Inferencia Estadística

Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1

Inferencia EstadísticaTema 7


Descripción breve del tema1. Introducción

2. Intervalos de Confianza Determinación del tamaño muestral

3. Contrastes de hipótesis Generalidades de los contrastes Metodología del contraste Región de rechazo y p-valor Relación entre ICs y contrastes de hipótesis Algunos contrastes particulares


Objetivos

Estudio de la estimación mediante conjuntos, los Intervalos de Confianza.

Realización de contrastes de hipótesis estadísticas con niveles de significación fijados de antemano y mediante p-valores.


IntroducciónUna hipótesis es cualquier afirmación con la que

expresamos una creencia sobre una distribución

poblacional. Un contraste de hipótesis es una prueba

estadística que nos indica si debemos rechazar (o no)

tales afirmaciones a partir de las observaciones de una

muestra.

A partir de una muestra, construiremos también

estimadores que toman como valor un intervalo.


Intervalos de Confianza Dada una probabilidad fijada de antemano

podemos construir un intervalo a partir de la información que nos proporciona una muestra aleatoria X1,X2,…,Xn y que contiene un parámetro con probabilidad .

Obtenemos un Intervalo de Confianza con nivel

de confianza sustituyendo los estimadores

de por su estimación.


Intervalos de Confianza Construcción de un IC, método del pivote.

El objetivo es buscar dos estadísticos, tales que

Partimos de un estimador de con distribución

conocida, si es Normal, tenemos

1),,,(ˆ),,,(ˆ212211 nn XXXXXXP

),(~ˆ si 1ˆˆˆ2/ˆ2/ˆ NzzP


Intervalos de Confianza Un IC para el parámetro al nivel de

confianza construido a partir de un estadístico con distribución normal tendrá la forma

donde P(Z > z/2) = /2 para Z~N(0,1).

2/ˆ2/ˆˆ,ˆ

zz


Intervalos de Confianza Determinación del tamaño muestral. En

general, un IC para puede escribirse como

donde a y b dependen de1. El nivel de confianza ;

2. La varianza del estimador de ;

3. El tamaño muestral .

El tamaño muestral afecta a la varianza del estimador.

ba ˆ,ˆ


Intervalos de Confianza Determinación del tamaño muestral.

Fijado un nivel de error en la estimación del

parámetro (equiv. la amplitud del IC), podemos

calcular el tamaño muestral.

Basta resolver la ecuación

a+b = A ,

donde A es la amplitud deseada del IC.


Contrastes de HipótesisMediante un contraste de hipótesis, contrastamosuna afirmación sobre la población a partir de unamuestra. La afirmación que queremos contrastar recibe

el nombre de hipótesis nula (H0) “la duración media de un analgésico es0”, H0: 0

No rechazamos la hipótesis nula, salvo que haya una fuerte evidencia en contra suya.


Contrastes de Hipótesis La hipótesis alternativa (H1) es lo que ocurre

cuando no ocurre H0

H1: 0

H1: 0

Para rechazar la hipótesis nula (y quedarnos con

la alternativa), los datos han de mostrar una gran

evidencia a favor de H1.


Contrastes de Hipótesis Tipos de hipótesis

Simples: especifican un valor único del parámetro

H0: = 0

Compuestas: el parámetro puede tomar varios valores

H0: 0

Tipos de contrastes Bilaterales: nos interesan valores a dcha. e izq. de uno fijo

H0: = 0 ; H1: 0

Unilaterales: sólo nos interesan los valores a un lado

H0: = 0 ; H1: 0 equiv. a H0: 0 ; H1: 0


Contrastes de Hipótesis Si deseamos garantizar algo, debemos ponerlo en la

hipótesis alternativa. Ante un enunciado del tipo “¿Podemos afirmar que la media

poblacional es superior a 0?” planteamos:

H0: = 0 ; H1: 0

Si nos planteamos el refutar algo, debemos ponerlo en la hipótesis nula (su contrario en la alternativa). Ante un enunciado del tipo “El fabricante afirma que la media

es 0, ¿podemos refutar esa afirmación?” planteamos:

H0: = 0 ; H1: 0


Contrastes de Hipótesis Tipos de errores

Error de Tipo I: Se rechaza la hipótesis nula (H0) cuando es cierta,

= P(Error Tipo I) = P(rechazo H0|H0) es el error más grave.

Error de Tipo II: No se rechaza la hipótesis nula (H0) cuando es falsa,

= P(Error Tipo II) = P(no rechazo H0|H1)este error es menos importante.


Metodología del contraste Etapas de un contraste de hipótesis:

Antes de tomar la muestra

1. Definir la hipótesis nula y la alternativa. Expresar en términos estadísticos nuestro problema.

2. Definir una medida de discrepancia entre las datos de la muestra y la hipótesis nula. Decidir cómo medir la distancia entre nuestra estimación y el valor del parámetro según H0.


