35761771 Modulo Matematicas Especiales299010(1)

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EDAD ACA ABEA A DACA AD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERIACONTENIDO DIDCTICO DEL CURSO: 299010 MATEMTICAS ESPECIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

AUTOR ORLANDO VANEGAS

299010 – MATEMÁTICAS ESPECIALES

MIGUEL ÁNGEL MONTES MONTAÑO (Director Nacional)

MIGUEL ÁLGEL MONTES MONTAÑO Acreditador

BOGOTÁ D.C.AGOSTO DE 2010


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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Orlando Vanegas,matemático con una amplia experiencia en la enseñanza de esta asignatura ydedicado a la investigación de la matemática pura.

El documento tiene como antecedentes, el estudio de los módulos de calculodiferencial, cálculo integral, algebra, geometría y trigonometría, álgebra lineal yecuaciones diferenciales.

Como novedades de este material es la presentación por unidades, capítulos ylecciones, que permite una fácil ubicación de temáticas específicas, según elinteres del estudiante. Además, el componente práctico para los cursos teóricosde Matemáticas a lfinal de cada unidad.

Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo lascondiciones siguientes:

• Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la maneraespecificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera quesugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra).

• No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales.• Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra

derivada a partir de esta obra.• Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la

licencia de esta obra.• Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso

del titular de los derechos de autor• Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.


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INTRODUCCIÓN

El presente modulo esta dirigido a estudiantes de programas de pregrado queoferta la UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia.

El material esta estructurado en (tres unidades) que son las temáticas macro delcurso académico. .

El contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta lossaberes mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la UniversidadNacional Abierta y a Distancia en el campo de Matemáticas Especiales.

La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos mínimosdel curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del mismo yademás, abordar posteriores temáticas que requieran de éstos conocimientos.

El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentar ejemplos modelosdel tema en estudio, al final de cada capitulo se exponen ejercicios; con respuesta,que permite a los estudiantes contextualizarse en diversas àreas del conocimiento,con el fin de fortalecer las temáticas propias del curso. Al final de cada unidad sepresenta una Autoevaluación de un nivel medio-alto, las cuales permiten verificarlos alcances de los estudiantes en las temáticas analizadas y detectar lasdebilidades y así centrarse en éstas, con el fin de alcanzar las metas propuestas.

Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se

recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudasaudiovisuales, visitas a sitios Web y prácticas de laboratorio; entre otros, así lograruna efectiva comprensión, interiorización y aplicación de las temáticas estudiadas.


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INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD UNO: Transformada de Laplace 9

CAPÍTULO UNO: PRINCIPIOS DE LA TRANSFORMADA DE lAPLACE 11

Lección No 1: Preliminares 11

Lección No 2: Transformación Integral 11

Lección No 3: Transformada de laplace 12Lección No 4: Continuidad a Trozoz 14

Lección No 5: Orden Exponencial 14

Lección No 6: Propiedades de la Transformada de Laplace 20

Ejercicios 22

CAPÍTULO DOS: LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACCE 23

Lección No 7: Principios 23

Lección No 8: linealidad de la Transformada Inversa de Laplace 24

Ejercicios 25

CAPÍTULO TRES: TEOREMA DE TRASLACIÓN 27

Lección 9: Principios 27

Lección 10: Función Escalón 28

Ejercicios 37

CAPÍTULO CUATRO: CONVOLUCIÓN Y TRANSFORMADAS 38

Lección 11: Generalidades 38

Lección 12: Propiedades de la Convolución 38

Lección 13: Teorema de Convolución 40


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5



Leccion 14: Funciones Periódicas 43

CAPÍTULO CINCO: TRANSFORMADAS CON MAPLE 46

Lección 15: Transformada de Laplace usando Maple 46

Lección 16: Transformada Inversa de Laplace usando Maple 48

Ejercicios 49

UNIDAD DOS: Transformada de Fourier 50

CAPÍTULO UNO: IDENTIDADES E INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS 52Lección No 17: Identidades Trigonométricas 52

Lección No 18: Integrales Trigonométricas 52

Lección No 19: Gráficas trigonométricas 55

Lección No 20: Funciones periódicas 58

Ejercicios 64

CAPÍTULO DOS: SERIES DE FOURIER 65Lección No 21: Serie real de Fourier 65

Lección No 22: Conjunto Ortogonal de Funciones 77

Lección No 23: Serie seno y coseno de Fourier 78

CAPITULO TRES: INTEGRALES DE FOURIER 88

Lección No 24: Integral de Fourier 88

Lección No 25: Convergencia de la integral de Fourier 90

Lección No 26: Integral de Fourier de seno y coseno 91

Lección No 27: Convergencia de la integral de Fourier 91

Ejercicios 96

CAPITULO CUATRO: TRANSFORMADA DE FOURIER 101


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7



CAPÍTULO TRES: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z INVERSA 153

Lección No 45: Teorema de los residuos 153

Lección No 46: Transformada Z inversa 154

Ejercicios 157

CAPÍTULO CUATRO: PROPIEDADES ESPECIALES DE LA TRANSFORMADA Z160

Lección No 47: Terorema de la convolución compleja 160

Lección No 48: Relación de Parseval 161Lección No 49: Función de sistema y filtros digitales 161

CAPÍTULO CINCO: TRANSFORMADA Z CON MAPLE 163

Lección 50: Transformada Z 163

Lección 51: Transformada Z inversa 164


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LISTADO DE TABLAS

Tabla No 1: Comando básios de Maple Tabla No 2: Transformadas de Fourier

LISTADO DE GRÁFICOS Y FIGURAS

Figura No 1: Funcion exponencial

Figura No 2: Regiones de convergenciaFigura No 3: Grafia de la función escalónFigura No 4: Gráfia del seno aplicando funión de HeavisideFigura No 5: Función diente de sierra Figura No 6: Función seno de dos piFigura No 7: Función seno de tres piFigura No 8: Función seno cosenoFigura No 9: Funciones periódicasFigura No 10: Funciones de Fourier con MapleFigura No 11: Espectro de amplitudFigura No 12: Sierra de FourierFigura No 13: Señal discretaFigura No 14: Región de convergencia de la transformada Z


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9



UNIDAD UNO

TRANSFORMADA DE LAPLACE


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10



PRESENTACIÓN:

EL ESTUDIO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES IMPORTANTE POR SU ÁMPLIA

APLICACIÓN EN LA TECNOLOGÍA Y EN LA CIENCIA. ESTA RAMA DE LA FÍSICA MATEMÁTICA SEUTILIZA PARA ESTUDIAR LAS FUNCIONES CONTINUAS DE FENÓMENOS REALES.

PARA EL ESTUDIO DE ESTE TEMA, ES IMPORTANTE Y NECESARIO QUE EL ALUMNO HAYATOMADO UN CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL, CALCULO INTEGRA Y ECUACIONESDIFERENCIALES PARA QUE ENTIENDA LOS PROCESOS MATEMÁTICOS QUE SE REALIZAN Y

ASÍ COMPRENDER LOS ONEPTOS DE ESTUDIO.

POR OTRO LADO, SE RECOMIENDA AL ESTUDIANTE MANEJAR EL SOFTWARE MAPLE PARAQUE PUEDA GRAFICAR Y CALCULAR FUNCIONES COMPLEJAS DIFÍCILES DE HACERLO AMANO. MEDIANTE EL MANEJO DE ESTE SOFTWARE, EL ALUMNO PUEDE ANALIZAR EINTERPRETAR LOS RESULTADOS DE LA GRAFICA Y CON BASE A ESTO EMITIR SUSCONCLUSIONES Y JUICIOS.


