Calculo Santillana

CÁ

LCU

LO CÁLCULO

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CÁLCULO

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C á l c u l o

Esenciales de... CálculoD.R.© 2008 Lápiz Tinta Editores, S.A. de C.V.Cda. de Seminario No. 53 México 01780, D.F.

Teoría y problemas de: Alma Nora Arana Hernández.

D.R.© de esta edición, Editorial Santillana, S.A. de C.V.Av. Universidad #767, 03100, México, D.F.ISBN: 978-970-29-2160-8Primera edición: abril 2008

Dirección Editorial: Clemente Merodio López.Editora en Jefe de Bachillerato: Laura Milena Valencia Escobar.Coordinación de Arte y Diseño: Francisco Ibarra Meza.Fotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco y Benito Sayago Luna.

La presentación y disposición en conjunto y de cada página del libro Esenciales de... Cálculo, son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm.802

Impreso en México.

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iii

C á l c u l oC a p í t u l o s

1 Progresiones aritméticas y geométricas 1Capítulo

2 Relaciones y funciones 19Capítulo

3 Continuidad y límites 41Capítulo

4 Integración 83Capítulo

5 Matrices y determinantes 105Capítulo

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C á l c u l o

1. Progresiones aritméticas y geométricas 1

1.1. Origen de las progresiones 1

1.2. Sucesiones 1

• Término general de una sucesión 1

1.3. Progresiones aritméticas 2

• Fórmula general de una progresión aritmética 3

1.4. Interpolación de medios aritméticos 4

1.5. Progresiones geométricas 8

• Término general 9

1.6. Interpolación de términos 10

1.7. Suma de términos de una progresión geométrica 10

1.8. Suma de varios términos consecutivos de una progresión

geométrica 13

1.9. Suma de una progresión geométrica ilimitada decreciente 13

1.10. Interés simple e interés compuesto 15

• Interés simple 15

• Interés compuesto 16

2. Relaciones y funciones 19

2.1. Relaciones 19

• Producto cartesiano

2.2. Función 22

• Criterio para determinar si un conjunto es función 22

2.3. Imagen 23

• Suprayectiva 23

• Inyectiva 24

• Biyectiva 24

• Función inversa 24

2.4. Notación 24

2.5. Operaciones con funciones 26

• Operaciones básicas 26

2.6. Composición de funciones 31

2.7. Tipos de funciones 33

• Algebraica 33

• No algebraica 33

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v

C á l c u l o

• Otras funciones especiales 33

2.8. Funciones crecientes y decrecientes 34

• Función lineal 35

• Función cuadrática 35

• Función cúbica 36

• Función recíproca 37

• Funciones trascendentes 38

• Funciones monótonas 39

3. Continuidad y límites 41

3.1. Funciones continuas y discontinuas 41

• Función continua 41

• Límite de una función 42

• Límite de una función continua 43

• Límite de una función discontinua 43

• Límites laterales 44

3.2. Cálculo de límites 44

• Propiedades sobre límites 44

• Otros aspectos sobre límites 48

• Límites que involucran factorización 48

• Límites que involucran racionalizaciones 49

• Límites que involucran un cambio de variable 50

• Cálculo de límites al infi nito 52

• Cálculo de límites trigonométricos 54

3.3. Tangente a una curva y razón de cambio 57

• Velocidad instantánea 57

• Razón instantánea de cambio 59

• Tangente a una curva 59

• Derivada de una función en un punto 59

• Cálculo de derivadas 61

• Tangente a una curva en un punto 65

• Propiedad 65

• Derivada de una función constante 66

• Derivada de las funciones trigonométricas 66

• Regla de la cadena para las funciones trigonométricas 67

3.4. Aplicaciones de la dericada 71

• Funciones crecientes y decrecientes 71

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vi

C á l c u l o

• Máximos y mínimos 75

• Puntos de infl exión 75

4. Integración 83

4.1. Función primitiva de una función 83

4.2. Propiedades de las primitivas de una función 83

• Primera propiedad 83

• Segunda propiedad 83

• Tercera propiedad 84

• Integral indefi nida de una función 84

4.3. Integrales inmediatas 85

4.4. Algunas estrategias de integración 86

• Propiedades integrales 89

• Segunda propiedad de las integrales 90

4.5. Integración por cambio de variable (o sustitución) 91

4.6. Integrales de la forma –a x dx2 2# 92

4.7. Integración 93

• Integración directa 93

• Integración por partes 94

4.8. Cálculo integral 96

4.9. Integral defi nida 100

