Manufactura CNC de Su perficies ópticas correctoras
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Estr
ada
TESIS
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Manufactura CNCde superficies
pticascorrectoras
Juan Camilo Valencia Estrada
Centro de Investigaciones en Optica, A.C.
TESIS DOCTORAL
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Asesor
Prof. Dr. Daniel Malacara Hernndez
Asesores internos y externos
Dr. Daniel Malacara Doblado Dr. Ricardo Benjamn Flores Hernndez Prof. Dr. Jorge Luis Garca Mrquez
Mesa de sinodales para el examen predoctoral
Dr. Ricardo Benjamn Flores Hernndez Dr. Daniel Malacara Doblado Dr. Zacaras Malacara Hernndez
Mesa de sinodales para el examen doctoral
Prof. Dr. Daniel Malacara Hernndez (Asesor de tesis Presidente)
Prof. Dr. Jos M. Sasin College of Optical Sciences (The University of Arizona) (Sinodal Externo Secretario)
Dr. Rafael Espinosa Luna (Sinodal Interno Vocal)
Tesis doctoral, Centro de Investigaciones en Optica, A.C. Manufactura CNC de superficies pticas correctoras
2015 Juan Camilo Valencia Estrada El diseo de de la portada fue realizado por Moxaika, con la intervencin de la Familia Chaparro-Romo. Las pinturas y las figuras fueron realizadas por el autor.
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Captulo 11
MANUFACTURA CNC DE SUPERFICIES
PTICAS CORRECTORAS
Estudiante: MM. Juan Camilo Valencia Estrada
Asesor: Prof. Dr. Daniel Malacara Hernndez
DOCTORADO EN CIENCIAS (PTICA)
Noviembre de 2015
Len, Guanajuato, Mxico
Versin definitiva. Incluye cambios sugeridos por revisores
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Captulo 12
Resumen: Sistema experto de alta resolucin para la manufactura controlada numricamente por computador (CNC) para el maquinado de superficies pticas correctoras con o sin simetra de rotacin. Algunas de las superficies pticas correctoras halladas corresponden a la solucin analtica (solucin eikonal) que permite corregir todos los rdenes de aberracin esfrica introducida por otra superficie ptica. Esta es la solucin a un antiguo problema planteado en la ptica geomtrica, conocido como el Problema de Wasserman-Wolf para sistemas pticos rotacionalmente simtricos que se componen de una nica lente (patente mexicana). Tambin se presentan las superficies pticas parastigmticas, que permiten corregir algunas formas de astigmatismo irregular con meridianos principales no-ortogonales, (patente mexicana), las cuales permiten mejorar la calidad de la visin humana. De forma novedosa se presentan las soluciones analticas para la curvatura en el vrtice c, la constante cnica K, y los coeficientes de deformacin C2j, de las mejores aproximaciones a la frmula de Schwarzschild:
22
22 2 21 1 (1 )
mj
b jj
crz = t C r
K c r =+ +
+ +
,
para los valos cartesianos y las superficies correctoras de la aberracin esfrica introducida por las superficies esfricas o planas que completan una lente sencilla. Se presentan todos los detalles tcnicos y tecnolgicos (mecnicos y electrnicos) requeridos para disear y construir mquinas CNC basadas en computadores personales, para mecanizado de lentes segn ISO 10110-12 (2007) con un proceso de interpolacin fina de una etapa, con un nico segmento con su offset, que permite lograr alta calidad superficial.
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Captulo 13
Dedicatoria
A mi abuela Soledad, quien fue la primera persona en mi vida en ensearme para que sirve una lente:
... para que todos veamos mejor!
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Captulo 14
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Captulo 15
PRLOGO
Una de las personas que mas me han enseado en mi vida fue mi pariente Hernn
Trujillo Meja (2012 ), quien tal vez es la persona con ms conocimiento que he
conocido y que mejor me ha asesorado en toda mi vida. Hernn fue un lector
incansable. Hernn fue una caja de msica y de sorpresas, dominaba infinitas
disciplinas de fsica, matemticas e ingeniera con alto nivel, y a pesar de que fue
miembro de muchas salas de direccin general de algunas de las empresas ms
grandes de Colombia, sus decisiones siempre fueron tomadas con sentido humano y
responsabilidad social. Hernn fue la primera persona en intentar construir en
Colombia (1967) una mquina computarizada y fue quien me dio las pautas para
hacer mi primera mquina CNC cuando tena 19 aos. Ah comenz mi historia
diseando mquinas. Hernn escribi poesas y cortos ensayos como el siguiente:
EL CALEIDOSCOPIO
Yo no se si todo aquel que lea este ttulo sabr lo qu significa sta hermosa palabra. Y, de
pronto, tampoco s si conoce ese maravilloso instrumento que nos descrest en la niez y
que hoy parece olvidado. La palabra caleidoscopio viene del griego kals que significa
bello; eidos que significa imagen; y skopein que es observar y, apenas en el siglo XIX fue
introducida al idioma como: instrumento ptico de recreo.
Este instrumento ptico de recreo estaba fabricado con un tubo que en su extremo contena
algunos cristales diminutos de diversos colores suspendidos entre dos vidrios circulares que
los mantenan sometidos al extremo del cilindro. Dentro del cilindro estaban inscritos tres
espejos (en algunos casos cuatro o cinco) en donde se proyectaban simultneamente las
imgenes de los cristales produciendo espectaculares vivencias de simetra que cambiaban
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Captulo 16
con el simple movimiento de girar el cilindro que estaba en nuestras manos. All,
comprobbamos que la simetra del universo llevaba en s misma toda la belleza. Era una
geometra intuitiva que se iba grabando en nuestra mente y que nos iba preparando para
admirar todos sus paisajes en forma comparativa! Pero nunca llegu a sospechar que en s
misma tuviera tanta sabidura!
Hoy miro la vida como si fuera un caleidoscopio, aunque nunca me ensearon a hacerlo.
Quisiera girarla para, de pronto, obtener muchas figuras de ella y aprender que, con solo
moverla en nuestras manos, aunque sea un solo grado, ya se nos presente con otra faceta tan
hermosa como las anteriores (o an mejor) y que nunca nos habamos imaginado que
encerrara tanta maravilla.
Cuando se miran los acontecimientos de la vida desde esta perspectiva, uno puede elegir el
que ms le gusta para construir su destino con estas hermosas simetras. Y se puede
asegurar, al pensar de esta manera, que la vida de cada persona tiene simetras maravillosas
diferentes a las de los otros, con lo cual se pueden entender las discrepancias que pudieran
llegar a tenerse con los dems. Cada cual tiene su manera de mirar la vida! Y cada cual la
configura de acuerdo a como mueve su propio caleidoscopio!
Que hermoso sera que todos los hombres mirramos nuestras relaciones de tal manera que
respetramos las otras perspectivas mostradas por cada personal simetra? En ese instante,
el hombre tratara de buscar en su propio caleidoscopio, es decir, en su propio entorno, esas
acciones que tanto lo motivan y tratara de compararlas y compartirlas con las personas ms
allegadas con el fin de formar universos llenos de hermosura que gratifiquen su existencia.
Cuanta enseanza se lograra si viviramos nuestra propia vida en concordancia y paz con
todo el entorno que nos fue dado? Definitivamente, la sabidura del vivir se encuentra
siempre en el enfoque que le demos a nuestra existencia.
