6. Inferencia estad stica - salesianos-merida.com · APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de...

APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo

Matemáticas aplicadas a las CCSS P ROBL EMAS RESUE LTOS

INFERENCIA ESTADÍSTICA Pág. 1 de 52

Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida

1.

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Selectividad - Extremadura

Junio 1996

::::RESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓNRESOLUCIÓN::::::::

)(a Si tomamos como media de la población, µ , el valor que se ha obtenido en la muestra, x , el error máximo que cometeremos, E, con un nivel de significación α , es:

E= t αn

σ = t α

nn 1−σ

= t α1−n

nσ

1−α = 0’95 ⇒ α = 0’05 ⇒ t 05'0 = 96'1

E= 96'1 ·35

5'1 ≈

2

150'0 =

Respuesta:

)(a Si estimamos que 5'6 minutos es la media de tiempo que tarda la población infantil en realizar la actividad manual, el máximo error que cometemos (con una confianza del 95%) es de:

2/1 minuto (aproximadamente)

Conocimientos específicos:

- Parámetros estadísticos

- Estadística Inductiva. Estimación de medias

- Contraste de Hipótesis para la media.

RECUERDA:

11

−=−

nnnn σσ

Desviación típica muestral ( nσ ):

nσ = n

xxn

ii∑

=

−1

2)(

Cuasi-desviación típica muestral ( 1−nσ ):

1−nσ = 1

)(1

2

−

−∑=

n

xxn

ii





b) Planteamos un contraste de hipótesis bilateral para la media:

Hipótesis nula, H 0 : µ = 7

Hipótesis alternativa: ≠µ 7

La “zona de aceptación” de la hipótesis H0: µ = 0µ para un nivel de significación α (es

decir sólo se rechazarían por improbables el 100α % de los casos) es el “intervalo característico” correspondiente:

(n

tσµ α ·0 − ,

nt

σµ α ·0 + )

α = 01'0 ⇒ tα = 2’576 por lo tanto, la zona de aceptación en este caso es:

7 ± 2’576·35

5'1 = 7 ± 0,653 es decir:

(6’347 , 7,653)

Como 6’5∈(6’347 , 7,66) el valor obtenido para la media en la muestra, x = 6’5, pertenece a la zona de aceptación, se acepta la hipótesis nula.

Respuesta:

)(a Para un nivel de significación del 1%, NO podríamos rechazar la hipótesis de que el tiempo medio que tarda la población infantil en realizar la actividad manual es 7 minutos.





2.



Septiembre 1996

:RESOLUCIÓN:: Sean p y q las proporciones de trabajadores Satisfechos (+) e Insatisfechos (−), respectivamente, con las condiciones de seguridad en la empresa y pr, qr dichas proporciones en la muestra.

Muestra: n = 50

=−+⇒−

203050:)(

30:)(

sSatisfecho

hosInsatisfec

⇒ pr = 20/50 = 0’4 = 40%

(a) Por el resultado obtenido en la muestra, estimaríamos que el 40 % de los trabajadores

de esa empresa están satisfechos con las condiciones de seguridad en su trabajo.

Sean n1 y n2, el número de trabajadores de la F1 y F2, respectivamente, en la muestra. Por el tipo de muestreo empleado las proporciones de la muestra son las mismas que en la población, por lo que, como en la población 400 de los 1.000 trabajadores están en F1:

000.1

400 =

501n

⇒ n1 = 20 ⇒ n2 = 50 – 20 = 30 y como de estos 30 trabajadores de F2, 20

respondieron negativamente, los otros 10 lo hicieron afirmativamente y también son 10 los de la F1 que respondieron negativamente y por tanto los otros 10, positivamente. Resumimos estos datos en una tabla:


- Conceptos generales de Muestreo.

- Estadística Inductiva. Estimación de proporciones.





+ − F1 10 10 20 F2 10 20 30 20 30 50

Las proporción de trabajadores satisfechos (+) es:

En F1: pr1=

20

10 = 0’5= 50% y en F2: pr 2 =

30

10 = 1/3 = 33’33%

(b) Por los resultados obtenidos en la muestra, estimaríamos que el 50% de los

trabajadores de F1 y el 33’33% de los de F2 están satisfechos con las condiciones de seguridad en su trabajo.

El error máximo, E, que se comete con un nivel de significación α , al tomar el valor pr obtenido en una muestra de tamaño n como estimación de la proporción p de la población es:

E = tα ·n

qrpr· Nivel de confianza del 95% ⇒ el de significación es del 5% ⇒ t 05'0 = 1’96

Para F1: n1 = 20 ; pr1 = 0’5 y qr1 = 1 – pr1= 0’5 ⇒ E1 = 1’96·20

5'0·5'0 ≈ 0’2191 =

= 21’91%

Para F2: n 2 = 30 ; pr2 = 1/3 y qr 2 = 1 – pr2 = 2/3 ⇒ E2 = 1’96·30

3/2·3/1 ≈ 0’1687 =

=16’87%

(c) Con un nivel de confianza del 95% el error máximo cometido en cada una de las estimaciones del apartado (b) es, aproximadamente:

21’91% en la de F1 y 16’87% en la de F2.





