ser real y par. Sin embargo, ya que no es una funcin de valor real. En consecuencia, no es par.Por ltimo, para probarla propiedad de energa finita, podemos usar la relacin de Parseval,

Gracias a la figura 5.16 resulta claro que al integrar de a se obtendr una cantidad finita. Podemos concluir que tiene energa finita.En las siguientes secciones consideraremos tres propiedades adicionales. Las primeras dos son la propiedad de convolucin y la de multiplicacin, semejantes a las analizadas en las secciones 4.4 y 4.5. La tercera es la propiedad de dualidad, la cual se examina en la seccin 5.7, donde consideramos no slo la dualidad en el dominio de tiempo discreto, sino tambin la dualidad que existe entre los dominios de tiempo continuo y de tiempo discreto.

5.4 LA PROPIEDAD DE CONVOLUCION

En la seccin 4.4 analizamos la importancia de la transformada continua de Fourier con respecto a su efecto sobre la operacin de convolucion y su uso en el tratamiento de los sistemas LTI continuos. Una relacin idntica se aplica en tiempo discreto, y sta es una de las principales razones por las cuales la transformada de Fourier de tiempo discreto resulta de gran valor para representar y analizar los sistemas LTI discretos. En concreto, si , y son la entrada, la respuesta al impulso y la salida, respectivamente, de un sistema LTI, tal que

Entonces

Donde , y son las transformadas de Fourier de , y , respectivamente. Adems, si comparamos las ecuaciones (3.122) y (5.9), vemos que la respuesta en frecuencia de un sistema LTI discreto, como se defini primero en la seccin 3.8, es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema.La deduccin de la ecuacin (5.48) es exactamente igual a la que se llev a cabo en la seccin 4.4. En particular, al igual que en el caso continuo, la ecuacin de sntesis de Fourier (5.8) para se puede interpretar como una descomposicin de en una combinacin lineal de exponenciales complejas con amplitudes infinitesimales proporcionales a . Cada una de estas exponenciales es una funcin propia del sistema. En el captulo 3 nos valimos de este hecho para mostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de la respuesta de un sistema LTI a una entrada peridica son simplemente los coeficientes de Fourier de la entrada multiplicados por la respuesta en frecuencia del sistema evaluados a las frecuencias correspondientes de las armnicas. La propiedad de convolucin (5.48) representa la extensin de este resultado para entradas y salidas aperidicas usando la transformada de Fourier en lugar de la serie de Fourier.Al igual que en el caso continuo, la ecuacin (5.48) mapea la convolucin de dos seales a la simple operacin algebraica de multiplicar sus transformadas de Fourier, un hecho que tanto facilita el anlisis de seales y sistemas como aumenta de manera significativa nuestro conocimiento de la forma en la cual un sistema LTI responde a las seales de entrada que son aplicadas a ste. En particular, de la ecuacin (5.48) vemos que la respuesta en frecuencia captura el cambio en la amplitud compleja de la transformada de Fourier de la entrada a cada frecuencia . Por lo tanto, en el filtrado selectivo en frecuencia, por ejemplo, queremos que sea sobre el intervalo de frecuencias correspondientes a la banda de paso deseada y sobre la banda de frecuencias que habr de eliminarse o atenuarse de manera significativa.5.4.1 EjemplosPara ilustrar la propiedad de convolucin, al igual que otras propiedades, examinaremos varios ejemplos en esta seccin.

Ejemplo 5.11Considere un sistema LTI con respuesta al impulso

La respuesta en frecuencia es

De esta manera, para cualquier entrada con transformada de Fourier , la transformada de Fourier de la salida es

Podemos observar que, para este ejemplo, y la ecuacin (5.49) es consistente con la propiedad de desplazamiento de tiempo. Observe tambin que la respuesta en frecuencia de un desplazamiento puro de tiempo tiene una magnitud unitaria en todas las frecuencias y una caracterstica de fase que es lineal con la frecuencia.

