Transformada de Fourier (parte I) -...
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• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar hoy?
• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
Recordatorio
Espacio posiciones Espacio direcciones
F
• Recordemos de óptica geométrica:
Lente como operador de Fourier
Un rayo que atraviesa el centro de la lentepor el eje óptico no modifica su dirección
• Recordemos de óptica geométrica:
Lente como operador de Fourier
Dos rayos paralelos coinciden enel mismo punto del plano focal
• Recordemos de óptica geométrica:
Lente como operador de Fourier
¡La lente lleva rayos con la mismadirección a un mismo punto!
• Recordemos de óptica geométrica:
Lente como operador de Fourier
Por la reversibilidad de los rayos
• Recordemos de óptica geométrica:
Lente como operador de Fourier
¡La lente hace que los rayos que parten delmismo punto lleven la misma dirección!
Lente como operador de Fourier
Espacio posiciones Espacio direcciones
¡LENTE!
• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Recordemos de óptica matricial:
Lente como operador de Fourier
Actuación del sistema:
t f l f=T T TT
• Recordemos de óptica matricial:
Lente como operador de Fourier
Actuación del sistema:
t f l f=T T TT
f
zλ =
1 1T
0 1
1l
fλ
= −
1 0T
1 1
• Recordemos de óptica matricial:
Lente como operador de Fourier
Actuación del sistema:
1 1t
ff f
f f
λλ λ
λ λ
= =− −
1 0 0 11 1 1 1
T1 1 1 00 1 0 1
• Recordemos de óptica matricial:
Lente como operador de Fourier
Actuación del sistema:
1 1i
iF
iiF
f f
f f
λ λ
λ λ
= =− −
0 1r
r
pr
1 0 pp
Transforma posición en dirección y viceversa¡Transformada de Fourier!
• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral
• Problemas para casa– Problema 1– Problema 2– …– Problema N
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Recordemos de óptica ondulatoria:– Propagación por el espacio libre:
(aproximación de Fresnel)
Lente como operador de Fourier
( )2( ) d ( )expikz
z z zif
zzefi
πλ λ
= − ∫r r r r r
• Recordemos de óptica ondulatoria:– Propagación por el espacio libre:
(aproximación de Fresnel)
– Transmitancia de una lente:
Lente como operador de Fourier
( )2( ) d ( )expikz
z z zif
zzefi
πλ λ
= − ∫r r r r r
2( ) expfit
fπλ
= −
r r
Lente como operador de Fourier
( )2( ) d ( )expL L
ikf
Le if fi ff
πλ λ
= −
∫ r r rr r
Hasta el plano rojo:
Lente como operador de Fourier
( )2
2
( ) d ( )exp
exp
L L
ikf
L
Le if fi f
if
fπ
λ λ
πλ
′
= −
−
×
∫ r rr
r
r r
Hasta el plano verde:
Lente como operador de Fourier
( )( )
( )
22
2
22
( ) d d ( )exp
exp exp
ikf
L L
F L Le if f
f
i if f
fπλλ
π πλ λ
= − −
− −
×
∫ ∫ r r rp
p
r r
r r
Hasta el plano azul:
Lente como operador de Fourier
( )( )
( )
22
2
22
( ) d d ( )exp
exp exp
ikf
L L
F L Le if f
f
i if f
fπλλ
π πλ λ
= − −
− −
×
∫ ∫ r r rp
p
r r
r r
Hasta el plano azul:
PACIENCIA
Lente como operador de Fourier
( )( )
( )
22
2
22
( ) d d ( )exp
exp exp
ikf
L L
F L Le if f
f
i if f
fπλλ
π πλ λ
= − −
− −
×
∫ ∫ r r rp
p
r r
r r
( ) ( )2 22d exp expL L L Li i
f fπ πλ λ
− − + − ∫ r r r rrp
Separando la integral en rL
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2
exp exp
d exp 2
d exp 2
L L
x y
x
L L y
L
L
x
i ix y
if
i
f f
x
p p
x x
y y
p
pf
y y
π πλ λ
πλ
πλ
×
= + +
+
× +
−
−
∫
∫
Lente como operador de Fourier
( ) ( )2 22d exp expL L L Li i
f fπ πλ λ
− − + − ∫ r r r rrp
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2
exp exp
d exp 2
d exp 2
L L
x y
x
L L y
L
L
x
i ix y
if
i
f f
x
p p
x x
y y
p
pf
y y
π πλ λ
πλ
πλ
×
= + +
+
× +
−
−
∫
∫
Lente como operador de Fourier
( ) ( )2 22d exp expL L L Li i
f fπ πλ λ
− − + − ∫ r r r rrp
Lente como operador de Fourier
( )
( )
2
2 2
d exp 2
exp 2
xL L
x x
L p
p
x x xif
ii x xf p
x
f
πλ
πλλ
−
= −
+
+ +
∫
Lente como operador de Fourier
( )
( )
2
2 2
d exp 2
exp 2
xL L
x x
L p
p
x x xif
ii x xf p
x
f
πλ
πλλ
−
= −
+
+ +
∫
( ) ( )2 22d exp expL L L Li i
f fπ πλ λ
− − + − ∫ r r r rrp
( )2exp x yii x yp pf
fπλ
λ
= − +
Lente como operador de Fourier
( ) ( )2 22d exp expL L L Li i
f fπ πλ λ
− − + − ∫ r r r rrp
( )2 2exp exp ·x yp pf ff f
i ii x y iπ πλ λλ λ
= − + = −
pr
Lente como operador de Fourier
( ) ( )2 22d exp expL L L Li i
f fπ πλ λ
− − + − ∫ r r r rrp
( )2 2exp exp ·x yp pf ff f
i ii x y iπ πλ λλ λ
= − + = −
pr
2 2( ) d ( )ex ·pikf
Fe if fi f f
πλ λ
= −
∫ r r rp p
¡LA TRANSFORMADA DE FOURIER!(salvo un factor constante)
• Lente como operador de Fourier– Argumento 1: intuición geométrica– Argumento 2: intuición matricial– Argumento 3: intuición integral
• Aplicación a filtrado óptico(hoy no hay problemas)
¿De qué vamos a hablar ahora?
• Un haz propagándose en una dirección
Filtrado de señales ópticas
• Otro haz en otra dirección
Filtrado de señales ópticas
• Bloqueamos un haz en Fourier
Filtrado de señales ópticas
• Situación final: un haz fue filtrado
Filtrado de señales ópticas
( ) ( )A i R if f+r r ( ) ( )A RF F+p p ( )R of −r
• Sistema 4-f
Filtrado de señales ópticas
• Sistema 4-f
Filtrado de señales ópticas
Lo veréis en la práctica de procesado de la información