Hernn Trujillo Meja, 2011
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Captulo 17
Tabla de contenidos
Captulo 1 Introduccin 13
1.1 La tecnologa es un arte 15
1.2 La automatizacin en la industria ptica 24
Referencias 28
Captulo 2 Antecedentes 31
El viaje de mis genes 33
Referencias 41
Captulo 3 Fundamentos matemticos y procesamiento geomtrico 43
3.1 Representaciones matemticas de las superficies pticas 45
3.2 Continuidad y suavidad de las superficies pticas 47
3.3 Superficies pticas rotacionalmente simtricas
regulares e irregulares 48
3.4 Superficies pticas cncavas, convexas e inflexas 50
3.5 Representaciones de las superficies pticas
rotacionalmente simtricas 53
3.5.1 Representaciones explcitas 53
3.5.2 Representaciones implcitas 60
3.5.3 Representaciones paramtricas 63
3.6 Representaciones de las superficies pticas
no-rotacionalmente simtricas 65
3.6.1 Representaciones explcitas 65
3.6.2 Representaciones paramtricas 74
3.7 Mapeos 82
3.8 Superficies paralelas (offset) 91
3.8.1 Offset de una superficie rotacionalmente simtrica 91
3.8.2 Offset de una superficie no-rotacionalmente simtrica 97
Referencias 102
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Captulo 18
Captulo 4 Catlogo de algunas superficies pticas especiales 107
4.1 Superficies pticas refractivas rotacionalmente simtricas
que presentan imagen sin aberracin esfrica: 109
Superficie 1: Esfricas refractivas para los puntos aplanticos 110
Superficie 2: Cnicas refractivas no-degeneradas I 111
Superficie 3: Cnicas refractivas no-degeneradas II 113
Superficie 4: valos cartesianos de revolucin 115
Superficie 5: Asfrica correctora de la aberracin esfrica
generada por una 1ra. superficie plana 118
Superficie 6: Asfrica correctora de la aberracin esfrica
generada por una 2da. superficie plana 121
Superficie 7: Asfrica focal correctora de la aberracin
esfrica generada por una 2da. superficie plana 124
Superficie 8: Asfrica focal correctora de la aberracin
esfrica generada por una 1ra. superficie esfrica convexa 127
Superficie 9: Asfrica afocal correctora de la aberracin
esfrica generada por una 1ra. superficie esfrica convexa 130
Superficie 10: Asfrica correctora de la aberracin esfrica
generada por una 1ra. superficie esfrica convexa 133
Superficie 11: Asfrica correctora de la aberracin esfrica
generada por una 1ra. superficie esfrica convexa para
un objeto localizado a distancia finita e imagen en el infinito 138
4.2 Superficies pticas refractivas no-rotacionalmente simtricas 145
Superficie 12: Parastigmtica 146
Captulo 5 Fundamentos mecnicos 149
5.1 Criterios de diseo mecnico 151
5.1.1 Eleccin del sistema de coordenadas 151
5.1.2 Orientacin del sistema de coordenadas 152
5.1.3 Diseo de la sujecin y el accionamiento del material 153
5.1.4 Diseo de la sujecin y el accionamiento de la herramienta 155
5.1.5 Diseo de las partes estructurales 160
5.2 Aislamiento de las vibraciones 163
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Captulo 19
5.3 Recomendaciones generales 165
Referencias 167
Captulo 6 Fundamentos electrnicos y elctricos 169
6.1 Criterios de diseo electrnico 171
6.2 Diseo arquitectnico 172
6.3 Diseo de los sistemas de medicin 177
6.4 Diseo de los sistemas de accionamiento 186
6.4.1 Motores de paso (stepping motors) 187
6.4.2 Servo-motores 202
6.4.3 Servomotores lineales 208
Referencias 213
Captulo 7 Fundamentos del software 217
7.1 Software requerido 219
7.2 Programacin manual y semi-automtica 224
7.3 Programacin automtica: GLADIS 224
Referencias 228
Captulo 8 Conclusiones 231
Apndice A (Publicacin realizada) 241
Publicacin: Representaciones explcitas de todas las interfaces pticas refractivas
que no introducen aberracin esfrica 243
1. Introduccin 244
2. Imagen perfecta 245
3. Soluciones analticas explcitas 251
4. Conclusiones 274
Referencias 275
Apndice B (Monografa y patente mexicana) 277
Monografa: Mtodo para disear y producir lentes sin aberracin esfrica 279
1. Marco de trabajo 285
2. Antecedentes 285
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Captulo 110
3. Resumen del mtodo 349
4. Descripcin detallada del mtodo 351
5. Conclusin 510
Referencias 512
Apndice C (Publicacin realizada) 515
Publicacin: Lentes sencillas libres de todos los rdenes de aberracin esfrica 517
1. Introduccin 518
2. Modelo fsico-matemtico 520
3. Un ejemplo 529
4. Frmulas axiales para el fabricante de lentes gruesas 543
5. Soluciones con la frmula de Schwarzschild 546
6. Conclusin 558
Referencias 562
Apndice D (Publicacin realizada y patente mexicana) 567
Publicacin: Superficies y lentes parastigmticas 569
1. Introduccin 570
2. Nuestro propsito 577
3. Fundamentos matemticos 579
4. Superficies parastigmticas 591
5. Ejemplos 599
6. Conclusiones 610
Referencias 613
Apndice E (Publicacin en curso) 615
Monografa: Anlisis funcional de la aberracin de asfericidad longitudinal 617
Introduccin 618
Modelacin 618
1. Modelo fsico-matemtico 618
2. Apertura mxima para la radiacin incidente 619
3. Refraccin con n > 1 622
4. Trazado de rayos con n > 1 628
5. Trazado de rayos con n < 1 657
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Captulo 111
Conclusin 699
Referencias 701
Apndice F (Dos publicaciones en curso) 703
Monografa: Lentes catadiptricas y monolticas, y mtodos para producirlas 705
1. Antecedentes 706
2. Introduccin 707
3. Anlisis preliminar 730
4. Descripcin detallada 734
5. Mtodos 781
6. Resumen 790
Referencias 792
Apndice G (Publicacin en curso) 795
Monografa: Frmula de Schwarzschild para los valos cartesianos 797
1. Introduccin 798
2. Representacin en series de potencias 799
3. Representacin de acuerdo con la frmula de Schwarzschild 809
4. Combinando representaciones 812
5. Resultados y conclusiones 814
Referencias 819
Anexos 821
a. Programa para disear una lente correctora
b. Verificacin usando OSLO
c. Programa para la generacin de cdigos G
d. Lista de publicaciones cientficas realizadas
e. Lista de publicaciones cientficas en proceso
f. Lista de patentes
g. Memorias en USB
Agradecimientos
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Captulo 112
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Captulo 113
Introduccin
1 Introduccin
"Older people sit down and ask, What is it?
but the boy asks, What can I do with it?"
Steve Jobs Octubre 9, 1984
New York
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Captulo 114
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Captulo 115
Colibr leo sobre lienzo
80 210 cm
1.1 La tecnologa es un arte
Una de las diferencias entre los seres humanos y los dems animales es su intensa
capacidad de crear, hacer y usar artefactos [1] para mejorar su existencia. Existen
muchas clases de artefactos (en latn: Artificium o arte de hecho, que resulta de la
fusin de art y factum) como las herramientas, los aparatos, las mquinas y los
instrumentos. Las mquinas constituyen la nica clase de artefactos que permite crear
nuevos artefactos y partes para otros artefactos, y los instrumentos constituyen la
nica clase de artefactos que permite medir la calidad de otros artefactos. Estas
caractersticas fundamentales de las mquinas y los instrumentos han permitido
aumentar el bienestar econmico de nuestra civilizacin, mediante la automatizacin
de la manufactura.
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Captulo 116
Histricamente, la produccin de bienes de los seres humanos ha evolucionado desde
el trabajo manual al trabajo automtico, alcanzando altos niveles de produccin de
productos complejos con alta calidad. La Fig. 1 ilustra parte de esta evolucin [2].
Figura 1. Evolucin de la automatizacin en el proceso de torneado: (a) y (b) manual, (c) semiautomtica, (d) automtica con medicin externa, (e) automtica con medicin integrada.
El nivel ms alto de automatizacin de una mquina se obtiene cuando el control de
calidad del producto esta integrado en la misma mquina, permitiendo regular y
controlar el proceso mediante la retroalimentacin automtica de informacin.
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Captulo 117
Cuando se usan mltiples mquinas para obtener un producto terminado, es posible
coordinar las funciones del grupo de mquinas, constituyendo una celda de
manufactura, que puede ser programada flexiblemente con rdenes de control en
clave.
Para automatizar una mquina se requiere siempre de un programa que puede ser fijo
o variable (flexible) [2]:
Cuando las caractersticas del producto a fabricar nunca o casi nunca cambian, es
conveniente automatizar una mquina con un programa fijo (programacin en
hardware) que puede ser una combinacin de diversas tecnologas:
Mecnicas (mediante mecanismos y sistemas de levas).
Elctricas (mediante el cableado de relevadores y contactores) o electrnicas
(circuitos impresos analgicos y/o digitales).
Usando autmatas o controladores lgicos programables (Programable Logic
Controller PLC).
Fludicas (mediante la conexin de vlvulas neumticas u oleohidrulicas).
Cuando las caractersticas del producto a fabricar cambian peridicamente, es
conveniente automatizar una mquina usando un programa flexible (programacin en
software) mediante rdenes de control en clave, grabadas en un medio de registro
como los tableros con clavijas, las cintas o tarjetas perforadas, cintas o discos
magnticos, discos pticos, o las memorias de estado slido; con instrucciones o
pasos escritos de acuerdo con un protocolo de comunicacin, en conformidad con
alguna norma o estndar privado o pblico.
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Captulo 118
Actualmente, los fabricantes de maquinaria disean y programan flexiblemente sus
mquinas, para que operen con algn protocolo de comunicacin, con programas
escritos con caracteres o nmeros de control en clave (control numrico o Numerical
Control NC), usando caracteres o cdigos numricos de 4 u 8 bits (Fig. 2), mediante el
uso de una o ms computadoras especializadas o personales para su ejecucin y
control (control numrico computarizado o Computerized Numerical Control CNC),
que pueden ser ejecutados mediante procesos de compilacin o interpretacin en lnea
(on-line) con un computador personal, o fuera de lnea (off-line) con un computador
de procesos usando procesadores, microcontroladores y procesadores de seales
digitales (Digital Signal Processors DSP) con o sin coprocesadores matemticos y de
interpolacin [3, 4]) respectivamente.
(a) (b)
Nibble BCD Hex. Gray BCD
Gray 4 bits
0000 0 0 0 0 0001 1 1 0010 2 2 9 9 0011 3 3 E 0100 4 4 1 1 0101 5 5 2 2 0110 6 6 8 8 0111 7 7 3 3 1000 8 8 B 1001 9 9 C 1010 A A 1011 B D 1100 C 6 6 1101 D 5 5 1110 E 7 7 1111 F 4 4
Para completar los 8 bits se agrega un bit 0 al comienzo de cada caracter.
Figura 2. Cdigos de 4 bits (a), y de 7 u 8 bits ASCII para el intercambio de informacin (b).
000 001 010 011 100 101 110 111 Nibble Hex.
0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0 NULL DLE 0 @ P ` p 0001 1 SOH DC1 1 A Q a q 0010 2 STX DC2 " 2 B R b r 0011 3 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 4 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 5 ENQ NAK ! 5 E U e u 0110 6 ACK SYN & 6 F V f v 0111 7 BELL ETB 7 G W g w 1000 8 BS CAN ( 8 H X h x 1001 9 HT EM ) 9 I Y i y 1010 A LF SUB * : J Z j z 1011 B VT ESC + ; K [ k { 1100 C FF FS , < L \ l | 1101 D CR GS - = M ] m } 1110 E SO RS . > N ^ n ~ 1111 F SI US / ? O _ o DEL
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Captulo 119
Desde un punto de vista constructivo, existen dos posibles arquitecturas para las
mquinas CNC: Cerrada o abierta. La arquitectura es cerrada cuando el estndar
utilizado para la programacin de una mquina est reservado solamente para el uso
del fabricante y su conocimiento no es de dominio pblico (cuando no hay
transferencia tecnolgica). La arquitectura es abierta cuando el lenguaje utilizado para
la programacin de una mquina esta de acuerdo o no, con una norma nacional (por
ejemplo, DIN 66025 [5], JIS, etc.) o internacional (por ejemplo, RS274D, ISO 6983-
1:2009 [6]) y es de dominio pblico (cuando hay transferencia tecnolgica).
Tambin, existen tres formas de programacin para las mquinas CNC: Manual,
automtica o semi-automtica. La programacin es manual cuando el programador
escribe el programa CNC instruccin por instruccin, es decir, cada segmento de la
trayectoria de la herramienta relativa a la pieza. La programacin es automtica
cuando un programa realizado por un sistema experto genera automticamente otro
programa CNC, con las rdenes de control en clave, que son de dos clases:
De movimiento (cdigos G que se muestran como ejemplo en la Tabla 1),
Tcnicas (cdigos M que se muestran como ejemplo en la Tabla 2),
de acuerdo con ciertos parmetros y variables de entrada que caracterizan al producto
que debe ser obtenido. Existen tambin mquinas con programacin semi-automtica
realizada por sistemas semi-expertos (CAM) donde a partir de un dibujo de la pieza
(CAD) y algunos parmetros tecnolgicos del proceso establecido por otro experto, se
genera el programa CNC.