Ejemplo 5.12Considere el filtro paso bajas introducido en la seccin 3.9.2. Este sistema posee la respuesta en frecuencia ilustrada en la figura 5.17(a). Puesto que la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia de un sistema LTI son un par de transformada de Fourier, podemos determinar la respuesta al impulso del filtro ideal paso bajas a partir de la respuesta en frecuencia usando la ecuacin de sntesis (5.8) de la transformada de Fourier. En particular, usando como el intervalo de integracin en esa ecuacin, deducimos de la figura 5.17(a) que

Nos enfrentamos a muchos de los mismos problemas que surgieron con el filtro ideal paso bajas continuo en el ejemplo 4.18. Primero, ya que no es cero para , el filtro ideal paso bajas no es casual. Segundo, aun si la causalidad no es un problema importante, existen otras razones, incluyendo la facilidad de construccin y sus caractersticas preferibles en el dominio del tiempo, por las que los filtros no ideales se usan, por lo general, para realizar el filtrado selectivo en frecuencia. En particular, la respuesta al impulso del filtro ideal paso bajas de la figura 5.17(b) es oscilatorio, una caracterstica que resulta indeseable en algunas aplicaciones. En tales casos, se debe contemplar un compromiso entre los objetivos en el dominio de la frecuencia, como la selectividad en frecuencia, y las propiedades en el dominio del tiempo, como el comportamiento no oscilatorio. En el captulo 6 analizaremos con ms detalle stas y otras ideas relacionadas.Como se muestra en los siguientes ejemplos, la propiedad de convolucin tambin puede ser de gran valor cuando se busque facilitar el clculo de las sumas de convolucin.

Ejemplo 5.13Considere un sistema LTI con respuesta al impulso

con , y suponga que la entrada al sistema es

Con . Evaluando las transformadas de Fourier de y , tenemos

Y

De manera que

Al igual que en el ejemplo 4.19, determinar la transformada inversa de se hace con mayor facilidad expandiendo mediante el mtodo de fracciones parciales. Especficamente, es una razn de polinomios en potencias de , y nos gustara expresar esto como una suma de trminos de este tipo ms simples, de manera que podamos reconocer por inspeccin la transformada inversa de cada trmino (junto, quizs, con el uso de la propiedad de diferenciacin en frecuencia de la seccin 5.3.8). El procedimiento algebraico general para las transformadas racionales se describe en el apndice. Para este ejemplo, si , la expansin en fracciones parciales de es de la forma

Igualando los miembros derechos de las ecuaciones (5.53) y (5.54), encontramos que

Por lo que, gracias al ejemplo 5.1 y a la propiedad de linealidad, podremos obtener por inspeccin la transformada inversa de la ecuacin (5.54):

Para , la expansin en fracciones parciales en la ecuacin (5.54) no es vlida. Sin embargo, en este caso

La cual puede expresarse como

Al igual que en el ejemplo 4.19, podemos usar la propiedad de diferenciacin en frecuencia, ecuacin (5.46), junto con el par de transformada de Fourier

Para concluir que

Para tomar en cuenta el factor , usaremos la propiedad de desplazamiento de tiempo para obtener

Y, por ltimo, tomando en cuenta el factor en la ecuacin (5.56), obtendremos

Es importante observar que, aunque el miembro derecho se multiplica por un escaln que empieza en , la secuencia todava es cero antes de , ya que el factor es cero en . As, podremos expresar de manera alternativa como

Como se ilustra en el siguiente ejemplo, la propiedad de convolucin, junto con otras propiedades de la transformada de Fourier, son a menudo tiles en el anlisis de la interconexin de sistemas.

Ejemplo 5.14Considere el sistema mostrado en la figura 5.18(a) con entrada y salida . Los sistemas LTI con respuesta en frecuencia son filtros ideales paso bajas con frecuencia de corte y ganancia unitaria en la banda de paso. Consideremos primero la trayectoria superior en la figura 5.18(a). La transformada de Fourier de la seal se puede obtener observando que tal que . Usando la propiedad de desplazamiento de frecuencia, obtenemos entonces:

La propiedad de convolucin conduce a

Ya que , podemos de nuevo aplicar la propiedad de desplazamiento frecuencia para obtener

Puesto que las transformadas de Fourier de tiempo discreto siempre son peridicas con periodo ,

Aplicando la propiedad de convolucin a la trayectoria inferior, obtenemos

A partir de la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, obtenemos

En consecuencia, el sistema total de la figura 5.18(a) tiene respuesta en frecuencia

La cual se muestra en la figura 5.18(b).Como vimos en el ejemplo 5.7, es la respuesta en frecuencia de un filtro ideal paso atrs. De este modo, el sistema total deja pasar tanto frecuencias bajas como altas y rechaza frecuencias entre dos bandas de paso. Es decir, el filtro tiene lo que a menudo se conoce como una caracterstica ideal supresora de banda, donde la banda suprimida est en la regin .

