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“Transformadas de Fourier”

Aula 8

Jean Baptiste Joseph Fourier

(francês, 1768-1830)

Transformadas de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

extractos dos originaisde Fourier


Enquanto que as Séries de Fourier eram definidas apenas para sinais periódicos, as Transformadas de Fourier são definidas para uma classe de sinais muito mais ampla.

Devido ao facto que os sinais sinusoidais são diferenciáveis, a Transformada de Fourier permite representar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes na forma de equações algébricas ordinárias.

Outro detalhe, as Transformadas de Fourier satisfazem propriedadescomuns a outras transformadas que já vimos, como a linearidade por exemplo, e tornam a operação de convolução em multiplicações simples.


Transformadas de Fourier para sinais contínuos

A Série de Fourier só se aplica a sinais periódicos. Sinais que NÃO são periódicos (ditos sinais “aperiódicos”) têm uma outra representação com a Transformada de Fourier.

Um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infinito.

T

2o

π=ω

Ou seja, quando o período T cresce, ∞→T

a frequência ωo diminui 0T

2o →π=ω

as componentes em frequência (i.e., os ck’s) formam um contínuo, e o somatório da Série de Fourier deste sinal se converte em uma integral.


Na Série de Fourier, imagine que o período T de um sinal periódico

aumenta, por conseguinte a frequência ωo diminui, e o termos harmonicamente relacionados ficam mais próximos na frequência.

F { x(t) } = X(jω)

∞

∞−ω⋅ω

π= ω

d)j(X2

1)t(x

tje

A Transformada de Fourier deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:

permite expressar o sinal x(t), como:

onde:

∞

∞−⋅⋅=ω ⋅ω⋅−dt)t(x)j(X

tje

é a Transformada de Fourier do sinal x(t).

equação de síntese

equação de análise


(isso não era possível com a Série de Fourier se o sinal não fosse periódico)

Portanto, a Transformada de Fourier é uma função de ω (ou de jω) e, de certa forma, generaliza a Série de Fourier.

É possível mostrar que estas fórmulas são válidas / estas integraisconvergem para uma classe bastante ampla de sinais de duração infinita.


Por outro lado, as Transformadas de Fourier, de certa forma, particularizam as Transformadas de Laplace X(s), pois fazendo-se

s = 0 + jωobtém-se X(jω) que são as Transformadas de Fourier.

Exemplo 8.1

0a,)t(u)t(x 1

ta >⋅= −e

∞

∞

ω+−

⋅ω⋅−−

ω+−=

=⋅⋅=ω

0

0

t)ja(

tjat

)ja(

1

dt)j(X

e

ee


e portanto a Transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

0a,)ja(

1)j(X >

ω+=ω

22a

1)j(X

ω+=ω

Como a Transformada de Fourier tem valores complexos, para expressá-la através de um gráfico é necessário decompor em diagrama de módulo |X(jω)|, e diagrama de

fase ∠ X(jω).


diagrama de módulo |X(jω)|

ω−=ω∠a

tgarc)j(Xdiagrama de fase ∠ X(jω).


Exemplo 8.2

0a,)t(xta >= −

e


)a(

1

)a(

1

)ja(

1

)ja(

1

dtdt

dt)j(X

0

0

0

0

0

t)ja(t)ja(

tjtatjta

tjta

ω++

ω−=

ω+−+⋅

ω−=

=⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅=ω

∞

∞−

∞

∞−

∞

ω+−ω−

⋅ω⋅−−⋅ω⋅−

⋅ω⋅−−

ee

eeee

ee

)a(

a2)j(X

22 ω−=ω


Note que esta Transformada de Fourier X(jω) não tem valores complexos, i.e., X(jω) ∈R. Logo, é possível traçar o gráfico de X(jω) x ω que não é possível nos

casos em que X(jω) é complexo.


)a(

a2)j(X

22 ω−=ω

Mas nada impede que também sejam traçados o diagrama de módulo|X(jω)| e o diagrama defase ∠ X(jω), como faremos a seguir.

)a(

a2)j(X

22 ω−=ω



>ω−<ω

<ω<−π−=ω∠

aouase,0

aase,)j(X

diagrama de fase ∠ X(jω)


Exemplo 8.3

>

<=

atse,0

atse,1)t(x


( )jaja

a

a

t)j(

j

j

1

)j(

1

dt1)j(Xa

a

t

ω−ω

−

ω−

⋅ω⋅−

−⋅ω

=

⋅ω

−=

=⋅⋅=ω −

ee

e

e

ωω

=ω)a(sen2

)j(X


Novamente, esta Transformada de Fourier X(jω) ∈R então é possível

traçar o gráfico de X(jω) x ω que não é possível nos casos em que X(jω) é complexo.