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Captulo 120
Tabla 1. Cdigos G para procesos de torneado en conformidad con la norma ISO 6893 o DIN 66025. Tomado del manual para torneado ISO (compatible) con CNC Sinumerik 840D 06/09 6FC5398-5BP10-1EA0. Esta tabla se parte en tres pginas consecutivas. Los grupos internos sirven para clasificar las rdenes de movimiento G (go en lengua inglesa):
...
-
Captulo 121
...
-
Captulo 122
-
Captulo 123
Tabla 2. Cdigos M para procesos de torneado en conformidad con la norma RS274D. Tomado del manual para torneado ISO (compatible) con CNC Haas 968700 AP:2012:
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Captulo 124
1.2 La automatizacin en la industria ptica
La mayora de las mquinas CNC existentes en el mercado para la manufactura de
componentes pticas como lentes, prismas, rejillas de difraccin, etc., son
semiautomticas; sin embargo, existen muchas mquinas automticas, con control
fuera de lnea (off-line) o en lnea (in-line), con ejecucin interpretada o compilada,
con y sin medicin integrada, con arquitecturas abiertas o cerradas, y con
programacin manual, semi-automtica o automtica; pero la gran mayora tienen
control fuera de lnea, ejecucin interpretada, medicin externa, arquitectura cerrada,
y programacin automtica.
Como la mayora de la produccin ptica corresponde al rea oftlmica, la mayora de
los sistemas expertos comerciales estn desarrollados para procesos de torneado CNC,
usando herramientas de diamante natural o policristalino (Polycrystalline Diamond
PCD), de lentes plsticas para anteojos, lentes de contacto, lentes intraoculares (Intra-
Ocular Lenses IOL), esfricas y asfricas, rotacionalmente simtricas, no-
rotacionalmente simtricas y de forma libre (free-form [7] ) usando a veces un motor
piezoelctrico como eje Z redundante (Fast Tool Servo FTS [8] eje W como eje
paralelo al eje Z como se muestra en la Fig. 3). Tambin existen sistemas expertos para
uso interno de las plantas de produccin de muchos fabricantes de lentes, en especial
para la fabricacin de moldes de tefln (PolyTetraFluorEtileno PTFE) y metlicos
(acero inoxidable martensntico AISI 420 o aleaciones de nquel-fsforo), para
procesos de moldeo con o sin centrifugacin (spin casting).
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Captulo 125
Figura 3. Sistemas de coordenadas para las mquinas CNC. En conformidad con la norma ISO los ejes lineales cartesianos de una mquina CNC corresponden a los ejes X, Y, y Z y se asigna el eje Z al eje con la direccin con ms potencia elctrica, que generalmente corresponde al eje de giro del cabezal (husillo). El plano X-Y generalmente est en plano horizontal, pero hay mquinas con bancada inclinada (slant bed) o vertical. Las mquinas generadoras y pulidoras de lentes (a) generalmente tienen el plano X-Y en posicin horizontal para favorecer la retencin del refrigerante o los lquidos abrasivos (abrasive slurring). Los tornos CNC (b) para el mecanizado de lentes plsticas tambin tienen usualmente el plano X-Z en posicin horizontal para maximizar la rigidez. Algunos buenos tornos CNC como los de la compaa mexicana AUGEN pticos de Ensenada BC, tiene bancada principal de aluminio (plano X-Z) en configuracin invertida con el eje Y hacia abajo, para facilitar la evacuacin de viruta con su cada por gravedad, sacrificando su rigidez. Para el mecanizado de superficies pticas no-rotacionalmente simtricas se usa usualmente un eje W (FTS) que coincide con el eje del husillo y est contenido en el mismo o en la boquilla (collets), y tiene baja inercia para poder acelerar y desacelerar rpidamente y posicionarse como funcin de la posicin angular del husillo (eje C), en un sistema de coordenadas cilndrico equivalente (x, z, )=(X/2, W, C). Tambin existen mquinas pulidoras y generadoras con ejes angulares paralelos (D, E y H), no mostrados en la figura, para facilitar la localizacin de los bonnets tratando de que su eje de giro est siempre normal a la superficie. Tambin existen sistemas expertos para procesos de generado CNC convencional o
ultrasnico. Para estos se usan copas y discos de diamante, para el maquinado de
lentes de vidrio o plsticas, substratos para espejos. Tambin se manufacturan insertos
de carburo de tungsteno y nquel-fsforo para los moldes de inyeccin-compresin de
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Captulo 126
componentes pticas de vidrio o plstico. Para el torneado CNC de espejos metlicos
esfricos y asfricos, se usan buriles de carburo de tungsteno, cermica, cermet
(cermica-metal) y diamante, que se describen casi siempre con la norma ISO
10110.12:2007.
Tambin existen sistemas expertos para procesos de micro y nano-mecanizado [9]
(Fig. 4), para el pulimento CNC de superficies pticas, usando herramientas
especializadas (bonnets, cintas abrasivas, etc.), especialmente para el pulido de lentes
de vidrio y espejos metlicos, que se regulan y controlan usando tcnicas de medicin
directas y/o indirectas.
Con el desarrollo de los procesadores de alta velocidad de cmputo y el desarrollo de
los programas matemticos que usan lgebra simblica (Mathematica, Maple,
Derive, Matlab, etc.), han surgido nuevos diseos de lentes correctoras, algunos
presentados en esta tesis, con nuevas superficies correctoras de alto grado, que para
ser fabricadas con alta calidad, requieren de mquinas con alta rigidez dimensional,
controles numricos computarizados basados en PC o integrados, con altas
frecuencias de interpolacin lineal, permitiendo alcanzar altas velocidades de
posicionamiento rpido de hasta 100 metros/min, con mejores tcnicas de
procesamiento geomtrico (segmentacin e interpolacin) usando funciones de orden
superior como los splines [3], que permiten reducir el tamao de los programas y
obtener buena calidad superficial, permitiendo maquinar superficies pticas con
pequeos errores de forma y mnima rugosidad media (RMS), alcanzando valores
inferiores a 20 nm [9], siempre con alta eficiencia energtica, para lograr a veces un
corte espejo con la mejor calidad posible, minimizando el pulimento posterior, que
generalmente es mas difcil de controlar.
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Captulo 127
Figura 4. Clasificacin de los procesos de micro y nano-maquinado (Micro Nano Machining NMN) y micro y nano acabado (Micro Nano Finishing NNF):
USM: Ultra-Sonic Machining. EBM: Electron Beam Machining.
AJM: Abrasive Jet Machining. LBM: Laser Beam Machining.
AWJM: Abrasive Water Jet Machining. EDM: Electro Discharge Machining.
CMP: Chemo-Mechanical Polishing. IBM: Ion Beam Machining.
MAF: Magnetic Abrasive Finishing. PBM: Photon Beam Machining.
MRAFF: Magneto-Rheological Abrasive Flow Finishing
PCMM: Photo Chemical Micro-Machining.
MRF: Magneto-Rheological Finishing. ECMM: Electro Chemical Micro-Machining.
MFP: Magnetic Float Polishing. ECSMM: Electro Chemical Spark Micro-Machining.
EEM: Elastic Emission Machining. EDG: Electro Discharge Grinding.
WJM: Water-Jet Machining. ELID: ELectrolytic In-process Dressing.
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Captulo 128
Referencias
1. Rodrguez-Garca A. 2003 Artefactos: diseo conceptual. Fondo Editorial Universidad Eafit. (ISBN: 958-8173-31-0)
2. Weck M, Brecher C. 2006 Werkzeugmaschinen 4Automatisierung von Maschinen und
Anlagen. (ISBN 978-3-540-45366-6)
3. Bedi S, Ali I, Quan N. 1993 Advanced interpolation techniques for NC machines. Journal of Manufacturing Science and Eng. 115-3, 329-336. (doi:10.1115/1.2901668)
4. Suk-Hwan S, et al. 2008 Theory and design of CNC systems. Springer. (ISBN 978-1-84800-
336-1)
5. Norm DIN 66025-2 Industrielle Automation; Programmaufbau fr numerisch gesteuerte Arbeitsmaschinen; Wegbedingungen und Zusatzfunktionen Ausgabedatum: 1988-09.
6. Standard ISO 6983-1: 2009 Automation systems and integration - Numerical control of
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7. Hu Y, et al. 2014 An accurate interpolator for FTS diamond turning of optical free-form
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8. Dow TA, Miller MH.; Falter PJ. 1991 Application of a fast tool servo for diamond turning of
nonrotationally symmetric surfaces. Precision Engineering. 13-4, 243-250. (doi: 10.1016/ 0141- 6359(91)90001-Y)
9. Jain VK. 2009 Magnetic field assisted abrasive based micro-/nano-finishing. Journal of
Materials Processing Technology. 209-20, 6022-6038. (doi:10.1016/j.jmatprotec.2009. 08.015)
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Captulo 129
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Captulo 130
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Captulo 231
Antecedentes
2 Antecedentes "My grandfather once told me that there were two kinds of people,
those who do the work, and those who take the credit.
He told me to try to be in the first group, since not only do things get balanced,
but there is much less competition."
Indira Gandhi
Febrero 8, 1959
The Times of India
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Captulo 232
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Captulo 233
Sol mexicano leo sobre lienzo
Seccin 90 40 cm
El viaje de mis genes
Los seres humanos no elegimos ni el lugar ni el tiempo en que nacimos, ni tampoco
elegimos a nuestros ancestros (aunque la religin hinduista predica lo contrario), y a
veces a nuestros profesores, y en algunas ocasiones contamos con la buena fortuna de
amar lo que ellos hacen o hicieron. Para mi caso particular mis ancestros han sido tres
generaciones de profesores, ingenieros pticos, optmetras y mdicos oftalmlogos,
colombianos, alemanes y mexicanos. De ellos he aprendido muchas cosas, pero de
algunos la ms importante ha sido su extraordinaria capacidad de trabajar.
