MATEMATICAS FINANCIERAS

5/21/2018 MATEMATICAS FINANCIERAS

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MATEMTICASFINANCIERASADMINISTRACION DE EMPRESAS TURISTICAS

YARELY DANEY OLVERA ALVAREZ


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Matemticas Financieras Pgina 1

NDICE

Introduccin_______________________________________________________2

Objetivos _______________________________________________________3

Bonos ______________________________________________________33

Agotamiento______________________________________________________54

Amortizacin _____________________________________________________55

Fondos de Amortizacion____________________________________________56

Conclusin _____________________________________________________73

Bibliografas _____________________________________________________74


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INTRODUCCIN

Las matemticas financieras tienen aplicacin en la vida cotidiana de las personasy las empresas, por ello resulta imprescindible su cabal comprensin, pues loserrores que con ellas se cometen tienen repercusin directa en el bolsillo.

Este trabajo de investigacin habla sobre la depreciacin que trata sobredeterminar el costo de los bienes o servicios que se generan en dichos activos;tambin podrn encontrar informacin sobre los bonos, el agotamiento yamortizaciones y fondo de amortizacin as como un ejemplo de cada uno de

estos temas.


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OBJETIVOSEste trabajo de investigacin se hizo con el propsito que aprendan los temas,ejercicios sobre la depreciacin, los bonos, entre otros temas.

El objetivo es que sepan aplicar los diversos mtodos de los temas yamencionados en el trabajo, en una empresa o hasta en la vida cotidiana, paratener conocimientos sobre el estado financiero y saberlo llevar a cabo.


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DEPRECIACIN

La prdida de valor que sufre un activo fsico como consecuencia del uso o deltranscurso del tiempo es conocida como depreciacin. La mayora de los activos,a excepcin de los terrenos tienen una vida til durante un periodo finito. En eltranscurso de tal periodo estos bienes van disminuyendo su valor, perdida que esreflejada por la depreciacin.

Contablemente se realiza un cargo peridico a los resultados por la depreciacin

del bien y, en contrapartida, se crea un fondo para contar con los recursosnecesarios para reemplazarlo al concluir su vida til.

Los cargos peridicos que se realizas son llamados cargos por depreciacin. Ladiferencia entre el valor original y la depreciacin acumulada a una fechadeterminada se conoce como valor en libros, el cual no necesariamentecorresponde a su valor de mercado. En tiempos de alta inflacin, este puede llegara ser varias veces superior, pues aquel refleja nicamente la parte del costooriginal que est pendiente de ser cargada a resultados.

Al valor que tiene el activo al final de su vida til se le conoce como valor desalvamento, es la cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso desu vida activa.

En el caso de los activos que no pueden reemplazarse se utiliza el concepto deagotamiento, esto es la prdida progresiva de valor por la reduccin de sucantidad aprovechable. Es el caso de las minas que, por la extraccin de que son


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objeto, van disminuyendo paulatinamente su capacidad y su valor, hasta que seagotan totalmente.

As pues, dos son los objetivos de depreciacin:

1. Reflejar en los resultados la prdida de valor del activo2. Crear un fondo interno para financiar la adquisicin de un nuevo

activo al finalizar la vida til de antiguo

En pocas inflacionarias este segundo objetivo se logra en forma parcial, pues los

precios de los nuevos activos sern considerablemente mayores a los de losantiguos.

Existen diversos mtodos para determinar el cargo anual por depreciacin. Cadauno de ellos presenta ventajas y desventajas que sern analizadas en cadaseccin.

En este captulo se utilizara la siguiente notacin:

Costo: costo original del activo

S: valor de salvamento (S puede ser negativo)

n: vida til calculada en aos

B=C-S : base de depreciacin del activo

D: cargo por depreciacin por el ao k (1


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V= C y Vn= S

dk: tasa de depreciacin por el ao k ( 1kn )

METODO DE LINEA RECTA

Es el mtodo ms simple y el que ms se utiliza. En muchos pases como Mxico,es el nico aprobado por las autoridades para cumplir con las disposicionesfiscales al respecto.

Este mtodo supone que la depreciacin anual es la misma durante toda la vida

til del activo. De acuerdo con ello, la base de depreciacin se divide entre elnmero de aos de vida til calculada y se determina el cargo que anualmente sehar al fondo de reserva y a los resultados.

Al final de la vida til, la depreciacin acumulada ms el valor del salvamento delbien debe ser igual al valor de reposicin.


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Dk=

=

= D (independientemente de k )-------------------------------- (10.1)

Ak= kD--------------------------------------------------------------------------------------- (10.2)

Vk= C kD--------------------------------------------------------------------------------- (10.3)

La depreciacin acumulada crece cada ao en una cantidad fija y el valor en librosdisminuye en la misma cantidad.

Ejemplo 10.3.1

Se compra un equipo de cmputo con valor de $16,000 y se calcula que su vidatil ser de 4 aos, antes de que deba ser reemplazado por equipo ms moderno.Su valor de desecho se calcula en $2500.

a) Determinar la depreciacin anual por el mtodo de lnea rectab) Elaborar una tabla de depreciacin

Solucin:

Utilizando la formula (10.1) se tiene:

D=

=

D=

=

D=3375


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De esta forma la depreciacin anual ser de $ 3375, cantidad que se incrementaren el fondo de reserva para depreciacin y disminuir en el valor en libros delactivo. Esto se refleja claramente en la tabla (10.1)

METODO DE PORCENTAJE FIJO

Este mtodo tiene en consideracin el hecho de que la depreciacin es mayor enlos primeros aos de uso y menor en los ltimos. Para reflejarlo se carga unporcentaje fijo del valor en libros del activo a los resultados de la empresa. Dichovalor en libros disminuye cada ao y por lo tanto, la depreciacin disminuyetambin consecuentemente. La depreciacin anual estar dada por la frmula:

Dk= Vk-1

El valor en libros al final del primer ao estar dado por:


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V1= v0-v0d= C-Cd

Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciacin anual fijada. En elsegundo ao, el valor en libros estar dado por:

V2= v1- v1d= v1(1-d)= C (1-d) (1-d)

Y en el tercero ser:

V3=v2- v2d= V2(1-d) = C (1-d) (1-d) (1-d)

Por lo tanto, se est en presencia de una progresin geomtrica cuyo trminocomn es ( 1-d)

El valor en libros al final de cada ao puede determinarse utilizando la frmula:

Vk= C

En el ltimo ao, el valor de salvamento ser igual al valor en libros:

S= C = Vn

Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciacin utilizando la formula(10.6). Este mtodo solo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo; delo contrario, la formula (10.6) carecera de sentido. En caso de que el valor de

desecho calculado fuese 0, puede sustituirse por 1 para poder aplicar dichafrmula.

Ejemplo:

Una compaa compra una camioneta para el reparto de su mercanca en $75000.Calcula que su vida ser de 5 aos y que al final de ella su valor de desecho serde $10,000


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a) Determinar la tasa de depreciacin dque debe aplicarseb) Elaborar una tabla de depreciacin correspondiente.

SOLUCION

En este caso se conoce el valor de desecho y el nmero de aos de vida til. Seaplica la formula (10.6) y se despeja d:

S= C

10,000= 75,000

0.13333333=

(0.13333333) = 1-d

0.66832506= 1-d

d = 10.668325

d= 0.33167494

d= 33.1675

Este porcentaje se aplica para calcular la tabla 10.3 de la depreciacincorrespondiente; si existe diferencia, debida al redondeo de las cifras, se debeajustar en el ltimo cargo por depreciacin.


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METODO DE SUMA DE DIGITOS

El mtodo de dgitos, al igual que el del porcentaje fijo, es un mtodo acelerado de

depreciacin que asigna un cargo mayor a los primeros aos de servicio y lodisminuye con el transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual semultiplica la base de depreciacin del activo por una fraccin que se obtiene de lasiguiente manera:

1. Se suman los dgitos (suma de dgitos) de 1 a n de los aos de vidaesperada del activo.Ejemplo: Si un activo tiene una vida esperada de 4 aos, se suman

los dgitos enteros correspondientes a los aos de servicioesperados: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Esta cifra tambin puededeterminarse utilizando la siguiente formula:

s =


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Ejemplo: en el caso anterior se tiene:

s =

s =

s= 10

2. La cifra que as se obtenga ser el denominador de la fraccin adepreciar. Los dgitos correspondientes a los aos de vida til delactivo se ordenan inversamente al tiempo y as, inversamente, seasignan a cada uno de los aos de vida til. Estos seran losnumeradores de la fraccin.

