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. 510.7 Grupo Fnix de Costa Rica

. G892m Matemtica 9: Un enfoque con base en la resolucin deIX problemas / Grupo Fnix de Costa Rica. -- 1a ed. -- Alajuela,

Costa Rica: Grupo Fnix de Costa Rica, 2014156 p. : il. ; 27 cm.

ISBN 978-9930-9496-2-7

1. MATEMTICA - ENSEANZA - ENSEANZA MEDIA.2. MATEMTICAS -LIBROS DE TEXTO. I. Ttulo.

Copyright 2014Grupo Fnix

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.

Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678www.grupofenixcr.com

Diseo y armadoGrupo Fnix

Diseo de portadaGrupo Fnix

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* Aplican restricciones, ver condiciones en www.grupofenixcr.com

INTRODUCCINPrimero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),

se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepcionesreligiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba deun ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Esdecir, el GRUPO FNIX representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, espor esta razn que es nuestro emblema.

Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza yaprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos,Habilidades Especficas e Indicaciones Puntuales, expuesta y vigentes en el Programa de Estudio deMatemticas (Transicin 2014), con base en los Programas de Estudio de Matemtica aprobados por elConsejo Superior de Educacin el 21 de mayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoquecon base en la resolucin de problemas, propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.

Despus de muchos aos de trabajo en las aulas y en oficinas tcnicas del MEP, as como la bastaexperiencia en la elaboracin de libros de texto y material didctico, un grupo de profesionales en la Enseanzade la Matemtica nos propusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin deproblemas que propicie el desarrollo de competencias matemticas en el estudiante.

Un problema que consideramos sustantivo en el desarrollo del Programa de Estudio, consiste en quealgunos docentes guiados por otros textos, desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todossus elementos que lo conforman, llmese estos, Conocimientos, Habilidades Especficas e IndicacionesPuntuales, provocando que se trabaje en el aula contenidos que no estn en las directrices curriculares delMEP, o en su defecto, alcanzando niveles de profundizacin de temas que no se consideran importantes paralas habilidades generales previstas para el educando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo,que hemos insertado textualmente dichos elementos y ms (en algunos casos planteamos incluso los mismosproblemas que citan en las Indicaciones Puntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor,por el contrario, respetamos y citamos que tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio deMatemticas del Ministerio de Educacin de Costa Rica), de modo que sean el verdadero referente para lasactividades de mediacin que el docente proponga.

Tercero, para esta nueva edicin 2014 se ha contemplado que el mayor nmero de habilidades adesarrollar tengan un problema al inicio, permitiendo al docente y al estudiante incursionar en la nueva temticapartiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando aprehender del estudiante los conocimientos previos yfomentar para la vida el principio filosfico que consideramos eje transversal de la educacin en general losproblemas son para resolverlos. El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora,los ejemplos y los trabajos cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo mscomplejo.

Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el GRUPO FNIX con un grupo focal dedocentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero lasrespuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidaddel docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que enmuchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitalesantes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros librosofrecemos a cada docente la posibilidad de descargar* las respuestas en nuestra pgina webwww.grupofenixcr.com para que las utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos unaserie de materiales de apoyo para el docente de matemtica trabajos extra clase, ejercicios deprofundizacin, planeamientos y pruebas escritas entre otros, que busca simplificar al menos un pocotanto trabajo que tiene sobre sus hombros cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestrosjvenes estudiantes que participan en sus lecciones.

El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)

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RECONOCIMIENTOSAda FigueroaProfesora de MatemticaLiceo Monseor Rubn Odio

Alexander FuentesProfesor de MatemticasLiceo Monseor Rubn Odio

Allan Correa MataProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio SalazarTurrialba

Ana Lucia Araya UmaaProfesora de MatemticaC.T.P Dos Cerca

Alina Palacios ArauzProfesora de MatemticasLiceo Acadmico Diurno deCiudad Neily

lvaro Ortega lvarezProfesor de MatemticaUnida Pedaggica Jos FidelTristn

Allan MairenaProfesor de MatemticaLiceo San Jos

Andrea Madrigal GonzlezProfesora de MatemticaCTP Bolvar

Adrin Umaa DuranProfesor de MatemticaLiceo Escaz

Alejandra Araya QuirsProfesora de MatemticasColegio Marco Tulio Salazar:Liendo y Goicochea

Adriana Marn MoraProfesora de MatemticaIEGB Amrica Central

Andrea AriasProfesora de MatemticaColegio Vocacional de Heredia

Alex MoraProfesor de MatemticaC.T.P de Parrita

Ana Cristina Herrera VProfesora de MatemticaIEGB Andrs Bello Lpez

Adriana Vquez MirandaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares

Adriana Vargas ArguedasProfesora de MatemticaLiceo Samuel Senz

Agustn Mora PicadoProfesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur

Ana Isabel Noguera EProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Alonso Caldern CorderoProfesor de MatemticasCTP Siquirres

Andrs Cubillo BarrantesProfesor de MatemticaColegio Teresiano San Enrique

Agustn Monge PiedraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas

Andrs GarcaProfesor de MatemticasLiceo de Tarraz

Anita Vindas ChvezProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Ana Grace Carranza AProfesora de MatemticaLiceo Rural de Cabeceras

Aida Segura ArroyoProfesora de MatemticasLiceo Gregorio Jos Ramrez

Ana Margarita Angulo CProfesora de MatemticaCTP 27 de Abril

Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaCTP Bolvar

Arelis Arias VarelaProfesora de MatemticaIPEC de Puntarenas

Bartolom Palma BarrantesProfesor de MatemticaLiceo Nuevo de Limn

Bernal LunaProfesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa

Bernard Carvajal SnchezProfesor de MatemticaColegio Acadmico de Gucimo

Bianca Chacn HernndezProfesora de MatemticaLiceo Diurno de Limn

Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral

Crissel Cspedes BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rural Santiago de SanPedro

Carmen Saira Cubero VProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Csar Rodrguez LealProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro

Carlos Arce MurilloProfesor de MatemticasLiceo San Miguel deDesamparado

Cindy Obando GProfesora de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio

Carlos Jos SantamaraRamrezProfesor de MatemticaColegio de Florencia

Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela

Carlos Cordero CorderoProfesor de MatemticaCTP Mansin de Nicoya

Cristian Sancho CambroneroProfesora de MatemticaColegio Dr. Moreno Caas

Carlos Medina ObregnProfesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur

Carolina FloresProfesora de MatemticaColegio Saint Benedict

Carlos GaliciaProfesor de MatemticaCentro Educativo Adventista dePaso Canoas

Cristiana Caldern MProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Carlos Quesada GamboaProfesor de MatemticaCTP Osa

Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure

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Carlos Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral

Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental BilingeLos ngeles

Carlos Venegas SotoProfesor de MatemticaLiceo Ro Fro

Cristina Caldern MejasProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez

Carlos Corrales ChavarraProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa

Carlos Gonzlez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes

Carlos Villalobos SolsProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias

Carlos Chavarra VillalobosProfesor de MatemticaCTP Guatuso

Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito

Cesar Morales GranadosProfesor de MatemticaLiceo Jos M Gutirrez

Carmen Julia Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Jos

Danny ColumnaProfesor de MatemticaLiceo Len Corts Castro

Damaris Castillo BustosProfesora de MatemticaLiceo Duacary

Daniel Arguedas AlfaroProfesor de MatemticaTelesecundaria Boca del Ro

David Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte

Danny MongeProfesor de MatemticaLiceo de Coronado

Daniel Cruz CamposProfesor de MatemticaLiceo de San Jos

Danny Ruiz OrozcoProfesor de MatemticaLiceo Rural la Aldea

David Daniel Conejo AriasProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico Sur

Diego Navarro TrejosProfesor de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deAgua Buena

Daniel Alczar RamrezProfesor de MatemticaLiceo Capitn Manuel Quirs

Dariana Rodrguez IglesiaProfesora de MatemticaColegio Indgena Chiroles

Denia Salas NezProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos

Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaIEGB Limn

Diana Herrera AlfaroProfesora de MatemticaColegio el Carme

Diego GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro

Dayana Gonzlez ChavesProfesora de MatemticaLiceo San Jos

Doris Bonilla UlateProfesora de MatemticaMarco Tulio Salazar:Puntarenas

Diego Araya AlpizarProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena

Dennis Vallejos BarrantesProfesor de MatemticaColegio de Bagaces

Deborah Pierce CuberoProfesora de MatemticaColegio Bilinge Ecolgico SanMartin

Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz

Erika Daz LealProfesora de MatemticaSindea de Abangares

Eilyn Snchez FernndezProfesora de MatemticaCTP Gucimo

Eithel HerreraProfesor de MatemticaColegio el Carmen

Eithel Vega RodrguezProfesora de MatemticaColegio Redentorista SanAlfonso

Edwin Jimnez SalinasProfesor de MatemticaSEC Hojancha

Elin Vargas AriasProfesora de MatemticasColegio Concepcin de Pilas

Elizabeth Chavarra CProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia

Enrique Montero MoreiraProfesor de MatemticaColegio Finca de Naranjo

Emmanuel Alvarado RProfesor de MatemticaTelesecundaria Baha Drake

Erick PaguagaProfesor de MatemticaCTP Puerto Viejo

Esteban Arguedas VargasProfesor de MatemticaC.T.P Granadilla

Evelyn Valverde ChacnProfesora de MatemticaLiceo de Puente Piedra

Esteban Blanco UrbinaProfesor de MatemticaCTP Osa

Eugenio RamrezProfesor de MatemticasLiceo El Roble

Fabin Villanueva SalasProfesor de MatemticaColegio Puente Piedra

Floribeth Jimnez HidalgoProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur

Fernando Chica RomeroProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias

Francisco CanessaProfesor de MatemticaLiceo Antonio Obando Chan

Fainier Jimnez MenaProfesor de MatemticaLiceo Julin Volio de Orente

Fabiana Ortiz AstorgaProfesora de MatemticaCTP Dulce Nombre de Cartago

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Flora FernndezProfesora de MatemticaColegio Internacional Canadiense

Gina Iveth Ramrez CerdasProfesora de MatemticaLiceo Rural de San Julin

Gabriela Mena RojasProfesora de MatemticaLiceo de Tarraz

Guiselle EspinozaProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia

Gloria Badilla FonsecaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote

Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo Regional de Flores

Gloriela HidalgoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Gabriel Martnez BorbnProfesor de MatemticaLiceo Platanillo de Bar

Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrucares

Gabriela VargasProfesora de MatemticaCentro Educativo NuevoMilenium

Greivin Lpez GmezProfesor de MatemticaSINDEA de Hojancha

Grettel ArrietaProfesora de MatemticaSindea de Coopel

Guiselle OtrolaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares

Greivin Eduardo CorderoCorderoProfesor de MatemticaLiceo Rural Maz de los UVA

Gladys Masis BonillaProfesora de Matemtica

Guadalupe KoreaLakeside Internacional School

Greddy Gonzlez HenrquezProfesor de MatemticaJohn F Kennedy High School

Gaudy GonzlezProfesora de MatemticaLiceo de Heredia

Guiselle Pereira RiveraProfesora de MatemticaColegio Daniel Oduber Quirs

Herbert Ugalde LoboProfesor de MatemticaCTP Upala

Henry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines

Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo Catlico

Henry Rodrguez DelgadoProfesor de MatemticaC.T.P Mercedes Norte

Haidi CorralesProfesora de MatemticasInstituto CentroamericanoAdventista

Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno

Imelda Senz PinedaProfesor de MatemticaSindea 28 Millas

Isabel VsquezProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia

Idannia Chaves JimnezProfesora de MatemticaSINDEA de Venecia

Ileana Lezcano RProfesora de MatemticaCTP Talamanca Bibri Limn

Ignacio Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaColegio Dulce Nombre

Ileana Naranjo MesenProfesora de MatemticaLiceo San Miguel deDesamparados

Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca

Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno de Desamparado

Javier Carballo RuzProfesor de MatemticaLiceo San Antonio deCoronado

Jerson Ruz VargasProfesor de Matemtica

Juan Carlos BarrantesMndezProfesor de MatemticaIPEC de Agua Buena

Jason Lagos CruzProfesor de MatemticaColegio Villareal

Jenny Burgos ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Puriscal

Jenny Naranjo NaranjoProfesora de MatemticaC.T.P Jos Daniel FloresZabaleta

Jenny Raquel RomeroBonillaProfesora de MatemticaSindea Bribri Satlite 13

Jessenia Guevara VarelaProfesora de MatemticaLiceo San Jose

Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Santa Josefina

Johnny Sancho MoralesProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Parrita

Jorge Bonilla VegaProfesor de MatemticaLiceo de San Vito

Jessica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano

Jocelyn VindasProfesor de MatemticaEscuela Internacional Cristiana

Jordn Ros VargasProfesor de MatemticaC.T.P Puntarenas

Jorge Chacn VargasProfesor de MatemticaLiceo del Sur

Jorge Luis Quirs UgaldeProfesor de Matemtica

Jos Alberto QuesadaObandoProfesor de MatemticasColegio Acadmico de Costade Pjaro

Jos Francisco Rivera VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cederal

Jos Luis Prez OrtizProfesor de MatemticaLiceo Acadmico de Beln

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Jorge Mata AguilarProfesor de MatemticaLiceo Franco Costarricense

Jos Diomar Salinas PiaProfesor de Matemtica

Jos Javier Ramrez GutirrezProfesor de MatemticaLiceo Jos Antonio ObandoChan

Jos Mrquez GonzalesProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa

Julio Marn SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari

Jairo Rojas VargasProfesor de MatemticaLiceo La Lucha

Johnny Villalta BalladaresProfesor de MatemticaLiceo Manuel Emilio RodrguezEchevarra

Jorge Arturo Calvo AlegraProfesor de MatemticaColegio Jos Mart

Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud

Karol Snchez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico del Sur

Katherine Sand FallasProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano

Kimberly Abarca GmezProfesora de MatemticaCTP Santa Elena

Karla Araya ChavesProfesora de Matemtica

Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge

Kattya Castro FernndezProfesora de MatemticaSun Valley High School

Kendrich Vargas VsquezProfesor de MatemticaColegio Bil. De Palmares

Kattya Pizarro MoragaProfesora de MatemticaLiceo Acadmico de Beln

Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra

Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares

Lineth Quesada MProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique

Luis Castillo SantamaraProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana

Lissette Ulate AriasProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Simn Bolvar

Luis Alonso Ruiz TorresProfesor de MatemticaCTP Carrillo

Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Leonardo Lpez RodrguezProfesor de Matemtica

Luis Quesada AlvaradoProfesor de MatemticaC.T.P. Limn

Laura Cisneros FonsecaProfesora de MatemticaLiceo Santa Marta

Maricruz Granados MedinaProfesora de MatemticaLiceo de Paraso

Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel

Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaCTP Cartagena Guanacaste

Mayra Martnez MuozProfesora de MatemticasIEGB Anselmo Gutirrez

Marvin Mndez CruzProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena

Maril Rodrguez MoraProfesora de MatemticaLiceo Rural de Santo Domingo

Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora

Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal

Manrique Barrientos QProfesor de MatemticaLiceo de Miramar dePuntarenas

Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque

Marta Eugenia Castro UreaProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur

Mauricio Solano BolaosProfesor de MatemticaLiceo La Triga

Marta Eugenia Arce RojasProfesora de MatemticaInstituto Educativo Monte Carlo

Maricela Urea JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno la Cuesta

Maureen Redondo BarqueroProfesora de MatemticaUnidad pedaggica BarrioNuevo

Mara Belermina Chacn V.Profesora de MatemticaInstituto de Guanacaste.

Minor Vargas VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita

Mariela Cubero MoralesProfesora de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz

Mauricio Gamboa GamboaProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu

Michael Tiffer ChavesProfesor de Matemticas

Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuela Liceo elCarmen

Max Gerardo Araya SequeiraProfesor de MatemticaLiceo Rural de Londres

Melida Soto MoyaProfesora de MatemticaIPEC de San Jos

Mauricio Fallas RodrguezProfesor de Matemtica

Milagro SeguraProfesora de MatemticaC.T.P Santa Eulalia

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Maribel RamrezProfesora de MatemticaSaint Margaret School

Melania Alvarado AlvaradoProfesora de MatemticaLiceo Jos Mart

Manuel lvarez HernndezProfesor de MatemticaSindea Puerto Viejo

Mariela Alfaro HidalgoProfesora de MatemticaLiceo San Roque

Marcela CecilianoProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo

Marco Abarca AlvaradoProfesor de MatemticaColegio Acadmico La Palma

Marisol BonicheProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia

Natalia Bonilla AstorgaProfesora de Matemtica

Norberto Montero SeguraProfesor de MatemticaColegio Tcnico San Joaqun deFlores

Noem Morera ChvezProfesora de MatemticaSindea de Venecia.

Nuria GarroProfesora de MatemticaConvi S.A

Nancy CastroProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana

Nelson Torres UmaaProfesor de MatemticaIEGB la Cruz.

Nelson Loria SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Ticaban

Paolo AnguloProfesor de MatemticaGreen Valley

Pablo Coto BrenesProfesor de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio.

Omar Camacho AstuaProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso

Paulo Paniagua DelgadoProfesor de MatemticaLiceo Manuel Benavides

Paulina Coto MataProfesora de MatemticasUnidad Pedaggica San Diego

Paola SolsProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar

Rosario Mndez EsquivelProfesora de Matemtica

Ronald Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis

Rafael Montero RodrguezProfesor de MatemticaColegio Internacional Sek

Randall Quirs BermdezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari

Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel DeDesamparados

Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel

Rebeca Mora Oconitrillo.Profesora de MatemticaColegio Florida.

Robert Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del DivinoPastor

Rodney Ng BaltodanoProfesora de MatemticasLiceo de Tucurrique

Rody Arrieta SolanoProfesor de MatemticaCentro Educativo Jorge deBravo.

Romn Ruiz ContrerasProfesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz.

Ronald Villalobos AriasProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista el Roble

Rosa Iris Centeno Ros.Profesora de Matemtica

Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaSindea de Pejibaye

Ramn Jimnez SolsProfesor de MatemticaColegio Acadmico Republicade Italia

Rony Rodrguez ChavaraProfesor de MatemticaLiceo Rural Colonia del Valle

Rafael Gonzales PalaciosProfesor de MatemticaUnid. Pedaggica La Valencia

Rosa M. Soto PaladinaValley Forge High School.

