LOGICA Tema v Inferencia

7/26/2019 LOGICA Tema v Inferencia

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"Usted hace mal si alaba, pero an peorsi censura, aquello que no entiende."

- Leonardo da Vinci

5. INFERENCIA LGICA

5.1.Objetivo

Conocer las Reglas de Inferencia y utilizarlas para justicar la validez

de un argumento lgico.

Retomando lo expuesto en el captulo anterior, recordemos ue !icimos

referencia a como el razonamiento deductivo puede utilizarse paradeterminar si los argumentos lgicos son vlidos o no vlidos.

#xplicamos tam$i%n como utilizar diagramas de &enn para vericar la

validez de ciertos argumentos ue esta$an compuestos por premisas y

conclusiones ue tenan cuanticadores.

Comenzaremos en esta gua deniendo y aplicando las Reglas de

Inferencia para argumentos cuyas premisas y conclusiones estn formadas

por proposiciones no cuanticadas.

5.2.Las reglas del juego

'!ora nos ocuparemos de conocer las llamadas (Reglas de Inferencia) ue

son las ue rigen el (juego)*.. + #n u% consiste el juego

***.-rataremos de dar una descripcin del mismo.

Objetivo &ericar la validez o no de un argumento lgicoElemetos del juego /remisas Conclusin

0ugador 1Intelecto

2piz y papel

Reglas del juego Reglas de Inferencia. 3 2as ue descri$iremos en estagua4

!"u# etederemos $or $remisas%5ern proposiciones simples o compuestas, por ejemplo

p

p

p6 p


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2

p

3p 4 6 r s

+"u# etederemos $or &o&lusi'%5er otra proposicin simple o compuesta, ue se o$tiene a partir de las

premisas aplicando las reglas del juego

!C'mo se juega%

7adas una serie de premisas p8,p9,*.pn en donde (n) es un entero positivo

y es la conclusin, el argumento ser vlido si cada vez ue las premisas

sean verdaderas , entonces tam$i%n lo es. #sto sera euivalente a pro$ar

ue el condicional

3p8p9**.pn4 es verdadero , con el antecedente 3p8p9**.

pn4 verdadero.

:$servemos ue el antecedente p8p9**.pn ser falso si alguna de las

premisas es falsa, con lo cual la implicacin sera verdadera, sin importar

el valor de .

#ntonces una va para esta$lecer la validez de un argumento, es

demostrando ue la proposicin 3p8p9**.pn4 es una tautologa

&eamos un ejemplo

7ado el siguiente argumento, vericar si es o no vlido

/remisa 8 5i llueve entonces el cielo est cu$ierto

/remisa 9 2lueve

Conclusin el cielo est cu$ierto

#ste argumento con sus premisas y su conclusin lo podemos sim$olizar

como sigue

p8 p r

p9 p

r

#l sm$olo se lee por tanto y se u$ica antes de la conclusin .

'nalicemos si 33pr4 p 4 r es una tautologa con la ta$la de certeza

p9 C p8p r p r 33pr 4p 4 r


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3

& & & && ; ; &; & & &; ; & &

#n efecto la implicacin 33pr 4p 4 r es una tautologa y por tanto elargumento es vlido.

&eamos otro ejemplo

5ean p, y r tres proposiciones simples dadas como sigue

p Ivn estudia

Ivn juega f


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4

Con este segundo ejemplo, podemos intuir ue para un argumento ue

contenga ms de = proposiciones simples, el m%todo de las ta$las de

verdad puede ser muy engorroso.

#n realidad !ay ue centrarse slo en el caso en ue cada una de las

premisas sea verdadera. #n los ejemplos anteriores esto correspondera a

la la con el som$reado claro.