3.



Junio 1997

:RESOLUCIÓN::

Varianza muestral: 2nσ = 6’25 min2 ⇒ Desviación típica muestral: nσ = 25'6 = 2’5 min.

⇒ Cuasi-desviación típica muestra: 99

100·5'21 =−nσ ≈ 2’5126 min

Planteamos un contraste de hipótesis bilateral para la media:

Hipótesis nula, H 0 : µ = 15 min

Hipótesis alternativa, H1 : ≠µ 15 min

La “zona de aceptación” de la hipótesis H0: µ = 15 para un nivel de significación α (es decir sólo se rechazarían por improbables el 100α % de los casos) es el “intervalo característico” correspondiente:

(15 − tα ·n

σ , 15 + tα ·

n

σ)

siendo n

σ ≈

nn 1−σ

= 1−n

nσ =

99

5'2 ≈ 0’251


- Parámetros estadísticos.

- Contraste de hipótesis para la media.





valores críticos:

==

291'3

96'1

001,0

05'0

t

t ⇒ zonas de aceptación:

±±

251,0·291'315

251'0·96'115

17'14(

51'14(

==

,

,

)83'15

)49'15

Toma de decisiones:

Como el valor que se ha obtenido experimentalmente para la media de la muestra es 14’25 que no pertenece al primer intervalo pero sí al segundo, en el primer caso se rechazaría la hipótesis nula pero en el segundo no se rechazaría es decir se aceptaría que la media de la población es µ = 15.

No existe contradicción entre ambos resultados pues el nivel de significación del segundo es mucho menor que el primero; α = 0’001 significa que sólo se rechazan por improbables el 0’1 % (uno de cada mil) de los casos mientras que α = 0’05 se rechazan el 5 % de los casos (el tanto por ciento de rechazo es 50 veces mayor).

Respuestas:

(a) Podemos afirmar, con un nivel de significación α = 0’05, que el tiempo medio de espera en urgencias NO es de 15 min. (la probabilidad de equivocarnos al tomar esta decisión es del 5%).

(b) Sin embargo con un nivel de significación α = 0’001 no podríamos rechazar la hipótesis de que el tiempo medio de espera en urgencias es de 15 min.

(c) No existe contradicción entre ambos resultados.

RECUERDA:

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Desviación típica ( nσ ):

nσ = n

xxn

ii∑

=−

1

2)(

Cuasi-desviación típica ( 1−nσ ):

1−nσ = 1

)(1

2

−

−∑=

n

xxn

ii

n

n 1−σ =

1−nnσ





4.



Septiembre 1997

:RESOLUCIÓN::

(a) Sean p y pr la proporción de trabajadores en contra de que se modifique el horario de trabajo en la población y la muestra, respectivamente y q, qr a favor:

De 140 trabajadores que hay en la muestra, contestan 56 a favor y 7 en blanco por lo tanto, los demás: 140 − (56 + 7) = 77 , en contra.

Pr = 140

77 = 0’55 = 55% ⇒ qr = 1 – pr = 0’45

Nivel de confianza 95% ⇒ Nivel de significación 5% ⇒ α = 0’05 ⇒ Valor crítico t 05'0 = 1’96

El error que se comete al estimar que el valor de la proporción, p, de la población es el valor pr obtenido en la muestra es:

E1 = t α ·n

qrpr· = 1’96·

140

45'0·55'0 = 0’0824 = 8’24%



- Estadística Inductiva. Estimación de proporciones.





Se estima, con un nivel de confianza del 95%, que el 55% de los trabajadores está en contra de las modificaciones en el horario.

El máximo error que se comete en esta estimación es del 8’24 %

(b) Sea qr A la proporción de trabajadores del centro A que se mostraron a favor de la propuesta.

Hay 7 trabajadores de A que se muestran a favor de la propuesta en una muestra en la que hay n A = 35 de dicho centro porque, al ser el muestreo con afijación igual, hay 140/4 = 35 de cada

uno.

qr A = 35

7 = 0’2 = 20% ⇒ pr A = 1 – qrA = 0’8

Nivel de confianza 98% ⇒ Nivel de significación 2% ⇒ α = 0’02 ⇒ Valor crítico t 02'0 = 2’326

El error que se comete al estimar que el valor de la proporción, q, de la población es el valor qr A obtenido en la muestra es:

E 2 = t α ·A

AA

n

prqr · = 2’326·

35

8'0·2'0 = 0’1573 = 15’73%

Se estima, con un nivel de confianza del 98%, que el 20% de los trabajadores del centro comercial A está a favor de las modificaciones en el horario.