Adicionalmente, como ingeniero de produccin de la Universidad EAFIT (1987),
experto en manufactura y educado para aprender, he tenido la oportunidad de adquirir
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Captulo 234
conocimientos, a veces ajenos a mi formacin acadmica y profesional, de otras
disciplinas de ingeniera, fsica y medicina, como: Materiales, mecnica, electrnica,
elctrica, mecatrnica, biomdica, informtica, sistemas, matemticas, optometra,
oftalmologa y biologa computacional.
Con el conocimiento adquirido en mi formacin de licenciatura y mi entorno
familiar, dise y constru totalmente un torno CNC en coordenadas polares
( C, r, , ) = ( C, R, B, Z ) para el torneado de curvas base cncavas de lentes de
contacto [10 ], para obtener mi grado de ingeniero.
Para el torno CNC se usaron dos motores de paso de 200 pasos/revolucin manejados
con dos transladores (translators) con resolucin de medio paso (half step) de
Superior Electric Corporation, accionando un carro radial con eje de desplazamiento
R y con deslizamiento hidrodinmico sobre una gua prismtica en acero AISI D2,
mediante un sistema de transmisin para convertir el movimiento rotacional del motor
a lineal, usando poleas y bandas sincrnicas (Gates-Uniroyal ) de la serie MXL y un
tornillo rectificado inoxidable de acero AISI 420 de rosca ACME de 20 NC, con
doble tuerca precargada de Turcite. El eje angular B fue accionado usando una
reduccin de 1:127, usando bandas y poleas sincrnicas de la serie XL y MXL. El
brazo angular construido en fundicin gris G25 fue pivotado usando rodamientos de
bolas de contacto angular y de agujas debidamente precargados. Todo el sistema polar
( R, B ) fue anclado sobre un carro con deslizamiento hidrodinmico que permita
desplazar, en la direccin del eje Z, el centro polar sobre el eje del husillo, con un
posicionamiento manual usando un comparador de cartula Mitutoyo con resolucin
de 0.001 mm. El husillo rectificado y balanceado fue diseado con un dimetro
exterior estndar de 44 mm y estaba soportado por una estructura hueca de fundicin
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Captulo 235
gris anclada sobre una bancada plana de acero AISI 1045. Para el deslizamiento
rotacional por rodadura del rotor hueco del husillo se usaron dos rodamientos de
contacto angular FAG con disposicin en O debidamente precargados, usando
lubricacin de por vida con grasa blanca de litio SKF. El paralelismo de 0.001 mm
del eje del husillo con el plano de la bancada se logr en el proceso de mecanizado
(alineacin por construccin). Se mecanizaron botones (buttons) comerciales de
copolmeros de Poly-Metil-Metacrilato: PMMA modificado con ndice de refraccin
1.4875, Fluro-Carbn-Acrilato ( Itafocon A Boston II ) con ndice de refraccin
1.4710, y 2-Hidroxi-Etil-MetAcrilato (HEMA) para lentes blandas con ndice de
refraccin 1.4505 en estado seco, usualmente de 1/2 de dimetro por 3/16 o 1/4 de
espesor. Para la sujecin y rotacin (eje C ) de los botones se utiliz un sistema
automtico de carga y descarga con cargador y boquilla (en acero aleado al
manganeso AISI 8620, cementado, templado y revenido con llama), con el husillo
accionado por un motor monofsico que inclusive no se necesitaba apagar y encender
entre ciclos (carga y descarga al vuelo), alcanzando velocidades de hasta 3850 rpm,
mediante una transmisin usando una banda de seccin circular de Polycord de la
compaa sueca Habasit de 6 mm de dimetro. El porta-herramientas dispuesto
sobre el carro radial permita montar un buril en V de diamante natural o
policristalino (Poly-Crystalline Diamond PCD) o de acero rpido HSS (High Speed
Steel) aleado con cobalto, con ajuste fino de la altura y sin ngulo de ataque,
logrndose un corte continuo con un acabado superficial de una rugosidad media de
0.0027 mm.
Para el control numrico de la mquina se us como interfaz con el operador un
computador personal (Personal Computer PC) modelo III de Radio Shack construido
con un procesador Z80 de la compaa alemana Zilog, con 64K de memoria y dos
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Captulo 236
unidades de discos floppy de 5 . Se desarrollaron programas interpretados de alto
nivel (BASIC) y bajo nivel (Z80 Assembler de Avocet Systems ). Para la ejecucin
del control numrico de la mquina se dise y construy un computador de procesos
con un bus especializado, sobre el cual se conectaron seis tarjetas. Las tarjetas tenan
las siguientes especificaciones individuales:
1. Procesador Z80 a 4 MHz con buffers para amplificacin de potencia de los buses
de datos y direcciones.
2. 8K de memoria ROM y 56K de memoria RAM.
3. Puerto paralelo usando buffers 74ls244 y 74ls245 para los pulsadores, lmites de
carrera y puntos de referencia de cada eje automtico.
4. Puerto serial para la comunicacin con el computador personal con el estndar
RS232C con comunicacin asincrnica de 9600 baudios de 8 bits, 1 stop bit y sin
paridad, usando un USART 8251 de Intel.
5. Tres timers programables 8254 de Intel con resolucin de 16 bits, conectados en
cascada de 2 en 2, para la generacin y el conteo de pulsos.
6. Quemador de memorias EPROM y E2PROM.
Se verificaron los datos recibidos y enviados para el monitoreo de la mquina, con
estndar RS232C, usando el computador personal como terminal del computador de
procesos. El programa de control numrico en el PC generaba una tabla de datos o
nmeros de control en clave para cada diseo, que era almacenada en memoria,
diferenciando las rdenes de movimiento de las rdenes tcnicas (encendido del
husillo, activacin del aire refrigerante, etc.). La tabla tena informacin de los
desplazamientos relativos de cada eje: el nmero de pulsos de cada segmento para el
conteo de pulsos (usando interrupciones en el computador de procesos), el sentido de
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Captulo 237
giro (Clock-Wise/Counter-Clock-Wise CW/CCW) y el divisor de frecuencia (con 2
bytes msb:lsb para comandar la velocidad angular de los motores de paso usando los
transladores). Cuando era requerido, la tabla era enviada serialmente al computador de
procesos para ser ejecutada y monitoreada por el computador personal.
Todo el software de bajo nivel para el computador de procesos fue desarrollado,
incluyendo su sistema operacional como debug para recibir, ejecutar y depurar el
programa en RAM antes de quemar el programa final en ROM, usando el teclado y la
pantalla del PC como terminal del computador de procesos.
Para el proceso de control se desarroll un modelo matemtico totalmente a mano sin
la ayuda de programas de algebra simblica, que permita especificar la zona ptica
de la curva base con diferentes geometras: Esfrica, parablica, elptica, hiperblica y
oval; con una zona perifrica toroidal y acoplamiento tambin toroidal con la zona
ptica (blend), tanto para lentes duras como para lentes blandas. En las lentes blandas
se tena en cuenta la expansin anistropa del material en el post-proceso debida a la
absorcin de solucin salina isotnica estril al 0.9% de cloruro de sodio. Con la
informacin geomtrica, el programa de alto nivel segmentaba linealmente la
trayectoria de la herramienta relativa al botn (interpolacin espiral en el plano
meridional R-B), en una sola etapa para maximizar la calidad del acabado superficial.
Todo el proceso de generacin de la tabla de nmeros de control en clave requera de
aproximadamente 45 segundos y se transmita serialmente al computador de procesos
aproximadamente en dos minutos. Una vez que el computador de procesos reciba la
informacin, no era necesario mantener la comunicacin con el PC (off-line CNC).
-
Captulo 238
Para el pulimento de estas superficies asfero-lenticulares se usaron bonnets elsticos,
construidos con globos inflables de ltex, inflados con agua, y recubiertos con un
parche circular de tela de algodn con tejido plano, con un lacrado (pitch) y
resquebrajado del mismo para formar casquetes de pitch en la celdas del tejido, de
forma semejante a los casquetes de un baln de futbol. El pulido se lograba
rpidamente sin mucha distorsin entre uno y tres minutos, usando una solucin
abrasiva (abrasive slurring) con una mezcla de varios polvos abrasivos comerciales,
generalmente de xidos de circonio ZrO2 y almina Al2O3, de las compaas
Universal y Silvo, disueltos en agua filtrada. La calidad de la superficie se
verificaba usando un radioscopio Neitz y un queratmetro B&L (con un ndice
queratomtrico estndar de n = 1.4875) usando un sistema de proyeccin de una
franja de luz blanca delgada que provena una rendija iluminada con una lmpara
fluorescente comercial y un soporte especial colocado en el punto de anclaje de la
mentonera del queratmetro (Lenticn ) para sujetar los botones mecanizados sin
esfuerzos (stress).
Posteriormente trabaj en la empresa Microln como director tcnico (1990-1997),
pero en 1991 debido a la crisis de la industria de lentes de contacto generada por la
guerra de mercados de las grandes multinacionales (B&L, Jhonson&Jhonson, Ciba
Vision, etc.) que producan y regalaban muestras de lentes de contacto desechables,
fabricadas con tcnicas masivas de produccin sin arranque de viruta usando procesos
de spin casting [11] y moldeo por inyeccin-compresin [12], redirig mi trabajo al
diseo y construccin de mquinas CNC para otros procesos de manufactura,
especialmente para procesos de doblado de alambre, y al diseo y la fabricacin de
mas de 200 moldes para la inyeccin de plsticos y metales, algunos con inyeccin en
colada caliente usando torpedos (DME ), refrigeracin forzada con tubos de calor e
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Captulo 239
insertos machos con incrustaciones de cobre-berilio para maximizar la transferencia
de calor.
En el ao 1997 la economa colombiana entr en una severa crisis como consecuencia
de la guerra contra el estado instituida por el narcotrfico. El 75% de las empresas
colombianas cerraron o quebraron. A partir de esa fecha la empresa Microln fue
anexada a la compaa productora de envases farmacuticos C.I. Farmaplast para la
exportacin a los EEUU, la cual subsiste actualmente, y trabaj dirigiendo proyectos
de reconversin industrial de mucha maquinaria usada en la Universidad EAFIT.
