Mtemticas 3

MATEMATICAS V

Clculo IntegralFormas ordinarias de integracinIntegracin directa

En ocasiones es posible aplicar la relacin dada por el teorema fundamental del clculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una funcin cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal funcin es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo

Calcular la integral .En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x).

Por tanto: Ejemplo

Calcular la integral .Una frmula estndar sobre derivadas establece que .

De este modo, la solucin del problema es .

No obstante, puesto que la funcin est definida en los nmeros negativos tambin ha de estarlo su integral, asi que, la integral escrita de una forma rigurosa sera ln(|x|)

Mtodo de integracin por sustitucin

El mtodo de integracin por sustitucin o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fcilmente su primitiva. Este mtodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivacin.

Procedimiento prctico

Supongamos que la integral a resolver es:

En la integral reemplazamos con (u):

(1)

Ahora necesitamos sustituir tambin para que la integral quede slo en funcin de :

Tenemos que por tanto derivando se obtiene Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):

Simplificando:

Debemos considerar si la sustitucin fue til y por tanto se lleg a una forma mejor, o por el contrario empeor las cosas. Luego de adquirir prctica en esta operacin, se puede realizar mentalmente. En este caso qued de una manera ms sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.Como ltimo paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los lmites de integracin. Sustituimos x por el lmite de integracin y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo :

(lmite inferior)

(lmite superior)

Luego de realizar esta operacin con ambos lmites la integral queda de una forma final:

Mtodo de integracin por partes

El mtodo de integracin por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

.

.

Existe una regla mnemotcnica para recordar la integracin por partes, la cual dice as:

.

"Sentado () un () da vi () (=) un () valiente () soldado () vestido () de uniforme ()" .

"Sentado un da vi un valiente soldado vestido de uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de y , puede simplificarse mucho la resolucin de la integral. Para elegir la funcin se puede usar una de las siguiente reglas mnemotcnicas:

1. Arcoseno, arcocoseno..., Logartmicas, Polinmicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra ALPES.

2. Logartmicas, Inversas trigonomtricas, Algebricas, Trigonomtricas, Exponenciales. L I A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra LIATE.

3. Inversas trigonomtricas, Logartmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonomtricas I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la funcin situada ms a la izquierda de la palabra ILPET.Integrales de funciones trascendentes y logartmicas

Integrales de funciones transcendentes

Integrales de funciones logartmicas

Para recordar integrales ms grandes, es conveniente definir:

dnde Hn es el n-simo nmero armnico. As, las primeras seran:

Entonces,

La siguiente es una lista de integrales de funciones logartmicas.

Nota: x>0 se asume en este artculo.

Integracin por partes

El mtodo de integracin por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la frmula:

Las funciones logartmicas, "arcos" y polinmicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trgonomtricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Ejemplos

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Si tenemos una integral con slo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuacin.

Cuestionario Unidad 1

1. Qu entiende por integracin directa? Se entiende por mtodos de integracin cualquiera de las diferentes tcnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o

indefinida" integral indefinida de una funcin.2. Qu entiende por mtodo de integracin por partes?

Este mtodo permite resolver un gran nmero de integrales no inmediatas

3. Cmo se resuelve una integral por partes?Este mtodo consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensin de que al aplicar la frmula obtenida, la integral del segundo miembro sea ms sencilla de obtener que la primera. No hay, y ste es el mayor problema de este procedimiento, una regla fija para hacer las identificaciones ms convenientes.

4. Qu es el Mtodo de integracin por sustitucin?

Es el mtodo de integracin por sustitucin o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple.5. Cules son las integrales de funciones racionales y que son? dx en las que p(x) y q(x) son polinomios

6. Cmo se le llama cuando en una ecuacin la variable o incgnita aparece como argumento o como base de un logaritmo?Se llama logartmica7. Qu entiende por Integrales racionales inmediatas?Son aquellas que se convierten en suma de integrales inmediatas sin ms que dividir p(x) entre q(x). Para ello es preciso que el grado de p(x) sea mayor o igual que el grado de q(x).8. Cules son las integrales de funciones trascendentes?

