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7/26/2019 Tif Modificado

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AO DE LA INVERSIN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LASEGURIDAD CUIDADANA

UNIVERSIDAD NACIONALPEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE INGENIERA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURAESCUELA PROFESIONAL DE ARQUITECTURA

TRABAJO DE INVESTIGACIN FINAL

CURSO:

MATEMATICAS APLICADAS

PROFESOR:

SIFUENTES JUSTINIANO NELSON

ESTUDIANTES:

SANTAMARIA SANDOVAL JUAN CARLOS (136019 F) ALARCON LEON JHONATAN JOSE (139035 H)

CICLO:

2013-I


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UNIVERCIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

INDICE

[Escriba texto] Pgina 2

Remodelacin

De un Parque

Con el manejo de

Windplot,Geogebra y

Sketchup


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PORTADA........................................................................................1TITULO.............................................................................................2INDICE..............................................................................................3INTRODUCCION............................................................................4

MEDIOS Y MATERIALES..............................................................5OBJETIVOS.......................................................................................6ZONA DE ESTUDIO.......................................................................7-8FUNDAMENTOS TEORICOS.......................................................9



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Introduccin

La presente investigacin trata sobre la remodelacin de un parque, utilizando medios

bsicos de la geometra analtica y la ayuda de software especializados con ideas

referenciales a un estilo propio y acogedor para nosotros y los habitantes de dicho lugar

con el fin de obtener un modelo innovador y creativo demostrando as los conceptos y

fundamentos tericos aprendidos en el transcurso del curso.



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Medios

sketchup: Programa de diseo grafico ymodulado en 3D.

Windplot:representacion de graficas, ecuacionesinplicitas e explicitas en 2D y 3D.

AutoCad:programa de diseo en 2D y 3D

Hoogle Heart:permite visualizaciones cartograficas

prosedente de fotografia satelital


Medios y materiales:

Esto es posible de lograr utilizando materiales adecuados para su elaboracin, en este caso

tomamos como materiales principales diversos software los cuales nos facilitan el diseo yla elaboracin del proyecto:



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Objetivo general:

Innovar un diseo nico y diferente a partir de conocimientos previos y el uso de

tecnologa a nuestro alcance.

Objetivos especficos: Analizar los fundamentos y conceptos matemticos que se estn dando en dicho

reconstruccin del modelo arquitectnico.

Establecer la recopilacin adjunta de teoras bsicas e ideas de diseo libre y

autentico que conllevaran a un arquetipo absoluto y notable.

Identificar las formas geomtricas aplicadas en dichas construcciones que nos

servirn de base para la arquitectura actual y nuestro diseo futuro.



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ZONA DE ESTUDIO:

642'22.48" S 7954'42.13" O



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Parque de la Republicana

Accesibilidad:

Avenida principal

Avenida Secundaria

Geometra del terreno:

Ancho : 30 Metros

Largo: 30 Metros

rea: 90 m2



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4 3 2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

3

4

-


FUNDAMENTOS TEORICOS:

El punto:

Es uno de las entidades fundamentales, que en la geometra se denominan como Par de

coordenadas (x , y ) en ese orden; donde la abscisa es x y la ordenada es y . A

menudo se hace referencia a las coordenadas mismas como a un punto.

Localizacin de puntos en el plano:En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relacin que establece que a cada par de

nmeros reales (x , y ) le corresponde un punto definido del plana, y a cada punto del plano le

corresponde un par nico de coordenadas (x , y ) . En el proceso de graficar hay que tomar en

cuenta los signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes; para ello se empleael papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localizacin y el marcadode puntos en el plano.

Ejemplo N 01:

Ubicar los puntos (-3,4); (-3,-2) y (2,2)



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Distancia entre dos puntos:

La distancia entre dos puntos del plano, es el segmento que une dichos puntos y est dado por lahipotenusa de un tringulo rectngulo, tal como se denota en la siguiente figura:

Considerando dos puntos arbitrariosP

1 (x1 , y1 ) , y P2 (x2, y2 ) que no se encuentran en la

misma recta vertical u horizontal, determinan un tringulo rectngulo, cuyos catetos tienen

longitudes |x2x1| y |y2y1| . Por el teorema de Pitgoras, tenemos que:

d (P1 , P2)=(x2x1 )2+(y2y1 )

2



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Ejemplo N2:

El segmento:

Es una parte de la recta que est delimitado por dos puntos extremos

Ejemplo N03:

Hallar el segmento (-4,3) y (4,-1)

Divisin de un segmento en una razn dada:



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Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son

P1 (x1 , y1 ) y

P2 (x2, y2 ) en la raznr

P1PP P

2 .