's pues, para no tener ue !acer todo este tra$ajo de ta$las de verdad,

!aremos uso de las reglas de inferencia, t%cnica ue nos permitir

a. Considerar millones de dlares en la lotera

5i 5ilvia gana 8> millones de dlares en la lotera entonces ?ario renunciar

a su tra$ajo

/or tanto, ?ario renunciar a su tra$ajo

9. 5i 'lejandro se casa, es porue consigui el pr%stamo

'lejandro consigui el pr%stamo

:$servacin

#n el juego es vlido sustituir una premisa por otra euivalente@ es

conveniente pues, recordar algunas de las proposiciones ue son

euivalentes, como por ejemplo

p es euivalente a 6p

6 3p 4 es euivalente a p 6 y otras**

/or tanto, 'lejandro se casar


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5

5.,. -eguda Regla * Le del -ilogismoAna segunda regla de inferencia, viene expresada mediante la implicacin

lgica

33p4 3r 443pr4 35e deja como ejercicio pro$ar ue se trata de una

tautologa4

y se escri$e como

p

r

pr

#jemplos8.&ericar si el siguiente argumento es vlido o no

Rita est !orneando un pastel

5i Rita est !orneando un pastel, entonces no est practicando guitarra

5i Rita no est practicando guitarra entonces su padre no pagar el seguro

del carro

/or tanto, el padre de Rita no pagar el seguro del carro.

5im$olizando estas premisas y la conclusin, el argumento lucira as

p

p6

6 6 r

6 r

-ratemos a!ora de usar las reglas de inferencia para deducir la veracidad de

6 r a partir de las premisas dadas.

/aso Razones

8 p6 /remisa

9 6 6 r /remisa

= p6 r 2ey del silogismo en 8 y 9

B p /remisa 6 r ?odus /onens en = y B

#ste mismo argumento lo pudi%ramos justicar tam$i%n como

/aso Razones


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6

8 p /remisa

9 p 6 /remisa

= 6 ?odus /onens en 8 y 9

B 6 6 r /remisa

6 r ?odus /onens en = y B

Es im$ortate re&al&ar /ue 0OA- las $remisas debe serutiliadas e la dedu&&i' de la &o&lusi'.

5.5. 0er&era Regla * +odus 0olles 3 del latn (m%todo de la negacin)Ana tercera regla de inferencia , viene expresada mediante la implicacin

lgica

33p4 646p 35e deja como ejercicio pro$ar ue se trata de una

tautologa4

y se escri$e como

p

6

6p

#jemplo

8.&ericar si el siguiente argumento es vlido o no

5i #lena est estudiando, entonces no est practicando -aiDc!i

#lena est practicando -aiDc!i

/or tanto, #lena no est estudiando

9. &ericar si el siguiente argumento es vlido

pr

rs

t 6 s

6 t u

6 u .

6p


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7

/aso Razones8 pr

rs

/remisas

9 ps #n 8 , ley del silogismo

= t 6 s /remisa

B 6 s t /ropiedad conmutativa del en =

st #uivalencia para B

E pt #n 9 y ley del silogismo

F 6 t u /remisa

G tu #uivalencia para F

H p u #n E y G ley del silogismo8> 6 u /remisa

6 p #n H y 8>, ?odus -ollens

' continuacin encontrarn una ta$la con las Reglas de inferencia ue

tra$ajaremos en las prximas sesiones.

5e recomienda completar el cuadro ue sigue con lasim$li&a&ioesl'gi&as aso&iadasy luego vericar con las mismas, ue se trata de una

-autologa.


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8

5.4. 0abla &o las Reglas de Iere&ia

Regla deIere&ia

Im$li&a&i' l'gi&arela&ioada

Nombre de la Regla

p

p

33p4 p 4 ?odus /onens o

Regla de la separacin

p

r

pr

33p4 3r 443p

r4

2ey del silogismo

p

6

6p

33p4 646p ?odus -ollens

p

.

p

Regla de la Conjuncin

p

6p .

Regla del silogismo

disyuntivo

p

p

Regla de la simplicacin

conjuntiva

p .

p

Regla de la amplicacin

disyuntiva

pr

r

3p 4 r

Regla de la demostracin

por casos

6p ;>

p

Regla de contradiccin

p

rs

p r

s

Regla del dilema

constructivo

p

rs

6 6s

6p 6r

Regla del dilema

destructivo


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9

Ejer&i&ios*

8.' continuacin se da la sim$olizacin con proposiciones de H argumentos.

5e pide ue veriuen su validez, especicando en cada paso las razones

3reglas4 ue lo justican.

8.

3p 6 4 r J 3p r4 J

9.

p 3r4

p s

t

6 s .

