La Base de Las Matematicas Financieras Gemma Cid Xavier Puig 141030060302 Conversion Gate02

7/25/2019 La Base de Las Matematicas Financieras Gemma Cid Xavier Puig 141030060302 Conversion Gate02

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Pgina 1Barcelona School of Management UPF

Matemtica financiera bsica

Apartado 1La base de las matemticas financieras

Introduccin

Las matemticas nancieras no tienen demasiada buena fama entre las generaciones de estudiantes de

economa que las han sufrido. La mayora no guarda gratos recuerdos sobre sus decenas de frmulas,

clculos, regmenes nancieros, equivalencias, ejercicios, etc., y lo peor de todo es que, al nal, lo

bsico se perda entre tanta frmula. Pero, en realidad, las matemticas nancieras son muy tiles y

todos las necesitamos en innidad de momentos de nuestra vida.

Cuando tenemos un ahorro disponible (por ejemplo, hemos gastado menos de lo ingresado), el sistema

nanciero nos ofrece una gran variedad de productos o activos en los que podemos invertir. En otras

ocasiones, sin embargo, podemos necesitar un dinero del que no disponemos (por ejemplo, para la

compra de una vivienda), y tambin el sistema nanciero nos facilita poder acceder a ese importe a

cambio de que lo devolvamos en un futuro. No slo las personas fsicas, sino tambin las empresas,

las administraciones pblicas u organizaciones diversas pueden tener ahorro disponible o precisar de

liquidez en diferentes etapas de su vida. En cualquiera de esos casos, cuanto mayor conocimiento de

matemticas nancieras se tenga, mejores decisionesse podrn tomar.

En este apartado se pretende desarrollar, de forma clara e intuitiva, los conceptos bsicos de las

matemticas nancieras. Sern pocos conceptos, algo ms de media docena, pero si se asimilan

bien, van a permitir que se construya sobre ellos, poco a poco y a partir de diversos ejemplos, una

estructura slida de conocimientos que permitirn analizar con solvencia los principales productos y

activos nancieros que millones de personas y organizaciones utilizan a diario.

Seccin 1. El capital financiero y el precio del dinero

Dos capitales idnticos en momentos diferentes del tiempo no son equivalentes. Mil euros hoy no son lo

mismo que mil euros dentro de un ao. Y toda la matemtica nanciera que desarrollaremos a partir de

ahora se basa en una desigualdad, que es la siguiente:

Valor actual de un capital nanciero Valor futuro de un capital nanciero

Cuando invertimos 100 euros en un depsito, no esperamos recibir 100 euros dentro de un ao,

esperamos recibir ms, es decir, creemos que el valor futuro de esos 100 euros debe ser superior (porejemplo, 103 euros). De no ser as, no lo consideraramos un trato justo.


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Apartado 1. La base de las matemticas nancieras


Para poder manejarnos en matemticas nancieras, el trmino capital (100 euros) no nos dice nada.

A partir de ahora debemos hablar de capital nanciero o, lo que es lo mismo, una cantidad monetaria

asociada a un momento del tiempo (100 euros hoy, 103 euros dentro de un ao, etc.).

Existen productos nancieros que nos permiten trasladar capitales nancieros del presente al futuro,

o viceversa, trasladar capitales nancieros del futuro a la actualidad. De hecho, lo que ofrecen es un

intercambio de un capital nanciero hoy a cambio de un capital nanciero en el futuro, o a la inversa, de

forma que sean nancieramente equivalentes, es decir, que para las dos partes que intervienen en

la operacin el trato sea justo.

Y qu signica justo? Cunto se debe retribuir a aquel que cede su capital hoy y espera recuperarlo

en el futuro? Qu coste debe soportar quien recibe dinero hoy y se compromete a devolverlo en el

futuro?

Principalmente, hay tres conceptos que nos ayudan a responder a esta pregunta:

a) Inacin

Cuando cedemos hoy una capital nanciero, estamos renunciando a poderlo gastar; por tanto, cuando en

el futuro recuperemos otro capital nanciero, ste por lo menos debe compensarnos por lo que costar

en el futuro lo que renunciamos a comprar hoy. Por ejemplo, si renuncio a comprarme un coche hoy e

invierto el dinero durante un ao, como mnimo que cuando lo recupere pueda pagar el precio del coche

dentro de un ao (que seguramente ser superior por efecto de la inacin).

b) Coste de no disponibilidad o de diferimiento del consumo

Ya que no tenemos disponible el dinero durante un perodo de tiempo, lo justo sera que cuando lo

recibamos no slo podamos comprar el mismo objeto al que hemos renunciado. Siguiendo el ejemplo

anterior, si el dinero que recibir dentro de un ao slo me compensa la inacin y la decisin que debotomar es si compro el coche hoy o dentro de un ao, seguramente decidir comprarlo hoy. Para qu

esperar? Ahora bien, si obtengo la inacin y algo ms, quiz este hecho s que me motive a esperar un

ao y pueda comprarme el coche y la radio!

c) Riesgo

Hasta ahora hemos supuesto que ese cobro futuro (que me permitir comprar el coche y una radio nueva)

es seguro, pero hay innidad de inversiones que tienen riesgo o, lo que es lo mismo, cuyos capitales

nancieros futuros son inciertos. Si esto ocurre, si hay riesgo, pediremos una primapor ese riesgo, esdecir, cederemos nuestro capital hoy a cambio de ms capital nanciero en el futuro, y cunto ms riesgo

percibamos, ms capital nanciero exigiremos.


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De forma aproximada, los ttulos de renta ja considerados sin riesgo (deuda estatal de mxima

solvencia) ofrecen una rentabilidad que trata de abarcar los dos primeros conceptos (inacin ms coste

de no disponibilidad); por ello al resto de inversiones, a sta rentabilidad sin riesgo, se le suman lasdiferentes primas de riesgo dependiendo de las caractersticas de la inversin.

Seccin 2. Operaciones bsicas: capitalizar y actualizar

Hemos dicho que el sistema nanciero nos permite mover dinero en el tiempo y que la matemtica

nanciera nos permite transformar un capital nanciero en otro (nancieramente equivalente) hacia el

futuro o hacia el pasado.

Cuando se trata de convertir un capital nanciero de hoy hacia el futuro, la operacin que se est

realizando es capitalizar.

Cuando convertimos un capital nanciero del futuro hacia el presente, la operacin que estamos realizando

es actualizar.

Para poder capitalizar o actualizar necesitamos dos cosas:

a) Elegir una frmula matemticapara transformar unos importes en otros o, dicho de otro modo,

elegir un rgimen nanciero y, por tanto, su frmula asociada o factor nanciero.

b) Determinar un tipo de inters.

Decir que capitalizaremos (o actualizaremos), por ejemplo, 6.000 euros al 10% no nos dice nada si

no aadimos la informacin sobre el rgimen nanciero y, por tanto, sobre el factor nanciero que

debemos aplicar.

Las dos partes que intervienen en la operacin deben pactar ambas cosas:

a) El tipo de inters que deben aplicar.

b) La frmula para aplicarlo.

Los regmenes nancieros ms habituales son los siguientes:

1. El rgimen nanciero de tipo de inters simple vencido.

2. El rgimen nanciero de tipo de inters compuesto vencido.

Cada uno de ellos tiene una frmula llamada factor nanciero mediante la cual transforma capitales

nancieros en el tiempo.


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1. Rgimen nanciero de tipo de inters simple vencido

El primero de ellos utiliza el siguiente factor nanciero (frmula):

(1 + i n)

i expresa el tipo de inters.

n expresa el tiempo.

Si queremos capitalizar, multiplicaremos el capital inicial por este factor nanciero. Si queremos actualizar,

dividiremos el capital nal por este factor nanciero.

Capitalizar

Si invierto 100 euros hoy al 3% anual durante dos aos, aplicando el tipo de inters

simple vencido, qu recibir al vencimiento?

C = 100 (1 + 0,03 2) = 106

Cada ao recibir 3 euros de intereses; por tanto, en los dos aos recibir 6 euros de

intereses ms el principal de 100 euros.

Actualizar

Si recibir 106 dentro de dos aos, cuntos euros representan a da de hoy

actualizados al 3% anual y aplicando tipo de inters simple vencido?

C =106

(1 + 0,03 2)= 100

ejemplo

nn

2. Rgimen nanciero de tipo de inters compuesto vencido

El segundo rgimen nanciero utiliza el siguiente factor nanciero (frmula):

(1 + i)n


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ejemplo

nn

De nuevo:

i expresa el tipo de inters. n expresa el tiempo.

Si queremos capitalizar, multiplicaremos el capital inicial por este factor nanciero. Si queremos actualizar,

dividiremos el capital nal por este factor nanciero.

Capitalizar

Si invierto 100 euros hoy al 3% anual durante dos aos, aplicando el tipo de inters

compuesto vencido, al vencimiento recibir:

C = 100 (1 + 0,03)2= 106,09

Los 3 euros del primer ao se suman al capital; por tanto, en el segundo ao se

calculan intereses sobre 103 euros (y no sobre 100 euros, como en el rgimen

nanciero anterior) y por ello, nalmente, recibir 106,09 euros en vez de 106 euros.

Actualizar

Si lo que deseamos es actualizar, dividimos entre el factor nanciero.

Actualizar a da de hoy un importe de 20.000 euros que se quiere obtener dentro

de 20 aos, es decir, calcular el importe que hay que invertir hoy para tener dicha

cantidad disponible en 20 aos, siendo el tipo de inters del 10% nominal anual.