Ricardo Mndez BlancoProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita

Shirley Marn AbarcaProfesora de MatemticaLiceo Santa Martha

Sterling Arce EspinozaProfesor de MatemticaC.T.P Castro Beer

Saray Gamboa CorralesProfesora de MatemticaLiceo de Chachagua

Siria Daz HernndezProfesora de MatemticaColegio Atlntico Siquirres

Sergio A. Madrigal CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu

Sergio Vanegas RojasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Gandoca

Shirley Gonzlez AProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Quepo

Shirley Cerdas PeaProfesora de MatemticaSindea Sardinal Carrillo

Shirley ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Atenas

Stephanie Herrera VargasProfesora de MatemticaC.T.P Las Palmitas

Teresita SnchezProfesora de MatemticaVocacional de Heredia

Tania CrdobaProfesora de MatemticaLiceo Joaqun Gutirrez Mangel

Tania RomeroProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica Jos FidelTristn

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Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo de Gravillas

Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del San Jos

Victoria Matarrita MndezProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio: Holanda

Violeta LozanaProfesora de MatemticaCentro Educativo Adventista deLimn

Vicenta Laurence LpezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno de Siquirres

Vanessa Gmez JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Guay cara

Vialexca Membreo GonzlezProfesora de MatemticaC.T.P de Guatuso

Vctor Quirs OtrolaProfesor de MatemticaLiceo Finca Alajuela

Vernica Medrano RojasProfesora de MatemticasLiceo Judas de Chomes

Vernica Morales RamrezProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso

William Guilln CarpioProfesor de MatemticaLiceo Ricardo FernndezGuardia

Wilberth Guido QuirsProfesor de Matemtica

Wendy Campos GuevaraProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Paraso

Wayne Chacn BrenesProfesor de Matemtica

Wilmar Castro SolsProfesor de MatemticaLiceo Canan de Ros

Wilberth Altamirano SequeiraProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Golfito

Xenia ParkerCentro EducativoAdventista de CR

Xinia EspinozaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass

Xiomara Rivera LpezProfesora de MatemticaLiceo Eco turista Quepo

Yajaira Abarca SolsProfesora de MatemticaLiceo de Laguna

Yulissa SolsProfesora de Matemtica

Yendri Naranjo RodrguezProfesora de MatemticaLiceo Sixaola

Yamil Villanueva DazProfesor de MatemticaColegio Tepecue

Yohan Gmez GarroProfesor de MatemticaCTP Jcaral

Yogen Suarez GarcaProfesor de MatemticaSindea Huacas

Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora

Yajaira Rodrguez Gonzales.Profesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo

Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz

Zeidy Jarquin CalvoProfesora de MatemticaLiceo Rural Nueva Guatemala

Zeidy Cordero NezProfesora de MatemticaColegio Artstico Felipe Prez

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NDICEUNIDAD I: NMEROS

1. Nmeros irracionales II 142. Expansin decimal infinita no peridica 163. Notacin de nmeros irracionales 174. Orden de los nmeros irracionales 195. Nmeros reales 216. Representacin de los nmeros reales en la recta numrica 237. Nmeros irracionales entre nmeros enteros 258. Operaciones con radicales 269. Sistema Internacional de Medidas 3010. Sistema Internacional de Medidas 31

UNIDAD II: GEOMETRA11. Teorema de Pitgoras 3612. Distancia entre dos puntos 4013. Medidas angulares de grados a radianes y viceversa 4314. Razones trigonomtricas 4515. ngulos complementarios 5016. ngulos de elevacin y depresin 5417. Suma de los cuadrados del seno y coseno 5818. Ley de senos 6019. Problemas que utilicen razones trigonomtricas 6420. Apotema de pirmides rectas 6721. rea lateral y el rea total de una pirmide 6922. rea lateral y el rea total de un prisma recto 71

UNIDAD III: RELACIONES Y LGEBRA23. Representacin de funciones lineales 7624. Relacin entre la ecuacin y la funcin 7725. Problemas con funciones lineales 7826. Funcin cuadrtica 8027. Factorizacin por factor comn 8228. Factorizacin por formula notable 8429. Factorizacin por grupos y factor comn 8530. Factorizacin por grupos y diferencia de cuadrados 8731. Factorizacin por Trinomio cuadrado perfecto 8932. Factorizacin por Inspeccin 9133. Expresar 2x px q como 2x h k 9334. Binomio por monomio 9535. Trinomio por monomio (en una o dos variables 9636. Binomio por binomio 9737. Trinomio por binomio (en una variable) 9838. Trinomio por trinomio (en una variable) 10039. Multiplicacin de expresiones algebraicas fraccionarias 10140. Divisin de expresiones algebraicas fraccionarias 10341. Suma y resta de expresiones algebraicas fraccionarias 10542. Racionalizar (monomio) 10743. Racionalizar (binomio) 10944. Ecuaciones de segundo grado 11245. Ecuaciones de segundo grado 11446. Ecuaciones de segundo grado 11547. Ecuaciones de segundo grado 11648. Problemas con ecuaciones de segundo grado 11849. Problemas con ecuaciones de segundo grado 11950. Grfica de la funcin cuadrtica 12351. Grfica de la funcin cuadrtica 124

UNIDAD IV: ESTADSTICA Y PROBABILIDAD52. Conceptos bsicos estadsticos 13653. Unidad estadstica 13754. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa 14355. Interpretacin de un cuadro de distribucin de frecuencias 14556. Histogramas y polgono 14757. Muestreo probabilstico 15158. Probabilidad como frecuencia relativa 15459. Fenmenos aleatorios 157

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Tomado de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/matemagicas/pages/hist_mat/textes/h_nombre.htm

HISTORIA DE LOS NMEROSLa historia de las matemticas ha sido precedida de una larga prehistoria de la que tenemos algunos trazosque se remontan a 4000 aos. Los animales superiores y los nios perciben en nuestro mundo dos entidadesabstractas fundamentales: el nmero y la forma. Por lo tanto, la aritmtica y la geometra fueron, durantemucho tiempo, distintas, separadas, aunque se mantuvieron como las dos ciencias fundamentales. En unprincipio, el conocimiento de los nmeros por el hombre no fue muy fino. En las sociedades primitivas, nodistingua entre dos conjuntos equipotentes (con el mismo nmero de elementos), sino que apenas sabacontar: uno, dos, muchos. Muchos se dice tres en latn: esta palabra subsiste todava hoy en francs: trs,pero tambin trois. El sistema ms antiguo consista en contar con los dedos. Pero, cmo anotar elresultado?Despus contaron y anotaron grandes nmeros echando fichas en una bolsa. Se dieron cuenta entonces deque bastaban unas simples marcas grabadas sobre una tablilla.Los Babilonios utilizaron marcas de formas diferentes para designar grandes nmeros. Diversos smboloscolocados en diferentes posiciones bastaban para representar los nmeros ms grandes.Anotaciones a lo largo de las pocasLas civilizaciones ms antiguas observaban las vueltas a la redonda de los astros en el cielo. Sabemos as quelos Sumerios de Uruk y de Nippur (- 3000) utilizaban ya un calendario lunar. Y que tuvieron la idea derepresentar los nmeros por smbolos: la luna representaba la unidad, lunas juntas los nmeros siguientes.La necesidad de hacer cuentas y de escribirlas les condujo a utilizar abreviaciones ms cmodas. La barravertical u oblicua tiene entonces sentido de unidad (Fenicios, Sirios, Nabateos, Griegos Antiguos, rabes delSur, Hindes). Los conjuntos de cinco, diez o veinte unidades eran abreviados por smbolos especiales,eventualmente derivados de su nombre. Todos estos sistemas eran aditivos, es decir, el nmero cdigo es lasuma de los smbolos representados.Los Babilonios (- 2000) se destacan al inventar el sistema sexagesimal: los smbolos de base valen 1, 10, 60,luego 600, 3600, 36000 y as sucesivamente. Este sistema se ha perpetuado hasta nosotros, mediante laastronoma, para las medidas sexagesimales de tiempos y de ngulos.Varias civilizaciones han tenido, adems, la idea de utilizar las letras de su alfabeto para representar losnmeros. Esto permite dar un sentido a algunos de entre ellos: son los clculos cabalsticos. El nmerocorrespondiente a una letra viene a ser funcin de la posicin de sta en la palabra; la necesidad de marcar lanada se hace sentir. El origen del cero todava permanece oscuro. Con toda seguridad existe en textosHindes del siglo VI donde toma la forma de un punto. En escritos astronmicos griegos, el cero estrepresentado por la letra o inicial de la palabra griega omdem : nada.

UNIDAD INMEROS

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Conocimientos Habilidades especficas Indicaciones puntualesNmerosRealesNmerosirracionalesConcepto denmero realRepresentacionesComparacinRelacionesde ordenRectaNumricaClculos yestimacionesSumaRestaMultiplicacinDivisinPotenciasRadicalesCantidades muygrandes y muypequeas

1. Identificar nmeros irracionalesen diversos contextos.

2. Identificar nmeros conexpansin decimal infinitano peridica.

3. Realizar aproximacionesdecimales de nmerosirracionales.

4. Reconocer nmerosirracionales en notacindecimal, en notacin radical yotras notaciones particulares.

5. Comparar y ordenar nmerosirracionales representados ennotacin decimal y radical.

6. Identificar nmeros reales(racionales e irracionales) y noreales en cualquiera de susrepresentaciones y en diversoscontextos.

7. Representar nmeros reales enla recta numrica, conaproximaciones apropiadas.

8. Estimar el valor de la raz de unnmero entero.

9. Determinar nmerosirracionales con representacinradical entre dos nmerosenteros consecutivos.

10. Utilizar la calculadora pararesolver operaciones conradicales.

11. Utilizar los prefijos del SistemaInternacional de Medidas pararepresentar cantidades muygrandes y muy pequeas.

12. Utilizar la calculadora osoftware de clculo simblicocomo recurso en la resolucinde problemas que involucrenlas unidades.