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EDAD ACA AB

ESCUELA DE CIENCIAS BSICACONTENIDO DIDCTICO DEL C

CAPITULO UNO: TRAN

Lección No 1: Preliminar

. En el modelo matemáticoo el de un circuito eléctrico

Es una función que repre

diferenciales se resuelve eraro encontrarse con funci

muy comunes los voltajes

la ecuación diferencial q

Laplace es una valiosa herr

La transformada de Laplac

de ecuaciones 2iferenciales

Lección No 1: Transfor

Sea f (t ) definida en un in( , )K s t de variable y par

La función ( , )K s t se lla

naturaleza de la funciógeneralizadas a conducid

resultado de mucha utilid

especiales se obtiene con

definición.

11

A A DACA AD

, TECNOLOGA E INGENIERIAURSO: 299010 MATEMTICAS ESPECIALES

FORMADA DE LAPLACE.

es:

de un sistema físico, como el de una masaen serie, el lado derecho de la ecuación dife

enta una fuerza externa f (t ) o un voltaje

te problema para funciones f (t ) continuas.nes continuas a trozos; por ejemplo, en cir

ientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no

e describe el circuito en este caso, pero

amienta para resolver problemas de este tipo.

e es muy útil en la solución de ecuaciones i

así como en la obtención de algunas interes

ación Integral

tervalo finito o infinito a t b≤ ≤ y tomemámetro . Una transformación integral tiene

a núcleo de la transformación . es lin( , )K s t . El estudio de estas transfor

al análisis de ciertas transformaciones e

d al abordar ciertos problemas. Una de est

, y ( , ) st

K s t e−= , como ve

sujeta a un resorteencial

(t ). En ecuaciones

Sin embargo, no esuitos eléctricos son

imposible, resolver

la transformada de

tegrales y sistemas

antes integrales.

os una función fija

la forma:

eal, sin importar la

aciones integralesspecíficas que han

as transformaciones

os en la siguiente


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EDAD ACA AB


Lección No 3: Transform

Suponga que la función y(

converge para 0s s> . Entodada

Ejemplos

1. Calcule { }1L .

P

aa 0s > .

2. Calcule { }t L

.

Usando la definición {t L

Ahora es posible afirmar q

Para s

.

3. Calcule { }kt eL .

Usando la definición {L

4. Calcule { }senkt L

12

A A DACA AD


ación de Laplace

) está definida para 0t ≥ y la integral impro

ces la transformada de Laplace de y(t ) exis

por

} {0 0

0

1 10

st st st te

te dt e dt s s s

∞∞ ∞−− −= = = = +

−∫ ∫ L

e:

0 , 0n >

}0 0

0

( )( )

k s t k s t st kt kt e

e e e dt e dt k s s

∞∞ ∞

−−−= = = =

−∫ ∫

{ }y coskt L .

pia

te para 0s s> y está

}2

11

s=

1

k − para s k > .


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EDAD ACA AB


Usando

{ } 0

st

st senkt e

senkt e dt ∞ −

−= = −∫L

Por otro lado

{ }cos

1

kt

s

=

=

L

De donde concluimos que

Ahora:

5 Calcule { f L

P

{ }1

0 0

2 2

3

( )( )

2 (

s

st f t f t e dt

s e s

s

∞

−

−= =

+ −=

∫ ∫L

Como la transformada de

ser divergente, existen fun

funciones discontinuas, centonces, ¿ bajo qué condidar una respuesta parcial a

13

A A DACA AD


la

{ } {00

cos 0 cos cosst enkt

kt k k k

e dt kt kt s s s

∞∞

−+ = + =∫ L L

{ }

0 00

2

2

coscos

cos

st st st kt

kt senkt e k

e dt e dt s s

k kt

s

∞∞ ∞

−− −= − −

−

∫

L

para s > 0.

par

}t) , dond

2

1

2 2

2 3

2

2

1 2( 1) ( 1)

1) 2 ( 1)s s

st st st t t

s st e dt t e dt e

s e s e s

s s

∞

− −

− − − + + +

+ + − = −

+ + − +=

∫

+

aplace se define en términos de una integral

iones para las cuales no existe dicha transf

mo la del ejemplo anterior, que puedeniones una funciones tienen transformada de

esta pregunta debemos dar algunas definicio

definición

}

{ }1 k

senkt s s

− L

s > 0.

1

103 2

2 1 1st t

ss se

∞− − +

−

impropia que puede

rmada, incluso hay

ener transformada;Laplace ?. Antes de

es.


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EDAD ACA AB


Lección No 4: Continuid

D a : f

1. a

aa 1,2,3,...k n= .

2. Paa aa [ ],k x a b∈

existen.

Note que, solament

de [ ],a b .

Otra de las ideas important

que entendemos porqué un

Lección No 5: Orden ex

D a [: f

, > 0 > 0 a

Para t >

Intuitivamente esto signific

como se muestra en la sigu

14

A A DACA AD


d a trozos

[ ],a b → a a

a [ ], x a b∈ , a

e uno de estos límites es pertinente si 0 x es

es en el estudio de la existencia de la transfo

función no crezca demasiado rápido.

onencial

),+∞ → a

T

a que la función f (t ) esta por debajo de una f

iente figura

k x ,

no de los extremos

mada de Laplace es

unción exponencial,


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EDAD ACA AB


Observación: algunas vecconviene calcular el siguie

Paa a

Ejemplos

1. Compruebe que ( f

Para comprobar esto, apliq

P a,

2. Compruebe que la

de .

Calculando el límite

Observación: no es difíctrigonométrica como Sen(blas sumas y productos de ude orden exponencial la su

3. Compruebe que la f

Calculando el límite tenem

15

A A DACA AD


es, para verificar que una función f es dete límite:

a . S ,

a ( a ). P a

a.

3) t = es de orden exponencial.

emos tres veces la regla de L'Hôpital

aa a

a3 t

t e< , a 3( ) f t t =

función ( ) bt

f t e= es de orden exponencial

a > . D ,bt kt

e e<

il comprobar que cualquier polinomio det ), Cos(bt ), con b constante, son de orden exn número finito de estas funciones. En gener

a f (t )+g(t ) y el producto f (t )g(t ) son de orde

unción2

( ) t f t e= no es de orden exponencial

os que

orden exponencial,

a

, ,

.

a.

ara cualquier valor

aa a.

rado o funciónonencial, así como,l, si f (t ) y g(t ) sonexponencial.

.


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EDAD ACA AB


Paa a a ,

El siguiente resultado enun

TEOREMA 1

Sea [ ): 0, f +∞ → una f

DEMOSTRACIÓN

Como f es acotada ( ) f t

para cualquier k > 0, con lo

Observación: como seorden exponencial.

Una vez definidos los c

exponencial ya estamos listransformada de Laplace.

TEOREMA 2

Sea [ ): 0, y +∞ → una

transformada de Laplace

{ } y(t)Y (s) = L existe para

DEMOSTRACIÓN

Por ser y de orden expo

( ) kt y t Me≤ , para t > T . A

16

A A DACA AD


a a 2

( ) t f t e=

cia un resultado que parece obvio.

unción acotada, entonces f es de orden expo

M para todo [ )0,t ∈ +∞ . Entonces

cual f es de orden exponencial.

