Alejandro Cámara(a.camara@fis.ucm.es)

TRANSFORMADA DE FOURIER

(parte II)

• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N

¿De qué vamos a hablar hoy?

• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N

¿De qué vamos a hablar ahora?

Recordatorio

Espacio posiciones Espacio direcciones

F

• Recordemos de óptica geométrica:

Lente como operador de Fourier

Un rayo que atraviesa el centro de la lentepor el eje óptico no modifica su dirección

• Recordemos de óptica geométrica:

Lente como operador de Fourier

Dos rayos paralelos coinciden enel mismo punto del plano focal

• Recordemos de óptica geométrica:

Lente como operador de Fourier

¡La lente lleva rayos con la mismadirección a un mismo punto!

• Recordemos de óptica geométrica:

Lente como operador de Fourier

Por la reversibilidad de los rayos

• Recordemos de óptica geométrica:

Lente como operador de Fourier

¡La lente hace que los rayos que parten delmismo punto lleven la misma dirección!

Lente como operador de Fourier

Espacio posiciones Espacio direcciones

¡LENTE!

• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N

¿De qué vamos a hablar ahora?

• Recordemos de óptica matricial:

Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

t f l f=T T TT

• Recordemos de óptica matricial:

Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

t f l f=T T TT

f

zλ =

1 1T

0 1

1l

fλ

= −

1 0T

1 1

• Recordemos de óptica matricial:

Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

1 1t

ff f

f f

λλ λ

λ λ

= =− −

1 0 0 11 1 1 1

T1 1 1 00 1 0 1

• Recordemos de óptica matricial:

Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

1 1i

iF

iiF

f f

f f

λ λ

λ λ

= =− −

0 1r

r

pr

1 0 pp

Transforma posición en dirección y viceversa¡Transformada de Fourier!

• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N

¿De qué vamos a hablar ahora?

• Recordemos de óptica ondulatoria:– Propagación por el espacio libre:

(aproximación de Fresnel)

Lente como operador de Fourier

( )2( ) d ( )expikz

z z zif

zzefi

πλ λ

= − ∫r r r r r

• Recordemos de óptica ondulatoria:– Propagación por el espacio libre:

(aproximación de Fresnel)

– Transmitancia de una lente:

Lente como operador de Fourier

( )2( ) d ( )expikz

z z zif

zzefi

πλ λ

= − ∫r r r r r

2( ) expfit

fπλ

= −

r r

Lente como operador de Fourier

( )2( ) d ( )expL L

ikf

Le if fi ff

πλ λ

= −

∫ r r rr r

Hasta el plano rojo:

Lente como operador de Fourier

( )2

2

( ) d ( )exp

exp

L L

ikf

L

Le if fi f

if

fπ

λ λ

πλ

′

= −

−

×

∫ r rr

r

r r

Hasta el plano verde:

Lente como operador de Fourier

( )( )

( )

22

2

22

( ) d d ( )exp

exp exp

ikf

L L

F L Le if f

f

i if f

fπλλ

π πλ λ

= − −

− −

×

∫ ∫ r r rp

p

r r

r r

Hasta el plano azul:

Lente como operador de Fourier

( )( )

( )

22

2

22

( ) d d ( )exp

exp exp

ikf

L L

F L Le if f

f

i if f

fπλλ

π πλ λ

= − −

− −

×

∫ ∫ r r rp

p

r r

r r

Hasta el plano azul:

PACIENCIA

Lente como operador de Fourier

( )( )

( )

22

2

22

( ) d d ( )exp

exp exp

ikf

L L

F L Le if f

f

i if f

fπλλ

π πλ λ

= − −

− −

×

∫ ∫ r r rp

p

r r

r r

( ) ( )2 22d exp expL L L Li i

f fπ πλ λ

− − + − ∫ r r r rrp

Separando la integral en rL

( ) ( )

( )

( )

2 2 2 2

2

2

exp exp

d exp 2

d exp 2

L L

x y

x

L L y

L

L

x

i ix y

if

i

f f

x

p p

x x

y y

p

pf

y y

π πλ λ

πλ

πλ

×

= + +

+

× +

−

−

∫

∫

Lente como operador de Fourier

( ) ( )2 22d exp expL L L Li i

f fπ πλ λ

− − + − ∫ r r r rrp

( ) ( )

( )

( )

2 2 2 2

2

2

exp exp

d exp 2

d exp 2

L L

x y

x

L L y

L

L

x

i ix y

if

i

f f

x

p p

x x

y y

p

pf

y y

π πλ λ

πλ

πλ

×

= + +

+

× +

−

−

∫

∫

Lente como operador de Fourier

( ) ( )2 22d exp expL L L Li i

f fπ πλ λ

− − + − ∫ r r r rrp

Lente como operador de Fourier

( )

( )

2

2 2

d exp 2

exp 2

xL L

x x

L p

p

x x xif

ii x xf p

x

f

πλ

πλλ

−

= −

+

+ +

∫

Lente como operador de Fourier

( )

( )

2

2 2

d exp 2

exp 2

xL L

x x

L p

p

x x xif

ii x xf p

x

f

πλ

πλλ

−

= −

+

+ +

∫

( ) ( )2 22d exp expL L L Li i

f fπ πλ λ

− − + − ∫ r r r rrp

( )2exp x yii x yp pf

fπλ

λ

= − +

Lente como operador de Fourier

( ) ( )2 22d exp expL L L Li i

f fπ πλ λ

− − + − ∫ r r r rrp

( )2 2exp exp ·x yp pf ff f

i ii x y iπ πλ λλ λ

= − + = −

pr

Lente como operador de Fourier

( ) ( )2 22d exp expL L L Li i

f fπ πλ λ

− − + − ∫ r r r rrp

( )2 2exp exp ·x yp pf ff f

i ii x y iπ πλ λλ λ

= − + = −

pr

2 2( ) d ( )ex ·pikf

Fe if fi f f

πλ λ

= −

∫ r r rp p

¡LA TRANSFORMADA DE FOURIER!(salvo un factor constante)

• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral

• Aplicación a filtrado óptico(hoy no hay problemas)

¿De qué vamos a hablar ahora?

• Un haz propagándose en una dirección

Filtrado de señales ópticas

• Otro haz en otra dirección

Filtrado de señales ópticas

• Bloqueamos un haz en Fourier

Filtrado de señales ópticas

• Situación final: un haz fue filtrado

Filtrado de señales ópticas

( ) ( )A i R if f+r r ( ) ( )A RF F+p p ( )R of −r

• Sistema 4-f

Filtrado de señales ópticas

• Sistema 4-f

Filtrado de señales ópticas

Lo veréis en la práctica de procesado de la información