Metodología del contraste3. Decidir qué discrepancias consideramos

inadmisibles. Decidir qué distancias entre la estimación y el parámetro (según H0) son demasiado grandes.

Una vez tomada la muestra4. Calcular la estimación del parámetro y su

discrepancia. Si la distancia de la estimación al valor del parámetro (según H0) es grande, rechazamos H0. Si es pequeña, no la rechazamos.


Medida de la discrepancia La discrepancia es una medida de la distancia

del valor que toma el parámetro según la hipótesis nula a su estimador.

La construcción de la discrepancia (cómo medimos la distancia) depende de la hipótesis alternativa del contraste.

),ˆ( medimos entonces :H si 000 d


Medida de la discrepancia En el contraste

El signo de la discrepancia es irrelevante. En el contraste

La discrepancia será mayor cuanto mayor sea

01

00

:H

:H

01

00

:H

:H

01

00

:H

:H

importa. sí signo el ˆ0


Región de rechazo Calculamos qué discrepancias resultan

inadmisibles, qué distancias entre el parámetro (según H0) y su estimación son demasiado grandes. Estas distancias vienen determinadas por el nivel de significación .

Este nivel de significación es la máxima

probabilidad de error de tipo I que estamos

dispuestos a asumir. Habitualmente =0’01 ó 0’05


Región de rechazo Fijado , tenemos P(rechazo H0|H0) = Conocemos la distribución del estimador de (bajo H0)

Dado el contraste H0: = 0 ; H1: 0

Rechazamos H0 si

El valor c es el que

determina la región de

rechazo.

cd 00ˆ),ˆ(

-4 -2 0 2 4

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distribución del estimador

-c c


Región de rechazoDado el contraste H0: = 0 ; H1: 0

Rechazamos H0 si

-4 -2 0 2 4

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


c

cd 00ˆ),ˆ(


Resolución del contraste Para resolver el contraste, calculamos la estimación del

parámetro , calculamos su discrepancia respecto de 0 y la comparamos con el valor crítico obtenido para el nivel de significación fijado de antemano.

Si la estimación de está dentro de la región de rechazo, hay evidencia suficiente para rechazar H0

Si la estimación de está fuera de la región de rechazo, no hay evidencia suficiente para rechazar H0

Un contraste es estadísticamente significativo si el resultado experimental discrepa más de lo tolerado a priori.


p-valorEl p-valor es el mayor nivel de significación para

el que no se rechaza la hipótesis nula, o equiv., el

nivel crítico que se corresponde con un valor

crítico igual a la discrepancia observada

p-valor = P(discrepancia mayor que observada|H0)

Es la probabilidad de tener una muestra peor que

la que tenemos, supuesta cierta la hipótesis nula.


p-valorCuanto menor sea el p-valor, mayor grado de evidencia tenemos en contra de la hipótesis nula.

Si el p-valor es 0’05 ó menor suele rechazarse H0

-4 -2 0 2 4

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


c

Dado el contraste H0: = 0 ; H1: 0

Buscamos el valor de cuando c toma el valor de la estimación en la muestra que tenemos.


p-valorDado el contraste H0: = 0 ; H1: 0

Buscamos el valor de cuando c (ó c) toma el valor de la estimación en la muestra que tenemos

-4 -2 0 2 4

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


-c c


Relación entre ICs y Contrastes Dado un contraste bilateral

H0: = 0 ; H1: 0

con nivel de significación , se rechaza la hipótesis nula si 0 no pertenece al Intervalo de Confianza con nivel de confianza obtenido para


Contrastes particulares Contraste para la media de una población normal

o muestra grande con varianza conocida Hipótesis nula. H0: = 0

Hipótesis alternativa. H1: 0 Rechazo H0 cuando



zn

x

0

zn

x

0

2/0

zn

x


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza para la media de una

población normal o a partir de una muestra grande con varianza conocida.

con un nivel de confianza ,donde P(Z > z) = si Z~

nzxnzx 2/2/ ,


Contrastes particulares Contraste para proporción

Hipótesis nula. H0: p= p0

Hipótesis alternativa. H1: pp0

Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando

znpp

pp

)1(

ˆ

00

0

znpp

pp

)1(

ˆ

00

0

2/

00

0

)1(

ˆz

npp

pp


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza para una proporción.


n

ppzp

n

ppzpp

)ˆ1(ˆˆ,

)ˆ1(ˆˆ 2/2/


Contrastes particulares Contraste para la media de una población normal

con varianza desconocida Hipótesis nula. H0: = 0




,10

1

ntns

x

,10

1

ntns

x

2/,10

1

ntns

x


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza para la media de una

población normal con varianza desconocida.

con un nivel de confianza ,donde P(X > tn,) = si X~tn

1

,1

2/,12/,1n

stx

n

stx nn


Contrastes particulares Contraste para la varianza de una población

normal Hipótesis nula. H0: 2= 0

2

Hipótesis alternativa. H1: 202

Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando

21,12

0

2

n

ns

2,12

0

2

n

ns

22/,12

0

22

2/1,120

2

ó

nn

nsns


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza para la varianza de una

población normal.

con un nivel de confianza ,donde P(X > 2

n,) = si X~2n

2

2/1,1

2

22/,1

22 ,

nn

nsns


Contrastes particulares Contraste para la igualdad de medias de dos

poblaciones normales con varianzas conocidas Hipótesis nula. H0: 1= 2




znn

xx

2221

21

21

znn

xx

2221

21

21

2/

2221

21

21

z

nn

xx


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza para la diferencia de

medias de dos poblaciones normales con varianzas conocidas.


