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Secundaria 3 Matemáticas33Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

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Matemáticas3

El libro Matemáticas 3 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

con la dirección de Clemente Merodio López.

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas,Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo

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Mat

emát

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3

Matematicas 3 integral cov.indd 1 4/9/08 4:51:22 PM

Luis Briseño AguirreGuadalupe Carrasco LiceaMaría del Pilar Martínez TéllezÓscar Alfredo Palmas VelascoFrancisco Struck ChávezJulieta del Carmen Verdugo Díaz

D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-2072-4Primera edición: abril, 2008

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

El libro Matemáticas 3 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo Trujano MendozaCoordinación editorial: Roxana Martín-Lunas RodríguezRevisión técnica: Valentín Cruz y Enrique VegaCorrección de estilo: Eduardo Mendoza TelloDiseño de portada: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones de personajes de portada: Teresa MartínezDiseño de interiores: Carlos Vela TurcottCoordinación de Diseño: José Francisco Ibarra MezaCoordinación de Iconografía: Germán Gómez LópezIlustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela TurcottFotografía: Corel Stock Photo y Archivo SantillanaDiagramación: Héctor Ovando Jarquín

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Diseño: José Francisco Ibarra MezaCoordinación de Iconografía: Germán Gómez LópezDigitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales NeriaFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

2

>Presentación

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 3 propone a los estudian-tes de tercer grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, pro-poner soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y com-

pañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de proble-mas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para

llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estu-diantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglome-

rado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tra-dicional en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemáti-ca, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la forma-

ción del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver

problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como en-tes pensantes, creadores y transformadores.

3Presentación

> estructura de tu libro

Matemáticas 1

bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarro-llarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la informa-ción. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una uni-dad y no como una materia fragmentada.

Para comenzar

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que inclui-rá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes e indica el inicio de la actividad tres de esa lección. Cada lección puede tener de tres a seis partes. Cada parte consta de una a tres páginas, el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas cla-ves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 310.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una apli-cación que se ha resaltado por su utilidad o importan-cia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

El pantógrafo es un aparato que se utiliza para copiar dibujos o figuras de manera amplia o reducida. Tiene cuatro varillas articuladas que pueden fijar-se en varias posiciones. El extremo de una de ellas se fija en la mesa de traba-jo y con una punta se recorre el contorno de la figura que se desea copiar. Un lápiz o pluma en el otro extremo dibuja el dibujo ampliado o reducido. Con-sigue un pantógrafo y úsalo para hacer ampliaciones o reducciones de tus di-bujos.

Veamos cómo funciona un pantógrafo. En la siguiente figura, OP’ es paralela a AM, AP es paralela a A’P’ y P es el punto medio de OP’. Observa el triángulo OA’P’ y utiliza el teorema de Tales para ver que OA mide la mitad de OA’.

Marcamos con azul las partes de la figura correspondientes a las varillas del pantógrafo. El punto O representa el punto fijo en la mesa; el punto A indica la posición inicial de la punta del pantógrafo, que se moverá sobre una figura. El punto A’ indica la posición inicial del lápiz que describirá la nueva figura.

A

A’

M

P’

P

O

... necesitas recordar:

1. Cómo trazar rectas paralelas.2. Cuándo dos triángulos son semejantes.

• Determinación del teorema de Tales mediante construcciones con seg-mentos.

• Aplicación del teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

Pie de foto

6. Dibuja un plano cartesiano y grafica las siguientes ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x – 1.

8. Dibuja la gráfica de la ecuación y = x2.

9. Copia y completa la tabla de valores de y = 2x2 – 7x – 3

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6y 6 -9

Dibuja la gráfica de la ecuación.

10. Se lanzan 3 volados sucesivos y se van anotando los resultados. a) ¿El resultado que se obtiene en el primer vola-

do afecta la probabilidad de que en el segun-do salga sol? ¿Y el resultado de los dos primeros volados afecta la probabilidad de que en el ter-cero salga sol?

b) Calcula la probabilidad de los siguientes even-tos:

A: Salen sólo soles B: Salen sólo águilasc) ¿Pueden ocurrir los eventos A y B simultánea-

mente?d) Calcula la probabilidad de obtener tres resul-

tados iguales.

Percepción

Las figuras geométricas más simples son los triángulos.Quizá por su simpleza, los triángulos han fascinado a matemáticos, artistas y arquitectos. Este “triángulo im-posible” se ha hecho posible ¿te imaginas cómo?

En la delegación Iztacalco, de la Ciudad de México, hay una estructura que parece un “triángulo imposible”, la construcción de esta obra pertenece al escultor Enrique Espinosa Fernández.Analiza la fotografía ¿es realmente posible construir triángulos así, o será un truco fotográfico?

En realidad es un tru-co “escultórico” como podrás observar en la si-guiente foto del “trián-gulo”.

Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques cada uno compuesto de varias lecciones, cada una con su número por bloque. Esta distribución responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada.

Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

enlace

Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que con-firmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

4 Matemáticas 1

Estructura del libro

La emigración de mexicanos hacia Estados Unidos

En demografía se le llama migración al desplazamiento de personas de un lu-gar a otro para cambiar su residencia. También se suelen incluir los desplaza-mientos de personas que durante ciertas épocas del año se trasladan a regiones donde trabajan algún tiempo y luego regresan a su lugar de origen, aun cuando en estos casos no hay un cambio permanente en la residencia; a esta última se le llama migración circular.La emigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista del lugar que éstas abandonan; la inmigración es el desplazamiento de las personas desde el punto de vista del lugar al que llegan a residir o a trabajar.