6 r 6 t

=.

3 6 p4 r

r s t

6 s 6 u

6 u 6 t

6/

B.

3r 6 4 3p4 pJ r

.

ps6 r

p r

6 / s

E.

pp3 r4

r s t

6 s .

tF. 3 p4 rJ p 3r4J

ayuda utilizar euivalencias opro$ar ue la proposicin es

una tautologa

G.

s

t 6

6 t r

r 6 s

H.

p

r

p t

6 t .r 7 $ /8

9.?uestra con un contraejemplo ue los dos argumentos ue se dan a

continuacin no son vlidos@ es decir, asigna valores de verdad a las

proposiciones p, , r y s , de modo ue todas las premisas sean verdaderas

y ue la conclusin sea falsa.

a4 3p 4 r4J 3r 6 4 J p $4 p

p r

p 36 r4

66 s

s

=.7emostrar ue las siguientes conclusiones son consecuencia de las

premisas dadas. Indica las reglas de inferencia ue utilices para justicar

cada paso de la demostracin.

/remisas Conclusi


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n8 p 6

6 p (r s4r s

9 xK>xL yx K z x K y

x K z

x L >

= x L >y K 8

x K y y K M

y K M y L 8

x K y

x K >

B 6 r t

s r6 s

a 6 $

6 c $ a c

E $

$6 d

a d

a $

F p

6 t

t

p

G 6 s

6 s

6 3 sr4

r

H p

6

p s

s

8

>

s 6 t

t

6 s 3 r4

v r

8

8

s 6 r

t6 s

t

6 r

89

t r

6 r

ts

8

=

p 6 t

s t

s

p u

u


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&lidosInvlidos

?%todos

7iagramas de &enn

-a$las de verdad

Reglas de Inferencia

Con proposiciones simples

Con cuanticadores y predicados?%todo del condicional

/roposiciones

Identicar

5im$olizar

/roposiciones

sim$licas

&alidar

'rgumento lgico

/remisas

Razonamiento

Conclusin

/remisas Conclusin en espaNol

/remisas Conclusin

con Conectivos

/redicados

CuanticadoresConstantes

'rgumentos con razonamiento

deductivo

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5.9. Las Reglas de iere&ia $ara $ro$osi&ioes &o&uati:&adores.

Oasta a!ora !emos tra$ajado con las Reglas de inferencia en el contexto

de proposiciones sin cuanticadores. Recordamos ue para vericar la

validez de un argumento en donde aparecan premisas yPo conclusiones con

cuanticadores, utilizamos el m%todo de 7iagramas de &enn.

'!ora nos ocuparemos de dar B reglas adicionales ue nos permitirn

validar de otra manera argumentos con cuanticadores. -am$i%n !aremos

referencia a otro m%todo de validacin, conocido como el (m%todo del

condicional (.

'ntes de plantear las nuevas reglas, se presenta un cuadro resumen de los

procesos ue !emos seguido a lo largo de todo el curso para llegar a validarargumentos y para u$icar los contenidos vistos.


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12


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13

' continuacin enunciaremos B reglas ue servirn para validar

argumentos cuando aparecen proposiciones cuanticadas.

5.;.Regla de es$e&i:&a&i' uiversal 7RE


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14

9. #jemplo

Ting


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15

5.1>.Regla de es$e&i:&a&i' e?iste&ial 7REE8

5i un predicado es verdadero para cierto3s4 reemplazo3s4 de un universo dado,

entonces este predicado es verdadero para alguna constante especca de ese

universo. #s decir 5i x P /3x4 es verdadero, entonces /3a4 es verdadero para

alg


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16

8B x P 653x4 RV# en 8=

Ejer&i&ios varios *

1. &ericar la validez o no de los siguientes argumentos. #n caso de tenerpremisas yP o conclusiones con cuanticadores, utilizar el m%todo de

7iagramas de &enn y si resulta vlido , compro$arlo tam$i%n utilizando las

Reglas de Inferencia.

a. -odos los !om$res son mortales. 5crates es un !om$re. /or tanto,

5crates es mortal.