Para introducir los nmeros racionales se puede comenzar con el siguiente problema.Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosLo que se desea es mostrar nmeros decimales diferentes a los nmeros naturales, enteros y racionales.Es importante considerar el reconocimiento de patrones de construccin que generen nmeros decimalescon expansin infinita no peridica, por ejemplo: 0,1010010001 (cada vez agregar un cero ms antes deescribir 1). Esto permite establecer conexiones con el rea de Relaciones y lgebra. La calculadora debeusarse para que cada estudiantepueda observar ms rpidamente el desarrollo; sin embargo, se debe aclarar que la calculadora tan soloofrece una aproximacin. Se implementar el procedimiento de clculo de races, visto en aos anteriores,para identificar aquellas races que corresponden a nmeros irracionales. Se puede desarrollar unaactividad para obtener una aproximacin de e. Se pide a cada estudiante que complete la siguiente tablacon ayuda de la calculadora. Se puede explorar con valores de n mayores a los suministrados.Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientosFinalmente, en el cierre se menciona que la actividad desarrollada es una forma de aproximar el nmeroirracional e por medio de nmeros racionales y el o la docente puede proponer la realizacin de unapequea investigacin acerca de sus orgenes. El trabajo con nmeros irracionales puede ofreceroportunidades para activar el proceso Razonar y argumentar. Por ejemplo, al mostrar que 3 no es unnmero racional.Se puede utilizar la calculadora. Se debe hacer nfasis en las diferentes representaciones de un nmeroreal, por ejemplo:Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientosUsar la estimacin mental o la calculadora para realizar tal representacin. Por ejemplo:Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientosEste es uno de los usos adecuados para la calculadora, en un tema en que no tiene sentido la realizacinde clculos sin ese tipo de soporte. Se debe aprovechar la calculadora cientfica para trabajarcon expresiones con radicales. La respuesta puede darse en cualquier representacin. Adems, se puedenresolver problemas:Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosSe muestra a continuacin los prefijos del sistema internacional de medidas:Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientosUn problema que puede ser utilizado en relacin con este tema es el siguiente:Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosNo introducir el uso de notacin cientfica.Las nanomedidas pueden introducirse aqu mediante una breve historia y su conexin con el uso deNanotecnologas.Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientos

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NMEROS 13

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionarun mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn caminoque no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Suponga que en la siguiente figura el segmento BC mide 1m , cunto mide el rea delcuadrado ACDE ?

1. Cuntos tringulos congruentes se pueden formar en la en la figura?2. Cul es el rea de cada tringulo?3. Cunto mide la diagonal del cuadrado?4. Cunto mide cada lado del cuadrado ACDE ?5. Cunto mide el rea del cuadrado ACDE ?6. Si x representa el lado del cuadrado Cmo se expresara el rea?7. A qu conjunto pertenece la x . A los racionales o a otro conjunto.

x

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14 NMEROS

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientosHabilidad # 1: Identificar nmeros irracionales en diversos contextos.

Nmeros irracionales IILos nmeros irracionales se le atribuye a los pitagricos (siglo VI a. C), sin embargo paraotros estos nmeros ya haban sido estudiados por los egipcios 1000 aos antes que losgriegos, a estos nmeros se les denomina magnitudes inconmensurables (Que no puede sermedido o valorado). En ese momento los pitagricos fundamentaban sus estudios connmeros enteros y las fracciones o sea nmeros que se podan expresar de la forma

, , 0a con bb , al encontrar nmeros que no cumplan con estas caractersticas los llamaronnmeros irracionales. Una forma de entender la diferencia entre un nmero irracional y unnmero racional es descomponiendo los nmeros, en factores primos.

Ejemplo 1Determine si 4 es un nmero racional o irracional:Descomponemos el 4 en factores y vemos que 4 2 2 , por lo tanto existe un nmero quemultiplicado por s mismo nos da 4 . Concluimos que 4 es un nmero racional.

Ejemplo 2Determine si 2 es un nmero racional o irracionaldescomponemos el 2 en factores y vemos que no existe un nmero que multiplicado por smismo nos de 2 . Concluimos que 2 no es nmero racional.

Ejemplo 3Determine si 3 8 es un nmero racional o irracional:Descomponemos el 8 en factores y vemos que 8 2 2 2 , por lo tanto existe un nmeroque multiplicado por s mismo nos da 8 . Concluimos que 3 8 es un nmero racional.

Ejemplo 4Determine si 21 es un nmero racional o irracionaldescomponemos el 21 en factores y vemos que 21 3 7 no existe un nmero quemultiplicado por s mismo nos da 21 . Concluimos que 21 no es nmero racional.

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NMEROS 15

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 1A. Determine cules de los siguientes nmeros son irracionales

1) 92) 103) 164) 225) 256) 337) 368) 499) 5010) 60

1) 3 62) 3 33) 3 94) 3 275) 3 646) 4 47) 4 168) 4 449) 4 8110) 4 100

B. Si la medida de un lado de un cuadrado es un nmero x , se puede asegurar quesiempre la diagonal es un nmero irracional? Justifique con dos ejemplos su respuesta.

C. Segn la historia Quin era Hipaso de Metaponto?

D. Segn la historia Cul fue la reaccin de los compaeros Hipaso de Metapontorelacionado con sus descubrimientos?

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16 NMEROS

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 2: Identificar nmeros con expansin decimal infinita no peridica.Expansin decimal infinita no peridica

Para determinar si una expansin decimal corresponde a un nmero irracional debemosobservar si existe o no un periodo. Si el nmero no tiene periodo es un nmero irracionalpor el contrario corresponde a un nmero racional.

Ejemplosa)El periodo es 230769

Ppor lo tanto a

b)Al no tener periodo decimos que a II

Trabajo cotidiano # 2A. Escriba una X donde indique a que expansin decimal pertenece cada expresin.

Decimal II Decimal II

1) 0,1234957567986... ____ ____ g) 6,708203932765... ____ ____

2) 1,7432743274327... ____ ____ h) 2,5435432543543... ____ ____

3) 0,5675678156756... ____ ____ i) 0,888888888888... ____ ____

4) 0, 2344923484736... ____ ____ j) 7,675898762135... ____ ____

5) 1, 495348781765... ____ ____ k) 3.1415926535897... ____ ____

6) 1,324532453245... ____ ____ l) 2,718281828459... ____ ____

0,230769230769230769230769...P P P P

2,6457513110645905905016157...

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NMEROS 17

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 3: Realizar aproximaciones decimales de nmeros irracionales.Habilidad # 4: Reconocer nmeros irracionales en notacin decimal, en notacin radical y otras notaciones

particulares.

Notacin de nmeros irracionales

A parte de los nmeros irracionales vistos. Como son las races inexactas Existen otrosnmeros irracionales que es importante conocer.

Ejemplo 1 Nmero Ejemplo 2 Nmero e

Se obtiene de la razn entre la

circunferencia y el dimetro de un crculo.

3,1415926535 su expansin decimal

se extiende hasta infinito.

Se puede decir que e es el lmite de la

sucesin de trmino general 11 n

n

donde, en cuanto ms grande es " "n ,

ms se aproxima a e .

2,7182818285...e su expansin decimal

se extiende hasta infinito.

circunferenciadimetro dimetro

circunferencia

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18 NMEROS

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 3A. Determine la expansin decimal aproximada de los siguientes nmerosB.

1) 5 2) 10 3) 11 4) 7 5) 2 17 6) 3e 7) 2

C. Complete la siguiente tabla con los valores de " "n se recomienda el uso de lacalculadora

n 1 2.... 250... 2870.. 5500... 7000.. 9000.... 95982...11

n

n1) Qu sucede conforme aumenta el valor de n ?

2) Los resultados obtenidos son nmeros racionales o irracionales?

D. Busque un objeto que tenga forma circular, y mida la circunferencia, luego mide eldimetro, por ultimo divida la longitud de la circunferencia entre el dimetro.Aproximadamente que nmero se obtiene de esta divisin

E. Cul es el valor aproximado del nmero ureo o nmero de oro (fi), y cite casos en lavida cotidiana y la naturaleza donde aparece este nmero.

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NMEROS 19

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 5: Comparar y ordenar nmeros irracionales representados en notacin decimal y radical.Orden de los nmeros irracionales

Los nmeros irracionales al igual que los nmeros enteros y racionales mantienen unarelacin de orden, por lo tanto se puede comparar con otros nmeros y determinar culesson mayores o menores segn sea el caso.

Ejemplo 1Determine entre qu par de nmeros enteros consecutivos se encuentra 29 .Primeo: Podemos utilizar la calculadora y determinar el valor aproximado de 29 5,3851...Segundo: Como 29 5,3851... determinamos que est entre los nmeros enteros 5 6y

Ejemplo 2Determine tres nmeros irracionales representados con radicales que se encuentran entrelos nmeros 7 8y .Si 49 7 64 8y entonces tres nmeros representados por radicales entre 7 8y ,pueden ser 50, 51 52y , es importante entender que entre dos nmeros enterosconsecutivos existe una cantidad infinita de nmeros irracionales.

Trabajo cotidiano # 4A. Escriba entre los siguientes nmeros dos nmeros irracionales.

1) 1 ___ , ___ 2

2) 2 ___ , ___ 3

3) 5 ___ , ___ 6

4) 9 ___ , ___ 8

5) 12 ___ , ___ 11

6) 4 1216 ___, ___ 6

7) 34 ___, ___ 125

8) 23 ___, ___ 6

9) 10 ___, ____ 9

10) ____, ___e

11) 5 ____, ___ 2 e e

12) 6____, ___ 5e

13) 17 ___, ____ 22 e

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20 NMEROS

GRUPO FNIX

B. Complete utilizando los smbolos , , para cada uno de los siguientes pares denmeros racionales e irracionales.14) 105 _______ 5

15) 35 _______ 93

16) 3 427 _______ 3

17) 25 5_______9 3

18) 4 1216 _______ 6

19) 325 _______ 1255

20) 3 63 _______ 5

21) 6 _______ 95

22) 3_______ 5e

23) 153 _______ 5 ee

24) 6_______ 5e

25) 7 _______ 210 e

C. Considere a " "x un nmero irracional en notacin decimal, y escrbalo entre lossiguientes pares de nmeros.1) 4 6 x

2) 6 7 x

3) 7 9 x

4) 10 11 x

5) 5 4 x

6) 8 7 x

7) 11 10 x

8) 13 12 x

9) 14 13 x

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NMEROS 21

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 6: Identificar nmeros reales (racionales e irracionales) y no reales en cualquiera de susrepresentaciones y en diversos contextos.