Aunque los movimientos migratorios pueden darse dentro de un país o dentro de un estado (usualmente del campo a las ciudades), en México y otros países de América Latina el mayor flujo migratorio que se presenta es hacia Estados Unidos. En nuestro país este flujo es favorecido porque compartimos con los ve-cinos del norte una frontera de más de tres mil kilómetros.La pérdida de población en nuestro país por la emigración a Estados Unidos ha sido sistemática desde la década de 1960 y su efecto es cada vez más notable: se estima que en la década de 1980 fue de 2.1 a 2.6 millones de mexicanos, en la de 1990 fue de alrededor de 3.3 millones, y en los primeros 4 años de este siglo los emigrantes a ese país ya sumaban alrededor de 1.6 millones.

En el punto de encuentro del bloque 2 establecimos que, para determinar el área de una figura, los griegos cons-truían –con regla y compás– un cuadrado con la misma área que la figura. A este proceso le llamaban cuadrar la figura o encontrar la cuadratura de la figura.Dijimos que los griegos encontraron la forma de cuadrar cualquier polígono, pero en aquella ocasión sólo te mos-traremos cómo lo hacían para rectángulos y triángulos.Ahora analizaremos el método que usaban para cuadrar cualquier polígono.

• Traza un triángulo rectángulo ABC con el ángulo rec-to en B, traza la altura por B y llama D al pie de la al-tura, tal como lo hicimos en el punto de encuentro del bloque 2.

Sabemos que los triángulos ABC, ADB y BDC son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales, en particular, en los triángulos ABC y ADB

ABAC

ADAB

= o sea:

(AB)2 =AC AD (1)

Esto, geométricamente significa que el cuadrado cons-truido sobre el cateto AB es igual, en área, al rectángulo formado por el segmento AD y la hipotenusa AC.

Haciendo lo mismo pera los triángulos ABC y ADC pode-mos concluir que

(BC)2 = AC DC (2)

o, dicho de otra forma: el cuadrado construido sobre el cateto BC, tiene la misma área que el rectángulo formado por el segmento DC y la hipotenusa AC.

Sumando las ecuaciones (1) y (2) Tenemos que:(AB)2 + (BC)2 = AC(AD + DC)(AB)2 + (BC)2 = (AC)2.

Juntando las figuras podemos observar que:

La suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual al área del cuadrado sobre la hipotenusa.

(AB)2 + (BC)2 = (AC)2.

A C

B

O

A C

B

O

A C

B

A C

B

Para terminar

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

Matemáticas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan va-liosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones preci-sas para que realice el trabajo mecánico.

Punto de encuentro

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores.

4. Copia la figura en tu cuaderno y completa el triángulo A’B’C’, sabiendo que A’B’C’ es homotético a ABC con razón de homotecia 3. Indica el cen-tro de homotecia.

5. Copia la figura en tu cuaderno y complétala, sabiendo que el triángulo

A’B’C’ es homotético al triángulo ABC. Indica el centro y la razón de ho-motecia.

6. La ilustración que aparece al principio de la lección muestra un conjun-to de matrioshkas, artesanía tradicional rusa. Elige de la foto dos de ellas y encuentra el centro y la razón de homotecia entre ellas.

B

A

C

A’

B

B’

A

C

A’

una nueva actitud

En esta sección mostramos que las Matemáticas se apli-can a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utili-zan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

Al final de tu libro se encuentran cuatro anexos:

Glosario. Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su signifi-cado.Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el docente contiene las referencias utilizadas para la elaboración de este libro.Búsqueda de información en Internet. Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales rele-vantes para tu curso.Programa de la asignatura. Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estu-dio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación de los contenidos con respecto al programa.

5

> contenidos

6 Matemáticas 1

• Significadoyusodelasoperaciones

Operacionescombinadas

• Formasgeométricas Figurasplanas Rectasyángulos• Medida Estimar,medirycalcular

• Representacióndelainformación Gráficas

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

bloQue 1 14

lección 1 tRIÁNGuLOS Y CuAdRÁNGuLOS 17

Aplicacióndeloscriteriosdecongruenciadetriángulos enlajustificacióndepropiedadesdefigurasgeométricas.

lección 2 tOdO Y POR PARteS 25 Simplificacióndecálculosconexpresionesalgebraicas

talescomo:(x+a)2;(x+a)(x+b);(x+a)(x–a). Factorizacióndeexpresionesalgebraicastalescomo: x2+2ax+a2;ax2+bx;x2+bx+c;x2–a2

lección 3 ¿QuÉ tAN RÁPIdO? 35 Análisisdelarazóndecambiodeunprocesoofenómeno

quesemodelaconunafunciónlinealyrelacionarlaconlainclinaciónopendientedelarectaquelorepresenta.

lección 4 ÁNGuLOS 43 Determinacióndelarelaciónqueexisteentreunángulo

inscritoyunángulocentraldeunacircunferencia,siambosabarcanelmismoarco.

lección 5 ReBANAdAS Y CORONAS 55 Cálculodelamedidadeángulosinscritosycentralesasí

comodearcos,eláreadesectorescircularesydelacorona.

lección 6 tANGeNteS Y SeCANteS 63 Determinación,medianteconstrucciones,delasposiciones

relativasentrerectasyunacircunferenciayentrecircunferenciasentresí.