( )bt y cos( )bt son acotadas, entonces ella

onceptos de función continua a trozos y

os para enunciar una condición necesaria pa

función continua a trozos y de orden expo

de y(t ) existe. Es decir, existe un n

0s s>

encial existen números no negativos ,

sí que

a.

nencial.

s son funciones de

función de orden

a la existencia de la

encial, entonces la

mero 0s tal que

y tales que


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EDAD ACA AB


La primera integral es unaque

Ahora, como

siempre y cuando s > k , te

existe y con ello la transfor

Observación: el teoremaexistencia de la transforma

no cumpla las hipótesis de

siguiente ejemplo.

Ejemplos

1. Compruebe que la

cumple las hipótesi

En efecto,1

( ) f t t

= tiene

trozos en el intervalo [0,+

17

A A DACA AD


integral definida, por tanto existe. Para la s

emos que la integral

mada.

nterior enuncia una condición suficiente y

a de Laplace, es decir, puede darse el caso

l teorema, pero aún así tenga transformada,

transformada1

t

L existe, aún cuando

s del teorema de existencia anterior.

una discontinuidad infinita en t = 0, con lo c

) ; pero

gunda integral note

o necesaria para la

e una función f que

como lo muestra el

1( ) f t

t = no

ual no es continua a


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EDAD ACA AB


Para calcular esta última in

con lo cual

Ahora note que

Donde es el cuadrado

son las regiones que se mu

18

A A DACA AD


tegral sea

e lado , que se muestra en la figura. Obs

stran en la figura entonces

rve que si 1 R y 2 R


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EDAD ACA AB


Con lo cual, tomando el lí

Y así,2

I π

= . Por lo tan

El siguiente ejemplo muest

2. Compruebe que L

Usando la definición

Y puesto que la integral im

diverge, la transformada n

19

A A DACA AD


ite

o

ra una función para la cual no existe la trans

2

1

t

no existe.

propia

existe.

ormada de Laplace.


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EDAD ACA AB


Con la idea de aplicar la trnecesitamos calcular la tra

3.

S ´( ) y t a a

{ }(́ ) ( ) (0) y t sY s y= −L

DEMOSTRACIÓN

Integrando por partes

Con un argumento similar

El siguiente resultado gene

Si( )(́ ), ´́ ( ),... ( )n y t y t y t son

[ )0,+∞ , entonces

3. Propiedad de escal

Sa ( ) a

21

A A DACA AD


ansformada de Laplace a la solución de ecuasformada de una derivada.

a a [ )0,+∞ ,

odemos demostrar que

raliza la transformada de una derivada.

continuas a trozos y de orden exponen

ación

a a [ )0,+∞ ,

ciones diferenciales

ial en el intervalo

0c ≠ ,


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22



Ilustración

Si { } 21

( )1

senh t s

=−

L , entonces, calcule { }( )senh kt L .

Usando la propiedad de escalamiento { }( )

2 2 2

1 1( )

1

k senh kt

k s k s k

= =

−− L

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halle la transformada de Laplace para cada una de las siguientes funciones:

a) 1( ) ( 1) t

f t t e −= −

b) 2( ) t g t t e−=

c) 2( ) cos(3 )t h t e t =

2. Use las propiedades de la transformada de Laplace para obtener la transformada de

Laplace de las siguientes funciones

a) 2( ) cos 2w t t =

b) 2 3 1( ) (1 ) t x t t e −= −

c) 2( ) ( ) y t senh t =

3. Compruebe Que la función ( ) 1nr t t = + es de orden exponencial

4. Use la propiedad de escalación para obtener { }cos ( )h kt L a partir de { }cos ( )h t L


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EDAD ACA AB


CAPITULO DOS: LA TR

Lección No 7: Principios

Al aplicar la transformadaecuación algebraica, la cu

Y (s) = G(s). Ahora, com

solución y(t ) que buscamo

para hallar la función y(t )

Entonces definamos la tran

Si F (s) es la transformada

entonces la transformada i

{ }( ) ( )F s f t =- 1L

Ejemplos

1. Calcule2

4

s

s

+ - 1L

Puesto que { }cos(2 )t s=L

Observación existe un prno ser única. En efecto, es

propósito esto no es tan

exponencial en [ )0,+∞ y

continuas y de orden ex

demostrar que las funcion

sólo en puntos de discontin

2. Calcule { }( ) f t L , d

23

A A DACA AD


NSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.

de Laplace a una ecuación diferencial lal podemos resolver para Y (s), es decir, res

{ }( ) ( ) y t Y s=L si pudiéramos devolvern

s. Es decir, necesitamos de la transformada

sformada inversa.

e Laplace de una función continua f (t ), es de

nversa de Laplace de F (s), escrita { (F - 1L

4

s

+ tenemos que 2 cos(2 )4

s

t s

= +

- 1

L

blema potencial al trabajar con la transfor

posible que { } { }( ) ( ) f t g t =L L , siendo f(t)

malo como parece, pues, si f y g son co

{ } { }( ) ( ) f t g t =L L , entonces f (t ) = g(t );

onencial en [ )0,+∞ y { } { }( ) ( ) f t g t =L L ,s f y g son casi iguales; esto quiere decir,

uidad.

onde f (t ) esta dada por

onvertimos en unalvemos la ecuación

os obtendríamos la

inversa { }-1 ( )Y sL ,

cir, { }( ) ( ) f t Y s=L ,

}) es f (t ), es decir,

ada inversa, puede

≠ g(t) . Para nuestro

ntinuas y de orden

pero, si f y g son

entonces se puede

que pueden diferir


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EDAD ACA AB


¿Qué se puede concluir?

Usando la definición de tra

Pero, anteriormente hemos

tienen la misma transform

única.

El siguiente resultado esta

Lección No 8: Linealidad

Sean f y g funciones conti

que { }( ) ( ) f t F s=L y {L

Ejemplos

1. Calcule( 2s

−

- 1L

Sabemos que2

4

( 2)( 4

s

s s− +

Usando la propiedad de lin

El siguiente ejemplo ilust

diferenciales mediante La

24

A A DACA AD


nsformada

comprobado que { }1

1s

=L con lo cual las

ada, de este modo, la transformada inversa

lece el comportamiento de ( )F s en infinito.

de la transformada inversa de Laplace

uas a trozos y de orden exponencial en el in

}( ) ( )t G s= , entonces

2

4

)( 4)

s

s

+

2 2

1 2

) 2 4 4

s

s s s= − +

− + +

alidad de la transformada inversa de Laplac

ra el proceso que vamos a usar en la solu

place. Es un ejemplo que puede ser resue

funciones f (t ) y g(t )

de1

( )F ss

= no es

ervalo [ )0,+∞ tales

, obtenemos

ción de ecuaciones

lto de manera más


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EDAD ACA AB


eficiente con las técnicapropiedades enunciadas h

diferenciales.