Con rgimen nanciero de tipo de inters simple vencido:

C =20.000

1 + 0.1 20= 6.666,67

Con rgimen nanciero de tipo de inters compuesto vencido:

C =20.000

(1 + 0.1)20= 2.972,87


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Como en el rgimen nanciero de tipo de inters compuesto se reinvierten los intereses,

que a su vez generan ms intereses, a fecha de hoy puedo poner un importe sensiblemente

menor que en el rgimen de tipo de inters simple para obtener, al nal del perodo, la mismacantidad (20.000 euros).

Seccin 3. El VAN - Valor Actual Neto

El Valor Actual Neto es una tcnica de anlisis de inversin que compara la inversin inicial con el

valor actualizado de todos sus rendimientos esperados.

As, por ejemplo, si nos proponen invertir 100 millones de euros hoy, con el compromiso de que en los

prximos cinco aos recibiremos sucesivamente cada ao: 30, 30, 30, 30 y 50 millones de euros, sera

errneo analizarlo con la premisa de que aplicamos 100 millones y recibimos en total 170 millones.

No se pueden comparar 100 millones de euros de hoy con 30 millones de euros dentro de uno, dos, tres o

cuatro aos o de 50 millones de euros dentro de cinco aos. Para poder analizar la inversin, deberemos

comparar la inversin inicial (100) con los ujos futuros (30, 30, 30, 30, 50) actualizados, es decir, convertir

esas cifras en euros de aos posteriores a la fecha de inicio de la inversin a euros correspondientes adicha fecha de inicio. A partir de aqu s se podr comparar unos montantes de euros con otros, ya que

todos sern equivalentes en el momento inicial de la inversin.

La frmula del VAN es la siguiente:

VAN = -I +(1 + k)

CF1

+(1 + k)2

CF2

+ ... +(1 + k)n

CFn

Donde:

I = Inversin inicial (en el ejemplo 100 millones de euros).

CF1= Capital nanciero o ujo de fondos que se ingresarn en el primer perodo (en el ejemplo 30

millones de euros).

CF2= Capital nanciero o ujo de fondos que se ingresarn en el segundo perodo (en el ejemplo

30 millones de euros).

n = Nmero de perodos de liquidacin que tiene la inversin (en el ejemplo, cinco perodos).

CFn= Capital nanciero o ujo de fondos que se ingresarn en el ltimo perodo (en el ejemplo 50millones de euros).

k = Tasa de actualizacin de los ujos futuros (tasa nica).


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Si en el presente ejemplo se calcula el VAN dando a la tasa de actualizacin k el valor del 10%,

obtendramos el siguiente resultado (conviene recordar que en los clculos nancieros las tasas en tanto

por ciento se utilizan en tanto por uno; as, un 10% se incluir en la frmula como 0,10):

VAN = -100 +(1 + 0,10)

30+

(1 + 0,10)2

30+

(1 + 0,10)3

30+

(1 + 0,10)4

30+

(1 + 0,10)5

50

VAN = -100 + 27,27 + 24,79 + 22,54 + 20,49 + 31,05 = -100 + 126,14 = +26,14

Cuando se calcula el VAN de una inversin, lo primero que interesa conocer es si ste es positivo o

negativo:

En el presente ejemplo, el VAN resultante es positivo, lo que indica que la inversin es, en

principio, aconsejable.

En el caso de que el VAN hubiese dado un resultado negativo, estara indicando que la inversin

analizada, en principio, no es aconsejable.

VAN positivo = Inversin recomendable.

VAN negativo = Inversin no aconsejable.

Cmo se debe interpretar el VAN?

En primer lugar, se debe entender que el VAN es una tcnica de evaluacin de inversiones que lo que

hace es poner un listn a la inversin analizada. Este listn es la tasa de actualizacin k. En el

ejemplo anterior se puede interpretar que la inversin ofrece una rentabilidad superior al 10% o, lo

que es lo mismo, supera el listn del 10%; por eso se considera que, si slo se tienen en cuenta esas

variables, la inversin es aconsejable.

Se puede observar que si se recalcula el VAN del ejemplo con una tasa de actualizacin mayor, por

ejemplo del 20%, habr una mayor probabilidad de que el VAN sea negativo o, dicho de otro modo, habruna probabilidad mayor de que la inversin no supere el nuevo listn que se le ha colocado.


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Qu favorece un VAN positivo?

Hay tres factores que inciden en el resultado nal del VAN:

a) La inversin inicial:cuanto menor sea, ms probabilidades de que el VAN sea positivo.

b) Los ujos de fondos futuros:cuanto mayores sean stos, ms probabilidades de obtener un VAN

positivo.

c) La tasa de actualizacin k:cuanto menor sea sta, tambin mayor probabilidad tendr el VAN

de ser positivo.

Cul ser entonces la tasa de actualizacin que se utilizar para calcular un VAN?

Al calcular el VAN de una inversin, cada inversor utilizar la tasa de rentabilidad mnima exigida a dicha

inversin, es decir, tiene un sentido de coste de oportunidad, ya que para tomar la decisin de realizar

o no la inversin le ponemos el listn de la rentabilidad a la que se est renunciando por emprender

el proyecto de inversin analizado. Expresado de otra forma, al calcular el VAN se exige al proyecto de

inversin, para que sea aconsejable, que produzca como mnimo lo que el capital vinculado producira en

el uso alternativo al que se renuncia, y si el proyecto analizado asume un riesgo mayor a esa alternativa,

se le sumara la prima de riesgo que se considere oportuna.

Seccin 4. La TIR Tasa Interna de Rentabilidad

El VAN es una cierta medida del benecio absoluto de un proyecto de inversin, pero con el clculo del

VAN no se conoce la tasa interna de rentabilidad del proyecto o TIR. Lo nico que se conoce, una vez

calculado el VAN, es lo siguiente:

Si es positivo, el proyecto ofrece una rentabilidad mayor que la tasa de actualizacin k utilizada. Si es negativo, la rentabilidad del proyecto es menor que la tasa de actualizacin k utilizada.

Si es igual a cero, obviamente la rentabilidad del proyecto coincide con la tasa de actualizacin.

As, en el ejemplo numrico utilizado para calcular el VAN, lo nico que se conoce respecto a la TIR (Tasa

Interna de Rentabilidad) del proyecto analizado es que sta es mayor que el 10%.

Al ser el VAN positivo, se sabe que la rentabilidad de la inversin analizada es mayor que el listn que

se le ha colocado; luego, si supera ese listn del 10%, el proyecto ofrece una rentabilidad (TIR) mayor

que este 10%.

Cmo calcular la TIR de una inversin?


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Si al calcular el VAN de una inversin el resultado es igual a cero, resulta que la inversin no tiene una

rentabilidad mayor que el listn ni menor que el listn; por tanto, la TIR sera igual a ese listn o tasa

de actualizacin utilizada. De aqu se deduce que la TIR es aquella tasa de actualizacin que hace que

el VAN se iguale a cero.

En este caso, en la frmula del VAN, ahora la incgnita no es el VAN, sino la tasa de actualizacin k,

ya que se debe hallar una k tal que haga que el VAN sea cero. En este caso concreto, a la k se la

denomina TIR. Para despejar la k de la frmula existe un problema matemtico, ya que se est frente a

un polinomio de grado n y esta operacin no tiene una solucin nica; la forma de calcular ese valor de

k que haga que el VAN sea cero ser por el mtodo de iteraciones sucesivas.

Este mtodo de clculo no es ms que ir acotando el valor de k entre aquellos valores que den un VAN

positivo y un VAN negativo, hasta conseguir uno que d como resultado un VAN igual a cero. En elejemplo numrico anterior de clculo del VAN se ha utilizando una tasa de actualizacin igual al 10% y el

VAN era positivo; si utilizsemos una tasa de actualizacin del 20%, el VAN pasara a ser negativo; por

tanto, ya se sabe que la TIR estar entre el 10 y el 20%. Habr que acotar sucesivamente el valor de k

entre 10 y 20 hasta hallar un valor de TIR donde el VAN sea igual a cero.

En la prctica, utilizaremos para su clculo una calculadora nanciera, o bien una hoja de clculo (ms

adelante lo veremos), que en el fondo no estarn haciendo otra cosa que realizar aproximaciones a VAN

igual a cero mediante iteraciones sucesivas tambin.

Seccin 5. La TAE Tasa Anual Equivalente

La TIR da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto de inversin, pero esta TIR no tiene por qu ser

necesariamente de un perodo anual.

La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operacin nanciera no tiene perodos anuales de liquidacin

de intereses, debe realizarse una transformacin de la TIR resultante (mensual, trimestral, semestral,

etc.) en una TIR anual o TAE (tasa anual equivalente). La anualizacinde una TIR se realiza mediantela frmula siguiente:

TAE = (1 + TIR) 1

365

d

Donde d es el nmero de das que comprende cada perodo de liquidacin, y si el ao fuera bisiesto, el

numerador de la potencia sera igual a 366. En caso de aplicar el ao comercial, la frmula que se aplica

es la misma pero con el numerador del exponente igual a 360:

TAE = (1 + TIR) 1

360

d


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ejemplo

nnAs, por ejemplo, si se analiza una operacin nanciera donde se prestan cien millones(100 millones de euros) y se pagan intereses en cuatro perodos de liquidacin de un

montante igual a cuatro (4) millones de euros cada perodo, devolvindose el principal

(100 millones de euros) al nal del ltimo perodo, la TAE resultante depender de los

das que comprende cada uno de esos cuatro perodos de liquidacin.