Caracterizacióndelarectasecanteylatangenteaunacircunferencia.

lección 7 SACÁNdOLe JuGO A LA INFORMACIÓN 71

Diseñodeunestudiooexperimentoapartirdedatosobtenidosdediversasfuentesyeleccióndelaformamásadecuadaparapresentar,organizaryrepresentarlainformaciónenformatabularográfica.

Matemáticas 90Punto de encuentro 92una nueva actitud 94

7Contenido


• Significadoyusodelasliterales Ecuaciones

• Formasgeométricas Semejanza

• Análisisdelainformación Porcentajes Nocióndeprobabilidad



eJe

• Significadoyusodelasliterales Relaciónfuncional Ecuaciones

• Formasgeométricas Semejanza• Transformaciones Movimientosenelplano


eJe


bloQue 2 98

lección 1 de CuAdRÁtICAS Y CÚBICAS 101 Usodeecuacionesnolinealesparamodelarsituaciones

yresolverlasutilizandoprocedimientospersonalesuoperacionesinversas.

Usodeecuacionescuadráticasparamodelarsituacionesyresolverlasusandofactorización.

lección 2 ¿SON O Se PAReCeN? 111

Construccióndefigurassemejantesycomparacióndelasmedidasdelosángulosydeloslados.

Determinacióndeloscriteriosdesemejanzadetriángulos.

Aplicacióndeloscriteriosdesemejanzadetriángulosenelanálisisdediferentespropiedadesdelospolígonos.

Aplicacióndelasemejanzadetriángulosenelcálculodedistanciasoalturasinaccesibles.

lección 3 uSO e INteRPRetACIÓN de ÍNdICeS 125

Usoeinterpretacióndelíndicesparaexplicarelcomportamientodediversassituaciones.

lección 4 SIMuLANdO 137

Usodelasimulaciónpararesolversituacionesprobabilísticas.


bloQue 3 158

lección 1 tALeS POR CuALeS 161

DeterminacióndelteoremadeTalesmedianteconstruccionesconsegmentos.

AplicacióndelteoremadeTalesendiversosproblemasgeométricos.

lección 2 GRANde Y PeQueÑO 171

Determinacióndelosresultadosdeunahomoteciacuandolarazónesigual,menoromayorque1oque−1.

Determinacióndelaspropiedadesquepermaneceninvariantesalaplicarunahomoteciaaunafigura.

Comprobacióndequeunacomposicióndehomoteciasconelmismocentroesigualalproductodelasrazones.

8 Matemáticas 1

lección 3 uNA dePeNde de LA OtRA 183

ReconocimientodelapresenciadecantidadesquevaríanunaenfuncióndelaotraendiferentessituacionesyfenómenosdelaFísica,laBiología,laEconomíayotrasdisciplinasylarepresentacióndelareglaquemodelaestavariaciónmedianteunatablaounaexpresiónalgebraica.

Interpretación,construcciónyusodegráficasderelacionesfuncionalesnolinealesparamodelardiversassituacionesofenómenos.

Interpretaciónyelaboracióndegráficasformadasporseccionesrectasycurvasquemodelansituacionesdemovimiento,llenadoderecipientes,etcétera.

lección 4 PARA uN LAdO Y PARA eL OtRO 195

Usodeecuacionescuadráticasparamodelarsituacionesyresolverlasusandolafórmulageneral.

Interpretación,construcciónyusodegráficasderelacionesfuncionalesnolinealesparamodelardiversassituacionesofenómenos.

Establecimientodelarelaciónqueexisteentrelaformaylaposicióndelacurvadefuncionesnolinealesylosvaloresdelasliteralesdelasexpresionesalgebraicasquedefinenaestasfunciones.


bloQue 4 218

lección 1 HABLeMOS de PItÁGORAS 221

AplicacióndelteoremadePitágorasenlaresolucióndeproblemas.

lección 2 uN VIStAZO A LA tRIGONOMetRÍA 231

Reconocimientoydeterminacióndelasrazonestrigonométricasenfamiliasdetriángulosrectángulossemejantes,comococientesentrelasmedidasdeloslados.

Cálculodemedidasdeladosydeángulosdetriángulosrectángulosapartirdelosvaloresderazonestrigonométricas.Resolucióndeproblemassencillos,endiversosámbitos,utilizandolasrazonestrigonométricas.

lección 3 uNA tRAS OtRA 243

Determinacióndeunaexpresióngeneralcuadráticaparadefinirelenésimotérminoensucesionesnuméricasyfigurativasutilizandoelmétododediferencias.



• Significadoyusodelasliterales Patronesyfórmulas

• Medida Estimar,medirycalcular



eJe



9Contenido

lección 4 POCOS O MuCHOS 253 Interpretaciónycomparacióndelasrepresentaciones

gráficasdecrecimientoaritméticoolinealygeométricooexponencialdediversassituaciones.

Análisisdelarelaciónentredatosdedistintanaturaleza,peroreferidosaunmismofenómenooestudioquesepresentaenrepresentacionesdiferentes,paraproducirnuevainformación.


bloQue 5 268

lección 1 GIRAR Y GIRAR 271 Anticipacióndelascaracterísticasdeloscuerposquese

generanalgirarotrasladarfiguras.

Construccióndedesarrollosplanosdeconosycilindrosrectos.

Anticipaciónyreconocimientodelasseccionesqueseobtienenalrealizarcortesauncilindrooaunconorecto.

