Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo 𝑥(𝑛):

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

A DTFT é uma função complexa da variável real e contínua 𝜔.

A DTFT é uma função periódica com período 2𝜋:

𝑋 𝑒𝑗(𝜔+2𝜋𝑘) = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗(𝜔+2𝜋𝑘)𝑛∞

𝑛=−∞

= 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

= 𝑋 𝑒𝑗𝜔

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Por ser uma função complexa da variável real 𝜔, pode ser expressa

como:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 + 𝑗𝑋𝐼 𝑒

𝑗𝜔 ou, na forma polar:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = Π 𝜔 𝑒𝑗Θ(𝜔)

onde

Π 𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 2+ 𝑋𝐼 𝑒

𝑗𝜔 2

e

Θ 𝜔 = ∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = atan (𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 /𝑋𝑅 𝑒

𝑗𝜔 )

são os espectros de módulo e de fase, respectivamente, de 𝑥 𝑛 .

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Exemplo: A DTFT de

𝑥 𝑛 = (0,6)𝑛𝑢(𝑛) é

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = (0,6)𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=0

=1

1 − 0,6𝑒−𝑗𝜔

ou seja,

Π 𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔) =1

1 − 0,6cos (𝜔) 2 + (0,6 sen 𝜔 )2

e

Θ 𝜔 = ∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −atan (0,6 sen 𝜔 /(1 − 0,6 cos 𝜔 ))

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Relações de simetria da DTFT:

Para uma sequência 𝑥(𝑛) real:

𝑋 𝑒𝑗𝜔∗= 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

∗

= 𝑥(𝑛)𝑒𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

= 𝑋 𝑒−𝑗𝜔

Portanto:

𝑋𝑅 𝑒

𝑗𝜔 = 𝑋𝑅 𝑒−𝑗𝜔 → função par

𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 = −𝑋𝐼 𝑒

−𝑗𝜔 → função ímpar

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Também tem-se, para uma sequência 𝑥(𝑛) real:

𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋(𝑒−𝑗𝜔) → função par

∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −∠𝑋 𝑒−𝑗𝜔 → função ímpar

Para uma sequência 𝑥(𝑛) par:

𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 = 0

Para uma sequência 𝑥(𝑛) ímpar:

𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 = 0

DTFT Inversa

A sequência 𝑥(𝑛) pode ser obtida a partir de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 através da

IDTFT:

𝑥 𝑛 =1

2𝜋 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔𝜋

−𝜋

Existe uma relação de unicidade entre uma sequência e sua DTFT:

A expressão da IDTFT exprime 𝑥(𝑛) como uma soma contínua de

sequências exponenciais complexas cujas amplitudes e fases são

determinadas por 𝑋 𝑒𝑗𝜔 .

𝑥(𝑛) ⟷ 𝑋 𝑒𝑗𝜔

Convergência da DTFT

A DTFT existirá se a série

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

convergir.

Se 𝑥(𝑛) for absolutamente somável, ou seja:

𝑥(𝑛) < ∞

∞

𝑛=−∞

então a série acima convergirá uniformemente para uma função

contínua de 𝜔, tal que

𝑋 𝑒𝑗𝜔 < ∞,∀𝜔

A série é então denominada absolutamente convergente.

Convergência da DTFT

Exemplo: a sequência 𝑥 𝑛 = (0,6)𝑛𝑢(𝑛) é absolutamente somável

pois

𝑥(𝑛) =

∞

𝑛=−∞

(0,6)𝑛=1

1 − 0,6= 2,5

∞

𝑛=0

indicando que a série (0,6)𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛∞𝑛=0 converge uniformemente

para 1

1−0,6𝑒−𝑗𝜔.

Sequência absolutamente somável tem energia finita:

𝑥(𝑛) 2∞

𝑛=−∞

≤ 𝑥(𝑛)

∞

𝑛=−∞

No entanto, uma sequência com energia finita não necessariamente

será absolutamente somável.

Convergência da DTFT

Exemplo: a sequência

𝑥 𝑛 =1

𝑛𝑢(𝑛 − 1)

tem energia mas não é absolutamente somável. A série que define a

sua DTFT converge no sentido médio quadrático para uma função de

𝜔.

Convergência da DTFT

Definido a soma parcial:

𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

𝑙

𝑛=−𝑙

a sequência de funções 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 , 𝑙 = 1,2,3,⋯ convergirá

uniformemente para a série que define a DTFT X 𝑒𝑗𝜔 se

existir um inteiro 𝐿 tal que:

X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 < 휀, ∀𝜔, ∀𝑙 > 𝐿

para um 휀 tão pequeno quanto se queira. Ou seja:

lim 𝑋𝑙𝑙→∞𝑒𝑗𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔)

A DTFT de uma função absolutamente somável é contínua, pois é o limite de

funções contínuas 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 .

