Inferencia Estadistica.pdf

Universidad del Golfo Inferencia Estadística

2015

Mtro. Raymundo Hernández David 1

Inferencia Estadíst ica

2.1 Muestreo probabilístico.

2.2. Intervalos característicos y de confianza.

2.3. Estimación de la media y de una proporción.

2.4. Contrastes de hipótesis.

Tipos de muestreo

Inferencia estadística

Estudia como sacar conclusio nes generales para toda la población a parti r del estudio de una muestra, y el grado de f iabi l idad o signif icación de los resultados obtenidos.

Muestreo probabi l íst ico

Consiste en e leg ir una muest ra de una poblac ión a l azar . Podemos dis t inguir var ios t ipos de muestreo :

Muestreo aleatorio simple

Para obtener una muestra, se numeran los e lementos de la poblac ión y se se lecc ionan a l azar los n e lementos que cont iene la muestra.

Muestreo aleatorio sistemático

Se e l ige un indiv iduo a l azar y a par t i r de é l , a in tervalos constantes, se e l igen los demás hasta completar la muestra.

Por ejemplo s i tenemos una poblac ión formada por 100 e lementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en pr imer lugar debemos establecer e l in tervalo de selecc ión que será igual a 100/25 = 4. A


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cont inuación e leg imos e l e lemento de ar ranque, tomando aleator iamente un número entre e l 1 y e l 4, y a par t i r de é l obtenemos los restantes e lementos de la muest ra.

2, 6, 10, 14, . . . , 98

Muestreo aleatorio estrat if icado

Se d iv ide la poblac ión en c lases o est ratos y se escoge, a leator iamente, un número de individuos de cada est rato proporc ional a l número de componentes de cada estrato.

En una fábr ica que consta de 600 t rabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la secc ión A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.

Un muestreo puede hacerse con o s in reposic ión, y la poblac ión de par t ida puede ser inf in i ta o f in i ta .

En todo nuestro estudio vamos a l imitarnos a una población de part ida inf ini ta o a muestreo con reposición .

Si consideremos todas las posib les muest ras de tamaño n e n una poblac ión, para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación t ípica, proporción, . . . ) que var iará de una a otra.


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Así obtenemos una d is t r ibuc ión del estadíst ico que se l lama distribución muestral .

Intervalos característicos

P[Μ - K < X < Μ + K] = P

Hal lar e l in tervalo caracter ís t ico de una d is t r ibuc ión normal N(0, 1) cor respondiente a la probabi l idad p = 0.9.

E l nivel de conf ianza (p) se designa mediante 1 - α .

E l nivel de signif icación se designa mediante α.


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El valor cr ít ico (k) como z α / 2 .

P(Z>z α / 2 ) = α/2 P[ -z α / 2 < z < z α / 2 ] = 1- α

Valores cr ít icos

1 - α α/2 z α / 2

0 .90 0.05 1.645

0.95 0.025 1.96

0.99 0.005 2.575

En una d is t r ibuc ión N(μ, σ ) e l intervalo caracter ís t ico correspondiente a una probabi l idad p = 1 - α es:

(μ - z α / 2 · σ , μ + z α / 2 · σ )

1 - α α/2 z α / 2 Intervalos característicos

0.90 0.05 1.645 (μ - 1.645 · σ , μ + 1.645 · σ)

0 .95 0.025 1.96 (μ - 1.96 · σ , μ + 1.96 · σ )

0 .99 0.005 2.575 (μ - 2.575 · σ , μ + 2.575 · σ )


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Teorema central del l ímite

Si una poblac ión t iene media μ y de sviac ión t íp ica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n>30, ó cualquier tamaño s i la poblac ión es "normal" ) , las medias de estas muest ras s iguen aproximadamente la d is t r ibuc ión:

Consecuencias:

1.Permite aver iguar la probabi l idad de que la media de una muest ra concreta esté en un c ier to in tervalo.

2.Permite calcular la probabi l idad de que la suma de los e lementos de una muest ra esté, a pr ior i , en un c ier to in tervalo.

3. Infer i r la media de la poblac ión a par t ir de una muestra.

Las bolsas de sal envasadas por una máquina t ienen μ = 500 g y σ = 35 g . Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.

1.Calcular la probabi l idad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g .


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2.Calcular la probabi l idad de que una caja 100 de bolsas pese más de 51 kg.