2. Use la transformad

Aplicando transformada de

Ahora debemos de aplicar

EJERCICIOS PROPUE

1. Obtenga la transfor

a)1

( )2

sF s

s

−=

+

b)2

2( )

sG s

s=

+

25

A A DACA AD


ya estudiadas, pero el objetivo es apliasta ahora e introducir la técnica de solu

de Laplace para resolver el problema de val

Laplace a ambos lados de la ecuación difere

→

→ →

ransformada inversa para hallar y(t )

→

TOS

ada inversa de cada una de las siguientes fu

3

1

ar algunas de lasión de ecuaciones

r inicial

ncial

nciones:


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26



c)3

2( )

1

s H s

s

−=

−

2. Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales de primer orden usando

transformada de Laplace:

a) ; (0) 1t dy

y te ydt

−+ = =

b) 22 ; (0) 0t dy

y te ydt

−+ = =

c) 4 ; (0) 1t dy y te ydt

−+ = = −

3. Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales de orden superior usando

transformada de Laplace

a) `` 4 ( ) ; (0) 1, `(0) 1 y y sen t y y− = = = −

b) 2 `` 4 cos( ) ; (0) 1, `(0) 1 y y t y y− = = − = −

c) `` 4 ` ( ) ; (0) 1, `(0) 1 y y sen t y y− = = =


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EDAD ACA AB


CAPITULO TRE: TEORE

Lección No 9: Principios

No es adecuado utilizar la

ejemplo, la integración po

Por esta razón vamos a entipo de transformadas.

Si conocemos que { ( ) f t L

una traslación, de F (s) a F

Primer teorema de trasla

S { }( ) ( ) f t F s=L ,

Ilustración

Calcule { }cos( )at e bt L

Usando el primer teorema

Forma inversa del prime

Ilustración

1. Use la forma invers

3

1

( 3)s

−

- 1L

Resolviendo:

27

A A DACA AD


A DE TRASLACI N.

efinición cada vez que se quiera calcular u

partes involucrada al calcular { }kt e sent L ,nciar algunos teoremas que ahorran trabajo

( )F s= , podemos calcular la transformada

s-k ), como lo enuncia el siguiente teorema.

ión

{ }( ) ( )kt e f t F s k = −L

e traslación

teorema de traslación:

a del primer teorema de traslación para calcu

a transformada, por

es bastante tediosa.

n el cálculo de este

de { }( )kt e f t L como

lar


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EDAD ACA AB


2. Calcule2

4s

+ - 1L

Para usar la forma inversa

en el denominador

Lección No 10: Función

En ingeniería es común en

activo o inactivo. Por eje

una tensión eléctrica aplic

tiempo. Para tratar de for

una función especial llama

Función de Heaviside

La a a

Observación: la función

suficiente para la transfor

28

A A DACA AD


13s

+

el primer teorema de traslación debemos co

Escalón

contrar funciones que corresponden a estad

plo, una fuerza externa que actúa sobre un

da a un circuito, puede tener que suspender

a efectiva con estas funciones discontinuas

a función escalón unitario.

Ha

e Heaviside se definió sobre el intervalo [ ada de Laplace.

mpletar el cuadrado

s de sí o no, o bien

sistema mecánico o

e después de cierto

conviene introducir

).+ ∞ , pues esto es


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EDAD ACA AB


Ejemplos

1. Trazar la gráfica de

.La función f (t ) está dada p

y su gráfica se muestra en l

Cuando la función de Hea

0t ≥ , ésta función se desa

2. Trazar la gráfica de

La función está dada por

29

A A DACA AD


la función ( ) ( 1) f t H t = −

or

a figura

iside ( ) H t a− se multiplica por una funció

tiva en el intervalo [ ]0,a , como muestra en

la función ( ) ( ) ( 2 ) f t sen t H t π = − .

n f (t ), definida para

iguiente ejemplo.


30/165

EDAD ACA AB


La Ha aa aa,

3. Use la función de H

Para reescribir la función b

Observación: la función

Se escribe usando la funció

30

A A DACA AD


a aa a a .

eaviside para reescribir la función

asta usar la definición de la función Heavesi

n de Heaviside como

a a a

e


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EDAD ACA AB


La aaa a

D

Ua a a

E a a

aa a

aa a aaa

S

{ }( ) ( ) f t F s=

L > 0,

Forma inversa del segun

31

A A DACA AD


Ha

aa

a aa a aaa

a , a a

a ( ) aa a

{ }( ) ( ) ( )as f t a H t a e F s−− − =

L

o teorema de traslación:

a ( ) a

a

a.


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EDAD ACA AB


Observación: podemos usde Laplace de la función H

Ejemplos

1. Calcule { ( 2tH t −L

Resolviendo:

{ } {( 2) ( 2 2tH t t − = − +L L

2. Calcular { }( ) f t L ,

Observe que la función f (t

( ) 1 ( 1) ( f t t tH t t = − + − + −

Así: { } { } {( ) 1 ( f t = + L L L

3. Calcule

Para poder usar el segundo

término

32

A A DACA AD


r el segundo teorema de traslación para calc(t - a) haciendo f (t ) =1:

})

} { } {) ( 2) ( 2) ( 2) 2 ( 2 H t t H t H t − − − + −= L L

onde

puede reescribirse como

2) ( 2) 1 ( 1) ( 1) ( 2) ( 2 H t t H t t H t − = + − − + − −

} { }2

11) ( 1) ( 2) ( 2)

se

t H t t H t s s

−

− − + − − = +L

teorema de traslación debemos completar d

ular la transformada

}2 2

2

2)

s se e

s s

− −

= +

)

2

2

se

s

−

forma adecuada el


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EDAD ACA AB


Sa [ ): 0. f + ∞ → a

Ejemplos

1. Calcule

Aplicando el teorema anter

El siguiente ejemplo mu

teorema anterior.

2. Calcule

33

A A DACA AD


a a

ior para , tenemos que

stra una combinación del primer teorema

a [ )0.+ ∞ ,

de traslación y el


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EDAD ACA AB


Primero aplicamos el teore

3. Ca a a

P a a

De donde obtenemos que

y tomando

Existe un caso especial deltransformadas inversas.

34

A A DACA AD


a de multiplicación por y luego el de tras

a

,

teorema anterior, cuando , que es muy

lación

útil en el cálculo de


35/165

EDAD ACA AB


S { }( ) ( ) f t F s=L ,

Ejemplo

Calcule

Daa:

por el corolario tenemos q

35

A A DACA AD


e


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EDAD ACA AB


D

Sa [ ): 0. f + ∞ → a

0

( )limt

f t

t +→,

Observación: la consta

.

El siguiente ejemplo muest

Ejemplos

1. Calcule

Tenemos que

con lo cual

2. Calcule el valor de

36

A A DACA AD


a a a

te de integración debe escogerse de

ra una aplicación de este teorema.

