Sistemas LinearesAula 9 – Transformada de Fourier

Séries de Fourier

A Série de Fourier representa um sinal periódico como

uma combinação linear de exponenciais complexas

harmonicamente relacionadas.

Como consequência da periodicidade, estes sinais

possuem espectro de linha com linhas equidistantes.

O espaçamento entre linhas é igual à frequência

fundamental, a qual por sua vez determina a

quantidade de linhas do espectro por unidade de

frequência.

Séries de Fourier

Portanto, se o período cresce de modo ilimitado, o

espaçamento das linhas tende a zero.

No limite, quando o período for infinito, o sinal torna-se

não periódico e seu espectro torna-se contínuo, mais

especificamente, torna-se o envelope do espectro de

linha do sinal periódico correspondente

Operação transformada

A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal.

Objetivo:

- Série de Fourier;

- Transformada de Fourier;

- Relação entre ambas.

Fasores e espectro de linhas

Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão:

Utilizando-se da relação de Euler, tal que:

)tcos(A)t(v o

)sen(j)cos(e j

Representação fasorial

Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal

como na figura abaixo:

)eRe(A)e.ARe()tcos(A

tjtj

ooo

Espectro de amplitudes e

espectro de fases

Alternativamente, pode-se representar o sinal

senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de

fases, tal como na figura.

Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

Observações:

A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser

sempre positiva . Assim, um sinal descrito por

deve ser re-escrito como . É indiferente se é

utilizado + ou -.

tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que = 2..f em rad/s e f em Hz.

Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário.

Formas de onda cosseno e seno são genericamente denomina-das de forma de onda senoidais. Lembrar que ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 900).

v t A t( ) cos( ) 0

)tcos(A)t(v 0

)2/tcos()t(sen

Exemplo Dado o sinal:

Cuja forma de onda é:

Determinar o seu espectro de frequência (amplitude e fase)

s t t t( ) cos( ) ( ) 7 10 40 60 4 120 sen

Solução

O sinal pode ser reescrito como:

Assim, o seu espectro de frequências será:

)90602cos(4)120202cos(10)02cos(7)( tttts

Transformada de Fourier

Seja uma função x(t) não periódica e de duração finita, têm-se

o par de Transformadas:

ℱ

𝑥 𝑡 𝑋 𝜔ℱ−1

𝑋 𝜔 = −∞∞𝑥 𝑡 . 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

𝑥 𝑡 =1

2𝜋 −∞

∞

𝑋 𝜔 . 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

Para que as integrais convirjam, devem observadas as

condições de Dirichlet.

Condições de Dirichlet

As Séries e a Transformada de Fourier existirão se 𝑥(𝑡):

for integrável em módulo no intervalo de um período

tiver um número finito de máximos e mínimos dentro de

um intervalo de tempo

tem um número finito de descontinuidades (finitas) dentro

de qualquer intervalo de tempo

Estas condições são suficientes, mas não necessárias.

Exemplos

Exemplo 1: transformada direta

Exemplos

Exemplo 2: transformada inversa

Tabela de Transformadas

Tabela de Transformadas

Propriedades

Propriedades

Teorema de Parseval

De acordo com o Teorema de Parseval podemos determinar a

potência e a energia de um sinal através dos pares:

ℱ

𝑥 𝑡 𝑋 𝜔ℱ−1

Domínio do Tempo (t) Domínio da Frequência (ω)

𝑃𝑥 =1

𝑇𝑜 𝑇𝑜 𝑥 𝑡 ²𝑑𝑡 𝑃𝑥 = 𝑛=−∞

∞ 𝐷𝑛 ²

𝐸𝑥 = −∞∞𝑥 𝑡 ²𝑑𝑡 𝐸𝑥 =

1

2𝜋 −∞∞𝑋 𝜔 ²𝑑𝜔

Resposta em Frequência 𝐻 𝜔

Para um SLIT, temos:

𝑦 𝑡 = −∞∞𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡

ℱ

𝑦 𝑡 → 𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 .𝐻(𝜔)

𝐻 𝜔 =𝑌(𝜔)

𝑋 𝜔

→ 𝐻 𝜔 é 𝑎 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎.

𝐻 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑒𝑗𝜃 𝜔

Fase da resposta em frequência

Magnitude da resposta em frequência

𝐻 𝜔 = 𝑌 𝜔 / 𝑋 𝜔

𝜃𝐻 𝜔 = 𝜃𝑌 𝜔 − 𝜃𝑋 𝜔

Exercícios para estudo

Livro Lathi – Cap. 6

(Problemas):

6.1-2

6.1-3

6.1-7

6.3-1

6.3-2

6.3-8

6.4-1

6.4-2

Exemplos das seções 6.1 a 6.4

Livro Lathi – Cap. 7

(Problemas):

7.1-4

7.1-5

7.1-6

7.1-7

7.2-4

7.3-3

7.3-7

Exemplos das seções 7. 1 a 7.3

Bibliografia

LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto

Alegre: Bookman, 2007. 856 p. ISBN 9788560031139

HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre:

Bookman, 2001. 668 p.