El máximo error que se comete en esta estimación es del 15’73 %





5.



Junio 1998

:RESOLUCIÓN::

Tamaño de la población:

N = 500 + 860 + 1.200 + 700 + 740 = 4.000 libros de la biblioteca.

Tamaño de la muestra:

n = 5% de 4.000 = 100

5· 4.000 = 200 libros para hacer el estudio.

(a) Afijación igual:

De cada sección i se selecciona la misma cantidad de libros:

n i = 5

200 = 40 libros/sección







(b) Afijación proporcional:

De cada sección i se selecciona el 5% de sus N i libros:

n i = 0’05 · Ni

n1 = 25 ; n2 = 43 ; n3 = 60 ; n4 = 35 ; n5 = 37

Respuesta :

El número de libros que habría que seleccionar de cada sección es:

Afijación Sección 1 Sección 2 Sección 3 Sección 4 Sección 5

Igual 40 40 40 40 40

Proporcional 25 43 60 35 37





6.



Septiembre 1998

:RESOLUCIÓN::

Si X~ N(µ , σ ) → X ~N(µ , σ / n ) →Z~N(0 , 1) siendo Z = n/

X

σµ−

Las variables representan:

X: tiempo de reacción de los niños de la población ante determinado estímulo auditivo

X : tiempo medio de reacción de muestras de 100 niños ante dicho estímulo.

Z: la variable anterior una vez tipificada (para que se adapte al modelo que viene en la tabla)

Se plantea la hipótesis H 0 : µ = 50 frente a H1 : ≠µ 50

Para un nivel de significación α , se acepta H 0 si se cumple que la media x obtenida en la

muestra de 100 niños pertenece a la zona de aceptación:

x ∈ ( µ − t α · n

σ , µ + t α ·

n

σ )

*

⇔ z ∈ (− t α ,+ t α ) siendo z = n/

x

σµ−

ver demostración en el margen derecho


- La distribución Normal.

- Tipificación de la variable.


(*) En efecto:

x ∈ ( µ 0− t α ·n

σ , µ 0+ t α ·

n

σ) ⇔

⇔ µ 0− t α ·n

σ < x < µ 0+ t α ·

n

σ ⇔

⇔ − t α ·n

σ < x − µ 0 < + t α ·

n

σ ⇔

⇔ − t α < n

x

/0

σµ−

< + t α ⇔





Se acepta la hipótesis de que µ = 50 si z ∈ (− t α ,+ t α ) ⇔ z < t α µ = 50

n = 100

1−≈ nσσ = 12

t 05'0 = 1’96

t 01'0 = 2’576

Nivel de significación 5%

1’85 < 1’96 ⇒se acepta µ = 50

2’5 > 1’96 ⇒se rechaza µ = 50

2’75 > 1’96 ⇒se rechaza µ = 50

Nivel de significación 1%

1’85 < 2’576 ⇒se acepta µ = 50

2’5 < 2’576 ⇒se acepta µ = 50

2’75 > 2’576 ⇒se rechaza µ = 50

De los valores propuestos para z, el que cumple las dos condiciones (se rechaza la hipótesis si el nivel de significación es de un 5% y se acepta si es de un 1%) , es z = 2’5

z = n/

x

σµ−

= 2’5 ⇒ 100/12

50−x = 2’5 ⇒ x − 50 = 3 ⇒ x = 53

Respuestas:

(a) El valor experimental con el que se ha realizado el contraste de hipótesis es

2’5

(b) El tiempo medio de reacción obtenido con los 100 niños de la muestra es

0’53 sg

⇔ − t α < z < + t α ⇔

⇔ z ∈ (− t α , + tα )





7.



Junio 1999

:RESOLUCIÓN::

Sean p y pr la proporción de alumnos que utilizan la cafetería en el IES y en la muestra, respectivamente y q, qr los que no la utilizan:

En la muestra hay: 15% de 800 = 0’15 · 800 = 120 alumnos

Utilizan la cafetería 120 − 24 = 96 alumnos.

pr = 120

96 = 0’8 = 80%

qr = 1 – pr = 0’2

Nivel de confianza 99%

Nivel de significación 1% ⇒ α = 0’01 ⇒ Valor crítico t 01'0 = 2’576


- Conceptos generales de Inferencia estadística.

- Estimación de proporciones.





El error máximo que se comete al estimar que el valor de la proporción, p, de la población es el valor pr obtenido en la muestra es:

E = tα ·n

qrpr· = 2’576·

120

2'0·8'0 = 0’0941 = 9’41%

Respuestas:

(a) Se estima, con un nivel de confianza del 99%, que

la cafetería del Instituto es utilizada por

el 80% de los alumnos.