Es importante hacer notar que, justamente como en el caso continuo, no todos los sistemas LTI discretos tienen una respuesta en frecuencia. Por ejemplo, los sistemas LTI con respuesta al impulso no tienen una respuesta finita a entradas senoidales, lo cual se refleja en el hecho de que la ecuacin de anlisis de la transformada de Fourier para diverge. Sin embargo, si un sistema LTI es estable, entonces, gracias a la seccin 2.3.7 sabemos que su respuesta al impulso es absolutamente sumable; esto es,

Por lo tanto, la respuesta en frecuencia siempre converge para sistemas estables. Al usar los mtodos de Fourier nos tendremos que restringir a sistemas con respuestas al impulso que tienen transformadas de Fourier bien definidas. En el captulo 10 presentaremos una extensin de la transformada de Fourier conocida como la transformada , la cual nos permitir usar las tcnicas de transformadas para los sistemas LTI para los cuales la respuesta en frecuencia no converge.

5.5 LA PROPIEDAD DE MULTIPLICACIN

En la seccin 4.5 presentamos la propiedad de multiplicacin para seales continuas e indicamos algunas de sus aplicaciones mediante varios ejemplos. Existe una propiedad anloga para seales discretas que juega un papel similar en las aplicaciones. En esta seccin deducimos este resultado directamente y damos un ejemplo de su uso. En los captulos 7 y 8 usaremos la propiedad de multiplicacin en el contexto de nuestro anlisis de muestreo en comunicaciones.Considere una igual al producto de y , denotando con , y las respectivas transformadas de Fourier. Entonces

O ya que

Se desprende que

Intercambiando el orden de la sumatoria y la integral, obtenemos

La sumatoria entre corchetes es y en consecuencia la ecuacin (5.62) se vuelve

La ecuacin (5.63) corresponde a una convolucin peridica de y , y la integral en esta ecuacin se puede evaluar sobre cualquier intervalo de longitud . La forma usual de la convolucin (en la cual la integral vara de a ) a menudo se conoce como convolucin aperidica, para distinguirla de la convolucin peridica. Los mecanismos de la convolucin peridica se ilustran con ms facilidad mediante un ejemplo.

Ejemplo 5.15Considere el problema de encontrar la transformada de Fourier de de una seal la cual es el producto de dos seales, esto es,

Donde

Y

A partir de la propiedad de multiplicacin dada en la ecuacin (5.63), sabemos que es la convolucin peridica de y , donde la integral en la ecuacin (5.63) se puede tomar sobre cualquier intervalo de longitud . Seleccionando el intervalo de , obtenemos

La ecuacin (5.64) se parece a la convolucin aperidica, excepto que la integracin est limitada al intervalo . Sin embargo, podemos convertir la ecuacin en una convolucin ordinaria al definir

Entonces, al reemplazar en la ecuacin (5.64) por y valindonos del hecho de que es cero para , vemos que

As, es veces la convolucin aperidica del pulso rectangular y la onda cuadrada peridica , las cuales se muestran en la figura 5.19. El resultado de esta convolucin es la transformada de Fourier, mostrada en la figura 5.20.

5.6 TABLAS DE LAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y PARES BASICOS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

En la tabla 5.1 resumimos varias de las propiedades importantes de la transformada de Fourier de tiempo discreto e indicamos la seccin del texto en la cual se ha analizado. En la tabla 5.2 resumimos algunos de los pares bsicos y ms importantes de la transformada de Fourier de tiempo discreto. Muchos de stos se han deducido mediante ejemplos en el captulo.

TABLA 5.1 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETOSeccinPropiedadSeal aperidicaTransformada de Fourier

5.3.2Linealidad

5.3.3Desplazamiento de tiempo

5.3.3Desplazamiento de frecuencia

5.3.4Conjugacin

5.3.6Inversin en tiempo

5.3.7Expansin en tiempo

5.4Convolucin

5.5Multiplicacin

5.3.5Diferenciacin en tiempo

5.3.5Acumulacin

5.3.8Diferenciacin en frecuencia

5.3.4

Simetra conjugada para seales reales

5.3.4Simetra para seales par reales real y par real y par

5.3.4Simetra para seales impar reales real e impar puramente imaginaria e impar

5.3.4Descomposicin de seales reales en par e impar

5.3.9Relacin de Parseval para seales aperidicas

5.7-PARES BASICOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETOTabla 5.2SealTransformada de FourierCoeficientes de la serie de Fourier