4.10. Aplicaciones de la integral defi nida 101

4.11. Volúmenes de sólidos 102

4.12. Volúmenes de cuerpos de revolución 103

5. Matrices y determinantes 105

5.1. Matrices 105

5.2. Tipos de matrices 105

• Matrices cuadradas 105

• Matriz identidad 106

• Matriz nula 106

• Matriz inversa 106

• Matrices triangulares 107

• Matrices diagonales 107

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vii

C á l c u l o

• Traspuesta de una matriz 107

5.3. Operaciones con matrices 108

• Suma y resta de matrices 108

• Propiedades de la suma de las matrices 108

• Producto de interés 109

• Producto por un escalar 110

• Propiedades del producto de matrices 110

• División de matrices 110

• Obtención de la matriz inversa 111

5.4. Determinantes 114

• Concepto de determinante 114

• Orden de los determinantes 114

• Cálculo de determinantes 115

5.5. Menor complementario y adjunto 116

• Menor complementario de un elemento de un determinante 116

• Adjunto de un elemento de un determinante 117

Respuestas 119

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1. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS1

C a p í t u l o 1

Progresiones aritméticas y geométricas

1.1. Origen de las progresiones

El origen de las progresiones, al igual que el de otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era.

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se duplicaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.

En el libro IX de Los Elementos, de Euclides, aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en Lilavati, diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.

1.2. Sucesiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de números u objetos formado de acuerdo con una ley, donde cada elemento se denomina término. Se dice que una sucesión es fi nita si hay un primer y un último término, y se dice que es infi nita si no tiene un primer o último término.

Finita: 1, 8, 15, 22, 29, 36. Infi nita: 3, 7, 11, 15, 19.

Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a

1, a

2, a

3, a

4, ..., a

n, a

2n, a

n–1, a

n, donde los subíndices determinan el lugar que

cada término ocupa dentro de la sucesión y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números. Es también frecuente encontrar una sucesión simbolizada por {a

n}.

Término general de una sucesión

El término general de una sucesión es una fórmula que permite determinar el valor de un término dado si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma.

1

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2

C á l c u l o

1. , , , , ... 1

2. 4, , , , ...

. , , , , , ...

a nn

b nn

c n

21

23

43

54

24

316

425 1

3 21 1 8

9 1 3225

2

n

n

n n

2

2

= +

= +

=

]

]

g

g

De hecho, una sucesión es una función f cuyo dominio son los Naturales.

Los términos que arriba se exhiben, por decir, en el primer inciso, son las imágenes de 1, 2, 3, 4... etc. y el término enésimo a n

n1n = +] g

es la regla de correspondencia de la función f x n

n1= +

]]

gg, por lo que una sucesión se considera como el estudio del

comportamiento de las imágenes de ciertas funciones.

Dependiendo de este comportamiento, se estudian las sucesiones convergentes o divergentes, es decir, el número al que se acerca la sucesión, a medida que n crece.

Resuelve:

1.2.1. ¿Cuál es el término sexagésimo de la sucesión , , ,21

32

43

54 ,?

1.2.2. Escribe los seis primeros términos de la sucesión an = 3(2n–1).

1.2.3. Continúa las siguientes sucesiones:

a. , , , , , , .3 0 51 2 7 13- r

b. –1, 3, 7, 11, 15. c. 3, 6, 12, 24, 48.

1.3. Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fi jo llamado diferencia, que se representa con la letra d.

Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifi ca que:

an = a

n–1 +d

o lo que es lo mismo, la diferencia d resulta de restar el segundo término de la sucesión menos el primero y así sucesivamente, por lo que

d = an–1

+an



C a p í t u l o 1

a. 2, 4, 6, 8, 10, 12 la diferencia común es 2 b. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 la diferencia común es 5 c. 10, 20, 30, 40, 50 la diferencia común es 10 d. 50, 57, 64, 71 la diferencia común es 7

Resuelve:1.3.1. ¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, –1, –3, –5... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?