4 4 4 104

-100

La TIR resultante ser igual al 4%.

Si los perodos son trimestrales, quiere decir que la TIR es trimestral y la TAE ser

igual a:

TIR (trimestral) = 4%.

TAE = (1 + 0,04)360/90 1 = (1,04)4 1 = 16,99%.

Si los perodos son semestrales, quiere decir que la TIR es semestral y la TAE ser

igual a:

TIR (semestral) = 4%.

TAE = (1 + 0,04)360/180 1 = (1,04)2 1 = 8,16%.

En denitiva, la TIR de una operacin con perodos de liquidacin anual es igual a la TAE. En el caso de

que una operacin nanciera no tenga perodos de liquidacin anuales, se deber convertir a la TIR anualo TAE mediante la frmula anteriormente expuesta.

Seccin 6. Rentabilidad real

Si obtenemos una rentabilidad (llammosle rentabilidad nanciera) de una inversin del 10% pero la

inacin del perodo ha sido del 3%, lo que sabemos es que nuestro poder adquisitivo no ha aumentado

el 10%, verdad?

Cunto ha aumentado realmente? Esta informacin nos la proporciona la rentabilidad real. sta es una

cifra a la que se le da cierta importancia por parte de los inversores, ya que no debe olvidarse que el


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ejemplo

nn

objetivo fundamental del ahorro y la inversin es preservar el capitalpara mantener o incrementar su

poder adquisitivo a lo largo del tiempo, y por ello la erosin que genera la inacin en el valor de dicho

patrimonio puede ser de gran importancia.

En ocasiones se utiliza una primera aproximacin, que se limita a restar de la tasa de rentabilidad que se

ha calculado el importe de la inacin existente para el mismo plazo de la inversin. Si la inacin es del

3% anual y se obtiene un inters del 8% anual, en realidad la rentabilidad real es de 5%, obtenida con la

frmula siguiente:

Rentabilidad real = Tasa de rentabilidad nanciera Inacin

Este clculo es solamente una aproximacin, aunque en muchas ocasiones puede utilizarse sin problemas

porque el resultado que se obtiene es similar al que obtenemos con la frmula ms apropiada, que es la

siguiente:

Rentabilidad real = 1

1 + inacin

1 + rentabilidad nanciera

Disponemos de 100 euros, con los que podemos comprar hoy 100 pastelitos (pues

su precio es de 1 euro el pastelito). Decidimos invertir estos 100 euros durante un

ao. Para renunciar a comprar los pastelitos hoy, deseamos poder comprar dentro

de un ao 105 pastelitos, es decir, deseamos obtener una rentabilidad real del

5%. Como sabemos (por alguna extraa razn) que la inacin va a ser del 3%,

decidimos invertir en un producto que ofrece una rentabilidad del 8%.

Cul habr sido la rentabilidad real de esta operacin?

Rentabilidad real = 1 = 0,04851 + 0,03

1 + 0,08

Mediante el uso de la diferencia entre rentabilidad nanciera e inacin hubiramos

obtenido 8% 3% = 5%, que pareca indicarnos que de esta inversin podramos

comprar los 105 pastelitos. En cambio, con la segunda frmula, esto no es as:

podremos comprarnos 104 pastelitos (o 104,85 pastelitos). Por qu ocurre esto?


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Porque no solamente a los 100 pastelitos iniciales hay que aplicarles la inacin (dentro de

un ao valdrn 103 euros), sino tambin a los 5 que deseo comprar (que valdrn 5,15 euros,y no 5 euros). Si realmente quiero consumir 105 pastelitos, deber invertir en un producto

que ofrezca 8,15 euros, entonces s que mi rentabilidad real ser del 5%:

Rentabilidad real = 1 = 0,051 + 0,03

1 + 0,0815

Con este sencillo ejemplo vemos por qu la frmula correcta es la segunda, si bien en muchas

ocasiones la diferencia entre ambas es pequea y puede utilizarse la primera.

Cierre

En el presente apartado se han visto los conceptos bsicos de la matemtica nanciera, que permitirn a

partir de aqu analizar productos y activos nancieros con una base slida. Hemos visto cmo denimos

los capitales nancieros, qu factores inuyen en el precio del dinero, qu es capitalizar y actualizar, as

como los principales regmenes nancieros con los que lo hacemos, y qu son y cmo se interpretan el

VAN, la TIR y la TAE.

En los siguientes apartados se ver la aplicacin prctica de estos conceptos en los diferentes productos

y activos que el sistema nanciero pone al alcance para poder cubrir las diferentes necesidades de

inversin y nanciacin de todos los agentes de la economa.

Cada tipo de producto/activo se va a analizar de forma diferente, pero si estos primeros conceptos setienen claros, la complejidad que ir apareciendo en los ejemplos prcticos de los diferentes productos y

activos se ir asimilando sin problemas.


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Apartado 2Aplicaciones prcticas de las matemticas financieras en los

productos bancarios de pasivo

Introduccin

Una vez revisados los conceptos bsicos de la matemtica nanciera: capital nanciero, equivalencia

nanciera, actualizar y capitalizar, VAN, TIR y TAE, comenzaremos a ver su aplicacin prctica en el

anlisis de los activos y productos nancieros ms importantes.

El sistema nanciero ofrece tres vas principales para poder conectar a los oferentes de capital (los que

tienen dinero hoy y desean invertirlo para obtener ms dinero futuro) con los demandantes de capital

(los que piden dinero hoy y se comprometen a devolver dinero futuro):

1. La intermediacin bancaria. En esta va, las instituciones nancieras son los intermediarios que se

colocan entre oferentes y demandantes, ofreciendo a cada uno un producto diferente segn sus

necesidades:

a. Productos de pasivo (que denominaremos genricamente depsitos) a los que aportan

dinero a la institucin.

b. Productos de activo (genricamente se denominan crditos) a los clientes que precisan

nanciacin; nosotros analizaremos principalmente los prstamos.

2. Los mercados nancieros.

3. Los productos previsionales.

En este segundo apartado nos centraremos en los productos de pasivo de la intermediacin bancaria,

cuando los depositantes ceden su dinero a la entidad a cambio de recuperar su dinero en el futuro ms

una rentabilidad adicional.


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Apartado 2. Aplicaciones prcticas de las matemticas fnancieras en los productos

bancarios de pasivo


Esquema 2.1. Productos de pasivo de intermediacin bancaria dentro delsistema financiero

Entidades financieras

Primas

Compaas aseguradoras

Mercados financieros

Demanda (inversin)Oferta (ahorro)

Prstamos

Acciones y BonosAcciones y BonosFondos de inversin

Depsitos

esquema

UU

Seccin 1. Trabajando con tipos de inters a menos de un ao

Comenzaremos utilizando las herramientas que ya conocemos para poder analizar tres depsitos

diferentes:

1. Depsito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres) y liquidacin nica

de intereses al vencimiento. Rgimen nanciero de tipo de inters simple.

2. Depsito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres), con capitalizacin

trimestral de intereses y liquidacin nica al vencimiento. Rgimen nanciero de inters

compuesto.

3. Depsito al 8% nominal anual con vencimiento a los 9 meses (tres trimestres) y liquidacin de

intereses al nal de cada trimestre. Rgimen nanciero de tipo de inters simple.


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bancarios de pasivo


a) Anlisis del primer depsito

Siempre lo primero es plantear el esquema temporal para tener claro cules sern los capitales nancieros

que tendr la operacin. En este caso, en que hay liquidacin nica de intereses al vencimiento, sern

dos.

100 9m

C

Imaginemos que depositamos 100 euros, qu cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses?

En este ejemplo los nmeros son muy fciles y podemos responder con sentido comn; recibiremos los

100 euros ms unos intereses de 6 euros, ya que si en un ao ganamos 8 euros, en 9 meses ganamos

6 euros.

Si aplicamos la frmula que ya conocemos, veremos que sigue la misma lgica que el sentido comn.

Si C es el capital nanciero hoy y C el capital nanciero de aqu a 9 meses:

0,06 6%Interesesgenerados

Capitaldepositado

C = C + C i t = C (1 + i t) = 100 (1 + 0,08 ) = 1069

12

Fijmonos que hemos expresado el tipo de inters nominal en aos (el 8% es anual) y el tiempo tambinen aos (9/12 aos es el plazo en aos de la operacin). Tambin habramos podido expresar el tipo de

inters nominal y el tiempo directamente expresado en el plazo de la operacin (9 meses):

C = C (1 + i t) = 100 (1 + 0,06 1) = 106

Ahora el tipo de inters nominal y el tiempo estn expresados, no en trminos anuales, sino en trminos

de nueve meses; un 6% es el tipo de inters nominal a 9 meses que proviene del 8% nominal anual, y

ahora multiplicamos por 1, que es el nmero de perodos de 9 meses que hay en la operacin.


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bancarios de pasivo


Para obtener el tipo de inters nominal del perodo de tiempo adecuado (en este caso 9 meses),

es tan fcil como expresarlo de forma anual (0,08 en el ejemplo) y multiplicarlo por el plazo de la

operacin expresado en aos.

Vemoslo de modo grco.