Determinacióndelavariaciónquesedaenelradiodelosdiversoscírculosqueseobtienenalhacercortesparalelosenunaesferaoconorecto.

lección 2 VOLuMeN Y MÁS VOLuMeN 281 Elaboracióndelasfórmulasparacalcularelvolumende

cilindrosyconos. Estimaciónycálculodelvolumendecilindrosyconos.

Cálculodedatosdesconocidosdadosotrosrelacionadosconlasfórmulasdelcálculodevolumen.

lección 3 ¿CAJAS CON BRAZOS? 287 Interpretación,elaboraciónyusodegráficasdecaja-brazos

deunconjuntodedatosparaanalizarsudistribuciónapartirdelamedianaodelamediadedosomáspoblaciones.

lección 4 de tOdO uN POCO 297 Dadounproblema,determinarlaecuaciónlineal,cuadrática

osistemadeecuacionesconquesepuederesolver,yviceversa,proponerunasituaciónquesemodeleconunadeesasrepresentaciones.

Matemáticas 302Punto de encuentro 304una nueva actitud 306Glosario 310bibliografía 312búsqueda de información en internet 314Programa de la asignatura 315

• Significadoyusodelasliterales Ecuaciones

• Formasgeométricas Cuerposgeométricos• Medida Justificacióndefórmulas Estimar,medirycalcular

• Representacióndelainformación Medidasdetendenciacentraly

dispersión


eJe



> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?

10 Matemáticas 1

> enlace

1. a) Usa una regla y un compás para construir en tu cuaderno un triángulo que tenga como lados a los siguientes seg-mentos.

Compara tu triángulo con el de tus demás compañeros. ¿Todos los triángulos que obtu-vieron son congruentes? ¿Por qué?

b) Ahora construye un triángulo que tenga a los segmentos a y b como lados adyacentes y al ángulo como el ángulo comprendido por ellos.

¿Se puede construir más de un triángulo con estos datos? ¿Por qué?

c) Construye un triángulo que tenga al segmento c como uno de sus lados, de modo que los ángulos a y b sean los ángulos adyacentes al lado c.

¿Cuántos triángulos diferentes puedes cons-truir con estos datos? ¿Por qué?

d) Construye un triángulo que tenga a a, b y como sus ángulos interiores.

¿Cuántos triángulos con estas características puedes construir?Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

a

b

c

a

b

ca

b

a

b

Enlace 11

2. El perímetro del rectángulo de la figura es de 50 cm. Escribe una ecuación que represente al perímetro y resuélvela.

3. El perímetro de un rectángulo mide 30 metros. Si su largo se disminuye en 3 metros y su ancho se aumenta 2 metros, el rectángulo se vuelve un cuadrado. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Usa una literal para representar el largo del rectángulo y otra para representar el ancho y escribe una ecuación que describa la condición: “El perímetro del rectángulo mide 30 metros”. Simplifica la ecuación lo más que se pueda.

Usando las mismas literales escribe una expresión algebraica para la condición: “el largo del rectángulo se disminu-ye 3 metros”, y otra para la condición: “el ancho del rectángulo se aumenta en 2 metros”.

¿Cuál ecuación representa el hecho de que las nuevas dimensiones forman un cuadrado?

Despeja una de las incógnitas en la primera ecuación y sustitúyela en la segunda. ¿Cuántas incógnitas tiene la nue-va ecuación?

Resuelve la última ecuación y encuentra las dimensiones del rectángulo. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

4. Construye el siguiente triángulo en una cartulina. ¿Cuánto miden los ángulos a, b y ? ¿Puedes cubrir el plano con esta figura? ¿Por qué?

(2x – 1) cm

x cm

b

a

36°

36° 36°

15 cm

Desde la época de los griegos –creadores de la Geometría-, se acostumbra denotar a los ángulos mediante letras griegas. a (alfa), b (beta) y (gama) son las tres primeras letras del alfabeto griego.

12 Matemáticas 1

> enlace

Realiza 10 copias del triángulo y recórtalas por la línea punteada. Con dos de las piezas forma distintos polígonos, como los siguientes:

¿Puedes cubrir el plano con estas nuevas piezas? ¿Por qué? Discute tus respuestas con tus demás compañeros.

5. Encuentra los valores de los ángulos I a VII que se forman al cortar dos rectas paralelas con una transversal. Argu-menta tus respuestas.

III

III

VIV

VIIVI

33°

13Enlace

6. Dibuja un plano cartesiano y grafica las siguientes ecuaciones: y = 2x, y = 2x + 1, y = 2x – 1.

8. Dibuja la gráfica de la ecuación y = x2.

9. Copia y completa la tabla de valores de y = 2x2 – 7x – 3

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6y 6 -9

Dibuja la gráfica de la ecuación.

10. Se lanzan 3 volados sucesivos y se van anotando los resultados. a) ¿El resultado que se obtiene en el primer vola-

do afecta la probabilidad de que en el segun-do salga sol? ¿Y el resultado de los dos primeros volados afecta la probabilidad de que en el ter-cero salga sol?

b) Calcula la probabilidad de los siguientes even-tos:

A: Salen sólo soles B: Salen sólo águilasc) ¿Pueden ocurrir los eventos A y B simultánea-

mente?d) Calcula la probabilidad de obtener tres resul-

tados iguales.

14

>BLOQue 1

15

efectuar o simplificar cálculos con expresio-nes algebraicas tales como:

(x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a).

Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

Aplicar los criterios de congruencia de trián-gulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circun-ferencia y entre circunferencias.

Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

determinar la relación entre un ángulo ins-crito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de secto-res circulares y de la corona.

Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pen-diente de la recta que lo representa.

diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabu-lar o gráfica más adecuada para presentar la in-formación.


Forma, espacio y medida Manejo de la información

eJe 2eJe 1 eJe 3

> Lo que aprenderás en este bloque

¿Arte o Geometría?

Los artistas modernos juegan con las figuras geométri-cas, las combinan, las sobreponen, las iluminan y prácti-camente les dan vida.

Usualmente se identifica lo abstracto con lo frío y lo in-humano, con aquello que se piensa pero no se siente.También se identifica lo abstracto con la ciencia, y se piensa a las matemáticas como la más abstracta de las ciencias.

La capacidad de abstraer, sin embargo, es la más huma-na de las capacidades, la que más nos distingue de los animales.

La abstracción no es alejarse de la realidad, por el contrario; en la ciencia, la abstracción es tratar de entender la realidad

para poder sentirla concientemente; en el arte, el llamado arte abstracto, es el intento de expresar lo más profundo del ser humano, eso que uno no puede expresar con palabras, ni con retratos, ni con paisajes.

16 Bloque 1

>PARA coMenZar... necesitas recordar:

1. Cómo se copia un ángulo, con regla y compás.2. Qué significa que dos figuras sean congruentes y cuáles son los criterios

de congruencia de triángulos. 3. Cuáles son las propiedades de los ángulos entre paralelas.4. Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un triángulo. 5. Cuanto vale la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero.

> en esta lección, abordarás el tema de:

• Aplicación de los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas.

17Lección 1 > Triángulos y cuadrángulos

>1º1> triángulos y cuadrángulos

>1º

Josefina observó a unos campesinos que construían un salón para la escuela de la comunidad. Los campesinos usaron dos cuerdas del mismo tamaño anu-dadas en sus puntos medios, extendieron las cuerdas y clavaron estacas en los cuatro extremos; luego colocaron vigas de madera uniendo las cuatro estacas. Reproduce en tu cuaderno la construcción que hicieron los campesinos y comprueba que la figura que se obtiene es un rectángulo.

Reúnanse en equipo y cada quien, usando un compás y una regla sin graduar, reproduzca en su cuaderno el triángulo de la siguiente figura, copiando las longitudes de los tres lados.

Usando un compás y una regla sin graduar reproduce en tu cuaderno el trián-gulo de la siguiente figura, copiando dos de sus lados y el ángulo comprendi-do entre ellos.

Usando un compás y una regla sin graduar reproduce en tu cuaderno el trián-gulo de la siguiente figura, copiando uno de sus lados y los dos ángulos adya-centes a él.

Discute con tus compañeros de equipo la relación que existe entre los criterios de congruencia de triángulos y la actividad que acabas de realizar.Compartan sus conclusiones del equipo con las del resto del grupo.

Observa que para copiar un triángulo basta conocer: • lostreslados(LLL),• dosladosyelángulocomprendidoentreellos(LAL),• unladoylosángulosadyacentesaél(ALA).

Actividad colectiva

A

A

A

B

C

C

B

B

C

>2º

18 Bloque 1

Para reproducir en tu cuaderno el siguiente cuadrilátero traza una de las diagonales y luego copia los dos triángulos en los que la diagonal divide al cuadrilátero, usando los criterios de congruencia de triángulos.

Mide los lados de los siguientes cuadriláteros:

¿Mide el lado AB lo mismo en los tres cuadriláteros? ¿Y los lados BC, CD y DA? ¿Son congruentes los cuadriláteros? Copia los cuadriláteros en una hoja de papel, recórtalos y verifica si son o no congruentes. Recuerda que dos figuras son congruentes si, al sobreponerlas, coinciden.Si quieres copiar un cuadrilátero ¿basta conocer las medidas de los cuatro la-dos? Discute tu respuesta con el resto del grupo.

Se dice que un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º.

Actividad individual

C

DA

B


Cuadrilátero convexos Cuadrilátero no convexos

B

C

A

DA

D

B

C

C

B

AD


Construye, con tus compañeros de equipo, un cuadrilátero convexo que ten-ga como lados a los segmentos AB, BC y DA de la siguiente ilustración. El án-gulo comprendido entre los lados AB y BC debe medir 40°.

Comparen el cuadrilátero de su equipo con los de los demás equipos. ¿Son todos congruentes? Traza la diagonal AC del cuadrilátero ¿Hay más de un triángulo con lados AB, BC y un ángulo de 40º entre ellos? ¿Cuál criterio de congruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único? ¿Hay más de un triángulo con lados AC, CD y DA? ¿Cuál criterio de con-gruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

Para determinar si dos cuadriláteros son congruentes, basta trazar una dia-gonal y analizar la congruencia de los triángulos en que la diagonal divi-de al cuadrilátero.

Construye con tu equipo un cuadrilátero convexo que tenga como lados a los segmentos AB, BC, CD de la siguiente figura. El ángulo en el vértice B debe medir 30º y el ángulo en el vértice C, 50º.

Comparen el cuadrilátero de su equipo con los de los demás equipos. ¿Son to-dos congruentes? Traza la diagonal BD del cuadrilátero. ¿Hay más de un triángulo con lados BC, CD y un ángulo de 50º comprendido entre ellos? ¿Cuál criterio de con-gruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único? ¿Hay más de un triángulo con lados AB, BD y DA? ¿Cuál criterio de con-gruencia de triángulos asegura que ese triángulo es único?Discutan sus respuestas con el resto del grupo.