Nmeros reales Es el conjunto que se obtiene al unir el conjunto de los nmeros racionales con el conjuntode los nmeros irracionales. Simblicamente podramos decir que II , los nmerosreales se pueden expresar en diferentes representaciones. Es importante mencionar queexisten nmeros que no pertenecen a los nmeros reales, veamos algunos ejemplos. (serecomienda el uso de la calculadora)

Ejemplo 1 Ejemplo 2Represente el nmero 12 en dos formasdiferentes

a) 1 222 b)1 0,7071067...2

Represente el nmero 4 en seis formasdiferentes.a) 4 2 2 b) 4 8 2 c) 24 2d) 4 16 e) 4 2 4 f) 4 6 2

Ejemplo 1 Ejemplo 2Verificar si 2 25 7 5 7

2 25 7 5 725 49 2

24 2

Nota: Si hacemos en la calculadora 24 , elresultado nos da error. Por lo que podemos decirque la raz par de un nmero negativo no est

definido en

Verificar si 225 5 5

2

22

25 5 55 5 55 5 5

Nota: Es importante entender la diferencia entre 2 25 525 25

y

Trabajo cotidiano # 5

A. Represente los siguientes nmeros en tres formas diferentes,1) 132) 53) 3 5

4) 5 55) 3 86) 17) 10

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22 NMEROS

GRUPO FNIX

B. Verifique las siguientes expresiones y escriba y en el espacio indicado.1) 2 24 2 ______ 4 2

2) 2 25 2 ______ 5 2

3) 2 26 4 ______ 6 4

4) 2 24 2 ______ 4 2

5) 236 ____ 6 ____ 66) 236 ____ 6 ____ 67) 29 ____ 3 ____ 3

8) 10 21 ____ 1 ____ 1 F. Identifique con una cada expresin si corresponde a un nmero racional, y con una

II si corresponde a un nmero irracional, se recomienda el uso de la calculadora.1) 0, 214578961...2) 0, 214578000...3) 0, 214141414...4) 0, 2198989898...5) 2, 2356134241...6) 7,12123124125126...7) 3,148) 09) 65 4

10) 3311) 9

12) 21,41

13) 255

14) 3 515) 3 27

16)3 273

17) 22e

18) 2e

19)3 272

20) 10010

21) 5291

22) 2

23) 5e

24) 5ee

25) 23

26) 3 98

27) e

28) 22

29) 2 2e

30) ee

31) 3

32) 2 ee

33) 2 ee

34) 2 ee

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NMEROS 23

GRUPO FNIX

NMEROS REALESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 7 Representar nmeros reales en la recta numrica, con aproximaciones apropiadas.Representacin de los nmeros reales en la recta numrica

Entre los nmeros reales y la recta numrica se establece una relacin biunvoca, estoquiere decir que a cada nmero real le corresponde un punto en la recta numrica. Losmismos se ubican en forma ordenada, de menor a mayor.

EjemploUbique en forma ordenada las letras correspondientes a cada nmero en la siguiente recta.

a) 3,a 3 7,b 15, c 2 ,d e 5 45, e 7 ,2f6 ,5 g

3 23 hNota: en estos casos en importante el uso de la calculadora para tener un valor aproximadoen forma decimal de los nmeros que no son enteros.

Trabajo cotidiano # 6A. Ubique en la recta numrica los siguientes nmeros reales

1) 32, a 3112 ,b 5, c 4,d 4 40, e 6 600, f 25, g 5 412 , h 35 ,6i3 45j

2) 2 ,4 a 3 ,2

eb 5 ,3 c 5 ,2

ed 3 ,2 ee 7 ,4f

7 3 ,2 g35 9 ,2h 7 10 ,4 i

7 2004 j

0 1 2 3 44 2 1 5 636 5

0 1 2 3 44 2 1 5 636 5

0 1 2 3 44 2 1 5 636 5

a

b

h

g fe dc

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24 NMEROS

GRUPO FNIX

CLCULOS Y ESTIMACIONESEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionarun mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn caminoque no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Hallar el valor de x en la ecuacin 7 5x

Problema 2Hallar el valor de x en la ecuacin 6 5x

Problema 3Calcule el valor de m tal que 15 5 5312mm m

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NMEROS 25

GRUPO FNIX

CLCULOS Y ESTIMACIONESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 8: Estimar el valor de la raz de un nmero entero.Habilidad # 9: Determinar nmeros irracionales con representacin radical entre dos nmeros enteros

consecutivos.Nmeros irracionales entre nmeros enteros

Para determinar nmeros irracionales con representacin radical entre nmeros enterosconsecutivos se debe tener una idea aproximada de su valor decimal.

Ejemplo 1De las siguientes opciones un posible valor de a es 10 101 95X 80

Ejemplo 2De las siguientes opciones un posible valor de a es 3 10X 3 6 3 32

3 29Trabajo cotidiano # 7

A. Ubique un nmero irracional en forma de radical entre cada par de nmeros consecutivosen la siguiente recta numrica recta numrica.

B. Ubique un nmero irracional en forma de radical entre cada par de nmeros consecutivosen la siguiente recta numrica recta numrica.

0 1 2 3 44 2 1 5 636 5

4 3 2 1 0 a

9 10 11 12 13 a

12 13 14 15 168 10 11 17 1896 7

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26 NMEROS

GRUPO FNIX

CLCULOS Y ESTIMACIONESEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 10: Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.Operaciones con radicales

Para resolver operaciones con radicales la calculadora se convierte en un soporte adecuado,adems podemos resolver ecuaciones probando valores hasta encontrar la solucin o unnmero aproximado en el caso de soluciones irracionales. veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1 Ejemplo 2Halle el valor de x en la ecuacin

5 3x Probamos posibles valores de x para quese mantenga la igualdad.Primero: probamos con 1

51 31 3

Segundo: probamos con 252 3

32 3

Podemos ver que el nmero x , debe sermayor que 1 pero menor que 2Probamos con 1,2

51,2 32,48 3

Seguimos probando hasta encontrar unnmero que se acerque al valor buscado.

51,24573 32,99998 3

En este caso un valor aproximado de2,99998x

Calcule el valor de x tal que3 2041xx

Probamos posibles valores de x para quese mantenga la igualdad.Primero: probamos con 2

23 20413 2 2401

5 49

xx

Segundo: probamos con 3

33 24013 3 2401

6 13.39

xx

Tercero: probamos con 44

43 4 24013 4 2401

7 7

En este caso vemos que el 4 cumple con laigualdad en ambos miembros de laecuacin.En este caso el valor de.

4x

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NMEROS 27

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 8A. Determine un valor para x en las siguientes ecuaciones.

1) 2 25x 2) 3 27x 3) 2 5x 4) 6 10x 5) 6 6x 6) 5 11x

7) 2 3 1x x 8) 5 4 1 2x x 9) 2 1296xx 10) 3 32768xx 11) 22 100000xx xx

B. Realice las siguientes sumas y restas de radicales1) 3 3 5 3 8 3 2) 2 4 4 4 4

3) 6 7 66 5 5

4) 4 4 410 66 5 7 5 3

5) 47 49 12 242 63 4 8 xyx y x y x x

6) 37 142 9 72 15 32

7) 3 3 32 81 12 16 9 625 x my x my x my

8) 59 32 2 27 2 7

9) 3 3 37 7 47 2 2 3 15 3

10) 44 4512 3213 15 4 812 2

C. Realice las siguientes multiplicaciones de radicales.1) 7 2 3 3 2) 2 5 7 5 3) 24 5 3 6 4) 3 32 513 4 5 65) 555 7 5 2

6) 547 7 3 27) 3 159 7 5 58) 8 247 7 9 29) 5 3 39 7 4 7 10) 75 2 27 7 8 2

D. Realice las siguientes divisiones de radicales1) 15 12 5 32) 20 24 4 83) 44 12 11 4 4) 281 56 9 75) 3169 7 35 11

10) 32 314 5 7 10 11) 32 3 2436 6 9 12) 82 2412 18 6 613) 63 3 24160 36 20 614) 2 24681 36 9 6

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28 NMEROS

GRUPO FNIX

E. Resuelva las siguientes operaciones.1) 5 6 7 2) 2 3 2 3) 2 6 3 4) 4 2 2 3 5) 3 3 3 7

6) 9 7 3 7 3 7) 8 7 4 7 9 8) 3 33 3 32 5 10 12 5 9) 33 3 3 37 2 7 5 9 10) 4 44 4 47 2 12 32 6 2 20

F. Resuelva las siguientes operaciones. Si es posible exprese el resultado en forma deradical.

1)27

2)35

3)5

2 7

4)2 73 3

5)49 73 3

6)2

7 25

3 3

7)8

83 5

3

8) 579

G. Racionalice los siguientes denominadores, simplifique al mximo el resultado

1)3

9 5 2)

3 22 5 2

3)17 g

4)2

3 8

5) 5 271 5

b

6) 5 34 5 5 3

7) 2 32 3

8) 12 3

9) 12 2

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NMEROS 29

GRUPO FNIX

CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEASEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar aresolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y seleccionarun mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn caminoque no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Gmail es un servicio de correo electrnico gratuito que ofrece una capacidad dealmacenamiento de ms de 7Gb y Google afirma que esta cifra seguir en aumento. Si undisco compacto CD tiene una capacidad de almacenamiento de 650 Mb ,Recordemos que un Gigabyte equivale a 302 1 073 741 824 bytesy un Megabyte equivale a 202 1 048 576bytes

Cuntos discos compactos CD equivaldran a la capacidad de almacenamiento deGmail?