9 meses sobre 12, o 3 trimestres sobre 4, o 270 das sobre360, todos ellos expresan el plazo de la operacin en aos,

concretamente que la operacin dura 0,75 aos

0,08 = 0,08 = 0,08 = 0,069

12

3

4

270

360

En rgimen nanciero de tipo simple vencido, podemos utilizar ambos clculos, incluso podramos obtener

el capital nal utilizando el tipo de inters nominal trimestral:

C = C (1 + i t) = 100 (1 + 0,02 3) = 106

Ahora el tipo de inters nominal y el tiempo estn expresados en trimestres: 2% es el tipo de inters

nominal trimestral y 3 son los perodos trimestrales que hay en la operacin.

En este rgimen nanciero podemos utilizar cualquiera de las frmulas, siempre que el tipo de inters y el

tiempo estn expresados en la misma unidad. En el rgimen de tipo de inters compuesto no podremos;

siempre deberemos utilizar el tipo de inters referido al perodo de capitalizacin de intereses.

Una vez tenemos claros los capitales nancieros que componen la operacin, el siguiente paso en el

anlisis del depsito ser calcular su rentabilidad, es decir, su TIR.

Habamos denido la TIR como aquella tasa que hace que el VAN sea cero. En nuestro ejemplo, I es la

inversin (100) y C, el capital nanciero futuro, es el importe que recibir dentro de nueve meses (106):

VAN = -I + = 0C(1 + i)n

t

n = 1


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bancarios de pasivo


Pero esto es lo mismo que decir, de modo grco:

I =

t

(1 + TIR)nC

n = 1

Importeinvertido

Importes futurosactualizados

La TIR es aquella tasa que hace que el capital invertido y el capital que se recibir en el futuro sean

nancieramente equivalentes; por tanto, nos indica la rentabilidad efectiva de la operacin.

Cuando los capitales nancieros son solamente dos, como en este caso, sustituyendo los valores en la

frmula anterior, el clculo es muy sencillo:

100 =1 + TIR

106 TIR =

100

106 1 = 0,06

Tambin solemos utilizar una frmula (valor nal menos valor inicial dividido entre valor inicial), cuyo

resultado es idntico:

TIR =100

106 100ya que= 0,06

100

106 100=

100

106

100

100=

100

1061

Cuando hay ms de dos capitales nancieros, en la gran mayora de casos, para calcular la TIRnecesitaremos la ayuda de una calculadora nanciera, o bien de una hoja de clculo (en la cual

buscaremos aquella tasa que iguale el capital nanciero de hoy a los capitales nancieros futuros

actualizados a dicha tasa a fecha de hoy).

Por tanto, ya sabemos que la rentabilidad (TIR) del depsito 1 es de un 6%, pero no perdamos de vista

que este 6% es la rentabilidad de 9 meses. Para poder hacer comparaciones entre este y otros productos,

solemos expresar la rentabilidad de forma anual, es decir, la expresamos en TAE. Para ello, utilizamos la

frmula siguiente:

TAE = (1 + TIR)m 1


18/122



bancarios de pasivo


(Ver apartado + informacin 2.1. Tipos de inters o tantos equivalentes, al nal de esta seccin, para

comprender el origen de esta frmula.)

En nuestro ejemplo, m es el nmero de perodos de 9 meses que hay en un ao, concretamente 12/9

1,33333, pues si dispusiramos del plazo de un ao (12 meses), podramos completar el plazo del

depsito una vez de forma completa (9 meses) ms una tercera parte del depsito (3 meses) antes de

llegar a los 12 meses.

Para obtener el nmero de perodos de la operacin que hay en un ao es tan fcil como invertir la

expresin del plazo expresado de forma anual. Vemoslo de modo grco.

12 meses sobre 9, o 4 trimestres sobre 3, o 360 das sobre 270,todos ellos expresan el nmero de veces que podra realizarse

la operacin en un ao, en el ejemplo 1,3333 veces

=12

9

4

3

360

270= = 1,33

Si introducimos todos los datos en la frmula, hallaremos la TAE:

TAE = (1 + 0,06)12

9 1 = 0,0808

Ahora s, esta rentabilidad est expresada de forma anual y nos permitira comparar la rentabilidad de

este depsito con la de otros productos nancieros. Veamos los otros dos depsitos.

b) Anlisis del segundo depsito

De nuevo, lo primero es plantear el esquema temporal para tener claro cules sern los capitales

nancieros que tendr la operacin. En este caso, hay capitalizacin trimestral de intereses y liquidacin

nica al vencimiento; de nuevo sern dos, aunque se capitalizarn intereses cada trimestre.

100 9m


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bancarios de pasivo


Imaginemos que depositamos 100 euros, qu cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses? En este

caso debemos utilizar la frmula de tipo de inters compuesto. Como la periodicidad de capitalizacin

de intereses es trimestral, deberemos utilizar el tipo de inters trimestral (2%) y capitalizar los intereses

durante 3 perodos (hay tres trimestres en 9 meses).

Si C es el capital nanciero hoy, y C el capital nanciero de aqu a 9 meses:

C = C (1 + i)t = 100 (1 + 0,02)3 = 106,1208

Podemos hallarlo: 0,08 3

12= 0,08

1

4

= 0,08 90

360= 0,02

La TIR tambin la hallamos de forma directa:

TIR =106,1208

100 1 = 0,061208

Y la TAE:

TAE = (1 + 0,061208) 1 = 0,082412

9

Tanto la TIR como la TAE del segundo depsito son superiores al primero, pues tienen el mismo vencimiento

pero en el segundo depsito recibimos una cantidad mayor; por tanto, la rentabilidad tambin lo es.

Fijmonos que, aunque tienen el mismo vencimiento, la periodicidad de clculo de intereses no es la

misma; el primero a los nueve meses y el segundo a los tres meses. Para completar la comparacinveamos el tercer depsito, que aunque tiene rgimen nanciero de tipo de inters simple, su periodicidad

de liquidacin de intereses es trimestral.

c) Anlisis del tercer depsito

Planteamos el esquema temporal para tener claro cules sern los capitales nancieros que tendr

la operacin. En este caso, hay liquidacin trimestral de intereses, que no se reinvierten, por tanto se

entregan al depositante. A vencimiento recibimos el ltimo pago de intereses y devolucin de los 100

euros que de nuevo depositamos.


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bancarios de pasivo


100 9m

Qu cantidad recibiremos transcurridos los 9 meses?

Cada trimestre se realizar una liquidacin de intereses de 2 euros.

C i = 100 0,02 = 2

Al nal del perodo habremos recibido 106 euros de intereses, aunque no en un nico pago, como el

primer depsito, sino en tres pagos: de 2, 2 y 102 euros.

C = C (1 + i t) = 100 (1 + 0,02 3) = 106

Aunque en este caso haya 3 capitales nancieros que se van a recibir, la TIR tambin la hallamos de

forma bastante directa, ya que invertir 100 hoy y recibir 2, 2, y 102 en cada perodo de liquidacin signica

una rentabilidad del 2%, pero en este caso se trata de una TIR trimestral.

La TAE la calcularemos como siempre, en este caso m ser 4 (hay 4 perodos de un trimestre dentro de

un ao):

TAE = (1 + TIR)m 1 = (1 + 0,02)4 1 = 0,0824

El depsito 1 quedara rpidamente descartado por el 2, que tiene la misma estructura de pagos pero

un importe superior a recibir a los 9 meses, y por tanto una rentabilidad tambin mayor (tanto TIR como

TAE).

En cambio, los depsitos 2 y 3, aunque el primero capitaliza los intereses y stos generan nuevos intereses

y el segundo los abona al depositante, tienen una TAE idntica. Esto es as porque la TAE precisamente

est suponiendo que los capitales nancieros intermedios se reinvierten al mismo tipo de inters.

Cul de ellos ser mejor? Bien, teniendo en cuenta este supuesto de reinversin, que es la principal

crtica a la TAE, si se trata de decidir sobre la base de la rentabilidad, cabr preguntarse a qu tipo podr

el depositante reinvertir los 2 euros que reciba cada trimestre; si es a un tipo de inters superior, le

convendr ms el depsito 3; en cambio, si no puede reinvertir a dicha tasa, entonces le resultar mejor

el depsito 2.


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bancarios de pasivo


ms informacin

88

Por otro lado, evidentemente la TAE no tiene en cuenta otros criterios que no tengan que ver con la

rentabilidad. Por la razn que sea, al depositante puede interesarle cobrar antes los intereses para poder

realizar ciertos pagos o simplemente para consumir.

Por tanto, la TAE es una herramienta til para comparar entre diferentes productos nancieros, pero

hay que comprender bien la informacin que nos da.

Obtendr el depositante una rentabilidad del 8,08% en el primer depsito o del 8,24% en el segundo

y tercero? No! Obtendr respectivamente un 6% en 9 meses en el primer caso, un 6,1208% en nueve

meses en el segundo, y un 2% trimestral durante 3 trimestres en el tercero, no ms. La TAE nos dice

que si se pudiera seguir reinvirtiendo los capitales nancieros obtenidos al mismo ritmo de rentabilidad

hasta completar un ao, slo entonces se recibiran las TAE antes indicadas, pero esto los productos

nancieros no lo garantizan, desde luego.

(Ver apartado + informacin 2.2. Bases de clculo, al nal de esta seccin, donde se ver la base de

clculo en que se ha basado el presente ejemplo, y tambin como se trabajaran los tipos de inters y

perodos de clculo de intereses en otras bases.)