Funcin trascedente de una variable es aquella que no puede relacionarse con la variable independiente por medio de las cuatro operaciones algebraicas efectuadas un nmero limitado de veces. Entre las funciones trascendentes se encuentran las trigonomtricas directas e inversas; las logartmicas y las exponenciales.9. Qu es funcin logartmica?

Una funcin logartmica es aquella que genricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta funcin, que ha de ser positiva y distinta de 1.

Estadstica descriptivaAgrupamiento de datos Caracteres cualitativosConsideremos una muestra de tamao N sacada de una poblacin estadstica de la que observamos un carcter cualitativo A que presenta las modalidades siguientes : a1, a2, a3, ..., ak , llamamos

FRECUENCIA ABSOLUTAnide la modalidad ai al nmero de veces que aparece repetida dicha modalidad en el conjunto de las observaciones realizadas.

FRECUENCIA RELATIVAfide la modalidad ai al cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero de datos (= tamao de la muestra N).

Los datos de las observaciones se pueden recoger en la siguiente tabla de distribucin :

Caracteres cuantitativosConsideramos una variable estadstica X que, en una muestra de tamao N extrada de una poblacin estadstica, toma los valores x1 < x2 < x3 < ... < xk , definimos los siguientes conceptos :

Tamao de la muestra

NLlamamos tamao muestra al nmero de observaciones realizadas, es decir, al nmero total de datos.

Frecuencia Absoluta

niLlamamos frecuencia absoluta de un valor xi de la variable estadstica X al nmero de veces que aparece repetido dicho valor en el conjunto de las observaciones realizadas.

Frecuencia Absoluta Acumulada

NiLlamamos frecuencia absoluta acumulada en el valor xi a la suma de las frecuencias absolutas de los valores inferiores o iguales a l.Evidentemente, los valores xi han de estar ordenados de forma creciente, como ya se ha indicado, y la frecuencia absoluta acumulada del ltimo valor ser igual a N.

Frecuencia RelativafiLlamamos frecuencia relativa de un valor xi de la variable estadstica X al cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero de observaciones realizadas. ;

Frecuencia Relativa AcumuladaFiLlamamos frecuencia relativa acumulada en el punto xi al cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el nmero de observaciones realizadas. ;

En las observaciones realizadas en una muestra o poblacin, puede ocurrir :

1. Que la variable estadstica tome pocos valores diferentes (ya sea grande o pequeo el tamao de la muestra).

2. Que, en una muestra de gran tamao, la variable estadstica tome muchos valores diferentes, ya se trate de variable estadstica discreta como de variable estadstica continua (este ltimo caso es el ms habitual).En el primer caso no es necesario agrupar los datos, y la tabla de distribucin presenta el siguiente aspecto (ordenando los datos de menor a mayor) :En el segundo caso por tratarse de variable continua o discreta pero con un nmero de datos muy grande, es aconsejable agrupar los datos en clases.

