Matriks GROUP

download Matriks GROUP

of 31

  • date post

    13-Apr-2018
  • Category

    Documents

  • view

    222
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Matriks GROUP

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    1/31

    KONSULTASI KETIGA STRUKTUR ALJABAR 1

    GRUPOID, SEMI GRUP, MONOID, DAN GRUP

    Suatu himpunan tidak kosong disertai sebuah operasi biner yang memenuhi beberapa syarat

    berikut. Syarat (I) operasi itu tertutup, syarat (II) asosiatif, (III) punya unsur kesatuan, (IV)punya invers untuk setiap unsurnya. Jika memenuhi syarat (I) maka disebut grupoid,memenuhi (I) dan (II) dikatakan semigrup, ditambah syarat (I) + (II) + (III) maka monoid,dan jika syarat (I) + (II) + (III) + (IV) maka Grup.

    SIFAT-SIFAT GRUP

    Sifat grup dinyatakan daam teorema!teorema berikut "

    Teorema 1 : jia !"a#" $r"%oi& G memi'ii "(!"r e!a#"a( iri e &a( !"a#" "(!"r

    e!a#"a( a(a( ) maa e=f *

    Teorema +" Da'am $r"% er'a" ""m %e(.ore#a( iri ma"%"( a(a(.

    B"#i" #isa G grup,cba ,,

    G, yang memenuhiacab=

    Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a!i#a a'ia( &e($a(

    $a G &i%ero'e

    %ukum pen&oretan kiri %ukum pen&oretan kanan( ) ( )acaaba $$ =

    ( ) ( )caabaa $$ =

    eceb=

    cb=

    'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.

    ( ) ( ) $$ = aacaab

    $$ =acaaba

    ( ( $$ = aacaab

    cebe=

    cb=

    'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan

    Kare(a#eorema + &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,

    maa #eorema + #er"#i

    Teorema / :Da'am $r"% !e#ia% %er!amaa( iri ma"%"( a(a( &a%a# &i%e.aa( &a(

    ja0a(a #"($$a'* Teorema i(i erar#i jia

    ba, G maa

    yx, G

    !e&emiia( i($$abax=

    &a(

    bya=*

    1

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    2/31

    B"#i:

    $aadaah invers dari a, maka pembuktian teorema ini akan diberakukan hukum

    pen&oretan kiri maupun kanan.

    Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a! i#a a'ia( &e($a(

    $a

    &i%ero'e

    2a($ Per#ama U(#" Per!amaa(bax=

    ( ( baaxa $$ =

    ( ) ( )baxaa $$ =

    ( )( )aa

    bax

    $

    $

    =

    a

    bx=

    'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.

    ( ( $$ = abaax

    ( ) ( )$$ = abaax

    ( )( )aaab

    x$

    $

    =

    a

    bx=

    'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan.

    2a($ Ke&"a U(#" Per!amaa(

    bya=

    ( ) ( )baaya $$ =

    ( ( bayaa $$ =

    ( )( )aa

    bay

    $

    $

    =

    a

    by=

    'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.

    ( ) ( )$$ = abaay

    ( ( $$ = abaay

    ( )( )aa

    aby

    $

    $

    =

    a

    by=

    'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan.

    Kare(a#eorema / &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,

    maa #eorema / #er"#i

    Teorema 3: G $r"%,( ) ,$$ aa = Ga

    B"#i "

    $aadaah invers dari a dan beraku

    eaa =$

    maka pembuktian teorema ini akan

    diberakukan hukum pen&oretan kiri maupun kanan.

    Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a!i#a a'ia( &e($a(

    ( ) $$ a&i%ero'e

    2

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    3/31

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    4/31

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    5/31

    ( ) ( ) $$+$$+$$

    $

    $

    +

    $

    $

    $

    $

    $+$ ............

    = nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

    ...