Por los puntosP

1,P

2y P

se trazan perpendiculares a los ejes coordenados; como las rectas

paralelas P1Q1 ,PQ y P2 Q2 interceptan segmentos proporcionales sobre las dos transversales

P1P

2 yQ

1Q

2 se establece queP

1P

P P2=

Q1

Q

Q Q2 .

Las coordenadas de los puntos trazados sobre el ejex son: Q1 (x1 , 0 ); Q (x ,0 ) y Q2(x2,0 ) y

sobre el eje y son:R1 (0,y1 ) ; R (0,y ) y R2(0, y 2 ) .

La distancia dirigida de cada segmento Q1Q=xx1y QQ2=x2x , se sustituye en la ecuacin

de la razn, y resulta:

r=P1PP P

2

=Q1QQQ2

=xx1x

2x

. Al despejar para x tenemos :

xx1=r (x2x )



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xx1=r x

2rx

x+rx=x1+r x2

x (1+r )=x1+r x 2

x=x

1+r x

2

1+r , r 1

Las rectas paralelasP

1R

1, PR y P

2R

2 interceptan segmentos proporcionales sobre los lados

transversales P1P2y R1R2 ; por lo anterior r=

P1P

P P2=

R1R

R R2 .

La distancia dirigida de cada segmentoR1R=yy1y R R2=y2y , se sustituye en la ecuacin

de la razn, y resulta:

r=P1PP P

2

=R1RR R

2

=yy1y

2y

Al despejar para y, tenemos:

yy1=r (y2y )

yy1=r y

2ry

y+ry=y1+r y

2



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y (1+ r )=y1+r y2

y=y

1+r y

2

1+r , r 1

Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos son

P1 (x1 , y1 )y P2(x2 , y2) en la razn dada r=

P1P

P P2 son:

x=x

1+r x

2

1+r y=

y1+r y

2

1+r

Siendor 1

Ejemplo N04:

Punto medio de un segmento:



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Si P (x , y )

es el punto medio del segmentoP

1

P2 , la razn es igual a la unidad, es decir:

Si r=P

1P

P P2 y comoP

1P=P P

2 , resultar=P

1P

P P2=1 .

Al sustituir r=1 en las siguientes ecuaciones, tenemos:

x=x1+r x 21+r

=x1+(1)x2

1+1=

x1+x22

y=y1+r y21+r

=y1+(1)y2

1+1=

y1+y22

Ejemplo N05:



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La Recta:

Es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una

relacin de primer grado.

Ejemplo N06:

Pendiente de una recta:



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Usualmente se denota con letra m a la pendiente. Para encontrar la pendiente de una recta no

vertical tomamos dos puntos A (xa , ya ) y B (xb , yb ) de la recta y calculamos el cociente:

m=y byaxbxa

Si la pendiente es positiva(m>0)la recta se inclina hacia la derecha y si la pendiente es negativa(m


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Las rectas que se inclinan hacia la derecha o izquierda son llamadas rectas oblicuas. Una recta que

no es oblicua puede tomar dos posiciones posibles: horizontal o vertical. Una recta horizontal es

paralela al eje de abscisas, su inclinacin es nula y por tanto decimos que su pendiente es igual a

cero. Una recta vertical es paralela al eje de ordenadas, su inclinacin es infinita y por tanto su

pendiente es indefinida. Solo hablamos de pendiente en los casos de rectas no verticales.