1.3.2. ¿Es , , , , , , ...1 23 2 2

5 3 29

una progresión aritmética?

Fórmula general de una progresión aritmética

La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más

que observar que:

3

2

a a d

a a d a d

a a d a d d a d

a a d a d d a d

d a d

2

3 4

2 1

3 2 1

4 3 1 1

5 4 1 1

1

= +

= + = +

= + = + + = +

= + = + + = +

+ = +]

]

]

g

g

g

Observa que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades:

– La primera es siempre a1.

– La segunda, el producto (n – 1) d.

1a a n dn 1 -= + ] g

Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir, cada término es mayor que el anterior.

Si la diferencia de una progresión aritmética es 0, la progresión es constante; es decir, tiene todos sus términos iguales.

Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente; es decir, cada término es menor que el anterior.

Los ejercicios de progresiones aritméticas consisten básicamente en hallar:

1. Un término conocido y la distancia. 2. Dos términos conocidos cualquiera. 3. Los primeros términos de la progresión. 4. Varios términos conocidos: el primero y el último (interpolación). 5. La suma de un número determinado de términos en las condiciones de los puntos anteriores.


4

C á l c u l o

Resuelve:

1.3.3. Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ¿cuál es su término general?

1.3.4. Calcula a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un sexto piso, sabiendo que los bajos del edifi cio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2.8 m.

1.4. Interpolación de medios aritméticos

Interpolar (de inter ‘entre’ y polos ‘ejes’) n números entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresión aritmética a, a

1, a

2,... , a

n, b.

Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que tiene la progresión, la cual se deduce si se considera que:

1. La sucesión tiene n + 2 términos. 2. El primer término es a y el último término a

n + 2 es b.

Aplicando la fórmula del término general de una progresión aritmética, se tiene el siguiente desarrollo:

1b a n d

d nb a

2

1

-

-

= + +

= +

] g6 @

Una vez conocido el valor de la diferencia, a1 se obtiene como la suma de a y d ; a

2

es la suma de a1 y d, y así sucesivamente.

Los números a1, a

2,... , a

n reciben el nombre de medios aritméticos.

Resuelve:

1.4.1. Interpolar cinco medios aritméticos entre –18 y 25.

Encontrar la suma de la progresión 50, 57, 64, 71,

S

S

S

S

50 57 64 71

71 64 57 50

2 121 121 121 121

24 121 242

= + + +

= + + +

= + + +

= =] g



C a p í t u l o 1

Generalizando este método tenemos:

Denotar por Sn a la suma a

1 + a

2 + ... + a

n.

Se tiene entonces:

Sn = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

n – 2 + a

n – 1 + a

n.

Invirtiendo el orden,

Sn = a

n + a

n – 1 + a

n – 2 + ... + a

3 + a

2 + a

1

y sumando,

2 Sn = (a

1 + a

2) + (a

2 + a

n – 1) + ... + (a

n – 1 + a

2) + (a

n + a

1).

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

a1 + a

n = a

2 + a

n – 1 = a

3 + a

n – 2 = ... = a

n + a

1

Por tanto, 2. Sn = n(a

1 + a

n), y despejando:

·S a a n2n n1= +] g

Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética, sino para sumar términos consecutivos; por ejemplo, a

5 + a

6 ... + a

t, es

necesario constatar que hay (83 – 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros).

La suma es:

·a a 279

5 63+] g

Es muy conocida la anécdota según la cual Carl Frederich Gauss (1777–1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, pues apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050.

Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a 2 + 99, igual a 3 + 98,... etc., es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar:

50·101 = 5 050


6

C á l c u l o

Un estudiante ahorra para comprar una motocicleta. La primera semana guarda $50.00, la segunda $ 60.00, la tercera $ 70.00, y así sucesivamente por 40 semanas. ¿Cuánto dinero tendrá al fi nal de ese tiempo?

a1 = 50; d = 10; n = 40; a

n = ?; S

40 = ?

Solución:

Se procede a calcular el valor del último término que corresponde al valor del dinero que ahorró en la semana número 40:

an = a

1 + ( n – 1 ) d

an = 50 + ( 40 – 1 ) 10 = 440

para calcular el total de lo que ahorró se tiene:

2S a a n

S 50 440 240 9800

1n n

40

= +

+ ==

]

]

g

g

La respuesta de lo que ahorró en 40 semanas es $ 9 800.00.