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30 NMEROS

GRUPO FNIX

CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEASEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 11: Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muygrandes y muy pequeas.

Habilidad # 12: Utilizar la calculadora o software de clculo simblico como recurso en la resolucin deproblemas que involucren las unidades.

Sistema Internacional de MedidasEs importante tener claro los prefijos delsistema internacional de medidas.

Mega 610Giga 910Tera 1210Peta 1510Exa 1810Zeta 2110Yota 2410

Micro 610Nano 910Pico 1210Fento 1510Atto 1810Zepto 2110

Ejemplo 1En un laboratorio de biologa se est analizando un tipo de clula sangunea que presenta undimetro de 1 000 000 000 000 m , a cuantos Gm equivale dicha cantidad.Primero: Se determina la posicin de losprefijos, para determinar el valor que seutiliza, se cuentan los espacios que hayentre los prefijos a utilizar:

Prefijo Smbolo valorGiga G 910Mega M 610Kilo k 310Hecto h 210Deca da 110unidad 1deci d 110centi c 210mili m 310

micro 610

Segundo: Si se convierte de unidadespequeas a unidades grandes se divide elnmero entre el valor obtenido, como siguea continuacin:

Concluimos que la cantidad de1 000 000 000 000 men Gm equivale a 0,000001Gm

1511000000000 0,00000110 Gmm Gmm

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NMEROS 31

GRUPO FNIX

CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEASEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 11: Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muygrandes y muy pequeas.

Habilidad # 12: Utilizar la calculadora o software de clculo simblico como recurso en la resolucin deproblemas que involucren las unidades.

Sistema Internacional de MedidasEjemplo 2

La distancia entre la Luna y la Tierra es de 384 Mm , a cuantos nm equivale dicho valor.Primero: Se determina la posicin de losprefijos, para determinar el valor que seutiliza, para determinar el valor que seutiliza, se cuentan los espacios que hayentre los prefijos a utilizar:

Prefijo Smbolo valorMega M 610Kilo k 310Hecto h 210Deca da 110unidad 1deci d 110centi c 210mili m 310micro 610nano n 910

Segundo: Si se convierte de unidadesgrandes a unidades pequeas se multiplicael nmero entre el valor obtenido, como semuestra a continuacin:

Concluimos que la cantidad de 384 Mmen nm equivale a

384000000000000000Mm

Trabajo cotidiano # 9A. Realice las siguientes conversiones de unidades1) Exprese 25 000 000 km a m2) Convierta 230000000000000000000 apm m3) Convierta 0,00235 aDas s4) Convierta 900000000 ag Mg5) Convierta 4 am nm6) A cuantos km equivalen 82000000 m

7) Exprese 40000000 as s8) Convierta 5000 d am m ?9) Convierta 200 aHm m10) Convierta 300 aMg mg11) Convierta 20 aKg g12) Cuantos nm equivalen a 0,000000058 km

1510 384 3840000000000000001nmMm MmMm

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32 NMEROS

GRUPO FNIX

B. Lea el siguiente texto y conteste lo que se le solicita.

La nanotecnologa es el estudio, diseo, creacin, sntesis, manipulacin y aplicacin demateriales, aparatos y sistemas funcionales a travs del control de la materia a nano escala,y la explotacin de fenmenos y propiedades de la materia a nano escala. Cuando semanipula la materia a una escala tan minscula de tomos y molculas, se demuestranfenmenos y propiedades totalmente nuevas. Por lo tanto, cientficos utilizan lananotecnologa para crear materiales, aparatos y sistemas novedosos y poco costosos conpropiedades nicas. La nanociencia est unida en gran medida desde la dcada de los 80con Drexler y sus aportaciones a la "nanotecnologa molecular", esto es, la construccin denanomquinas hechas de tomos y que son capaces de construir ellas mismas otroscomponentes moleculares. Richard Feynman, premio Nobel de Fsica, es considerado elpadre de la "nanociencia". En 1959 propuso fabricar productos con base en unreordenamiento de tomos y molculas. En ese ao, escribi un artculo que analizaba cmolos ordenadores trabajando con tomos individuales podran consumir poqusima energa yconseguir velocidades asombrosas. Podemos decir que muchos progresos de la nanocienciaestarn entre los grandes avances tecnolgicos que cambiarn el mundo.

Fuente: http://www.euroresidentes.com/futuro/nanotecnologia/nanotecnolo gia_que_es.htm

1) Explique que es la nanotecnologa

2) Qu aporta la nanotecnologa a la ciencia?

3) Qu aporta la nanotecnologa a la medicina?

4) Considera que la nanotecnologa aporta algn beneficio a la vida cotidiana?

5) Cree importante el estudio y desarrollo de la nanotecnologa?

6) Cite cinco casos en los que se utiliza la nanotecnologa

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Tomado de www.profesorenlinea.cl/geometria/GeometriaHistoria.html

HISTORIA DE LA GEOMETRAEs la rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma ms elemental, lageometra se preocupa de problemas mtricos como el clculo del rea y dimetro de figuras planas y de lasuperficie y volumen de cuerpos slidos. El origen del trmino geometra es una descripcin precisa deltrabajo de los primeros gemetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamao de loscampos o el trazado de ngulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometra emprica,que floreci en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En elsiglo VI a.C. el matemtico Pitgoras coloc la piedra angular de la geometra cientfica al demostrar quelas diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometra emprica se pueden deducir como conclusioneslgicas de un nmero limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados porPitgoras y sus discpulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemtico modernose consideran como un conjunto de supuestos tiles pero arbitrarios.Un ejemplo tpico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemticos griegos es la siguienteafirmacin: "una lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre laspropiedades de puntos, lneas, ngulos y planos se puede deducir lgicamente a partir de estos axiomas.Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ngulos de cualquier tringulo es igual a la suma dedos ngulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitgoras).La geometra demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polgonos y crculos y de suscorrespondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemtico griego Euclides,en su libro "Los elementos". El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro detexto bsico de geometra hasta casi nuestros das.Primeros problemas geomtricosLos griegos introdujeron los problemas de construccin, en los que cierta lnea o figura debe ser construidautilizando slo una regla de borde recto y un comps. Ejemplos sencillos son la construccin de una lnearecta dos veces ms larga que una recta dada, o de una recta que divide un ngulo dado en dos ngulosiguales.Tres famosos problemas de construccin que datan de la poca griega se resistieron al esfuerzo de muchasgeneraciones de matemticos que intentaron resolverlos: la duplicacin del cubo (construir un cubo devolumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del crculo (construir un cuadrado con rea igual aun crculo determinado) y la triseccin del ngulo (dividir un ngulo dado en tres partes iguales). Ninguna deestas construcciones es posible con la regla y el comps, y la imposibilidad de la cuadratura del crculo nofue finalmente demostrada hasta 1882.

UNIDAD IIGEOMETRA

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Conocimientos Habilidades especficas Indicaciones puntualesTringulosTeorema dePitgorasTrigonometraRadianesSenoCosenoTangenteRazonestrigonomtricasde nguloscomplementariosngulos deelevacin ydepresinGeometra delespacioPirmiderectaApotemaPrismarectorealateralrea total