Ejemplo N07:



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Formas de la ecuacin de la recta:

La ecuacin de una lnea recta queda perfectamente determinada cuando se proporcionan dos

datos completamente independientes. Dependiendo de los datos que se proporcionen, la ecuacin

de una recta se puede expresar de las siguientes formas:

Ecuacin Punto-Pendiente:

Ahora deduciremos la ecuacin de la recta que pasa por un punto dadoP

1 (x1 , y 1 ) y cuya

pendiente seam.Si representamos un punto cualquiera sobre la recta por P (x , y ) , entonces:

m=yy1xx1

yy1=m (xx1 )

Ejemplo N 08:

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P1 (4,3) con m=23



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y(3 )=23

(x4 )

y+3=23

(x4 )

3y+9=2x+8

3y+2x+98=0

3y+2x+1=0

Ecuacin Pendiente- Ordenada al origen:

Para deducir la ecuacin pendiente-ordenada al origen, supongamos que la recta corta al ejeYen el

punto P1 (0,b ) la pendientemsera de esta forma:

yy1=m (xx1 )

yb=m (x0 )

y=mx+b



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Ejemplo N9:

Hallar la pendiente y la interseccin con el ejeYde la recta cuya ecuacin es 3x4 y+12=0

4y=123x

y=3

4x+3

m=3

4, b=3

Ecuacin Punto-Punto:

Deduciremos la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dadosP

1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y 2 ) .

Si representamos a un punto cualquiera sobre la recta porP (x , y ) , entonces:

y2y1

x2x

1

m=yy

1

xx1=



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y2y1

x2x

1

(xx1 )

yy1=

Ejemplo N10:

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(2,1 )y B (4, 3) .

y1=314+2

(x+2 )

y1=1

3

(x+2 )



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x3y+5=0

Ecuacin simtrica o abscisa y ordenada en el origen:

Deduciremos la ecuacin de la recta que corta a los ejes coordenadosxeyen los puntos(a , 0 ) y (0, b ) respectivamente, siendo a la abscisa al origen y b la ordenada al origen,

obtenemos lo siguiente:

y2y1

x2x

1

(xx1 )

yy1=

yb=0ba0 (x0 )

yb=bx

a

ayab=bx

Dividiendo entre ab ambos lados:

x

a+

y

b=1

Ejemplo N11:

Expresar la ecuacin 2x+3y6=0 en su forma simtrica.



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Dividimos ambos lados de la ecuacin entre 6:

2x

6+3y

6=

6

6

x

3+

y

2=1

a=3,b=2

Los puntos seran:

A(3,0 )y B (0, 2 )

Ecuacin general:



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La forma ms general de la ecuacin de primer grado en las variables x y y es:

Ax+By+C=0

Donde A , B y C son constantes arbitrarias, incluyendo al cero, con la condicin de que A y B

no pueden ser iguales a cero simultneamente.

Toda ecuacin de primer grado en las variables x y y es la ecuacin de una recta (e

inversamente).

Dada la ecuacin generalAx+By+C=0 , podemos hacer las siguientes observaciones:

a) SiC=0 , la recta pasa por el origen.

b) SiB=0 , la recta es vertical y su interseccin con el eje X es a=CA ; si

B 0 , la recta

tiene pendientem=A

B y la interseccin con el ejeY es

b=C

B .

c) SiA=0 , la recta es horizontal.

Ejemplo N12:

Describir las siguientes rectas:

a)3x + 2y = 0



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Dado que C=0 , la recta pasa por el origen y como B 0 , entoncesm=32 .

b)3x - 9 = 0

Dado que B=0 , la recta es vertical y corta al eje X en x=3.

c)2y = 4



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Dado que A=0 , la recta es horizontal y corta al eje Y en y=2 .

d)3x + 2y - 6 = 0



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Dado que A , B y C son distintas de cero, la recta tiene pendiente m=3

2 y la interseccin

con los ejes

X

y

Y

respectivamente son:

a=C

A

=2

y

b=C

B

=3

.

La Circunferencia:

Es el lugar geomtrico de todos los puntos P (x , y ) del plano que se encuentran a una misma

distancia r de un punto fijo dado C(h , k) llamado centro de la circunferencia.

Las coordenadas del centro se designan por C(h , k) y corresponden a un punto cualquiera del

plano.



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La distancia de C(h , k) al punto P (x , y ) es:

d (C , P )=(xh )2

+ (yk)2

=r

Ecuacin Ordinaria:

Sabemos que la distancia de un punto cualquiera P (x , y ) de una circunferencia, a su centro

C(h , k) es r , lo que se expresa as:

d (C , P )=(xh )2+ (yk)2=r

Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene:

(xh )2+(y k)2=r2

Ejemplo N 13:



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Ecuacin con centro en el origen:

Si el centro de la circunferencia est en el origen del sistema cartesiano sus coordenadas son:

h=0 , k=0

Por lo tanto la ecuacin ordinaria:

(x0 )2+(y0 )2=r2

Se reduce a:



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x2+y2=r2

Llamadaecuacin cannicade la circunferencia.