Onda cuadrada peridica

__

__

__

1__

__

__

__

__

5.7.1 Dualidad en la serie discreta de FourierDebido a que los coeficientes de la serie de Fourier de una seal peridica son en s mismos una secuencia peridica, podemos expandir la secuencia en una serie de Fourier. La propiedad de dualidad para la serie de Fourier de tiempo discreto implica que los coeficientes de la serie de Fourier para la secuencia peridica son valores de (es decir, son proporcionales a los valores de la seal original invertida en tiempo). Para ver esto con mayor detalle, considere dos secuencias peridicas con periodo , relacionadas mediante la sumatoria

Si hacemos y , la ecuacin (5.65) se convierte en

Comparando sta con la ecuacin (3.95), vemos que la secuencia corresponde a los coeficientes de la serie de Fourier de la seal . Esto es, si adoptamos la notacin

Introducida en el captulo 3 para una seal peridica discreta y su conjunto de coeficientes de Fourier, tenemos que las dos secuencias peridicas relacionadas a travs de la ecuacin (5.65) satisfacen

De manera alternativa, si hacemos y , la ecuacin (5.65) se convierte en

Comparndola con la ecuacin (3.94), encontramos que corresponde a la secuencia de los coeficientes de la serie de Fourier de . Esto es,

Al igual que en el caso continuo, esta dualidad implica que cada propiedad de la serie de Fourier de tiempo discreto tiene un dual. Por ejemplo, remitindonos a la tabla 3.2, vemos que el par de propiedades

Y

Son duales. De manera similar, a partir de esta tabla podemos extraer otro par de propiedades duales:

Y

Adems de sus consecuencias para las propiedades de la serie de Fourier de tiempo discreto, la dualidad a menudo puede ser til para reducir la complejidad de los clculos involucrados en la determinacin de las representaciones en series de Fourier. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.16Considere la siguiente seal peridica con periodo :

En el captulo 3 encontramos que una onda rectangular tiene coeficientes de Fourier en una forma muy similar a como sucede con la ecuacin (5.72). Entonces, la dualidad sugiere que los coeficientes para deben estar en la forma de una onda rectangular. Para ver esto con mayor precisin, sea una onda rectangular con periodo tal que

Los coeficientes de la serie de Fourier para se pueden determinar del ejemplo 3.12 como

La ecuacin de anlisis (3.95) de la serie de Fourier para se puede escribir ahora como

Intercambiando los nombres de las variables y y observando que , encontramos que:

Haciendo en la suma del miembro derecho, obtenemos

Por ltimo, moviendo el factor dentro de la sumatoria, vemos que el miembro derecho de esta ecuacin tiene la forma de la ecuacin de sntesis (3.94) para . Concluimos entonces que los coeficientes de Fourier de estn dados por

Y, por supuesto, son peridicos con periodo .

5.7.2 Dualidad entre la transformada de Fourier de tiempo discreto y la serie continua de FourierAdems de la dualidad para la serie discreta de Fourier, hay una dualidad entre la transformada de Fourier de tiempo discreto y la serie continua de Fourier. En concreto, comparemos las ecuaciones (3.38) y (3.39) de la serie continua de Fourier con las ecuaciones (5.8) y (5.9) de la transformada de Fourier de tiempo discreto. Por conveniencia repetimos las ecuaciones:

Observe que las ecuaciones (5.73) y (5.76) son muy similares, as como lo son las ecuaciones (5.74) y (5.75) y, de hecho, podemos interpretar las ecuaciones (5.73) y (5.74) como la representacin en serie de Fourier de la repuesta en frecuencia peridica . En particular, puesto que es una funcin peridica de con periodo , tiene una representacin en serie de Fourier dad por una suma ponderada de funciones exponenciales peridicas de relacionadas armnicamente, todas las cuales tienen un periodo comn de . Esto es, se puede representar en una serie de Fourier como una suma ponderada de las seales A partir de la ecuacin (5.74), vemos que el coeficiente ensimo de Fourier en esta expansin (es decir, el coeficiente que multiplica a ) es . Adems, ya que el periodo de es , la ecuacin (5.73) se puede interpretar como la ecuacin de anlisis de la serie de Fourier para el coeficiente de la serie de Fourier, es decir, para el coeficiente que multiplica a en la expresin para en la ecuacin (5.74). El uso de esta relacin de dualidad se ilustra mejor con un ejemplo.