Ejemplo: en el caso del activo con vida de 4 aos se tiene:

Ao 1 2 3 4Aos en orden invertido 4 3 2 1Suma de digito s 10 10 10 10Fraccin que se depreciara 4 3 2 1

10 10 10 10

3. La fraccin que as se obtenga se multiplica por la base dedepreciacin del activo (C-S) y se obtiene el cargo anual. Enconsecuencia , se tiene que:

D1=

( CS) D2=

( CS) Dn=

= ( C- S)


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Y generalizando : Dk=

( C- S)

La depreciacin acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base dedepreciacin ( C- S) por la suma de las fracciones acumuladas hastaese ao

EJEMPLO:

Calcule los costos de depreciacin para los 3 primeros aos y el valor en librospara el ao 3 de un activo que tuvo un costo inicial de $ 25 000, un valor desalvamento de salvamento de $ 4 000 y una vida til de 8 aos.Solucin:La suma de los dgitos de los aos debe calcularse primero, utilizando la ec. 4.1.3.(b).

SDA=

Los costos de depreciacin para cada uno de los 3 aos pueden calcularse ahora,utilizando la ecuacin 4.1.3. (a).


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METODO POR UNIDAD DEPRODUCCION O SERVICIO.

Al adquirir un activo se espera que d servicio durante un determinado periodo(aos, das, horas ) , o bien, que produzca una cantidad determinada de kilos,toneladas, unidades, kilmetros, etc. Si se conoce la vida esperada del bien enfuncin de estos parmetros, puede depreciarse de acuerdo con las unidades de

produccin o servicio que genera durante un periodo determinado.

Ejemplo:

Una compaa arrendadora de autos adquiere un automvil para su flotilla, con uncosto de $152,000. La empresa calcula que la vida til del automvil para efectos


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de arrendamiento es de 60,000km y que, al cabo de ellos, el valor de desecho dela unidad ser de 62,000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los 3primeros aos fue:

AO KILOMETROS1 24,0002 22,0003 14,000

a) Determinar el monto de depreciacin por kilmetro recorridob) Elaborar la tabla de depreciacin correspondiente

Solucin:

En primer lugar se determina la base de depreciacin:

B= CSB= 152,00062,000B= 90,000

Esta base de depreciacin se distribuye entre los kilmetros tiles para efectos

de arrendamiento con el fin de encontrar la depreciacin por kilmetro.

d/km =

d/km = $ 1.50

La depreciacin por kilmetro es de $ 1.50. Conociendo este dato, la tabla 10.9muestra la depreciacin correspondiente.


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AO KILOMETROSRECORRIDOS

DEPRECIACIONANUAL

DEPREACIACIONACUMULADA

VALOR ENLIBROS

0 0 0 0 152,0001 24,000 36,000 36,000 116,0002 22,000 33,000 69,000 83,0003 14,000 21,000 90,000 62,000

EJEMPLO 2:

8.-Una maquina inyectora de plstico costo $84 000 y su valor de rescate alfinal de 8 aos es de $ 10 000 De cunto es la depreciacin anual si el primerao se producen 4 000 000 de piezas y se reduce 6% cada dos aos . Hacerel cuadro de depreciacin.

C=$ 84 000 4000000-100% X=24 000

Cn=$10 000 x -6%

N=8 aos

El total de piezas producidas va disminuyendo cada dos aos el 6% del valorinicial, sea 24000 cada ao. Y el total al final de los 8 aos es = 23233472

00253.029233472

100084000

R R=0.00253

0.00253(4 000 000)=$10 125.38

0.00253(3 760 000)=$9 517.86

0.00253(3 534 400)=$8 946.79


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0.00233(3 322 336)=$8 409.98

La depreciacin acumulada es la suma de la depreciacin anual :

10 125.38+10 125.38=20 250.76

20 250.76+9 517.86=29 768.62

29 768.62+9 517.86=39 286.47

39 286.47+8946.79=48 233.26 hasta el ao 8.

El valor en libros es la resta del valor original menos cada valor de ladepreciacin acumulada.

84 000-10 125.38=$73 874.62

84 000-20 250.76=$63 749.24

84 000-29 768.62=$54 231.38.

84 000-39 286.47=44 713.53 hasta el ao 8

84 000-74 000.00=$10 000


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Fin de ao Piezasproducida

Depreciacinanual

Depreciacinacumulada

Valor enlibros

0 - - - 84 000.001 4 000 000 10 125.38 10 125.38 73 874.622 4 000 000 10 125.38 20 250.76 63 749.243 3 760 000 9 517.86 29 768.62 54 231.384 3 760 000 9 517.86 39 286.47 44 713.535 3 534 400 8 946.79 48 233.26 35 766.746 3 534 400 8 946.79 57 180.05 26 819.957 3 322 336 8 409.98 65 590.02 18 409.98

8 3 322 336 8 409.98 74 000.00 10 000.00

Problemas de Suma de dgitos.

8.-El seor Padilla compra un equipo de peletera en % 90 000, el fabricante le

garantiza 6 aos de vida til Cul ser el valor de rescate si se considerainflacin del 9.6% anual y que el primer ao se deprecia $ 21 690? Hacer uncuadro de depreciacin.

Datos:

C= $ 90 000

Cn= ?

D1=$21 690

Inflacin: 9.6% anual

N= 6 aos de vida til.

La suma de los dgitos es:


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b= 1+2+3+4+5+6=21

Si x es la base de la depreciacin entonces la del primer ao es

:

21690)( xb

a

759156

)21(21690

x Al final de la vida til de 6 aos

Con la inflacin del 9.6% anual, el valor del equipo al concluir el primer ao es =

C1=$ 90 000(1.096)=$98 640

El valor de la inflacin anual menos la primera depreciacin queda:

C1= 98 64021 690=$76 950

Se saca el valor de cada depreciacin por ao y el valor de la inflacin


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3615$)75915(21

16

7230$)75915(21

25

10845$)75915(21

34

14460$)75915(21

43

18075$)75915(21

52

D

D

D

D

D

71.52007$36157.556226

7.55622)096.1(50750656

65.50750723065.57980$5

65.57980)096.1(05.529025

05.529021084505.637474

05.63747)096.1(37.581634

37.58163$1446037.726233

37.72623)096.1(2.662623

2.66262$180752.843372

8.843426)096.1(769502

222

)(inf12

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

DCC

lacionCC

El valor de rescate es igual a el valor con inflacin del ltimo ao menos ladepreciacin anual del ltimo ao :

B) Valor de rescate = ultimo valor de inflacinultimo valor de depreciacin anual

=$55 622.71-$3 615.00=$52 007.71

El valor en libros es el valor con inflacin menos la depreciacin de cada ao.

Valor en libros del primer ao = $98 640.00-$21 690.00=$76 950.00

Valor en libros del segundo ao = $84 337.20-$18 075.00=$66 262.20 ashasta el sexto ao.

Valor en libros del sexto ao=55 622.71-3615.00=$52007.71


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La depreciacin acumulada resulta de la suma de la depreciacin anual:

Primer ao =$21 690.

Segundo ao=21 690+18 075.00=$39 765.00

Tercer ao=39 765.00+14 460.00=$54 225.00 as hasta el final del sexto ao.

Sexto ao=71 940+3 615.00=$5 200.71

La tabla quedara:

Fin de ao Valor deinflacin

Depreciacinanual

Depreciacinacumulada

Valor enlibros

0 - - - 90000.001 98640.00 21690.00 21690.00 769500.002 84337.20 18075.00 39765.00 66262.203 72623.37 14460.00 54225.00 58163.374 63747.05 10845.00 64710.00 52902.055 57980.65 7230.00 71940.00 50750.656 55622.71 3615.00 75555.00 52007.71


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METODO DEL FONDO DEAMORTIZACION

Este mtodo toma en consideracin con los intereses que gana el fondo dereserva que se va constituyendo; por lo tanto, el incremento anual del fondo estardando por la suma del cargo anual por depreciacin ms los intereses ganados enel periodo de referencia.

