Transformada Discreta de Fourier (Tdf)

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“AÑO DE L A INVERSION RURAL Y LA SEGURID AD ALIMENTARIA“ UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS E.A.P CONTABILIDAD Y CIENCIAS FINANCIERAS  TEMA: CATEDRA : INFORMATICA CONT ABLE II CATEDRATICO : Ing. HUAMAN QUISPE, Edgar ALUMNO : RAMOS AP ARCO, Neyder SEMESTRE : 2!" # IIC CICLO : I$ FECHA : 2%&'&2!" HUANCAVELICA – PERÚ TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER FT )

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TRANSFORMA

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“AÑO DE LA INVERSION RURAL Y LA SEGURIDAD ALIMENTARIA“

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

E.A.P CONTABILIDAD Y CIENCIAS FINANCIERAS

 TEMA:

CATEDRA : INFORMATICA CONTABLE II

CATEDRATICO  : Ing. HUAMAN QUISPE, Edgar 

ALUMNO  : RAMOS APARCO, Neyder 

SEMESTRE : 2!" # IIC

CICLO : I$

FECHA : 2%&'&2!"

HUANCAVELICA – PERÚ

TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER

FT)

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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)

 A*a+a- de /er 0a *ara*1er13*a de 0a 1ran4-rada de F-5r3er *-n13n5a. A 6ar13r de

a7-ra, 7e- de 1ener en *5en1a 85e 5na 3agen e *ara*1er39a 6-r er 5na

e*5en*3a 43n31a. S3n e+arg-, 0a 1ran4-rada de F-5r3er *-n13n5a, +3en ea 5n3 -

+3d3en3-na0, de e*5en*3a 43n31a ( y 6-r 1an1-, re6reen1a+0e 6-r 5n ner- 43n31-

de /a0-re ), n- -4re*e 5na re6reen1a*3;n e43*3en1e en e0 d-3n3- de 0a 4re*5en*3a. P-r 

1an1-, 7e- de re*5rr3r a 5na n5e/a /er3;n de 0a 1ran4-rada de F-5r3er: Se 1ra1a

de 0a 1ran4-rada d3*re1a de F-5r3er (DFT, de0 3ng0< D3*re1a F-5r3er Tran4-ra).La

DFT re6reen1a a 5na e*5en*3a 43n31a en e0 d-3n3- de 0a 4re*5en*3a *-n 5n ner-

43n31- de /a0-re.

P-r 1an1-, 0a DFT 3r/e *-- a6r-=3a*3;n a 0a 1ran4-rada *-n13n5a y, *-- e /er>

en e0 a6ar1ad- 2.!."., 65ede *a0*50are e43*3en1een1e 6-r ed3- de a0g-r31- FFT.

La re6reen1a*3;n de 5na e?a0 ed3an1e 5 DFT e der3/a de 5 er3e d3*re1a de

F-5r3er ( DFS,de0 3ng0< D3*re1e F-5r3er Ser3e ). Se 1ra1ar> +re/een1e 0a DFS en e0

*a- +3d3en3-na0 (a6ar1ad- 2.!.2.2),ya 85e e1a- 4a*3031ar> 0a *-6ren3;n de 0a

DFT. Per- an1e, /ea- de 4-ra +re/e 0a DFT 6ara e0 *a- 5n3d3en3-na0.

DFT UNIDIMENSIONAL

Par13- de 5na 45n*3;n *-n13n5a 4(=), 85e e d3*re139ada@4() . C-- *-ne*5en*3a

de e1-, -+1ene- 0a 3g53en1e e*5en*3a: 4( ), 4()), 4(2)),........,4(

(N&!)).

C-- 65ede -+er/are, 0a e*5en*3a *-n1a de N5e1ra e6arada 5na*an13dad)

.A,e 65ede e*r3+3r 85e 4()4(-)), *-n ,!,2,.....,N&!.En0a3g53en1e43g5rae

65ede -+er/ar 0a re6reen1a*3;n gr>43*a de 0a 45n*3;n 4() , -+1en3da a 6ar13r de 0a

45n*3;n *-n13n5a 4(=).

F3g5ra 2.!!: M5e1re- de 5na e?a0 *-n13na. De43n3- a *-n13n5a*3;n e0 6ar 85e

*ara*1er39a a 0a 1ran4-rada d3*re1a de F-5r3er:

La e*5en*3a de N  ner- *-60e-  x , ..., x N G! e 1ran4-ra en 0a e*5en*3a

de N  ner- *-60e- X , ..., X N G! ed3an1e 0a DFT *-n 0a 4;r50a:

D-nde 3 e 0a 5n3dad 3ag3nar3a y e 0a N&<3a ra9 de 0a 5n3dad.   (E1a

e=6re3;n e 65ede e*r3+3r 1a+3<n en 1<r3n- de 5na a1r39 DFT *5and- e e*a0a

de 4-ra a6r-63ada e *-n/3er1e en 5na a1r39 5n31ar3a y X k  65ede en1-n*e er 

3n1er6re1ad- *-- 0- *-e43*3en1e de x  en 5na +ae -r1-n-ra0.)