    $dengandikaikanruaskedua

    $+$ nn aaaaa

    maka kita dapati

    ( ) $$+$$

    $

    $

    +

    $

    $

    $

    $ ......

    = nnnn aaaaaaaaaa

    ( ) $$+$$$

    $

    $

    $

    +

    $

    $ ......

    = aaaaaaaaaa nnnn

    dengan menggunakan sifat asosiatif pada ruas kiri dan distributif pada ruas kanan kita

    peroeh"

    ( ) $$$

    +

    $

    $

    $

    $$

    $+$ ......

    = aaaaaaaaaa nnnn

    Ja&i, #eorema 5 #er"#i &e($a( me($$"(aa( ""m %e(.ore#a( iri

    #enggabungkan dan maka akan didapati"

    ( ) ( )nnnnnnnn aaaaaaaaaaeaaaaaaaaaa $+$$

    $+$+$$

    $

    $

    $$

    $

    $

    +

    $

    ............

    ==

    ( ) ( )nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa $+$$

    $+$+$$

    $

    $

    $$

    $

    $

    +

    $

    ............

    =

    ...

    $dengandikaikanruaskedua

    $+$ nn aaaaa

    maka kita dapati

    ( ) $$+$$

    $

    $

    +

    $

    $

    $

    $ ......

    = nnnn aaaaaaaaaa

    dengan menggunakan sifat asosiatif pada ruas kiri dan distributif pada ruas kanan kita

    peroeh"

    ( ) $$$$

    $

    +

    $

    $

    $

    $+$ ......

    = nnnn aaaaaaaaaa

    ( ) $$$

    +

    $

    $

    $

    $$

    $+$ ......

    = aaaaaaaaaa nnnn

    Ja&i, #eorema 5 #er"#i &e($a( me($$"(aa( ""m %e(.ore#a( iri

    Kare(a #eorema 5 &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,

    maa #eorema 5 #er"#i*

    5

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    6/31

    6o(#o-.o(#o:

    $. aam / ( himpunan biangan asi ) bia didefinisikan

    0perasi xy=x+y+xy

    1unjukan bah2a 3 /, 4 adaah sebuah grup

    i. 5kan dibuktikan 3 /, > merupakan grupoid6

    5mbi 7,y /

    xy=x+y+xy

    8arena 7,y /, maka 7,y,7y juga / sehingga operasi perkaian ini

    bersifat tertutup 3 /, 4 grupoid

    ii. 5kan dibuktikan 3 /,

    4 merupakan semigrup65mbi 7,y,9 /

    #aka x(yz )=(xy )z

    x(y+z+yz )=(x+y+xy )z

    (x+y+z+yz )+(xy+xz+xyz )=(x+y+xy+z ) (xz+yz+xyz )

    x+y+z+xy+xz+yz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyz

    8arena hasi penjabaran ruas kiri : ruas kanan, maka 3 /, 4 merupakansemigrup.

    iii. 5pakah 3 /, 4 punya unsur kesatuan6

    5mbi 7,y /

    #isanya y adaah unkes kiri dari 7 maka"

    yx=x

    y+x+yx=x

    y+yx=xx

    y(x+1 )=0

    y= 0

    x+1=0

    #isakan y adaah unkes kanan dari 7, maka "

    xy=x

    x+y+xy=x

    y+yx=xx

    y(x+1 )=0

    6

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    7/31

    y= 0

    x+1=0

    8arena 7 memiiki unkes kiri : unkes kanan : ;, maka 3 /, 4 monoid.

    iv. 5pakah 3 /, 4 merupakan grup6

    5mbi 7,y /

    #isanya y adaah invers kiri dari 7 maka"

    yx=0

    y+x+yx=0

    y+yx=x

    y(x+1 )=x

    y=xx+1

    #isakan y adaah invers kanan dari 7, maka "

    xy=0

    x+y+xy=0

    y+yx=x

    y(x+1 )=x

    y=

    xx+1

    8arena invers kiri dari 7 : invers kanannya, maka 7 memiiki invers yaitux

    x+1 .

