Download - Matriks GROUP

7/26/2019 Matriks GROUP

1/31

KONSULTASI KETIGA STRUKTUR ALJABAR 1

GRUPOID, SEMI GRUP, MONOID, DAN GRUP

Suatu himpunan tidak kosong disertai sebuah operasi biner yang memenuhi beberapa syarat

berikut. Syarat (I) operasi itu tertutup, syarat (II) asosiatif, (III) punya unsur kesatuan, (IV)punya invers untuk setiap unsurnya. Jika memenuhi syarat (I) maka disebut grupoid,memenuhi (I) dan (II) dikatakan semigrup, ditambah syarat (I) + (II) + (III) maka monoid,dan jika syarat (I) + (II) + (III) + (IV) maka Grup.

SIFAT-SIFAT GRUP

Sifat grup dinyatakan daam teorema!teorema berikut "

Teorema 1 : jia !"a#" $r"%oi& G memi'ii "(!"r e!a#"a( iri e &a( !"a#" "(!"r

e!a#"a( a(a( ) maa e=f *

Teorema +" Da'am $r"% er'a" ""m %e(.ore#a( iri ma"%"( a(a(.

B"#i" #isa G grup,cba ,,

G, yang memenuhiacab=

Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a!i#a a'ia( &e($a(

$a G &i%ero'e

%ukum pen&oretan kiri %ukum pen&oretan kanan( ) ( )acaaba $$ =

( ) ( )caabaa $$ =

eceb=

cb=

'ang memenuhi hukum pen&oretan kiri.

( ) ( ) $$ = aacaab

$$ =acaaba

( ( $$ = aacaab

cebe=

cb=

'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan

Kare(a#eorema + &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,

maa #eorema + #er"#i

Teorema / :Da'am $r"% !e#ia% %er!amaa( iri ma"%"( a(a( &a%a# &i%e.aa( &a(

ja0a(a #"($$a'* Teorema i(i erar#i jia

ba, G maa

yx, G

!e&emiia( i($$abax=

&a(

bya=*

1


2/31

B"#i:

$aadaah invers dari a, maka pembuktian teorema ini akan diberakukan hukum

pen&oretan kiri maupun kanan.

Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a! i#a a'ia( &e($a(

$a

&i%ero'e

2a($ Per#ama U(#" Per!amaa(bax=

( ( baaxa $$ =

( ) ( )baxaa $$ =

( )( )aa

bax

$

$

=

a

bx=


( ( $$ = abaax

( ) ( )$$ = abaax

( )( )aaab

x$

$

=

a

bx=

'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan.

2a($ Ke&"a U(#" Per!amaa(

bya=

( ) ( )baaya $$ =

( ( bayaa $$ =

( )( )aa

bay

$

$

=

a

by=


( ) ( )$$ = abaay

( ( $$ = abaay

( )( )aa

aby

$

$

=

a

by=

'ang memenuhi hukum pen&oretan kanan.

Kare(a#eorema / &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,

maa #eorema / #er"#i

Teorema 3: G $r"%,( ) ,$$ aa = Ga

B"#i "

$aadaah invers dari a dan beraku

eaa =$

maka pembuktian teorema ini akan

diberakukan hukum pen&oretan kiri maupun kanan.

Bi'a e&"a r"a! %er!amaa( &i a#a!i#a a'ia( &e($a(

( ) $$ a&i%ero'e

2


3/31


4/31


5/31

( ) ( ) $$+$$+$$

$

$

+

$

$

$

$

$+$ ............

= nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

...

$dengandikaikanruaskedua

$+$ nn aaaaa

maka kita dapati

( ) $$+$$

$

$

+

$

$

$

$ ......

= nnnn aaaaaaaaaa

( ) $$+$$$

$

$

$

+

$

$ ......

= aaaaaaaaaa nnnn

dengan menggunakan sifat asosiatif pada ruas kiri dan distributif pada ruas kanan kita

peroeh"

( ) $$$

+

$

$

$

$$

$+$ ......

= aaaaaaaaaa nnnn

Ja&i, #eorema 5 #er"#i &e($a( me($$"(aa( ""m %e(.ore#a( iri

#enggabungkan dan maka akan didapati"

( ) ( )nnnnnnnn aaaaaaaaaaeaaaaaaaaaa $+$$

$+$+$$

$

$

$$

$

$

+

$

............

