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SEL5895 - Introdução ao Processamento Digital de Imagens Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira [email protected] Aula 4 – Transformada de Fourier
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SEL5895 - Introdução ao Processamento Digital de Imagens
Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa [email protected]
Aula 4 – Transformada de Fourier
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Jean Baptiste Joseph Fourier
3
Exemplo: Função Degrau
4
Exemplo: Função Degrau
5
Exemplo: Função Degrau
6
Exemplo: Função Rampa
7
Série de Fourier
frequência fundamental
Valor Médio (DC)
1º harmônico 1º harmônico
Apenas para funções periódicas de frequência fundamental f0
8
Série de FourierApenas para funções periódicas de frequência
fundamental f0
9
Forma Exponencial
Usando-se a fórmula de Euler:
A série de Fourier pode ser escrita na forma:
e jθ = cos(θ )+ jsen(θ )
10
Forma Exponencial
11
Um sinal no domínio do tempo (t) pode ser aproximado através de uma soma de senos e cossenoscom frequências (f1, f2, f3, .......fn)de amplitudes (a1, a2, ...... an)e fases (p1, p2, .....pn)
Curva original no domínio do
tempo
12
y = A cos (ωt+φ0)
ω = 2π/T
T = 1/f
ω = 2πf
y = A cos (2πft+φ0)
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Espectro (Plano das Frequências)
14
Adiantado
Em fase
Atrasado
Fase
15
Espectro
16
Amplitude e Fase
17
Amplitude e Fase
18
frequência fundamental
19
Transformada de FourierPara funções não-periódicas
Considera-se a frequência fundamental f0 com lim → 0
• A medida que f0 diminui, o espaçamento entre osperíodos da função no domínio do tempo aumentam.
• Conseqüentemente, o espaçamento entre osharmônicos da série de Fourier diminui, tendendo àzero (Função contínua no domínio da freqüência).
• A Transformada de Fourier nada mais é do que aSérie de Fourier com f0 de limite → 0, que convergepara uma integral.
20
Transformada de Fourier
21
Seja f(x) uma função contínua de uma variável real x.
A Transformada de Fourier de f(x) é definida por:
ò¥
¥-
-×==Á dxexfuFxf uxj p2)()()}({
E a Transformada Inversa de Fourier é dada por:
ò¥
¥-
- ×==Á dueuFxfuF uxj p21 )()()}({
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Usando-se a fórmula de Euler, o termo exponencial dentro da integral, pode ser colocado na forma:
)2()2cos(2 uxjsenuxe uxj ppp -=-
O que mostra que F(u) é uma soma infinita de senos e cossenos eque cada valor de (u) determina a freqüência de seu correspondentepar (seno-cosseno).
A variável (u) é denominada de Variável de Frequência.
23
A Transformada de Fourier de uma função f(x) real, é complexa:
F(u) = R(u) + jI(u)
A Magnitude de F(u) é chamada de Espectro de Fourier de f(x):
[ ] 2/122 )()()( uIuRuF +=
E o ângulo de fase é dado por: ])()([tan)( 1
uRuIu -=f
O quadrado do Espectro é chamado de Espectro de Potência de f(x) oude Densidade Espectral:
)()()()( 222 uIuRuFuP +==
24
Espectro de FourierAmplitude e Fase
25
Deslocamento no TempoFaseAmplitude e Fase
26
Sua Transformada de Fourier é obtida através da equação:
=-=-= òò¥
¥-
X
dxuxjAdxuxjxfuF0
]2exp[]2exp[)()( pp
)()()(
uXuXsenAXuF
pp
=
27
Espectro de Fourier da função f(x) dada:
)()sen()(
uXuXAXuF
pp
=
Variando-se o valor de (u) na equação, obtém-se as infinitasamplitudes das freqüências que constituem a função f(x).
Função Sinc
Espectro de Fourier da função f(x) dada:
28
29
30
a1,a2,a3... Amplitudes dos
Cossenos
b1,b2,b3... Amplitudes dos
Senos
31
Transformada de Fourier de Funções Discretas
32
A convolução 1-D de duas funções contínuas f(x) e h(x):
ò -=*x
dmmxhxfxhxf0
)()()()(
33
A convolução 1-D de duas funções contínuas f(t) e h(t):
A transformada de Fourier da convolução de duas funções f(t) e h(t):
A propriedade de translação da Transf. de Fourier mostra que:
Substituindo:
34
{ } )()( µHth =Á
35
)()()(*)( uGuFxgxf Û
Convoluçãono domínio do tempo/espaço
Multiplicaçãono domínio da
frequência
36
)()()()( uGuFxgxf *Û
Multiplicaçãono domínio do tempo/espaço
Convoluçãono domínio da
frequência
37
Amostragem QuantizaçãoSinal Analógico
Sinal Digital
38
X
Função contínua
X
Trem de impulsos
39
40
{ }Á
{ }Á
41
{ }Á
42
• A transformada de Fourier de uma função amostradafinita é uma função contínua, periódica e infinita
• No domínio da frequência, o espectro se repete eminfinitos períodos.