La aportacin anual al fondo de amortizacin se deriva de la formula (4.1) que seutiliza para determinar el monto de una anualidad:

M= R =

Para determinar el pago peridico se depeja R:

R=

En este caso M = B, pues es el monto que se debe acumular al cabo de n aos, auna tasa de inters i y R = D , el cargo anual que debe realizarse al fondo.

Por lo tanto:

Dk= B

=

=

Para determinar la depreciacin acumulada Ak calcula el monto de un pagoperidico D a un plazo k y a una tasa de inters i por periodo:


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Donde Ak= D

Ak = D

M= R D

El monto acumulado al cabo de n aos debe ser igual, como ya se seal, a labase de depreciacin del activo.

EJEMPLO:

Ramn desea tener $ 12,000 para darlos de enganche para una casa. Si puedeahorrar $ 1,300 cada mes en un banco que le paga una tasa de inters del 2.24 %mensual Cunto tiempo tardar en acumular los $ 12,000?

Constryase la tabla de capitalizacin.n= 8.48 meses


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DEPRECIACION EN EPOCASINFLACIONARIAS

Al inicio de este captulo se mencion que dos son los objetivos de ladepreciacin:

1.- Determinar el costo real de los bienes o servicios que se generancon un activo.2.-Establecer un fondo de reserva que permita reemplazarlos al finalde su vida til.

En pocas inflacionarias, el rpido incremento de los precios de todos los bienes yservicios impiden que un sistema de depreciacin basada en costos histricoscumpla con los objetivos arriba mencionados, pues si la base de depreciacin semantiene sin actualizar, los precios de los bienes no revelaran los costos actuales

de produccin, ni el fondo que se establezca permitir reemplazar al bien.

En esta seccin se harn algunas consideraciones con respecto a los problemasarriba mencionados y se presentaran alternativas para el tratamiento financiero dela depreciacin.

EL VALOR DE REPOSICIN

Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflacin sus encargadosde finanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas productivas descontando elefecto de la inflacin. Una empresa puede mostrar utilidades en sus estadosfinancieros, pero si el porcentaje de incremento que presenta de un ao a otro nocompensa la prdida del poder adquisitivo ocasionada por la inflacin, estsufriendo perdidas en trminos reales. Si a ello se ana el hecho de que talesutilidades aparentes se reparten entre los accionistas, lo que suceder en que la


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empresa se descapitalizara y que en pocos aos afrontar serios problemas deliquidez que pueden llevarla incluso a la quiebra.

Por lo tanto, un elemento que deber actualizarse en forma constante en ladepreciacin para efectos financieros.

Para hacerlo se usa el concepto de valor de reposicin, esto es, el importe que senecesitara desembolsar en el futuro para reponer un activo que se encuentra en

servicio en un momento determinado. Este clculo resulta complejo, pues influyenvarios factores.

a) La vida til del activob) La obsolescencia del activoc) La inflacin esperadad) Vida til esperada del activo: son los aos durante los cuales se considera

que el activo podr funcionar rentablemente.e) La obsolescencia: si bien un activo puede tener una vida til de 10 aos,

puede ser que el avance tecnolgico haga necesario su cambio con

anterioridad, al aparecer equipos que cumplan la misma funcin con uncosto sensiblemente menor.

f) La tasa de inflacin esperada: para poder conocer el valor de reposicin deun activo es necesario calcular la inflacin promedio esperada para losaos de vida til. Este clculo es cada vez ms complejo, pues lavariabilidad de las polticas econmicas de los pases, su interdependenciaglobal cada vez mayor y la presencia de variables ajenas al control deellas, hace muy difcil predecir el comportamiento de esta variable en elmediano plazo (3 a 5 aos) y prcticamente imposible en el largo plazo.

A pesar de estas dificultades es necesario realizar los esfuerzos necesarios paracalcular dicho valor de reposicin, en el entendido de que se trata de valoresesperados que sers ajustado cada vez que se requiera.

Una vez conocidos los datos anteriores, el clculo del valor de reposicin essencillo.


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Ejemplo:

Cul es el valor de reposicin de un equipo cuyo costo de adquisicin es de$5000, si su vida til esperada es de 4 aos y se prev que la inflacin anualpromedio ser de 30%

Solucin:

Se aplica la frmula del monto a inters compuesto y se obtiene:M= C

M=5000

M=5000 (2.8561)

M=14,280.50

El valor de reposicin esperado en 4 aos es de $14,280.50

Si el valor de estos equipos ha disminuido 5% cada ao en trminos reales comoresultado de los avances tecnolgicos y de la utilizacin de nuevos materiales mseconmicos cul sera el valor de reposicin esperado?

Solucin:

Si se considera que el equipo tuviera valor constante de $5000, al cabo de un aosu precio seria 5% menor; al cabo de dos aos, 5% y as sucesivamente.

Esto puede expresarse matemticamente como sigue (VRC = valor de reposicina precios constantes)

VRC= 5000(0.95) (0.95) (0-95) (0.95)

VRC= 5000 (0.95)


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M=4072.53125 (2.8561)

M= 11631.56

El mismo resultado puede obtenerse si se disminuye el valor de reposicin que seobtuvo en el ejemplo anterior.

VR= 14,280.50

VR= 14,28.50

VR= 14,280.50 (0.81450625)

VR= 11,631.56

Una vez determinado el valor de reposicin se procede a calcular los cargosanuales por depreciacin de acuerdo con los sistemas que ya se explicaron.

El valor de reposicin puede calcularse tambin anualmente, ajustando los costoshistricos de acuerdo con los ndices de inflacin que proporciona el banco deMxico, o mediante evalu realizado por peritos. Una vez, determinado dicho valor

tambin se deben ajustar los cargos anuales por depreciacin. Estos ajustes yrevaluaciones no son admitidos por las autoridades para efectos fiscales, pero apesar de ellos es muy necesaria que sean consideradas para efectos financieros,con el fin de prevenir las consecuencias mencionadas.

No es el objetivo desarrollar aqu simplemente este tema, pero si se deseadestacar la importancia que tiene reflejar en los estados financieros los efectosque produce la inflacin con el fin de contar con informacin veraz para la toma dedecisiones.


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APLICACIONESLas aplicaciones de las depreciaciones son abundantes. El mtodo que se utilizacon mayor frecuencia es el de lnea recta, pues, como se mencion, en el casomexicano es el nico aprobado por las autoridades hacendarias, las cualesestablecen los porcentajes mximos de depreciacin que los contribuyentespueden deducir anualmente.

Ejemplo:

Determinar de acuerdo con lo establecido en la Ley del Impuesto sobre la Renta,el monto mximo de depreciacin anual de una computadora que tuvo un costo de$18,000 si su valor de desecho se considera cero; elaborar la tabla dedepreciacin correspondiente.

Para conocer el monto mximo de depreciacin que autoriza la ley, se debeconsultar el artculo 40 que establece los porcentajes de depreciacin aplicables alos activos fijos que adquiera y utilice una empresa. El monto de depreciacinanual se determina multiplicando el monto original de la inversin para adquirir el

bien por el por ciento establecido en la ley.

D= MOI * %

D= 18,000 * 0.30

D= 5400

Una vez conocido el monto mximo de depreciacin anual se procede a elaborarla tabla de depreciacin correspondiente.

AOS DEPRECIACIONANUAL DEPRECIACIONACUMULADA VALOR ENLIBROS0 0 0 180001 5400 5400 126002 5400 10800 72003 5400 16200 18004 1800 18000 0


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EJEMPLO:

Se compra un equipo de cmputo con valor de $20,000.00 y se calcula que suvida til ser de 6 aos. Su valor de desecho se calcula en 3,000.00 Cul es ladepreciacin anual?

D = 20,000 - 3000 = 2833.33

METODO DE LINEA RECTA

Los mtodos de depreciacin en lnea recta y de unidades producidas distribuyenel gasto por depreciacin de una manera equitativa. Con el mtodo de lnea rectael importe de la depreciacin es el mismo para cada periodo fiscal. Con el mtodode unidades producidas el costo de depreciacin es el mismo para cada unidad

producida, de cuntas horas se emplean o de los kilmetros recorridos, durante elperiodo fiscal.