Estimación de parámetros

Es e l procedimiento ut i l i zado para conocer las car acter ís t icas de un parámetro poblac ional , a par t i r del conocimiento de la muest ra.

Con una muest ra a leator ia, de tamaño n, podemos efectuar una est imación de un valor de un parámetro de la poblac ión; pero también necesi tamos prec isar un:

Intervalo de confianza

Se l lama as í a un in tervalo en e l que sabemos que está un parámetro, con un n ivel de conf ianza específ ico.

Nivel de confianza

Probabi l idad de que e l parámetro a est imar se encuentre en el in tervalo de conf ianza.


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Error de estimación admisible

Que estará re lac ionado con e l radio del in tervalo de conf ianza.

Est imación de la media de una poblac ión

Intervalo de confianza para la media

El intervalo de conf ianza , para la media de una poblac ión, con un nivel de conf ianza de 1 - α , s iendo x la media de una muest ra de tamaño n y σ la desviac ión t íp ica de la poblac ión, es:

El error máximo de estimación es:

Cuanto mayor sea el tamaño de la muest ra, n, menor es el error .

Cuanto mayor sea el nivel de conf ianza , 1-α, mayor es el error .

Tamaño de la muestra

S i aumentamos el nivel de conf ianza , aumenta el tamaño de la muestra .

S i disminuimos el error , tenemos que aumentar el tamaño de la muestra .


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El t iempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los c l ientes s igue una ley normal con media desconocida y desviac ión t íp ica 0,5 minutos. Para una muestra a leator ia de 25 c l ientes se obtuvo un t iempo medio de 5,2 minutos.

1.Calcula e l in tervalo de conf i anza a l n ive l del 95% para e l t iempo medio que se tarda en cobrar a los c l ientes.

2. Indica e l tamaño muest ra l necesar io para est imar d icho t iempo medio con un e l er ror de ± 0,5 minutos y un n ivel de conf ianza del 95%.

n ≥ 4

Estimación de una proporción


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Si en una población , una determinada caracter ís t ica se presenta en una proporc ión p , la proporc ión p' , de individuos con d icha caracter ís t ica en las muestras de tamaño n, se d is t r ibuirán segú n:

Intervalo de confianza para una proporción

El error máximo de estimación es:

En una fábr ica de componentes e lect rónicos, la proporc ión de componentes f inales defectuosos era del 20%. Tras una ser i e de operac iones e invers iones dest inadas a mejorar e l rendimiento se anal izó una muestra a leator ia de 500 componentes, encont rándose que 90 de e l los eran defectuosos. ¿Qué nivel de conf ianza debe adoptarse para aceptar que e l rendimiento no ha suf r ido var iaciones?

p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p '= 90/ 500 = 0.18

E = 0.2 - 0.18 = 0.02


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P (1 - zα / 2 <1.12) = 0.86861 - 0.8686 = 0.1314

0.8686 - 0.1314 = 0.737

Nivel de confianza: 73.72%

Contrastes de hipótesis

Hipótesis estadísticas

Un test estadístico es un procedimiento para, a par t i r de una muest ra a leator ia y s igni f icat iva, extraer conclusiones que permitan aceptar o rechazar una hipótesis previamente emit ida sobre e l va lor de un parámetro desconocido de una poblac ión.

La h ipótes is emit ida se designa por H0 y se l lama HIPÓTESIS NULA . La h ipótes is cont rar ia se designa por H1 y se l lama HIPÓTESIS

ALTERN ATIV A . Contrastes de hipótesis

1. Enunciar la hipótesis nula H 0 y la al ternat iva H 1 .

Bilateral H0=k H1 ≠ k

Uni lateral H0≥ k H1 < k

H0 ≤k H1> k


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2. A part i r de un nivel de conf ianza 1 - α o el de signif icación α . Determinar :

El valor zα / 2 (bi laterales), o bien z α (uni laterales)

La zona de aceptación del parámetro muestral (x o p' ) .

3. Calcular: x o p' , a part i r de la muestra.

4. Si el valor del parámetro muestral está dentro de la zona de la aceptación, se acepta la hipótesis con un nivel de signif icación α. Si no, se rechaza .

Contraste Bi lateral

Se presenta cuando la h ipótes is nu la es del t ipo H 0 : μ = k (o b ien H0 : p = k ) y la h ipótes is a l ternat iva, por tanto, es del t ipo H1 : μ≠ k (o b ien H1 : p≠ k) .

El nivel de signif icación α se concentra en dos partes (o colas) simétr icas respecto de la media.