Ejemplo N 14

Ejemplo N 15

Ecuacin General de la Circunferencia:



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Consideramos la ecuacin ordinaria de la circunferencia: (xh )2+(y k)2=r2.

Desarrollemos los cuadrados de los binomios:

x22hx+h2+y22ky+k2=r2

Ordenando la ecuacin obtenida, resulta:

x2+y22hk2ky+h2+k2r2=0

Si designamos: 2h= ,2k=! , h2+k2r 2="

Obtenemos la expresin que corresponde a la ecuacin general de la circunferencia:

x2+y2+x+!y+"=0

Ejemplo N 16



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La Parbola:

Es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo y una recta fija.

El punto fijo se llama elfocoy la recta fija se llama ladirectriz.

d (P , #o$o)=d (P , dire$tri% )=$onstante

Ecuacin de la parbola con vrtice en el origen:

Para lo siguiente supongamos que el eje focal de la parbola coincide con el ejex y que el

vrtice se encuentra en el origen del sistema.

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas del foco son "(p , 0 ) y la directriz tiene como

ecuacin ax=p

.

SiP (x , y ) es punto de la parbola se concluye que

d (P , ")=d (P , )

{xp )2

+(y0 )2=x+p

(xp )2

+y2

=(x+p )2



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x22px+p2+y2=x2+2px+p2

Reduciendo, resulta laecuacin cannica:

y2=4px

Sip > 0, el foco est en la pare positiva del eje x, entones su concavidad se orienta a la derecha.

p


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Las coordenadas del foco son "(0 , P ) y la

ecuacin de la directriz esy=p

Suecuacin cannicaes ahora:

x2=4py

Si p>0 , se orienta a la parte del eje y ,

entonces su concavidad se orienta hacia arriba.

p


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Ejemplo N 18:

Longitud del lado recto:

Se denomina as a la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parbola.



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Si la ecuacin de la parbola es y2=4px

Como A(p , y ) pertenece a esta curva, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuacin, es

decir:

y2=4p . p=4p2

De donde y=2p .

Entonces la medida del lado recto es:

&. R=(pp )2

+(y +y )2=(2y )2=4p

Ejemplo N19:

p=2,&. R=|4 (2 )|=8



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Ecuacin Ordinaria:

Si consideramos una parbola con vrtice'(0, 0 )

y eje focal igual al ejex, su ecuacin

cannica es:

y2=4px

Si le aplicamos una traslacin((h , k) al vrtice '(0,0 ) , obtenemos la ecuacin ordinaria de

la parbola con vrticeh ,k

'( :

(y k)2=4p (xh )

Ejemplo N 20:

Ejemplo N21:



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Ecuacin General:

Desarrollando los cuadrados de binomio y ordenando la ecuacin ordinaria se obtiene:

(y k)2=4p (xh )

y22ky+k2=4px4ph

y2+ (4p )x+(2 k)y+ (k2+4ph )=0

Si designamos: 4p= ;2k=! ; k2+4ph="

Se obtiene la ecuacin general de la parbola:

y2+x+!y+"=0



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Ahora:

Si el eje focal o eje de simetra es paralelo al ejey

, la ecuacinordinaria es de la forma

(xh )2=4p (yk)

O su equivalente, la ecuacin general:

x2+x+!y+"=0

Ejemplo N22:

Ejemplo N 23:



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La Elipse:

Es un lugar geomtrico de todos los puntos P (x , y ) cuya ubicacin en el plano es tal, que la

suma de sus distancias a dos puntos fijos de l es constante.

Estos dos puntos fijos del plano, se llaman focos y se designan por"

1 y"

2 .

d (P , "1 )+d (P , "2 )=$onstante



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Valor de la constante:

Supongamos que el eje focal de la elipse coincide con

el eje x , y que el centro se encuentra en el origen de

coordenadas.

De acuerdo a lo anterior, las coordenadas de los focos

son "1($ ,0 ) y "2($ ,0 ) .