Agrupamos los valores de la variable estadstica en intervalos de clase contiguos y elegidos convenientemente para no perder mucha informacin. No existe un criterio claro de cul debe ser el nmero de intervalos que debemos escoger, Norcliffe establece que el nmero de clases debe ser, aproximadamente igual a la raz cuadrada positiva del nmero de datos. Normalmente, el nmero de intervalos de clase se suele fijar entre 5 y 15 y de tal manera que en cada clase se tengan, al menos, 5 observaciones. De todas formas el investigador los acomodar a las condiciones especificas del problema estadstico objeto de estudio (se tomarn tantos intervalos solapados como sean necesarios para recubrir todo el recorrido de la variable). Los extremos de los intervalos de clase se denominan extremos de clase y sus puntos medios marcas de clase (valor que nos representa la informacin que contiene un intervalo). Como cada observacin debe quedar perfectamente encasillada en uno y slo un intervalo de clase, debemos decidir a qu intervalos pertenecen los extremos de las clases, por lo que habrn de tomarse intervalos semiabiertos o tomando el extremo de cada clase con un decimal ms que las observaciones. Con el fin de que la clasificacin est bien hecha, los intervalos se deben construir de manera que el lmite superior de una clase coincida con el lmite inferior de la siguiente, y adems, adoptando el criterio de que los intervalos sean cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha. Por otro lado tenemos la amplitud de cada intervalo, que puede ser constante o variable. Si procuramos que todas las clases tengan la misma amplitud y los lmites de cada clase sean nmeros redondos (mltiplos p. ej. de 5) conseguiremos simplificar mucho los clculos (siempre y cuando no se pierda demasiada informacin con estas consideraciones).

Debemos observar un hecho importante, se entiende que cuando hacemos una agrupacin en intervalos de clase, para nosotros solamente cuenta el nmero de observaciones que caen dentro de cada uno de los intervalos y no la colocacin en su interior, es decir, suponemos que la distribucin de estos valores en el intervalo es homognea, en esto radica la prdida de informacin que supone agrupar los datos de las observaciones.

Grficas de datos estadsticos

En los anlisis estadsticos, es frecuente utilizar representaciones visuales complementarias de las tablas que resumen los datos de estudio. Con estas representaciones, adaptadas en cada caso a la finalidad informativa que se persigue, se transmiten los resultados de los anlisis de forma rpida, directa y comprensible para un conjunto amplio de personas. Tipos de representaciones grficas

Cuando se muestran los datos estadsticos a travs de representaciones grficas, se ha de adaptar el contenido a la informacin visual que se pretende transmitir. Para ello, se barajan mltiples formas de representacin:

Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos, cuando la variable es discreta o cualitativa.

Histogramas: formas especiales de diagramas de barras para distribuciones cuantitativas continuas.

Polgonos de frecuencias: formados por lneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes cartesianos.

Grficos de sectores: circulares o de tarta, dividen un crculo en porciones proporcionales segn el valor de las frecuencias relativas.

Pictogramas: o representaciones visuales figurativas. En realidad son diagramas de barras en los que las barras se sustituyen con dibujos alusivos a la variable.

Cartogramas: expresiones grficas a modo de mapa.

Pirmides de poblacin: para clasificaciones de grupos de poblacin por sexo y edad.

Diagramas de barras e histogramas

Los diagramas de barras se usan para representar grficamente series estadsticas de valores en un sistema de ejes cartesianos, de manera que en las abscisas se indica el valor de la variable estadstica y en las ordenadas se seala su frecuencia absoluta.

Estos grficos se usan en representacin de caracteres cualitativos y cuantitativos discretos. En variables cuantitativas continuas, se emplea una variante de los mismos llamada histograma.

Diagrama de barras

HistogramaPolgonos de frecuencias

Para construir polgonos de frecuencias, se trazan las frecuencias absolutas o relativas de los valores de la variable en un sistema de ejes cartesianos y se unen los puntos resultantes mediante trazos rectos. Con ello se obtiene una forma de lnea poligonal abierta.

Los polgonos de frecuencias se utilizan preferentemente en la presentacin de caracteres cuantitativos, y tienen especial inters cuando se indican frecuencias acumulativas. Se usan en la expresin de fenmenos que varan con el tiempo, como la densidad de poblacin, el precio o la temperatura.