Actividad colectiva

C D

Actividad colectiva

BA

B C

D A

BA

B C

C D

>3º

20 Bloque 1

Actividad individual Traza dos segmentos de recta que se corten en un punto O. Con centro en O traza una circunferencia y llama A, B, C y D a los puntos donde la circun-ferencia corta a los segmentos de recta.

Une los puntos A, B, C y D para formar un cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadri-látero obtuviste? Compara tu respuesta con la de tus demás compañeros.¿Qué puedes decir de los triángulos ABO y CDO? ¿Son equilateros, isósceles o escalenos? ¿Son congruentes? ¿Por qué?¿Son paralelos los lados AB y CD del cuadrilátero? ¿Por qué?¿Qué puedes decir de los triángulos AOD y BOC? ¿Son paralelos los lados AD y BC? ¿Por qué?

¿Cuánto suman los ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Son iguales los cua-tro ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Cuánto mide cada uno de ellos? ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD?Compara tus resultados con los del resto del grupo.

Traza un par de segmentos de recta que se corten en un punto O. Sobre uno de ellos traza con tu compás un par de puntos A y C que se encuentren a la misma distancia de O. Cambia la abertura del compás y sobre el otro segmento señala un par de puntos B y D que se encuentren a la misma distancia de O.


A

C

DO

B

O

O

A B

D C

A B

D C


Une los puntos A, B, C y D para formar un cuadrilátero. ¿Qué tipo de cuadri-látero obtuviste? Compara tu respuesta con la de tus demás compañeros.

¿Qué puedes decir de los triángulos ABO y CDO? ¿Son congruentes? ¿Por qué?¿Son iguales los ángulos DCA y CAB? ¿Por qué?¿Son paralelos los lados AB y CD?Qué puedes decir de los triángulos AOD y BOC? ¿Son congruentes? ¿Por qué?¿Son iguales los ángulos DAC y ACB? ¿Por qué? ¿Son paralelos los lados AD y BC? ¿Por qué?¿Qué puedes decir de los ángulos opuestos del cuadrilátero? ¿Por qué?¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD? ¿Qué puedes decir de las diagonales del cuadrilátero?Compara tus respuestas con las de tus compañeros del grupo.

Traza un par de segmentos de recta AC y BD, de distintos tamaños, que se corten perpendicular-mente en sus puntos medios. Llama O al punto donde se cortan.

¿Qué puedes decir del cuadrilátero ABCD? ¿Qué puedes decir de los triángulos AOB, BOC, COD y DOA? ¿Son paralelos los lados opuestos el cua-drilátero? ¿Miden lo mismo los cuatro lados? ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD? Compara tu res-puesta con las de tus compañeros.

Traza un par de segmentos de recta AC y BD del mismo tamaño, que se cor-ten perpendicularmente en sus puntos medios. Llama O al punto donde se cortan.

¿Qué puedes decir del cuadrilátero ABCD? ¿Qué puedes comentar de los triángulos AOB, BOC, COD y DOA? ¿Son paralelos los lados opuestos el cuadrilátero? ¿Miden lo mismo los cuatro lados? ¿Cómo son los ángulos interiores del cuadrilátero? ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD? Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

Analiza la construcción narrada al inicio de esta lección y argumenta por qué se obtiene un rectángulo.

A

B

DO

C



C

C


A

B

D

O

A D

B

O

>4º

22 Bloque 1

1. Las diagonales de un cuadrilátero ABCD se cortan en el punto O for-mando un ángulo de 50º. El segmento OA mide 3 cm, el OB mide 5 cm, el OC mide 4 cm y el segmento OD mide 2 cm. Construye el cuadriláte-ro ABCD y usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.

2. Construye un cuadrilátero ABCD en el que el lado AB mida 5 cm, el lado BC mida 7 cm, el ángulo en el vértice A mida 70º, el ángulo en el vérti-ce B mida 110º y el ángulo en el vértice C mida 120º. Usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.

3. La diagonal AC de un cuadrilátero mide 10 cm, el lado AB mide 6 cm, el lado BC mide 5 cm, el lado CD, 4 cm y el lado DA, 7 cm.Construye el cuadrilátero ABCD y usa los criterios de congruencia para argumentar por qué hay un único cuadrilátero con esas condiciones.

4. Argumenta, usando congruencia de triángulos, que si ABCD es un para-lelogramo (es decir, los pares de lados opuestos son paralelos), entonces los ángulos DAB y BCD son iguales. ¿Qué puedes decir de los ángulos CDA y ABC? ¿Qué relación hay entre los ángulos BAD y ADC?

5. Demuestra, usando congruencia de triángulos, que si ABCD es un para-lelogramo, entonces las longitudes de los lados opuestos son iguales.

A

B

D

C

A

B

D

C


Torito

En la siguiente figura se cumple que:• Los ángulos en A y en B son iguales.• Los segmentos OA y OB miden lo mismo.• OA es perpendicular a OE y OB es perpendicular a OD.

Demuestra quea) El triángulo AHB es isósceles.b) Los segmentos FH y CH miden lo mismo.c) Los triángulos AOD y BOE son congruentes.d) Los triángulos FEH y CDH son congruentes.