Tambin me dediqu al trabajo acadmico en varias universidades colombianas como
profesor de ctedra en diversos programas de ingeniera, impartiendo clases de
diversas asignaturas: Diseo conceptual, diseo metdico, diseo mecatrnico,
circuitos elctricos, matemticas, etc.
En el ao 2005 me vincul como profesor de tiempo completo en la Escuela de
Ingeniera de Antioquia para promover y desarrollar el primer programa de
ingeniera mecatrnica en el departamento de Antioquia. All tuve la oportunidad de
dirigir el proceso de diseo y construccin de los nuevos laboratorios requeridos para
los cursos de las asignaturas propuestas. Los directivos de la universidad, como
premio a mi trabajo, me otorgaron una beca para estudiar una maestra en cualquier
universidad colombiana. En el ao 2007 me matricul en el programa de maestra en
matemticas aplicadas de la Universidad EAFIT, mi alma Mater, obteniendo el
grado en el ao 2009 desarrollando un modelo matemtico de regresin y correlacin
de superficies pticas con aplicacin a la informacin grfica suministrada por los
topgrafos cornales [13]; y paralelamente, en compaa del Dr. en Ingeniera de
Materiales en la Universidad Autnoma de Nuevo Len (UANL ) y maestro en
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Captulo 240
matemticas aplicadas lvaro Bedoya Calle, desarrollamos la modelacin matemtica
para describir analticamente el offset de las curvas cnicas [14] y la modelacin de
todas la lentes posibles de fabricar con superficies que no introducen aberracin
esfrica, describiendo todas las superficies ovales cartesianas de revolucin con
funciones explcitas en un sistema de coordenadas cilndrico, trabajo que actualmente
se encuentra en anlisis de fondo en la solicitud de patente ante el Instituto Mexicano
de la Propiedad Industrial (IMPI ) en Mxico [15].
Figura 5. Topografa sagital (meridional) corneal simulada de un astigmatismo irregular con meridianos principales no ortogonales con parastigmatismo .
En el ao 2010, tuve la oportunidad de presentarle mi trabajo en ptica desarrollado
en Colombia a mi actual asesor Prof. Dr. Daniel Malacara-Hernndez, para poder
ingresar al programa de Doctorado en Ciencias (ptica) en el Centro de
Investigaciones en Optica A.C., al cual fu aceptado como becario del Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnologa (Conacyt) de Mxico, donde he tenido la fortuna
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Captulo 241
de aprender a disear sistemas pticos ms complejos y a desarrollar varios trabajos
como el que se muestra en la Fig. 5 que actualmente se encuentran patentados [16-18]
y que son parte vital de este trabajo de grado.
Referencias
10. Valencia-Estrada JC. 1987 Torno CNC en coordenadas polares para la fabricacin de lentes de contacto. Tesis para obtener el grado en Ingeniera de Produccin. Universidad EAFIT.
11. Wichterle O. 1968 Method for centrifugal casting a contact lens. U.S. Patent No 3,408,429,
29 Oct.
12. Asami H, Nishimoto T, Saito K. 1999 Injection compression molding method of a spectacle lens and a spectacle lens produced by using the same. U.S. Patent No 5,972,252, 26 Oct. 1.
13. Valencia-Estrada JC, Bedoya-Calle AH. 2013 Regresin y correlacin de superficies pticas
de revolucin en forma cannica conocidos los radios de curvatura. Revista EIA 6-12, 91-111. ( ISSN 1794-1237)
14. Valencia-Estrada JC, Bedoya-Calle AH. 2008 Curvas paralelas explcitas de las curvas
cnicas no degeneradas para el torneado CNC de lentes y espejos asfrico-cnicos. Revista EIA 10, 31-43. ( ISSN 1794-1237)
15. Valencia-Estrada JC, Bedoya-Calle AH. 2012 Lentes asfricas ovales. Patente mexicana
pendiente, MX 2012/010025, Agosto 30.
16. Valencia-Estrada JC, Malacara-Doblado D. 2011 Mtodo para producir superfcies y lentes parastigmticas, Patente mexicana. Pub. WO/2013/089548, Solicitud Internacional: PCT/MX2012/000127. Prioridad: PCT/MX/a/2011/013929, Diciembre 16.
17. Valencia-Estrada JC, Flores-Hernndez RB. 2012 Lentes correctoras y mtodo para
producirlas con cero aberracin esfrica. Patente mexicana. Pub. WO/2014/077669 A1. Solicitud internacional: PCT/MX2013/000141 Prioridad: PCT/MX/a/2012/013376, Noviembre 16.
18. http://patentscope.wipo.int/
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Captulo 242
-
Captulo 343
Fundamentos matemticos y
Procesamiento geomtrico Funadamentos matemticos
Do what you can, with what you have, where you are,
and you will be what you had always wanted to be
3 Squire Bill Widener of Wideners Valley, Virginia
Theodore Roosevelt: An Autobiography Chapter IX
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Captulo 344
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Captulo 345
Girasoles con chile leo sobre lienzo
90 210 cm
3.1 Representaciones matemticas
de las superficies pticas
En la ptica, las superficies en 3 se pueden describir matemticamente usando
diferentes sistemas de coordenadas, pero el ms usado es un sistema de coordenadas
cilndrico (r,, z). Si las superficies son geometras de revolucin (rotacionalmente
simtricas), la descripcin se puede simplificar con una representacin en un sistema
de coordenadas en 2 con (r, z), ya que siempre se desaparece en el proceso de
simplificacin. La descripcin en 2 corresponde a la generatriz de la superficie de
-
Captulo 346
revolucin en cualquier plano meridional, con el eje del cilindro correspondiente al
eje z (eje ptico). En este trabajo, de ahora en adelante, una superficie usada como
interfaz ptica ser denominada simplemente como superficie ptica.
En este documento se usa, por convencin, la variable x para la abscisa cilndrica, en
lugar de las variables S, r o r comnmente usadas en la literatura cientfica, y la
variable z para la correspondiente ordenada, aceptando la norma internacional ISO
R841 o DIN66217 para la nomenclatura de los ejes de una mquina CNC. Es muy
comn encontrar en la literatura cientfica notaciones diferentes usando los mismos
sistemas de coordenadas, por ejemplo (r, z), (r, z), (S, z) y (y, z), en lugar de (x, z),
especialmente cuando se describen las aberraciones. Algunos apndices y anexos de
esta tesis, que corresponden a documentos publicados (artculos y patentes) mantienen
la nomenclatura constante, en conformidad con el estndar recomendado por la
American Mathematical Society (AMS), usando un sistema de coordenadas (r, z), el
cual no esta en conformidad con la norma ISO R841, que usa (x, z).
Las superficies pticas rotacionalmente simtricas tambin se pueden describir usando
tres representaciones diferentes:
Implcita: 0F(x,z) = , (3.1)
Explcita: z f (x)
x = g(z)
=, (3.2)
Paramtrica o vectorial: z f (t)
x g(t)
= =
, con parmetro t. (3.3)
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Captulo 347
Dependiendo del tipo de superficie ptica y su uso en ingeniera ptica se debe elegir
la representacin apropiada, considerando que no siempre es posible obtener una
representacin explcita, la cual puede facilitar el clculo de los espesores de los
espejos o las lentes. Si se usa una representacin paramtrica dependiente del tiempo
t, el clculo de la velocidad es inmediato con vx=dx / dt y vz=dz / dt, representacin
particularmente til para la fabricacin, usando mquinas CNC, donde por ejemplo
(en el plano x-z), el avance (feed) x zF es fcilmente calculado con
2 2
x z
dx dzF
dt dt = +
. (3.4)
3.2 Continuidad y suavidad de las superficies pticas
No siempre las superficies pticas rotacionalmente simtricas son continuas y suaves.
Algunos ejemplos de estas son los axicons o axiconos, las superficies lenticulares con
o sin acoplamiento continuo en los sectores de transicin, usadas en casi todas las
lentes de contacto blandas o duras de alto poder refractivo, y las superficies de forma
libre usando splines que pueden ser continuas pero no siempre suaves.
La definicin matemtica de continuidad establece que una funcin :f x z es
continua en el punto x0 si:
0f (x )est definida, de modo que x0 est en el dominio de f.
0
limx x
f (x)
existe para x en el dominio de f.
Si 0
0limx x
f (x)= f (x )
y 0
0limx x
f (x)= f (x )+
, entonces 0
0limx xf (x)= f (x )
.
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Captulo 348
Es importante mencionar que una funcin tambin puede ser suave, si esta tiene todas
sus derivadas continuas sobre algn dominio, en el intervalo abierto (a, b) o cerrado
[a, b], hasta un orden deseado, dependiendo del problema particular.
3.3 Superficies pticas rotacionalmente simtricas
regulares e irregulares
Usando algunos conceptos que se usan para el anlisis de funciones, un parche de una
superficie ptica rotacionalmente simtrica es analtico o regular si este tiene todas
sus derivadas de todos los rdenes, permitiendo expandir la funcin explcita usando
series de Taylor en la vecindad de cualquier punto, perteneciente al parche, con
abscisa meridional a, mediante
[ ]
(3)2 3
0
1
0
0
( )+ ( ) ( ) ,2! 3!
( ) ,!
1 / ( ) ( ) ,
( ) ,
(j)j
j
j
j
jj
j
f (a) f (a)z = f (x) f (a)+ f (a) x a x a x a
f (a)x a
j
f ( a ) x a
C x a
=
=
=
= + +
=
=
=
z (3.5)
donde Z-1 corresponde a la transformada Z inversa de la funcin evaluada en 1/(za).
Y en la vecindad del origen (vrtice central) corresponde a una serie de Maclaurin par
cuando a = 0, mediante
-
Captulo 349
[ ]
(4)2 4
22
0
1 2
0
22
0
0 00 + ,
2! 4!
0,
(2 )!
1 / ,
,
( j)j
j
j
j
jj
j
f ( ) f ( )z = f (x) f ( ) x x
f ( )x
j
f ( ) x
C x
=
=
=
= + +
=
=
=
z
(3.6)
donde Z-1 corresponde a la transformada Z inversa de la funcin evaluada en 1/z.