==

( ) ( )nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa $+$$

$+$+$$

$

$

$$

$

$

+

$

............

=

...

$dengandikaikanruaskedua

$+$ nn aaaaa

maka kita dapati

( ) $$+$$

$

$

+

$

$

$

$ ......

= nnnn aaaaaaaaaa

dengan menggunakan sifat asosiatif pada ruas kiri dan distributif pada ruas kanan kita

peroeh"

( ) $$$$

$

+

$

$

$

$+$ ......

= nnnn aaaaaaaaaa

( ) $$$

+

$

$

$

$$

$+$ ......

= aaaaaaaaaa nnnn

Ja&i, #eorema 5 #er"#i &e($a( me($$"(aa( ""m %e(.ore#a( iri

Kare(a #eorema 5 &a%a# &i!e'e!aia( &e($a( meme("i ""m %e(.ore#a(,

maa #eorema 5 #er"#i*

5


6/31

6o(#o-.o(#o:

$. aam / ( himpunan biangan asi ) bia didefinisikan

0perasi xy=x+y+xy

1unjukan bah2a 3 /, 4 adaah sebuah grup

i. 5kan dibuktikan 3 /, > merupakan grupoid6

5mbi 7,y /

xy=x+y+xy

8arena 7,y /, maka 7,y,7y juga / sehingga operasi perkaian ini

bersifat tertutup 3 /, 4 grupoid

ii. 5kan dibuktikan 3 /,

4 merupakan semigrup65mbi 7,y,9 /

#aka x(yz )=(xy )z

x(y+z+yz )=(x+y+xy )z

(x+y+z+yz )+(xy+xz+xyz )=(x+y+xy+z ) (xz+yz+xyz )

x+y+z+xy+xz+yz+xyz=x+y+z+xy+xz+yz+xyz

8arena hasi penjabaran ruas kiri : ruas kanan, maka 3 /, 4 merupakansemigrup.

iii. 5pakah 3 /, 4 punya unsur kesatuan6

5mbi 7,y /

#isanya y adaah unkes kiri dari 7 maka"

yx=x

y+x+yx=x

y+yx=xx

y(x+1 )=0

y= 0

x+1=0

#isakan y adaah unkes kanan dari 7, maka "

xy=x

x+y+xy=x

y+yx=xx

y(x+1 )=0

6


7/31

y= 0

x+1=0

8arena 7 memiiki unkes kiri : unkes kanan : ;, maka 3 /, 4 monoid.

iv. 5pakah 3 /, 4 merupakan grup6

5mbi 7,y /

#isanya y adaah invers kiri dari 7 maka"

yx=0

y+x+yx=0

y+yx=x

y(x+1 )=x

y=xx+1

#isakan y adaah invers kanan dari 7, maka "

xy=0

x+y+xy=0

y+yx=x

y(x+1 )=x

y=

xx+1

8arena invers kiri dari 7 : invers kanannya, maka 7 memiiki invers yaitux

x+1 .

Sehingga 3 /, 4 merupakan grup.

. Z3{0 }={1,2} dengan operasi perkaian moduo.

1unjukan 5pakah

Z3{0 }, x>

merupakan sebuah grup6

penyeesaian

7 $ $ $ $

a. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> tertutup

7


8/31

ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a perkaian setiap dua unsur daam tabe

tersebut menghasikan eemen di daam Z3{0 } , maka Z3{0 }, x> bersifat

tertutup.

b. 5kan ditunjukan Z3{0

}, x> asosiatif

ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a unsur!unsurnya simetris pada diagona

utama sehingga Z3{0 }, x> asosiatif.

&. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> memiiki unkes

ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a unkesnya adaah $, karena setiap eemen

daam Z3{0 }, x> jika dikaikan dengan $ baik dari kiri maupun kanan akan

menghasikan dirinya sendiri. Sehingga Z3{0 }, x> memiiki unkes yaitu $.

d. 5kan ditunjukan Z3{0 }, x> memiiki invers

ari tabe Z3{0 }, x> terihat bah2a $ inversnya $, dan inversnya . engan

demikian maka Z3{0}, x> memiiki invers.