2.1. Tipos de inters o tantos equivalentes

Cuando calculamos la TIR estamos hallando una rentabilidad o tasa efectiva (para

diferenciarla de los tipos o tasas, o tantos nominales que utilizamos para calcular

los intereses). La TIR puede ser mensual, trimestral o de cualquier periodicidad. A

partir de ella podemos hallar otras tasas o tantos efectivos de la periodicidad que

nos interese (normalmente buscamos la periodicidad anual, pero podramos hallar

cualquier otra).

Dos tantos o tipos efectivos son equivalentes si, aplicndolos a un mismo capital, en

capitalizacin compuesta (la que se usa en la TIR y la TAE), durante el mismo tiempo,

produciran los mismos intereses o llegaran al mismo capital nal.

Por poner un ejemplo, seran equivalentes un 3% trimestral, que un 6,09% semestral,

que un 12,55% anual. Todos ellos, aplicados a un mismo capital durante un perodo

de tiempo igual, llegaran a un capital nal idntico. Vemoslo con un ejemplo,

supongamos 100 euros en el plazo de un ao:


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bancarios de pasivo


ms informacin

88

100 (1 +0,03)4 = 112,55

100 (1 + 0,0609)2

= 112,55100 (1 + 0,1255) = 112,55

De forma genrica podemos decir:

(1 + 0,03)4 = (1 + 0,0609)2 = (1 + 0,1255)

Si sustituimos los nmeros del ejemplo por los genricos TIR y TAE:

(1 + TIR4)4 = (1 + TIR

2)2 = (1 + TAE)

De la que se deduce la frmula de la TAE que utilizamos siempre:

TAE = (1 + TIR4)4 1 o bien TAE = (1 + TIR

2)2 1

2.2. Bases de clculo

Cuando calculamos directamente que un 8% nominal anual se corresponde con un

4% nominal semestral, o un 2% nominal trimestral, estamos asumiendo de forma

implcita que el producto o activo nanciero al que nos estamos reriendo dene su

forma de clculo como30360 .

Y esto qu quiere decir? Pues que no va a importar si los 6 meses en cuestin van

de enero a junio (que es un perodo de 6 meses con menos das), o van de julio a

diciembre (que es un perodo de 6 meses con ms das). Todos los meses tienen 30

das y el ao tiene 360 (ao comercial).

Aun sin saberlo (por rebuscado), en realidad el 4% semestral se corresponde con:

0,08 180360

= 0,04


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bancarios de pasivo


180 son los das que hay en un perodo de 6 meses (cualquier perodo de 6 meses) y 360 los

das que tiene el ao.

Si el 4% obtenido es la TIR de la operacin, para pasar a TAE tambin se pueden utilizar

directamente los das (invirtiendo el orden de los mismos):

TAE = (1 + TIRsem

)360

180 1

Si el mtodo de clculo fuera otro, el mecanismo para calcular el tipo de inters o la TAE ya

no va a variar. Por ejemplo:

actual

actual

Signica que cuento los das efectivos de la operacin y los divido por el nmero

de das reales que tiene el ao (dependiendo de si es ao bisiesto o no).

actual

365

Signica que cuento los das efectivos de la operacin y los divido siempre por

365, independientemente de si el ao es bisiesto.

Etc.

En cualquier caso, para calcular el tipo de inters de la periodicidad de la operacin multiplico

por: das

base

Cuando paso de la TIR a la TAE, elevo (1 + TIR) a:

das

base

Seccin 2. Operacin con diferentes tipos nominales

Los tipos de inters nominales sirven para obtener los capitales nancieros que conforman la operacin

(una vez obtenidos stos, el clculo de TIR y TAE va a ser siempre muy similar).

Imaginemos un depsito de 10.000 euros a tres aos, con liquidacin trimestral de intereses y cuyos tipos

de inters anuales son:


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bancarios de pasivo


El primer ao: 1,50%.

El segundo ao: 2,44%.

El tercer ao: 3,50%.

Cul sera la TAE de este depsito?

Primero deberemos hallar los interesesque se abonarn trimestralmente para poder dibujar la estructura

temporal del depsito:

1.er ao: intereses = 10.000 0,015 1

4= 10.000 0,00375 1 = 37,50

2.o ao: intereses = 10.000 0,0244 1

4= 10.000 0,00610 1 = 61,00

3.er ao: intereses = 10.000 0,0350 1

4= 10.000 0,00875 1 = 87,50

La estructura temporal quedar como sigue:

-10.000

37,5 37,5 37,5 37,5 61 61 61 61 87,5 87,5 87,5 10.087,50

Para calcular la TIR deberemos hacerlo mediante un Excel o una calculadora nanciera. Se tratar de

buscar aquella tasa que haga que el dinero invertido (10.000 euros hoy) sea nancieramente equivalente

al ujo de pagos futuroso, lo que es lo mismo, que dichos ujos actualizados a la TIR sean idnticos a

los 10.000 euros invertidos.

Una vez realizado el clculo se obtiene una TIR trimestral del 0,62%.

(En Recursosse encuentra el archivo Excel)

Para calcular la TAE lo haremos con la frmula de siempre:

TAE = (1 + TIR)m

1 = (1 + 0,0062)4 1 = 0,025


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bancarios de pasivo


ejemplo

nn

Aunque los tipos de inters sean variables, el procedimiento ser el mismo:

1. Obtener los capitales nancieros de la operacin.

2. A partir de los capitales nancieros de la operacin, calcular la TIR.

3. A partir de la TIR, calcular la TAE, que en este caso se corresponde con una rentabilidad anual del

2,5% TAE.

Seccin 3. La TAE y los depsitos a corto plazo

Ya hemos comentado que el clculo de la TAE supone reinversin de los capitales nancieros que

conguran la operacin, pero que la entidad emisora del depsito no est comprometida a ello ms all

del vencimientode la operacin.

Este supuesto puede ser un importante problema en depsitos a corto plazo, en los cuales la TAE puede

perder signicado.

Para comprobar este extremo, imaginemos un depsito que ofrece un 10% nominal

anual, vencimiento a una semana, en cuyo momento se producir la liquidacin de

la operacin. El rgimen nanciero es de tipo de inters simple. La entidad publicita

una TAE del 10,51%.

Primero comprobemos que la TAE publicitada es correcta, con un depsito de 1.000

euros.

Si el tipo nominal anual es del 10%, el tipo semanal ser del 0,1923% (0,010 x 1/52

semanas).

La liquidacin se produce al vencimiento, en una semana. Se obtendrn unos

intereses de 1,923 euros y la devolucin de los 1.000 euros depositados.

La TIR coincidir con el tipo de inters semanal (si hubiera otros capitales

nancieros adems de los intereses, como comisiones, esto no ocurrira lo veremos

ms adelante, pero slo con los intereses s que ocurre).

TIR= 1.001,923 1 = 0,0019231.000


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bancarios de pasivo


Y la TAE:

TAE = (1 + TIR)m 1 = (1 + 0,001923)52 1 = 0,10506

La rentabilidad anual equivalente es del 10,506% (o 10,51% redondeando), pero la nica

rentabilidad que garantiza el depsito realmente es del 0,1923% en una semana.

Llevado a un extremo, y si el depositante no pudiera volver a reinvertir el dinero en todo el

ao, la rentabilidad del 0,1923% sera la nica que obtendra, pues a nal de ao seguira con

sus 1.001,923 euros, ni uno ms.

Por supuesto, si se diera esta circunstancia (extrema como hemos dicho), al depositante le

convendra, desde el punto de vista de la rentabilidad, cualquier otro depsito que ofreciera

una rentabilidad mayor al 0,1923%.

Le podra interesar ms que este depsito al 10,51% TAE otro depsito al 1% TAE cuyo

vencimiento fuera anual? Desde luego que s, pero bajo el supuesto de no poder reinvertir.

En cambio, si el depositante pudiera invertir un mes en el primer depsito (10,51% TAE) y

los restantes 11 meses en el segundo (1% TAE), entonces de nuevo le convendra ms esta

opcin antes que slo el segundo depsito.

Por todo esto, la informacin que trasmite la TAE debe matizarse mucho cuando se trata de depsitos a

corto plazo.

Cierre

Hemos visto en este apartado diversos ejemplos para poder analizar y comparar depsitos. Es muy

importante comprender el concepto de la TAE, sus ventajas y sus limitaciones.

El esquema seguido de anlisis ha sido siempre el mismo: obtener los capitales nancieros implicados en

la operacin (dependen del tipo de inters nominal, periodicidad, del rgimen nanciero de la operacin y

de la base de clculo establecida), despus calcular la TIR y, por ltimo, calcular la TAE.

La relacin que se establece entre estas tres tasas, tipo nominal, TIR y TAE, se puede seguir en el

siguiente esquema.


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bancarios de pasivo


Esquema 2.2. Relacin entre tipo nominal, TIR y TAE (sin comisiones)

Tipo de intersanual

TAE

Tipo de inters periodicidaddeterminada (TIR)

^base

das

i184

= 0,08 184

360= 0,0408

xdas

base

TAE = (1 + 0,0408)

1 = 0,0815

360

184

esquema

UU


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productos bancarios de activo

Introduccin

Dentro de la va de la intermediacin bancaria, en el presente apartado nos centraremos en la segunda

parte, cuando ahora es la entidad nanciera (prestamista) la que da en prstamo el dinero captado

de los depositantes a los clientes (prestatarios) que precisan dinero hoy a cambio de devolverlo a la

institucin en el futuro en las condiciones pactadas.

Veremos primero de forma genrica los prstamos. De nuevo, el capital nanciero presente (el dinero

que recibirn los prestatarios principal del prstamo menos comisiones, si stas existen) deber ser

nancieramente equivalente a los capitales nancieros futuros (cuotas que los prestatarios abonarn a

la entidad).