Ejemplo 5.17La dualidad entre la ecuacin de sntesis de la transformada de Fourier de tiempo discreto y la ecuacin de anlisis de la serie continua de Fourier se puede explotar para determinar la transformada de Fourier de tiempo discreto de la secuencia.

Para usarla dualidad, primero debemos identificar una seal continua con periodo y coeficientes de Fourier . Gracias al ejemplo 3.5 sabemos que si es una onda cuadrada peridica con periodo (o, de manera equivalente, con frecuencia fundamental ) y con

Entonces los coeficientes de la serie de Fourier de son

En consecuencia, si tomamos , tendremos . En este caso la ecuacin de anlisis para es

Tomando como y como , tenemos

Cambiando por en ambos miembros de la ecuacin (5.77) y observando que la funcin sinc es par, obtenemos

El miembro derecho de esta ecuacin tiene la forma de la ecuacin de sntesis de la transformada de Fourier para , donde

En la tabla 5.3 presentamos un resumen muy compacto de las expresiones de la serie de Fourier y de la transformada de Fourier para seales continuas y discretas, y tambin indicamos las relaciones de dualidad que se aplican en cada caso.

Tabla 5.3Tiempo continuoTiempo discreto

Dominio del tiempoDominio de la frecuenciaDominio del tiempoDominio de la frecuencia

Serie de Fourier

Tiempo continuo peridica en tiempo

Frecuencia discreta, aperidica en frecuencia

Tiempo discreto, peridica en tiempo

Frecuencia discreta, peridica en frecuencia

Transformada de Fourier

Tiempo continuo aperidica en tiempo

Frecuencia continua, aperidica en frecuencia

Tiempo discreto, aperidica en tiempo

Frecuencia continua, peridica en frecuencia

5.8 SISTEMAS CARACTERIZADOS POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTESUna ecuacin general lineal de diferencias con coeficientes constantes para un sistema LTI con entrada y salida tiene la forma

La clase de sistemas descritos por estas ecuaciones de diferencias es bastante importante y til. En esta seccin tomamos ventaja de varias de las propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto para determinar la respuesta en frecuencia para un sistema LTI descrito por esta ecuacin. El planteamiento que le damos es paralelo al anlisis en la seccin 4.7 para sistemas LTI continuos descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.Hay dos mtodos relacionados en los cuales se puede determinar . El primero de stos, el cual ilustramos en la seccin 3.11 para varias ecuaciones sencillas de diferencias, hace uso explcito del hecho de que las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI. Especficamente, si es la entrada a un sistema LTI, entonces la salida debe ser de la forma . Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin (5.78) y realizando algo de lgebra podemos resolver para . En esta seccin, seguimos una segunda aproximacin haciendo uso de las propiedades de convolucin, linealidad y desplazamiento de tiempo de la transformada de Fourier de tiempo discreto. Sea que , y denotan las transformadas de Fourier de la entrada , la salida y la respuesta al impulso , respectivamente. La propiedad de convolucin, ecuacin (5.48), de la transformada de Fourier de tiempo discreto implica entonces que

Al aplicar la transformada de Fourier a ambos miembros de la ecuacin (5.78) y usando las propiedades de linealidad y desplazamiento de tiempo, obtenemos la expresin

O, de manera equivalente

Comparando la ecuacin (5.80) con la (4.76) vemos que, como en el caso continuo, es una razn de polinomios, pero en tiempo discreto los polinomios estn en trminos de la variable . Los coeficientes del polinomio del numerador son los mismos coeficientes que aparecen en el miembro derecho de la ecuacin (5.78), y los coeficientes del polinomio del denominador son los mismos que aparecen en el miembro izquierdo de esa ecuacin. Por lo tanto, la respuesta en frecuencia del sistema LTI especificado por la ecuacin (5.78) se puede escribir por inspeccin.La ecuacin de diferencias (5.78) en general se conoce como una ecuacin de diferencias de orden , ya que involucra retardos en la salida de hasta escalones de tiempo. Asimismo, el denominador de en la ecuacin (5.80) es un polinomio de orden en .