Sumar los veinte primeros términos de la progresión: –5, 4, 13, 22, 31, 40

Solución:

S a a d220 1 20= +] g

La diferencia es d = 9

20 1 ·9

19·9 166

116 ·

a

a

S

5

5

5 220 1610

20

20

20

- -

-

-

= +

= + =

= + =

]

]

g

g

Dada la progresión aritmética 8, 3, –2, –7, –12, sumar los términos comprendidos entre a

24 y a

36.

Solución:

La diferencia es d = –5 a

24 = 8 + 23.(–5) = –107

a36

= 8 + 35.(–5) = – 167



C a p í t u l o 1

Entre ambos hay 36 – 23 = 13 términos, n = 13. La suma pedida es:

S13 = [(–120) + (–116)]· 213

-= 1781

¿Cuántos términos de la progresión –11, –4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea 570?

Solución:

Se tiene que:

a1 = –11, d = 7, a

n = –11 + (n – 1) 7 = 7 n – 18 y S

n = 570.

Se ha de calcular n:11 7 8 ·n n570 1 2- -= +] g

1 140 = 7n² – 29n7n ² – 29n – 1 140 = 0

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

n 1429 841 31 920

1429 32 761

1429 181! ! != + = =

^ ^ ]h h g

Como n ha de ser entero y positivo, 776

- no puede ser la solución, luego n = 15.

Resuelve:

1.4.2. En cierta escuela se efectúa una rifa con el fi n de obtener fondos para un paseo; primero se hacen 100 boletos numerados del 00 al 99 y cada uno de ellos se mete en un sobre y se cierra. La persona que desee comprar un boleto escoge un sobre; el número impreso en el boleto corresponde a la cantidad de dinero que tendrá que pagar, en pesos. Por ejemplo, si al abrir el sobre el boleto marca el número 18, se tendrán que pagar $ 18.00 por él. ¿Cuánto dinero se obtendrá al vender todos los boletos?

a1 = 00; d = 1; a

n = 99; n = 100 S

99 = ?

1.4.3. En una fábrica hay un montón de tubos de acero acomodados en forma triangular, tal como se muestra en la siguiente fi gura. Si en la hilera inferior hay 57 tubos, ¿cuántos hay en total? O OO OOO OOOO OOOOO OOOOOO OOOOOOO

a1 = 1; d = 1; n = 57; a

n = 57; S

n = ?


8

C á l c u l o

1.4.4. Al fi nal de su primer mes de trabajo, Carlos ahorra $ 500.00. A partir de entonces guarda $ 150.00 más que el mes anterior. ¿Cuánto habrá ahorrado al término de un año?

a1 = $ 500.00; d = $150.00; n = 12; a

n = ?; S

n = ?

1.4.5. Si un alumno incrementa su lectura diaria en una página y el día de hoy lee 15 páginas, ¿cuántas páginas leerá en el día 30?

a1 = 15; d = 1; n = 30; a

n = ?

1.4.6. Halla el término 25 de la progresión cuyos primeros términos son: 6,5,4,3,...

1.4.7. Halla el término 15 de la progresión a5 = –12 y a

7 = –16.

1.4.8. Halla el término 21 de la progresión a4 = –11 y d= –4.

1.4.9. Halla la suma de los 24 primeros términos de la progresión a4 = 15 y a

7 = 24.

1.5. Progresiones geométricas

Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10n–1.

1, 10, 102, 103, 104, 105

Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. A esta sucesión se le conoce como una progresión geométrica.

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. La razón común es 23, 9, 27, 81, 243. La razón común es 3

¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12?

La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior:

r 36 2= =



C a p í t u l o 1

Término general

Según la defi nición anterior, en la progresión geométrica a1, a

2, a

3, a

4, a

5,..., a

n, se verifi ca

lo siguiente:

a a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

2 1

3 2 1 12

4 3 12

13

$

$ $ $ $

$ $ $ $

=

= = =

= = =

Generalizando este proceso se obtiene el término general:

a a rnn

11

$= -

Donde :a

n: último término de la progresión

a1: primer término de la progresión

n: número de términos de la progresiónr: razón

Resuelve: 1.5.1. Calcula el último término de una progresión geométrica que inicia con 3 y avanza con una razón de 5 si se sabe que son 8 términos:

1.5.2. Calcula el término general de la progresión 31 , 1, 3, 9.

1.5.3. ¿Cuál es el término general de la progresión –1, 2, –4, 8, –16?