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La región de aceptación en este caso no es más que el cor respondiente in tervalo de probabi l idad para x o p ' , es decir :

o b ien:

Se sabe que la desviac ión t íp ica de las notas de c ier to examen de Matemát icas es 2,4. Para una muest ra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para conf i rmar la hipótes is de que la nota media del examen fue de 6, con un n ivel de conf ianza del 95%?

1. Enunciamos las hipótes is nula y a l ternat iva:

H0 : μ = 6 La nota media no ha var iado.

H1 : μ ≠ 6 La nota media ha var iado.

2. Zona de aceptac ión

Para α = 0.05 , le cor responde un valor cr í t ico: zα / 2 = 1.96 .

Determinamos el in tervalo de conf ianza para la media:

(6-1,96 · 0 ,4 ; 6+1,96 · 0,4) = (5,22 ; 6,78)

3. Ver i f icac ión.

Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .

4. Decis ión


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Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un n ivel de s igni f icac ión del 5%.

Contraste unilateral

Caso 1

La hipótesis nula es del t ipo H0 : μ ≥ k (o b ien H0 : p ≥ k ) .

La hipótesis alternat iva , por tanto, es del t ipo H1 : μ < k (o b ien H1 : p < k ) .

Valores cr ít icos

1 - α α z α

0 .90 0.10 1.28

0.95 0.05 1.645

0.99 0.01 2.33

El n ive l de s ignif icac ión α se concentra en una parte o cola.

La reg ión de aceptac ión en este caso será:


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o b ien:

Un soció logo ha pronost icado, que en una determinada c iudad, e l n ive l de abstención en las próximas e lecc iones será del 40% como mínimo. Se e l ige a l azar una muest ra a leator ia de 200 indiv iduos, con derecho a voto, 75 de los cuales estar ían d ispuestos a votar. Determinar con un n ive l de s ignif icac ión del 1%, s i se puede admit i r e l pronóst ico.


H0 : p ≥ 0.40 La abstención será como mínimo del 40%.

H1 : p < 0.40 La abstenc ión será como máximo del 40%;

2. Zona de aceptac ión

Para α = 0.01 , le cor responde un valor cr í t ico: zα = 2.33 .

Determinamos el in tervalo de conf ianza para la media:

3.Ver if icac ión.

4.Decis ión


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Aceptamos la hipótesis nula H0 . Podemos af i rmar, con un n ivel de s ignif icac ión del 1%, que la La abstención será como mínimo del 40%.

Caso 2

La h ipótes is nula es del t ipo H0 : μ ≤ k (o b ien H0 : p ≤ k ) .

La h ipótes is a l ternat iva, por tanto, es del t ipo H1 : μ > k (o b ien H1 : p > k ) .

El n ive l de s ignif icac ión α se concent ra en la otra par te o cola.

La reg ión de aceptac ión en este caso será:

o b ien:


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Un informe indica que e l prec io medio del b i l le te de avión ent re Canar ias y Madr id es, como máximo, de 120 € con una desviac ión t íp ica de 40 €. Se toma una muest ra de 100 via jeros y se obt iene que la media de los prec ios de sus b i l le tes es de 128 €.

¿Se puede aceptar, con un n ivel de s ignif icac ión igual a 0,1, la af i rmación de par t ida?


H0 : μ ≤ 120

H1 : μ > 120

2.Zona de aceptac ión

Para α = 0.1 , le corresponde un valor cr í t ico: zα = 1.28 .

Determinamos el in tervalo de conf ianza:

3. Ver i f icac ión.

Valor obtenido de la media de la muestra: 128 € .

4. Decis ión

No aceptamos la hipótesis nula H 0 . Con un n ivel de s igni f icac ión del 10%.


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Errores de t ipo I y t ipo I I

Error de t ipo I . Se comete cuando la hipótesis nula es verdadera y, como consecuencia del cont raste, se rechaza .

Error de t ipo I I . Se comete cuando la hipótesis nula es falsa y, como consecuencia del cont raste se acepta .

H0 Verdadera Falsa

Aceptar Decisón correcta

Probabi l idad = 1 - α

Decisión incorrecta:

ERROR DE TIPO I I

Rechazar ERROR DE TIPO I

Probabi l idad = α

Decisión correcta

La probabil idad de cometer Error de t ipo I es el nivel de signif icación α .

La probabi l idad de cometer Error de t ipo I I depende de l verdadero valor del parámetro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n .

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