Grficos de sectores

En los diagramas de sectores, tambin llamados circulares o de tarta, se muestra el valor de la frecuencia de la variable sealada como un sector circular dentro de un crculo completo. Por ello, resultan tiles particularmente para mostrar comparaciones entre datos, sobre todo en forma de frecuencias relativas de las variables expresadas en forma de porcentaje. Pictogramas y cartogramas Para aligerar la presentacin de datos estadsticos, con frecuencia se recurre a imgenes pictricas representativas del valor de las variables. Dos formas comunes de expresin grfica de los datos son:

Los pictogramas, que muestran diagramas figurativos con figuras o motivos que aluden a la distribucin estadstica analizada (por ejemplo, una imagen antropomrfica para indicar tamaos, alturas u otros).

Los cartogramas, basados en mapas geogrficos que utilizan distintas tramas, colores o intensidades para remarcar las diferencias entre los datos. Pirmide de poblacin

Otra forma corriente de presentacin visual de datos estadsticos es la llamada pirmide de poblacin. Las pirmides de poblacin se utilizan en la expresin de informaciones demogrficas, econmicas o sociales, y en ellas se clasifican comnmente los datos de la poblacin del grupo de muestra considerado en diferentes escalas de edad y diferenciada por sexo.

Ejemplo de una pirmide de poblacin.

Polgono de frecuencias. Polgono de frecuencias acumulativas. Grfico de sectores. Representacin de datos estadsticos en un pictograma.Medidas de centralizacin

Nos dan un centro de la distribucin de frecuencias, es un valor que se puede tomar como representativo de todos los datos. Hay diferentes modos para definir el "centro" de las observaciones en un conjunto de datos. Por orden de importancia, son:MEDIA:

Vamos a estudiar en este apartado los distintos tipos de media que hemos detallado en el apartado anterior

Media aritmtica:

La media aritmtica de una variable se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por y se calcula mediante la expresin:

xi representa el valor de la variable o en su caso la marca de clase.

Propiedades:1. Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo nmero, la media queda multiplicada o dividida por dicho numero.

2. Si le sumamos a todas las observaciones un mismo nmero, la media aumentar en dicha cantidad.

3. Adems de la media aritmtica existen otros conceptos de media, como son la media geomtrica y la media armnica.

Media geomtrica:La media geomtrica de N observaciones es la raz de ndice N del producto de todas las observaciones. La representaremos por G.

Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas. Es una medida estadstica poco o nada usual.Media armnica:

La media armnica de N observaciones es la inversa de la media de las inversas de las observaciones y la denotaremos por H

Al igual que en el caso de la media geomtrica su utilizacin es bastante poco frecuente.

Mediana:

La mediana es el valor central de la variable, es decir, supuesta la muestra ordenada en orden creciente o decreciente, el valor que divide en dos partes la muestra.

Para calcular la mediana debemos tener en cuenta si la variable es discreta o continua.

Clculo de la mediana en el caso discreto:

Tendremos en cuenta el tamao de la muestra.

Si N es Impar, hay un trmino central, el trmino que ser el valor de la mediana.

Si N es Par, hay dos trminos centrales, la mediana ser la media de esos dos valores

Veamos un ejemplo.

N Impar

N par

1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27 N=121,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27,30 N=13

Trminos Centrales el 6 y 7 9 y 12Trmino Central el 7 , 12

Me=Me=12

Clculo de la mediana en el caso continuo:

Si la variable es continua, la tabla vendr en intervalos, por lo que se calcula de la siguiente forma:

Nos vamos a apoyar en un grfico de un histograma de frecuencias acumuladas.

De donde la mediana vale: donde ai es la amplitud del intervalo

Vemoslo por medio de un ejemplo.Supongamos los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la siguiente forma:

Li-1LiniNiComo el tamao de la muestra es N=50, buscamos el intervalo en el que la Frecuencia acumulada es mayor que 50/2=25, que en este caso es el 3 y aplicamos la frmula anterior. Luego la Mediana ser

Me=

455566

55651016

65751935

75851146

8595450

MODA:La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que ms se repite, es la nica medida de centralizacin que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realizacin de ningn clculo.