Kare(aZ

3{0 }, x>

memi'ii !i)a# #er#"#"%7$r"%oi&,

a!o!ia#i)7!emi$r"%,memi'ii "(e! &a( i(8er! maaZ

3{0 }, x>

mer"%aa( !e"a $r"%*

. Z5={0,1,2,3,4} dengan operasi penjumahan moduo. 1unjukan 5pakah Z5 ,+

merupakan sebuah grup6

penyeesaian


9/31

ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a penjumahan setiap dua unsur daam tabe

tersebut menghasikan eemen di daam tabe itu sendiri, maka Z5 ,+ bersifat

tertutup.

b. 5kan ditunjukan Z5 ,+ asosiatif

ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a unsur!unsurnya simetris pada diagona utama

sehingga Z5 ,+ asosiatif.

&. 5kan ditunjukan Z5 ,+ memiiki unkes

ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a unkesnya adaah ;, karena setiap eemen daam

Z5,+ jika dijumahkan dengan ; baik dari kiri maupun kanan akan

menghasikan dirinya sendiri. Sehingga Z5 ,+ memiiki unkes yaitu ;

d. 5kan ditunjukan Z5 ,+ memiiki invers

ari tabe Z5 ,+ terihat bah2a ; inversnya ;, $ inversnya =, inversnya ,

inversnya , dan = inversnya $. engan demikian makaZ

5,+ memiiki invers.

Kare(aZ

5,+

memi'ii !i)a# #er#"#"%7$r"%oi&, a!o!ia#i)7!emi$r"%,memi'ii

"(e! &a( i(8er! maa Z5 ,+ mer"%aa( !e"a $r"%*

=.

= Ra

aA

;;

;

i. 5pakah 35,>m4 grupoid6


10/31


11/31

;;

;$

;;

;a

:

;;

;a

8arena

;;

;$

unkes di kanan dan unkes di kiri maka

;;

;$

unkes di 5.

Ini berarti 35,>m4 monoid.

iv. 5pakah 35,>m4 grup6


12/31

*.

= ;,

;;

;aRa

aB

i. 5pakah 3m4 grupoid6


13/31

5mbi

;;

;a

? < dan misakan

;;

;b

unkes di mo(oi&

21


22/31

Ami'

dc

ba

dan misa

sr

qp

"(e! &i F

Maka

dcba

srqp

srqp

dcba

dcba

dc

ba

sr

qp

dc

ba

++++

dscqdrcp

bsaqbrap

dc

ba

a% ? r a

% a

bra

Misalkan br = 0Maka ' = 1

!' + dr = !

r d

cpc

arena ' = 1, aka r = 0

! + ds = d

! d

cqd

Mi!a'a( .@ 9

maa ! 1

a + bs = b

@ a

bsb

arena s=1, aka = 0

$nkes kanan :

22


23/31


24/31

+

$

+

$+

=

+$

:

$;

;$

+++

+

$

+

==+

=

+$

:

$;

;$

$;

;$

:

$;

;$

nvers dari

+

$

+

$+

merupakan invers dari

=

+$

+

$

+

$+

tetapi

karena ada anggota yang bukan merupakan biangan buat.Jadi < F, =m> BUKAN GRUP*

$;.G

= Rdcbadcba

,,,

i. &'aka( ) , .r$'id

Ami'

dc

ba

,

hg

fe

G

Maka

dc

ba

hg

fe

++

++

dhcfdgce

bhafbgae

Kare(a a,,.,& @ maka ae + bg, af + bh, &e + dg, dan &f + dh @

Sei($$a

++++

dhcfdgce

bhafbgae

GJadi 3 G, >m 4 grupoid

ii. 5pakah 3G, >m4 semigrup

24


25/31

5mbi

dc

ba

nm

lk

sr

qp

G

#aka

sr

qp

nm

lk

dc

ba

++

++

dncldmck

bnalbmak

sr

qp

=

++++++++++++

dnsclsdmqckqdnrclrdmpckp

bnsalsbmqakqbnralrbmpakp

=

dc

ba

++++

nsmqnrmp

lskqlrkp

=

dc

ba

sr

qp

nm

lk

Kare(a er'a" !i)a# a!o!ia#i) maa < G,=m > !emi$r"%

iii. A%aa < G, =m> mo(oi&

Ami'

dc

ba

G dan misa

sr

qp

"(e! &i G

Maka

dc

ba

sr

qp

sr

qp

dc

ba

dc

ba

dc

ba

sr

qp

dc

ba

++++dscqdrcp

bsaqbrap

dc

ba

a% ? r a

% a

bra

Misalkan br = 0, aka ' = 1

!' + dr = !