(b) El máximo error que se comete con la estimación es del 9’41%, es decir:

E = 0’0941





8.



Septiembre 1999

:RESOLUCIÓN::

(a)

Para que en la muestra haya representación de todas las comarcas deberíamos realizar un muestreo estratificado, tomando como estratos a las comarcas.

(b) En C4 residen: N4 = [1.500 – (300 + 450 + 550)] · 1.000 = 200.000 personas.

La razón entre el número de personas de la muestra (n) y el total es (N):

N

n =

000.500.1

000.3= 0’002

Si queremos que la proporción de personas de cada comarca en la muestra sea la misma que en la población:

i

i

N

n = 0’002 ⇒ ni = 0’002 · Ni







Sustituyendo Ni por el número de personas de cada comarca obtenemos, respectivamente:

n1 = 600 ; n2 = 900 ; n3 = 1.100 ; n4 = 400

Si queremos que la representación de las comarcas en la muestra sea proporcional a la que hay en la población, el número de personas que habría que seleccionar de cada comarca es:

C1 C2 C3 C4

600 900 1.100 400

(c)

Para seleccionar a las personas de cada comarca emplearíamos el muestreo aleatorio simple de manera que todas las personas tuviesen la misma probabilidad de ser elegidas (para ello utilizaríamos, por ejemplo, programas informáticos, generaríamos números aleatorios con la calculadora… )





9.



Junio 2000

:RESOLUCIÓN::

El intervalo de confianza para la media µ es (42 , 58) significa que:

( x − t α ·n

σ , x + t α ·

n

σ) = ( 42 , 58)

conocemos n = 100 y t 01'0 = 2’576 ⇒

=+

=−

5810·576'2x

4210·576'2x

σ

σ

sistema de ecuaciones que tiene como solución: x = 50 y σ = 31’0559.

El error máximo es E = tα ·n

σ y si no puede superar los 3 € ⇒

t α ·n

σ ≤ 3 ⇒ n

t≤

3

·σα ⇒ n ≥2

3

·

σαt es decir:


- Inferencia estadística. Estimación de la media.





n ≥ 2

3

0559'31·576'2

= 711’11

como tiene que ser un número natural, el mínimo valor de n es 712.

(a) La estimación puntual que daríamos para el gasto medio mensual en electricidad por familia es:

50 €

(b) Para que, con un nivel de confianza del 99%, fuese de 3 € el error máximo que cometiéramos al tomar como media de la población el obtenido en la muestra, ésta tendría que constar, como mínimo de:

712 familias.





10.



Septiembre 2000

:RESOLUCIÓN::

(a) La relación que hay entre el número de trabajadores de la empresa y el de la muestra es:

n

N =

300

500.1 =

1

5

esto significa que cada trabajador de la muestra “vale” por cinco de la población y como, por el tipo de muestreo utilizado, esta relación se mantiene en cada estrato, el número de directivos, administrativos y obreros en la empresa es 5 veces mayor que el de los que hay en la muestra:

Total Direct. Admin. Obreros

Muestra →

Empresa →

300

1.500

5

25

25

125

300 – (5+25) = 270

1.350

Respuesta:

(a) En la empresa hay 25 directivos, 125 administrativos y 1.350 obreros.



- Inferencia estadística. Estimación para la proporción.





(b) En la muestra hay 270 obreros de los que 90 han manifestado de utilizar el servicio de comedor lo que significa una proporción de:

pr = 270

90 =

3

1 ≈ 33’33%

qr = 1 – pr = 3

2

El error máximo, E, que se comete, con un nivel de significación α , al estimar que la proporción, p, en la población es la obtenida, pr, para una muestra de n individuos viene es:

E = tα ·n

qrpr·

Nivel de confianza del 95% ⇒ Nivel de significación, 5% ⇒ α = 0’05 ⇒ t α = 1’96

E = 1’96·270

3

2·

3

1

= 0’0562 = 5’62%

Respuesta:

(b) Se estima que el 33’33% de los obreros es favorable a utilizar el servicio de comedor y el máximo error que, con un nivel de confianza del 95%, se comete con esta estimación es del 5’62%





11.



Junio 2001

:RESOLUCIÓN::

Se trata de contrastar la hipótesis H 0 : µ = 90

frente a H 1 : µ ≠ 90

Aceptaremos la hipótesis H 0 si se verifica que la media x = 89 obtenida en la muestra pertenece

al intervalo: ( µ − t α ·n

σ , µ + t α ·

n

σ)

µ = 90 ;

1−≈ nσσ = 25'30 ;

n = 121

Valores críticos:

)

)

b

a

==

05'0

001'0

t

t

96'1

291'3


- Inferencia estadística. Contraste de hipótesis para la media.