Costovalor de desecho = monto de la depreciacin para cada ao devida del activo o gasto de depreciacinanualAos de vida til

La depreciacin anual para un camin al costo de $33 000 000 con una vida til

estimada de cinco aos y un valor de recuperacin de $3 000 000, usando elmtodo de la lnea recta es:

$33 000 000 - $3 000 000 = Gasto de depreciacin anual de $6 000 000

5 aos


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100% = 20% x $30 000 000 ($33 000 000 - $3 000 000) = $6 000 000

5 aos

METODO DE PORCENTAJE FIJO

Este mtodo consiste en utilizar un porcentaje de depreciacin constante llamadotaza de depreciacin sobre valor en libros. La depreciacin anual se obtiene por:

D= Vd.

Donde d es la tasa de depreciacin y V es el valor en libros del ao inmediatoanterior al del ao cuya depreciacin anual se desea calcular. Este mtodo tieneen consideracin el hecho de que la depreciacin es mayor en los primeros aosde uso y menor en los ltimos.

Para reflejarlo se carga un porcentaje fijo del valor en libros del activo a losresultados dela empresa. Dicho valor en libros disminuye cada ao y, por tanto, ladeprecacin disminuye tambin consecuentemente.Bajo estas condiciones, el costo de depreciacin de la propiedad para el primerao de vida es Vf,donde f representa el factor de porcentaje fijo.

Ejemplo:

Al final del primer ao

Valor del activo = Va = V(1

f) (6.3)

Al final del segundo ao


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Va = V (1

f) 2 (6.4)

Al final de a aos

Va = V (1

f) a (6.5)

Al final de n aos (por ej. Al final de la vida de servicio)

Va = V(1f) n = VS (6.6)

Ventajas

1. Es un mtodo relativamente fcil de aplicar

2. Asigna un mayor cargo por depreciacin a los primeros aos, que es cuando losBienes efectivamente pierden ms valor.

Desventajas:1. Como el mtodo de lneas rectas, no tiene en cuenta los intereses que generael fondo de reserva.


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METODO DE SUMA DE DIGITOS:El mtodo de la suma de los dgitos de los aos da como resultado un importe dedepreciacin mayor en el primer ao y una cantidad cada vez menor en los demsaos de vida til que le quedan al activo. Este mtodo se basa en la teora de quelos activos se deprecian ms en sus primeros aos de vida.

Ejemplo:

Deseamos calcular las amortizaciones correspondientes a cada ejercicioeconmico de un equipo de produccin valorado en 60.000 euros, utilizando elmtodo de nmeros dgitos creciente.La vida til del equipo se estima en 10 aos y su valor residual es de 5.000 euros.

Solucin:

- Cuota1=55.000*(1/55)=1.000 euros

- Cuota2=55.000*(2/55)=2.000 euros- Cuota3=55.000*(3/55)=3.000 euros.....- Cuotan=55.000*(10/55)=10.000 euros

B) Idem con el mtodo de nmeros dgitos decrecientes.

Solucin:- Cuota1=55.000*(10/55)=10.000 euros- Cuota2=55.000*(9/55)=9.000 euros.....

- Cuotan=55.000*(1/55)=1.000 euros

RESUMEN:En este tema se defini la depreciacin como la perdida de valor que sufren losactivos por el transcurso del tiempo o por el uso que se les da.


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Bono es una obligacin o documento de crdito, emitido por un gobierno o unaentidad particular, a un plazo perfectamente determinado, que devenga interesespagaderos en periodos regulares,

Las leyes de cada pas o estado regulan las relaciones entre las entidadesemisoras y las personas propietarias o tenedoras de los bonos. Los bonos quepueden transferirse libremente y cambiar de dueo por simple venta se denominanbonos no registrados y se emiten al portador. En caso de que los bonos seanregistrados, solo pueden transferirse mediante endoso y con consentimiento delemisor.

Pago de intereses: En la mayora de los bonos, los pagos de intereses se efectancontra la presentacin de cupones; estos cupones estn impresos en serie ligadosa la misma obligacin y cada uno tiene impresa la fecha de su pago. Tanto loscupones como el bono mismo son pagares negociables; en el caso de los bonosregistrados, tanto en lo principal como en los inters, los cupones no sonnecesarios ya que los intereses se pagan, directamente, a la persona registradacomo tenedor del bono.

Valor Nominal: El principal o capital que seala en el bono es su valor nominal; losvalores ms utilizados son los bonos de $100, 500, 1000, 10000,50000.

Valor de Redencin; Es el valor que se reintegra al tenedor del bono; por logeneral el valor de redencin es igual al valor nominal. En tal caso, se dice que elvalor es a la par. El reintegro del principal se efecta en una fecha de vencimientoestipulada pero, en algunos casos, se deja al propietario la opcin de reintegrar elvalor, antes del vencimiento.


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Precio de los Bonos: El precio de los bonos en el mercado de valores se fija poracuerdo entre el comprador y el vendedor; este valor depende bsicamente de lossiguientes factores: (1) tasa de inters e intervalo de los cupones; (2) tasa deinters local para las inversiones; (3) tiempo que debe transcurrir hasta elvencimiento; (4) precio de redencin; (5) las condiciones econmicas imperantes;(6) confiabilidad en las garantas del emisor. Los bonos pueden venderse a la par,con premio o con descuento, segn el precio de venta sea igual, mayor o menorque el valor nominal.

Tasa Interna de Retorno (TIR) o Rentabilidad: Para el clculo de la tasa interna deretorno del dinero invertido en bonos, el inversionista debe tener en cuenta tanto elvalor de los cupones como el valor de redencin del bono. Un bono comprado condescuento ira aumentando gradualmente su valor, hasta igualar el valor deredencin del bono. Un bono comprado con descuento ira aumentandogradualmente su valor, hasta igualar el valor de redencin en la fecha devencimiento y esto agrega un beneficio al valor de los cupones. En caso de quelos bonos se compren con premio, se produce una disminucin paulatina delprecio de compra que debe restarse del valor de los cupones, a fin de calcular elrendimiento.

PRECIO DE LOS BONOS EN UNAFECHA DE PAGO DE INTERES O

CUPN.

El problema consiste en determinar el valor que un inversionista debe pagar porciertos bonos, con el propsito de obtener determinada tasa de inters sobre suinversin. Al comprar un bono, en una fecha de pago de inters, el comprador


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adquiere el derecho a recibir el pago futuro de los intereses, el compradoradquiere el derecho a recibir el pago futuro de los intereses en cada periodo depago y el valor de redencin del bono, en la fecha de vencimiento. El valor actualdel bono debe ser equivalente a la suma de los valores actuales de los derechos oflujo que compra, sea:

Valor presente de los bonos = valor presente de los intereses + valor actual delprincipal

Designados por:

C = precio de redencin del bono

P = precio de compra para obtener un rendimiento

F = valor nominal (o a la par) del bono

r = tasa de inters, por periodo de pago de cupn

n= nmero de periodos de intereses (o nmero de cupones), hasta la fecha devencimiento,

i = tasa de inters sobre la inversin por periodo de cupn [rentabilidad o tasainterna de retorno (TIR) ]

Si se designa por A el valor de los intereses que paga el bono en cada fecha depago, se tiene el siguiente flujo de valores:

Los pagos A forman una anualidad vencida y su valor presente P es P = A(P/A,i%,n ) al sumar este valor el valor presente de C a la tasa i % , se tiene:


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Notacin Estndar: P = A(P/A, i % , n) + C (P/F, i %, n ) (69)

Notacion Algebraica: P= A

Mediante el reemplazo de A = Fr (valor de los intereses sobre el valor nominal a latasa r) se tiene:

Notacin estndar P= Fr (P/A, i%, n ) + C (P/F, i %, n) (70 a)

Notacin algebraica P = Fr

(70b )

La frmula anterior puede transformarse para sus aplicaciones, en otra mssimple. Si en la identidad

(P/A, i%, n) =

se despeja (1+i)-n se tiene:

(1+i)-n = -i (P/A, i%, n)

Osea , (P/F, i%, n) = 1- I (P/A, i%, n)Al multiplicar por C, se tiene:

C (P/F, i%, n) = C-Ci(P/A, i%, n)

Luego , al sustituir en la formula 70a el termino C (P/F, i%, n) se tiene

P= Fr (P/A, i%, n) + C-Ci (P/A,i %, n)

Osea P= C+ (Fr-Ci) (P/A, i%, n) (71a)

Notacin algebraica; P = C (Fr- Ci) (71b)


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VALOR DE UN BONO EN LIBROSLos bonos comprados con premio o con descuento, con el transcurso del tiempo,varan su valor hasta igualar el de redencin, en la fecha de vencimiento; por estarazn, la necesidad de estudiar un procedimiento que permita registrar en libros,los cambios de valor de los bonos. Lo usual es realizar un cuadro de valor en elque se registran los intereses y los cambios de valor de los bonos; la forma deorganizar el cuadro se ilustrara en el siguiente ejemplo:

Primero, se calcula el precio de compra del bono y, con este valor, se inicia elcuadro de valores.