=

a siguiente integral

[ )0.+ ∞ a

orma de tal que


37/165

EDAD ACA AB


Si

Entonces

De donde

y tomando el límite cuando

EECC E

1. Use la forma invers

4

1

(2 3)s

−

- 1L

2. Taa a a a

3. Ca2sen t

t

L

37

A A DACA AD


, tenemos que

a del primer teorema de traslación para calcu

( ) cos( ) ( ) f t t H t π = − .

lar


38/165


39/165

EDAD ACA AB


2. Calcule la convoluc

Usando la definición e inte

Observación: para calcula

del ejemplo anterior, hemo

Otras identidades que pued

39

A A DACA AD


ión de las funciones ( ) ( ) f t sen at = y ( ) f t =

gración por partes

r la integral

s usado la identidad

en ser útiles en el cálculo de integrales simil

os( )bt .

res son


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EDAD ACA AB


Lección No 13: Teorema

S { }( ) f t L { }( )g t L

O en su forma inversa:

es muy importante en la

cálculo de fracciones parci

Ejemplos

1. Calcule

Usando el teorema de c

Los siguientes ejemplos

para el cálculo de transfor

2. Calcule la siguiente

Ua a

40

A A DACA AD


de la convolución

aa 0s a> ≥ ,

olución de ecuaciones diferenciales, pues

les complejas.

nvolución tenemos que

uestran el uso de la forma inversa del teor

adas inversas.

transformada inversa

nos puede evitar el

ma de convolución


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EDAD ACA AB


Los siguientes ejemplos

ser realmente complejo, co


Ua a

Observación: en este ejem


41

A A DACA AD


uestran situaciones donde el uso de fraccio

mparado con el uso del teorema de convoluci


, :

plo la expansión en fracciones parciales no e


nes parciales puede

ón.

s tan simple


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EDAD ACA AB


Ua

; Ta ( )g t

donde { }( )F(s) f t = L

Demostración

Ilustración

Calcule la siguiente transfo

Ua a a

42

A A DACA AD


1= a :

Luego

rmada

a a ,


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EDAD ACA AB


Lección No 14: Funcion

Es muy común, especialmuna fuerza externa periódi

ondas en escalón, etc. Por l

Transformada de una fu

Sa [ ): 0, f +∞ → a ,

Ejemplo

Calcule { }( ) L f t , donde f figura

El período de esta función

43

A A DACA AD


s periódicas

nte en aplicaciones ligadas a circuitos eléctrica. Es usual tener voltajes en forma de on

o que es necesario calcular sus transformada

ción periódica

a a a.

( )t es la función periódica diente de sierra

s y su transformada está dada por:

cos, la presencia deas diente de sierra,

.

S ( ) f t a,

ue se muestra en la


44/165


45/165

EDAD ACA AB


Para valores pequeños de

magnitud que esta activa p

rea bajo la función imp

La a

y de aquí su nombre.

Demostración

En la práctica es convenien

Función delta de Dirac

La a Da a

45

A A DACA AD


, se tiene que 0( )a t t δ − es una funció

r un tiempo muy corto alrededor de 0t .

lso

a a a

te trabajar con otro tipo de impulso llamado

aa

constante de gran

unción de Dirac


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EDAD ACA AB


Observación: la función dcomo una función generali

Propiedades de la funció

La a Da a

1.

2. Para 0 0t > , { (t δ L

CAPITULO CINCO: TRA


Paa aa a aaa

a aa( ( ), ,);

E

> with(inttrans):

>laplace(1, t, s);

>laplace(exp(t),t,s)

46

A A DACA AD


elta de Dirac, no es una función, realmenteada (o distribución).

delta de Dirac

a a a

}0 0st

t e=

SFORMADAS CON MAPLE.

ada de Laplace usando Maple

aa a ( ) a

;

1

s

1

−s 1

es lo que se conoce

a


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47



> laplace (t^2,t,s);

> laplace(sin(2*t),t,s);

> laplace(Heaviside(t-1)*cos(t),t,s);

> laplace(t^(1/2),t,s);

> laplace(t^3*exp(-2*t),t,s);

> laplace(sinh(2*t),t,s);

> laplace(exp(t)*cos(3*t),t,s);

2s3

2

+s2 4

eeee( )−s

−( )cos 1 s

+s2 1

( )sin 1

+s2 1

π

2 s( ) / 3 2

6

( )+s 2 4

2

−s2 4

−s 1

9

+( )−s 1 2

91


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48



Lección No 16: Transformada inversa de Laplace usando Maple

Paa aa a aaa a aa a () a a a aa( (),, );

E

> with(inttrans):

>invlaplace(1/(s-a)+1/(s^2+b)+1, s, t);

> invlaplace(1/(s-a), s, t);

> invlaplace(1/s*(s-a), s, t);

> invlaplace(1/(s*(s-a)), s, t);

> invlaplace(2*s/(s^2-4), s, t);

+ +eeee( )a t ( )sin b t

b( )Dirac t

eeee( )a t

−( )Dirac t a

2 eeee

a t

2

sinh a t

2

a

2 ( )cosh 2 t


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49



> invlaplace(1/(4*s^2+1), s, t);

> invlaplace(1/s^(3/2), s, t);

> invlaplace((s^3+s^2+s+1)/(s^4-5*s^2+4), s, t);

> invlaplace(s, s, t);

> invlaplace(s*(s-a), s, t);

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcule { }2 cos(2 )t e t ∗L

2. Use convolución para obtener 2

1

(2 3)s s

−

- 1L

3. Calcule la siguiente transformada { }0 cos( )t

d τ τ τ ∫L

4. Halle2

1

(2 3)

s

s s

+

−

- 1L

1

2

sin t

2

2 t

π

− +5

12eeee

( )−2 t 2

3eeee t

5

4eeee

( )2 t

( )Dirac ,1 t

− +a ( )Dirac ,1 t ( )Dirac ,2 t


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50



UNIDAD DOS

TRANSFORMADA DE FOURIER


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51



PRESENTACIÓN:

En esta unidad estudiaremos la serie y la transformada de Fourieres y susrepresentaciones graficas a través de Maple, este software es muy importantepara esl estudio de estos temas porque gracias a él, se puede graficar con granprecisión utilizando poco tiempo para hacerlo, mediante los gráficos podemosanalizar con más tetalle los comportamientos de estas graficas y poder emitir un

juicio del fenómeno de estudio. Una serie infinita que converge puntualmente auna función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramientamatemática fundamental del análisis de Fourier empleada para analizar funcionesperiódicas a través de la descomposición de dicha función en una sumainfinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación desenos y cosenos con frecuencias enteras).

Esta rama de la matemática tiene mucha aplicación en muchas ramas de laingeniería, además, es una herramienta útil en la teoría matemática abstracta.

Las áreas de aplicación son: análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento deimágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería electrónica, para elcaso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de loscomponentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar eldiseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de unanalizador de espectros.


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52



CAPITULO UNO: IDENTIDADES E INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.

Lección No 17: Identidades trigonométricasLa a a a a :

A a a Ma V a a a a a:

> sin(a+b):=expand(sin(a+b));

> cos(a-b):=expand(cos(a-b));

> combine(cos(a)*cos(b));

> simplify((sin(a))^2,trig);

Lección No 18: Integrales trigonométricas D a a a a a a a :

:=( )sin +a b +( )sin a ( )cos b ( )cos a ( )sin b

:=( )cos −a b +( )cos a ( )cos b ( )sin a ( )sin b

+1

2( )cos −a b

1

2( )cos +a b

−1 ( )cos a 2


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53



Ejemplo 1

O a a a

Manualmente

Ua Ma V

> (int( sin(n*x), x=0..Pi );

Ejemplo 2

O a a a

Manualmente

− −( )cos n π 1

n


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54



Usando Maple V > int( x*sin(n*x), x=0..Pi );

Ejercicio 1.

Ua a a ) ) a a a ), ), ), ), ) )

Ejercicio 2.