La zona de aceptación es, por lo tanto:

)

)

b

a

±

±

90

90

96'1

291'3

121

25'30

121

25'30

=

=

02'89(

35'88(

,

,

)88'90

)65'91

El valor medio obtenido en la muestra, x = 89, pertenece al primer intervalo pero no al segundo, significa que la hipótesis de que µ = 90 se acepta para α = 0’001 y se rechaza para α = 0’05

Respuestas:

a) Para un nivel de significación α = 0’001 (solo se rechazan por improbables el 1‰ de los resultados) no podríamos rechazar que la media de los beneficios medios en la PYME de la región sea 90.

b) Para un nivel de significación α = 0’05 tendríamos que rechazar que dicha media sea 90 (la probabilidad de equivocarnos al tomar esta decisión es del 5%).





12.



Septiembre 2001

:RESOLUCIÓN::

El centro del intervalo de confianza es 2

24'018'0 + = 0’21 que es la proporción de familias de la

muestra que tiene ordenador en casa.

Su radio (mitad de la amplitud del intervalo) vale 2

18'024'0 − = 0’03 que es el máximo error que

se comete, con un nivel de confianza del 95%, al estimar que la proporción de familias de la región que tiene ordenador en casa es la obtenida en la muestra de las 500 familias, por lo tanto:

p = 0’21± 0’03 (21% ± 3%)

(a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de familias de la región que tiene ordenador en casa es:

p = 0’21







El error máximo viene dado por la expresión:

E = tα ·n

qrpr·

Nivel de confianza del 95% ⇒ Nivel de significación del 5% ⇒ α = 0’05 y t 05'0 = 1’96

Pr = 0’21 ⇒ qr = 1 – pr = 0’79

Para que el error máximo sea 0’01 se tiene que cumplir:

1’96·n

79'0·21'0 ≤ 0’01 despejando n:

n ≥ 2

2

01'0

79'0·21'0·96'1= 6.373’21

el primer número entero que cumple esta condición es 6.374

(b) El número mínimo de familias que debe tener la muestra para que, con una confianza del 95%, el error máximo en la estimación de la proporción sea 0’01 es:

n = 6.374





13.



Junio 2002

:RESOLUCIÓN::

El centro del intervalo de confianza es 2

28'022'0 + = 0’25 que es la proporción de estudiantes de

bachillerato de la muestra que tiene posibilidad de conectarse a internet desde su domicilio.

Su radio (mitad de la amplitud del intervalo) vale 2

22'028'0 − = 0’03 que es el máximo error que

se comete, con un nivel de confianza del 99%, al estimar que la proporción de estudiantes de bachillerato de la población que tiene internet en casa es la obtenida en la muestra, por lo tanto:

p = 0’25± 0’03 (25% ± 3%)

(a) La estimación puntual que daríamos para la proporción de estudiantes de bachillerato de la población que tiene posibilidad de conectarse a internet desde su domicilio es:

p = 0’25







El error máximo viene dado por la expresión:

E = tα ·n

qrpr·

Nivel de confianza del 99% ⇒ Nivel de significación del 1% ⇒ α = 0’01 y t 01'0 = 2’576

Pr = 0’25 ⇒ qr = 1 – pr = 0’75

Para que el error máximo sea 0’01 se tiene que cumplir:

2’576·n

75'0·25'0 ≤ 0’05 despejando n:

n ≥ 2

2

05'0

75'0·25'0·576'2= 497’68

el primer número entero que cumple esta condición es 498

(b) El número mínimo de estudiantes que debe tener la muestra para que, con una confianza del 99%, el error máximo en la estimación de la proporción sea 0’05 es:

n = 498





14.



Septiembre 2002

:RESOLUCIÓN::

Se trata de contrastar la hipótesis H 0 : µ = 35

frente a H 1 : µ ≠ 35

Aceptaremos la hipótesis H 0 si se verifica que la media x = 36’5 obtenida en la muestra

pertenece al intervalo: ( µ − t α ·n

σ , µ + t α ·

n

σ)

µ = 35 ;


- Parámetros estadísticos


Recuerda:

Cuasi-desviación típica muestral ( 1−nσ ):

1−nσ = 1

)(1

2

−

−∑=

n

xxn

ii





1−≈ nσσ = 1169

)5'36(169

1

2

−

−∑=i

ix =

168

5'970.15= 9’75

n = 169 ⇒ n = 13

Valores críticos:

)

)

b

a

==

05'0

01'0

t

t

96'1

576'2

La zona de aceptación es, por lo tanto:

)

)

b

a

±

±

35

35

96'1

576'2

13

75'9

13

75'9

=

=

53'33(

068'33(

,

,

)47'36

)932'36

El valor medio obtenido en la muestra, x = 36’5, pertenece al primer intervalo pero no al segundo, significa que la hipótesis de que µ = 35 se acepta para α = 0’01 pero se rechaza para α = 0’05

Respuestas:

a) Para un nivel de significación α = 0’01 (solo se rechazan por improbables el 1% de los resultados) no podríamos rechazar que la media de horas de trabajo perdidas por causa de accidentes laborales en la empresa durante 2.001 fue 35.

b) Para un nivel de significación α = 0’05 tendríamos que rechazar el valor de dicha media (la probabilidad de equivocarnos al tomar esta decisión es del 5%).