Se remplaza en la frmula 71:

C= 1000; F= 1000; r =

= 4%, i =

= 3%; n = 3(2) = 6

P= 1000 +[1000(0,04)1000 (0,03)] (P/A, 3%, 6)

P= 1000+ (40-30) (5,472)= $1054,17


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Tabla :

PERIODO VALOREN

LIBROSAL

PRINCIPIODE

PERIODO

INTERESESSOBRE LAINVERSION

INTERESESDEL BONO

VARIACIONESDEL VALOREN LIBROS

VALOR ENLIBROS AFINAL DEPERIODO

1

23456

1054,17

1045,801037,171028,291029,141009,71

31,63

31,3731,1230,8530,573029

40,00

40,0040,0040,0040,0040,00

8,37

8,638,889,159,439,71

1045,80

1037,171028,291019,141009,711,0000

TOTALES 185,83 240,00 5417

PRECIO DE LOS BONOSCOMPRADOS ENTRE FECHAS DE

CUPN

Cuando se compra un bono entre dos fechas de cupones, el precio pagadocomprende el valor principal del bono, cantidad que corresponde al valor presentede su precio de redencin, ms el valor de los cupones no vencidos, adems delajuste acordado entre el comprador y el vendedor, en cuanto al cupn del periodo


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en que se haga la transaccin, ya que este pertenece en parte al comprador y enparte al vendedor. Para designar el precio de un bono, sin el valor acumulado delcupn, se usa la expresin precio con inters en tanto que para expresar elprecio incluido el valor acumulado del cupn, se dice precio efectivo o precioflat los corredores de bolsa de valores, en cada pas usan valores distintos parareferirse al precio con inters y al precio efectivo.

Valor de los bonos comprados a la fecha de pago de cupn. Sabemos que elposeedor de un bono obtiene beneficios que son:a) El valor o precio de redencin, en una fecha llamada fecha de redencin.b) Pago peridico de intereses, a travs de un cupn a medida que vence. SEA:Precio al da de hoy

EJEMPLO:

Un bono de 10,000 redimible a 10,250, se anota como un bono de 10,000redimible a102.5. De hecho; como el bono no es a la par, entonces tiene unporcentaje del valor nominal, esto es

= 1.025%

Pero no se acostumbra escribir la palabra por ciento, as de lo que se hace es

x 100 =102.5


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COTIZACION DE LOS BONOS EN LOSMERCADOS DE VALORES

En la prctica, los bonos tienen un precio de oferta en el mercado de valores y elverdadero problema que se presenta a los inversionistas es hallar la tasa derendimiento que obtendran, al comprar los bonos por el precio de oferta en losmercados de valores.

Al calcular el precio que un bono tiene entre fechas de cupn, se establecenalgunos criterios generales sobre los derechos del vendedor a la parte de losintereses que paga el bono y que se supone se acumulan en el tiempotranscurrido desde la ltima fecha de pago. En los precios cotizados en losmercados de valores, se da por sentado que al precio de cotizacin, los derechosdel vender deben agregarse a los intereses que paga el bono. En la realidad elclculo de los intereses acumulados o porcin acumulada del cupn se haceproporcionalmente a la fraccin del periodo transcurrido, desde la ltima fecha decupn.Si V es valor del bono en el mercado, Al valor del cupn, y k la fraccin de periodohasta la fecha de venta, el valor P del bono es:

P= V+kA

Los precios de los bonos en el mercado de valores se cotizan tomando como base100, suponiendo que 100 es el valor a la par. As un bono de 1000 redimible a lapar y cotizado a 94 significa que se ofrece por $940.

Ejemplo:Hallar el precio que debe pagarse el 10 de abril por un bono de $500 cotizado a92, si el valor del cupn es de $20 pagaderos el 1 de enero y el 1 de julio.

Valor de cotizacin = 500 (0,92) =460

Del 1 de enero al 10 de abril transcurren 100 de los 180 das del periodo, sea, k

= ; mediante la frmula 75, se tiene:

P= 460 +

(20) = 471,11


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RENDIMIENTO DE LAS INVERSIONESEN BONOS.

El problema que comnmente se presenta a los inversionistas, para determinar su

capital, es calcular el rendimiento (TIR) que obtendrn al comprar bonos al preciocotizado en el mercado de valores. Este importante problema no puede resolversepor mtodos directos. Sin embargo, existen varios sistemas que permiten darsoluciones suficientemente aproximadas. Entre estos mtodos se cuenta contablas de valores de (P/A,i %, n) y (1+i ), tablas de rendimiento especialmentediseadas. En este material se proporcionara un mtodo utilizando calculadoracon funcin X y otro de clculo aproximado por promedios.

Mediante calculadora se procede por aproximaciones sucesivas.


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EL INTERES ORDINARIO Y ELINTERES REAL EN LA TIR DE UN

BONO

En el clculo de la tasa interna de retorno TIR de los bonos surgen de nuevo losconceptos de inters ordinario o comercial (ao de 360dias) e inters real o exacto(ao calendario de 365 das). En los bonos se acostumbre utilizar aos de 360das, meses de 30 das, trimestres de 90 das, etc.; en consecuencia se generauna diferencia entre la rentabilidad ofrecida por el vendedor y la calculada por elinversionista. La diferencia desaparecera si los bonos, los documentos deinversin y certificados de ahorro se emitieran con base en aos de 365 das.


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BONOS SERIADOS

Una emisin de bonos puede hacerse de tal manera que el reintegro del valorprincipal se efecte en series o plazos, a fin de que la compaa emisora puedareducir peridicamente su deuda. Los problemas en que intervienen bonosseriados no son diferentes de los tratados en las secciones anteriores. Es obvioque los precios de los bonos seriados de una misma emisin no pueden seriguales, debido a que cada serie tiene diferente fecha de vencimiento.

Al efectuar la adquisicin de varios bonos de una misma emisin, pero dediferentes series, un inversionista debe averiguar el precio y el rendimiento decada serie, considerndola como una compra individual y, para el clculo, aplicarlos mtodos explicados. El costo total de adquisicin ser la suma del precio de

compra de cada serie por separado.Cuando se presentan condiciones muy particulares, como comprar el igual nmerode bonos de cada serie que los bonos sean redimibles a intervalos iguales,entonces es posible preparar formulas y organizar cuadros, que permitan reducirel trabajo en los clculos.


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BONOS DE ANUALIDAD

Algunas compaas hacen emisiones de bonos cuyo valor se redime con pagosanuales, este tipo de bono es, en realidad una anualidad contratada bajo forma debono. El clculo de los valores de este tipo de bonos no difiere del clculo de losvalores de las anualidades estudiadas en captulos anteriores.

Ejemplo:Un bono de anualidad a 10 aos por 20,000 al 6% ser redimido con 10 pagosanuales. Hallar el precio que debe pagar un comprador que desea obtener unrendimiento del 5%El pago anual es dado por P = A (P/A,i %, n) para P = 20.000; n = 10; i = 0.06

A= 20.000 (A/P, &%, 10) =20.000 (0,135868)= $2.717,36El comprador debe pagar el valor actual de una anualidad vencida de $2.717,36 al5% que se recibir durante 10 aos.P= 2.717,36 (P/A, 5%,10) = 2.717,36 (7,72173)P= $20.982,72

BONOS AMORTIZADOS PORSORTEO.

Las emisiones de bonos son redimibles en su fecha de redencin o demaduracin, o en fechas opcionales intermedias estipuladas en los bonos. Otrasemisiones de bonos se redimen por anualidades; esto significa que anualmente seredime en grupo de bonos.

Los emisores de bonos que amortizan su emisin mediante anualidades procedena pagar, en fecha del cupn por sorteo y por su valor de redencin los bonos queresultan favorecidos. Es obvio que la TIR de los bonos favorecidos en el primersorteo es mayor que la de los bonos favorecidos en los dems sorteos.

