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Transformada de Fourier em Tempo Discreto
• Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L:
2
2, 0,..., 1
kk L
L
[ ] ( )Fx n X
1
0
( ) [ ] , 0,1,2,...., 1L
j n
n
X x n e k L
3
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem
n
x(n)
0 1 n
x(n)
0 1
N = número de amostras
N-1
Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital
4
Exemplo 1: fs = 10k Amostras/s Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms
twindow
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem
n
x(n)
0 1 n
x(n)
0 1
N = número de amostras
N-1
5
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
fs = 10k amostras/s Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms
twindow
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem
n
x(n)
0 1 n
x(n)
0 1 N-1
DFT
Exemplo de avaliação da DFT
L = 5 k = 0,1,2,3,4
6
4
0
42 /5
0
44 /5
0
46 /5
0
48 /5
0
0 0 (0) [ ]
21 (2 / 5) [ ]
5
42 (4 / 5) [ ]
5
63 (6 / 5) [ ]
5
84 (8 / 5) [ ]
5
n
j n
n
j n
n
j n
n
j n
n
k X x n
k X x n e
k X x n e
k X x n e
k X x n e
2, 0,..., 1
kk L
L
Módulo e Fase da DFT
7
0
1
2
3
4
0
42 /5
0
44 /5
0
46 /5
0
48 /5
0
0 0 (0) [ ] (0)
21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)
5
42 (4 / 5) [ ] (4 / 5)
5
63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)
5
84 (8 / 5) [ ] (
5
j
n
jj n
n
jj n
n
jj n
n
j n
n
k X x n X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X
48 / 5)j
e
• A resolução da frequência digital é dada como:
8
0
1
2
3
4
0 0 (0)
21 (2 / 5)
5
42 (4 / 5)
5
63 (6 / 5)
5
84 (8 / 5)
5
j
j
j
j
j
k X e
k X e
k X e
k X e
k X e
0
2
L
Resolução da Frequência Digital
Resolução
Definição da Transformada de Fourier Discreta
• A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:
• A DFT inversa é definido por
9
2, 0,..., 1
kk N
N
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N
j n
n
X x n e k N
1
0
1[ ] ( ) , 0,1,2,..., 1
Nj n
k
x n X e n NN
[ ] ( )Fx n X Notação:
Propriedades da DFT • Linearidade
• Deslocamento no tempo
10
1 1
Fx n X
2 2
Fx n X 1 2 1 2
Fax n bx n aX bX
0
0
j nFx n n e X
• Deslocamento na frequência
• Convolução
11
0j n F
oe x n X
h[n]x[n] y[n]
Fy n x n h n Y X H
k
y n x n h n x k h n k
Propriedades da DFT
Exemplo 2
12
• Para um sinal Sinusoidal s(t)=sin(2πft)
• Frequência do sinal f= 50Hz
• Frequência de amostragem fs=1000 Amostras/s
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1señal
Tamanho do sinal L = 20 amostras
Exemplo 2
13
• Incrementando 100 zeros
0 20 40 60 80 100 120-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1señal+ruido
20 amostras
100 zeros
O novo tamanho do sinal é N = 120 amostras
Exemplo 2
14
• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta
0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
12
rad/s
|DF
T|
199
0
( ) [ ] , 0,1,2,....,199j n
n
X x n e k
0
2 2
120N
Resolução:
Exemplo 2
15
• Transformação de escala (rad) x (Hz)
2 1000
. 1000( )
2 2
s
s
A Transformada de Fourier Discreta é Períodica
f
f
ff Hz
Exemplo 2
16
• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta (escala em Hz)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
2
4
6
8
10
12
Hertz
|DF
T|
Frequência do sinal f=50Hz
Exemplo 2
17
• Simetria da Transformada de Fourier Discreta
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
2
4
6
8
10
12
Hertz
|DF
T|
Simetria
Considerações na Avaliação da DFT
18
• A adição de zeros não proporciona nenhuma informação adicional acerca do espectro de X() da sequencia x[n].
• Ao preencher a sequencia x[n] com (N-L) zeros e avaliar a DFT de N pontos, se obtém uma melhor representação gráfica, devido principalmente à melhora na resolução da DFT.
Exemplo 2
• Simetria e Periodicidade
Propriedades da DFT
19
20
Propriedades da DFT
21
Propriedades da DFT
• Simetria
• Período igual a 2*
22 0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|FF
T|
Espectro de x(n)
2
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x(n
)
DFT
N=100 fs=10k Amostras/s fo = 1 kHz
Exemplo 3
Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz
23
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|FF
T|
Espectro de x(n)
2
fs/2
fsf (Hz)
( )2
sff Hz
2
( )
sf
f Hz
Realizando a Transformação
24
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
fs/2 fsfo
Simetria com respeito a fs/2 Período igual a fs A Largura de Banda de interesse é igual ao intervalo [0, fs/2]
BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]]
DFT de um sinal ruído branco Gaussiano
• Valor médio = 0
• Desvio padrão = 0.1
25
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40
5
10
15
20
25
30
35
40
r = 0 + 0.1*randn(1,1000); figure,hist(r,100)
A DFT do ruído branco Gaussiano
26
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
DFT do ruído
DFT de 2 sinais sinusoidais
• fs = 10 kHz (Frequência de amostragem)
• Frequência dos sinais f0=1 kHz e f1=3 kHz
27
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
Que acontece se a frequência do sinal de entrada f1 é superior a fs/2 = 5000 Hz ?
• Por exemplo, para fo = 1000 Hz e f1 = 6000 Hz
• Sendo que a largura de banda vá de [0, 5000]Hz, o espectro do sinal de 6000 Hz produzirá um espectro espelhado com frequência de 4000 Hz. Por tanto, tem-se um espectro de frequência errado.
28
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
fo Simetria de fo f1
Simetria de f1
Com a finalidade de garantir que a análise de espectros seja realizado respeitando a largura de banda de interesse [0, fs/2], deve-se colocar na entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa baixo com frequência de corte fs/2. Este filtro limitara a largura de banda dos sinais de entrada.
fc=fs/2
Filtro Passa Baixo
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
twindow
t
x(t)
A/D
n
x(n)
0 1 n 0 1 N-1
DFT
29
• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n]
por uma janela w[n]:
[ ] [ ] [ ]wh n h n w n
( ) ( ) ( )wH F H F W F
30
Multiplicação em
tempo discreto
Convolução na
Frequência
Análise em Frequencia usando Janelas
• Características das Funções que caracterizam Janelas
31
M n M
[ ] 1w n
[ ] 1n
w nM
[ ] 0.5 0.5cosn
w nM
[ ] 0.54 0.46cosn
w nM
2[ ] 0.42 0.5cos 0.08cos
n nw n
M M
JANELAS
Boxcar
Blackman
Barlett
Hanning
Hamming
Análise em Frequencia usando Janelas