Despus analizaremos de forma breve una operacin, la de descuento comercial, que nos permitir

conocer un tercer rgimen nanciero, el de descuento simple.

Esquema 3.1. Productos de activo de intermediacin bancaria dentro del sistema financiero

esquema

UU


Primas




Prstamos

Acciones y BonosAcciones y Bonos

Fondos de inversin

Depsitos


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bancarios de activo


ejemplo

nn

Seccin 1. Analizando prstamos

En muchas ocasiones, las familias precisan disponer de unos capitales nancieros muy elevados, a

los que ni sus ingresos ni su ahorro previo les permiten acceder (a la hora de comprar una vivienda u

otros bienes de precio elevado). Tambin las empresas u otras organizaciones, para poder acometer sus

inversiones, precisan endeudarse. En ambos casos, las entidades bancarias facilitan nanciacin a sus

clientes bsicamente mediante prstamos.

Por supuesto, lo que invierte la entidad nanciera y lo que recibir en el futuro han de ser nancieramente

equivalentes, para que la operacin sea justa tanto para el banco como para el cliente.

Y qu variable ser clave para analizar y poder comparar entre diferentes prstamos? Otra vez la TAE

ser la variable clave para los clientes que deseen solicitar un prstamo.

De nuevo, los pasos sern los siguientes:

1. Saber dibujar todos los ujos de la operacin, en este caso los bsicos son el principal del prstamo

y las cuotas, pero tambin deberemos tener en cuenta si hay comisiones y cualquier otro ujo que

afecte a la operacin.

2. Cuando conozcamos todos los ujos podremos calcular la TIR. Si la TIR es anual ya tendremos

directamente la TAE. Si no lo es, deberemos transformar la TIR en TAE.

Imaginemos un prstamo de 10.000 euros, a un tipo nominal anual del 10%, cuotas

mensuales durante dos aos y comisin de apertura del 3%.

Cul sera la estructura temporal de esta operacin nanciera? En el momento cero

habra un primer capital nanciero compuesto por el principal del prstamo menos

las comisiones que cobra la entidad, y despus habra 24 cuotas mensuales de

devolucin del prstamo.

Principal

- comisiones

C C C C

---C C CC

1 2 3 4 22 23 24


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bancarios de activo


El primer paso ser calcular la cuota mensual. Las cuotas de un prstamo (en la modalidad

prstamo francs) son todas del mismo importe y tienen la misma periodicidad, lo que las

convierte en una renta. La frmula del valor actual de una renta temporal es la siguiente (una

de sus posibles versiones):

VA =iC

iC

(1 + i)n

1= C

i1

i1

(1 + i)n

1

Donde,

VA es el valor actual de la renta (por tanto el importe del prstamo).

C es la cuota (en este caso mensual).

ies el tipo de inters expresado en meses (0,10/12 = 0,08333).

n es el nmero de cuotas (24 en este caso).

(Ver apartado + informacin 3.1 Valoracin de rentas, al nal de esta seccin, para conocer

el origen de la frmula empleada.)

De la misma forma, si conocemos el valor actual (VA) principal del prstamo y lo que

deseamos es conocer las cuotas, despejaremos C:

C =VA

=

i

1-

i

1

(1 + i)n1

100.000

0,008333

1-

(1 + 0,008333)241

0,008333

1

= 4.614,47

O, ms concretamente, 4.614,49 euros si calculamos la cuota en Excel, sin redondear niperder decimales en el tipo de inters.

Antes de aadir las comisiones, hagamos un clculo previo de la TIR y la TAE.

Para calcular la TIR, podramos hacerlo con un Excel o una calculadora nanciera,

buscando aquella tasa que haga que el principal del prstamo y las cuotas del mismo sean

nancieramente equivalentes, aunque en realidad en este caso no hace falta; si hemos

calculado las cuotas a partir del principal del prstamo y un tipo mensual del 0,8333%, y no

hay ningn capital nanciero adicional, cuando busque la tasa que al actualizar las cuotas me

d el principal, voy a hallar una TIR mensual del 0,8333%.


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bancarios de activo


Para calcular la TAElo haremos con la frmula de siempre:

TAE = (1 + TIR)m 1 = (1 + 0,008333)12 1 = 0,10471

Aunque an no hemos incluido comisiones, y la TIR es exactamente igual al tipo de inters

mensual, la TAE en cambio ya no es del 10%, sino superior. Por qu? Por la misma razn

que cuando analizbamos depsitos: el cliente no est pagando el 10% de una vez al nal

de ao, sino mediante cuotas mensuales; por tanto, la entidad cobra antes y su rentabilidad

(TAE) aumenta; para el cliente, ocurre justo lo contrario, como paga antes, su coste (TAE)

aumenta.

Aadamos ahora las comisiones. El importe de la misma ser del 3% sobre 10.000 euros,

por tanto ser de 300 euros. El importe que recibir el cliente no ser de 10.000 euros, sino

que obtendr 9.700 euros.

Ahora s, para buscar la TIR, aquella tasa que hace que las cuotas actualizadas sean igual

a 9.700 euros, deber utilizar un Excel. Una vez realizado el clculo se obtiene una TIR

mensual del 1,089%, que es mayor a la anterior por efecto de la comisin.

Para calcular la TAE:

TAE = (1 + TIR)m 1 = (1 + 0,01089)12 1 = 0,13876

La TAE ahora es an superior, como es normal al haberle aadido las comisiones. Entre

el 10% nominal anual y el 13,876% TAE vemos ahora que hay dos efectos: el primero, la

periodicidad de las cuotas, que ya de por s hace aumentar la TAE; y, el segundo, la comisin.

Aqu naliza el anlisis del prstamo propuesto. A partir de la TAE podramos compararlo con diferentes

ofertas de otras entidades nancieras ya que, al incluir las comisiones, la TAE es una magnca

herramienta de comparacin.

(En Recursosse encuentra el archivo Excel, en el que podremos ver cmo obtenemos la TIR y la TAE

en ambos supuestos (con y sin comisiones), y tambin podremos ver cmo construir de forma sencilla la

tabla de amortizacin del prstamo.)


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bancarios de activo


ms informacin

883.1. Valoracin de rentas

Aunque nos parezca complicado, trabajar con frmulas de valoracin de rentas

es sencillo si tenemos claros los conceptos de valor actual y actualizacin/

capitalizacin. Estos conceptos son una ayuda.

Sabemos que toda operacin nanciera conlleva que el dinero de hoy y el del futuro

deben ser fnancieramente equivalentes, es decir, que si actualizo el dinero que se

recibir en el futuro a fecha de hoy, el importe que obtengo debe ser idntico al dinero

que se invierte hoy.

Si pensamos en una renta perpetua, calcular su valor actual podra resultar muy

costoso, pues deberamos ir actualizando cuotas hasta el innito (en realidad no

tanto, pues como el valor actual de las cuotas muy lejanas cada vez resulta un importe

ms pequeo, cuando llevsemos actualizadas muchas cuotas, al nal una ms no

nos aadira ya prcticamente informacin, aunque tendramos que actualizar unas

cuantas.)

Las frmulas para valorar rentas son un atajo, es decir, una forma de hacer esos

clculos de forma mucho ms rpida.

Veamos un primer ejemplo muy sencillo que nos permitir trabajar con rentas

perpetuas.

Imaginemos un millonario que desea asegurarse una renta de 100.000 euros anuales

indenidamente. Si su entidad le ofrece un producto nanciero que da un tipo de

inters del 10%, qu cantidad debe poner en dicho producto para asegurarse surenta perpetua? No es muy complicado calcular que si el millonario ingresa un

milln de euros, cada ao el producto le dar 100.000 euros de intereses, que son

los que retirar como renta, y volver a tener disponible de nuevo el milln de euros

para generar intereses para el ao siguiente. Sencillo, verdad? Pues acabamos de

deducir el valor actual (VA)de una renta perpetua:

VA =i

C= = 1.000.000

0,10

100.000


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bancarios de activo


No perdamos de vista que lo que est haciendo esta frmula es calcular el valor actual

de todos los ujos futuros; por tanto, nos ahorra trabajo. Veamos grcamente el esquema

temporal:

VA

C C C C CC ...

Si lo que conozco es el importe disponible para invertir (un milln) y deseamos conocer la

renta que se obtendr al invertir en dicho producto (al 10%), slo debo calcular:

C = VA i = 1.000.000 0,10 = 100.000

La renta a percibir cada ao es de 100.000 euros.

Esta frmula no nos servir para calcular las cuotas de un prstamo, pues ste no tiene

cuotas perpetuas, sino que tiene un vencimiento; por tanto, deberemos aprender a calcular

las cuotas, no de una renta perpetua, sino de una renta temporal.

La frmula del valor actual de una renta temporal se puede deducir a partir de la frmula de la

renta perpetua. En realidad, la renta temporal ser la diferencia entre dos rentas perpetuas.