1.5.4. ¿Cuál es el quinto término de una progresión en la que a1 = 2 y r = 3?

1.5.5. La población de cierta ciudad era de 3 000 000 habitantes en el año 1999. Si ésta aumenta cada año a un ritmo del 3.2%, determina:

a. El número de habitantes para el año 2005.

b. El número de habitantes para el año 2009.

1.5.6. La audiencia de un exitoso programa de televisión se ha incrementado 8% mensual. ¿Qué audiencia tendrá ahora si hace 7 meses tenía 10 000 000?

1.5.7. Una persona consigue un préstamo de $ 20 000.00 en un banco, y la tasa de interés que se le va a aplicar es del 3.8 % mensual. Calcula la cantidad total de dinero que va a pagar en 6 meses.


10

C á l c u l o

1.6. Interpolación de términos

Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que estén en progresión geométrica.

Tenemos que a1 = 3, a

6 = 96 y n = 6. Aplicando la expresión del término general de

una progresión geométrica, se tiene que:

; ; ;a a r r r r96 3 32 26 15 5 5

$ $= = = =

Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios geométricos o proporcionales.

En forma genérica, para resolver este tipo de problemas, basta con conocer la razón que ha de tener la progresión, la cual se deduce si se considera que:

1. La sucesión tiene n + 2 términos. 2. El primer término es a y el n + 2 es b.

Aplicando la fórmula del término general de una progresión geométrica tenemos:

b a rn 2 1$= + - , de donde

,r ab r a

bn n1 1= =+ +

Una vez conocido el valor de la razón, a1 se obtiene como el producto de r por a; a

2

es el producto de a1 por r , y así sucesivamente.

Resuelve:

1.6.1. Interpolar cuatro medios geométricos entre 128 y 4.

1.6.2. Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

1.7. Suma de los términos de una progresión geométrica

Para determinar la suma de esta progresión se genera la siguiente forma:

3 + 15 + 75 + 375 + 1 875 + 9 375 + 46 875 + 234 375 = 292 968



C a p í t u l o 1

O aplicando el siguiente modelo matemático:

11S r

a r

S 5 13 5 1

43 390 624

41171872 292 968

n

n

n

1

8

--

--

=

= = = =

]

] ]

g

g g

En algunos casos es conveniente utilizar la siguiente fórmula alternativa.

1S ra r a

nn 1$

--=

Resuelve:

1.7.1. Si colocas $ 1.00 en el primer cuadro de un tablero de ajedrez, $ 2.00 en el

segundo, $ 4.00 en el tercero, $ 8.00 en el cuarto y así sucesivamente, duplicando

cada vez la cantidad; a partir de este hecho, determina lo siguiente:

a. El número de pesos del cuadro 10 y la cantidad de pesos acumulada.

b. Calcula lo mismo, pero ahora en el cuadro número 17.

1.7.2. Suma los quince primeros términos de la progresión geométrica , ,23

29

227 .

1.7.3. Sabiendo que 3 es el primer término de una progresión geométrica y 1 875 el

quinto, calcula la suma de esos cinco términos.

1.7.4. Suma los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la

progresión geométrica 8, 4, 2, 1, 21 .

1.7.5. Consideremos la siguiente situación: 2 ciclistas se preparan para una

competencia Pablo comienza con 1 000 metros y todos los días agrega

1 000 metros más, en tanto que Emilio empieza con 200 metros y cada día lo

duplica. ¿Cuántos metros recorrerá cada uno el décimo día?

1.7.6. Dos personas acuerdan que uno dará al otro dos millones de pesos el primerdía

del mes; cuatro millones al día siguiente; seis el tercero, y así, sumando diarios

hasta completar el mes. Simultáneamente, el segundo dará al primero un peso

el primer día; dos pesos, el segundo; cuatro el tercero, y así sucesivamente,

duplicando la cantidad del día anterior, hasta cumplir el plazo asignado de

treinta días. ¿Quién obtendrá mayores benefi cios?