2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/2121 ,nn

zxxnn

zxx


Contrastes particulares Contraste para la igualdad de proporciones de

dos poblaciones (muestras independientes) Hipótesis nula. H0: p1= p2

Hipótesis alternativa. H1: p1p2 Rechazo H0 cuando



znnpp

pp

)11)(ˆ1(ˆ

ˆˆ

2100

21

znnpp

pp

)11)(ˆ1(ˆ

ˆˆ

2100

21

2/

2100

21

)11)(ˆ1(ˆ

ˆˆz

nnpp

pp

21

22110

ˆˆˆ

nn

pnpnp



proporciones de dos poblaciones (muestras independientes).


2

22

1

112/21

2

22

1

112/2121

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆˆˆ,

)ˆ1(ˆ)ˆ1(ˆˆˆ

n

pp

n

ppzpp

n

pp

n

ppzpppp


Contrastes particulares Contraste para la igualdad de medias de dos

poblaciones normales con varianzas desconocidas y distintas (muestras independientes) Hipótesis nula. H0: 1= 2




znsns

xx

2221

21

21

ˆˆ

znsns

xx

2221

21

21

ˆˆ

2/

2221

21

21

ˆˆz

nsns

xx



medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas y distintas.


2

22

1

21

2/212

22

1

21

2/2121

ˆˆ,

ˆˆ

n

s

n

szxx

n

s

n

szxx


Contrastes particulares Contraste para la igualdad de medias de dos poblaciones

normales con varianzas desconocidas pero iguales Hipótesis nula. H0: 1= 2




,2

21

212111ˆ

nn

T

tnns

xx

,2

21

212111ˆ

nn

T

tnns

xx

2/,2

21

212111ˆ

nn

T

tnns

xx

2

ˆ)1(ˆ)1(ˆ

21

222

2112

nn

snsnsT



medias de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas pero iguales.


212/,221

212/,22121

11ˆ,

11ˆ

2121 nnstxx

nnstxx TnnTnn


Contrastes particulares Contraste para la igualdad de medias en dos

poblaciones normales con varianza desconocida (muestras relacionadas), d = x1x2

Hipótesis nula. H0: d= 0 Hipótesis alternativa. H1: d0

Rechazo H0 cuando

Hipótesis alternativa. H1: d0 Rechazo H0 cuando

Hipótesis alternativa. H1: d0 Rechazo H0 cuando

,1ˆ n

d

tns

d

,1ˆ n

d

tns

d

2/,1ˆ n

d

tns

d

1

)(ˆ 1

22

n

dds

n

i id



medias de dos poblaciones normales con varianza desconocida (muestras relacionadas).


n

std

n

std d

nd

n

ˆ,

ˆ2/,12/,121


Contrastes particulares Contraste para la igualdad de varianzas de dos

poblaciones normales Hipótesis nula. H0: 1

2= 22


2

Rechazo H0 cuando


2

Rechazo H0 cuando


2

Rechazo H0 cuando

1,1,122

21

21F

ˆ

ˆnns

s

,1,122

21

21F

ˆ

ˆ nns

s

2/,1,122

21

2/1,1,122

21

2121F

ˆ

ˆ ó F

ˆ

ˆ nnnn s

s

s

s


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza para el cociente de

varianzas de dos poblaciones normales.

con un nivel de confianza ,donde P(X > Fn11,n21,) = si X~ Fn11,n21

Fn21,n11,1 = 1/Fn11,n21,

2/,1,12

2

21

2/1,1,122

21

22

21

1212F

ˆ

ˆ,F

ˆ

ˆ

nnnn s

s

s

s


Contrastes particulares Contraste aproximado para el EMV

Hipótesis nula. H0: = 0


Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando

zMV

ˆ

0ˆ

zMV

ˆ

0ˆ

2/ˆ

0ˆ

zMV

1

2

22ˆ

)ˆ(

MVLMV


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza aproximado para un

EMV.


ˆ2/ˆ2/

ˆ,ˆ zz MVMV


Contrastes particulares Contraste para la Poisson (basado en EMV)

Hipótesis nula. H0: = 0


Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando


Rechazo H0 cuando

znx

x

0

znx

x

0

2/0

znx

x

nxxMV

MV 2 ; ˆˆˆ


Intervalos de Confianza particulares Intervalo de Confianza aproximado para la

de una Poisson (basado en EMV).


nxzxnxzx 2/2/ ,

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