Ejemplo 5.18Considere el sistema LTI causal que se caracteriza por la ecuacin de diferencias

Con . De la ecuacin (5.80), la respuesta en frecuencia de este sistema es

Comparando sta con el ejemplo 5.1, la reconocemos como la transformada de Fourier de la secuencia . Por lo tanto, la respuesta del sistema al impulso es

Ejemplo 5.19Considere un sistema LTI casual que se caracteriza por la ecuacin de diferencias

De la ecuacin (5.80), la respuesta en frecuencia es

Como un primer paso en la obtencin de la respuesta al impulso, factorizamos el denominador de la ecuacin (5.85):

se puede expandir por el mtodo de fracciones parciales, como en el ejemplo A.3 del apndice. El resultado de esta expansin es

La transformada inversa de cada trmino se puede reconocer por inspeccin, con el resultado de que

El procedimiento seguido en el ejemplo 5.19 es idntico en estilo al que se us en el caso continuo. Especficamente, despus de expandir utilizando el mtodo de fracciones parciales, podemos encontrar la transformada inversa de cada trmino por inspeccin. Se puede aplicar el mismo procedimiento a la respuesta en frecuencia de cualquier sistema LTI descrito por una ecuacin lineal de diferencias con coeficientes constantes para determinar la respuesta del sistema al impulso. Tambin, como se ilustra en el siguiente ejemplo, si la transformada de Fourier de la entrada a ese sistema es una razn de polinomios en , entonces tambin lo ser. En este caso, podemos usar la misma tcnica para encontrar la respuesta a la entrada .

Ejemplo 5.20Considere el sistema LTI del ejemplo 5.19, y sea la entrada a este sistema

Entonces, usando la ecuacin (5.80) y el ejemplo 5.1 o 5.18, obtenemos

Como se describe en el apndice, la forma de la expansin en fracciones parciales es en este caso

Donde las constantes , y se pueden determinar usando las tcnicas descritas en el apndice. Esta expansin particular se detalla en el ejemplo A.4, y los valores obtenidos son

De modo que

El primer y tercer trmino son del mismo tipo que los encontrados en el ejemplo 5.19, mientras que el segundo tiene la misma forma que el visto en el ejemplo 5.13. Ya sea de los ejemplos o de la tabla 5.2, podemos invertir cada trmino en la ecuacin (5.91) para obtener la transformada inversa

RESUMEN

En este captulo desarrollamos, en forma paralela a como se hizo en el captulo 4, la transformada de Fourier para seales discretas y examinamos muchas de sus importantes propiedades. A travs de todo el captulo hemos visto muchas similitudes entre el anlisis de Fourier de tiempo continuo y de tiempo discreto, y tambin hemos visto algunas diferencias importantes. Por ejemplo, la relacin entre la serie de Fourier y la transformada de Fourier de tiempo discreto es exactamente anloga a la de tiempo continuo. En particular, nuestra deduccin de la transformada de Fourier de tiempo discreto para seales aperidicas a partir de las representaciones de serie de Fourier es casi igual que la deduccin correspondiente en tiempo continuo. Adems, muchas de las propiedades de las transformadas de tiempo continuo tienen su contraparte exacta en tiempo discreto. Por otro lado, en contraste con el caso continuo, la transformada de Fourier de tiempo discreto de una seal aperidica siempre es peridica con periodo . Adems de las similitudes y diferencias como stas, hemos descrito las relaciones de dualidad entre las representaciones de Fourier de seales continuas y discretas.Las semejanzas ms importantes entre el anlisis de Fourier de tiempo discreto y continuo se encuentran en sus usos en el anlisis y representacin de seales y sistema LTI. En concreto, la propiedad de convolucin nos proporciona las bases para el anlisis en el dominio de la frecuencia de los sistemas LTI. Ya hemos visto que esta aproximacin tiene alguna utilidad en nuestro anlisis de filtrado en los captulos 3 a 5 y en el examen de sistemas descritos por ecuaciones lineales diferenciales y de diferencias con coeficientes constantes, y lograremos una mejor apreciacin de su utilidad en el captulo 6, en el cual examinamos los temas de filtrado y tiempo versus frecuencia con ms detalle. Adems, las propiedades de multiplicacin en tiempo continuo y en tiempo discreto son esenciales para nuestro desarrollo sobre el muestreo en el captulo 7 y las comunicaciones en el captulo 8.