12

C á l c u l o

1.7.7. Piénsese en una hoja de mm201

de espesor; por lo tanto, veinte hojas bien

prensadas tendrán un grosor de 1 mm. Si se dobla el papel por la mitad y luego

se vuelve a doblar otra vez por la mitad, y se continúa este proceso hasta

repetirlo 50 veces, ¿qué grosor tendría el trozo de papel resultante?

1.7.8. En una progresión geométrica, el octavo término es 41 y el noveno 0.125. Si

esta progresión tiene 20 términos, calcula: a. el primero, b. el último y c. la

suma de los veinte.

1.7.9. El valor de un auto se deprecia 18 % cada año. Su precio original fue $ 19 000.

¿Cuánto valdrá al cabo de 9 años?

1.7.10. Una ciudad tiene 600 000 habitantes. La tasa de crecimiento de esa población

es 8 % anual. ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de tres años?

1.7.11. El valor de una mercancía se deprecia 4 % cada año. Su precio original fue de

$ 19 000. ¿Cuánto valdrá al cabo de 4 años?

1.7.12. La población de una ciudad aumenta en 35% cada 10 años. Si su población en

1940 era de 40 000 habitantes, ¿cuál será su población en el año 2000?

1.7.13. En una progreción aritmética el quinto término es 311 , el séptimo es 7. Si tiene

13 términos, calcula: a. el primero, b. el último y c. la suma de los trece.

1.7.14. Un joven ahorra cada mes $ 5 más que el mes anterior. En 5 años sus ahorros

sumarán $ 9 330. Determina:

a. Lo que ahorró el primer mes.

b. Lo que ahorró el último mes.

1.7.15. Un padre piensa colocar en un baúl $ 1 el día que su hijo cumpla un año e

ir duplicando la cantidad todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el

día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego?

1.7.16. Una máquina costó $ 9 000. Se calcula que al fi nal de cada año sufre una

depreciación igual al 15 % del valor que tiene al principio de ese año. ¿Cuál

será su valor al cabo de 5 años?

1.7.17. El número de bacterias de un cultivo está aumentando un 25 % cada hora. Si al principio había 300 000, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas?



C a p í t u l o 1

1.8. Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica

Se denotará por Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica,

como aquí se observa:

Sn = a

1 + a

2 + ... + a

n – 1 + a

n

Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón:

· ...

· · · ... · ·

·S r a a a a

S r a r a r a r a r

rn n n

n n n

1 2 1

1 2 1

= + + + +

= + + + +-

-

] g

y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el siguiente término:

· ... ·S r a a a a rn n n2 3= + + + +

Restando a esta igualdad la primera:

· ... ·

...

· ·

1 ·

S r a a a a r

S a a a a

S r S a a r

S r a r a

n n n

n n n

n n n

n n

2 3

1 2 1

1

1

-

- -

= + + + +

= + + + +

=- +

=

-

] g

Despejando Sn.

1·S r

a r an

n 1

--=

Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general a

n como

a1 r n – 1:

1 11S r

a r r ar

a rn

n n1

11 1$

--

--= =

- ] g

1.9. Suma de una progresión geométrica ilimitada decreciente

Una progresión geométrica es decreciente (cada término es menor que el anterior) cuando su razón está comprendida entre 0 y 1. La progresión 8, 4, 2, 1,

21 es una

progresión decreciente de razón 21 .


14

C á l c u l o

La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los términos de la progresión y no una parte de ellos. Obsérvese que en el caso de una progresión creciente (cada término mayor que el anterior), la suma de todos los términos de la misma será infi nito, independientemente del valor de los términos. No ocurre así para el caso de progresiones decrecientes.

Partiendo de la fórmula

11S a r

rn

1 --=

]

]g

g

donde r es un número comprendido entre 0 y 1 y n el número de términos de la progresión (infi nito), la potencia rn es una cantidad tan pequeña (tiende a 0) que se puede despreciar. Recuérdese que el resultado de una potencia cuya base está comprendida entre 0 y 1 va disminuyendo a medida que aumenta el exponente.