1. Aplicar el teorema de Pitgoras en laresolucin de problemas endiferentes contextos.

2. Encontrar la distancia entre dospuntos en el plan cartesiano,aplicando el teorema de Pitgoras.

3. Convertir medidas angulares degrados a radianes y viceversa.

4. Aplicar las razones trigonomtricasbsicas (seno, coseno, tangente) endiversos contextos.

5. Aplicar las relaciones entre tangente,seno y coseno.

6. Aplicar seno, coseno y tangente dengulos complementarios.

7. Aplicar los conceptos de ngulos deelevacin y depresin en diferentescontextos.

8. Aplicar que la suma de loscuadrados del seno y coseno de unngulo es 1.

9. Aplicar la ley de senos en diversoscontextos.

10. Resolver problemas que involucrenlas razones trigonomtricas, suspropiedades y ngulos de elevaciny de depresin.

11. Plantear problemas contextualizadosque utilicen razones trigonomtricaspara su solucin.

12. Identificar y calcular la apotema depirmides rectas cuya base sea uncuadrado o un tringulo equiltero.

13. Calcular el rea lateral y el rea totalde una pirmide recta de basecuadrada, rectangular o triangular.

14. Calcular el rea lateral y el rea totalde un prisma recto de basecuadrada,rectangular o triangular.

Se puede proponer el siguiente problemaComo se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosEl problema permite el uso de varias estrategias, como hacer un dibujo a escala en su cuaderno,utilizar una cinta mtrica y realizar una simulacin de la situacin. Esto permite estimular lacreatividad estudiantil. Es importante analizar tanto las soluciones como las estrategias utilizadas.Adems hay que tomar en cuenta que hay gran variedad de soluciones correctas. En el proceso declausura, y como elemento histrico pedaggico, se puede utilizar el texto de Euclides (matemticogriego del siglo IV a.C.) en el que se proporciona una demostracin del Teorema de Pitgoras. Laproposicin 47 del Libro I de Elementos de Euclides es el conocido teorema de Pitgoras. Setranscribe a continuacin tal como aparece en dicho texto:Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientosPor ejemplo se puede usar esta referencia histrica para ilustrar el teorema y adems contextualizaruna poca y conocer los mtodos que se usaban. Se puede comentar la demostracin del teoremade Pitgoras brindada por Euclides. Se puede utilizar el teorema de Pitgoras para encontrar ladistancia entre dos puntos en el plano cartesiano y luego se hace la clausura enunciando la frmula.Un ejemplo:Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosTambin se puede utilizar la representacin cartesiana para determinar si un tringulo, dadas lascoordenadas de sus vrtices, es o no rectngulo. Para esto se puede utilizar la frmula de ladistancia entre dos puntos. Por ejemplo:Como se indica en las Etapas 2: del aprendizaje de conocimientosSe deben proponer problemas que utilicen conversiones de grados a radianes y viceversa, con estose logra una conexin con el rea de Medidas. Para iniciar se puede proponer un problema:Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosEs importante distinguir en qu modo (grados, radianes) se est utilizando la calculadora cientficapara el clculo de razones trigonomtricas. Se debe no slo resolver problemas de trigonometrasino tambin plantearlos, puesto que al disear problemas de trigonometra se manejan lascondiciones necesarias que se deben dar para el uso de las razones trigonomtricas o ley de senos.Por ejemplo: Se propone plantear un problema contextualizado que necesite para su solucin lautilizacin de la razn trigonomtrica seno. Para esto se puede dar un caso especfico como el Paraconstruir el problema, primero se tiene que tener claro que el escenario del problema debe originarun tringulo rectngulo, luego se debe saber que las medidas que intervienen en este problema sonel cateto opuesto a un determinado ngulo del tringulo, la hipotenusa y el ngulo respectivo.Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosSe puede proponer un problema como el siguiente:Como se indica en las Etapas 1: del aprendizaje de conocimientosLa situacin refiere al clculo del rea de un tringulo de base 215 y una altura a determinar(apotema de la pirmide). A partir del trabajo estudiantil se realiza la etapa de clausurasistematizando el concepto de apotema piramidal y deduciendo, a travs del problema, una frmulapara el clculo del rea lateral yluego del rea total de una pirmide recta de base cuadrada.

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GEOMETRA 35

GRUPO FNIX

TRINGULOSEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar

a resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y

seleccionar un mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn camino

que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta

obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1

Diego necesita comprar una escalera para subirse al techo de su casa. El techo est a unaaltura de 97 pulgadas. Para poder tener una buena estabilidad en la escalera alapoyarse en la pared, las patas de la escalera deben estar a una distancia de entre 30y 40 pulgadas.

1. Construya en su cuaderno un dibujo a escala con las medidas brindadas.2. Cul podra ser la medida aproximada de la escalera?

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36 GEOMETRA

GRUPO FNIX

TRINGULOSEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 1: Aplicar el teorema de Pitgoras en la resolucin de problemas en diferentes contextos.

Teorema de PitgorasEste teorema se le atribuye a Pitgoras de Samos 582 . . 507 .( ) .a C a C filsofo y matemticogriego, El estudio del Teorema de Pitgoras es una relacin matemtica entre los tres ladosde cualquier tringulo rectngulo.

Ejemplo 1La proposicin 47 del Libro 1 de Elementos de Euclides En los tringulos rectngulos elcuadrado del lado que subtiende el ngulo recto es igual a los cuadrados de los lados quecomprenden el ngulo recto.En la figura se muestra lo expuesto en,La proposicin 47 del Libro 1 deElementos de Euclides.

2 2 25 3 425 9 1625 25

Cumplindose la igualdad.

Ejemplo 2Para efecto de resolucin de problemas y ejercicios relacionados con el teorema dePitgoras es importante tener claro lo siguiente.

Tringulo rectngulo Caractersticasa) Tiene un ngulo rectob) Los lados que forman el ngulo de 90 se

llaman catetos.c) El lado ms largo y opuesto al ngulo

recto se llama hipotenusaB C

Ahipotenusa

cateto

cateto

34

5

25

2324

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GEOMETRA 37

GRUPO FNIX

TRINGULOSEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 1: Aplicar el teorema de Pitgoras en la resolucin de problemas en diferentes contextos.

Teorema de PitgorasRelaciones que se establecen

a) 2 2 2c a b b) 2 2 2a c b c) 2 2 2b c a

I Caso II Caso III CasoDespeje de la hipotenusa Despeje de un cateto Despeje de un cateto

a) b) c)

Trabajo cotidiano # 1A. Utilizando las relaciones establecidas en el teorema de Pitgoras resuelva los siguientes

problemas1) Calcula la diagonal de un cuadrado de 9cm de lado.2) Calcula la altura de un rectngulo cuya diagonal mide 6,8cm y la base 6cm .3) Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32mm y 24mm .4) Una escalera de 65dm de longitud est apoyada sobre la pared. El pie de la escalera

dista 25dm de la pared. A qu altura se apoya la parte superior de la escalera en lapared?

5) En una empresa se desea construir una rampa, que est a 5m en el plano horizontal yasciende a una altura de 3,4m Cul debe ser la longitud de la rampa?

2 2 2

23 49 1625

5

cccc

2 2 2

25 425 169

3

aaaa

2 2 2

25 325 916

4

bbbb

4

3

c4

a

5b

3

5

BC

A

b

a

c

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38 GEOMETRA

GRUPO FNIX

B. Determine el valor de los segmentos sealados con las variables " "x y " "y1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 16)

17) 18) 19) 20)

8

6

x16

y

20 y

18

30 x

21

35

x

7

13 y

7

10

3 2

4 5x

390

26

y y90

30

4

y

3 8

4 13x

3m

x4m

5a

3a

x7n

9n

x6a

6a

xm

45y

94

y

7 y

8

112

590

233 x

y

52

103

y3 8

4 2

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GEOMETRA 39

GRUPO FNIX

TRINGULOSEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar

a resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y

seleccionar un mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn camino

que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta

obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Adrin y Fabin salen del colegio para su casa. Si Adrin camina 3km hacia el Este y 2kmhacia el Norte y Fabin camina 1km al Oeste y 5km al Norte, a qu distancia se encuentrala casa de Adrin de la de Fabin?

Una forma es por medio de una representacin grfica en un plano coordenado, en dondela casa de Fabin est en el punto 1, 5 y la casa de Adrin est en el punto 3, 2 , siendoel colegio el punto 0, 0 . Luego, utilizar el Teorema de Pitgoras.

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40 GEOMETRA

GRUPO FNIX

TRINGULOSEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 2: Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema dePitgoras.

Distancia entre dos puntosSe puede utilizar la representacin cartesiana para determinar si un tringulo, dadas lascoordenadas de sus vrtices, es o no rectngulo. Para esto se puede utilizar la frmula de ladistancia entre dos puntos.

EjemploDadas las siguientes coordenadas de los vrtices de un tringulo 2, 1 , 6, 5 9, 2A B y C ,clasifique el tringulo de acuerdo con la medida de sus ngulos y la medida de sus lados.Argumente su respuesta.Para la solucin de este tipo de problemautilizaremos la frmula de la distancia entredos puntos: 2 21 2 1 2d x x y y La distancia de A a B es

2 22 6 1 5 4 2d La distancia de B a C es

2 26 9 5 2 3 2d La distancia de A a C es

2 22 9 1 2 5 2d Recordemos el reciproco del teorema de Pitgoras si: , ,a b c corresponden a las medidasde un tringulo, donde " "c representa el lado de mayor longitud y " , "a b los de menortamao se cumple lo siguiente es:Rectngulo si: 2 2 2c a b Obtusngulo si: 2 2 2c a b Acutngulo si: 2 2 2c a b

Solucin: Como:

Entonces el tringulo es rectngulo y como las medidas de sus lados son diferentes seclasifica como escaleno.

2, 1A

6, 5B

9, 2C

2 2 25 2 4 2 3 250 50

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GEOMETRA 41

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 2A. Dadas las coordenadas de los vrtices de un tringulo, clasifique el tringulo de acuerdo

con la medida de sus ngulos en acutngulo, rectngulo y obtusngulo y de acuerdo a lamedida de sus lados en escaleno, issceles y equiltero. Argumente su respuesta.1. 1, 2 , 4, 2 1, 5A B y C2. 1, 2 , 3, 2 3, 7A B y C 3. 4, 3 , 2, 2 3, 5A B y C 4. 2, 4 , 6, 8 6, 10A B y C 5. 2, 4 , 4,4 4, 5A B y C 6. 2, 5 , 4,4 4, 3A B y C

7. 1, 2 , 1, 4 2, 1A B y C 8. 1, 7 , 1, 4 3, 1A B y C 9. 2, 2 , 3, 2 6, 1A B y C 10. 0, 4 , 0,5 3, 5A B y C 11. 2, 0 , 4,0 0, 5A B y C 12. 1, 2 , 1, 4 5, 1A B y C

B. Utilizando el teorema de Pitgoras resuelva los siguientes problemas puede ubicarse enel plano cartesiano para entender mejor algunos problemas.

1) Un automvil recorre 15 km hacia el norte, dobla hacia la derecha en ngulo recto ycontinua 5km ms. Posteriormente dobla hacia el norte y recorre otros 10km ,terminando con 14 km hacia la izquierda en ngulo recto. A qu distancia se encuentradel punto original? Cunto camino recorri?

2) Una persona camina 4 km hacia el norte y 3km al oeste. Luego cambia hacia el norte ycamina 8 km , por ltimo camina 6 km ms hacia el oeste. A qu distancia seencuentra del origen? Cunto camino recorri esa persona?

3) El hueco de una ventana mide 41 pulgadas de ancho y 26 pulgadas de altura. SePuede introducir por la ventana un mesa de ping-pong de 48 pulgadas de ancho?

4) Una puerta mide 210cm de altura por 80 cm de ancho. Cul es el ancho mayor quepuede tener un tablero para que pase por esta puerta?

5) Una persona viaja 8km al norte, 3km al oeste, 7 km al norte y 11km al este. A qudistancia est la persona del punto original? Cunto camino recorri en su totalidad?

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42 GEOMETRA

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar

a resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y

seleccionar un mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn camino

que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta

obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1Se quiere construir una rampa para personas con discapacidad en un colegio. Segn la ley7600 de Costa Rica, el ngulo adecuado para hacer estas rampas es de 15 . Si la altura quese quiere alcanzar es de 1,3m :

a. A qu distancia debe comenzar la rampa?

b. Qu longitud tendra la rampa?