5.10 Ejercicios5.1 Use la ecuacin de anlisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas de:a)

b)

5.2 Use la ecuacin de anlisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas de:

a)

b)

5.3 Determine la transformada de Fourier para en cada caso de las siguientes seales peridicas:a)

b)

5.4 Use la ecuacin de sntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas inversas de Fourier de:a)

b)

5.5 Use la ecuacin de sntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las transformadas inversas de Fourier de , donde

y

Use su respuesta para determinar los valores de para los cuales

5.6 Dado que tiene transformada de Fourier , exprese las transformadas de Fourier de las siguientes seales en trminos de . Puede usar las propiedades de la transformada de Fourier enumeradas en la tabla 5.1.

a)

b)

c)

5.7 Para cada una de las siguientes transformadas de Fourier, use las propiedades de la transformada de Fourier (tabla 5.1) para determinar si la seal correspondiente en el dominio del tiempo es: (i) real, imaginaria o ni lo uno ni lo otro; (ii) par, impar, o ninguna de las dos. Haga esto sin evaluar la inversa de las transformadas dadas.

a)

Considere la seal con transformada de Fourier

Vemos que es real e impar. De la tabla 5.1, sabemos que la transformada de Fourier de una seal real e impar es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, podemos decir que la transformada de Fourier de una seal puramente imaginaria e impar es real e impar. Usando esta observacin, se concluye que es puramente imaginaria e impar. Tenga en cuenta que ahora

Por lo tanto, . Por lo tanto, tambin es puramente imaginario. Pero no es par ni impar.

b) Observemos que es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, tiene que ser real e impar.

c) donde

y

Considere una seal cuya magnitud de la transformada de Fourier es , y cuya fase de la transformada de Fourier es . Ya que y , podemos concluir que la seal es real (Ver tabla 5.1, Propiedad 5.3.4). Ahora, tenga en cuenta que la seal con transformada de Fourier . Utilizando el resultado del apartado anterior y la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier, se puede concluir que es verdadero. Ya que la transformada de Fourier no es ni puramente imaginaria ni puramente real, la seal no es par ni impar.

5.8 Use las tablas 5.1 y 5.2 para determinar cuando su transformada de Fourier es

Considere la seal

De la tabla 5.2, sabemos que

Usando la propiedad de acumulacin (Tabla 5.1, Propiedad 5.3.5), tenemos

Por lo tanto, en el intervalo ,

Tambin, en el intervalo

Por lo tanto, en el intervalo

La seal tiene la transformada de Fourier deseada. Podemos expresar matemticamente como

5.9 Se dan las siguientes caractersticas acerca de una seal particular con transformada de Fourier :1.

2.

3.

4.

Determine De la propiedad 5.3. en la tabla 5.1, sabemos que para una seal real ,

A partir de la informacin dada,

Por lo tanto,

Tambin sabemos que

Y la para . Por lo tanto,

Ahora solo tenemos que encontrar . Utilizando la relacin de Parseval, tenemos

A partir de la informacin dada, podemos escribir

Esto da . Pero ya que estamos teniendo en cuenta que , concluimos que .

Por lo tanto,

5.10 Use las tablas 5.1 y 5.2 junto con el hecho de que

Para determinar el valor numrico de

Por la tabla 5.2, sabemos que

Usando la propiedad 5.3.8 de la tabla 5.1,

Por lo tanto,

5.11 Considere una seal con transformada de Fourier . Suponga que

Donde la seal tiene transformada de Fourier . Determine un nmero real tal que y Sabemos por la propiedad de expansin de tiempo (Tabla 5.1, Propiedad 5.3.7) que

Por lo tanto, se obtiene comprimiendo por un factor de 2. Ya que sabemos que es peridica con un periodo de , podemos concluir que tiene un periodo que es . Por lo tanto,

5.12 Sea

Donde denota la convolucin . Determine una restriccin rigurosa en La cual asegure que

Considere la seal

De la tabla 5.2, obtenemos la transformada de Fourier de tal que

El argumento es como el que se muestra en la figura S5.12. Ahora consideremos la seal . Usando la propiedad de multiplicacin (Tabla 5.1, Propiedad 5.5), obtendremos la transformada de Fourier de tal que

Est claro que es cero para . Por usar la propiedad de convolucin (Tabla 5.1, Propiedad 5.4), notamos que

El argumento es mostrado en la figura S5.12. Est claro que si , entonces .5.13 Un sistema LTI con respuesta al impulso se conecta en paralelo con otro sistema LTI casual con respuesta al impulso . La interconexin en paralelo que resulta tiene la respuesta en frecuencia

Determine Cuando dos sistemas LTI estn conectados en paralelo, el impulso que responde de todo el sistema es la suma de los impulsos que responden del sistema individual. Por lo tanto,

De la Tabla 5.1, Propiedad 5.3.2,

Dado que , obtenemos

Por lo tanto,

Tomando la transformada inversa de Fourier,

5.14 Suponga que damos los siguientes hechos acerca de un sistema LTI con respuesta al impulso y respuesta en frecuencia :

1. donde para y 2. 3.