Oa a a a:

−− +( )sin π n π n ( )cos π n

n2


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55



Lección No 19: Gráficas trigonométrias Va aa aa aa a a a a a Ma V

1. Ta a a a

a [0, ]

> plot(sin(2*x),x=0..2*Pi);

2. Trace la gráfica de la función en el intervalo [0, ] De nuevo

a Ma V :

> plot(3*cos(3*x),x=0..2*Pi);


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56



3. Ta a a a a [0, ]

> with(plots):

> a:=plot(sin(x),x=0..2*Pi,linestyle=2,color=black):

> b:=plot(cos(x),x=0..2*Pi,linestyle=3,color=blue):

> c:=plot(sin(x)+cos(x),x=0..2*Pi,color=red,linestyle=1):

> d:=textplot([2,1.4,`f(x)=senx+cosx`]):

> display(a,b,c,d);


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57



4. Ta a a a a [0, ]

>with(plots):

> a:=plot(2*sin(x),x=0..2*Pi,color=black):

> b:=plot(cos(2*x),x=0..2*Pi,color=blue):

> c:=plot(2*sin(x)+cos(2*x),x=0..2*Pi,color=red):

> d:=textplot([3.8,1.6,`f(x)=2senx+cos2x`]):

> display(a,b,c,d);


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58



Ejercicio 1.

Ta a a a :

Ejercicio 2. Ta a a a a

Lección No 20: Funciones periódicas

Definición

Una función f es periódica con periodo T > 0 si satisface que:

aa

Ea a aa a a a REPITE aa T a


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59



Funciones periódicas no trigonométricas La a aa a aa a aaa aaa

a. E a F a a a

a a a a

La a a a Fa a a :

a a aa a a aa aa

a.

Ejemplo 1. D a aaa a :

Ea a = 3.14

Comprobación analítica


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60



Comprobación gráfica

> plot(sin(2*x),x=-2*Pi..2*Pi);

Esta función es periódica con periodo = 2.10Comprobación analítica

Comprobación gráfica > plot(2*cos(3*x),x=-2*Pi/3..2*Pi/3);

Esta función es periódica con periodo 2 = 6.28Comprobación analítica


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61



Comprobación gráfica > plot(sin(x)+cos(x),x=-2*Pi..2*Pi);

Esta función es periódica con periodo 2 = 6.28Comprobación analítica

Comprobación gráfica > plot(2*sin(x)+3*cos(2*x),x=-2*Pi..2*Pi);

Ejemplo 2. C a a a a:

Ua Ma V a a a a (a Oa

aa)

> with(plots):


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62



> a:=plot(-x-2*Pi,x=-3*Pi..-2*Pi,color=blue):

> b:=plot(x+2*Pi,x=-2*Pi..-Pi,color=blue):

> c:=plot(-x,x=-Pi..0):

> d:=plot(x,x=0..Pi):

> e:=plot(2*Pi-x,x=Pi..2*Pi,color=green):

> f:=plot(x-2*Pi,x=2*Pi..3*Pi,color=green):

> display(a,b,c,d,e,f);

D a a a a Ma V a

> with(plots):

> a:=plot(3+x,x=-3..-2,color=blue):

> b:=plot(-1-x,x=-2..-1,color=blue):

> c:=plot(1+x,x=-1..0):

> d:=plot(1-x,x=0..1):

> e:=plot(x-1,x=1..2,color=green):

> f:=plot(3-x,x=2..3,color=green):

> display(a,b,c,d,e,f);


63/165


64/165

64



C Ma V a

> with(plots):

> a:=plot(Pi*(x+Pi)*(Pi^2-(x+Pi)^2),x=-Pi..0,color=blue):

> b:=plot(Pi*x*(Pi^2-x^2),x=0..Pi):

> c:=plot(Pi*(x-Pi)*(Pi^2-(x- Pi)^2),x=Pi..2*Pi,color=green):

> display(a,b,c);

Ejercicio 1.

D a a

Ejercicio 2.

C a a a a:


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65



CAPITULO DOS: SEIRIES DE FOURIER Lección No 21: Serie real de Fourier

Definición

S ( ) a a , a F aa ( ) :

, a a F a

( ).

Obtención de los coeficientes

Obtención de

Manualmente

D a a (*) a a a . E ,

Aa a aa a a a a

:

Caa a a :

P a:

Usando Maple V


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66



Paa a a a ( ) a a

:

> eval((1/(2*Pi))*int(f(x), x=-Pi..Pi ));

Obtención de

Manualmente

Aa a (*) a :

D a aa a a a a, a a a

:

D a :

Usando Maple V

Paa a a a :

> eval((1/Pi)*int(f(x)*cos(n*x),x=-Pi..Pi ));

Obtención de

1

2

d ⌠ ⌡

−π

π

( )f x x

π

d ⌠ ⌡

−π

π

( )f x ( )cos n x x

π


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67



Manualmente

Aa a (*) a :

D a aa a a a a, a a a

:

D a :

Usando Maple V

Paa a a a :

> eval((1/Pi)*int(f(x)*sin(n*x),x=-Pi..Pi ));

Ejemplo 1.

O a F aa a :

( + ) = ( )

C ( ) a , .

Obtención de

d ⌠ ⌡

−π

π

( )f x ( )sin n x x

π


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68



Manualmente

Usando Maple V > eval((1/(2*Pi))*(int(-1, x=-Pi..0)+int(1, x=0..Pi )));

Obtención de Manualmente

Usando Maple V> eval((1/Pi)*(int(-cos(n*x),x=-Pi..0)+int(cos(n*x),x=0..Pi)));


Usando Maple V > eval((1/Pi)*(int(-sin(n*x),x=-Pi..0)+int(sin(n*x),x=0..Pi)));

Serie obtenida

A aa , , , a :

Ua a a a a Ma V a a a aa a

aa ( aa a a )

A :

0

0

−2− +1 ( )cos π n

π n


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69



: a a :

> with(plots):

> a:=plot(1,x=-2*Pi..-Pi,color=black):

> b:=plot(-1,x=-Pi..0,color=black):

> c:=plot(1,x=0..Pi,color=black):

> d:=plot(-1,x=Pi..2*Pi,color=black):

> e:=animatecurve((4/Pi)*sin(x),x=-

2*Pi..2*Pi,frames=100,color=red):

> display(a,b,c,d,e);

La a aa : a a a a

La a aa : a a :

> with(plots):


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70







> e:=animatecurve((4/Pi)*sin(x)+(4/(3*Pi))*sin(3*x),x=-



Ua aa a a a a

a a :

> with(plots):






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71



>

e:=animatecurve((4/Pi)*sin(x)+(4/(3*Pi))*sin(3*x)+(4/(5*Pi))*sin(5

*x)+(4/(7*Pi))*sin(7*x)+(4/(9*Pi))*sin(9*x),x=-



Ejemplo 2.

O a F aa a :

( + ) = ( )

C ( ) a , .