A

B

C

D

E

F

O H

>PARA terMinar

24 Bloque 1

>PARA coMenZar... necesitas recordar:

1. Cómo se suman y cómo se multiplican números con signo.

> en esta lección, abordarás el tema de:

• Transformación de expresiones algebraicas en otras equivalentes.

25Lección 2 > Todo y por partes

>1º2> todo y por partes

Si se sabe que el área del rectángulo de la ilustración es 24 cm2, ¿cuál es el valor de x?

Discute tus respuestas con tus compañeros.

Escribe una expresión algebraica que represente el área de cada uno de los si-guientes rectángulos:

Ahora escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángu-lo amarillo y otra para el rectángulo verde de la figura 1. Compara estas expre-siones con la que escribiste antes para la figura 1. ¿Qué relación hay entre estas tres expresiones?

Haz lo mismo para las figuras 2 y 3.Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.

1x

x – 1


2

4

3

6x

x

a b

c

Figura 1

Figura 2

Figura 3

26 Bloque 1

Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo verde. ¿Cuánto mide su base?

Ahora escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángu-lo azul y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo verde en térmi-nos de las áreas de los otros dos rectángulos (el azul y el bicolor).

Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo amari-llo siguiente. ¿Cuánto mide su base?

Escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo verde y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo amarillo en términos de las áreas de los otros dos rectángulos (el verde y el bicolor).Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.

Escribe una expresión algebraica que represente el área del rectángulo azul. ¿Cuánto mide su base?

b

a

8

b

c

a

x

2

10

Actividad colectiva


Escribe expresiones algebraicas para representar las áreas del rectángulo rojo y del rectángulo bicolor. Expresa el área del rectángulo azul en términos de las áreas de los dos rectángulos.

Compara tu respuesta con las de tus demás compañeros.

Si los siguientes rectángulos tienen áreas ab y ac, respectivamente, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo formado con la unión de ellos dos?

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que resulta de quitarle el rectán-gulo de área ab al rectángulo de área ac?

Si a, b y c son tres cantidades, entonces

a(b + c) = ab + aca(b − c) = ab − ac

Copia las siguientes igualdades en tu cuaderno y llena los espacios en blanco:

3(b + ) = 3b + 15 a( + 2) = 5a +

a(10 − ) = 10a – 7 6( − 5) = 42 –

36 + = 9(4 + c) 16 – 8 = 2( − )

a

a

b

aca


c

b

ac

28 Bloque 1

Calcula, con tus compañeros de equipo, el área del siguiente rectángulo:

Calcula con tu equipo el área de los cuatro rectán-gulos en los que está dividido. ¿Coincide el área del rectángulo más grande con la suma de los cuatro rec-tángulos que lo componen?

Ahora escriban una expresión algebraica para el área del siguiente rectángulo:

Expresen el área de los cuatro rec-tángulos en los que está dividido el rectángulo mayor. Escriban el área del rectángulo mayor en términos de las áreas de los cuatro rectángu-los que lo componen.Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

Escriban una expresión algebraica que represente el área del rectángulo ABCD:

Igual que en los casos anteriores, representen el área del rectángulo ABCD en términos de las áreas de los cuatro rectángulos en los que está dividido. Comparen su respuesta con las de los otros equipos.

Expresen el área del rectángulo ABCD como suma de las áreas de los rectán-gulos ABGE y EGCD.Expresen el área del rectángulo ABCD como suma de las áreas de los rectán-gulos AFHD y FBCH.Comparen sus respuestas con las del resto del equipo.

Si a, b, c y d son cantidades cualesquiera, entonces:(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd

¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo formado con la unión de cua-tro rectángulos de áreas xz, xw, yz, yw? Haz un esquema del rectángulo. Com-para tu respuesta con las de tus compañeros.

>2º

1

3

4 2

2

3b

a

A F B

D H C

E G

b

a

c d

Actividad colectiva


>3º Con base en lo aprendido hasta ahora y con ayuda de la siguiente ilustra-

ción escribe el desarrollo del producto (x + a)(x + b).

Compara tu respuesta con las de tus compañeros de equipo.¿Cuánto deben valer los números a y b de la siguiente figura para que la ex-presión x2 + 7x + 12 represente el área del rectángulo?

Discutan sus respuestas con los otros equipos.

Ahora con tu equipo analiza la siguiente figura y, con base en tus observacio-nes, desarrolla la expresión (a + b)2.

Comparen su respuesta con las de los demás equipos.

Actividad colectiva

a

x

x b

x

x b

a

Actividad colectiva

a

b

a b

30 Bloque 1

¿Cuál es el valor del número a en la siguiente figura, si el área del cuadrado es x2 + 10x + 25?

Comparen su respuesta con las del resto del grupo.¿Cuánto mide la altura de los rectángulos azules de la siguiente ilustración? ¿Cuál es el área del rectángulo formado por los dos rectángulos azules? Re-presenta esta área de dos formas diferentes.

Con base en la figura anterior comprueba que:(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bdDiscutan sus argumentos con los demás equipos.

¿Cuánto mide la base del rectángulo ABCD? ¿Cuánto mide su altura? ¿Cuál es su área?

a

x

x a

Actividad colectiva

ba

d

c

Actividad colectiva

A B

D C

a

x a

x


Escriban una expresión algebraica que represente el área de la figura formada por la unión de los rectángulos amarillo y rojo de la siguiente ilustración.¿Tienen la misma área el rectángulo ABCD de la ilustración anterior y esta nueva figura?