Determine .De la informacin dada, tenemos la transformada de Fourier de para ser

Tambin, cuando la entrada del sistema es , la salida es . Por lo tanto

De la tabla 5.2, obtenemos

Por lo tanto,

Claramente, es una secuencia de tres puntos.Tenemos

Y

Vemos que solo si Tambin tenemos

Dado que , tenemos

Ahora notamos que

Evaluando esta ecuacin , tenemos

Desde

Resolviendo las ecuaciones (S5.14-1) y (S5.14-2), obtenemos

Por lo tanto,

5.15 Sea la transformada de Fourier inversa de

Donde . Determine el valor de el cual asegure que

Considerando . La transformada de Fourier de es como muestra la figura S5.15. Notamos que dada la seal . Por lo tanto, la transformada de Fourier de es

Empleando la aproximacin usada en el ejemplo 5.15, podemos convertir el periodo de convolucin anterior dentro de una seal aperidica por definicin

Entonces podemos escribir

Esta es la convolucin aperidica del pulso rectangular mostrada en la Figura S5.15 con el periodo de ondulacin regular . El resultado de esta convolucin es como la mostrada en la figura S5.15.Es claro que requerimos por ser . Por lo tanto, .

5.16 La transformada de Fourier de una seal particular es

Puede demostrarse que

Donde tenga la forma y sea una seal peridica con periodo .(a) Determine el valor de .(b) Determine el valor de .(c) Es real?Podemos escribir

Donde * denotamos una convolucin aperidica. Podemos tambin reescribir esto como una convolucin peridica

Donde

Y

a) Tomando la transformada de Fourier inversa de (ver Tabla 5.2), obtenemos . Por lo tanto, b) Tomando la transformada de Fourier inversa de (ver Tabla 5.2), obtenemos

Esta seal es peridica con un periodo fundamental de .c) Podemos fcilmente mostrar que no es una conjugacin simtrica. Por lo tanto, no es real.

5.17 La seal tiene un periodo fundamental de 2 y los coeficientes correspondientes de la serie de Fourier . Use la dualidad para determinar los coeficientes de la serie de Fourier de la seal con periodo fundamental de 2.

Usando la propiedad de dualidad, tenemos

5.18 Dado el hecho que

Use la dualidad para determinar los coeficientes de la serie de Fourier de la siguiente seal continua con periodo :

Sabemos que

Podemos usar la ecuacin de anlisis de la transformada de Fourier para escribir

Poniendo en la ecuacin, y reemplazando la variable por la variable

Comparando esto con la ecuacin de sntesis de la serie de Fourier de tiempo continuo, se manifiesta inmediatamente que son los coeficientes de la serie de Fourier de la seal .

5.19 Considere un sistema LTI causal y estable cuya entrada y salida estn relacionadas mediante una ecuacin de diferencias de segundo orden

(a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema .(b) Determine la respuesta al impulso del sistema .a) Tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuacin diferencial, tenemos

Por lo tanto,

b) Usando la expresin de fraccin parcial,

Usando la Tabla 5.2, y tomando la transformada de Fourier inversa, obtenemos

5.20 Un sistema LTI causal y estable tiene la propiedad de que

(a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema .(b) Determine una ecuacin de diferencias que relacione cualquier entrada con la correspondiente salida .a) Desde el sistema de LTI que es causal y estable, una simple entrada y salida par es suficiente para determinar el resultado de la frecuencia del sistema. En este caso, la entrada es y la salida es . El resultado de la frecuencia esta dado por

Cuando y son la transformada de Fourier para y respectivamente. Usando la Tabla 5.2, tenemos

Usando la diferenciacin en la propiedad de frecuencia (Tabla 5.1, Propiedad 5.3.8), tenemos

Por lo tanto,

b) Desde , podemos escribir

Tomando la transformada de Fourier inversa de ambos lados