Obtención de

Manualmente

Usando Maple V

> eval((1/(2*Pi))*(int((Pi+x), x=-Pi..0)+int((Pi-x), x=0..Pi )));


1

2π


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72



Usando Maple V> eval((1/Pi)*(int((Pi+x)*cos(n*x),x=-Pi..0)+int((Pi-

x)*cos(n*x),x=0..Pi)));


Usando Maple V> eval((1/Pi)*(int((Pi+x)*sin(n*x),x=-Pi..0)+int((Pi-

x)*sin(n*x),x=0..Pi)));

Serie obtenida

A aa , , , a :

Ua a a a Ma V a a a aa a

aa ( aa a a )

−2− +1 ( )cos π n

π n2

0


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73



A :

: a a :

> with(plots):

> a:=plot(-Pi-x,x=-2*Pi..-Pi,color=black):

> b:=plot(Pi+x,x=-Pi..0,color=black):

> c:=plot(Pi-x,x=0..Pi,color=black):

> d:=plot(x-Pi,x=Pi..2*Pi,color=black):

> e:=plot((Pi/2)+(4/Pi)*cos(x),x=-2*Pi..2*Pi ,color=black):


La a aa : a a a a

La a aa : a a :

> with(plots):


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74



> a:=plot(-Pi-x,x=-2*Pi..-Pi,color=black):

> b:=plot(Pi+x,x=-Pi..0,color=black):

> c:=plot(Pi-x,x=0..Pi,color=black):

> d:=plot(x-Pi,x=Pi..2*Pi,color=black):

> e:=plot((Pi/2)+(4/Pi)*cos(x)+(4/(9*Pi))*cos(3*x),x=-2*Pi..2*Pi

,color=black):


Ea a a aa a a.

Rutina en Maple

E a a a F a

a a a a a aa .

> with(plots):

> fourierPicture:=proc(func,xrange::name=range,n::posint)

> local x,a,b,l,k,j,p,q,partsum;

> a:=lhs(rhs(xrange));

> b:=rhs(rhs(xrange));


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75



> l:=b-a;

> x:=2*Pi*lhs(xrange)/l;

> partsum:=1/l*evalf(Int(func,xrange));

> for k from 1 to n do

> # Generate the terms of the Fourier seriesof func.

> partsum:=partsum

> +2/l*evalf(Int(func*sin(k*x),xrange))

> *sin(k*x)

> +2/l*evalf(Int(func*cos(k*x),xrange))

> *cos(k*x);

> #Plot k-th Fourier approximation.

> q[k]:=plot(partsum,xrange,color=blue,

> args[4..nargs]);

> od;

> #Generate sequence of frames.

> q:=plots[display]([seq(q[k],k=1..n)],

> insequence=true);

> # Add the function plot, p, to each frame.

> p:=plot(func,xrange,color=red,args[4..nargs]);

> plots[display]([q,p]);

> end:

A aa a a a a.

> fourierPicture(Pi-abs(x),x=-Pi..Pi,6);


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76



Aa a a aa a

> display( fourierPicture( Pi-abs(x), x=-4..4, 6));

Ejercicio 1. 1. Oa a Ra F aa a :


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77



Ejercicio 2.

Oa a Ra F aa a a a a :

Lección No 22: Conjunto ortogonal de funciones U φ1(), φ2(), a a[a,] aa a .

∫ == b

a mnmn dx x x 0)()(),( φ φ φ φ ( ≠ ).

a a a a aa a [a,].

L a a a a a ,

aa. Sa φ1(), φ2(), a a

[a,]

∑∞

=

=1

)()(n

nn xC xF φ .

S a a aa C () a

a φ(). S a a, a, φ(),

(). , a a a ∑∞

=

=1

)()(n

nn xC xF φ φ(),

a a aa

∫ ∑

∫

=

=

∞

=

b

an

nn

b

a mm

dx xm xc

dx x x f f

)()(

)()(),(

1

φ φ

φ φ

a a a a a aa aa a

),()()(),(11

m

n

nn

n

b

a mnnm C dx x xc f φ φ φ φ φ ∑∑ ∫

∞

=

∞

=

== .


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78



P φ, a a, aa (φ, φ) = 0 ≠ . E

),(),( mmmm c f φ φ φ =

Ta aa a a a.

Sa () a a a [a,]

∑∞

=

=1

)()(n

nn xc x f φ

φ() a [a,]. E

∫

∫==

b

a n

b

a n

nn

n

n

dx x

dx x x f f C

)(

)()(

),(

),(

2φ

φ

φ φ

φ

Lección No 23: Serie seno y coseno de Fourier A a a ( ) a a aa a a a ,

F aa a aa. E a a

F a a aa.

Serie SENO de FourierS ( ) a IMPAR, a a a a SENOS

a a:

Obtención de

C ( ) IMPAR :

E a a aa

Obtención de

Como f ( x) es IMPAR y Coseno es PAR entonces:


79/165

79



A, a aa a

Obtención de C () IMPAR S IMPAR :

S a a a a 2 5 Pa Ia

Serie obtenida La S a aa a a () a a a:

Serie COSENO de Fourier

S ( ) a PAR, a a a a COSENOS

a a:

Obtención deC ( ) PAR :

Obtención de

Como f ( x) es PAR y Coseno es PAR entonces:

Obtención de C ( ) PAR S IMPAR :



80/165

80



Ejemplo 1.

Oa a F aa a :

Comprobación que f ( x) es IMPAR

Analíticamente ( ) = = ()

Geométricamente Ua a a a a.

> plot(x,x=-2*Pi..2*Pi);

E a a aa a a a .

Obtención de

C () IMPAR :

E a a aa

Obtención de C () IMPAR C PAR :


81/165

81



A, a aa a

Obtención de C () IMPAR S IMPAR :

S a a a a 2 5 Pa Ia

Manualmente

Usando Maple V

> eval((2/Pi)*(int(x*sin(n*x), x=0..Pi)));

Serie obtenida La S a aa a a ( ) a a a:

Gráfica de algunas aproximaciones. La a aa :

> with(plots):

> a:=plot(x,x=-Pi..Pi):

> b:=plot(2*sin(x),x=-Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b);

−2− +( )sin π n π n ( )cos π n

π n2


82/165

82



La a aa :

> with(plots):


> b:=plot(2*sin(x)-sin(2*x),x=-Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b);

La a aa :

> with(plots):


> b:=plot(2*sin(x)-sin(2*x)+(2/3)*sin(3*x),x=-Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b);


83/165

83



La aa aa :

> with(plots):


> b:=plot(2*sin(x)-sin(2*x)+(2/3)*sin(3*x)-(1/2)*sin(4*x),x=-Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b);

>


84/165

84



Ejemplo 2.

Oa a F aa a :

Comprobación que f ( x) es PAR

Obtención de

C ( ) PAR :

Manualmente

Usando Maple V > eval((1/Pi)*(int(Pi-x, x=0..Pi)));

Obtención de C () PAR C PAR :

Manualmente

1

2π


85/165

85



Usando Maple V > eval((2/Pi)*(int((Pi-x)*cos(n*x), x=0..Pi)));

Obtención de C ( ) PAR S IMPAR :


Gráficas de algunas aproximaciones

La a aa :

> with(plots):

> a:=plot(Pi+x,x=-Pi..0):

> b:=plot(Pi-x,x=0..Pi):

> c:=plot((Pi/2)+(4/Pi)*cos(x),x=-Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b,c);

−2 −( )cos π n 1

π n2


86/165

86



La a aa :

> with(plots):



> c:=plot((Pi/2)+(4/Pi)*cos(x)+(4/(9*Pi))*cos(3*x),x=-

Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b,c);

La a aa :

> with(plots):


87/165

87





>c:=plot((Pi/2)+(4/Pi)*cos(x)+(4/(9*Pi))*cos(3*x)+(4/(25*Pi))*cos(5

*x),x=-Pi..Pi,color=blue):

> display(a,b,c);

Ejercicio 1.

Oa a F aa a :

Ta a a a ( ) a a aa.

Ejercicio 2.

Oa a F aa a :


88/165

EDAD ACA AB


Ta a a a

CAPITULO TRES: INTELección No 24: Integral

Sa ( ) a

( ) :

:

aa

88

A A DACA AD


( ) a a aa.