25


26/31

r d

cpc


! + ds = d

! d

cqd

Mi!a'a( .@ 9

maa ! 1

a + bs = b

@ a

bsb

arena s=1, aka = 0

$nkes kanan :

dc

ba

$;

;$

dc

ba

Ja&i

$;

;$

"(e! a(a(

$nkes kiri :

$;

;$

dc

ba

dc

ba

Ja&i

$;

;$

"(e! iri

Kare(a

$;

;$

"(e! a(a( &a( "(e! iri maa

$;

;$

"(e! &i G

I(i erar#i < G, =m > mo(oi&

iv. A%aa < G, =m> $r"%

$;

;$nkes

26


27/31

Mi!a'

dc

ba

G

=

ac

bd

bcaddc

ba $$

,+=

C

Ambil

G

=

C=

+

$+$+

$

+=

C $

=

C=

+

;

$

#i&a #er&e)i(i!i

Jadi < G, =m> BUKAN GRUP

$$.

= ;,,,, bcadRdcba

dc

ba!

i. A

Xm!,

$r"%oi&

dc

baAmbil

,

hg

fe

%

dc

baMaka

hg

fe

++

++

dhcfdgce

bhafbgae

Kare(a ad # bc

; dan eh # fg

;, maka (ae $ bg%&cf $ dh% # &af $ bh%&ce $ dg%

;

Sei($$a

++++

dhcfdgce

bhafbgae

%

Jadi 3 %, >m 4 grupoid

27


28/31

ii. 5pakah 3%, >m4 semigrup

5mbi

dc

ba

nm

lk

sr

qp

%

#aka

sr

qp

nm

lk

dc

ba

++++dncldmck

bnalbmak

sr

qp

=

++++++++++++

dnsclsdmqckqdnrclrdmpckp

bnsalsbmqakqbnralrbmpakp

=

dc

ba

++++

nsmqnrmp

lskqlrkp

=

dc

ba

sr

qp

nm

lk

Kare(a er'a" !i)a# a!o!ia#i) maa < , =m > !emi$r"%

iii. A%aa < , =m> mo(oi&

Ami'

dc

ba

% dan misa

sr

qp

"(e! &i

Maka

dc

ba

sr

qp

sr

qp

dc

ba

dc

ba

dc

ba

sr

qp

dc

ba

++++

dscqdrcp

bsaqbrap

dc

ba

a% ? r a

28


29/31

% a

bra

Misalkan br = 0, aka ' = 1

!' + dr = !

r d

cpc


! + ds = d

! d

cqd

Mi!a'a( .@ 9, maa ! 1

a + bs = b

@ a

bsb

arena s=1, aka = 0

$nkes kanan :

dc

ba

$;

;$

dc

ba

Ja&i

$;

;$

"(e! a(a(

$nkes kiri :

$;

;$

dc

ba

dc

ba

Ja&i

$;

;$

"(e! iri

Kare(a

$;

;$

"(e! a(a( &a( "(e! iri maa

$;

;$

"(e! &i

29


30/31

I(i erar#i < , =m > mo(oi&

iv. A%aa < , =m> $r"%

$;

;$nkes

Mi!a'

dc

ba

%

=

ac

bd

bcaddc

ba $$

Kare(a a& .

9, maa

dc

ba

% seau mempunyai Invers.Jadi < , =m> adaahGRUP

Ke!im%"'a(

No Soa' Gr"%oi& Semi$r"

%

Mo(oi& Gr"%

1 'erasi xy=x+y+xy

) ,

+ Z3{0 }={1,2 } dengan operasi perkaian

moduo. Z3{0 }, x>

/ Z5={0,1,2,3,4} dengan operasi

penjumahan moduo. Z5 ,+

3 A={[a 0

0 0 ]aR } K K K !4

B={[a 00 0]aR , a 0}K K K K

5C={[1 x0 1]xR}

K K K K

D={[0 0

b 0

]bR , b 0

}! ! ! !

30


31/31

CE={[a 00 b ]a ,bR ,ab 0}

K K K K

F=

{[a b

c d

]a , b , c , dZ

}

K K K !

19G={[a bc d ]a , b , c , dR}

K K K !

11H={[a bc d ]a , b , c , dR , adbc 0}

K K K K

Nomor 5 a&a'a !"!e# &ari (omor 11*

Kare(a

CH

, maa 6 !"$r"% &ari