ωω

=ω)a(sen2

)j(X


Note que para ω = 0 o valor de X(jω) = X(j0) = 2a pois

a)a(sen

lim0

=ω

ω→ω

Mas nada impede que também sejam traçados o diagrama de módulo |X(jω)| e o diagrama de fase∠ X(jω), como faremos a seguir.

<ωπ−

>ω=ω∠

0)j(X

0)j(X0)j(X

se

se



Transformadas de Fourier para sinais periódicos

logo, se:

toj

tj

tj

d)(u

d)(u22

1)t(x

oo

oo

ω

⋅ω⋅

⋅ω⋅

=

=ω⋅⋅ω−ω=

=ω⋅⋅ω−ω⋅π⋅π

=

∞

∞−

∞

∞−

e

e

e

Note que se :)(u2)j(X oo ω−ω⋅π=ω

∞

−∞=

ω−ω⋅⋅π=ωk

ook )k(uc2)j(X

então

∞

−∞=

ω−ω⋅⋅π=ωk

ook )k(uc2)j(X

x(t) então será:

∞

−∞=

ω⋅=k

t

kokj

c)t(x e

que é a Série de Fourier exponencial para sinais periódicos.


∞

−∞=

ω−ω⋅⋅π=ωk

ook )k(uc2)j(X

Portanto, a Transformada de Fourier para os sinais periódicos é


ondeck’s = os coeficientes da Série de Fourier exponencial.

também chamada de “cadeia de impulsos” (“train of impulses”)

Exemplo de uma “cadeia de impulsos” (“train of impulses”)

Exemplo 8.4

x(t) = sen(ωot)

Neste caso os coeficientes ck’s da série exponencial de Fourier são:

)(uj

)(uj

)j(X oooo ω+ω⋅π−ω−ω⋅π=ω


{ } −∉ 1,1kse

−= 1kse

= 1ksej2

1c1 =

j2

1c 1 −=−

0ck =

e a Transformada de Fourier (“cadeia de impulsos” ou “train of impulses”) neste caso é:

A Transformada de Fourier deste sinal x(t) (“cadeia de impulsos” ou “train of impulses”)


Esta cadeia tem apenas 2 impulsos.

Exemplo 8.5x(t) = cos(ωot)

Neste caso os coeficientes ck’s da série exponencial de Fourier são:

= 1kse2

1c1 =

−= 1kse2

1c 1 =−

{ } −∉ 1,1kse 0ck =

e a Transformada de Fourier (“cadeia de impulsos” ou “train of impulses”) neste caso é:

)(u)(u)j(X oooo ω−ω⋅π+ω+ω⋅π=ω


A Transformada de Fourier do sinal x(t) (“cadeia de impulsos” ou “train of impulses”)


Esta cadeia tem apenas 2 impulsos.

Exemplo 8.6 Considere o sinal x(t) do exemplo 7.1, capítulo 7(onda quadrada).

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1

)t(x

que após ser repetido (ou estendido) para a direita de t = 1 e para esquerda

de t = –1, nos dá um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ), ilustrado abaixo


Este sinal tem frequência natural

π=π=ωT

2o

os coeficientes ck’s da Série de Fourier complexa (ou exponencial) são:

±±±=π−

±±=

=...,5,3,1kse,j

k

2

...,4,2,0kse,0

ck


(ver exemplo 7.2

do capítulo 7)

Logo a Transformada de Fourier deste sinal x(t) será dada por

±±±=

±±±=

∞

−∞=

π−ω⋅

−=

=π−ω⋅

π−⋅π=

=ω−ω⋅⋅π=ω

K

K

,5,3,1k

o

,5,3,1k

o

k

ook

)k(ujk

4

)k(ujk

22

)k(uc2)j(X


Note que X(jω) é uma “cadeia de impulsos” (ou “train of impulses”) complexos com áreas:

K,5

j4,

3

j4,j4

±±±localizadas em

K,5,3, π±π±π±=ω diagrama de módulo |X(jω)|


Exemplo 8.7

<<

<=

2

Ttase,0

atse,1

)t(x

T

a2co = 0k,

k

)ak(senc o

k ≠πω

=

e, os coeficientes ck’s da Série de Fourier para este sinal periódico é


∞

∞

≠−∞=

−∞=ω−ω⋅γ=

ω−ω⋅ω⋅+⋅⋅π=ω

k

)k(u

)k(uk

)ak(sen2)a(u

T

a22)j(X

ook

0kk

ooo

o

≠ω⋅

=π

=γ0kse

k

)ak(sen2

0kseT

a4

o

k

onde:

Logo, a Transformada de Fourier X(jω) deste sinal periódico x(t) é uma “cadeia de impulsos” (ou “train of impulses”)


etc.