15.



Junio 2003

:RESOLUCIÓN::

En HyCCSS hay: N4 = [3.000 – (300 + 1.200 + 400) = 1.100 alumnos.

La razón entre el número de alumnos de la muestra (n) y el total es (N):

N

n =

000.3

600= 0’2

Si queremos que la proporción de alumnos en cada modalidad de bachillerato sea la misma en la muestra que en la población esta relación se debe mantener en cada estrato:

i

i

N

n = 0’2 ⇒ ni = 0’2 · Ni

Sustituyendo Ni por el número de alumnos de cada modalidad obtenemos, respectivamente, los que habrá en la muestra:

Arte: n1 = 60 ; CCNyS: n2 = 240 ; Tecno: n3 = 80 ; HyCCSS: n4 = 220








(a) El número de alumnos seleccionados de cada modalidad es:

Arte CCNyS Tecnológ. HyCCSS 60 240 80 220

De los 600 alumnos de la muestra, 450 se han mostrado favorables a la apertura del servicio de asistencia al estudiante, luego, 600 – 450 = 150 no son favorables a dicho servicio lo que significa una

proporción: pr =600

150= 0’25 = 25%

El máximo error que se comete al estimar que la proporción p de alumnos que no son favorables a

la apertura del servicio es la obtenida pr para la muestra dado por la expresión: E = tα n

qrpr·

Nivel de confianza del 95% ⇒ Nivel de significación del 5% ⇒ α = 0’05 ⇒ t α = 1’96

pr = 0’25 ⇒ qr = 1 – pr = 0’75

E = 1’96600

75'0·25'0= 0’0346

(b) La proporción estimada de alumnos no favorables a la apertura del servicio de asistencia al estudiante es:

P = 0’25 (25%)

(c) El máximo error cometido en esta estimación es, con una confianza del 95%:

E = 0’0346 (3’46%)





16.



Septiembre 2003

:RESOLUCIÓN::

Si estimamos que el gasto en alimentación medio semanal por familia de la ciudad, µ , es el

obtenido en la muestra, x , el error máximo que se comete es:

E = tα ·n

σ

Nivel de confianza del 99% ⇒ Nivel de significación del 1% ⇒ α = 0’01 ⇒ tα = 2’576

1−≈ nσσ = 81 = 9

n = 200

E = 2’576·200

9 ≈ 1’64


- Inferencia estadística. Estimación de la media.





Para que el error máximo sea inferior a 0’5 tiene que cumplirse:

2’576·n

9< 0’5 ⇒ n >

2

5'0

9·576'2

= 2.149’99

El menor número entero que lo cumple es 2.150.

Respuestas:

(a) El error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 85 € el gasto medio semanal en alimentación para una familia de esa ciudad es:

1’64 €

(b) El número mínimo de familias que debería tener la muestra para que, con una confianza del 99%, el error máximo en la estimación anterior fuese inferior a 0’5 € es

2.150





17.



Junio 2004


)(a Si estimamos que la estatura media en esa población escolar, µ , es el obtenido en la muestra, x , el error máximo que se comete es:

E= t α ·n

σ

Nivel de confianza del %99 ⇒ Nivel de significación del %1 ⇒ α = 01'0 ⇒ t 01'0 = 2’576

1−≈ nσσ = 169 = 13 y 81=n

E= 2’576·81

13 ≈ 721'3

Si estimamos que la estatura media de la población escolar es 159cm, podemos afirmar −con una confianza del

%99 − que el máximo error que cometeríamos sería de

71'3 cm


- Estadística Inductiva. Estimación de medias

- Contraste de Hipótesis para la media.





)(b Se trata de contrastar la hipótesis H 0 : µ = 160cm

frente a H1 : µ ≠ 160cm

Aceptaremos la hipótesis H 0 , con un nivel de significación α si se verifica que la media, x=

159, obtenida en la muestra pertenece al intervalo:

(µ − t α ·n

σ , µ + t α ·

n

σ)

µ = 160cm ; 05'0=α ⇒ 96'105'0 =t ; 1−≈ nσσ =13cm ; 81=n ;

La zona de aceptación es, por lo tanto: 96'1160± · =81

13 ( )162'83 , 157'17

El valor de la estatura media obtenida en la muestra, es x = 159cm, valor que pertenece a este intervalo por lo que la hipótesis de que µ =160cm tendría que ser aceptada si el nivel de significación es del %5 .