La 1ran4-rada e den-1a a /e*e 6-r e0 +-0- , 3g5a0 85e en

- - .

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La transfr!a"a #n$%rsa "% F&r#%r "#s'r%ta (IDFT) /3ene dada 6-r 

Una de*r36*3;n 360e de e1a e*5a*3-ne e 85e 0- ner- *-60e-

re6reen1an 0a a60315d y 4ae de d34eren1e *-6-nen1e 3n5-3da0e de 0a e?a0 de

en1rada . La DFT *a0*50a a 6ar13r de , 3en1ra 85e 0a IDFT 5e1ra *;-

*a0*50ar *-- 0a 5a de *-6-nen1e 3n5-3da0e *-n

5na 4re*5en*3a de *3*0- 6-r 5e1ra. E*r3+3end- 0a e*5a*3-ne de e1e -d-,

e1a- 7a*3end- 5n 5- e=1en3/- de 0a4;r50a de E50er  6ara e=6rear 3n5-3de en

1<r3n- de e=6-nen1e *-60ea, 0- *5a0 e 5*7- > en*300- de an3650ar. De0

3- -d-, e*r3+3end- en 4-ra 6-0ar ,   -+1ene- 5na 3n5d-3de de

a60315d y 4ae a 6ar13r de0 ;d50- y arg5en1- *-60e- de ,

re6e*13/aen1e:

d-nde a1an2 e 0a 4-ra +3&arg5en1a0 de 0a 45n*3;n ar*-1angen1e. N;1ee 85e e0

4a*1-r de n-ra039a*3;n 85e 5013603*a a 0a DFT y 0a IDFT (85e -n ! y !N ) y 0- 3gn-

de 0- e=6-nen1e e *-0-*an eraen1e 6-r *-n/en3-, y /aran de6end3end- de 0a

a603*a*3;n. E0 n3*- re85331- 6ara e1e *-n/en3- e 85e 0a DFT y 0a IDFT 1engane=6-nen1e de 3gn- -65e1- y 85e e0 6r-d5*1- de 5 4a*1-re de n-ra039a*3;n ea

!N . Una n-ra039a*3;n de 6ara a+a DFT y IDFT 7a*e 0a 1ran4-rada

5n31ar3a, 0- *5a0 13ene *3er1a /en1aa 1e;r3*a, 6er- 5e0e er > 6r>*13*- a 0a 7-ra

de e4e*15ar -6era*3-ne n5<r3*a *-n e0 -rdenad-r e4e*15ar e0 e*a0ad- de 5na -0a

/e9 (y 5n e*a0ad- 5n31ar3- 5e0e er *-n/en3en1e en -1ra -*a3-ne).

(E0 *-n/en3- de0 3gn- nega13/- en e0 e=6-nen1e 5e0e er ade*5ad- 6-r85e 3gn343*a

85e e 0a a60315d de 5na J4re*5en*3a 6-313/aJ . De 4-ra e853/a0en1e, 0a

DFT e 5e0e *-n3derar *-- 5n 4301r- ada61ad-: *5and- e +5*a 5na 4re*5en*3a de

!, e *-rre0a 0a e?a0 de en1rada *-n 5na 4re*5en*3a de G!.)

En ade0an1e, 0- 1<r3n- Je*5en*3aJ y J/e*1-rJ er>n *-n3derad- e853/a0en1e.

C!*+%t#t&"

La 1ran4-rada d3*re1a de F-5r3er e 5na 1ran4-ra*3;n 03nea0 e 3n/er13+0e.

d-nde C den-1a e0 *5er6- de 0- ner- *-60e-. En -1ra 6a0a+ra, 6ara *ada N  K ,

*5a0853er /e*1-r *-60e- N &d3en3-na0 13ene 5na DFT y 5na IDFT 85e *-n31en 1a+3<n en/e*1-re *-60e- N &d3en3-na0e.

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Ort,na+#"a"

L- /e*1-re 4-ran 5na +ae -r1-g-na0 -+re e0 *5er6- de 0- /e*1-re *-60e- N &

d3en3-na0e:

d-nde e 0a de01a de r-ne*er . E1a *-nd3*3;n de -r1-g-na03dad 65ede er 513039ada 6ara

-+1ener 0a 4;r50a de 0a IDFT a 6ar13r de 0a de43n3*3;n de 0a DFT, y e e853/a0en1e a 0a 6r-63edad

de 5n3*3dad.

