USS - Ingeniería de SistemasMatemática III

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INVESTIGACIÓN BIBLIOGRÁFICA DE REFLEXIONES SOBRE LA APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER AL

PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES

Alumno

Lima, 18 de Octubre de 2015

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RESUMEN:

El presente artículo comprende la investigación de la Transformada de Fourier y los fundamentos matemáticos, algoritmos y aplicación práctica que se utiliza en el procesamiento de imágenes, se puede aplicar en la Informática, Sistemas y otras ramas afines, por lo tanto es indispensable que el Ingeniero desarrolle competencias en el manejo y aplicación de los conceptos de la Transformada Rápida de Fourier (conocida como FFT por sus siglas en inglés) y como éstas se aplican principalmente en el procesamiento digital de imágenes.

INTRODUCCIÓN:

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que tiene un uso muy amplio en la ingeniería y muchas otras ramas afines, pero principalmente en lo referente al tratamiento digital de señales, se encuentra implementado bajo la forma de dispositivos electrónicos de reconocimiento de voz e imagen; puede ser aplicado a diversos campos como el análisis espectral y las ecuaciones diferenciales, etc.

El presente artículo, analiza los aspectos teóricos y la aplicación práctica de la Transformada de Fourier en el procesamiento digital de imágenes mediante el desarrollo de aplicaciones que implementan los algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier, los mismos que son explicados y analizados de una forma clara y didáctica, orientado a los estudiantes de Ingeniería de Sistemas y demás Ciencias de la Informática.

Cabe recalcar que la ingeniería es la profesión que aplica conocimientos y experiencias para que mediante diseños, modelos y técnicas resuelvan problemas que impidan el desarrollo de la humanidad. Por eso la Ingeniería con el Cálculo Diferencial toma una serie de decisiones importantes, dado un conjunto de datos incompletos e inexactos, con el fin de obtener para un cierto problema, de entre las posibles soluciones, aquella que funcione de manera más satisfactoria para la humanidad.

RESULTADO:

Para entender mejor este artículo pasaré a definir algunos conceptos básicos:

Ecuación Diferencial:

Se llama ecuación diferencial a toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes.

Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO):

Se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) a una ecuación diferencial en la que aparecen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una única variable independiente.

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Aplicaciones de la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO):

Muchas de las aplicaciones de las EDO se basan en las leyes generales de la naturaleza y encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales, éstas se aplican en Geometría, Ingeniería, Economía y muchos otros campos de las Ciencias Aplicadas.

Transformada de Fourier:

En matemática, la transformada de Fourier, llamada así por Joseph Fourier, es una tranformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el domibio de la frecuencia, es reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce. Tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería.

En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

Con los conceptos anteriores, y basándonos en el objetivo del artículo, he reunido información sobre como la transformada de Fourier en base a un proyecto realizado con el software MatLab y Visual Basic.Net muestran como los fundamentos matemáticos y los algoritmos de esta transformada, permiten su implementación tanto en una como en dos dimensiones se implementan en el procesamiento de imágenes digitales.

Materiales, Métodos y Procedimientos

Diseño de Investigación

Para el desarrollo de la investigación se aplicó el método lógico deductivo, el cual permitió desarrollar y explicar los fundamentos matemáticos de la FFT, también se utilizó el método experimental, para comprobar los resultados arrojados por los algoritmos implementados al aplicarlos en las imágenes digitales.

Para la realización de este proyecto fue necesario identificar dos áreas: transformada Rápida de Fourier y Procesamiento Digital de Imágenes, la misma que se detalla a continuación.

Esta investigación se dividió en tres fases:

Fundamentos matemáticos de la Transformada de Fourier Análisis de los algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier Análisis, desarrollo e implementación de Aplicaciones utilizando la transformada de

Fourier.

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Fundamentos matemáticos:

En esta fase se estudió y analizó los fundamentos matemáticos de la Transformada de Fourier, para lo cual se partió de las series de Fourier, llegando hasta la Integral de Fourier; y de acuerdo con los objetivos del proyecto, se desarrolló en MatLab la aplicación que permite mostrar en forma didáctica el cálculo de los coeficientes de Fourier para series periódicas, así como su transformada.