Para un nivel de significación 05'0=α (solo se rechazan por improbables el %5 de los resultados) no podríamos rechazar que la estatura media sea cm160 .





18.



Septiembre 2004


(a) La relación que hay entre el número de trabajadores de la muestra y el de la empresa es:

N

n =

2100

210 =

10

1

por el tipo de muestreo utilizado, esta relación se mantiene en cada estrato, por lo tanto el número de directivos, administrativos, técnicos y obreros de la muestra es 10/1 de los que hay en la población:

Total Direct. Admin. Técnicos Obreros

Empresa→

Muestra →

2100

210

100

10

320

32

420

42

2100 – (100+320+420) = 1260

126


- Coneptos generales de Muestreo.






)(a En la muestra hay

10 directivos, 32 administrativos, 42 técnicos y 126 obreros.

(b) En la muestra hay 210trabajadores y están a favor de modificar el horario:

( )267124210 +++− =161

Lo que significa una proporción de 7667'030

23

210

161 ≈==pr = %67'76

(c) El error máximo, E , que se comete, con un nivel de significación α , al estimar que la proporción, p , en la población es la obtenida, pr , para una muestra de n individuos es:

E= t α · n

qrpr·

Nivel de confianza del %95 ⇒ Nivel de significación, %5 ⇒ α = 05'0 ⇒ 96'105'0 =t

30

23=pr ⇒ 30

71 =−= prqr y, como 210=n

E= 96'1 ·210

30

7 ·

30

23

= 0572'0 = %72'5

)(b Se estima que la proporción de empleados de la empresa partidarios de los cambios en el horario es 7667'0 (el %)67'76

)(c El máximo error que, con un nivel de confianza del 95%, cometeríamos con esta estimación es 0572'0 (el %)72'5





19.



Junio 2005

:RESOLUCIÓN::

(a)

Para que en la muestra haya representación de los cuatro departamentos de la cadena de centros comerciales deberíamos realizar un muestreo estratificado, tomando como estratos a los departamentos.

(b) Si, además, queremos que en la muestra se mantenga la proporción que existe en cada uno de los departamentos respecto al total, la afijación debe ser proporcional.

El número total de trabajadores es =N 900100200450150 =+++

La relación entre el número de individuos de la muestra (n ) y el total es ( N ):

N

n =

900

180=

5

1







Esto significa que cada trabajador de la muestra cuenta por 5 de la población.

Esta misma relación se tiene que mantener en cada departamento

i

i

N

n =

5

1 ⇒ ni =

5

1 · Ni ⇒

El número de trabajadores de cada departamento en la muestra es 5

1 de los que haya en total

en dicho departamento:

Población 150 450 200 100 900

Departamento Personal Ventas Conta-bilidad

Atención cliente

Total

Muestra 30 90 40 20 180





20.



Septiembre 2005


El tamaño de la muestra es el %20 de las 1250 familias:

250 1250 de %20 ==n

La proporción de familias que disponen de gas ciudad es 75de 250,

3'0250

75 ==pr = % 03

El error máximo que se comete, con un nivel de significación α , al estimar que el valor de la proporción, p , para la población es el obtenido, pr , en la muestra es:

n

qrprtE

) · α=


- Inferencia estadística.

Estimación de la proporción.





El nivel de confianza es del % 95 = 0'05 0'951 95'0 =−=⇒ α y 96'105'0 =t

3'0=pr ⇒ 7'01 =−= prqr y, al ser, 250=n ; el error máximo es:

250

7'0 · 3'096'1=E = 0568'0 = %68'5

)(a La estimación puntual del porcentaje de familias que disponen de gas ciudad:

%30

)(b Podemos afirmar, con una confianza % 59 , que el error máximo que cometeríamos al hacer dicha estimación es,

0568'0 es decir %68'5





21.



Junio 2006

:RESOLUCIÓN::

De las 225familias que constituyen la muestra, 75 tienen seguro de incendios, la proporción es:

225

75=pr =3

1

Si estimamos que esta proporción obtenida para la muestra, es la de la población, el error máximo que, para un nivel de significación α , se comete es:

n

qrprtE

· α=

Una confianza del %95 = 95'0 equivale a un nivel de significación 05'095'01 =−=α

Valor crítico, 96'105'0 =t

3

1=pr ⇒ 3

21 =−= prqr

Y, como el tamaño de la muestra es 225=n



Estimación de la proporción.





2253

2 ·

3

1

96'1=E = 0616'0

El intervalo de confianza para la proporción, en la población, es:

0'0616 3

1 ± = ( )0'3949 , 2717'0

en porcentaje ( )% 39'49 , 17'27

)(a Podemos afirmar con una confianza del %95 que la proporción de familias de la ciudad que tienen contratado seguro de incendios está en el intervalo

( )0'3949 , 2717'0

esto significa entre un %17'27 y un %49'39 de las familias.