No caso (T = 4a), ωo = π/2, e os valores dos ck’s e dos γk’s são:

2

1co =

0cc 22 == −

π== −

1cc 11

π−== −

3

1cc 33

π−== −

5

1cc 55

0cc 66 == −

0cc 44 == −

M M

π=γo

211 =γ=γ −

022 =γ=γ −

3

233 −=γ=γ −

044 =γ=γ −

5

255 −=γ=γ −

066 =γ=γ −


A transformada de Fourierdo sinal x(t)


“cadeia de impulsos” (“train of impulses”)

A transformada de Fourier do sinal x(t)


“cadeia de impulsos” (“train of impulses”)

Propriedades da Transformada de Fourier para sinais contínuos

Linearidade:

{ } { } { })t(x)t(x)t(x)t(x 2121 FFF ⋅β+⋅α=β+α

Translação no tempo (“time shifting”)

{ } { })t(x)tt(x otjo FF ⋅=− ω−

e

O módulo do sinal transladado não se altera pela translação. Somente a fase.

Ou seja, escrevendo-se a Transformada de Fourier de x(t) na forma polar (módulo e ângulo):

{ } )j(X)j(X)j(X)t(x

ω∠⋅ω=ω= eF


temos que a Transformada de Fourier de x(t – to) pode ser expressa como:

{ }[ ]ot)j(X(j

otj

)j(X

)j(X)tt(x o

ω−ω∠

ω−

⋅ω=

=ω⋅=−

e

eF

Uma translação ou shift (de to) no sinal x(t)

uma translação ou shift (de ωto)

na transformada X(jω) deste sinal.


Exemplo 8.8:

Este sinal pode ser reescrito como a soma de dois sinais:


transladados de 2,5 unidades para direita, ou seja, x1(t–2,5) e x2(t–2,5),isto é,

x(t) = x1(t–2,5) + x2(t–2,5)

Como as Transformadas de Fourier de x1(t) e de x2(t) são

respectivamente X1(jω) e X2(jω):

ω

ω

=ω 2sen

)j(X1 ω

ω

=ω 2

3sen2

)j(X2

e

então, usando as propriedades da linearidade e da translação (time shifting) temos que:

ω

ω+

ω

⋅=ωω− 2

3sen2

2sen

)j(X 2

5j

e


Conjugação:

Outras Propriedades da Transformada de Fourier

{ } )j(X)t(*x ω−= ∗F

Logo, se x(t) ∈ R, então

)j(X)j(X ω−=ω ∗

{ } { } { })j(XIm)j(XRe)j(X)t(x ω+ω=ω=F

então, como x(t) ∈ R, temos que

{ } { })j(XRe)j(XRe ω−=ω

{ } { })j(XIm)j(XIm ω−−=ω

a parte real de X(jω) é par

a parte imaginária de X(jω) é ímpar

Se a Transformada de Fourier de x(t) é expressa na forma cartesiana (parte real e parte imaginária)


Entretanto, se a Transformada de Fourier de x(t) é expressa na forma polar (módulo e ângulo):

{ } )j(Xe)j(X)j(X)t(x ω∠⋅ω=ω=F

o módulo de X(jω) é par

a fase de X(jω) é ímpar

)j(X)j(X ω−=ω ∗

)j(X)j(X ω−∠−=ω∠ ∗

Logo, se x(t) ∈ R, então só é necessário calcular a Transformada de Fourier, para frequências

0>ω tanto no caso de módulo e fase.

( ))j(Xe)j(X ω∠ω

como no caso de parte real e parte imaginária

{ } { }( ))j(XIme)j(XRe ω−ω−


pois estes valores para frequências negativas ω < 0 podem ser determinados usando as relações acima.

Outro detalhe:


Se x(t) ∈ R é um sinal par ( x(t) = x(–t) )

X(jω) é um imaginário puro, isto é, X(jω) ∈ eixo imaginário, e

(a Transformada de Fourier é uma função real e par).

Se x(t) ∈ R é um sinal ímpar ( x(t) = –x(–t) )

X(jω) = X(–jω), isto é, X(jω) é par

X(jω) ∈ R, isto é, X(jω) ∈ eixo real

X(jω) = –X(–jω), isto é, X(jω) é ímpar

Finalmente, a decomposição de um sinal x(t) em parte par Ev(X(jω) e

ímpar Od(X(jω).