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GEOMETRA 43

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 3: Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa.Medidas angulares de grados a radianes y viceversa

Un radian es el ngulo central de una circunferencia en el que la longitud del arco y del radioson iguales. Su smbolo es rad . En la siguiente figura se muestra ms claro el concepto.

Podemos ver que aproximadamente 3 0,14 3,14rad rad rad rad , de tal forma podemosdecir que 180rad . Que es la mitad de la circunferencia.Considerando la igualdad 180rad podemos decir que 180 1rad de la misma forma

decimos que 1180rad , por lo tanto para realizar la conversin de grados a radianes y

viceversa podemos utilizar estas fracciones para multiplicar la expresin dada y no seralterada ya que la fraccin es equivalente a uno.

Ejemplo 1 Ejemplo 2Convierta 60 a radianes.Multiplicamos 60 180 3

rad rad

60 3 rad

Convierta 25 rad a grados.

Multiplicamos 2 180 725 rad rad

2 725 rad

Ejemplo 3 Ejemplo 4Convierta 80 a radianes.Multiplicamos 480 180 9

rad rad

480 9 rad

Convierta 4 rad a grados.

Multiplicamos 180 454 rad rad

454 rad

1rad rr

r

rr

0,14rad

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44 GEOMETRA

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 3A. Convierta a radianes las siguientes medidas de ngulos

1) 30

2) 45

3) 70

4) 90

5) 120

6) 150

7) 225

8) 300

9) 350

10) 400

11) 500

12) 700

13) 800

14) 1000

B. Convierta a grados las siguientes medidas en radianes

1) 33 rad

2) 6 rad

3) 56 rad

4) 23 rad

5) 73 rad

6) 54 rad

7) 209 rad

8) 103 rad

9) 509 rad

10) 184 rad

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GEOMETRA 45

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 4: Aplicar las razones trigonomtricas bsicas (seno, coseno, tangente) en diversos contextos.Razones trigonomtricas

Las razones trigonomtricas se definen en funcin de los lados de un tringulo rectngulo yson independientes de su tamao, Las tres razones trigonomtricas bsicas son: seno,coseno, y tangente. stas se abrevian como , cos tansen y . Para el estudio adecuado de latrigonometra es fundamental identificar en tringulos rectngulos, la hipotenusa, el catetoopuesto y el cateto adyacente a un ngulo agudo. Veamos los siguientes casos

I CasoTringulo rectngulo Razn trigonomtrica

opuestocateto asen hipotenusa c

adyacentecos hipotenusacateto b

c

cateto opuestotan cateto adyacenteab

II Caso 2Tringulo rectngulo Razn trigonomtrica

opuestocateto bsen hipotenusa c

adyacentecos hipotenusacateto a

c

cateto opuestotan cateto adyacenteba

a

b

c

a

b

c

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46 GEOMETRA

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 4A. Determine las razones trigonomtricas de los siguientes tringulos rectngulos.1) ______sen

cos ______ tan ______

______sen cos ______ tan ______

2) ______sen cos ______ tan ______

______sen cos ______ tan ______

3) 33 ______sen cos33 ______tan33 ______

57 ______sen cos57 ______tan57 ______

4) 40 ______sen cos40 ______tan 40 ______

50 ______sen cos50 ______tan50 ______

5) 30 ______sen cos30 ______tan30 ______

60 ______sen cos60 ______tan60 ______

6) 30 ______sen cos30 ______tan30 ______

60 ______sen cos60 ______tan60 ______

m

n

pa

b

c

x 33

13

y

57 m50

4012

17

32

60

1

12

30

609 3

609

18 30

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 47

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientosHabilidad # 5: Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno.

Razones trigonomtricasPara calcular la medida de un lado de un tringulo rectngulo utilizamos el teorema dePitgoras. Pero cuando solo conocemos la medida de un lado y la medida de un ngulotenemos que utilizar las razones trigonomtricas para calcular los lados restantes. (para estetema es fundamental el uso de la calculadora)

Ejemplo 1Calcule el valor del segmento IJ representado por la variable x en la siguiente figura

a) 760sen se establece la razn adecuadax

b) 7 var60x se despeja la iable xsen

c) 6 3x se despeja utilizando la calculadora

Concluimos que el segmento IJ representado por xes igual 6 3 10,39

Ejemplo 2Calcule el valor del segmento AC representado por la variable y en la siguiente figura

a) tan34 15y se establece la razn adecuada

b) 15 tan 34 var " "y se despeja la iable y

c) 10,11 y se despeja utilizando la calculadora

Concluimos que el segmento AC representado por y

es aproximadamente 10,11

H

I

J607 x

A

B

C

3415

y

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

48 GEOMETRA

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 5A. En las siguientes figuras, utilizando razones trigonomtricas determine el valor

aproximado de las variables " " " "x y y segn sea el caso.1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

B. Calcule la longitud de los segmentos sealados con la variable x .1) 2)

3) 4)

x 31

13 y

5511

12

60

y y

55 7

27

13

x

x90

2815

y

55

9018

y

23

x

12 1445

x

45

8 x57

17

x

355

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 49

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientosHabilidad # 5: Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno.

Razones trigonomtricasCon las razones trigonomtricas podemos determinar la medida de los ngulos agudos deltringulo rectngulo conociendo la medida de sus lados.Ejemplo 1 Calcular Ejemplo 2 Calcular Ejemplo 3 Calcular

Trabajo cotidiano # 6A. Utilizando razones trigonomtricas calcule el valor aproximado de los ngulos en las

siguientes figuras.1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

B. En las siguientes expresiones, determine el valor aproximado del ngulo indicado.

1) 20 , ___7sen

2) 7cos , ___5

3) 13 , ___19sen

4) 11cos , ___19

5) 3tan , ___13

6) 3 7tan , ___2 10

5

3

32

32

60

sen

SHIFsen

A

B

C3 2

2cos 22cos 2

45SHIF

A

B

C2

2

3tan 13tan 1

60SHIF

A

B

C1

3

35

28

2

1

8

4 3

2

2 3

11

17

11

7

23

14

163

133

203 21

2

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

50 GEOMETRA

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos

Habilidad # 6: Aplicar seno, coseno y tangente de ngulos complementarios.ngulos complementarios

Recordemos que: ngulos complementarios son los que suman 90 , y que la suma de losngulos internos de un tringulo es 180 , por lo tanto en los tringulos rectngulos, al tenerun ngulo de 90 , la suma de los otros dos ngulos es 90 , entonces soncomplementarios. Para establecer las razones trigonomtricas, si y son nguloscomplementarios. Analicemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1Determine las razones trigonomtricas seno y coseno en el siguiente tringulo

a) cos 90

bsen cbc

b)

90cos

asen cac

De lo anterior podemos concluir que el seno de un nguloes igual al coseno de su complemento.

Ejemplo 2Determine las razones trigonomtricas seno y coseno en el siguiente tringulo

a)

130 21cos 90 30 2

sen b)

390 30 23cos30 2

sen Al igual que en el ejemplo 1 concluimos que el seno deun ngulo es igual al coseno de su complemento.

c

b

a

90

2

1

3 90 30

30

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 51

GRUPO FNIX

Trabajo cotidiano # 7

A. Con base en el MNP , escriba una X en la casilla SI, si la expresin es unaequivalencia, y NO en caso contrario

MNP Expresiones SI NOa) 90sen sen _____ _____b) cos 90sen _____ _____c) 90 cos 90sen _____ _____d) cos 90 sen _____ _____e) cos 90 cos _____ _____

B. Con base en el DEF , escriba una X en la casilla SI, si la expresin es unaequivalencia, y NO en caso contrario

DEF Expresiones SI NO1) cos 60 cos 90 60 _____ _____2) 60 cos 90 60sen _____ _____3) 90 60 cos 60sen _____ _____4) 90 60 60sen sen _____ _____5) cos 90 60 90sen _____ _____

C. Con base en el ABC , escriba una X en la casilla SI, si la expresin es unaequivalencia, y NO en caso contrario

ABC Expresiones SI NO1) 45 90 45sen sen _____ _____2) cos 45 90 45sen _____ _____3) cos 90 45 45sen _____ _____4) cos 90 45 cos 45 _____ _____5) cos 90 45 cos90 _____ _____

p

n

m

90

M

N

P

f

e

d

90 60

60

D

E

F

c

b

a

90 45

45

A

B

C

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

52 GEOMETRA

GRUPO FNIX

D. Determine los valores de los segmentos sealados con las variables " " " "n y m ,utilizando las razones trigonomtricas para ngulos complementarios

1) 2)

3) 4)

E. Escriba en el espacio indicado una expresin equivalente a la razn dada

Razn Equivalente Razn Equivalente1) 90sen _______________ 2) cos30 _______________3) cos 90 _______________ 4) 30sen _______________5) cos _______________ 6) cos 90 60 _______________7) sen _______________ 8) 90 45sen _______________9) cos 90 30 _______________ 10) cos 45 _______________11) 90 30sen _______________ 12) 60sen _______________

m

90 30

302

x

m

90 60

60n

1

m

90 45

n

2m 90 30

30n3

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

GEOMETRA 53

GRUPO FNIX

TRIGONOMETRAEtapa 1: El aprendizaje de conocimientos

Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de empezar

a resolverlo.Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema y

seleccionar un mtodo especfico.Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonar algn camino

que no resulte exitoso.Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar la respuesta

obtenida.Fuente: Programas de Estudio en Matemticas

Problema 1

En un determinado momento del da, la sombra de un poste de electricidad mide el doble delongitud que la altura misma del poste.

a) En ese momento, cul es el ngulo de depresin de los rayos del sol?

VERSI

N WE

BVERSIN WEB VERSI

N WE

B

54 GEOMETRA