Un parche de una superficie ptica es irregular o meromorfo (del Griego
mxroz (meros), significando "parte" + morjh (morphe) significando "forma") si su
representacin explcita es una funcin analtica con un subconjunto discreto de sus
puntos de su dominio D que no lo son, y en estas singularidades (agujeros) su
evaluacin tiende a infinito. Intuitivamente, una funcin meromorfa es un cociente de
dos funciones holomorfas (del Griego oloz (holos) significando "toda" + zorjh
(morphe), significando "forma"). Una funcin holomorfa tambin es sinnimo de
funcin regular o funcin diferenciable o conjunto sin agujeros en un dominio D, que
cuando es un sector de una superficie es conocido con el nombre de parche regular.
Por ejemplo, las funciones de curvatura meridionales1 (sagitales) de muchas
superficies pticas son funciones irregulares o meromorfas en el vrtice, dependiendo
del sistema de coordenadas utilizado y del dominio considerado.
Resumiendo, en un sistema de coordenadas, si todos los parches de una superficie
ptica son regulares u holomorfos, entonces la superficie es regular u holomorfa. Por
1 Corresponde a una curvatura principal, si la superficie es un parche de una superficie rotacionalmente simtrica.
-
Captulo 350
lo contrario, si al menos un parche de una superficie ptica es meromorfo, entonces la
superficie ptica es meromorfa.
Existen muchas superficies pticas regulares e irregulares. Dependiendo de estas
propiedades es posible realizar algunos clculos especiales y tomar algunas
precauciones, para que el sistema de control de la mquina CNC no caiga en estos
agujeros negros cuando se disea y ejecuta el software.
3.4 Superficies pticas cncavas, convexas e inflexas
Desde un punto de vista topolgico, las superficies pticas pueden ser clasificadas en
uno de los siguientes tipos:
Cncava: Una superficie ptica es cncava cuando dados dos puntos cualesquiera
de la superficie, el segmento o cuerda que los une siempre queda por fuera con
relacin al observador. Las superficies pticas cncavas requieren estrategias de
maquinado especiales y generalmente 2 son las primeras superficies mecanizadas de
una lente, ya que estn autoprotegidas de los rayados accidentales y la
contaminacin. Hacen parte de muchas superficies pticas de las lentes para
anteojo (superficie posterior) y de algunas lentes de contacto (curva base o
posterior). En los instrumentos pticos las superficies cncavas hacen parte de
todas las lentes negativas (con poder o potencia negativa) correspondientes a
distancias focales efectivas negativas. Tambin hacen parte de muchas lentes
2 En las lentes oftlmicas para anteojos generalmente es la segunda superficie mecanizada segn prescripcin ya que la base generalmente es la superficie anterior convexa mecanizada de fbrica.
-
Captulo 351
menisco (cncava-convexas o convexo-cncavas) que pueden ser refractivamente
positivas o negativas. Con nuestro sistema de coordenadas cilndrico y nuestras
convenciones, la generatriz, con vrtice en el origen, siempre tiene representacin
en el primer semiplano (cuadrantes I y II de la mquina CNC), es decir, siempre
z(x) 0. Las superficies cncavas rotacionalmente simtricas se caracterizan
porque su primera derivada tiene un nico punto mnimo, es decir dz / dx = 0 tiene
una nica solucin analtica para x = 0, donde la segunda derivada satisface
d2z / dx2 |x= 0 > 0.
Convexa: Una superficie ptica es convexa cuando dados dos puntos cualesquiera
de la superficie, el segmento o cuerda que los une siempre queda por dentro con
relacin al observador. Las superficies pticas convexas tambin requieren
estrategias de maquinado especiales y generalmente no son las primeras superficies
mecanizadas de una lente, ya que se pueden rayar fcilmente. Hacen parte de las
superficies pticas de muchas lentes para anteojo (superficie anterior o base), de
las lentes de contacto sencillas (curva anterior) y de las lentes intraoculares no
difractivas (ambas superficies). En los instrumentos pticos las superficies
convexas hacen parte de todas las lentes positivas (con poder o potencia positiva)
correspondientes a distancias focales efectivas positivas. Tambin hacen parte de
muchas lentes menisco (cncava-convexas o convexo-cncavas) que pueden ser
refractivamente positivas o negativas. Con nuestro sistema de coordenadas
cilndrico y nuestras convenciones para una mquina CNC, la generatriz de una
superficie anterior de una lente, con vrtice en el origen, siempre tiene
representacin en el segundo semiplano (cuadrantes III y IV de la mquina CNC),
es decir, siempre z(x) 0. Las superficies convexas rotacionalmente simtricas se
caracterizan porque su primera derivada tiene un nico punto mnimo, es decir,
-
Captulo 352
dz / dx=0 tiene una nica solucin analtica para x = 0, donde la segunda derivada es
d2z / dx2 |x= 0 < 0.
Inflexa: Una superficie ptica es inflexa cuando dados dos puntos cualesquiera de
la superficie, el segmento o cuerda que los une puede quedar con tramos por fuera
y por dentro con relacin al observador. Las superficies pticas inflexas tambin
requieren estrategias de maquinado especiales. Hacen parte de las superficies
pticas de muchas lentes asfricas (no-esfricas) y/o lenticulares (con
representaciones por tramos o parches), especialmente en algunas interfaces
rotacionalmente simtricas con una seccin meridional que corresponde a dos tipos
de valos cartesianos cuando los planos conjugados son real|virtual o virtual|real, y
en las superficies correctoras de aberraciones especficas. Tambin en los
telescopios se utilizan en algunas placas correctoras que son inflexas, por ejemplo
las placas correctoras de Schmidt. Con nuestro sistema de coordenadas cilndrico y
nuestras convenciones para una mquina CNC, la generatriz, con vrtice en el
origen, puede tener representacin en todo el plano (cuadrantes I, II, III y IV de la
mquina CNC), pero algunas veces se comportan como si fuesen cncavas con
z(x) 0 y otras veces como si fuesen convexas con z(x) 0. Las superficies
rotacionalmente simtricas e inflexas se caracterizan porque su primera derivada de
la representacin meridional tiene puntos de inflexin, es decir, dz / dx = 0 tiene
solucin analtica para x = 0 y en un nmero par de puntos crticos xc 0 de la
generatriz puesto que es una funcin par, donde la segunda derivada se hace
tambin nula d 2z / dx2 |x= 0 = 0.
Es importante resaltar, que cuando la superficie es rotacionalmente simtrica e
inflexa, esta puede tambin contener lneas anulares concntricas con el eje ptico
-
Captulo 353
y pendiente nula en el plano meridional, correspondientes a un punto crtico
mximo o mnimo local de la generatriz, segn el criterio de la segunda derivada.
Tambin las superficies lenticulares pueden ser inflexas, las cuales siempre existen
en las dos superficies de la mayora de las lentes de contacto y siempre en las
lentes blandas, en las lentes de Fresnel y en las lentes difractivas, y en ellas pueden
incluir (y generalmente siempre incluyen) puntos irregulares donde la superficie
pierde su continuidad.
3.5 Representaciones de las superficies pticas
rotacionalmente simtricas
En el captulo 4 se presentar un catalogo de todas las superficies pticas correctoras
rotacionalmente simtricas que resultaron de esta tesis y algunas conocidas, que
pueden ser maquinadas con control numrico computarizado CNC, clasificadas y
especificadas segn su representacin matemtica, estableciendo siempre el vrtice en
el origen de coordenadas. Para facilitar su comprensin se muestran a continuacin
sus principales caractersticas:
3.5.1 Representaciones explcitas
Segn la norma ISO 10110 parte 12 del ao 2007 (ISO 10110-12:2007), las
superficies pticas rotacionalmente simtricas, se prescriben usando una superficie
cnica de referencia, representada explcitamente, con curvatura en el vrtice c = 1/ R
donde R es el radio de curvatura apical (vrtice), y una constante cnica K, en adicin
-
Captulo 354
a unos coeficientes de deformacin o asfericidad opcionales A2j que pueden ser
especificados hasta el grado donde el usuario determine segn m:
22
22 2 21 1 (1 )
mj
jj
c xz = f(x) A x
K c x == +
+ + , (3.7)
donde la constante cnica K es cero para las esferas, -1 para las parbolas, menor que
-1 para las hiprbolas, entre -1 y 0 para las elipses oblatas, y mayor que 0 para las
elipses prolatas.
Racionalizando la cnica de referencia en la ecuacin (Ec.) (3.7), derivando y
simplificando se obtiene la pendiente en cualquier punto de Ec. (3.7) con
2 12
2 2 2
21 (1 )
mj
jj
dz c x= f (x) j A x
dx K c x
=
= + +
. (3.8)
La segunda derivada de Ec. (3.7) simplificada corresponde a
( )
22 2
22 32 2 2
2 (2 1)1 (1 )
mj
jj
d z c= f (x) j j A x
dx K c x
=
= + +
. (3.9)
Se puede calcular un radio de curvatura principal y meridional de toda la superficie en
cualquier punto, con
-
Captulo 355
32
2
2
1dz
dx(x)=
d zdx
+ , (3.10)
evaluando Ec. (3.10) con Ecs. (3.8)- (3.9), y simplificando, se obtiene
( )
32
2 12
2 2 2
2 22
3 22 2
1 21 (1 )
2 (2 1)
1 (1 )
mj
jj
mj
jj
c xj A x
K c x(x)=
cj j A x
K c x
=
=
+ + +
+ +
, (3.11)
que al ser evaluada3 en el origen cuando r = 0, corresponde a R = 1/c.
Una superficie asfrica segn ISO 10110-12 (2007) con coeficientes de deformacin
A2j nulos nunca presenta puntos de inflexin, por lo tanto siempre ser cncava o
convexa, dependiendo del signo de c o R: Si c o R son positivos, se define cncava en
3 Es evidente que si hubiese coeficientes de deformacin de segundo grado no nulos (si j=1 en la cota inferior del subndice de la suma en Ec. (3.7)), el radio de curvatura en el vrtice de la superficie no correspondera al radio de curvatura apical de la cnica de referencia. Este error es muy comn encontrarlo en muchos documentos cientficos y trabajos de diseo ptico, donde realmente el radio de curvatura en el vrtice es
( )
32
2 12
2 2 1
2 2 22
3 12 2
0
1 21 (1 ) 1
22 (2 1)
1 (1 )
mj
jj
mj
jj
x
c xj A x
K c x(0)=
c c Aj j A x
K c x
=
=
=
+ + + =
++ +
.