En este tipo de emprstitos, muy utilizados, se realizan peridicamenteamortizaciones de un nmero determinado de ttulos, que son elegidos por sorteo.Las cuotas peridicas incluyen, por tanto, dos conceptos:


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- El pago de los intereses del periodo- La amortizacin de aquellos ttulos seleccionados

a) Pago peridico de intereses y cuotas peridicas constantes

Dentro de este tipo de emprstitos, destaca un modelo particular que secaracteriza porque las cuotas peridicas son constantes durante toda lavida del emprstito (por simplificar, vamos a considerar que el tipo deinters tambin es constante durante toda la operacin).Para calcular el importe de la cuota peridica se aplica la ley deequivalencia financiera:

Co= Ms* AoSiendo Coel importe inicial del emprstitoSiendo Msel importe de la cuota peridicaSiendo Aoel valor actual de una renta constante,pospagable

De aqu podemos despejar el valor de Ms. Para calcular que parte de estacuota peridica corresponde a amortizacin de capital se calcula lacorrespondiente al primer periodo:

M1= (Co* i * t) + (A1* Vn)El primer parntesis (Co* i * t) corresponde a los intereses

del periodo, mientras que el segundo parntesis (A1*Vn) corresponde a la amortizacin de capital (siendo A1elnmero de ttulos que se amortiza y Vnel valor nominal decada ttulo)

El importe de los intereses se puede calcular directamente, y a continuacinse puede deducir el importe de la amortizacin de capital (y con ella, elnmero de ttulos amortizados).

A partir del nmero de ttulos que se amortiza en el primer periodo, sepuede calcular el calendario de amortizaciones:

As= Ai* (1 + i)^s-1

Siendo Asel nmero de ttulos que se amortiza en elperiodo s

La parte de cada cuota peridica que corresponde a intereses se calculaaplicando la frmula:

Ms= AMs + IsPor lo que, Is= Ms- AMs

Ejemplo: Se realiza una emisin de obligaciones de 20.000 millones ptas.,distribuida en 1.000.000 de ttulos de 20.000 ptas. de nominal cada uno, a


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un plazo de 5 aos y tipo de inters del 8%. Las cuotas son anuales yconstantes.

Calcular el cuadro de amortizaciones:

Solucin:

Se comienza por calcular el importe constante de la cuota peridica

Co= Ms* Ao

luego, Co= Ms* ((1 - (1 + i)-n) / i)

luego, 20.000 = Ms* ((1 - (1 + 0,08)

-

) / 0,08)luego, Ms= 5.009,13 millones ptas.A continuacin se calcula el nmero de ttulos que se amortiza en el primerperiodo:

Ms= (Co* i * t) + (A1 * Vn)

Luego, 5.009,13 = (20.000*0,08*1) * (A1* 0,02) (el valornominal del ttulo est expresado en millones de ptas.)luego, A1= 170.456 ttulos

Ya podemos hallar el nmero de ttulos que se amortiza en cada uno de losperiodos:

A2 170.456 * (1 +0,08)184.092 ttulos

A3170.456 * (1 +0,08)^2

198.820 ttulos

A4170.456 * (1 +0,08)^3

214.725 ttulos

A5170.456 * (1 +0,08)^4

231.904 ttulos

Conociendo el nmero de ttulos amortizados, simplemente se multiplican por suvalor nominal para ver el importe del emprstito amortizado en cada periodo.Los intereses se calculan por diferencia: Is= Ms- AMsYa se puede completar el cuadro de amortizaciones:


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N de ttulos Cuota peridica Saldovivo delemprstito

Periodo

Vivos Amortizados enperiodo

Amortiza.acumulados

Amortiz. decapital

Intereses

Cuotaperidica

(Millonesptas.)

(Millonesptas.)

(Millonesptas.)

(Millonesptas.)

ao 0 1.000.000

0 0 0 0 0 20.000

ao 1 829.544 170.456 170.456 3.409,12

1.600,00

5.009,13

16.590,88

ao 2 645.452 184.092 354.548 3.681,84

1.327,29

5.009,13

12.909,04

ao 3 446.632 198.820 553.368 3.796,40

1.032,73

5.009,13

8.932,64

ao 4 231.904 214.725 768.093 4.294.50

714,63 5.009,13

4.638,08

ao 5 0 231.904 1.000.000 4.638,08

371,05 5.009,13

0

BONOS DE VALOR CONSTANTE

Estos bonos en unidad monetaria de valor constante (UMVC) se han diseadopara proteger las inversiones a largo plazo, en los pases que padecen unacontinua desvalorizacin monetaria. Las emisiones de estos bonos, bajo controldel gobierno se aplican para financiar los planes de vivienda. Los bonos de valorconstante registran en su valor nominal la correccin monetaria, de tal modo quesu valor nominal y por tanto su valor de redencin sean ajustables en la mismamedida en que produzca la desvalorizacin. Con estos bonos se trata de evitar lades financiacin de las instituciones de crdito a largo plazo para la construccinde viviendas que agotan sus recursos por efectos de las recurrentesdesvalorizaciones monetarias.Los problemas pueden presentarse sobre esta clase de bonos, son de carctermuy particular y deben analizarse desde el punto de vista de las clusulas delcontrato de cada emisin.


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Es la distribucin de los costos del consumo de un recurso natural, en los periodosen que se reciben los beneficios

Tasa de agotamiento= costovalor residualUnidades

Si se realiza una nueva estimacion de la capacidad del activo se calcula unanueva tasa de agotamiento

Valor en librosValor residualUnidades restantes

EJEMPLOSe compra un terreno con un valor de $4.000.000, del cual se espera extraer 1.800.000 toneladas de carbn, el valor residual es de $300.000 y en el primer ao seextraen 80.000 toneladas

Tasa de agotamiento = 4 000 000300 000 = 2.051 800 000

RegistrosMina de carbn 4 000 000Bancos 4 000 000***************Inventario 164 000

Agotamiento acumulado 164 000

al principio del segundo ao de operacin de la mina se realiza una nuevaestimacinla cual indica que tiene capacidad para producir 2.200.000 toneladas

Tasa de agotamiento = (4 000 000164 000)-300 000 = 1.672 120 000


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En el rea financiera, amortizacin significa saldar gradualmente una deuda pormedio de una serie de pagos que, generalmente, son iguales y se realizantambin a intervalos iguales. Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad eslo ms comn, tambin se llevan a cabo operaciones con ciertas variantes.

CONCEPTO:

Es el mtodo por el cual se va liquidando una deuda en pagos parciales. Elimporte de cada pago sirve para solventar los intereses de la deuda, y el sobrantese abona al capital que se debe en ese periodo.

Para encontrar cada una de las variables o incgnitas, se utiliza la frmula delvalor actual de los diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con

base en el valor actual de las anualidades ordinarias.


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Es el mtodo por el cual se provee el monto, por medio de una serie de

rentas o pagos, para liquidar una deuda. Asimismo funciona para ahorrar orecuperar el valor histrico de un activo. Esto se realiza invirtiendo una serie depagos iguales, en periodos iguales, durante el lapso de vida til del bien, con lafinalidad de acumular un monto disponible en efectivo para volver a comprar elsustitutivo del activo al trmino de su uso. Esta prctica es muy prcticafinancieramente, aun cuando, al llegar al fin de su vida til, la cantidad acumuladano llegue a cubrir el costo del bien.

EJEMPLO 1

Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95 000 a 18% convertiblesemestralmente que amortizara mediantes 6 pagos semestrales iguales, R, elprimero de los cuales vence dentro de 6 meses. Cul es el valor de R?

R= C= 95 000i= 0.18/2 = 0.09n= 6C = R 1-(1+i)-n

i

R= Ci .1-(1+i)-n

R= 95 000(0.09) = 8 5501(1.09)-6 0.403733

R= 21 177


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Seis pagos semestrales vencidos de $21 177.36 amortizan una deuda con valoractual de $95 000 con inters de 9% semestral.

Por otro lado, el concepto de fondo de amortizacin es el inverso del deamortizacin debe pagar es una cantidad en valor actual mientras que, en el casodel fondo se habla de una cantidad o deuda que se debe pagar en el futuro, paralo cual se acumulan los pagos peridicos con el objeto de tener en esa fechafutura la cantidad necesaria.