    Sehingga 3 /, 4 merupakan grup.

    . Z3{0 }={1,2} dengan operasi perkaian moduo.

    1unjukan 5pakah

    Z3{0 }, x>

    merupakan sebuah grup6

    penyeesaian

    7 $ $ $ $

    a. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> tertutup

    7

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    8/31

    ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a perkaian setiap dua unsur daam tabe

    tersebut menghasikan eemen di daam Z3{0 } , maka Z3{0 }, x> bersifat

    tertutup.

    b. 5kan ditunjukan Z3{0

    }, x> asosiatif

    ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a unsur!unsurnya simetris pada diagona

    utama sehingga Z3{0 }, x> asosiatif.

    &. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> memiiki unkes

    ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a unkesnya adaah $, karena setiap eemen

    daam Z3{0 }, x> jika dikaikan dengan $ baik dari kiri maupun kanan akan

    menghasikan dirinya sendiri. Sehingga Z3{0 }, x> memiiki unkes yaitu $.

    d. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> memiiki invers

    ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a $ inversnya $, dan inversnya . engan

    demikian maka Z3{0}, x> memiiki invers.

    Kare(aZ

    3{0 }, x>

    memi'ii !i)a# #er#"#"%7$r"%oi&,

    a!o!ia#i)7!emi$r"%,memi'ii "(e! &a( i(8er! maaZ

    3{0 }, x>

    mer"%aa( !e"a $r"%*

    . Z5={0,1,2,3,4} dengan operasi penjumahan moduo. 1unjukan 5pakah Z5 ,+

    merupakan sebuah grup6

    penyeesaian

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    9/31

    ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a penjumahan setiap dua unsur daam tabe

    tersebut menghasikan eemen di daam tabe itu sendiri, maka Z5 ,+ bersifat

    tertutup.

    b. 5kan ditunjukan Z5 ,+ asosiatif

    ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a unsur!unsurnya simetris pada diagona utama

    sehingga Z5 ,+ asosiatif.

    &. 5kan ditunjukan Z5 ,+ memiiki unkes

    ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a unkesnya adaah ;, karena setiap eemen daam

    Z5,+ jika dijumahkan dengan ; baik dari kiri maupun kanan akan

    menghasikan dirinya sendiri. Sehingga Z5 ,+ memiiki unkes yaitu ;

    d. 5kan ditunjukan Z5 ,+ memiiki invers

    ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a ; inversnya ;, $ inversnya =, inversnya ,

    inversnya , dan = inversnya $. engan demikian makaZ

    5,+ memiiki invers.

    Kare(aZ

    5,+

    memi'ii !i)a# #er#"#"%7$r"%oi&, a!o!ia#i)7!emi$r"%,memi'ii

    "(e! &a( i(8er! maa Z5 ,+ mer"%aa( !e"a $r"%*

    =.

    = Ra

    aA

    ;;

    ;

    i. 5pakah 35,>m4 grupoid6

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    10/31

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    11/31

    ;;

    ;$

    ;;

    ;a

    :

    ;;

    ;a

    8arena

    ;;

    ;$

    unkes di kanan dan unkes di kiri maka

    ;;

    ;$

    unkes di 5.

    Ini berarti 35,>m4 monoid.

    iv. 5pakah 35,>m4 grup6

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    12/31

    *.

    = ;,

    ;;

    ;aRa

    aB

    i. 5pakah 3m4 grupoid6

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    13/31

    5mbi

    ;;

    ;a

    ? < dan misakan

    ;;

    ;b

    unkes di mo(oi&

    21

  • 7/26/2019 Matriks GROUP

    22/31

    Ami'

    dc

    ba

    dan misa

    sr

    qp

    "(e! &i F

    Maka

    dcba

    srqp

    srqp

    dcba

    dcba

    d