-
Captulo 356
el sentido del maquinado CNC (no con un sentido ptico siguiendo la regla de signos
de Descartes), y si c o R son negativos, ser convexa en el sentido del maquinado
CNC. Si la superficie presenta coeficientes de deformacin, la superficie puede ser
inflexa con puntos crticos xc en las soluciones para xc de
2 12
2 2 2
2 01 (1 )
mjc
j cj
c
c xj A x
K c x
=
+ = +
, (3.12)
que tiene solucin analtica para xc = 0 y para los dems puntos crticos, solo cuando
m=2:
242 2
4 01 (1 )
c c
c
cx A x
K c x
+ = + , (3.13)
con la solucin de la sxtica
2 2 4 2 2416 (1 (1 ) )c cc A x K c x= + . (3.14)
Teniendo en cuenta que si c = 0, y si existen dos, cuatro o seis soluciones reales
complementarias en Ec. (3.14), las dos mas cercanas al origen determinan un punto de
inflexin, ya que el vrtice es un mximo o un mnimo local. Este principio de
alternancia de la clasificacin de los valores crticos segn Ec. (3.14) corresponde a
que en un dominio con varios puntos crticos, no puede haber dos puntos crticos
vecinos con la misma clasificacin extrema (mximo o mnimo).
-
Captulo 357
Otra representacin puede ser obtenida racionalizando el primer sumando en Ec. (3.7)
2 22
22
1 1 (1 )
(1 )j
jj
K c xz(x)= A x
K c
=
++
+ , (3.15)
la cual no permite la representacin de superficies asfricas con curvatura nula en el
vrtice, ni superficies asfricas con una seccin meridional parablica con K = 1.
La superficie Ec. (3.15) puede tambin ser representada usando series de MacLaurin;
es decir, expandiendo Ec. (3.12) en series de Taylor alrededor del vrtice, con la
frmula fundamental:
2 22 2
1 2
k jk j
k j
z(x) Q x A x
= =
= + . (3.16)
Para determinar los coeficientes Q2k, se usa el procedimiento descrito en Ec. (3.6), con
la transformada Z inversa o Z-1 de la funcin z(x) a ser expandida, evaluada en
x = 1 / z, recordando que z (en negrilla) es una variable transitoria (dummy) y es
diferente de la abscisa z:
[ ]1/ , int 0,1,2, ,kQ z( ), ,k k= = -1 z zZ . (3.17)
Substituyendo la base cnica de la representacin Ec. (3.6) en Ec. (3.17), la
transformada Z inversa no tiene solucin analtica; pero sustituyendo la base cnica
-
Captulo 358
racionalizada con la representacin Ec. (3.15) en Ec. (3.17), Z-1 existe con la
representacin Ec. (3.18):
( ) /22
2
1(1 ) Binomial , (1 UnitStep[
1 1 (1 ), int 0,1,2,
]) UnitStep[ Mo
, ;
d[ ,2]]2 2 ,
(1
)
)
(1k
kc K k k
c K
cK
Q , ,k kc K
k +
+ = = +
=
+
-1 z zZ
(3.18)
con coeficientes pares no nulos para todo entero k siempre par, puesto que la base
cnica es rotacionalmente simtrica, es decir, es una funcin par, lo cual significa que
la Ec. (3.18) puede ser simplificada con la sustitucin de k = 2j, para cualquier entero
positivo j, removiendo todos los coeficientes para todos los valores de k impares, a
( )22
1(1 ) Binomial ,
2 , int 1,2,3,...,(1 )
j
j
c K jj
c KQ
+ =+
= . (3.19)
Sustituyendo Ec. (3.16) en Ec. (3.13), se obtiene:
-
Captulo 359
( )22 2
21 2
1(1 ) Binomial ,
2(1 )
.
j
j jj
j j
c Kz(x) A
Kx x
j
c
= =
+ +
= +
(3.20)
1 1 2 22 2
2 2
2 1( 1) (1 ) Binomia ,2 2
l2
j j jj j
j j
j jc c K jc
z(x)= A x C x
= =
+ + + +
=
. (3.21)
La Ec. (3.21), que es vlida para cualquier superficie ptica rotacionalmente simtrica
que pasa por el origen de coordenadas, nos permite calcular las ecuaciones para los
coeficientes de deformacin A2j que mejor representan una superficie correctora segn
la norma ISO 10110-12:2007,
34 4
5 26 6
7 38 8
9 410 10
11 512 12
13 61
2
4 14
1 12 2
1(1 ),
81
(1 ) ,165
(1 ) ,128
7(1 ) ,
25621
(1 )
1( 1) (1
,
) Binomial ,
102433
(1 ) ,2048
.2
jj
jj
j
A C c K
A C c K
A C c K
A C c K
A C c K
A C c K
A C c K j
= +
+
= + = +
= +
= + = +
=
(3.22)
-
Captulo 360
3.5.2 Representaciones implcitas
Las representaciones implcitas eran bastante utilizadas en el siglo XIX por los
matemticos y fsicos ingleses e irlandeses. Actualmente se usan para evitar
descripciones muy extensas con otras representaciones. No existen normas
internacionales para representar superficies pticas implcitas rotacionalmente
simtricas. Los valos cartesianos generalmente se representan implcitamente de
acuerdo con el Principio de Fermat, puesto que las soluciones explcitas z(x) son
bastante extensas.
Los valos cartesianos de revolucin son superficies refractivas que pueden formar
imagen perfecta de un punto objeto situado sobre el eje ptico; es decir, presentan
refraccin sin generar aberracin esfrica. Los valos cartesianos fueron descritos por
primera vez por Descartes [19], y han sido estudiados por numerosos autores [20-27]
con una representacin matemtica implcita. Ellos han sido bien descritos por:
Hsueh y otros [28] usando representaciones matemticas explcitas.
Valencia y otros [29] (Apndice A), con funciones recursivas de 4to. grado que
son soluciones obtenidas del Principio de Fermat usando tambin
representaciones matemticas explcitas en coordenadas cilndricas (r, z), pero
con funciones recurrentes tambin de 4to. grado que son soluciones tambin del
Principio de Fermat; y tambin con series de potencias finitas hasta la octava
potencia, resolviendo una ecuacin diferencial no-lineal de primer orden que
resulta de la Ley de Snell.
Y por Gutirrez y otros [30], usando representaciones meridionales con
coordenadas polares explcitas para los casos convexos.
-
Captulo 361
Considerando frentes de onda esfricos y usando el Principio de Fermat entre medios
istropos y pticamente homogneos, en toda interfaz ptica libre de aberracin
esfrica, el camino ptico de cualquier rayo no central (Fig. 6), debe ser igual al
camino ptico de su rayo axial, que viaja a lo largo del eje ptico, por lo cual
Figura 6. Refraccin en una interfaz oval cartesiana de revolucin con objeto real O e imagen real I. El camino ptico OI del rayo central que viaja por el eje ptico desde el punto objeto O situado a una distancia vrtice-objeto ta (con la regla de signos de Descartes), al punto imagen I situado a una distancia vrtice-imagen tb, es igual al camino ptico del rayo que viaja por el camino OPI.
2 2 2 2sign ( ) sign ( ) 0a a b b a b( t ) x z t n ( t ) x z t t nt + + + + = (3.15)
o
2 2 2 2 2 2( ( ) ) ( ( ) )0a a b b a b
a b
t x z t t x z tn t nt
t t
+ + + + = , (3.16)
donde todas las funciones sign (var) son dicotmicas con valores 1 sin el valor cero
cannico, es decir,
-
Captulo 362
1 si 0,
sign indefinido si 0,
1 si 0,
x
(x) x
x
(3.17)
recordando que la funcin sgn (var) cannica es diferente y corresponde a
1 si 0,
sgn 0 si 0,
1 si 0.
x
(x) x
x
. (3.18)
La anterior regla de evaluacin para la funcin sign(var) es equivalente a establecer
que ni la distancia objeto ta, ni la distancia imagen tb, pueden ser nulas usando
Ec. (3.16).
Si se consideran frentes de onda incidentes planos cuando el objeto esta en el infinito,
las Ecs. (3.15)-(3.16) se reducen a elipses implcitas, en el lmite cuando
ta , a
2 2sign ( ) 0b b bz n ( t ) x z t nt+ + = (3.19)
o
2 2 2( ( ) )0b b b
b
t x z tz n nt
t
+ + = . (3.20)
-
Captulo 363
Si se consideran frentes de onda emergentes planos cuando la imagen esta en el
infinito, las Ecs. (3.15)-(3.16) se reducen a hiprbolas implcitas, en el lmite cuando
tb , a
2 2sign ( ) 0a a an z ( t ) x z t t+ + = (3.21)
o
2 2 2( ( ) )0a b a
a
t x z tn z t
t
+ + = . (3.22)
Es un buen ejercicio para los estudiantes de un curso introductorio de ptica
geomtrica deducir las Ecs. (3.15)-(3.16) que esta bien detallado (Apndice B).
3.5.3 Representaciones paramtricas
Las representaciones paramtricas se usan generalmente cuando no es posible obtener
una solucin explcita para la variable z de una funcin implcita conocida, o cuando
se desean separar las representaciones explcitas como funciones paramtricas del
tiempo.
Tampoco existe una norma internacional para especificar las superficies pticas
paramtricas.
-
Captulo 364
Como parte del trabajo realizado en la investigacin en el CIO, se desarroll un
mtodo que permite disear la geometra de la segunda superficie de una lente para
corregir todos los rdenes de aberracin esfrica generados por la primera superficie,
ya sea esfrica o plana. En la documentacin [31] (Apndice B) que result de este
trabajo, se describe el proceso fundamental de esta tcnica, pero respetando el estilo
convencional usando la variable r en lugar de x para la abscisa, en no-conformidad
con la norma ISO. Tambin se anexa un resumen del mtodo (Apndice C), con un
anlisis extendido para encontrar la mejor aproximacin explcita, tambin en no-
conformidad con la norma ISO, que corresponde a la versin adaptada de la
publicacin en la revista Proceedings A de la Royal Society [32].
Por el carcter novedoso de este trabajo, se registr la aplicacin al proceso de
patentamiento en el Instituto Mexicano de la Propiedad Industrial IMPI, asignando
la propiedad industrial al Centro de Investigaciones en Optica A.C. el da 16 de
noviembre de 2012, donde el registro se anexa (Anexos), con su respectiva
versin para su solicitud internacional PCT/MX2013/000141 (Anexos). Tambin se
incluye el registro de publicacin internacional WO/2014/077669 A1 (Anexos) con la
evaluacin internacional realizada por la WIPO (World Intellectual Property
Organization ), a travs de la Oficina Espaola de Patentes.
-
Captulo 365
3.6 Representaciones de las superficies pticas
no-rotacionalmente simtricas
En el captulo 4 se presentar en el catlogo la superficie ptica no-rotacionalmente
simtrica que result de este trabajo de grado, que puede ser maquinada con control
numrico computarizado CNC, clasificada y especificada segn su representacin
matemtica, estableciendo siempre el vrtice en el origen de coordenadas. Para
facilitar su comprensin se muestran a continuacin sus principales caractersticas:
3.6.1 Representaciones explcitas
Las superficies pticas no-rotacionalmente simtricas, se pueden representar
explcitamente, con
,z f ( x y )= . (3.23)
en un sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z(x, y)); pero es ms comn encontrar
representaciones explcitas con la forma
,z f ( r )= . (3.24)
en un sistema de coordenadas cilndrico (r, , z(r, )), donde es el ngulo azimutal.
-
Captulo 366
cos ,
sen .
x r
y r
= =
(3.25)
Como la mayora de lentes no-rotacionalmente simtricas se mecanizan usando tornos
y generadoras CNC con cuarto eje (eje C de acuerdo con la norma ISO 6983, que
corresponde al eje rotacional que describe la posicin angular alrededor del eje
principal de la mquina Z), la representacin Ec. (3.16) es ms apropiada y
corresponde a la representacin de mquina con un sistema de coordenadas de
mquina (X, C, Z)
2 o ,
,
, o , ,
r r
z( r ) z( r )
= = = =
X
C
Z W
(3.25)
recordando que la coordenadas en X pueden ser diametrales (2r) o radiales (r) a
criterio del fabricante o el programador (es ms comn encontrar programas con
coordenadas diametrales). Cuando las mquinas tienen FTS (Fast Tool Servo)
generalmente se programa el eje W (paralelo al Z) que es bastante comn en los tornos
CNC para el mecanizado de lentes oftlmicas.
Tambin, con el desarrollo tecnolgico ha surgido la posibilidad de fabricar
superficies asfero-cilndricas, que se pueden representar de manera aproximada por
( )2 2
2 22 2
2 22 2
2 2
, ( )
1 11 1
x y j jj j
j
x x y y
c x c yz( x y ) A x B y
c x K c y K
x y
=
+= + +
+ + ++
+
(3.26)
-
Captulo 367
donde cx y cy son las curvaturas principales en el vrtice, y Kx y Ky son las constantes
cnicas de las respectivas curvas primitivas principales, de acuerdo con el modelo
estndar, siguiendo Ec. (3.7).
La expresin anterior permite representar cualquier superficie no-rotacionalmente
simtrica que puede ser descrita con dos curvas primitivas diferentes meridionales y
ortogonales en el vrtice.
De forma novedosa (patente mexicana MX2012/000127 [33]), se incluyen en esta tesis
las superficies parastigmticas (Apndice D), que son superficies no-rotacionalmente
simtricas con dos curvas primitivas meridionales ortogonales o no-ortogonales (una
en el plano X-Z y la otra en el plano Y-Z con un ngulo entre ellos ), que tienen una
representacin en coordenadas cilndricas (r, , z(r, )):
( )
2
22
( ( ) ),
1 1 1 1(1 )
Y X Y ( )
X X ( ) Y Y ( )
r c c c wz( r )
r c K w c K w
+
=+ + + +
. (3.27)
(Se detallan los subndices de las curvaturas en los vrtices en maysculas, indicando
las curvaturas principales en los meridianos principales no-ortogonales (Fig. 7)), con
la variable recursiva w(a ) segn
( )( )( )( )
22
2
2 1 cos 2( ) sen
2 1 cos 2( ) sen
e ( ) ( )w( )
e ( )
+ + = + + + +
, (3.28)
con ngulo de rotacin prescrito, y ngulo fijo calculado con
-
Captulo 368
2 2 2
2 4 2 4 31
2
6 7 4(1 2 )cos 2 (2 )cos 4
8 2 1 ( 1 )cos 2 sencos Re
4 (5 3cos 2 )
e e ( ) e ( )
e e e e ( )( )
e ( )
+ + + + + + =
. (3.29)
Cuando tiende a / 2 radianes y e tiende a cero, la Ec. (3.29) puede converger
errneamente en un nmero complejo con una insignificante parte imaginaria, como
subproducto de los errores de mquina en los clculos numricos con mantisa y punto
flotante. Por dicha razn se le adiciona la funcin Re como un seguro matemtico,
para indicar la parte real. La ecuacin (3.29) tiene un discriminante que garantiza una
solucin vlida y real si
25 2cos 2 3cos 2 1 cos 21
2sen
( ) ( ) ( )e
+ < < . (3.30)
con la condicin Ec. (3.30), para un ngulo entre ejes y una excentricidad e
predeterminados. La excentricidad determina la tasa de cambio de las curvaturas entre
los meridianos principales.
Cuando / 2 la cota inferior de Ec. (3.30) tiende a cero, y cuando / 2 y
e 0 el lmite de Ec. (3.29) se reduce a / 2; para reducir el lmite de
Ec. (3.28) a 2cosw( ) ( ) , para finalmente reducir Ec. (3.27) a
( )2 2 2
22 2 2
( cos sen ),
1 1 1 cos 1 sen
X Y
X X Y Y
r c ( )+ c ( )z( r )
r c K ( ) c K ( )
=+ + + +
. (3.27)
-
Captulo 369
Figura 7. Topografa simulada de curvaturas sagitales (meridionales), de una superficie base de una lente de contacto, con parastigmatismo coseno-pararmnico, con parmetros cX = 41/337.5 mm
-1, cY = 44/337.5 mm-1, KX = 0.06, KY = 0.1, 8, f = 10, e = 0.7 y b = 70. Se muestran los meridianos parastigmticos con color azul. El ngulo de rotacin f no acotado en la figura, corresponde al ngulo entre los ejes x y X.
que corresponde a la representacin en coordenadas cilndricas de una superficie
cnico-cilndrica con meridianos principales ortogonales que corresponde a la
superficie cnica-cilndrica de referencia de Ec. (3.26) (primer sumado con x = X
e y = Y ), que cuando Kx = Ky = 0 degenera en la frmula cannica de las clsicas
superficies esfero-cilndricas, bastante utilizadas en ptica oftlmica para corregir el
astigmatismo regular,
-
Captulo 370
( )
2 2
22 2
2 2
,
1 1
x y
x y
c x c yz( x y )
c x c y
x y
+=
++
+
, (3.26)
bien descritas en el Apndice D.
Con el desarrollo de la aberrometra, para medir experimentalmente las necesidades
de correccin refractiva en la visin humana, los aberrmetros, refractmetros, y auto
refracto-queratmetros computarizados vienen equipados con software que permite
describir casi siempre las superficies cornales y/o los frentes de onda utilizando los
monomios o polinomios de deformacin4 de Zernike originalmente descritos en
coordenadas cartesianas Zj (x,y) [34], los cuales son equivalentes a un conjunto finito
de l funciones polares pares (con cosenos de kernels pares de y polinomios o
monomios de potencias pares de r) e impares (con senos de kernels impares de y
polinomios o monomios de potencias impares de r) ortogonales y separables
Zj (r, )= fj (r) gj ( ) de orden j=1, 2 , ..., l que resultan de la expansin de un frente
de onda para un sistema ptico con una pupila circular. Las funciones pares
corresponden a las aberraciones simtricas y las funciones impares a las aberraciones
antisimtricas. Estas funciones estn definidas sobre un crculo unitario y permiten
representar una superficie en coordenadas cilndricas con la suma de todos los l
monomios o polinomios con coeficientes de peso Cj:
1 1
, ,l l
j j j j jj j
z( l,r ) C Z ( r ) C f ( r )g ( ) = =
= = , (3.27)
4 Tomando como referencia una superficie plana que pasa por el origen de coordenadas.
-
Captulo 371
donde las funciones separables fj (r) y gj ( ) se definen de diferentes maneras segn el
autor, pero la denominacin ms simple despus de una simplificacin es descrita por
Hernndez y otros [35], presentando los monomios (trminos) ms simples con el
orden en que aparecen en la Tabla 3 y son visualizados los primeros quince de ellos en
la Figura 8. Los polinomios de Zernike [34] se presentan de muchas maneras similares
por diferentes autores como Born & Wolf [36], Bhatia & Wolf [37], Mahajan [38], y
recientemente por Sasin [39], Hernndez y otros [35], Kambiz y otros [40], y muchos
ms [41-45], describindolos con diferentes rdenes de clasificacin (con un orden j o
con dos rdenes m y n), algunos conservando la ortogonalidad o la ortonormalidad
polinomial [34,36-40] y otros sin conservarla [35]. Cuando los polinomios estn
ordenados de manera que se garantiza la ortogonalidad entre funciones (trminos), los
clculos de los coeficientes Cl se simplifica en procesos de ingeniera inversa.
Con el desarrollo de las lentes progresivas, de la topografa corneal computarizada y
de la aberrometra computarizada, la representacin de superficies pticas con una
combinacin lineal de los anteriores monomios es conveniente y prctica, puesto que
posibilita la fabricacin de superficies correctoras personalizadas. Los algoritmos
requeridos para hacer este proceso se encuentran bien documentados en muchas
patentes y en algunos libros para cirugas refractivas. Para la fabricacin de lentes
progresivas tambin existen mquinas [46] que usan tecnologa NURBS (B-splines
racionales no uniformes) para representar sus superficies usando facetas bi-cbicas
que no estn como propsito de este trabajo de tesis y son bien conocidas, puesto que
las representaciones de este tipo son extensas y generalmente son para su uso en
procesos de torneado y fresado CNC de insertos metlicos para moldes o de
superficies ptica