Convergência da DTFT

Convergência no sentido médio quadrático:

𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

𝑙

𝑛=−𝑙

a sequência de funções 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 , 𝑙 = 1,2,3,⋯ convergirá

no sentido para médio quadrático se existir um inteiro 𝐿 tal que:

X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 2𝑑𝜔

∞

−∞

< 휀, ∀𝑙 > 𝐿

para um 휀 tão pequeno quanto se queira. Ou seja:

lim𝑙→∞ X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒

𝑗𝜔 2𝑑𝜔

∞

−∞

= 0

Convergência da DTFT

Exemplo: Seja

𝑥 𝑛 =𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛

Esta sequência não é absolutamente somável, mas tem energia finita

(𝜔𝑐/𝜋). A soma finita:

𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 =

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛

𝑙

𝑛=−𝑙

apresenta oscilações que não diminuem de amplitude quando se

aumenta 𝑙. Este comportamento é conhecido como fenômeno

de Gibbs.

Convergência da DTFT

Convergência da DTFT

Representação em Transformada de Fourier de sequências

que não são absolutamente somáveis nem tem energia finita:

Exemplo: a série da DTFT da sequência senoidal complexa

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛

não converge uniformemente nem quadraticamente.

É possível entretanto definir a DTFT desta sequência pelo trem de

impulsos de Dirac:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 2𝜋𝛿𝐷(𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞

Convergência da DTFT

Uma outra sequência importante que não é absolutamente somável

nem tem energia finita é o degrau unitário u 𝑛 . Esta sequência pode

ser representada no domínio da frequência por

.

𝑈 𝑒𝑗𝜔 =1

1 − 𝑒−𝑗𝜔+ 𝜋𝛿𝐷(𝜔 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞

Propriedades da DTFT

Sejam 𝑔(𝑛) ↔ 𝐺(𝑒𝑗𝜔)e ℎ(𝑛) ↔ H(𝑒𝑗𝜔). Então as seguintes

propriedades são validas:

(i) Linearidade:

𝛼𝑔 𝑛 + 𝛽ℎ 𝑛 ↔ 𝛼𝐺 𝑒𝑗𝜔 + 𝛽𝐻 𝑒𝑗𝜔

(ii) Deslocamento no tempo:

𝑔(𝑛 − 𝑛0) ↔ 𝑒−𝑗𝜔𝑛0𝐺(𝑒𝑗𝜔)

(iii) Deslocamento na frequência:

𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑔(𝑛) ↔ 𝐺(𝑒𝑗(𝜔−𝜔0))

Propriedades da DTFT

(iv) Reversão no tempo:

𝑔(−𝑛) ↔ 𝐺(𝑒−𝑗𝜔)

(v) Diferenciação na frequência:

𝑛𝑔(𝑛) ↔ 𝑗𝑑𝐺(𝑒𝑗𝜔)

𝑑𝜔

(vi) Convolução:

𝑔 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 ↔ 𝐺 𝑒𝑗𝜔 𝐻 𝑒𝑗𝜔

Propriedades da DTFT

(v) Modulação:

𝑔 𝑛 ℎ 𝑛 ↔1

2𝜋 𝐺 𝑒𝑗𝜃 𝐻 𝑒𝑗(𝜔−𝜃)𝜋

−𝜋

𝑑𝜃

Relação de Parseval:

ℎ 𝑛 2∞

𝑛=−∞

=1

2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔

2

𝜋

−𝜋

𝑑𝜔

Propriedades da DTFT

DTFTs mais usadas: 𝛿 𝑛 ⟷ 1

1 −∞ < 𝑛 < ∞ ⟷ 2𝜋𝛿 𝜔 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑢 𝑛 ⟷1

1 − 𝑒−𝑗𝜔+ 𝜋𝛿 𝜔 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑒𝑗𝜔0𝑛⟷ 2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

𝛼𝑛𝑢 𝑛 , ( 𝛼 < 1) ⟷1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔

(𝑛 + 1)𝛼𝑛𝑢 𝑛 , ( 𝛼 < 1) ⟷1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔 2

−𝛼𝑛𝑢 −𝑛 − 1 , ( 𝛼 > 1) ⟷1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔

ℎ𝐿𝑃 𝑛 =𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛 , −∞ < 𝑛 < ∞ ⟷ 𝐻𝐿𝑃 𝑒

𝑗𝜔 = 1, 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 0, 𝜔𝑐 < 𝜔 ≤ 𝜋