• O equivalente do domínio do tempo para essacaracterística é a convolução circular.
43
Qual seria um bom critério para a escolha de Δx?
• O centro da região sobreposta está em:T
uD
=21
Sobre-amostragem
Amostragem crítica
Sub-amostragem
Aliasing
45
“Se um sinal contínuo tem componente espectral de frequência mais alta igual a µmáx , então o sinal original
pode ser amostrado sem aliasing se a taxa de amostragem for maior ou igual a 2µmáx , ou seja, o
período de amostragem ΔT for menor do que 1/ 2µmáx .”
46
47
48
O aliasing cria um sinal “falso”de frequência menor do que o sinal original
49
fsinal = 1,9 kHz → Tsinal = 526 µs
Taxa de amostragem = 500µs → fsampling = 2,0kHz
Sinal Reconstruído = 2,0kHz – 1,9kHz = 100Hz (T=10ms)
50
Como reconstruir o sinal original a partir do sinal digitalizado?
51
• Sinal sem aliasing
• Filtro passa baixa
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Amostragem sem aliasing
Filtro passa baixa
Sinal original
53
Amostragem com aliasing
Filtro passa baixa
Sinal distorcido
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DFT
Transformada Discreta de Fourier
55
Uma função contínua f(x) pode ser digitalizada numa sequência de N amostras separadas de Δx unidades:
}]1[(),........2(),(),({ 0000 xNxfxxfxxfxf D-+D+D+
xD
)()( 0 xxxfxf D+=Para x = 0, 1, 2, .......N-1
f(x) = {f(0), f(1), f(2), .......f(N-1)}
56
xD
• Vimos que a transformada de Fourier de uma funçãoamostrada finita é uma função contínua, periódica einfinita
• Como no domínio da frequência o espectro se repeteem infinitos períodos, o cálculo da DFT é feito em apenasum período.
• O equivalente do domínio do tempo para essacaracterística da periodicidade da DFT é a convoluçãocircular.
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A transformada discreta de Fourier é calculada para o mesmo número de amostras a função original.
58
59
xD
60
xD
O par de Transformadas Discretas de Fourier que se aplica a funçõesamostradas unidimensionais é dado por:
å-
=
-=1
0
]/2exp[)(1)(N
xNuxjxf
NuF p
Para u = 0,1,2,........N-1
å-
=
=1
0
]/2exp[)()(N
uNuxjuFxf p
Para x = 0,1,2,........ N-1
61
Função contínua 1-D amostrada: Função discreta :
å-
=
-=1
0
]/2exp[)(1)(N
xNuxjxf
NuF p
f(0) = 2f(1) = 3f(2) = 4f(3) = 4
62
å-
=
-=1
0
]/2exp[)(1)(N
xNuxjxf
NuF p
25,3]4432[41
)3()2()1()0([41
]0exp[)(41)0(
3
0
=+++=
+++=
= å=
ffff
xfFx
[ ]
[ ]
)2(41
443241
))1(0(4)01(4)0(3241
)23
23(cos4)(cos4)
22(cos32
41
]4432[41
]4/2exp[)(41)1(
2/32/0
3
0
j
jj
jjj
jsenjsenjsen
eeee
xjxfF
jjj
x
+-=
+--=
--+--+-+=
úûù
êëé -+-+-+=
+++=
-=
---
=å
pppppp
p
ppp
41)2( -=F
]2[41)3( jF +-=
63
25,3)0( =F
45
41
42)1(
2/122
=úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ=F
41
41)2(
2/12
=úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ=F
45
41
42)3(
2/122
=úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ=F
64
å-
=
=1
0
]/2exp[)()(N
uNuxjuFxf p
[ ]
225,125,3
41
21
41
41
2125,3
)2(41
41)2(
4125,3
)3()2()1()0(
0exp)()0(3
0
=-=
÷øö
çèæ-÷
øö
çèæ-÷
øö
çèæ-÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ-=
+--+-+=
+++=
=å=
jj
jj
FFFF
uFfu
( )
( ) ( ) ( )[ ]
325,025,3
0501054125,3
23sen
23cos5sencos
2sen
2cos5
4125,3
45
41
4525,3
]4/2exp[)()1(
23
20
3
0
=-=
-++-+++=
úû
ùêë
é÷øö
çèæ ++++÷
øö
çèæ ++=
+++=
=å=
jjj
jjj
eeee
ujuFf
jjj
u
pppppp
p
pp
p
4)3(
4)2(
=
=
f
f
65
As duas representações da função podem ser obtidas umada outra, com o mesmo número de amostras, sendo uma no
domínio do tempo e outra no domínio dafrequência
66
A Transformada de Fourier 2-D de uma função contínua f(x,y) é :
ò ò¥
¥-
+-==Á dxdyvyuxjyxfvuFyxf )(2exp[),(),()},({ p
A Transformada Inversa é dada por:
ò ò¥
¥-
+==Á dudvvyuxjvuFyxfvuF )(2exp[),(),()},({ p
Sendo que (u) e (v) são as variáveis de frequência.
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Seja a função 2-D f(x,y) no domínio do espaço:
ò ò
ò ò
--=
=+-=¥
¥-
X Y
dyvyjdxuxjA
dxdyvyuxjyxfvuF
0 0
]2exp[]2exp[
)(2exp[),(),(
pp
p
A Transformada de Fourier 2-D é dada pela equação:
68
)()sen(
)()sen(),(
vYvY
uXuXAXYvuF
pp
pp
=
Espectro de Fourier Espectro como uma Imagemde Intensidades
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O par de Transformadas Discretas de Fourier de uma função f(x,y)amostrada (M x N), é dado por:
)](2exp[),(1),(1
0
1
0 Nvy
Muxjyxf
MNvuF
M
x
N
y+-= åå
-
=
-
=
p
)](2exp[),(),(1
0
1
0 Nvy
MuxjvuFyxf
M
u
N
v+=åå
-
=
-
=
p
Para u = 0,1,2,........M-1 Para v = 0,1,2,........N-1
Para x = 0,1,2,........ M-1 Para y = 0,1,2,........ N-1
70
Trem de impulsos 2-D
71
72
O número de pixels da imagem da direita foi reduzida em 50% (menor resolução espacial)
Note as interferências de “falsas” frequências
73
74
75
76
O número de pixels da imagem da direita foi reduzida em 50% (menor resolução espacial)
Note o efeito de serrilhamento (jaggies)
77
• Sempre ocorrerá aliasing em imagens digitais• Para reduzir o efeito de aliasing, geralmente usa-se um filtrode suavização (passa-baixa) antes da digitalização• Dessa forma, as altas frequências são atenuadas e o efeito dealiasing também• Deve ser feito ANTES da digitalização• Não existe filtro anti-aliasing “real” que elimine o aliasing apósa digitalização• O que geralmente é feito é uma filtragem passa baixa e umare-amostragem da imagem, mas isso não elimina o aliasing quejá foi gerado na digitalização, apenas suaviza o efeito.• Existem câmeras fotográficas com filtros anti-aliasing reaisembutidos (nas lentes os nos sensores)
78
A imagem da direita foi suavizada por um filtro da média 3 x 3 antes da redução do número de pixels.
O efeito de aliasing foi reduzido, apesar do borramento
79
A imagem da direita foi suavizada por um filtro da média 5 x 5 antes da redução do número de pixels.
O efeito de aliasing foi reduzido, apesar do borramento
80
81
O número de multiplicações e adições complexas necessárias paraimplementar a DFT-1D (Transformada Discreta de FourierUnidimensional) é proporcional a N2
å-
=
-=1
0
]/2exp[)(1)(N
xNuxjxf
NuF p
A decomposição adequada desta equação pode tornar o número demultiplicações e adições proporcional a Nlog2N.
Este procedimento é denominado de algoritmo da TransformadaRápida de Fourier (FFT).
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N N2
(DFT)Nlog2N(FFT)
Vantagem Computacional
(N/log2N)2 4 2 2,00
4 16 8 2,00
8 64 24 2,67
16 256 64 4,00
32 1024 160 6,40
64 4096 384 10,67
128 16384 896 18,29
256 65536 2048 32,00
512 262144 4608 56,89
1024 1048576 10240 102,40
2048 4194304 22528 186,18
4096 16777216 49152 341,33
8192 67108864 106496 630,15
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Se uma máquina gasta 5s para fazer a FFT de um vetor de 8192 pontos, A mesma máquina levará cerca de 600
vezes mais (50 min) para computar a DFT.
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FIM