RALES DE FOURIER e Fourier

a ,

().


89/165

EDAD ACA AB


E 1.

Ca a a F

V a a

89

A A DACA AD


a :

1

1 1

a () :


90/165

EDAD ACA AB


P a, a a F

A a a

F.

Lección No 25: Converg

Sa a a

a F

aa a

E 1.

E a a a

Ta a a

90

A A DACA AD


() :

F, a a

ncia de la integral de Fourier

aa a

:

a.

a F a :

F aa a

a a a

, a

aa:


91/165

EDAD ACA AB


Lección No 26: Integral

Sa a

a aa

a.

Sa a ,

:

Ma a a F

:

Lección No 27: Converg

Sa a a

) La a F

91

A A DACA AD


e Fourier de seno y coseno

a , a a

a a F a a a

a a F :

:

ncia de la integral de Fourier

aa a ,

a a

a.

a a

:

aa aa


92/165

EDAD ACA AB


S a a F

) La a F

S a

E 1.

Sa

a

P a, a a F

La a a:

92

A A DACA AD


S a 0.

a a

a.

a F a

a a a . Caa a

a a a.

:

aa aa

.

a F


93/165

EDAD ACA AB


N a, a

.

P a, a a F

La a a:

N a, a

E 2.

Caa a a F

a, aa a

93

A A DACA AD


a F ( ) a

.

:

a F , a (),

a a

:

( ), a

.

a


94/165

EDAD ACA AB


.

P a, a a F

La a a:

94

A A DACA AD


:


95/165

EDAD ACA AB


T :

P a, a a F

La a a:

95

A A DACA AD


.

:


96/165

EDAD ACA AB


1. Caa a F

Da a

SERIE DE FOURIER:

CONVERGE A:

2. Caa a F

Da a

SERIE DE SENOS:

96

A A DACA AD


EECC E

a :

a a .

a :

aa a a a .


97/165

EDAD ACA AB


CONVERGE A:

SERIE DE COSENOS:

CONVERGE A:

3. Caa a F

97

A A DACA AD


a :


98/165

EDAD ACA AB


Da a

SERIE DE FOURIER:

CONVERGE A:

P a, a

4. Caa a a a

98

A A DACA AD


a a .

a ,

a F a :


99/165

EDAD ACA AB


Gaa a

FORMA NGULO FASE:

S a,

ESPECTRO DE AMPLITUDES:

5. Caa a a F

Da a

99

A A DACA AD


a .

a :

a a a .


100/165

EDAD ACA AB


INTEGRALDE FOURIER:

CONVERGE A.

6. Caa a a F

Da a

INTEGRAL DE SENOS:

CONVERGE A:

100

A A DACA AD


S C a

a a a .

:


101/165

EDAD ACA AB


INTEGRAL DE COSENOS:

CONVERGE A:

CAPITULO CUATRO: T Lección No 28: Transfor

Sa a

S aa a a

101

A A DACA AD


ANSFORMADA DE FOURIER ada de Fourier

a a , a :

aaa :

. La


102/165

EDAD ACA AB


E 1.

Sa a

Caa a aaa F

Ua a a

E a, a aaa

a.

E a Ua I a a

) a a

N a

A ,

102

A A DACA AD


.

a aaa F:

F a a a

(a a

:

a :

,

a a a:

,

,

a


103/165


104/165

EDAD ACA AB


P a,

A a a aaa

a.


Daa a ,

E aa a

Oa, a

a a

a aa aaa

)

)

104

A A DACA AD


a a a a:

,

Laa, a a, a a

ada inversa de Fourier

a a :

,

a a aaa F, a

aa a. A , a a a

a:

, .

, .

aa F

a :

a

a


105/165

EDAD ACA AB


)

E aa a a

a F

A , a

La a a aa

E a aa a,

aaa F,

A ,

Lección No 30: Espectro

Daa a

105

A A DACA AD


, .

a aa a aaa F

a, :

a aaa F a

a a a a .

a a a, a

a a .

a a :

de amplitud

a a , , a

a a .

, a

:

a a

,


106/165


107/165


108/165

EDAD ACA AB


T a

S =

S

108

A A DACA AD


.


109/165

EDAD ACA AB


P a

A

a

La a

109

A A DACA AD



110/165


111/165

EDAD ACA AB


a a a

a a a a

A a

111

A A DACA AD


a aa :

Paa:

aa :

A


112/165

EDAD ACA AB


Lección No 32: InterpretS ( )

aa a a a,

S a

a ω ω →∆n . E a ω0 , :

112

A A DACA AD


ción de la transformada de Fourier a , ( )

∑∞

−∞=

=m

t jn

nect f 0)(

ω

T

π ω

20 =

∫−=

2 /

72

0)(1 T

T

t jn

n dt et f T

c ω

a → ∞, ω0 → ∆ω = 2π∆ , ∆ = 1/ ,

∫

∑

−

∆−

∞

−∞=

∆

∆=

=

2 /

2 /

)(

)(

)(

)(

T

T

t n j

n

n

T n f

n

dt et f f c

ect f

ω

ω

a a a a a, aa

, aa ω . D aa,

a

∞→→∆ n,0ω

C C(ω)


113/165

113



)()()(

lim0

ω ω

F dt et f f

c jet

f

==∆ ∫

∞

∞−

−

→∆

S a

)()( ω ω cdf F =

, ω = 2π,

)()(2

1ω ω ω

π cd F =

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

=

=

ω ω π

ω ω π

ω

ω

d eF

ed F t f

t j

t j

)(2

1

)(2

1)(

Ea a a ω ω π d F )(2

1 a a a a a a

a a aa ( 0 → ω) aa . A

ω ω d F )( a. F(ω) ; a a a a aa )(ω F . ω a

a )(ω F a a , a ( ).

La a a a a a a a a

a aa a , aa.

4.5 E

1) . Caa a aaa F a aa


114/165

114



( ) dt edt et f F t it t i ω π

π

π ω ω −−

−∞

∞− ∫∫ +== 27cos1)()(

Ea a aa. Ua aa a aa aa a

a a. A a a:

32

2222

32

2222

449

2

7sen14

2

7cos1449

449

2

7sen14

2

7cos1449

)(

ω ω π

π πω

π ω π

ω ω π

π πω

π ω π

ω

πω

πω

+−

+

++−

−

++−

+

++−

=

−

−

iie

iie

F

i

i

2) . E , aa a aaa

F a :

it t f

+=

4

5)(

SOLUCIN

E a aa a ω ia

t ue at

+

↔−1

)( . P a a aa a a

aaa a , a aa , a a aaa a

a. Paa a a aa a a a, a

( ) (), ( ) 2 ().

E a, , aa a aa aa a a

aa:ω i

t ue t

+↔−

4

5)(5

4. P a a a a

)(524

5 )(4 ω π ω −↔+

−−ue

it . Va () a a a (),

a () = 1 (). R a a a:

[ ])(1104

5 4 ω π ω ueit

−↔+

3) . Aa a a aaa F, aa aa

a a ( ) = 6[( 3) ( 7)].


115/165

115



SOLUCIN

La aa 4 a 6 a = 5. Sa aa T aa a 1 a = 0, a aaa F T() =

( /2), ( ) = / . P a 5 a. Na

a a 64( 5).

Paa aa a a,

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