Serie y Transformada de Fourier
18
República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada U N E F A Núcleo Carabobo – Extensión Guácara SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER Y LAPLACE Guácara, Julio del 2009 Integrantes: Marbelis Ochoa José Manuel Hernández Sección G-005-N
Transcript of Serie y Transformada de Fourier
República Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
U N E F ANúcleo Carabobo – Extensión Guácara
SERIE Y TRANSFORMADA DEFOURIER Y LAPLACE
Guácara, Julio del 2009
Integrantes:
Marbelis OchoaJosé Manuel Hernández
Sección G-005-N
SERIE DE FOURIER
La serie de Fourier tiene la forma:
La serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica y constituye una herramienta matemática básica del análisis de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t).
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
.
Podemos definirla como:
Si es un función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es:
SERIE DE FOURIER
Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:
Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:
Los coeficientes ahora serían:
SERIE DE FOURIERPropiedades
Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de
homomorfismo de las funciones e.
Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".
Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.
i n x
Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
SERIE DE FOURIERUso en la Ingeniería
Análisis en el comportamiento armónico de una señal
Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuí tal eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier se encarga de transformar una señal en el dominio del tiempo, dominio de la frecuencia donde se puede utilizar su antitransformada y volver al dominio temporal,
En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
De manera formal su definición seria:
TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier de una función continua e integrable de una variable real x se define por
Observemos que la transformada de una función real es una función compleja. Es decir, F(u)=R(u)+I(u)i, donde R(u) e I(u) son la parte real e imaginaria de F(u), respectivamente. La variable u recibe el nombre de variable de frecuencia.
El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier. El cuadrado del espectro se denomina espectro de potencias o densidad espectral de f(x). Su ángulo P (u)=arctg (I (u)/R (u)) recibe el nombre de fase.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:
El signo negativo en el exponente del integrado
indica la transpolación de complementos ya expuestos.
Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.
1. Linealidad
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
f(t)
g(t)
t
t
t
w
w
w
F(w)
G(w)
f(t) + g(t)
F(w) + G(w)
)}({)}({)}()({ tgbFtfaFtbgtafF
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
Combinación lineal de dos funciones.
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(
1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF
ˆ1
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
Efecto de la propiedad de escalado
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
f(t) F(w)
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
w
w
w
t
t
t
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
Mientras más
corto es el pulso,
más ancho
es el espectro.
3. Traslación en el dominio de tiempos
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a)g(t)
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ2
10
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
5. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee
titi'
')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd
ti
'
)'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g( t) f (t) 2
dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):
dttff eti )(ˆ
0
0
)()( dttfdttf eetiti
0 0
)()()(ˆ dttfdttff eetiti
0
)( dttf eetiti
0
)cos()(2ˆ dtttff
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
6. Transformada de la derivada:
ikF(k)ikF(f(x))(x))fF(
)k´(iF))x(f´(iF)x(xfF
7. Transformada xf(x):
Y en general:
F(k)ik(x))F(f n)n(
Y en general:
)k´(Fi)x(fxF nn
TRANSFORMADA DE FOURIERPropiedades
TRANSFORMADA DE LAPLACEEn cuanto a la transformada de laplace, podemos decir, que es
la más conocida y utilizada de las transformadas integrales y está demostrado que su gran utilidad a la hora de resolver multitud problemas de la ciencia y tecnología
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al
discreto.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Propiedades
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en si entonces:
1. Cambio de escala
No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular
2. Teoremas de traslación