Para el desarrollo de esta aplicación fue necesario estudiar el desarrollo de interfaces gráficas con el objeto de visualizar los resultados de la implementación algorítmica de la serie de Fourier, el siguiente gráfico muestra la pantalla principal de la aplicación, y cuyo código fuente, debidamente explicado forma parte del documento de la investigación.

Algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier

La transformada discreta de Fourier en una dimensión está dada por:

Donde x(n) es el conjunto de datos original

X(u) es la transformada de x(n)

N es el número de elementos

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u representa la variable en el dominio de la frecuencia

Y su extensión a dos dimensiones está definida por

Partiendo de estas definiciones se analizaron los algoritmos en diferentes fuentes bibliográficas y se implementaron en Visual Basic.Net los siguientes:

Para una dimensión

Método directo: el cual implementa directamente la definición de la transformada discreta en una dimensión.

Método recursivo: el cual está basado en el algoritmo FFT propuesto por Cooley y Tukey.

Método iterativo, también basado en el algoritmo anterior, y que presenta una mayor complejidad, puesto que requiere de la implementación del algoritmo de reversión de bits de un arreglo.

El prototipo de esta implementación se muestra a continuación.

Para la creación de los prototipos, además de los algoritmos implementados fue necesario crear el conjunto de funciones y procedimientos que trabajan con números complejos.

Para la comprobación de los resultados, se realizaron varias corridas con diferentes tamaños de arreglos, las cuales fueron contrastadas con los datos arrojados por la herramienta Análisis de Fourier que implementa Excel.

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La implementación de la Transformada discreta bidimensional necesitó el análisis y programación de los siguientes procedimientos:

Transformada directa bidimensional, la cual utiliza la fórmula de la transformada discreta bidimensional de Fourier, y cuyos resultados sirvieron para contrastar los datos devueltos por otros métodos.

FFT-2D, el mismo que implementa la transformada rápida de Fourier en dos dimensiones, utilizando como base la implementación en una dimensión.

El prototipo de esta implementación se muestra a continuación:

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CONCLUSIONES:

Como hemos podido observar en el presente artículo la transformada de fourier es una herramienta para ver la señal en el dominio de la frecuencia, y para hacer operaciones mas fáciles entre funciones, ya que la unión de dos señales en el tiempo sirve para multiplicarlas en la frecuencia, esto es más que todo para tener las señales en el dominio de la frecuencia y operar con ellas.

Así mismo la Transformada de Fourier requiere conocimientos de cálculo integral, ecuaciones diferenciales y números complejos para el procesamiento de imágenes digitales, también se debe tener buen nivel en algún lenguaje de programación y saber usar el MatLab para visualizar los resultados gráficos de los proyectos que se realicen para poder comprobar como la Tranformada de Fourier, trabaja ya que no hay otra forma de demostrarlo sino es a través de algún proyecto.

Los algoritmos que implementan la Transformada de Fourier, tienen un alto nivel de optimización, y son el resultado de muchas investigaciones realizadas en las últimas décadas, todo esto ha permitido el uso práctico de la Transformada de Fourier en la vida laboral de un ingeniero y en diferentes áreas de la Ingeniería y otras ramas afines.

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BIBLIOGRAFIA:

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier

http://matap.dmae.upm.es/Asignaturas/MetodosMatematicos_eiae/Transformada_Fourier.pdf

http://www.dm.uba.ar/materias/matematica_4/2007/1/tdf2000.pdf

https://www.google.com.pe/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CBoQFjAAahUKEwiBj8Hcq8zIAhWGj4AKHQZqA2o&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Ffile.PostFileLoader.html%3Fid%3D56134ea960614bb8098b456e%26assetKey%3DAS%253A281414676303876%25401444105895728&usg=AFQjCNHPURMYXRhsutNy7HeBjbwgfh_E_g&bvm=bv.105454873,d.eXY

https://books.google.com.pe/books?hl=es&lr=&id=xn_MBQAAQBAJ&oi=fnd&pg=PP1&dq=Russ,+J.+(2006).+The+Image+Processing+Handbook,+(5ta.+Ed).+EE.UU.+CRC+Press&ots=rWA_GXBHGP&sig=9YstFq-GmzTaJ8Sy0FxoLNRWIXQ#v=onepage&q&f=false