Veamos las dos estructuras temporalessiguientes:

a) El valor de la renta temporal (la renta que queda en blanco en el esquema temporal

inferior): lo puedo obtener mediante la diferencia entre el valor actual de la renta

perpetua superior y el valor actual de la renta inferior actualizada a fecha de hoy (slopuedo restar capitales nancieros si estn referidos a la misma fecha):

VA =i

C

VA =iC

Actualizar

VA =i

C_

1

(1 + i)n

VA =iC 1

(1 + i)niC


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bancarios de activo


b) La renta temporal es la diferencia o resta entre dos perpetuas:

Valor actual dela renta superior

VA = C

i

C

i

1

(1 + i)n= C

Valor de la renta inferior

actualizado hasta hoy=

El valor de la renta temporal loobtenemos por diferencia entre

las dos perpetuas

i

1

i

1

(1 + i)n1

A partir de esta frmula, ahora s podemos calcular las cuotas de un prstamo, ya que:

C =VA

i

1

i

1(1 + i)n

1

Seccin 2. Analizando el descuento comercial

Imaginemos una empresa que ha realizado una venta por un importe de 80.000 euros que cobrar en el

plazo de 90 das (sta es nuestra denicin de capital nanciero: una cantidad monetaria asociada a un

tiempo).

La empresa puede esperar 90 das y cobrar de su cliente, o tambin, si necesita liquidez, puede solicitar

a su entidad nanciera si le puede descontar la letra o efecto que reeje dicha deuda.

El esquema temporal sera el siguiente:

90d

80.000

Cunto recibir el cliente? Como siempre, deberemos conocer el tipo de inters que cobra el banco,

pero no slo eso, tambin debemos saber con qu rgimen nanciero se actualiza el capital nanciero

futuro y la base de clculo de los das.


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bancarios de activo


Toda esta informacin est recogida en el contratoentre el cliente y la entidad. Ese contrato entre las

dos partes debe detallar todas las caractersticas que hemos comentado, que para el presente ejemplo

supondremos que son:

Tipo de inters anual: 10%.

Comisin: 1%.

Rgimen nanciero: descuento comercial (act/360).

Para poder calcular el efectivo hemos de hablar, por lo tanto, de una tercera forma de actualizar (o

rgimen nanciero): inters anticipado o descuento comercial simple.

En este rgimen nanciero se calculan los intereses sobre el capital nal, que es el importe que conocemos

(en nuestro ejemplo 80.000 euros), y estos intereses son los que cobra la entidad nanciera hoy. Veamos

el clculo del efectivo que corresponde hoy por 80.000 euros dentro de 90 das:

Co= C (1 it) = 80.000

360

901 0,10 = 80.000 (1 0,025) = 78.000

Todava no hemos introducido las comisiones. Antes de hacerlo, imaginemos que el contrato no tuviera

comisiones y los siguientes fueran los dos capitales nancieros implicados en la operacin: 78.000 euros

hoy y 80.000 euros dentro de 90 das.

Cul sera la rentabilidad que el banco obtiene de la inversin que se caracteriza por estos dos capitales

nancieros y, por tanto, el coste para la empresa cliente?

Calculemos la rentabilidad que hace que los dos importes sean nancieramente equivalentes:

78.000 =

(1 + TIR)

80.000

TIR =78.000

80.0001 = 0,02564

La TIR, la rentabilidad para la entidad, es del 2,56%.

Podramos haber pensado que la rentabilidad/coste deba ser del 2,5%, pues es el tipo que hemos

obtenido y utilizado para la frmula (0,10 x 90/360 = 0,025), pero en este caso no es as. Cuando el

rgimen nanciero es el de tipo de inters anticipado, el tipo de inters que utilizamos para obtener el

capital nanciero inicial (el efectivo que recibe el cliente) sirve simplemente para eso, pero no reeja la

rentabilidad/coste de la operacin.


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bancarios de activo


Si nos jamos, veremos el porqu. La TIR es aquella rentabilidad que, aplicada al capital nanciero de

hoy, resulta el capital nanciero del futuro. En cambio, cuando se realiza un descuento comercial, el tipo

de inters que se aplica (en el ejemplo el 2,5%) realmente se aplica sobre el capital nanciero futuro, el

que se conoce (en el ejemplo los 80.000 euros).

Si la frmula con la que actualizamos (al descontar) es diferente a la frmula con que capitalizamos (al

calcular la TIR), es evidente que los tipos de inters no pueden ser iguales.

Un tipo de inters por s solo no nos dice nada a no ser que especiquemos tambin el rgimen

nanciero de la operacin o, dicho de otro modo, con qu frmula matemtica vamos a utilizar dicho

tipo de inters.

Ahora completemos la operacin con el importe de la comisin:

0,01 80.000 = 800

En el esquema temporal, a los 78.000 euros le restamos los 800 de la comisin y obtenemos un importe

efectivo total de 77.200.

Si ahora calculamos la TIR, obtenemos un 3,63%:

TIR =77.200

80.0001 = 0,03627

Esta TIR no es anual, sino trimestral. Si queremos calcular la TAE, obtenemos un 15,32%:

TAE = (1 + TIR4)360/90

1 = (1 + 0,03627)360/90

1 = 0,1532

Desde el 10% nominal que la empresa cliente tena en el contrato, ha pasado a tener un coste equivalente

anual (TAE) del 15,32% por el descuento de 80.000 euros a 90 das.

Cuando analizbamos depsitos, vimos que la TAE aumentaba cuando la periodicidad de capitalizacin/

liquidacin de intereses incrementaba (semestral mejor que anual, trimestral mejor que semestral, etc.).

En este caso es exactamente lo mismo: para el banco es mejor cobrar ese 10% descontando 4 efectos

trimestrales que un efecto anual, pues en el primer caso reinvierte el rendimiento obtenido (los intereses

generan intereses).


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bancarios de activo


En este ejemplo, adems, hay dos razonesms para que la TAE sea superior al tipo nominal:

1. La primera es la que ya hemos comentado: un tipo de inters no es igual si se aplica en un rgimen

nanciero o en otro. En el caso del rgimen nanciero de inters simple anticipado, el tipo de inters

(nominal) se aplica sobre el capital nanciero mayor (el futuro), por tanto los intereses que soporta

la empresa cliente son superiores a si se aplicara sobre el capital nanciero menor (el actual); por

ello, su coste sube (as como la rentabilidad para la entidad).

2. Por ltimo, tambin las comisiones hacen subir la TAE de la operacin.

Cierre

Hemos visto en este apartado el anlisis completo de un prstamo, que nos ha permitido adentrarnos

en un nuevo campo, el de las rentas, para poder calcular las cuotas que deber pagar el cliente como

devolucin del mismo. Posteriormente, hemos analizado que la TAE del prstamo aumenta tanto por el

hecho de la periodicidad del pago como por la inclusin de comisiones.

Es muy importante el hecho de que la TAE incluya las comisiones y cualquier otro gasto, para que

los clientes puedan comparar de forma eciente entre diferentes ofertas.

Tambin hemos podido ver la construccin del cuadro de amortizacin del prstamo.

Despus hemos visto un ejemplo de descuento comercial, que nos ha permitido conocer un tercer

rgimen nanciero, el de inters simple anticipado, y trabajar de nuevo con las comisiones y ver el efecto

que tienen sobre la rentabilidad/coste (para la entidad y cliente respectivamente) de la operacin.

El esquema seguido de anlisis ha sido idntico al que seguamos en los depsitos:

1. Obtener los capitales nancieros implicados en la operacin. Para ello partimos del tipo de inters

anual y obtenemos el tipo de inters de la periodicidad de la operacin (los capitales nancieros

dependern del rgimen nanciero de la operacin y de la base de clculo establecida).

2. Posteriormente hemos de calcular la TIR y, por ltimo, la TAE.

La relacin que se establece entre estas cuatro tasas (tipo nominal anual, tipo nominal de la periodicidad

de la operacin, TIR y TAE) se puede seguir en el siguiente esquema.


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bancarios de activo


Esquema 3.2. Relacin entre tipos nominales, TIR y TAE (con comisiones)

Tipo de intersanual

TAE

Tipo de intersperiodicidaddeterminada

TIR

Tasas nominales Tasas efectivas

Sirven paracalcular intereses

Incluyen intereses y tambinotros flujos, como comisiones

Periodicidadanual

Periodicidaddeterminada

esquema

UU


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mercados financieros

Introduccin

Adems de la va de la intermediacin bancaria, una segunda va muy importante que ofrece el sistema

nanciero para conectar la oferta y la demanda de capital est conformada por los mercados nancieros.

Como cualquier otro mercado, los mercados nancieros son aquellos lugares en los que se encuentran

demandantes y oferentes de algo, en este caso demandantes y oferentes de capital:

Los demandantesson aquellas empresas, administraciones y organizaciones que precisan dinero

hoy (para realizar inversiones) y se comprometen a devolverlo en el futuro. Ellos traen a hoy el

dinero del futuro.

Los oferentes son aquellos agentes que tienen disponible dinero hoy y lo invierten en dichas

instituciones, con la esperanza de obtener unos capitales futuros ms elevados. Ellos mueven el

dinero de hoy hacia el futuro.

Los vehculos para mover este dinero por el mercado nanciero sern los activos fnancieros

negociados, principalmente:

Valores de deuda o de renta ja. Pueden ser a corto o largo plazo, y pueden ser ttulos emitidos por

los Estados (Administraciones Pblicas) o por empresas privadas.

Valores de renta variable emitidos por empresas privadas.

Se puede invertir en estos activos directamente, o bien mediante instituciones de inversin colectiva, es

decir, fondos y sociedades de inversin.

De nuevo, las matemticas nancieras nos van a ser muy tiles para saber analizar las inversiones en

activos negociados en mercados nancieros.