)(b Si consideramos que 225

75 es la proporción de familias de la

ciudad tiene seguro de incendios, podemos afirmar, con una confianza del %95 , que el error cometido al hacer esa estimación es menor de

0616'0

es decir, menor de un %16'6 .





22.



Septiembre 2006


El tamaño de la muestra es el 5% de las 5500 denuncias presentadas:

250 5000 de %5 ==n

La proporción de denuncias que corresponden a casos de violencia domésticas es 55 de 250,

22'0250

55 ==pr = % 22

El error máximo que se comete, con un nivel de significación α ,al estimar que el valor de la proporción, p , para la población es el obtenido, pr , en la muestra es:

n

qrprtE

) · α=



Estimación de proporciones.







250

78'0 · 22'0576'2=E = 0675'0 = % 6'75

)(a La estimación puntual de la proporción de casos de violencia doméstica es:

% 22 de las denuncias


0675'0 es decir % 6'75





23.



Junio 2007

:RESOLUCIÓN::

El intervalo de confianza, con un nivel de significación α , para la proporción, p , de la población que cumple determinada característica (en este caso, estudiantes de bachillerato de una provincia que utilizan habitualmente la bicicleta para ir a su instituto), para un muestra de tamaño n es:

+−

n

qrprtpr

n

qrprtpr

· ,

· αα es decir

n

qrprtpr

· α±

pr representa la proporción individuos de la muestra que cumplen la característica que queremos averiguar para la población (qr la proporción de los que no la cumplen) y,

n

qrprt

· α es el error máximo que se comete al estimar que el valor de p es pr ; por lo tanto:

3'0300

90 ==pr = %30 ⇒ 7'01 =−= prqr = %70

El nivel de confianza es del %95 ⇒ 05'095'01 =−=α y 96'1 05'0 =t








Máximo error:

300

0'7 · 3'096'1=E ≈ 0519'0 = %19'5

Intervalo de confianza, en %:

( )35'19 , 24'81 5'19 30 =±

Podemos afirmar con una confianza del %95 que la proporción de estudiantes de bachillerato de la provincia que utilizan habitualmente la bicicleta para ir a su instituto es

( )%5'19 30±

Por lo tanto:

)(a El intervalo de confianza es, en %: ( )35'19 , 24'81

)(b El máximo error que cometeríamos si estimamos que dicho porcentaje es del %30 es de un %19'5





24.



Septiembre 2007

:RESOLUCIÓN::

El error máximo que se comete, con un nivel de significación α (aquí, como el nivel de confianza es del %95 , )05'095'01 =−=α , al estimar que el valor de la proporción, p , de la población que cumple determinada característica (en este caso, conductores que llevan en su vehículo cadenas para la nieve) es la obtenida, pr , para un muestra de tamaño n (en este problema

)200=n es:

n

prprtE

)(1 · −= α

Y el intervalo de confianza para dicha proporción, p , es:

Epr ±

o, lo que es lo mismo:

) , ( EprEpr +−



Estimación de proporciones..





Dado que lo que tenemos que averiguar es el centro )( pr y el radio )(E del intervalo de confianza, al conocer dicho intervalo, todos los demás datos son innecesarios. En efecto:

) , ( EprEpr +− = )228'0 , 172'0(

Por lo tanto:

028'0

y

2'0

172'0228'0 2

228'0172'0 2

228,0

172'0

=

=⇒

−=+=

⇒

=+=−

E

pr

qr

pr

Epr

Epr

(c) La estimación puntual que daríamos para la proporción de conductores que llevan en su vehículo cadenas para la nieve es:

2'0 (es decir el %20 )

(d) El error máximo que cometiéramos, con una confianza del %95 , al hacer esta estimación es:

028'0 (es decir del %8'2 ).





25.



Junio 2008


El tamaño de la muestra es el 10% de las 2500 ofertas de trabajo:

250 2500 de %10 ==n

La proporción de solicitudes de licenciados en Matemáticas es 50 de 250,

2'0250

50 ==pr = % 20

El error máximo que se comete, con un nivel de significación α ,al estimar que el valor de la proporción, p , para la población es el obtenido, pr , en la muestra es:

n

qrprtE

) · α=










250

8'0 · 2'096'1=E ≅ 0496'0 = %96'4

)(a La estimación puntual del porcentaje de ofertas de trabajo para licenciados en Matemáticas es:

El % 20 del total


0496'0 = %96'4





26.



Septiembre 2008



6. Inferencia estad stica - salesianos-merida.com · APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de...

Documents

Transcript of 6. Inferencia estad stica - salesianos-merida.com · APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de...