EJEMPLO 2

Una empresa obtiene un prstamo por $ 700 000 que debe liquidar al cabo de 6aos. El consejo de administracin decide que se hagan reservas anuales igualescon el objeto de pagar la deuda en el momento de su vencimiento. Si el dinero delfondo se puede intervenir de manera que produzca 16% de inters, Cunto sedeber depositar en el fondo para acumular $700 000 l cabo de 6 aos?

En este caso, la deuda en el monto de una anualidad simple, cierta, vencida einmediata:

R=?M= 700 000i= 0.16n= 6M=R (1+i)n-1

iR= 700 000 (0.16) = 112 000

(1.16)61 1.436396

R= $77 972.91

En forma breve y simplificada:

La amortizacin se refiere a la extincin, mediantes pagos peridicos, deuna deuda actual.

Los fondos de amortizacin son acumulacin de pagos peridicos paraliquidar una deuda futura.


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TABLAS DE AMORTIZACINLos pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir losintereses y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor este procesoconviene elaborar una tabla de amortizacin que muestre lo que sucede con lospagos, los intereses, la deuda, la amortizacin y el saldo.

En el ejemplo 1 tenamos una deuda de $95 000 contratada al 18% convertiblesemestralmente, y que se iba a amortizar mediante pagos semestrales de $21

177.36. Para comprender mejor este tema, es necesario construir la tabla deamortizacin.

FECHA PAGOSEMESTRAL

INTERESSOBRESALDO

AMORTIZACION SALDO

En el momentode la operacin

95 000.00

Fin del semestre1

21 177.36 8 550.00 12 627.36 82 372.64

Fin del semestre2 21 177.36 7 413.54 13 763.82 68 608.82

Fin del semestre3

21 177.36 6 174.79 15 002.57 53 606.25

Fin del semestre4

21 177.36 4 824.56 16 352.80 37 253.45

Fin del semestre5

21 177.36 3 352.81 17 824.55 19 428.90

Fin del semestre6

21 177.36 1 748.60 19 428.90 0.00

Totales 127 064.30 32 064.31 95 000 -

En la tabla se puede observar que:

La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses ms lasuma de las amortizaciones.El saldo, como ya se haba visto, es igual al saldo anterior ms los interesesmenos el pago.


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Por ejemplo, el saldo $53 606.25 del fin del semestre 3 es igual al saldoanterior ($68 608.82) ms los intereses del periodo ($6 174.79) menos elpago ($21 177.36) = 53 606.25:53 606.25 = 68 608.82 + 6 174.7921 177.36La amortizacin es igual al pago menos los intereses. En cada periodosubsecuente, cada vez va siendo mayor la parte del pago que se aplica a laamortizacin, ya que al mismo tiempo tambin disminuyen tanto el saldocomo los intereses correspondientes.Se puede ver claramente cuando es lo que resta por pagar al final de cada

semestre: el saldo.El valor del ltimo pago semestral se ajust para que coincidieraexactamente con el saldo de la deuda 1 748.60 + 19 428.90 = 21 177.50

Aunque el ajuste en este caso fue de solo 14 centavos, en casi todas lasoperaciones es necesario hacerlo debido a pequeas diferenciasocasionadas por redondeo.

Adems, en la tabla se puede apreciar:a) Los pagos: La cantidad que se paga en cada periodo en parte sirve

para pagar los intereses correspondientes y en parte para amortizarel saldo de la deuda.

b) Las amortizaciones: la parte de cada pago (pago menos intereses)que se aplica a la reduccin del saldo deudor.

IMPORTE DE LOS PAGOS EN UNA AMORTIZACION

EJEMPLO 1

Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortizacin para saldar unadeudo de $4 000 000 con un inters de 36% convertible bimestralmente, si la

deuda debe ser saldada al cabo de un ao, haciendo pagos bimestrales quecomienzan dentro de 2 meses.

C= 4 000 000n= 6i= 0.36/6= 0.06R= Ci . = 4 000 000 (0.06) = 240 000


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1-(1+i)-n 1- (1.06)-6 0.29503946R= 813 450.514

FECHA PAGOSEMESTRAL

INTERESSOBRESALDO

AMORTIZACION SALDO

Al contratar 4 000000.00

Fin del semestre

1

813 450.514 240 000.00 573 450.51 3 426

549.49Fin del semestre2

813 450.514 205 592.97 607 857.54 2 818691.94

Fin del semestre3

813 450.514 169 121.52 644 329.00 2 174362.94

Fin del semestre4

813 450.514 130 461.78 682 988.74 1 491374.20

Fin del semestre5

813 450.514 89 482.45 723 968.06 767 406.15

Fin del semestre6

813 450.514 46 044.37 767 406.15 0.00

Totales 4 880 703.08 880 703.08 4 000 000.00

DERECHOS ADQUIRIDOS POR ELDEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL

ACREEDORResulta difcil ver que, por ejemplo, en una operacin de compra-venta a crdito,despus de que el deudor ha realizado algunos pagos, ha adquirido parcialmenteel bien, mientras que el acreedor, al haberlos recibido, ya no es propietario detodos los derechos sobre el bien sino solo de una parte (el saldo a su favor). Egeneral, en cualquier operacin de amortizacin de una deuda, y en cualquiermomento:


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Derechos del deudor + Derechos del acreedor = Valor de la operacin

EJEMPLO 1

Sergio Campos contrae hoy una deuda de $95 000 a 18% convertiblesemestralmente que amortizara mediantes 6 pagos semestrales iguales, R, elprimero de los cuales vence dentro de 6 meses. Cul es el valor de R?

R= ?C= 95 000

i= 0.18/2 = 0.09n= 6C = R 1-(1+i)-n

iR= Ci .

1-(1+i)-n

R= 95 000(0.09) = 8 5501(1.09)-6 0.403733

R= 21 177

En el ejemplo se tena una deuda de $95 000 contratada a 18% convertiblesemestralmente que se iba a liquidar con 6 pagos semestrales de $21 177.36. Porconveniencia, se reproduce enseguida la correspondiente tabla de amortizacin:

FECHA PAGOSEMESTRAL

INTERESSOBRESALDO

AMORTIZACION SALDO

En el momentode la operacin

95 000.00

Fin del semestre1

21 177.36 8 550.00 12 627.36 82 372.64


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Fin del semestre2

21 177.36 7 413.54 13 763.82 68 608.82

Fin del semestre3

21 177.36 6 174.79 15 002.57 53 606.25

Fin del semestre4

21 177.36 4 824.56 16 352.80 37 253.45

Fin del semestre5

21 177.36 3 352.81 17 824.55 19 428.90

Fin del semestre6

21 177.36 1 748.60 19 428.90 0.00

Totales 127 064.30 32 064.31 95 000 -

Resulta claro que, por ejemplo, los $68 608.82 que es el saldo final del segundosemestre son los derechos aun en propiedad del acreedor, mientras que losderechos del deudor seria:

95 00068 608.82 = 26 391.18

Sin necesidad de elaborar la tabla se podran calcular estas cantidades de lasiguiente manera:

a) Derechos del acreedor (Saldo):95 000 (1.09)221 177.36 (1.09)21 = 112 869.5044 260.68 = 68 608.82

0.09En donde Los $112 869.50 son el valor de la deuda al cabo de los dos semestres Los $44 260.68 son el valor de los dos pagos realizados al final del

segundo semestre.

b) Derechos del deudor:21 177.36 (1.09)21 -[(95 000)(1.09)2] = 44 260.6817 869.50=$26 391.18

0.09

NUMERO DE PAGOS EN UNAAMORTIZACION


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EJEMPLO 1

Cuntos pagos mensuales de $ 15 000 son necesarios para saldar una deuda de$ 180 000 contratada hoy a 18% convertible mensualmente?

C= 180 000

i= 0.18/12=0.015R=15 000

n= ?

De C = R 1-(1+i)-ni

Ci -1 = (1+i)-n

R(1+i)-n = 1 - Ci

R-n log (1+i)=log (1- Ci )

R

Sera necesario:

a. Hacer 12 pagos de $15 000 y un pago final mayor (Derechos delacreedor)


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Este saldo quedara en manos del deudor otro mes, por lo que suvalor al final de este seria:

19 593.10 (1.015) = 19 886

Que sera lo que habra de pagar en el decimonoveno mes paraliquidar totalmente la deuda

b. Hacer 13 pagos de $15 000 y un pago final menos a saber

Si realiza el ltimo pago en el mes 14, el valor de este saldo en esemomento seria:

4 887 (1.015) = $4 960.31

Y con este pago se liquida tambin totalmente la deuda.