{ }{ } { }{ } { })j(XRe)t(xRe)t(xEv ω== FF

{ }{ } { }{ } { })j(XImj)t(xImj)t(xOd ω⋅=⋅= FF

Exemplo 8.9

0a,e)t(xta

>−=

Pelo resultado do Exemplo 8.1 sabemos que:

{ } ( )ω+=⋅

ja

1)t(u)t(x 1F


e como

<

>=

−

0t

0t)t(x

se

se

ta

ta

e

e

podemos escrever que:

{ })t(uEv2

2

)t(u)t(u2

)t(u)t(u)t(x

1

11

t

11

t

ta

taa

taa

⋅⋅=

=

−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=

−

−

−

e

ee

ee

Agora, usando resultado acima (para as funções pares), temos que:

{ }{ } ( )

ω+=⋅−

ja

1Re)t(uEv 1

taeF


logo,

{ }{ }

( )

( )22

1

a

a2

ja

1Re2

)t(uEv2)j(Xta

ω+=

=

ω+⋅=

=⋅⋅=ω −eF

que foi o resultado obtido no Exemplo 8.2.


Derivadas

{ })t(xj)t(dt

dxFF ⋅ω=

Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes.

{ })t(xdt

xd 2

2

2

FF ⋅ω−=

Integral

{ } { } )(u)0(X)t(xj

1d)(x o

t

ωπ+⋅ω

=ττ ∞−FF


Por exemplo, no caso da segunda derivada,

Exemplo 8.10

A Transformada de Fourier do impulso unitário uo(t)

{ } dt)t(u)t(utj

oo

ω−⋅= ∞

∞−eF

e usando a propriedade da integral para o impulso unitário uo(t), isto é,

β<<α=−⋅β

αa),a(xdt)at(u)t(x o

obtemos que:

{ } 1)t(u0

t

ot

j ===

ω−eF

Ou seja, a Transformada de Fourier do impulso unitário uo(t) é igual a 1.


Exemplo 8.11

Considere o sinal x(t) degrau unitário u1(t):x(t) = u1(t)

∞−ττ=

t

o d)(u)t(x

Como

e, como { } 1)t(uo =F

)(u1j

1)j(X o ω⋅⋅π+

ω=ω

ou seja, a Transformada de Fourier do degrau unitário u1(t) é

{ } )(uj

1)t(u o1 ω⋅π+

ω=F


então, usando a propriedade da integral para a Transformada de Fourier, temos que

Por outro lado, como

usando a propriedade da derivada para a Transformada de Fourier, temos que

)t(dt

du)t(u 1

o =

{ } { }

ω⋅ω⋅π⋅+=

=

ω⋅π+

ω⋅ω=

=⋅ω=

)(uj1

)(uj

1j

)t(uj)t(u

o

o

1o FF

Entretanto, sabemos que uo(ω) = 0, ∀ ω ≠ 0 e isso implica que:

ω∀=ω⋅ω ,0)(uoe portanto:

{ } 1)t(u o =F


Escalonamento no tempo (“time scaling”):

{ }

αω⋅

α=α j

X1

)t(xF

Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) em torno de t = 0:

{ } )j(X)t(x ω−=−F

Outras Propriedades da Transformada de Fourier


Relação de Parseval:

Suponha que x(t) é um sinal.

dt)t(xE 2

∞

∞−∞ =

pode ser expressa em termos da Transformada de Fourier pela relação de Parseval:

ωω⋅π

== ∞

∞−

∞

∞−d)j(X

2

1dt)t(xE

22


Então, mostra-se que a energia total do sinal

Dualidade:

Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

{ } )j(X)t(x 11 ω=F

{ } )j(X)t(x 22 ω=F

( )t

jX)t(x 12 =ωω=se

então,

( ) ω=⋅π=ωt12 )t(x2jX


Usando o resultado obtido no Exemplo 8.2, se t

)t(f−= e

então:

{ } ( )21

2)t(f)j(F

ω+==ω F

Exemplo 8.12


Logo, se

então, pela propriedade da dualidade:

( )2t1

2)t(g

+=

{ } ω−⋅π==ω e2)t(g)j(G F

t)t(f

−= e

{ } ( )21

2)t(f)j(F

ω+==ω F


Convolução:

( ) ( )ω⋅ω=ω jXjX)j(Y 21

{ } { } { }( ) ( )ω⋅ω=

⋅=∗

jXjX

)t(x)t(x)t(x)t(x

21

2121 FFF

ou seja,

Interpretação da propriedade da Convolução

( ) ( )ω⋅ω=ω jXjH)j(Y


Multiplicação (dual da convolução):

{ } ( ) ( )( )∞

∞−

θ⋅θ−ω⋅⋅θπ

=⋅ djXjX2

1)t(x)t(x 2121F

H(jω) = F {h(t)} = a Transformada de Fourier de h(t), também chamado de “resposta na frequência”.


h(t) [resposta impulsional do sistema]

Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos conhecidos


Felippe de Souza

[email protected]

Obrigado!

Departamento de Engenharia Eletromecânica

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