Ls t%r%!as "% P+an'-%r%+ . Pars%$a+

S3 X k  y Y k  -n 0a DFT de x n y y n re6e*13/aen1e, en1-n*e e0 1e-rea de

P0an*7ere0 e1a+0e*e 85e:

d-nde e0 a1er3*- den-1a *-n5ga*3;n *-60ea. E0 1e-rea de Pare/a0 e 5n *a- e6e*3a0

de0 1e-rea de P0an*7ere0, y d3*e 85e:

E1- 1e-rea -n 1a+3<n e853/a0en1e a 0a *-nd3*3;n de 5n3*3dad.

P%r#"#'#"a"

S3 0a e=6re3;n 85e de43ne 0a DFT e e/a0a 6ara 1-d- 0- en1er- k  en 05gar de n3*aen1e

6ara , 0a e*5en*3a 3n43n31a re501an1e e 5na e=1en3;n 6er3;d3*a de 0a

DFT, de 6er-d- N.

E1a 6er3-d3*3dad 65ede de-1rare d3re*1aen1e a 6ar13r de 0a de43n3*3;n:

De 4-ra 330ar, e 65ede de-1rar 85e 0a 4;r50a de 0a IDFT 00e/a a 5na e=1en3;n 6er3;d3*a.

T%r%!a "%+ "%s*+a/a!#%nt

M5013603*and- 6-r 5na fase lineal   6ara *5a0853er en1er- m e853/a0e a

5n desplazamiento circular  de 0a a03da : e ree60a9a 6-r , d-nde e0 5+nd3*e

e re631e 6er3;d3*aen1e (6er-d- N). De 4-ra 330ar, 5n de60a9a3en1- *3r*50ar de 0a

en1rada e853/a0e a 5013603*ar 0a a03da 6-r 5na 4ae 03nea0. Ma1e>13*aen1e, 3re6reen1a e0 /e*1-r 0 en1-n*e:

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3

en1-n*e

y

T%r%!a "% +a 'n$+&'#1n '#r'&+ar . t%r%!a "% +a 'rr%+a'#1n'r&/a"a @ed31ar 

E0 1e-rea de 0a *-n/-05*3;n 6ara 0a 1ran4-rada de F-5r3er *-n13n5a y d3*re1a 3nd3*a 85e

5na *-n/-05*3;n de d- e*5en*3a 3n43n31a e 65ede -+1ener *-- 0a 1ran4-rada 3n/era

de0 6r-d5*1- de 0a 1ran4-rada de *ada 5na de e00a. C-n e*5en*3a y 1ran4-rada de

0-ng315d N, 0a *-n/-05*3;n *3r*50ar e de43ne:

E0 ner- en1re 6ar<n1e3 e 6ara 1-d- 0- /a0-re de m e=*e61- a85e00- de 0a

4-ra , d-nde p e 5n en1er- *5a0853era. En e1a 6-3*3-ne /a0e !. P5ede er 

6-r 1an1- ree60a9ad- 6-r 5na 5a 3n43n31a de de01a de r-ne*er . N;1ee 85e e 65eden

e=1ender 0- 031e de m 7a1a 3n43n31-, 3end- 0a e*5en*3a x  e y  de43n3da n50a 45era de

@,N&!:

85e e 0a *-n/-05*3;n de 0a e*5en*3a *-n 0a e*5en*3a 85e e1> e=1end3da

6er3;d3*aen1e y de43n3da:

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Ta+3<n e 65ede de-1rar 85e:

85e e 0a *-rre0a*3;n *r59ada de y

Una e/a05a*3;n d3re*1a de 0a *-n/-05*3;n re853ere -6era*3-ne 6ara 5na e*5en*3a

de en1rada de 0-ng315d N. E0 <1-d- 3nd3re*1-, 5and- 1ran4-rada, 65ede a*ar 6r-/e*7- de

0a 1ran4-rada r>63da de F-5r3er  (FFT), 85e ne*e31a 1an ;0- -6era*3-ne, de

-d- 85e e *-n3g5e 5na e43*3en*3a 5*7- ay-r. Ade>, 0a *-n/-05*3-ne 65eden er 

513039ada 6ara *a0*50ar de 4-ra e43*3en1e DFT ed3an1e e0 a0g-r31- FFT de Rader  y

e0 a0g-r31- FFT de B05e1e3n.