Expresen el área de la figura formada por la unión de los rectángulos amari-llo y rojo como la resta de las áreas de dos cuadrados. Comparen su respues-ta con la de sus compañeros.

Un binomio es una expresión algebraica con dos sumandos. Las expresio-nes: a + b, x + 3, 5x – 4, ax – b, 3x3y6z5 + 18w7 son binomios.Dos binomios de la forma x + a, x – a se llaman binomios conjugados.Aplicando la regla para multiplicar binomios que descubriste más arriba:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

a una pareja de binomios conjugados, se obtiene:

(x + a)(x – a) = x2 – a2

Si aplicas esa misma regla a un par de binomios con un término común obtienes:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Y si la aplicas a un par de binomios iguales obtienes el binomio al cuadrado:

(x + a)(x + a) = (x + a)2 = x2 + 2ax + a2

A estos tres casos particulares de productos de binomios se les conoce como productos notables.Un trinomio es una expresión algebraica con tres sumandos.Expresiones como x2 + (a + b)x + ab o x2 + 2ax + a2 son ejemplos de trino-mios.Al proceso de multiplicar dos o más binomios se le conoce como desarro-llo del producto de binomios. Al proceso inverso, es decir, al proceso de ex-presar una suma de monomios como producto de dos o más binomios se le conoce como factorización.

A B

D C

a

a

x a

x

32 Bloque 1

>4ºDesarrolla los siguientes productos de binomios y discute con tus compañeros las diferencias que observes.

(x + 2)(x + 3) (x + 2)(x − 3) (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x − 3)

Haz lo mismo con los siguientes productos:

(5 + y)(4 + y) (5 + y)(4 − y) (5 − y)(4 + y) (4 − y)(4 − y)

Y ahora con los siguientes:

(x + a)(x + b) (x + a)(x − b) (x − a)(x + b) (x − a)(x − b)

Desarrolla los siguientes productos de binomios:

(−x + 3)(−x + 5) (−x + 3)(−x − 5) (2x + 1)(2x + 3)

(3x + 4)(2x + 3) (3x + 4)(2x − 3) (−4x + 2)(3x − 3)

Discute tus respuestas con tus compañeros.

Recuerda que a – w = a + (−w).

Calculen el producto 22 × 18 como el producto de la pareja de binomios con-jugados (20 + 2)(20 – 2)Usando un procedimiento análogo, realicen los siguientes productos:101 × 99 31 × 49 42 × 58 105 × 95Compara tus resultados con los de otros equipos.

En tu cuaderno, factoriza los siguientes trinomios llenando los espacios en blanco:

x2 + (a + b)x + ab = (x + )(x + ) x2 + 7x + 12 = (x + )(x + )

x2 + 8x + 15 = (x + )(x + ) x2 + 5x + 6 = (x + )(x + )Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

Factoricen en equipo el siguiente trinomio:x2 + 2x – 8

¿Qué par de números multiplicados entre sí dan −8 y sumados dan 2?Factoricen los siguientes trinomios:x2 − 7x + 10 x2 − 2x − 8 x2 + 5x − 14Si el término independiente del trinomio tiene signo positivo ¿qué signos pue-den tener los dos números que buscas? ¿Y si tiene signo negativo? Discutan sus respuestas con sus compañeros del grupo.

Factoriza el siguiente trinomio:x2 + 2ax + a2

Ahora factoricen los siguientes:x2 + 6x + 9 x2 + 2x + 1 x2 − 4x + 4Discutan sus respuestas con sus compañeros del grupo.

Factoriza el siguiente binomio:x2 – a2

Y ahora los siguientes:x2 − 9 x2 − 1 x2 − 25Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.




Actividad colectiva

Actividad colectiva

Actividad colectiva

>PARA terMinar


>5º1. Desarrolla los siguientes productos de binomios: (x + 5) (a + 3) (2a + 3)(2a + 4) (−x + 1)(x + 1)

(z + 6)(2z – 4) (y – 2)(y + 5) (x + y)(z + 5)

(x − 2)(−x + 2)

2. Desarrolla los siguientes binomios cuadrados:

(2a − 3)2 (−w + 4)2 (2z + 3y)2 (x − 5)2

3. En tu cuaderno llena los espacios en blanco para que sean ciertas las siguien-tes igualdades:

( + 2)2 = y2 + y + 4 x2 – 9 = (x + )(x − )

( + )2 = x2 + 6xy + (5z + )2 = + + y2

4. Calcula los siguientes productos expresándolos como producto de bino-mios conjugados:

109 3 91 32 3 48 55 3 45

5. Realiza las siguientes operaciones, expresando la diferencia de números cuadrados como producto de binomios conjugados:

252 2 152 162 2 142 642 2 362

6. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

x2 – 16 y2 + 4y + 4 y2 + 5y + 4 a2 + 5a + 6

w2 – 3w – 40 w2 + 3w – 40 z4 – y2 −x2 + y2

7. En cada uno de los siguientes casos encuentra el sumando que falta para que el trinomio represente un binomio al cuadrado:

x2 + 4x + y2 – 6y + (2b)2 + 16b +

Torito

Con ayuda de la siguiente ilustración, desarrolla la expresión: (a + b)3

a

b

b

a

bb

a

a

b

a



Mat

emát

icas

33

Matematicas 3 integral cov.indd 1Matematicas 3 integral cov.indd 1 4/9/08 4:51:22 PM4/9/08 4:51:22 PM