Si P (x , y ) es un punto de la elipse, se cumple que:

d (P , "1 )+d (P , "2 )=$onstante

Determinemos ahora el valor de la constante. Si consideramos al puntoP ubicado en el vrtice

'2 , la suma de sus distancias a los focos es constante.

d (P , "1 )+d (P , "2 )=(a$ )+( a+$ )=2a=$onstante

Relacin entre a , b y $ :



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Para hallar una relacin entre

a , b y $ , ubicamos el punto P (x , y ) en la interseccin de la elipse con la recta secundaria eje

y .

En este caso:

d (P , "1 )=d (P , "2 )=a

En el trianguloP "

0"

1 : $


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Si$se acerca al valor de

a, entonces

ese acerca a uno.Los puntos

B1 y

B2 se acercan hacia el centro y la elipse seachata.

Ecuacin de la elipse con centro en el origen:

Para encontrar la ecuacin analtica de la elipse, expresamos las distancias entreP (x , y ),los

focos

"1($ ,0 )y "2($ , 0 )

en funcin de sus coordenadas.

d (P , "1 )+d (P , "2 )=2a

(x$ )2

+(y0)2+(x+$ )2

+ (y0 )2=2a

Aislamos una de las races y luego elevamos al cuadrado:

(x$ )2+y2=2a(x+$ )

2+y2

((x$ )2+y2)2

=(2a(x+ $ )2+y2)2

(x$ )2+y2=4 a24a(x+ $ )2

+y2+(x+$ )2+y2

4 a(x+$ )2

+y2=4 a2+4 $x



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Elevando cuadrado:

(a(x+$ )2+y2)2

=( a2+$x )2

a2x2+a2y2$2x2=a4a2$2

Factorizando:

(a2$2 )x2+a2 y2=a2 (a2x2) , pero a2$2=b2

b2x

2+a2y2=a2 b2

Dividiendo por a2

b

2

:

b2x

2

a2 b2+

a2y

2

a2 b2 =

a2

b2

a2 b2

x

2

a2+

y2

b2=1 Luego:

La ecuacin cannica de la elipse cuando el eje focal coincide con el ejex, es:

x2

a2+

y2

b2=1 ; a>b>0

Anlogamente, si el eje focal de la elipse coincide con el eje y , entonces sus focos

"1($ , 0 ) y "2 ( $ , 0 ) y su ecuacin cannica es:

x2

b2+

y2

a2=1 ; a>b>0

Observacin:

Dada la ecuacin cannica de la elipsex

2

+y

2

=1 si el denominador dex

2

es mayor que el

denominador de y2

, entonces el eje focal es el eje x .

En caso contrario el eje focal ser el eje y .

Longitud del lado recto:



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En la elipse de la figura, las coordenadas de los extremos del lado recto son C1($ , y ) y

C2($ ,y ) comoC1($ , y ) pertenece a esta curva, entonces

sus coordenadas satisfacen la ecuacin de la elipse.

Ecuacin Ordinaria y General de la Elipse:

Consideramos la ecuacin de la elipse en el centro del origen:

Si al punto centro le aplicamos una traslacin ((h , k) sus nuevas coordenadas son (h , k) y el

eje focal de la elipse se sigue manteniendo paralelo al eje x .

La ecuacin ordinaria de la elipse con centro "0(h , k) y eje focal paralelo al eje x es:

Desarrollando los cuadrados de los binomios, ordenando la ecuacin e igualando a cero,encontramos la ecuacin equivalente, llamada ecuacin general de la elipse.



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Ahora si el eje focal es paralelo al eje y , la ecuacin

ordinaria es de la forma:

Ejemplo N 24:

C(0,3 ) ; '1 (8, 3 ); '2(8,3 ); "1(4, 3 ) ; "2 (4,3 ) ; B1(0, 10 ); B2(0,4 )

a=8 ; b=7 ; $=4

'1'2=2 (a )=2 (8 )=16



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"1"2=2 ($ )=2 (4 )=8

B1 B2=2 (b )=2 (7 )=14

d (P , "1 )+d (P , "2 )=2 ( a )=2 (8 )=16

e=$

a=

4

8=

1

2=0.5

&. R=2b

2

a =

2 (7 )2

16=

49

8

(xh )a2

2

+(yk)

b2

2

=(x0 )8

2

2

+(y3 )72

2

=1

(x0 )82

2

+(y3 )72

2

=x

2

64+

y26y+9

49=1=49x2+64y 2384y+576=3136

49x2+64y2384y2560=0

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