Debe notarse que las dos maneras de liquidar el pago final son equivalentes; laadopcin de una u otra alternativa depender de lo que resulte mas convenientepara acreedor y deudor.

TASA DE INTERES EN UNAAMORTIZACION

En ocasiones es necesario determinar la tasa de inters que se carga en laoperacin.

EJEMPLO 1


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Una mquina de coser usada cuesta $820 al contado. El plan a crdito es de $270de enganche y 10 pagos quincenales de $58. Cul es la tasa de inters que secobra en la operacin?

Para determinar i, en primer lugar, se ensayan diferentes valores de i que arrojen

el valor ms prximo posible a 9.48275862:

Luego para verificar que tenemos el valor correcto:


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1(1.00977482)-10 =9.48275526 con solo una diferencia pequea y despreciable0.00977482

Debida al redondeo. Asi, pues la tasa de inters que se cobra en la operacin esde 0.97% quincenales (23.46% anual convertible quincenalmente)

DEPOSITOS A UN FONDE DE

AMORTIZACIONComo se vio en la introduccin, el caso de fondo de amortizacin se distingue porque aqu la deuda que se va amortizar se plantea a futuro, y lo que se hace esconstituir una reserva o fondo depositando determinadas cantidades(generalmente iguales y peridicas) en cuentas que devengan intereses, con el finde acumular la cantidad o monto que permita pagar la deuda a su vencimiento.

EJEMPLO1

Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $400 000. Paraasegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa,acumular un fondo mediante depsitos mensuales a una cuenta que paga 9%convertible mensualmente.

De cunto deben ser los depsitos?En este caso, los $400 000 son un monto, ya que su valor es a futuro porlo que:M= 400 000R=?i=0.09/12=0.0075

n= 6


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Haga una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo.

FECHA DEPOSITOPOR

PERIODO

INTERESES TOTAL QUESE SUMA AL

FONDO

SALDO

Fin de mes 1 65 427.56 - 65 427.56 65 427.56Fin de mes 2 65 427.56 490.71 65 918.27 131 345.83Fin de mes 3 65 427.56 985.09 66 412.65 197 758.48Fin de mes 4 65 427.56 1 483.19 66 910.75 264 669.23

Fin de mes 5 65 427.56 1 985.02 67 412.58 332 081.81Fin de mes 6 65 427.56 2 490.61 67 918.19 400 000.00Totales 392 565.38 7 434.62 400 000.00

TOTAL ACUMULADO EN UN FONDODE AMORTIZACION Y SALDO

INSOLUTO

EJEMPLO 1

Observe la tabla de fondo de amortizacin que se elabor para el ejemplo anterior.En ella se puede ver el total acumulado en el fondo al final de cada uno de los 6meses que se contemplan. Por ejemplo, al final del cuarto mes hay $264 669.23.Si solo se deseara identificar esta cantidad sin construir la tabla, se le podracalcular sabiendo que es el monto de una anualidad vencida.

M=?R= 65 427.56n= 4i= 0.0075M=65 427.56 (1+0.0075)4-1 = 0.030339 (65 427.56)

0.0075 0.0075


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Por otro lado, si $264 669.23 es el monto acumulado en el fondo al final del cuartomes y, al mismo tiempo, la deuda es de $400 000, el saldo insoluto es:

400 000264 669.23(1.0075)2 = 400 000268 654.16 = $131 345.84Que, para su mejor comprensin, conviene plantear en forma de ecuacin devalores equivalentes.

NUMERO DE DEPSITO EN UN FONDO DE AMORTIZACION

EJEMPLO 1Cuntos depsitos mensuales seria necesario realizar en un fondo deamortizacin que se invierte en un instrumento que paga 9% anual convertiblemensualmente si se quiere liquidar una deuda que vale $4 800 a su vencimiento ysi se realizan depsitos de $850?

M=4 800i= 0.09 = 0.0075R= 850n=?4800= 850 (1.0075)n-1

0.0075(1.0075)n= 4 800(0.0075) +1= 1.04235294

850n=log1.04235294 = 0.01801480 = 5.55

log 1.0075 0.003245Se podran pagar con 5 depsitos de $850 ms un sexto depsito de:

TASA DE INTERES EN UN FONDO DEAMORTIZACION


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En esta seccin se presentan ejemplos de circunstancias en las que es necesariocalcular la tasa de inters que se carga en operaciones que se realizan a travs defondos de amortizacin.

Una deuda que venca el 25 de septiembre, por un monto de $250 000, se liquidcon un fondo acumulado mediante 8 depsitos mensuales vencidos por $30492.386. Cul fue la tasa de inters mensual que renda el fondo?

Ensayando valores de i para aproximar el valor que buscamos:


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Y, como 8.198768145 es precisamente el valor que buscamos, no resultanecesario interpolar para saber que la tasa cargada en la operacin es de 0.7%mensual.

COMPARACION ENTREAMORTIZACION Y FONDO DE

AMORTIZACIONCuando se amortiza una deuda, se hacen pagos peridicos y del importe de cadauno de ellos se liquidan los intereses causados hasta ese momento y el resto seaplica a la amortizacin o disminucin del importe de la deuda.

Por otro lado, bajo el concepto de fondo de amortizacin, tal como se vio antes, elvalor de la deuda est planteado a futuro y lo que se hace es realizar depsitosperidicos en alguna inversin, de manera que se acumule la cantidad necesariapara el momento en que es necesario pagar.

En este caso puede suceder, entre otras combinaciones posibles, que losintereses causados por la deuda se incluyan en el valor a futuro que se le asigna oque se paguen por separado.

Para ilustrar su interrelacin y su comportamiento, se analiza el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1

Si la tasa vigente en el mercado para cierto tipo de inversiones es de 18% anual,convertible mensualmente, determinar la forma en que se debe saldar una deudade:

a) $1 000, contrada el da de hoy y que se debe amortizar mediante 4 pagosmensuales iguales.


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El valor del pago mensual es de $259.45

b) Una deuda de $1 061.36 que debe pagarse exactamente dentro de 4meses, con un fondo de amortizacin constituido mediante 4 depsitos

mensuales iguales, el primero de los cuales debe hacerse dentro de unmes.

El valor del depsito mensual es de 259.45, lo cual se debe a que $1061.36 es, precisamente, el monto de $1 000 despus de 4 meses a 18%

convertible mensualmente (Salvo un ligero ajuste por redondeo).

Se le fijo as en el ejemplo para ilustrar que bajo las mismas condiciones depago (bsicamente inters y plazo), una y otra forma de amortizacin sonequivalentes.

c) Hacer una tabla para comparar el comportamiento de las operacionesplanteadas en a) y b).

Tabla de amortizacin

FECHA PAGOMENSUAL

0.015 INTERESSOBRE SALDO

AMORTIZACION SALDO

Al momento dela operacin

1 000.00

Fin del mes 1 259.45 15.00 244.45 755.55Fin de mes 2 259.45 11.33 248.12 507.43


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Fin de mes 3 259.45 7.61 251.84 255.59Fin de mes 4 259.45 3.83 255.60 0.00

Totales 1 037.78 37.78 1 00.00

Tabla de fondo de amortizacin

FECHA DEPOSITOMENSUAL

INTERESES TOTAL QUE SESUMA AL FONDO

SALDO

Fin del mes 1 259.45 259.45 259.45

Fin del mes 2 259.45 3.89 263.34 522.79Fin del mes 3 259.45 7.84 267.29 790.08Fin del mes 4 259.45 11.85 271.28 1 061.36Totales 1 037.78 23.58 1 061.36

Resulta sencillo visualizar que, si se obtiene un prstamo una cantidad de dineroque se pueda invertir a una tasa de inters mayor que la que se paga, ello resultaconveniente para quien obtiene el prstamo.


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Autor: Lincoyan Portus

Autor:


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ALUMNA:

Yarely Daney Olvera Alvarez

PROFESORA:

Leidy Isabel Suiga Arias


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MATEMATICAS FINANCIERAS

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