$. 5i !u$o so$orno y no se castiga a los culpa$les entonces se viola

la Constitucin. 5i contin


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g. Tinguna accin injusta es loa$le. 'lgunos actos del !om$re son

acciones injustas. 2uego, algunos actos del !om$re no son loa$les.

!. 'lgunas serpientes no son venenosas. -odas las serpientes son

reptiles. /or tanto, algunos reptiles no son venenosos.

5.12.El +#todo del Codi&ioal

#ste m%todo para demostrar la validez de un 'rgumento consiste en lo

siguiente

5i en un argumento la conclusin est dada en forma de condicional , o

transforma$le en %l, entonces se puede asumir su antecedente como premisa

y mediante el proceso deductivo 3usando las reglas de inferencia4 se de$ellegar al consecuente.

Ate&i'*el antecedente ue asumimos como premisa no puedecontradecir al resto de ellas @ en este caso el m%todo del condicional no se

puede utilizar.

-omemos el siguiente argumento como ejemplo

3p 64W3 r 4S 3p 6r4

)aso Ra'8 p 6 /remisa

9 r /remisa

= p 5e asume como verdadero el antecedente de la

conclusinB 6 ?odus /onens en 8,= 6r ?odus -ollens en 9,B

p 6r -eorema del Condicional

#ste m%todo se explica comparando las ta$las de verdad de p8 3p

4 y de 3p8 p 4 3+/or u%4*'naliza la misma y saca tus propias

conclusiones.

'rgumento

$1

p , siendo $1una premisa o una conjuncin de premisas 3todas

verdaderas4


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p8 p p p8 p p8 3p 4 3p8 p 4

& & & & & & && & ; ; & ; ;

& ; & & ; & && ; ; & ; & &

2. Atilizando el m%todo del condicional, demuestra la validez de lossiguientes argumentos

a4 5i los precios su$en, la inXacin es inevita$le. 5i los precios no su$en, la

deXacin es inevita$le. /or consiguiente , la inXacin o la deXacin son

inevita$les.

$45i el volcn entra en erupcin, entonces, la po$lacin correr el riesgo de

morir si decide permanecer en el lugar. /or tanto, si el volcn entra en

erupcin y la po$lacin decide uedarse en el lugar, entonces correr el

riesgo de morir.

c4 5i estudias educacin, sers ms po$re. #studias derec!o o educacin. 5i

estudias derec!o, no sers feliz. #res feliz. /or tanto , sers ms po$re.

d4 p r e4 p 6 f4 p 6

r 6 3 p4 r

r s 63 r4 63p r4

6p s

g4 x /3x4 6U3x4 !4 x O3x4 3C3x4 73x44

x R3x4 U3x4 x O3x4 53x4

x R3x4 6/3x4 x C3x4 73x4

(. ' continuacin se dan varios 'rgumentos 2gicos. 5e pidevericar si son vlidos o no. #n caso de tener premisas yPo conclusiones concuanticadores, utilizar el m%todo de 7iagramas de &enn y si resulta vlido,

compro$arlo tam$i%n utilizando las Reglas de Inferencia.


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a. -odos los venezolanos son americanos. Ting


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amiga$les ni peueNos. /or lo tanto algunos do$erman son peueNos, pero

no son amiga$les.

,. #ste ejercicio est tomado de un li$ro de 2eMis Carroll8,matemtico y autor de (las aventuras de 'licia en el pas de las maravillas

/remisa 8 Ting


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/remisas Conclusin

8. 6 s

s 3 ! g46 g !

9.s

t 6

6 t r

s r

=.3 r 4 p

r t

3 r4 6 t

6 r

B.6 r

6 p

rp

.p

r

p t6 t

r 3 p 4

E.p 6 r

6 r s

p t6 s

t

F.

6 s 6 r

6 r 6 t

6 s p6 p

6 t 6 p

G.

p 6 p r

r 6

t s

H.5 p

6 p 6 t

6 t r

6 s r

8>.

e f 6 !

j e

Z f

j Z

g 6 !

88.6 3 p 6 r4

p

rs

3 s 4 3 t s4

s t

89.pt

s

s r

p 6

6 r t

8=.s 6

6 p s6 p

8B.6 36 p 6 4

s 6 6 p s

&6 p

e f g

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