Se 7an *read- -1r- <1-d- 85e 5an 0a *-n/-05*3;n *3r*50ar *-- 6ar1e de 5n 6r-*e-

e43*3en1e 85e -+13ene *-n/-05*3-ne n-ra0e (n- *3r*50are) *-n 5na e*5en*3a -

6-1en*3a0en1e 5*7- > 0arga 85e N. A+- <1-d- e *-n-*en *-- -/er0a6&

a/e y -/er0a6&add.!

D&a+#"a" "%+ t%r%!a "% +a 'n$+&'#1n @ed31ar 

E 6-3+0e de-1rar 85e:

  85e e 0a *-n/-05*3;n *3r*50ar de y .

P+#n!# "% #nt%r*+a'#1n tr#,n!2tr#'a @ed31ar 

E0 6-03n-3- 3n1er6-0ad-r 1r3g-n-<1r3*-

6ara N  6ar,

6ara N  36ar,

d-nde 0- *-e43*3en1e X k  /3enen dad- 6-r 0a DFT de x n an1er3-r, a134a*e 0a 6r-63edad de

3n1er6-0a*3;n 6ara .

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Para N  6ar, /<ae 85e 0a Fre*5en*3a de Ny8531  e anea de 4-ra

e6e*3a0.

E1a 3n1er6-0a*3;n n- e n3*a: e0 a03a3ng 3603*a 85e e 6-dra 5ar N  a *5a0853er 4re*5en*3a

*-60ea 3n5-3da0 (6-r ee60-, *a+3and- 6-r ) 3n 85e e a01ere 0a

6r-63edad de 3n1er6-0a*3;n, 6er- dand- /a0-re diferentes en1re 65n1-. De 1-d- -d-,

e1- 13ene d- 6r-63edade 3n1erean1e. En 6r3er 05gar, *-n31e en 3n5-3de *5ya

4re*5en*3a 13enen 0a agn315de > 6e85e?a 6-3+0e: 0a 3n1er6-0a*3;n e 0331ada en

+anda. Y en eg5nd- 05gar, 3 -n ner- rea0e, en1-n*e e 1a+3<n rea0.

En *-n1ra1e, e0 6-03n-3- de 3n1er6-0a*3;n 1r3g-n-<1r3*a > -+/3- e e0 85e *5y- rang- de

4re*5en*3a /a de a N&! (en 05gar de 1- *-- e 7a /31- 6re/3aen1e),

330ar a 0a 4;r50a de 0a DFT 3n/era. E1a 3n1er6-0a*3;n n- 3n339a 0a 6end3en1e, y en genera0

n- 1-a /a0-re rea0e 6ara 5n rea0 5 5- e 5n err-r *-n.

La DFT &n#tar#a @ed31ar 

O1ra 4-ra de 3n1er6re1ar 0a DFT e d>nd-e *5en1a 85e en 65ede e=6reare *-- 5na a1r39

de $ander-nde:

d-nde

e 5na ra9 de 0a 5n3dad. La 1ran4-rada 3n/era /3ene en1-n*e dada 6-r 0a 3n/era de 0a

a1r39 an1er3-r:

C-n *-n1an1e de n-ra039a*3;n 5n31ar3a , 0a DFT e *-n/3er1e en 5na

1ran4-ra*3;n 5n31ar3a, de43n3da 6-r 5na a1r39 5n31ar3a:

d-nde det()  e e0 de1er3nan1e. D3*7- de1er3nan1e e e0 6r-d5*1- de 0- /a0-re 6r-63-, 85e

3e6re -n - . En 5n e6a*3- /e*1-r3a0 rea0, 5na 1ran4-ra*3;n 5n31ar3a 65ede /ere360een1e *-- 5na r-1a*3;n rg3da de0 31ea de *--rdenada, y 1-da 0a 6r-63edade de

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e1a r-1a*3;n rg3da 65eden 7a00are en 0a DFT 5n31ar3a. La -r1-g-na03dad de 0a DFT e *-n/3er1e

a7-ra en -r1-n-ra03dad.

S3 e de43ne *-- 0a DFT 5n31ar3a de0 /e*1-r en1-n*e

y e0 Te-rea de P0an*7ere0 e e=6rea *--:

S3 /e- 0a DFT 360een1e *-- 5na 1ran4-ra*3;n de *--rdenada 85e 360een1e

e=6rea 0- *-6-nen1e de 5n /e*1-r en 5n n5e/- 31ea de *--rdenada, en1-n*e 0-

an1er3-r e 0a de-1ra*3;n de 85e e0 6r-d5*1- e*a0ar de d- /e*1-re e *-ner/a en 5na

1ran4-ra*3;n 5n31ar3a de 0a DFT. Para e0 *a- e6e*3a0 , e1- 3603*a 85e 0a 0-ng315d

de0 /e*1-r 1a+3<n e an13enee1- e e0 Te-rea de Pare/a0: