Modulo de Matematicas Dr Carlos Montenegro

8/15/2019 Modulo de Matematicas Dr Carlos Montenegro

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MÓDULO:

EDUCACIÓN MATEMÁTICA I

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

PROGRAMA DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

(PED)

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

U N

I V E R

S I D

A D

C E NTR AL D E L

E C U A D O R

F U N D A D A E N 1 6 5

1

Q U I T O

Quito, Diciembre 2010

Autor: Dr. Carlos Montenegro Balseca, MSc.


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Publicación: Universidad Central del Ecuador

Facultad de Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación Programa de Educación a Distancia (PED)

Decano: Dr. Edgar Herrera Montalvo, MSc.

Vicedecano: Lic. Galo Arellano Moscoso, MSc.

Director Educación

Semipresencial: Dr. Marco Quichimbo Galarza, MSc.

Coordinadores: Lic. Gustavo Ullrich, MSc.

Lic. Ismael Escobar, MSc. Lic. Vladimir Cruz

Lic. Myriam Tupiza

Lic. Alexandra Flores

Impreso: SYSTEM GRAPHIC

Jorge Washington Oe4-30 y Av. Amazonas

Telf.: (593) 290 3120 / 254 1470 / 092553760

E-mail: [email protected]

www.systemgraphic.com.ec

MÓDULO: EDUCACIÓN MATEMÁTICA I Autor: Dr. Carlos Montenegro Balseca, MSc.

Quito - Ecuador


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ÍNDICE

PRÓLOGO ................................... ........................................ ....................................... ....... 5

INTRODUCCIÓN .................................. ......................................... ..................................... 6

UNIDAD 1

LÓGICA MATEMÁTICA

OBJETIVO.......................................... ........................................ ....................................... 9

SUMARIO............... ...................................... ..................................... ................................ 9

INTRODUCCIÓN .................................. ......................................... ..................................... 9

LÓGICA MATEMÁTICA......................... .......................................... ..................................... 10

PROPOSICIONES SIMPLES ............................................ ........................................... .......... 10

VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN ...................................... ................................... 10

PRINCIPIOS GENERALES DE LAS PROPOSICIONES...... ........................................... .............. 11

ESTRUCTURA LÓGICA DE LA MATEMÁTICA ......................................... ................................ 11

OPERACIONES CON PROPOSICIONES ...................................... ........................................... 12

PROPOSICIONES COMPUESTAS..................................... ........................................... .......... 13

CONJUNCIÓN (∧) ................................... ........................................... ................................ 13

DISYUNCIÓN (∨) .................................... ........................................... ................................ 14

BIDISYUNClÓN ( ∨ ) ...................................... ......................................... ........................... 15

NEGACIÓN (∼)............................ ......................................... ....................................... ....... 16

CONDICIONAL (→)................................. ........................................... ................................ 16

BICONDICIONAL (↔)..................................... ........................................ ............................ 18

CONJUNCIÓN NEGATIVA (↓) .................................... ......................................... ................. 18

TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS........................................ ................................... 19

1. TAUTOLOGÍAS ................................... ....................................... .................................... 19

2. CONTRADICCIONES.......... ........................................... ........................................... ....... 20

3. INDETERMINACIONES...................................................... ........................................... ... 20

IMPLICACIÓN LÓGICA ....................................... ........................................ ........................ 21

EQUIVALENCIA LÓGICA ................................. ........................................... ......................... 21

PRINCIPALES TAUTOLOGÍAS DE LA LÓGICA .................................... .................................... 22

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES ORDENADAS DE MAYOR A MENOR IMPORTANCIA............ 24

FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES.............. ........................................... 26

LEYES DE DE MORGAN PARA CUANTIFICADORES .......................................... ..................... 27

CIRCUITOS LÓGICOS........ ........................................ ........................................ ................. 32

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN.................................................... ....................................... 34

MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTO.................................................. ............................ 34

MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTO DE CONTRAPOSICIÓN . ................................... ... 37

MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO.............................. 38

MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA: ........................................ ..................................... 39


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2

EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................... ........................................... .............. 43

EVALUACIÓN SUMATIVA ...................................... ........................................... .................. 45

UNIDAD 2

CONJUNTOS

OBJETIVO.......................................... ........................................ ....................................... 46

SUMARIO............... ...................................... ..................................... ................................ 46

INTRODUCCIÓN .................................. ......................................... ..................................... 46

CONJUNTOS....................................... ........................................ ....................................... 47

FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO ......................................... ................................ 47

1. Por Comprensión .................................... .......................................... ............................. 47

2. Por de Extensión, Tabulación o Enumeración .......................................... ......................... 47

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS................................ ....................................... 48

Diagrama de Venn ........................................ ........................................... ......................... 48

Diagrama de Carrol............... ......................................... .......................................... .......... 49

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS............................................ ........................................... 50

1) Relación de Intersecancia .......................................... ........................................... ....... 50

2) Relación de Disyunción .......................................... ............................................ .......... 50

3) Relación de Inclusión ..................................... ............................................ ................. 50

4) Relación de Igualdad...................................... ........................................... .................. 51

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.............................................. ....................................... 52

1) UNIÓN ..................................... ....................................... ......................................... .. 52

2) INTERSECCIÓN.............. ........................................... .......................................... ........ 52

3) DIFERENCIA .................................... ........................................ ................................... 53

4) DIFERENCIA SIMÉTRICA...................................... .......................................... .............. 53

5) COMPLEMENTACIÓN .......................................... ........................................... .............. 53

PRODUCTO CARTESIANO ......................................... ........................................ ................. 53

REPRESENTACIONES DEL PRODUCTO CARTESIANO........................................ ..................... 54

1. Por fórmula ..................................... ........................................ ................................... 54

2. Por tabla ..................................... ........................................ ....................................... 54

3. Por diagrama cartesiano ........................................ ............................................. ......... 54

4. Por diagrama sagital....... ........................................... ........................................... ....... 54

RELACIÓN ENTRE OPERACIONES DE DIFERENTES ALGEBRAS...................................... ......... 54

PRINCIPALES LEYES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS.............................................. 55

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.............................. ........................................... ..................... 58EJERCICIOS GENERALES DE LÓGICA Y DE CONJUNTOS ................................................ ....... 59

ALGUNAS NOTACIONES DE CONJUNTOS...................................... ....................................... 63

EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................ ....................................... .................. 63

EVALUACIÓN SUMATIVA ....................................... ........................................ ..................... 65


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UNIDAD 3

DESIGUALDADES

OBJETIVO......................................................................................................................... 66

SUMARIO.......................................................................................................................... 66

INTRODUCCIÓN ..................................... ........................................ ................................... 66

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.................................. ........................................... ... 66

AXIOMAS DEL CUERPO DE LOS REALES ........................................................................... ... 67

AXIOMAS DE IGUALDAD ....................................... ........................................ ..................... 68

AXIOMAS DE ORDEN ..................................... ......................................... ........................... 68

CONJUNTO DE LOS REALES POSITIVOS (R +)....................................................................... 68

DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MAYOR QUE" (>)................ ........................................... .......... 69

DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MENOR QUE" (


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4

EJEMPLOS DE RELACIONES DE R EN R........................... ........................................... .......... 93

FUNCIONES DE A EN B ...................................... .......................................... ...................... 96

MANERAS DE RECONOCER UNA FUNCIÓN........................................ ................................... 99

DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.............................. ................................ 100

EL ÁLGEBRA DE FUNCIONES ........................................ ............................................ .......... 102

FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS ................................................... 104

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FUNCIONES ...................................... ................................ 107

Ejercicios Propuestos ......................................... ........................................... ..................... 108

EVALUACIÓN SUMATIVA ........................................... ........................................... .............. 108

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA……………………………………………………………………………… 110


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PRÓLOGO

a matemática nace con la Humanidad y desde siempre ha sido base deldesarrollo de la Ciencia en la búsqueda de la resolución de los principales

problemas de las civilizaciones.

Su estructura lógica ha determinado que se convierta en una poderosa

herramienta para la formación del juicio crítico, el orden, la práctica del

método deductivo, el razonamiento y en general la formación del

pensamiento científico. Pero también su aplicación en la resolución de

problemas científicos y tecnológicos a lo largo de la Historia, ha motivado unapresencia prioritaria en el tiempo y en el espacio.

Esta doble faceta de la Matemática como teoría y práctica es una importante

orientación metodológica para su enseñanza: junto con un análisis lógico de sus

contenidos deben existir las necesarias aplicaciones de los mismos.

Por investigaciones realizadas se conoce que esta asignatura presenta uno de

los más altos índices de repeticiones en todos los niveles del sistema Educativoy Ecuatoriano y que muchos estudiantes miran a la matemática con desinterés

e incluso, antipatía; por lo que es necesario agotar todos los esfuerzos que

contribuyan al mejoramiento de su enseñanza – aprendizaje y de su difusión.

La presente obra se orienta a la primera parte de un curso de matemática

indispensable para los futuros profesores de Informática.

Dr. Carlos Montenegro Balseca

L


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INTRODUCCIÓN

Si bien toda las ciencias persiguen una meta común, que es lograr el

conocimiento, difieren en los métodos empleados y en las áreas de la realidadsobre los que se aplica.

El razonamiento matemático se aplica a objetos arbitrarios y sus métodos de

estudios actuales son dos: el método constructivo y el método axiomático.

En el método constructivo, el matemático primero actúa y luego acompaña su

acción con argumentaciones y proposiciones. Por ejemplo para los enteros

positivos 1,2,3,4,…,luego del análisis de varios de ellos concluimos que “Todo

número entero positivo es primo o compuesto”.

En el método opuesto o axiomático se afirma que la matemática consiste en

una serie de axiomas y es consecuencia de los mismos. En este método la

matemática tiene estructuralmente cuatro tipos de enunciados: términos no

definidos, definiciones, axiomas y teoremas. Desde luego que los rasgos

característicos de la matemática son primero su tipo de razonamiento queresponde a esquemas; a diferencia del razonamiento filosófico que se apoya en

las palabras. En segundo lugar a la matemática la caracterizan la abstracción

de lo esencial frente a lo accidental. La abstracción matemática tiene como

características principales: tratar las relaciones cuantitativas y formas

espaciales, desarrollarse en grados crecientes y demostrar las afirmaciones

matemáticas sólo con razonamiento y cálculo sin la experimentación.

Finalmente, otro rasgo de la matemática es la demostración que requiere todo

teorema para que sea definitivamente aceptado.

Sobre el objetivo al enseñar matemática, Dieudonné, sostiene lo siguiente:


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“Porque en resumidas cuentas, ¿Qué finalidad se persigue en las sociedades

modernas con la enseñanza de la Matemática a nuestros alumnos?.

Ciertamente, no es la de hacerles conocer una colección de teoremas sobre lasbisectrices de un triángulo o la sucesión de los números primos de los que no

harán después ningún uso (a menos que se conviertan en matemáticos

profesionales), sino la de enseñarles a ordenar y encadenar sus pensamientos

con arreglo al método que emplea la matemática y porque se reconoce que

este ejercicio desarrolla la claridad del espíritu y el rigor del juicio”

Existen dos consideraciones básicas que a nuestro juicio orientan el campo

educativo:

1) La Matemática no constituye un fin sí misma. No se trata de que todos sean

matemáticos de carrrera.

2) Deben tener igual importancia, tanto el aspecto formal como las

aplicaciones.

Adicionalmente es necesario recordar que los principales objetivos de la

enseñanza de la Matemática que se han distinguido como generalmente

aceptados son aplicación de:

1) Simbolismo matemático.

2) Vocabulario matemático.

3) Automatismos operacionales.

4) Conceptos.

Por otro lado, el desarrollo de la:

1) Capacidad de abstracción.

2) Capacidad de expresión y matematización de situaciones.


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3) Capacidad de resolución de problemas.

4) Capacidad de utilizar el método matemático.

5) Capacidad de demostración.

6) Capacidad de transferencia o aplicación de otras áreas del saber.

El espacio para estas líneas por la naturaleza del módulo, no permite realizar

un análisis más detallado; sin embargo debemos precisar que en cuanto a

métodos activos, el profesor debería usar: métodos de trabajo en grupo sobre

un problema planteado; discusión grupal del profesor frente a sus alumnos;

preparación de temas por grupos de alumnos que los expongan en clases sin

descuidar también el trabajo individual que es muy necesario para el desarrollo

personal, ni el método expositivo por el profesor que ocasionalmente también

es necesario

Para concluir es necesario señalar la importancia de la tarea en clase, porque

no se puede alcanzar un individuo crítico si su forma habitual de trabajo esta

limitada solo a escuchar.


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UNIDAD 1

LÓGICA MATEMÁTICA

OBJETIVO:

Aplicar los principios básicos de la Lógica a la Matemática.

SUMARIO:

Proposiciones simples. Principios. Estructura lógica de la matemática.

Operaciones con preposiciones. Preposiciones compuestas y tipos. Tautologías,contradicciones e indeterminaciones. Implicación y equivalencia lógicas.

Principales Tautologías. Jerarquía de las operaciones. Funciones

proposicionales y cuantificadores. Leyes de De Morgan para cuantificadores.

Circuitos lógicos. Ejercicios propuestos. Prueba de evolución sumativa.

INTRODUCCIÓN:

La Lógica es una herramienta fundamental de la Matemática que determina la

forma en que esta se construye en todas sus ramas, básicamente con cuatro

elementos conceptuales: términos no definidos, definiciones, axiomas y

teoremas.

La Lógica es el lenguaje de la Matemática y por eso no constituye un fin en si

misma. El objetivo central de su estudio no son las tablas de verdad y la

demostración de tautologías complicadas sino la forma en que contribuye a

determinar la estructura del pensamiento matemático


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LÓGICA MATEMÁTICA

La Lógica nos permite determinar cuando un razonamiento es correcto o

incorrecto y si se aplica a la Matemática se denomina Lógica Matemática.

PROPOSICIONES SIMPLES

Son enunciados que pueden ser calificados de verdaderos o de falsos. Las

representamos con letras minúsculas.

Ejemplos de proposiciones simples:

p: 2 es un número natural

q: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

VALOR DE VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN

Se determina mediante la concordancia de lo afirmado con lo que se considera

verdadero o falso.

p: Si el precio de la gasolina sube, entonces sube el costo de la vida.

∨(p) = V

q: Si el actual ritmo de deforestación continúa, entonces próximamente

nuestro país será un desierto.

∨(q) = V

s: Para poder estudiar en la Universidad se requiere haberse graduado de

Bachiller y tener el respaldo económico necesario.

∨(s) = V

r: En la Politécnica se puede estudiar Tecnología o Ingeniería.

∨(r) = V

l: Todo rectángulo es cuadrado.

∨(l) = F


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t: Todo cuadrado es un rectángulo

∨(t) = V

u: Buenos días (No Proposición)

u: x + 1 = 0 (No Proposición)

PRINCIPIOS GENERALES DE LAS PROPOSICIONES

1. Principio de No Contradicción.- Una proposición es solo verdadera o

falsa, no puede tener los dos valores de verdad al mismo tiempo.

2. Principio del Tercero Excluido.- Una proposición puede ser verdadera o

falsa, no existe un tercer valor de verdad, porque la lógica que maneja la

matemática es binaria.

ESTRUCTURA LÓGICA DE LA MATEMÁTICA

La lógica como herramienta esencial para construir el edificio matemático, lo

hace a través de cuatro elementos conceptuales:

1. Términos no definidos:

Son conceptos no expresados a través de otros términos más sencillos, pero

de los cuales todos tenemos una idea similar. Ejemplos: conjunto, número,

punto, recta, plano, relación de pertenencia y otros.

2. Definiciones:

Son proposiciones que dan un significado a un símbolo, expresión,

operación, palabra o términos. Ejemplos: definición de resta, definición de

segmento de recta, definición de número par, entre otros.


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3. Axiomas:

Son proposiciones que se suponen verdaderas y por lo tanto no necesitan

ser demostradas. Por ejemplo: los axiomas de la suma, de la multiplicación,de la igualdad, de orden y otros.

4. Teoremas:

Son proposiciones que deben ser demostradas.

La demostración de las mismas se realiza utilizando las leyes de la lógica

conocidas como métodos de demostración así como definiciones, términos

no definidos y axiomas.

Ejemplos: ∀ a, b ∈ R: (-a) (-b) = ab

∀ a, b, c ∈ R: a + c = b + c → a = b

∀ a, b ∈ R: ba

b

a

b

a−=

−=

−

∀ a, b ∈ R, m, n ∈ Z: a

n

. a

m

= a

n+m

OPERACIONES CON PROPOSICIONES

Se pueden realizar operaciones lógicas con las proposiciones simples.

Analizaremos las más usadas.

1. Conjunción

2. Disyunción

3. Bidisyunción

4. Negación

5. Condicional

6. Bicondicional

7. Conjunción Negativa


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PROPOSICIONES COMPUESTAS

Las proposiciones simples pueden relacionarse con otras mediante las

operaciones lógicas anteriores para formar proposiciones compuestas porejemplo:

P: 2 + 5 = 8 y todo triángulo equilátero es isósceles

P: p y q

Ejemplo de proposiciones compuestas:

P: Si el precio de la gasolina sube, entonces sube el costo de la vida.

Q: Si el actual ritmo de deforestación continúa, entonces próximamente

nuestro país será un desierto.

S: Para poder estudiar en la Universidad se requiere haberse graduado de

Bachiller y tener el respaldo económico necesario.

R: En la Politécnica se puede estudiar Tecnología o Ingeniería.

CONJUNCIÓN (∧)

Definición.- La conjunción de dos proposiciones p y q se representa con ∧, y

es verdadera solo cuando las dos proposiciones son verdaderas.

TABLA DE VALORES DE VERDAD

P q p ∧ q

V V V

V F F

F V F

F F F


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Ejemplo:

Si r: Colón descubrió América ∨(r) = V

Si s: El hombre es mortal ∨(s) = Vr ∧ s ∨(r ∧ s) = V

DISYUNCIÓN (∨)

Definición.- La disyunción es falsa solo cuando las dos proposiciones son

falsas. Se simboliza con la ∨.


P q p ∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F

Ejemplo:

p: Quito es la capital del Ecuador ∨(p) = V

q: 22 ≠ 4 ∨(q) = F

p ∨ q ∨(p ∨ q) = V

Notas:

1. Si no se dice lo contrario una “O” en matemática se interpreta como o

incluyente o disyunción.

2. La o incluyente significa "o lo uno o lo otro o ambos".


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Ejemplo:

∀ a, b e ε R : si a . b = 0 entonces a = 0 o b = 0

BIDISYUNClÓN ( ∨ )

Definición.- La bidisyunción de dos proposiciones se representa con ∨ y es

falsa cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad.


p q p ∨ q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplos:

1) a: L1 ╨ L2 v (a) = V

b: Ll ╨ L2 v (b) = V

v(a ∨ b) = F

2) ∀ a ε R: se cumple una y solo una de las siguientes

afirmaciones:

i. a > 0 o

ii. a = 0 o

iii. a < 0


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NEGACIÓN (∼)

Definición.- Dada una proposición p la negación de p es la proposición que

se obtiene al cambiar el valor de verdad de p.

La negación ∼ se lee: “no” o también “es falso que”.


p ∼p

V F

F V

Ejemplo:

V p)( v42- : p

F(p)v 42- : p si

=∼≠∼

==

CONDICIONAL (→)

Definición.- Dadas las proposiciones p y q en ese orden, se define el

condicional (p → q) mediante la proposición compuesta (∼ p ∨ q).


P q p → q

V V V

V F FF V V

F F V


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Observaciones:

1. La proposición p → q es falsa solamente cuando se tiene una p verdadera y

q es falsa.2. p → q no siempre tiene el mismo valor de verdad que q → p.

3. Dado un condicional p → q se pueden obtener los siguientes condicionales:

i. p → q Condicional Directo

ii. q → p Condicional Recíproco

iii. ∼p → ∼q Condicional Contrario

iv. ∼q → ∼p Condicional Contrarecíproco

4. p → q

antecedente consecuente

5. p → q esta expresión se lee:

a. Si p entonces q

b. p implica q

c. p es condición suficiente para q

d. q es condición necesaria para p.

Ejemplos:

1. p: 2 es un número par ∨(p) = V

q: Todo número primo es par ∨(q) = F

p → q ∨(p →q) = F

2. Hallar las condicionales derivadas del siguiente y sus valores de verdad

P: Si x es un triángulo equilátero entonces x es un triángulo isósceles.

p → q ∨(P) = V

Q: Si x es un triángulo isósceles entonces x es un triángulo equilátero.

q → p ∨(Q) = F


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R: Si x no es triángulo equilátero entonces x no es un triángulo isósceles.

∼p → ∼q ∨(R) = F

S: Si x no es triángulo isósceles entonces x no es triángulo equilátero∼q → ∼p ∨(S) = V

BICONDICIONAL (↔)

Definición.- El bicondicional de dos proposiciones p y q se representa p ↔ q

y es verdadero o cuando tienen el mismo valor de verdad.


P Q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

Notas:1. p ↔ q se lee: p si solo q

2. p ↔ q es equivalente p → q ∧ q → p

Ejemplo: p: 23 = 8 ∨(p) = V

q: log3 81 = 4 ∨(q) = V

p ↔ q ∨(p ↔q) = V

CONJUNCIÓN NEGATIVA (↓)

Definición.- La conjunción negativa de dos proposiciones p y q es verdadera

solo cuando las dos proposiciones son falsas.


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p q p ↓ q

V V F V F F

F V F

F F V

Ejemplo:

p: 25 = 5 ∨(p) = V

q: 0º = 1 ∨(q) = Fp ↓ q ∨(p ↓ q) = F

TIPOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Recordemos que una proposición compuesta resulta de la combinación de

proposiciones simples y operaciones lógicas. Existen tres tipos básicos de

proposiciones compuestas.

1. Tautologías

2. Contradicciones

3. Indeterminaciones

1.- TAUTOLOGÍAS.- Se llaman también leyes lógicas y se consideran como

tales si son siempre verdaderas independientemente del valor de verdad de las

proposiciones simples que las componen.


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Ejemplo: P: (p → q) ↔ (∼p∨q)

(p → q) ↔ (∼ p ∨ q)

V V V V F V V V

V F F V F V F F

F V V V V F V V

F V F V V F V F

1 2 1 4 2 1 3 1

P es una tautología.

2. CONTRADICCIONES.- Son proposiciones cuyo valor de verdad es siempre

falso.

Ejemplo: Q: ∼(∼ p ∨ p).

∼ (∼ p ∨ p)

F F V V V

F V F V F

4 2 1 3 1

Q es una contradicción.

3. INDETERMINACIONES.- Son proposiciones compuestas que no sontautologías ni contradicciones.


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IMPLICACIÓN LÓGICA

Se dice que una proposición P implica lógicamente a una proposición Q y se

representa así: P⇒

Q si el condicional P → Q es una tautología.

EQUIVALENCIA LÓGICA

Una proposición P es lógicamente equivalente a una proposición Q y se

representa así: P ⇒ Q, si el bicondicional P ↔Q es una tautología.

Ejemplo:

P: p → q

P ↔ Q es una tautología, por consiguiente P ≡Q

Q: ∼p∨q

Ejemplo: Demostrar que p ↓ q ≡ ∼ p ∧ ∼ q

P ↓ q ↔ ∼ p ∧ ∼ q

V F V V F V F F V

V F F V F V F V F

F F V V V F F F V

F V F V V F V V F

1 3 1 4 2 1 3 2 1


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PRINCIPALES TAUTOLOGÍAS DE LA LÓGICA

1) EQUIVALENCIA:

p ≡ p

2) IDEMPOTENCIA:

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

3) ASOCIATIVAS:

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

4) CONMUTATIVAS:

p ∧ q ≡ q ∧ pp ∨ q ≡ q ∨ p

5) DISTRIBUTIVAS:

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

6) IDENTIDAD:

p ∧ F ≡ F

p ∨ F ≡ p

p ∧ V ≡ p

p ∨ V ≡ V


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7) COMPLEMENTO:

p → p ≡ V

p ∨ ∼p ≡ V∼(∼p) ≡ p

∼ V ≡ F

∼F = V

8) DE MORGAN:

∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q

9) ABSORCIÓN:

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

10) CONDICIONAL:

p → q ≡ ∼p ∨ q

p → q ≡ ∼q → ∼p

11) BICONDICIONAL:

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

12) CONJUNCIÓN NEGATIVA:

p ↓ q ≡ ∼p ∧ ∼q

p ↓ q ≡ ∼(p ∨ q)


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13) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:

p ∨ q ≡ (p ∨ q) ∧ ∼(p ∧ q)

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES ORDENADAS DE MAYOR A MENOR

IMPORTANCIA

1. Negación: ∼

2. Conjunción: ∧

3. Disyunción: ∨

4. Bidisyunción: ∨

5. Conjunción Negativa: ↓

6. Condicional: →

7. Bicondicional: ↔

NOTAS:

1) Si hay dos operadores iguales se procede de izquierda a derecha.

2) No existe una sola forma de simplificar una expresión lógica.3)Los paréntesis destruyen la jerarquía porque señalan una operación que

debe realizarse primero.

EJERCICIOS:

1. Dada la siguiente proposición:

Si x² es múltiplo de 8 y r es un número primo, o es falso que x2 no es múltiplo

de 8; entonces x² es múltiplo de 8.

a) Expresarla simbólicamente.

b) Simplificarla justificando debidamente.


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c) Dar una proposición equivalente.

a) p ∧ q ∨ ∼∼ p → p

b) [(p ∧ q) ∨ ∼∼p] → p ≡ [(p ∧ q) ∨ p] → p Complemento y jerarquía de lasoperaciones.

≡ p → p Absorción

≡ V

c) Si x2 es múltiplo de 8 entonces x2 es múltiplo de 8.

II. Demostrar analíticamente que: ∼[(∼p∨q) ∧ ∼ (r ∧ ∼q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q]

es una contradicción.

≡ ∼[(∼p∨q) ∧ ∼ (r ∧∼q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q]

≡ [∼(∼p∨q) ∨ ∼(∼r ∨ q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q] De Morgan

≡ [(p∧∼q) ∨ (r ∧ ∼q)] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q] De Morgan

≡ [(p∨r) ∧ ∼q] ∨ ∼[(p ∨ r) ∧ ∼q] Recolectiva

≡ Q ∨ ∼Q

≡ F

III. Sean P: ∼ [(p ∨ q) → p]

Q: (p ↓ q) → ∼q

Demostrar que P → Q es una tautología.

P → Q ≡ ∼ [(p ∨ q) → p] → [(p ↓ q) → ∼q]

≡ [(p ∨ q) → p] ∨ [(p ↓ q) → ∼q] Condicional

≡ [∼(p ∨ q) ∨ p] ∨ [∼(∼p ∧ ∼q) ∨ ∼q] Condicional, Conjunción (∼)

≡ [(∼p ∧ ∼q) ∨ p] ∨ [(p ∨ q) ∨ ∼q] De Morgan

≡ [(∼p ∨ p) ∧ (∼q ∨ p)] ∨ [p ∨ (q ∨ ∼q)] Distributiva

≡ [V ∧ (∼q ∨ p)] ∨ [p ∨ V] Complemento

≡ (∼q ∨ p) ∨ V Identidad

≡ V Identidad


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26

IV. Determinar en que casos es verdadera la proposición siguiente:

(∼p → q) ∨ r → ∼(p ↓q) si se conoce que r: “2 + 5 > 7”.

≡ (∼p → q) ∨ F → ∼ (p ↓ q) Reemplazo≡ (p ∨ q) → ∼ (∼p ∧ ∼q) Condicional, Identidad, Disyunc. Exclus.

≡ ∼(p ∨ q) ∨ (p ∨ q) Complemento

≡ V

Respuesta: para cualquier valor de verdad de p y q.

FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES

Funciones Proposicionales en un conjunto A.- Son expresiones que

contienen una o más variables, las cuales toman sus valores del conjunto A. A

las funciones proposicionales suelen llamárselas también oraciones abiertas o

condiciones.

Ejemplo:

Px: x-3 = 0 A = Z = {enteros}

Nota 1: Una función proposicional no es ni verdadera ni falsa.

P3: 3-3 = 0 V

P1: 1-3 = 0 F

Otros ejemplos:

0|12||3:|

52:

12:

2²²:

,,

,

,

≤−+−

=+−

+=

=−

x xt

z y xs

x yr

y xq

x

z y x

y x

y x


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27

Nota 2: Si el conjunto A de referencia llamado también universo de la variable

no aparece escrito expresamente, se sobreentiende que es el conjunto de los

números reales.

Cuantificadores.- Son expresiones que limitan el alcance de la o las variables

de una función proposicional y por lo tanto la transforman en una proposición.

Analizaremos dos tipos de cuantificadores:

1. Cuantificador Universal

2. Cuantificador Existencial

1. Cuantificador Universal.- Se lee “para todo” “∀”

2. Cuantificador Existencial.- Se lee "existe al menos un valor de” “∃”

Px: 2x + 8

∀x∈Z: 2x+8=6 F ∃ x ∈ Z: 2x+8=6 V

∀x∈Z: Px F ∃x∈ Z: Px V

También existe:

"una y solo una" "∃!"

"ningún x" "Иx"

tx: ∃x∈Z: x²+5x+6 = 0 V

sx: ∃ ! x ∈ Z: x² + 5x + 6 = 0 F

LEYES DE DE MORGAN PARA CUANTIFICADORES

1. ∼(∀x∈ A, Px) ≡ ∃x∈ A, ∼(Px)

2. ∼(∃x∈ A, Px) ≡ ∀x∈ A, ∼(Px)


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28

EJERCICIOS

I. Expresar mediante el uso de cuantificadores y funciones proposicionales.

a) Todo hombre honesto lucha por romper las cadenas de la enajenación.b) Toda educación tiene una ideología de clase.

c) Algunos hombres impiden la superación histórica.

a) A = {hombres honestos}

PX: x lucha por romper las cadenas de la enajenación.

∀x∈ A, Px

b) A={educaciones}

Px: x tiene una ideología de clase

∀x∈ A, Px

c) A={hombres}

Px: x impiden la superación histórica

∃x∈ A, Px

II. Demostrar que:

∃x∈{7,8,4}, x3 + 7x -1 < 5 ⇒ ∀x∈R, (x+3)2 = x²+9

F → F

V

III. a) Sea Px una función proposicional sobre A. Hallar todas las

proposiciones que se puede obtener cuantificando, bien sea a Px o ∼Px

1. ∀x∈ A, Px

2. ∃x∈ A, Px

3. ∀x∈ A, ∼Px

4. ∃x∈ A, ∼Px


31/112

29

b) Sea Px: “x-7


32/112

30

Negación:

∀x∈R, x²+5x+8 ≠ 0 ∧ [∀x∈N, x+3 ≥ 4 ∨ ∃ x ∈ C, x∈R ]

b) ∼(∃x∈N, x-41→x∈R)] ≡ (∃x∈N, x-41∧ x∉R)]

II. Demostrar si es verdad o no que:

a) ∀x∈R, |x.2x|>1

Contraejemplos:

i) Si x=l/2 : |l/2.21/2|>l ii) Si x = 0 |0.2°| > 1

≡ |1/2. 1,4142| >1 ≡ |0.1| > 1

0,7071 > 1 0 > 1

F F

b) ∀x∈R, ∃ y>l, xy>x

Contraejemplos:

x = -2 y = 5

-2y > -2

-2.5 > -2

-10 > -2

F


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32

CIRCUITOS LÓGICOS

Resultan de la aplicación de la lógica a los circuitos eléctricos. Una proposición

se representa por un interruptor. • p •

Si el interruptor esta cerrado, p es verdadera y pasa corriente como en el

gráfico anterior.

Si el interruptor está abierto, p es falsa y no pasa corriente.

• p •

La operación de conjunción p ∧ q se representa como un circuito en seriep q y la operación de disyunción p ∨ q tiene la

representación de un circuito en paralelo p

q

Las demás operaciones tienen representaciones que utilizan las dos anteriores

por ejemplo: p → q se representa

~p

q

a los circuitos lógicos se los denomina compuertas lógicas.

Ejemplo: representar el siguiente circuito lógico.

Primer paso:

Representar el circuito mediante operaciones lógicas.

]

]

} p q p q p ∧q~ p~ q~ p~

p

q

p q

~

~

~ p ~q

p •


35/112

33

Segundo paso:

Simplificar la expresión resultante mediante el uso de tautologías.

]

]

} p q p q p ∧q~ p~ q~ p~

Llamamosareduceseexpresiónanteriorlay

⎭

∧

∨

q p n

q p m

[ ] [ ]

}

] ]}

[ ] [ ]

}

{ }

p

p V V

p m V V n

p m n n m n m

p m n n m

≡

∧

∧

∧

∧

~

~ ~ ~

~ ~

Tercer paso:

Representamos la expresión simplificada como circuito lógico.

p

El circuito obtenido tiene una función equivalente al circuito original.


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34

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

Se utilizan para demostrar las proposiciones llamadas teoremas las cuales

pueden tener la estructura H → T o P ↔ Q . En el primer caso H es lahipótesis y T es la tesis. El segundo caso tiene dos partes que corresponden a

dos condicionales.

Para demostrar una tesis, enunciado, proposición o teorema existen algunos

métodos que son aplicables en determinada instancia, los métodos que

abordaremos en esta unidad son: método de demostración directo, indirecto o

de contraposición, reducción al absurdo o de contradicción y el método de

inducción matemática.

MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTO: Este método se fundamenta en

una secuencia lógica, donde los datos iniciales que constituyen la hipótesis

(axiomas, definiciones o teoremas ya demostrados) implican que es la tesis.

P1

P2 Definiciones

P3 Axiomas o datos iniciales. Teoremas ya demostrados

.

.

Pn

T

En el método directo partimos, en efecto, de los datos iniciales formando una

serie de implicaciones, cada una de ellas verdaderas; esta secuencia lógicadebe ser una conjunción de esos condicionales para que la tesis final sea

verdadera


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35

P1→ P2

P2→ P3

P3→ P4

. .

. .

. .

Pn-1→ Pn

( ) ( ) ( ) ( )[ ] T T PnPnPPPPPTeoreman

→→∧→∧∧→∧→ −1...3221:

Tomando la forma del silogismo lógico: PONENDO PONENS

p→ q

p

q

EJEMPLOS: Verificar los siguientes enunciados:

1) Si los alumnos estudian matemáticas

HEntonces

Aprobarán esa asignatura

T

H=P1:: “Los alumnos estudian matemática”

P2:: “Los alumnos saben matemática”

P3:: “Los alumnos dan un buen examen”

P4:: “Los alumnos obtienen una buena calificación”

P5=T :: “Los alumnos aprobarán esa asignatura”

Desarrollo de las implicaciones lógicas (Supuestas verdaderas)


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36

: P1→ P2 : : “Si los alumnos estudian matemáticas entonces saben la materia”

P2→ P3 : : “Si los alumnos saben matemáticas entonces rinden un buen examen”

P3→ P4 : : “Si los alumnos rinden un buen examen entonces obtienen una buena

calificación”

P4→ P5 : : “Si los alumnos obtienen una buena nota entonces aprobarán

esa asignatura”

: . T : : “Los alumnos aprobarán esa asignatura”.

2)

Si el pueblo es mayoría

HEntonces

Obtiene un mejor nivel de vida

T

Uno de los desarrollos de las implicaciones lógicas es:

H=P1→ P2 : : “Si el pueblo es mayoría entonces puede organizarse”

P2→ P3 : : “Si el pueblo es organizado entonces ganará las elecciones”

P3→ P4 : : “Si el pueblo gana las elecciones entonces llegará al poder”

P4→ P5 : : “Si el pueblo llega al poder entonces pondrá en vigencia sus

proyectos”

P5→ P6 : : “Si el pueblo pone en vigencia sus proyectos entonces obtiene un

mejor nivel de vida”

: .T=P6 : : “El pueblo obtiene un mejor nivel de vida”

3) Demostrar el siguiente teorema:

Si n es impar entonces n2 es impar

H P.D. T


39/112

37

DEMOSTRACIÓN

PROPOSICIONES: RAZONES:

1) Si n es impar⇒

n=2p+1 ; n∈

Z Definición De numero impar2) Si n =2 p+1⇒ n2 =(2p+1)2 Propiedad de la igualdad

3) Si n2 =(2p+1)2⇒ n2=4p2+4p+1 Binomio elevado al cuadrado

4) Si n2 4p2+4p+1 ⇒

n2=2(2p+2)+1Propiedad recolectiva distributiva

5) Si n2 =2m+1 ;m∈Z ⇒ es imparSustitución, m=(2p+2); Prop

Clausurativa

6) n2 es impar Por pasos del 1 al 5

MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTO DE CONTRAPOSICIÓN: Este

método se fundamenta en una tautología o equivalencia lógica llamada

contraposición o silogismo denominado MODUS TOLLENDO TOLLENS.

MODUS TOLLENDO TOLLENS: CONTRAPOSICIÓN

p → q (p → q)≡ ( ~q→ ~p)

La tabla de valores de verdad de la equivalencia es:

P → q ⇔ ~q → ~p

V V V V F V F

V F F V V F F

F V V V F V V

F V F V V V V

El método de la contraposición en base a esta tautología procede de la

siguiente manera:


40/112

38

Dado el enunciado (p→ q) niega el consecuente para concluir con la negación

del antecedente en forma similar al método directo en una secuencia lógica de

implicaciones.

OBSERVACIONES:

1) Para la demostración formal se acostumbra adjuntar a lado de cada una de

las afirmaciones las razones o justificaciones de cada paso.

2) En el método de contraposición es necesario determinar correctamente el

antecedente (p) y el consecuente(q) y como primer paso procedemos a

negar el consecuente (~q).

MÉTODO INDIRECTO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO: Este método

consiste en suponer que el teorema es falso y caer en una contradicción; por

tanto es verdadera la negación del supuesto así: T ≡ F; ~T ≡ V.

Partimos entonces de la suposición que la negación del enunciado es verdadera

y mediante una secuencia lógica obtenemos lo que se denomina un absurdo o

contradicción, que son proposiciones de la forma r∧

~r que es siempre falsa.

La base lógica de este método es la siguiente tautología

P → q ⇔ [~ (p → q) → (r ∧ ~r)]

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V


41/112

39

MÉTODO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA:

La Inducción Matemática o Inducción Completa es una forma de razonamiento

que puede usarse para demostrar relaciones o proposiciones que dependan deuna variable "n" que solo admite valores enteros. Este método consta de los

tres siguientes pasos:

1. Comprobar que la relación es verdadera para el primer valor admisible de n.

2. Partiendo de la hipótesis que la relación es verdadera para cierto valor de n,

digamos k, demostrar que también es verdadera para n= k+1.

3. Comprobar que la relación es cierta para n= 1 en el paso uno; de los pasos

1 y 2 se sigue que también es cierta para n = 2. Análogamente si la relación

es cierta n = 2, entonces es cierta para n = 3 y así sucesivamente para

todos los valores enteros y positivos de n.

El paso uno y dos son esenciales para la validez de la demostración.

El paso tres es solamente una consecuencia lógica de los pasos uno y dos.

Ejemplo: Comprobar que la suma de los n primeros cuadrados es igual a:

6

)12)(1( ++ nnn

, n ∈ Z+ ≡ 1² + 2² + … + n² = 6)12)(1( ++ nnn

Donde n es cualquier número entero positivo.

1) Sustituyendo n = 1 obtenemos:

1² = 6)112)(11(1 +•+

≡ 1 = 1 V

a) Suponemos que el teorema es verdadero

para n = k: 1²+2²+3²+…+k² = 1/6 k (k+1) (2k+1)


42/112

40

b) Sumamos (k+1)² a ambos miembros.

1² + 2² + … + k² + (k + 1)² =)²1(

6

)12)(1(++

++k

k k k

c) Factoramos el segundo miembro.

1² + 2² + … + (k + 1)² =

[ ][ ]6

1)1(21)1()1( +++++ k k k

d) Pk+1 es verdadera

3) Conclusión: el teorema es verdadero.

Ejemplo:

Demostrar por Inducción que:

Pn: 1)1(1

...4.3

1

3.2

1

2.1

1

+=

+++++

n

n

nn

1) 111

2.1

1:1 +

=P

2

1

2

1=

Pk es V

2) Pk ⇒ Pk +1


43/112

41

a) 1)1(1

...3.2

1

2.1

1

+=

++++

k

k

k k

b) [ ] )2)(1(1

11)1()1(1...

3.21

2.11 ++++=++++++ k k k

k k k

c) )2)(1(12²

)2)(1(

1

)1(

1...

3.2

1

2.1

1

++++

=++

++

+++k k

k k

k k k k

d)

e) Pk + 1 es V

3. Pn es V ∀n ∈ Z+

Ejemplo:

Si a y b son números positivos tales que a>b, entonces a

n

> b

n

.

∀a, b∈R +: ∀n∈Z+: si a>b → an>bn

(H → T)

Pn

1) P1: a>b → a1 > b1

a>b → a>b

V

2) a) ak > bk Pk es verdadera

(Hipótesis de inducción)

b) aak > bbk Multiplicamos por a > b

1

( 1) 1

k

k

+

+ +=


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42

c( ak+1 > bk+1 Exponente entero y positivo

d( Pk+1 es V

3) Conclusión: Pn es V ∀ n ∈ Z+

Ejemplo:

32n – 1 es divisible para 4

∀n∈Z+: 32n-1 es divisible para 4, ≡32n – 1 = 4p, p∈Z

1) 813:2

1 =P 8 es divisible para 4

V

OPERACIONES

2) 1+⇒ k k PP 4 paradivisiblees13:)1(2

1 −+

+k

k P

a)+∈=− Z mmk ,4132 Z p pP

k

k ∈=−≡ +

+ ,413:22

1

b) 13)1(2 −+k 13

)1(2 −= +k ARTIFICIO

c) 893.3 22 +−= k )89(3².313222

−

k k

d) 8)13(322 +−= k

e) 13)1(2−

k 8)4(32 += m

f) 13)1(2−

k )23(4 2 += n

g) Z hhk ∈=−+ ,413 )1(2

h) 13)1(2−

k

es divisible para 4

i)Pk + 1 es verdadera

3) ∀n∈Z+, Pn es V


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43

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) En las siguientes afirmaciones determine cuales son proposiciones y su valor

de verdad.

a) Si 4 – 3 = 1, entonces 2+2=4

b) 2

4

8=

y 3+5=8

c) 9-5

d) No es cierto que 4+6=10 o que

2

5

30=

e) Ni 108

5

4 ni

3

2

9

6=

2) Determine, con tablas de verdad el tipo al que pertenecen las siguientes

proposiciones compuestas.

a) (p↓ q)⇔ ( ~p∧ ~q)

b) (p→ q)⇔ ( q→ p)

c) ~(p∨~q)⇔ p ∨~q)

3) Simplifique:

a) ]} rpp~ qp~ p~ ~ →

b) ] ] ]p~ qq~ p~ q~ qp~ →q q


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44

~p

p

q

~q

p

q

~q

~p

q

~q

~q

p

~p

~q

q

p

q

4) Niegue las siguientes proposiciones:

a) 02: >y x R y R x

b) 0: =b a R b R a

c) x b x R b R x =:!

d) y x y x R y R x −0:

5) Construya el circuito simplificado de cada uno de los siguientes:

a)

b)

6) Explique los diferentes métodos de demostración.

7) Cuando una proposición es una tautología?


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45

p

~q

q

p

p

~p q

p

~p

p

q

EVALUACIÓN SUMATIVA

1) Niegue la siguiente proposición:

Para todo a, b∈

R: Si a b=0 entonces a=0 o b=02) Determine el tipo de proposición compuesta al que pertenece Q.

Q: q p q p q p ~ ~ ↓

−

Utilice tablas de verdad.

3) Simplifique la proposición compuesta P.

]

]p p q p q q p P ~ ~ ~ ~ ~ : ∨

4) Construya el circuito simplificado del siguiente:

5) Cuando una proposición es una contradicción?


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46

UNIDAD 2

CONJUNTOS

OBJETIVO:

Resolver varios tipos de problemas mediante la utilización de la teoría de

conjuntos.

SUMARIO:

Noción de conjunto. Representación. Presentación gráfica de Venn y de Carroll.

Relaciones entre conjuntos. Operaciones. Leyes de las operaciones. Problemas

de aplicación.

INTRODUCCIÓN:

La teoría de conjuntos permite relacionar campos de la matemática queantiguamente se consideraron independientes como el Análisis, la Geometría o

el Álgebra.

En un principio esta teoría no fue aceptada por los matemáticos de la época en

la que su inventor, George Cantor, la propuso. Posteriormente se vio que

relaciona conceptualmente todas las ramas matemáticas, siendo su estudio en

la actualidad un requisito indispensable para abordar aspecto de la matemática.


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47

CONJUNTOS

Noción de Conjunto.- Es una colección, reunión o asociación de elementos.

Notación.- Utilizaremos letras mayúsculas para representar a los conjuntos.

Además los elementos o la propiedad que cumplen irán encerrados entre llaves.

Se lee "el conjunto de todos los, o de todas las"

Ejemplo:

1. A = {dígitos decimales}

2. A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

3. A = {x/x es dígito decimal}

FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO

1. Por Comprensión.- Consiste en señalar la propiedad común que cumplen

los elementos del conjunto mediante una frase.

Los ejemplos 1 y 3 son ejemplos del método de comprensión.

2. Por Extensión, Tabulación o Enumeración.- Consiste en enumerar cada

uno de los elementos que pertenecen al conjunto. El ejemplo 2 corresponde a

este método.

NOTAS:

• La forma por comprensión se utiliza para describir conjuntos grandes y se

describe por extensión a conjuntos no muy numerosos.


50/112

48

• El ejemplo 3 anterior es una variante del método de comprensión y suele

llamarse descripción normal, descripción estándar o fórmula.

• N = {0,1,2,3,...,∞} no es válido porque no pertenece a ningún método, pero

se usa con abuso de lenguaje.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS:

Para representar las relaciones entre conjuntos y posteriormente las

operaciones, frecuentemente se utilizan representaciones gráficas que pueden

ser:

1. Diagrama de Venn

2. Diagrama de Carrol

4.

Diagramas de Venn.- Llamados también de Venn - Euler. Son regiones

cerradas que sirven para representar conjuntos. Ej.: Representar en

diagrama de Venn los siguientes conjuntos.

Sea U = {letras del abecedario} A = {a,b,c,d}

B = {g,h,f,i}

A

U B

Observación: U es el conjunto universo formado por la totalidad de elementos

que participan en una discusión o problema. En el ejemplo anterior U es igual al

conjunto de las letras del abecedario. El conjunto universo generalmente se

representa con las letras U o E.

a b c

d

gh f

i


51/112

49

• Representar los siguientes conjuntos en diagrama de Venn.

C = {cuadriláteros}

T = {trapecios}T’ = {Trapezoides}

P = {Paralelogramos}

R o = {Rombos}

Cu = {Cuadrados}

R e = {Rectángulos}

CT P T’

Ro ReCu

4. Diagramas de Carrol.- Constituyen otra manera de representargráficamente los conjuntos. Utilizan únicamente rectángulos.

Ejemplo:

• Representar los siguientes conjuntos:

H = {Hombres}

M = {Mujeres}G = {Personas que les gusta el fútbol}

NG = {Personas que no les gusta el fútbol}

S = {Personas de la Sierra}

Ns = {Personas que no son de la Sierra}


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50

S Ns

GH

NG G

MNG

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1) Relación de Intersecancia.- Dos conjuntos son intersecantes cuando

tienen por lo menos un elemento común.

U A B

2) Relación de Disyunción.- Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando

no tienen elementos comunes.

U A B

3) Relación de Inclusión.- Un conjunto A está incluido o es un

subconjunto de un conjunto B (A ⊂ B) si todos los elementos del

conjunto A son también elementos del conjunto B.


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51

Distinguiremos dos casos:

• Si A es subconjunto de B (A ⊂ B) y A ≠ B entonces A es subconjunto propio

de B.• Si A es subconjunto de B (A ⊂ B) y A=B la relación se llama de igualdad, y A

se llama subconjunto impropio de B.

B

A es subconjunto propio de B

A A ⊂ B ∧ B ⊄ A

4) Relación de Igualdad.- Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen

los mismos elementos

A es subconjunto impropio de B

A

Si A ⊂ B ∧ B ⊂ A entonces A = B

B

NOTA: Si n es el número de elementos que tiene un conjunto, entonces tiene:

número de elementos número de subconjuntos

0 1

1 2

2 4

3 8

. .

. .

. .

n 2n


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52

- Todo conjunto es subconjunto de si mismo (A ⊂ A).

- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto, inclusive de sí

mismo.- El vacío es subconjunto propio si es subconjunto de otros conjuntos.

- El vacío es subconjunto impropio de sí mismo.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1) UNIÓN: A ∪ B = {x∈U/x∈ A ∨ X ∈ B}

A B A B

B A

B

2) INTERSECCIÓN: A ∩ B = {x∈U/x∈ A ∧ x∈B}

U A B A B

AB

B

A

A


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53

3) DIFERENCIA: A-B = {x ∈U/x∈ A ∧ x∉B}

U A B A B

B A

A

B

4) DIFERENCIA SIMÉTRICA: A Δ B = {x∈U/x∈ A ∨ x∈B}

U A B A B

B A

A

B

5) COMPLEMENTACIÓN: A’ = {x∈U/x∉ A}

U

6) PRODUCTO CARTESIANO

Definición.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, se representa"AxB", y se define de la siguiente forma:

AxB= {(x,y)/x∈ A ∧ y∈B);en donde,

A

A


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54

(x,y) es el par ordenado.x es la primera componente del par ordenado.y es la segunda componente del par ordenado.

REPRESENTACIONES DEL PRODUCTO CARTESIANO

1) Por fórmula:Si C = {-1, 0, 5} y

D = {-1, 0} C x D = {(x, y) / x∈C ∧ y∈D}

2) Por tabla:

x -1 0 5 -1 0 5y -1 0 -1 0 -1 0

3) Por diagrama cartesiano:

y

CxD• • • x• • •

4) Por diagrama sagital:

RELACIÓN ENTRE OPERACIONES DE DIFERENTES ÁLGEBRAS

LÓGICAS CONJUNTOS

∧ ∩

∨ ∪

∨ Δ

→ ⊂

↔ =

∼ ’

C-105

D-1

0


57/112

55

PRINCIPALES LEYES DE LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

1) IDEMPOTENCIA:

A∩ A = A

A∪ A = A

A Δ A = ∅

2) CONMUTATIVAS:

A∩B = B ∩ A

A∪B = B∪ A

A Δ B = B Δ A

3) ASOCIATIVAS:

(A∩B)∩C = A∩(B∩C)(A∪B)∪C = A∪(B∪C)

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

4) DISTRIBUTIVAS:

A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)

A∩(B Δ C) = (A∩B) Δ (A∩C)


58/112

56

5) DE MORGAN:

(A∩B)’ = A’ ∪ B’

(A∪B)’ = A’ ∩ B’

6) COMPLEMENTO:

(A')' = A

Ø’ = U

U’ = Ø

A∩ A' = Ø

A∪ A' = U

A-B = A∩B'

7) IDENTIDAD:

A∩Ø = Ø

A∩U = A

A Δ Ø = A A∪U = U

A∪Ø = A

A Δ U = A'

A Δ B = (A-B) ∪ (B-A)

A Δ B = (A∪B) - (A∩B)

8) ABSORCIÓN:

A∪(A∩B) = A

A∩(A∪B) = A


59/112

57

9) DIFERENCIA:

U-A = A'

A-U = ØØ-A = Ø

A-Ø = A

A-A = Ø

10) OTRAS PROPIEDADES IMPORTANTES:

A⊂B SI B' ⊂ A'

A∩B = A si A⊂ B

A∪B = B si A⊂B

A-B = Ø si A⊂B

A' Δ B'= A Δ B


60/112

58

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Podemos usar la teoría de conjuntos para resolver varios tipos de problemas,

entre ellos los de numerosidad. Por ejemplo el siguiente:

En una encuesta de 100 estudiantes, la cantidad de ellos que cursaban diversas

materias fue la siguiente: Inglés 60, Matemática 40, Química 50, Inglés y

Matemática 30, Inglés y Química 35, Matemática y Química 35, las tres

materias 25.

a) ¿Cuantos estudiantes toman Matemática, pero ninguna de las otras?

b) ¿Cuantos estudiantes cursan Matemática y Química, pero no Inglés?

c) ¿Cuántos estudiantes toman Inglés y Química, pero no Matemática?

d) ¿Cuántos estudiantes reciben a lo sumo una materia?

Solución:

Representemos los datos:

1) Primero los que cursan las tres

materias.

2) Luego los que cursan dos.

3) Finalmente los que cursan una

asignatura.

4) Por último los que no cursan

ninguna, como diferencia entre los

100 (total) y la suma de los tres

conjuntos.

5) Luego resolvemos las preguntas

planteadas.

U

25

I 520

10 25

M

0

10

5Q


61/112

59

a) 0

b) 10

c) 10

d) 50

EJERCICIOS GENERALES DE LÓGICA Y DE CONJUNTOS:

1. Dados los conjuntos:

A = {x∈R/-∞


62/112

60

(F-D’)

D’

F

-∞ 3 6 +∞

[(A’-B)∪C] Δ (F – D’)

F – D’

(A’ – B)U C

-∞ -2 3 6 +∞

SOL: ] [2;6−


63/112

61

2. Represente mediante un diagrama de Venn las relaciones

existentes entre conjuntos A, B y C (conjuntos no vacíos), conociendo:

a) B⊂C; A∩B ≠ ∅; A⊄Cb) B⊂ A; B∩C = ∅; C⊂ A

U A C U A

B B C

3. Simplificar utilizando leyes.

(p→q) ↓ [(∼p→r) → (q∧r)]

≡ (p→q) ↓ [∼(p∨r) ∨ (q∧r)] Condicional

≡ (∼p∨q) ↓ [(∼p∧∼r) ∨ (q∧r)] De Morgan

≡ ∼(∼p∨q) ∧ ∼ [(∼p∧∼r) ∨ (q∧r)] Conjunción Negativa

≡ (p∧∼q) ∧ [∼(∼p∧∼r) ∧ ∼(q∧r)] De Morgan≡ (p∧∼q) ∧ [(p∨r) ∧ (∼q∨∼r)] De Morgan

≡ [p∧(p∨r] ∧ ∼q ∧ ∼(q∧r)] Asociativa

≡ (p∧∼q) ∧ (∼q∨∼r) Absorción

≡ p ∧ [∼q∧(∼q∨∼r)] Asociativa

≡ p∧∼q Absorción

4. Determinar y graficar AxB si:

A = {x/x=2n-l;n∈N


64/112

62

A = {-1,1,3,5,7}

B = {1,9, 25, 49}

AxB = {(-1,1) (-1,9) (-1,25) (-1,49) (1,1) (1,9) (1,25) (1,49) (3,1) (3,9) (3,25)(3,49) (5,1) (5,9) (5,25) (5,49) (7,1) (7,9) (7,25) (7,49)}

A x B

5. Niegue y simplifique la siguiente proposición.

(∀x: ∼px ↓ qx) → (∃x: ∼qx ∨ px)

Primero simplificamos

≡ (∀x: px ∧ ∼qx) → (∃x: ∼qx ∨ px)

≡ ∼(∀x: px ∧ ∼qx) ∨ (∃x: ∼qx ∨ px)

≡ (∃x: ∼px ∨ qx) ∨ (∃x: ∼qx ∨ px)

NEGACIÓN:

(∀x: px ∧ ∼qx) ∧ (∀x: qx ∧ ∼px)

∀x: [(px ∧ ∼qx) ∧ (qx ∧~ px)]

[(px ∧~ px) ∧ (∼qx ∧ qx)

F ∧ F

F

A continuación un ejemplo de aplicación de las leyes de las operaciones:

Simplificar: {[Q∩P)∪P] ∩ (P-Q)}' ∪ {P∪[(Q'∪P) ∩ (Q∪P')]}

{[Q∩P)∪P] ∩ (P-Q)}' ∪ {P∪[(Q'∪P) ∩ (Q∪P')]}

A

B


65/112

63

= {P∩(P∩Q')}' ∪{[P∪(Q'∪P)]∩[P∪(Q∪P')]} Absorción, Diferencia, Distributiva

= {P∩Q'}'∪{[P∪Q'] ∩[U∪Q]} Asociativa, Idemp., Compl.

= {P'∪Q} ∪ {[P∪Q'] ∩ U} De Morgan, Compl. Ident.= {P' ∪ Q} ∪ [P ∪ Q'] Identidad

= (P’ ∪P) ∪ (Q∪Q') Conmutativa, Asociativa

= U ∪ U Complemento

= U Idempotencia

ALGUNAS NOTACIONES DE CONJUNTOS

Conjuntos no ordenados { }

Conjuntos ordenados ( )

Intervalos [ ]

Estructuras algebraicas

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Señale por extensión y comprensión el conjunto de los números naturalesmúltiplos de 6 y menores que 50

2) Dados los conjuntos A={ }12,10,8,6,4 , B={ }9,8,7,5,3 , C={ }11,10,5,7,4 y

U={ }132:


66/112

64

3) Represente en diagrama de Veen

a) (B - C) ∆ (BI A)

b) (C’ – B) ∆ (A’ U C’)

4) Determine los conjuntos A, B y D que cumplan todas las condiciones

siguientes que corresponden todos a un mismo problema.

a) D⊂ AU B y AI B⊂D

b) A ∆ D = { }4,3

c) (AU B) ∆ D ={ }6,5,3

d) (AID) ∆ (BID) = { }4,2,1

e) AI BID ={ }0

5) De 120 personas de una Universidad se obtuvo la siguiente información:

72 alumnos estudian Matemática

64 alumnos estudian Biología

36 alumnos estudian Computación

12 alumnos estudian las 3 materias¿Cuántos estudiantes asisten exclusivamente a 2 materias?.


67/112

65

EVALUACIÓN SUMATIVA

1) Utilice el método de comprensión para describir los siguientes conjuntos:

a) A={ }14,21,28,35,42,49

b) D= ⎭⎩ 261

,17

1,

10

1,

5

1,

2

1

2) Dados los conjuntos A={ }12,10,8,6,4 , B={ }9,8,7,5,3 , C={ }11,10,5,7,4 y

U={ }132/


68/112

66

UNIDAD 3

DESIGUALDADES

OBJETIVO:

Resolver problemas que determinen la resolución de una o más desigualdades.

SUMARIO:

Conjunto de los números reales. Axiomas de cuerpo. Axiomas de la igualdad.

Axiomas de orden. Intervalos. Operaciones con intervalos. Resolución de

inecuaciones. Método abreviado. Problemas de aplicación.

INTRODUCCIÓN:

La interpretación matemática de algún aspecto del mundo físico se denomina

modelo. Los modelos más empleados son lineales, los que se expresan

mediante una ecuación o inecuación lineal o un sistema de ellas. En esta unidad

analizaremos el fundamento y aplicación de las desigualdades

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Definición.- El conjunto de los Números Reales se representa con la letra R;

es un conjunto en el que se han definido dos operaciones: suma y

multiplicación y en el que se supone se cumplen los siguientes axiomas;

1. Axiomas de Cuerpo

2. Axioma de Completez3. Axiomas de Orden

Analizaremos los axiomas mencionados en los grupos 1 y 3.


69/112

67

AXIOMAS DEL CUERPO DE LOS REALES

1) CLAUSURATIVOS:

=∀x,y ∈ R: (x+y)∈R ∧ (x.y)∈R

2) ASOCIATIVOS:

= ∀x,y,z ∈ R: (x+y)+z = x+(y+z)

= ∀x,y,z ∈ R; (x.y).z = x.(y.z)

3) MODULATIVOS:

= ∀x∈R, ∃ ! 0∈R: x+0 = x

= ∀x∈R, ∃! l∈R: x.l = x

4) INVERTIVOS:

= ∀x∈R, ∃! (-x)∈R: x+(-x) = 0

= ∀x∈R, x ≠ 0: ∃! 1/x∈R: x.l/x = 1

5) CONMUTATIVOS:

= ∀ x,y ∈ R, x+y = y+x= ∀x,y ∈ R, x.y = y.x

6) DISTRIBUTIVOS - RECOLECTIVOS:

≡ ∀x,y,Z∈R:

6.1 x(y+z) = xy+xz

6.2 (y+z)x = yx+zx

6.3 xy + xz = x(y+z)

6.4 yx+zx = (y+z)x

6.1 y 6.2 son Distributivos

6.3 y 6.4 son Recolectivos


70/112

68

AXIOMAS DE IGUALDAD

∀x,y,z ∈ R(C)

1) x = x Reflexivo

2) x = y → y = x Simétrico3) x = y ∧ y = z → x = z Transitivo

4) x = y → x + z = y + z Aditivo

5) x = y → x . z = y . z Multiplicativo

Notas:

1. x + 0 = x Axioma Modulativo de la Suma

2. x . l = x Axioma Modulativo de la Multiplicación

3. x . 0 = 0 No es axioma, es teorema

xz = yz → x = y

pero z ≠ 0 Teorema

AXIOMAS DE ORDEN

CONJUNTO DE LOS REALES POSITIVOS (R +)

Definición.- Existe un subconjunto de los Números Reales llamado conjunto

de los Reales Positivos (R +), en el cual se cumplen los dos axiomas siguientes

llamados axiomas de orden.

1. ∀ x, y ∈ R +: (x+y)∈R + ∧ (x.y)∈R + Clausurativo

2. ∀ x∈ R +

: Se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:2.1 x∈ R +

2.2 (-x)∈ R + Axioma de Tricotomía

2.3 x = 0


71/112

69

DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MAYOR QUE" (>)

a>b ↔ (a-b) ∈ R +

DEFINICIÓN DEL SÍMBOLO "MENOR QUE" ( b ∨ a = b

≤ Se lee "menor o igual" a ≤ b ≡ a < b ∨ a = b; en donde:

a es el primer miembro

≤ es el signo de la desigualdad

b es el segundo miembro

ALGUNOS SUBCONJUNTOS DE LOS REALES

Z+

Z { }0

Q Z-

R F

C Q’

I.P.

Z+ = {Enteros Positivos)

Z- = {Enteros Negativos)

Z = {Enteros)

F = {Fraccionarios)

Q = {Racionales)

Q' = {Irracionales}

R = {Reales} IP= {imaginarios puros}

C = {Complejos}

DESIGUALDAD. Es una expresión algebraica de la forma a>b, a


72/112

70

TEOREMA DE DESIGUALDADES

1. a + b > 0 → a > -b

2. ab > l ∧ a > 0 → b >l/a3. –a > -b → a l ∧ a < 0 ↔ b < l/a

INTERVALOS

Son subconjuntos de los números reales.

• Intervalo Abierto.- El intervalo abierto indica que sus extremos o límites

no se considera como parte de la solución; se simboliza por medio de ]a; b[.

]a;b[ = {x/a


73/112

71

Intervalo Semi Abierto.- Está identificado por incluirse solo uno de los 2

extremos.

[a; b[ = {x/a≤x


74/112

72

Ejemplos:

A={x∈R/x-1} = ] -1; + ∞[

-∞ -1 -2 -3 +∞

A = {x∈R/x≥-3} = [-3; +∞[

-∞ -5 -4 -3 +∞

OPERACIONES CON INTERVALOS

Ejemplo:

Sean los Intervalos:

I = [-2;5[ J = ]4;+∞[ K = ]-∞;5[

Hallar: (I Δ K)' y [(I ∩J)-K]


75/112

73

(I ∆ K)’

K

I

-∞ -2 5 +∞

(I Δ K)’ = [-2;+∞[

J

K

I

-∞ -2 4 5 +∞

(I ∩J)-K = ∅

Ejemplo:

L = {x/3≤x


76/112

74

Determinar: (L Δ M)'

(L ∆ M)’

L ∆

M

M

L

-∞ 0 1 2 3 4 6 +∞

(L Δ M)’ = ]-∞; 0 [ ∪ ] 0;1 [∪] 1;2 [∪] 2;3] ∪ {4} ∪ [6; +∞ [

Ejemplo:

Sea A = {x∈N/l


77/112

75

Ejemplo:

A = {x∈N/1

+>+

+>

−++−+

+>−+−−+

x x

x x x x

x x x x


78/112

76

Conjunto Solución = ∅, ya que ningún valor de x cumple la última condición.

Observaciones para resolver inecuaciones:

1. Si la desigualdad contiene ≥0 o ≤0 se incluyen los extremos de los

intervalos, excepto los que hagan división para cero.

Si la desigualdad contiene >0 o


79/112

77

6.1) Si el paso anterior no es posible, analizar el discriminante (b²-4ac).

6.2) Si b²-4ac es negativo (menor que cero) el trinomio es siempre positivo

y puede omitirse en el análisis porque no influye en la respuesta.

6.3) Si b²-4ac es mayor que cero (positivo) se factora el trinomio utilizandola siguiente fórmula: ax²+bx+c = a (x-x1) (x-x2), donde x1 y x2 son las

soluciones de la ecuación de segundo grado ax²+bx+c = 0

6.4) Con el trinomio cuadrático factorado, se aplica el método abreviado.

APLICACIÓN DEL MÉTODO ABREVIADO

Todos los factores de primer grado deben tener sus coeficientes de x positivos

si no es ese caso hay que cambiar previamente de signo.

1. Primero comparar con cero.

2. Factorar el primer miembro.

3. En la recta numérica ubicar los valores que hacen cero a cada factor de

primer grado o de potencia impar

4. La recta numérica queda así dividida en intervalos.

5. Poner signos en los intervalos en forma alternada de derecha a izquierdacomenzando con el signo más.

Ejemplo: Resolver la siguiente inecuación.

0

)43)(17(

)5)(32(0

)43)(17(

)5()32(

0)43)(17(

)5()23(

3

3

≤

+−

−−≡≤

+−

−−

≥+−−−

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Nótese que para el análisis la potencia 3 se toma como la potencia 1 del

factor 2x-3 porque coinciden en signo


80/112

78

-∞ -4/3 1/7 3/2 5 ∞

+ - + - +

Escribir la solución señalando los intervalos apropiados (incluir los extremos si la

desigualdad es de la forma ≥ 0 o ≤ 0 siempre que no den división para cero).

S = ]-4/3;1/7[∪[3/2;5]

VERIFICACIÓN DE LA RESPUESTA:

Para intervalos que cumplen y para los que no cumplen.

x = 0 x = 4

0))((

))((≥

+−−+

V0

))((

))((≥

++−−

V

x = 1 x = 6

0))((

))((≥

++−+

F0

))((

))((≥

+++−

F

Ejemplo: resolver la siguiente inecuación.

0)1)(3( 14

0)1)(3(

13²²

0)1)(3(

1)3()1(

0)1)(3(

1

13

)1)(3(

1

13

≥−+ +

≤−+

−−−−

≤−+

−+−−

≤−+

−−

−+

−+≤

−−

+

x x

x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x

x

x

x x x

x

x

x

-∞ -3 -1/4 1 ∞

- + - + +

S = ]-3;-1/4]∪]1;+∞[


81/112

79

Ejemplo: resolver la inecuación:

OPERACIONES:

[ ][ ]

9

4

049

0)2²2)(49(

0)2²2)(49(

0)15²()34²()15²()34²(

0)²15²()²34²(

>

>

>

<

<

<

x

x

x x x

x x x

x x x x x x x x

x x x x

análisis. elentrinomioel

ignorasetantolopor

02²2

03

414²

1;1;22²2

>

<

−

=

+

x x

ac b

c b a x x

4/9

- +S = ]4/9; +∞[

Ejemplo: resolver la inecuación.

2x²-x-7 < 0 Factoramos OPERACIONES:

0)6,1)(1,2(

04

571

4

)5712


82/112

80

Verificación para x = -2

F 03

0728

07)2()²2(2

<


83/112

81

2. Elaborar una tabla y escribir verticalmente a la izquierda de la misma las

expresiones afectadas por los valores absolutos, determinando los intervalos

y los signos de cada expresión en cada intervalo.

Intervalos 1 2 3

-3 2

x-2 - - +

x+3 - + +

3. Resolver un sistema de inecuaciones para cada uno de los intervalos. Dicho

sistema siempre tiene dos condiciones:

3.1 La primera condición es la que define al intervalo que se analiza ese

momento.3.2 La segunda condición siempre es la inecuación planteada sin los valores

absolutos, los cuales deben ser evaluados según el signo que tenga cada

expresión en el intervalo analizado.

4. La solución total es la unión de las soluciones de cada uno de los intervalos.

5. Los valores extremos de los intervalos se deben analizar uno por uno

mediante reemplazo en la desigualdad planteada.

|x-2| - |x+3| ≤ 5


84/112

82

1) Intervalo 1

] [[ ]

⎩

⎨⎧

≤+−−−−

−∞−∈

5)3()2(.2

3;.1

x x

x

] [

⎩⎨⎧

≤+++−

−∞−∈

532.2

3;.1

x x

x

] [] [⎩

⎨⎧

+∞∞−∈

−∞−∈

;.2

3;.1

x

x

1.

2.

-3

] [3;1 −∞−=S

2) Intervalo 2

] [[ ]⎩

⎨⎧

≤++−−−

−∈

5)3()2(.2

2;3.1

x x

x

] [⎩⎨⎧

≤−−+−−∈

532.22;3.1

x x x

] [

⎩⎨⎧

−≥

−∈

3.2

2;3.1

x

x

] [] [⎩

⎨⎧

+∞−∈

−∈

;3.2

2;3.1

x

x

2

1

-3 2

S2 = ]-3; 2[


85/112

83

Intervalo 3:

] [

⎩

⎨⎧

≤−−−

+∞∈

532.2

;2.1

x x

x

] [

⎩

⎨⎧

≤−

+∞∈

55.2

;2.1 x

V] [

] [⎩⎨⎧

+∞∞−

+∞∈

;.2

;2.1 x

1

2

-∞ 2 +∞

S3 = ]2; +∞[

VALORES EXTREMOS DE LOS INTERVALOS:

V

xa

505

5|33||23|3)

≤−

≤+−−−−−=

V

xb

550

5|32||22|2)

≤−

≤+−−=

{ }VE S S S S T ∪∪∪= 321

ST = ]-∞; -3[∪]-3;2[∪]2;+∞[∪{-3,2}

ST = ]-∞; +∞[

ST = R

Ejemplo: resolver la inecuación

3

1

|32|

|1|>

−−

x

x


86/112

84

032

650

32

0)3)(32(

32330

)3)(32(

32)1(3

031

3210

31

321

3

1

32

1

3

1

32

1

3

1

32

1

<−−

∨>−

≡

<−

−+−∨>

−+−−

≡

−

−−≡

−<

−−

∨>−−

≡

>−−

≡

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

x ∞;2/30;1S

] [2/3;5/62 =S

-∞ + 0 - 3/2 + +∞ -∞ + 6/5 - 3/2 + +∞

-∞ 0 6/5 3/2 +∞

{ }..;2/32/3;5/60; E V S T ∪∞

VALORES EXTREMOS DE INTERVALOS

a) x = 0

F 3

1

3

1>


87/112

85

b) x = 23

no puede ir en la solución porque da división para cero.

c) x = 56

F 3

1

5

35

1

3

1

35

12

15

6

>−

>−

−

] [ ] [ ] [∞;

2

3

2

3;

5

60; UU

T S

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE INECUACIONES

La resolución de inecuaciones puede utilizarse en varios campos como a

continuación señalamos con dos ejemplos:

Ejemplo:

Para fabricar un producto es necesario que la temperatura T de un ambiente

cerrado se encuentre entre -15 y 9 grados Celsius: Si T = x² + 6x – 7, en

donde x es la temperatura del acondicionador de aire determine el rango de

valores de x que garanticen el correcto funcionamiento.

1. Dados e incógnita:

-15ºC ≤ T ≤ 9ºC

T = x² + 6x – 7

x = temperatura del acondicionador

2. Planteamiento y resolución:

-15 ≤ x² + 6x – 7 ≤ 9

≡ x² + 6x + 8 ≥ 0

∧ x² + 6x – 16 ≤ 0

Respuesta:

≡ = [-8; -4] ∪ [-2; 2]


88/112

86

Incógnita = rango de valores.

3. Verificación:

Si x = -6-15 ≤ - 7 ≤ 9 V

Si x = 0

-15 ≤ - 7 ≤ 9 V

Y si x = -3

-15 ≤ -16 ≤ 9 F

Ejemplo:

Sea C la temperatura en grados Celsius y F la temperatura en grados

Fahrenheit en donde se establece que C = 95

(F – 32). ¿Cuál es el rango de

valores de C, si F está entre 15 y 75 grados?.

1. Dados e incógnita:

)32(9

5−= F C

15 ≤ F ≤ 75

Incógnita = rango de valores de C.

3. Verificación:

Si C = 0 entonces F = 32 que está entre 15 y 75º

4. Solución:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∈≡

≤≤−

9

215;

9

85

9

215

9

Modulo de Matematicas Dr Carlos Montenegro

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