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Apartado 4. Aplicaciones prcticas de las matemticas fnancieras en los mercados

fnancieros


Esquema 4.1. Activos negociados en mercados financieros dentro del sistema financiero


Primas




Prstamos

Acciones y BonosAcciones y Bonos

Fondos de inversin

Depsitos

esquema

UU

Seccin 1. Analizando la deuda a corto plazo: Letras del Tesoro y pagars de

empresa

Las letras y pagars son ttulos emitidos al descuento, es decir, que a vencimiento se recibir el importeestablecido (de la letra o el pagar), y dependiendo del precio de adquisicin (ya sea adquirido en subasta

o compraventa posterior), la rentabilidad nal que se obtenga ser mayor o menor.

Veamos el anlisis de ambos activos nancieros.

Anlisis de las Letras del Tesoro

Cuando el Estado precisa nanciacin a corto plazo emite Letras del Tesoro, que pueden tener vencimiento

a diferentes plazos.


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fnancieros


ejemplo

nn

Como en todos los productos nancieros analizados hasta este momento, nuestro objetivo va a ser

saber construir los capitales nancieros del activo (cundo se paga y cunto se paga) y saber calcular su

rentabilidad.

En el caso de la Deuda Pblica espaola, el Banco de Espaa tiene publicados sus criterios de clculo

de precios y rendimientospara todos los valores de deuda del Estado, ya que stos estn armonizados

con el resto de pases de la Unin Europea.

En el caso de las Letras del Tesoro con vencimiento inferior a un ao, los clculos deben realizarse a

inters simple y base 360 (rgimen nanciero de inters simple vencido):

i =P

F 1

360

dP =

1 + i d

360

F

Imaginemos una Letra del Tesoro (cuyo nominal es de 1.000 euros) que vence

dentro de 102 das. La compramos hoy a un precio del 98,89 y deseamos saber la

rentabilidad que la adquisicin a este precio supone.

Veamos el esquema temporal:

102 d

1.000

988.9

Utilizando la frmula adecuada, obtenemos una rentabilidad del 3,569%:

i =988,9

1.000 1

360

102= 0,03569

De la misma forma, si queremos comprar esta letra y nos informan que actualmente

da una rentabilidad del 3,569%, hemos de ser capaces de encontrar el precio de

mercado: 988,9 euros.

Si mantenemos esta letra hasta vencimiento, obtendremos una rentabilidad del

3,569% ya que pagando hoy 988,9 euros y recibiendo 1.000 euros dentro de 102

das, sta es la rentabilidad que se obtiene.


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fnancieros


ejemplo

nn

Pero si debemos vender esta letra antes de vencimiento, puede ser que mi rentabilidad sea diferente

a 3,569%? S, desde luego, la rentabilidad va a depender del precio de ventaque podamos conseguir.

A la renta ja se la llama ja porque tiene la renta jada; en este caso, los 1.000 euros. Esto no variar

y el cliente que tenga la letra el ltimo da recibir la cantidad establecida. Pero si hay compras y ventas

anteriores, el precio que nalmente reciba el vendedor depender de la oferta y la demanda. La rentabilidad

es ja slo si no se vende antes de vencimiento.

Anlisis de los pagars de empresa

Cuando son las empresas las que emiten deuda a corto plazo al descuento, el activo emitido recibe el

nombre de pagars de empresa.

En este caso es el emisor, en el folleto de emisin, el que determina la base de clculo que utilizar para

calcular precios y rentabilidades.

Imaginemos un pagar de nominal 5.000 euros, con vencimiento dentro de 221 das,

y que tiene establecido en las condiciones que utilizaremos para el clculo el inters

simple y base 365. Y especica la siguiente frmula:

P =

1 + i d

365

F

Imaginemos que queremos comprar un pagar de esta empresa y nos dicen que estcotizando con una rentabilidad implcita de un 6,72%, qu precio deber pagar por

l?

ste es el esquema temporal:

221 d

5.000


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fnancieros


Y el clculo:

P =

1 + 0,0672 221

365

5.000= 4.806,93

Si lo que hubiramos tenido fuera el precio, hubiramos podido calcular la rentabilidad, como

hicimos con la Letra del Tesoro.

Seccin 2. Las Letras del Tesoro a ms de un ao

Ya hemos visto que la frmula para analizar ttulos a corto plazo es sencilla. Y en el caso de una Letra

del Tesoro emitida a ms de un ao? Qu frmula utilizaramos? Si de nuevo vamos a ver el convenio

de clculo de precios y rendimientos del Banco de Espaa, nos dice que, en el caso de las Letras del

Tesoro con vencimiento superior a un ao, los clculos deben realizarse a inters compuesto y base 360

(rgimen nanciero de inters compuesto vencido):

P =

(1 + i)

d

360

F

Como en los ejemplos anteriores, conocemos siempre el importe que se recibir a vencimiento (1.000

euros). Por tanto:

Conocido el precio de hoy, podremos obtener la rentabilidad.

Y conocida la rentabilidad, podremos obtener el precio actualde la letra.

Seccin 3. Los bonos

Los bonos son ttulos de renta ja a ms largo plazo que las letras o pagars. Suelen tener cupones,

que abonan peridicamente, calculados como un porcentaje del nominal, y a vencimiento devuelven

normalmente el nominal del bono.


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fnancieros


Tambin existen bonos de emisores pblicos y privados. En Espaa, el Tesoro Pblico emite bonos con

un vencimiento:

a) Entre dos y cinco aos (los Bonos del Estado).

b) Superior a cinco aos (las Obligaciones del Estado).

Ambos son idnticos en todas sus caractersticas excepto en el plazo.

Los bonos de emisores privados pueden tener caractersticas muy diversas en cuanto a plazo, periodicidad

de pago de cupones, tipo de inters de los cupones, etc.

En la presente seccin veremos cmo nuestros conocimientos de matemticas nancieras nos van a

permitir:

Analizar este tipo de activos.

Saber calcular su precio o su rentabilidad, en especial comprender la relacin inversa que existe

entre ambas variables (relacin inversa entre precio y TIR del bono).

Conocer sus precios ex cupn y con cupn.

Primer anlisis del bono

Partiremos del siguiente ejemplo, imaginemos un bono con las siguientes caractersticas:

Nominal: 1.000 .

Tipo de inters: 4% anual.

Pago de cupn anual.

Vencimiento: 12/02/ao 05.

Base clculo: act/act (de nuevo, el emisor determina la base de clculo, que podemos encontrar enel folleto de emisin del bono).

La estructura temporal de la inversin en este bono sera la siguiente:

40 1.040

0 1 2 3 4 5

40 40 40


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fnancieros


En un primer momento, vamos a situarnos en el da 12/02 del hipottico ao 00, as podremos hacer

unos primeros clculos sencillos, asumiendo que falta un ao completo para el primer cupn, dos para el

segundo y cinco aos completos para el vencimiento. No habr en este anlisis cupn corrido, que es

el cupn devengado a una determinada fecha pero an no pagado (lo veremos en detalle ms adelante),

y por tanto, cuando hablemos de precio del bono, estaremos hablando de un precio ex cupn.

Si el nominal es de 1.000 euros y el cupn es anual, un cupn del 4% signicar pagos de 40 euros

anuales, y a vencimiento (ao 05) ser de 40 euros de cupn ms la devolucin del principal. A estos

activos los llamamos renta fjaporque tienen jada su estructura de pagos. Quien posea este bono sabe

que cobrar 40 euros cada ao y 1.040 euros en el vencimiento.

Imaginemos que el precio actual de este bono es de 1.000 euros (o 100%, recordemos que las cotizaciones

de los bonos se hacen en porcentaje sobre el nominal), cul es su rentabilidad? Cul es su TIR? Es

fcil de calcular. Invertimos 1.000 euros hoy y recibimos 40 euros el primer ao, 40 euros el segundo, 40

euros el tercero La rentabilidad (TIR) es del 4%, en este caso anual, pero nicamente porque su precio

ha sido del 100%.

Si vamos a comprar este bono al mercado y su precio es del 102%, qu ujos recibiremos en el futuro?

Los mismos, la estructura de pagos est jada; 40 euros de cupn cada ao, y el quinto ao adems

la devolucin del principal. La rentabilidad que ofrece el bono no puede ser entonces del 4%, ya que

debemos pagar ms (1.020 euros en vez de 1.000 euros) para recibir lo mismo de antes; la rentabilidad

del bono debe obligatoriamente ser menor.

Cmo calculo la nueva rentabilidaddel bono? De forma anloga a nuestros clculos anteriores en

diferentes activos y productos nancieros: actualizaremos los capitales nancieros futuros (cupones y

devolucin de principal) y buscaremos aquella tasa que iguale el valor actual de los mismos al precio del

bono (en este caso 102%):

1.020 =1 + TIR

40 +(1 + TIR)2

40 +(1 + TIR)3

40 +(1 + TIR)4

40 +(1 + TIR)5

1.040

Realizando los clculos en un Excel obtenemos una TIR del 3,56%. Cuanto ms alto sea el precio del

bono, menos rentabilidad estar dando a los inversores que lo compren a dicho precio (aquellos que

haban comprado a un precio de 100, si lo mantienen a vencimiento, evidentemente su rentabilidad s

ser del 4%).

(En Recursosse encuentra el archivo Excel, en el que podremos ver cmo obtenemos la TIR del bono

ante diferentes cambios de precio y cmo obtenemos el precio del bono ante diferentes cambios en laTIR, que son los clculos que realizamos a continuacin.)


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fnancieros


Y si su precio baja a 98%?

Ahora podemos pagar menos de 1.000 euros por el bono que va a seguir pagando c

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