Transformada Rapida de Fourier (1)
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La Transformada rápida de Fourier
description
transformada de fourier
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La Transformada rápida de Fourier
OBJETIVO
Presentar la Transformada Discreta de Fourier de un conjunto de muestras mediante el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier.
POR DEFINICION
La relación simple entre una secuencia de longitud finita x (n), definida para 0 ≤ n ≤ N - t, y su DTFT X(ejw) se obtiene por muestreo uniformemente X(ejw) en el eje w entre 0 ≤ w ≤ 2π en wk= 2πk/N , 0 ≤ k ≤ N - 1
Tenga en cuenta que X(k) es también una secuencia de longitud finita en el dominio de la frecuencia y es de longitud N.
LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Sea X(n) una secuencia discreta de tamaño N; se define la DFT de X(n) como:
Y la transformada inversa de Fourier IDFT, como:
PROPIEDADES:
1) Linealidad: Sea; (k) y (k) las DFT de 2 secuencias (k) y (k) . Entonces:
2) Desplazamiento Temporal:
3) Formula de Inversión Alternativa:
4) Representación Matricial de la DFT :
X (0) = X (0) + X (1) + X (2) +……. + X (n-1)
X (1) = X (0) + X (1) + X (2) + ……. + X (n-1)
X (2) = X (0) + X (1) + X (2) + ……. + X (n-1)
X (N-1) = X (0) + X (1) + X (2) +……. + X (n-1)
ENTONCES
La matriz se denomina matriz de la DFT.
De igual manera podemos representar la IDFT:
TRANSFORMADA RAPIDA
EL ALGORITMO DE LA FFT
1
0
2
)(1 N
k
N
nkj
ekTmNNT
nF
Njkn
N
k
kn
eWpara
WkTmNNT
nF
/2
1
0
)(1
96301
0
3
1
0
64202
32101
0
1
0
00000
1
0
]3[]2[]1[]0[][]3[
]3[]2[]1[]0[][]2[
]3[]2[]1[]0[][]1[
]3[]2[]1[]0[][]0[
40][][
WxWxWxWxWkxx
WxWxWxWxWkxx
WxWxWxWxWkxX
WxWxWxWxWkxX
nparaWkxnX
N
k
k
N
k
k
N
k
k
N
k
N
k
nk
Redefiniendo: Como:
La expansión al hacer uso de la expresión anterior se convierte en:
EL ALGORITMO DE LA FFT
]3[
]2[
]1[
]0[
1
1
1
1111
]3[
]2[
]1[
]0[
]3[
]2[
]1[
]0[
]3[
]2[
]1[
]0[
963
642
321
9630
6420
3210
0000
x
x
x
x
WWW
WWW
WWW
X
X
X
X
bieno
x
x
x
x
WWWW
WWWW
WWWW
WWWW
X
X
X
X
La expresión anterior toma la forma matricial:
EL ALGORITMO DE LA FFT
]3[
]2[
]1[
]0[
1
1
1
1111
]3[
]2[
]1[
]0[
123
202
321
x
x
x
x
WWW
WWW
WWW
X
X
X
X
]3[
]2[
]1[
]0[
010
001
010
001
100
100
001
001
]3[
]2[
]1[
]0[
2
2
0
0
3
1
2
0
x
x
x
x
W
W
W
W
W
W
W
W
X
X
X
X
Por lo tanto la expresión se convierte en:
La cual se puede descomponer en la forma:
Que contiene el segundo y tercer renglón invertidos con relación a la matriz original.
EL ALGORITMO DE LA FFTLa matriz anterior puede ser descompuesta como el producto de 2 partes separables, de tal forma que la expresión para la primera de ellas queda de la forma:
3
1
2
0
2
2
0
0
100
100
001
001
*
]3[
]2[
]1[
]0[
010
001
010
001
]3[
]2[
]1[
]0[
W
W
W
W
x
x
x
x
W
W
W
W
X
X
X
X
)3()1()3(
)2()0()2(
)3()1()1(
)2()0()0(
21
21
01
01
xWxx
xWxx
xWxx
xWxx
)3()1()3(
)2()0()2(
)3()1()1(
)2()0()0(
01
01
01
01
xWxx
xWxx
xWxx
xWxx
EL ALGORITMO DE LA FFTCon lo que se llega a la siguiente expresión:
)3(
)2(
)1(
)0(
100
100
001
001
]3[
]2[
]1[
]0[
1
1
1
1
3
1
2
0
x
x
x
x
W
W
W
W
X
X
X
X
)3()2()3(
)3()2()2(
)1()0()1(
)1()0()0(
13
1
11
1
12
1
10
1
xWxX
xWxX
xWxX
xWxX
)3()2()3(
)3()2()2(
)1()0()1(
)1()0()0(
11
1
11
1
10
1
10
1
xWxX
xWxX
xWxX
xWxX
Generalizando el algoritmo se puede observar que el coste de cálculo se reduce del orden de O(Nlog2 N) frente al orden O(N2).
Debido a que para cada k par y -1 para k impar, la ecuación anterior puede ser separada para k par e impar, o bien
1. Para k impar:
2. Para k par:
DIEZMADO EN FRECUENCIA nk
N
n
k WN
nxnxkX
1)2/(
0 21)()(
nkN
n
WN
nxnxkX
1)2/(
0 2)()(
nkN
n
WN
nxnxkX
1)2/(
0 2)()(
nkN
n
WN
nxnxkX 21)2/(
0 2)()2(
Sustituyendo k=2k para k par, y k=2k+1 para k impar, las expresiones anteriores pueden escribirse de la forma k=0,1,…..,(N/2)-1 como
nknN
n
WWN
nxnxkX 21)2/(
0 2)()12(
k1
)2/()()(
)2/()()(
Nnxnxnb
Nnxnxna
2/NWNW2NW
Debido a que la constante twiddle W es una función de longitud N, ésta puede ser representada como . Entonces se puede escribir como . Considere
Las ecuaciones anteriores pueden ser escritas de forma más clara como DFTs de (N/2) puntos, o bien
1)2/(
02/
12/
02/
)()12(
)()2(
N
n
nkN
nN
N
n
nkN
WWnbkX
WnakX