Por su propia definicin, la moda no es nica, pues puede haber dos o ms valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta mxima. En cuyo caso tendremos una distribucin bimodal o polimodal segn el caso.

Por lo tanto el clculo de la moda en distribuciones discretas o cualitativas no precisa de una explicacin mayor; sin embargo, debemos detenernos un poco en el clculo de la moda para distribuciones cuantitativas continuas.

Apoyndonos en el grfico podemos llegar a la determinacin de la expresin para la Moda que es: Otros autores dan una expresin aproximada para la moda que viene dada por la siguiente expresin:

Veamos su clculo mediante un ejemplo, para ello usaremos los datos del apartado anterior

Li-1LiniNiUtilizando la frmula aproximada

455566

55651016

65751935

75851146

8595450

Medidas de variacin o dispersinMEDIDAS DE DISPERSIN ABSOLUTAS

VARIANZA ( s2 ): es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observacin y la media aritmtica del conjunto de observaciones.

Haciendo operaciones en la frmula anterior obtenemos otra frmula para calcular la varianza:

Si los datos estn agrupados utilizamos las marcas de clase en lugar de Xi.DESVIACIN TPICA (S): La varianza viene dada por las mismas unidades que la variable pero al cuadrado, para evitar este problema podemos usar como medida de dispersin la desviacin tpica que se define como la raz cuadrada positiva de la varianza

Para estimar la desviacin tpica de una poblacin a partir de los datos de una muestra se utiliza la frmula (cuasi desviacin tpica):

RECORRIDO O RANGO MUESTRAL (Re). Es la diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor. Re = xmax - xminMEDIDAS DE DISPERSIN RELATIVASCOEFICIENTE DE VARIACIN DE PEARSON: Cuando se quiere comparar el grado de dispersin de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el coeficiente de variacin de Pearson que se define como el cociente entre la desviacin tpica y el valor absoluto de la media aritmtica

CV representa el nmero de veces que la desviacin tpica contiene a la media aritmtica y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersin y menor la representatividad de la media.Cuestionario Unidad 2

1. Qu entiende por frecuencia absoluta?

Llamamos frecuencia absoluta de un valor xi de la variable estadstica X al nmero de veces que aparece repetido dicho valor en el conjunto de las observaciones realizadas.2. Qu es tamao de la muestra?

Llamamos tamao muestra al nmero de observaciones realizadas, es decir, al nmero total de datos3. Qu entiende por estadstica?Conjunto de mtodos y tcnicas que permiten recopilar, presentar, analizar y tomar decisiones respecto de un conjunto de datos.4. Qu son los mtodos descriptivos?

Permiten conocer, representar y cuantificar el comportamiento de un conjunto de datos

5. Qu entiende por estadstica?Conjunto de mtodos y tcnicas que permiten recopilar, presentar, analizar y tomar decisiones respecto de un conjunto de datos.6. Qu es la frecuencia absoluta acumulada?

Frecuencia absoluta acumulada en el valor xi a la suma de las frecuencias absolutas de los valores inferiores o iguales a l

7. Qu es la frecuencia relativa?

Frecuencia relativa de un valor xi de la variable estadstica X al cociente entre la frecuencia absoluta y el nmero de observaciones realizadas.8. Qu entiende por frecuencia relativa acumulada?

Frecuencia relativa acumulada en el punto xi al cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el nmero de observaciones realizadas9. Tipos de representaciones grficas que existen

Diagramas de barras, Histogramas, Polgonos de frecuencias, Grficos de sectores, Pictogramas, Cartogramas, Pirmides de poblacin

10. Qu son las medidas de centralizacin?

Resp. Nos dan un centro de la distribucin de frecuencias, es un valor que se puede tomar como representativo de todos los datos. Hay diferentes modos para definir el "centro" de las observaciones en un conjunto de datos.24CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLGICO Industrial y de Servicios No. 165

Sistema Abierto de Educacin Tecnolgica Industrial (SAETI)