Se tiene entonces:

10 1

1a

S a r

S r

1

1

--

--

=

=

]

]

]

g

g

g

o bien

1S ra1

-=] g

¿Cómo se suman los términos de una progresión geométrica de razón –1 < r < 1?

Si r es un número mayor que –1 y menor que 1, rn se aproxima tanto más a cero cuanto más grande sea n; matemáticamente, se expresa diciendo que rn tiende a 0.

Obsérvese cómo, por ejemplo, 0.25

0.125

.

21

21

21

41

81

161 0 0625

2

3

4

= =

= =

= =

b

b

b

l

l

l

.21

1 048 5761 0 0000009

20

= =b l

Y de igual modo 21 0.25

21

81 0.125

21 0.0625

41

161

2

3

4

-

- - -

-

= =

= =

= =

b

b

b

l

l

l

.21

1 048 5761 0 0000009

20

= =b l



C a p í t u l o 1

Resuelve:

1.9.1. Calcula la suma de todos los términos de la progresión: 0.3; 0.15; 0.075.

1.9.2. Suma todos los términos de la progresión geométrica 7, 37, 9

7, , ...277

- -

1.9.3. En un triángulo equilátero de 6 metros de lado se unen los puntos medios de sus lados, lo que da como resultado otro triángulo inscrito en el primero. Este proceso se repite indefi nidamente. A partir de este dato, calcula la suma de las áreas de todos los triángulos formados.

1.9.4. Dado un círculo de radio r, se construye un segundo círculo cuyo diámetro es igual al radio del anterior, un tercero cuyo diámetro es igual al radio del segundo y así sucesivamente, ¿cuál será la suma de las áreas de todos los círculos así formados?

Entre las progresiones aritméticas y las geométricas se pueden apreciar notables diferencias. Estas últimas crecen más deprisa (si la razón es mayor que la unidad) que las progresiones aritméticas; o decrecen tan rápido que incluso es posible sumar una cantidad infi nita de números y obtener un resultado sorprendentemente pequeño, cuando la razón en valor absoluto es menor que la unidad.

1.10. Interés simple e interés compuesto

Una aplicación de las progresiones geométricas es el interés compuesto. Un ejemplo es cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo y el banco le paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple o compuesto.

¿En cuánto se convierte un capital de 1 600 000 al 10 % en dos años en interés simple y en interés compuesto?

Veamos cada caso por separado:

Interés simple

Como el interés que produce 1 pesos en 1 año es de 10/100 = 0.1, el interés total es:

1 600 000 ( 0.1 ) = 160 000.


16

C á l c u l o

Al fi nal del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1 600 000. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros 160 000.

a. En los dos años el interés producido es:

160 000 + 160 000 = 320 000.

Por tanto, el capital se convierte en los dos años en:

160 000 + 320 000 = 1 920 000.

b. Se puede obtener directamente el interés en los dos años:

i = 160 000 $ 0.1 $ 2 = 320 000.

En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces el interés simple es:

i C r t100$ $=

Si el tiempo viene dado en meses, la fórmula es:

i C r t C r t12 100 1 200$$ $ $ $= =

Si el tiempo viene expresado en días, la fórmula es:

C r t C r t360 100 36 000$

$ $ $ $=

Interés compuesto

En el primer año, la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simple o a interés compuesto: 160 000.

Al fi nal del primer año, los 160 000 ganados no se retiran, por lo que el capital, al empezar el segundo año, es de 1 760 000.

En el segundo año, el interés que 1 760 000 producen es:

1 760 000 $ 0.1 = 176 000.

a. En los dos años el interés producido es:

160 000 + 176 000 = 336 000.



C a p í t u l o 1

Por tanto, el capital de 1 600 000 se convierte en los dos años en:

1 600 000 + 336 000 = 1 936 000.

b. Se puede obtener directamente el capital fi nal al cabo de los dos años:

C = 1 600 000 (1 + 0.1)2 = 1 936 000.

En general, el capital fi nal (Ct) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto

por ciento anual r es:

C C r1 100t

t

= +b l .


CÁ

LCU

LO CÁLCULO

Esenciales Calculo cover.indd 1Esenciales Calculo cover.indd 1 4/1/08 1:47:20 PM4/1/08 1:47:20 PM

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