DOSSIER MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES.doc

8/17/2019 DOSSIER MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES.doc

1/106

UNIVERSIDAD SALESIANA DEBOLIVIA

CARRERA CONTADURIA PÚBLICA

DOSSIER

MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALESTercer Semestre

Jose Antonio Villalba Cho!e

I-2011


2/106

PRESENTACIÓN

El presente dossier elaborado en base al cuaderno de apuntes de MatemáticasFinancieras y Actuariales, pretende servir de base y u!a para el estudio de laMatemática Financiera y Actuarial para los estudiantes de la carrera de

"ontadur!a #$blica de la %niversidad Salesiana de &olivia'

El dossier está orani(ado por temas se$n el orden del #lan de )isciplina*dentro de las siuientes randes unidades*

• Inter+s Simple y )escuento &ancario• Inter+s "ompuesto y uda #ropiedad• Anualidades de Imposicin y de Amorti(acin• M+todos de )epreciacin y Análisis de .eempla(o• Introduccin a las Matemáticas Actuariales* Tablas de Mortalidad,

Tablas de "onmutacin, .entas /italicias y Seuros de /ida'

Finalmente, aradecemos a la )irectora de la "arrera de "ontadur!a #$blica y deSistemas, ic' u(mila u(mán, por el apoyo ue siempre me 3a brindado'

4os+ Antonio /illalba "3oue

DOCENTE DE MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALESUNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA


3/106

COTENIDO DEL DOSSIER

1. Inte"#s Si$%le, Aplicaciones del Inter+s Simple en cuentas dea3orro y en cuentas corrientes

2. Des&!ento Ban&a"io, Euivalencia Financiera con )escuento

&ancario* "ambio de un )ocumento por 5tro, )ocumento %nico3. Inte"#s Co$%!esto* Monto y /alor Actual, "álculo del tiempo y de latasa de inter+s' Euivalencia Financiera a Inter+s "ompuesto')escuento "ompuesto' Tasa E6ectiva y Tasa ominal, uda#ropiedad* /aluacin de &osues* /alor Actual eto, Tasa Interna de.etorno'

4. An!ali'a'es 'e I$%osi&i(n* "lasi6icacin de las Anualidades* Anualidades de Imposicin* /encidas y Adelantadas, Anualidades deImposicin /ariables en .a(n eom+trica, Anualidades deImposicin /ariables en .a(n Aritm+tica'

5. An!ali'a'es 'e A$o"ti)a&i(n* Sistema Franc+s, Sistema

Americano y Sistema "omercial o "riollo6. M#to'os 'e De%"e&ia&i(n* M+todos #roporcionales* )irecto, )el

.endimiento y )el Servicio' M+todos de .educcin %ni6orme*M+todo de los $mero )!itos y M+todo de la Tasa "onstante de)epreciacin M+todos del Inter+s "ompuesto* Fondo de Amorti(acin y Fondo de Amorti(acin con capitali(acin deintereses sobre el saldo'

7. Mate$*ti&as A&t!a"iales* Tablas de Mortalidad, Tablas de"onmutacin, .entas /italicias y Seuros de /ida* #rima eta 7nicay #rima eta Anual'

+, Biblio-"a./a


4/106

OBJETIVOS Y COMPETENCIAS

OBJETIVO GENERAL

8ue el estudiante cono(ca y mane9e el instrumental matemático aplicado alanálisis 6inanciero de las empresas y:o proyectos de inversin, en empresasp$blicas, privadas o mi;tas'

OBJETIVOS ESPECIFICOS • 8ue el estudiante estudie y realice e9ercicios de inter+s simple, descuento

bancario y euivalencia 6inanciera para el análisis 6inanciero de corto pla(o• 8ue el estudiante estudie y realice e9ercicios de inter+s compuesto en el

cálculo del valor actual o valor 6inal de las anualidades de imposicin y deamorti(acin'

• 8ue el estudiante est+ capacitado para construir tablas 6inancierasmediante la utili(acin de sistemas computacionales'• 8ue el estudiante est+ capacitado para reali(ar evaluacin 6inanciera de

laro pla(o, de inversiones en activos mediante la aplicacin de losconceptos de la uda #ropiedad y el %su6ructo'

• 8ue el estudiante conoce y mane9a los distintos m+todos de depreciacinpara calcular la depreciacin de los activos y construir tablas dedepreciacin'

• 8ue el estudiante se introdu(ca en la matemática actuarial para reali(ar cálculos matemático actuariales en el cálculo de las rentas vitalicias y losseuros de vida mediante la construccin y análisis de tablas de mortalidad

y conmutacin'COMPETENCIA 0ENERAL.eali(a análisis 6inanciero de las empresas y:o proyectos de inversin, mediantela aplicacin de las matemáticas 6inancieras y actuariales, en empresas p$blicas,privadas o mi;tas'COMPETENCIAS ESPEC1FICAS

• .eali(a cálculos aplicando los principios de inter+s simple, descuentobancario y euivalencia 6inanciera

• Aplica los principios matemático 6inancieros del inter+s compuesto en elcálculo del valor actual o valor 6inal de las anualidades de imposicin y de

amorti(acin'• #uede construir tablas 6inancieras mediante la utili(acin de sistemascomputacionales'

• Está capacitado para reali(ar evaluacin 6inanciera de laro pla(o, deinversiones en activos mediante la aplicacin de los conceptos de la uda#ropiedad y el %su6ructo'

• #uede calcular la depreciacin de los activos y construir tablas dedepreciacin por los distintos m+todos-

• #uede reali(ar cálculos matemático actuariales en el cálculo de las rentasvitalicias y los seuros de vida mediante la construccin y análisis de tablasde mortalidad y conmutacin'


5/106

I2 INTERES SIMPLE

3 Con&e%to 4 0ene"ali'a'es,5 Inter+s es el retiro ue se paa por tener prestado un capital durante un determinante tiempo'

El inter+s varia en 6uncin del tiempo a mayor tiempo de pr+stamo se debe paar mayor inter+s' Se paara un inter+s menor si el tiempo es menor< as! el inter+s sepaa no por el dinero mismo sino por el transcurso del tiempo de tenencia deldinero' El dinero no tiene valor sino en 6uncin del tiempo'

Es inter+s simple porue no se area el capital, periodo tras periodo por tanto elcapital prestado crece'

EL INTERES COMPUESTO crece periodo tras periodo'

1 2 = >"o

"oi "oi "oi "oi

El enteres simple es muy $til para operaciones 6inancieras de corto pla(o< má;imo=?@ d!as'

SIMBOLO0IA6

I inter+s simple"o capital prestadon' tiempo de pr+stamoi' tasa o tipo de inter+s"n monto de inter+s simplei' B Ces el tanto por unoD

100E9'

a' 1 1' ib' 1 GGGG na' GGGGG nic' "o GGGG na GGGGG "o ni

CALCULO DE INTERES

I "o Hn H i =?0

I "o H n H i


6/106

E9emplo 1'- "ual será el inter+s ue producirá un capital de &s' 20000 al 22Banual por 10 d!as'

I 20000 H10 H 0'22 =?0

I 2200

E9emplo 2'- cual será el inter+s ue produce un capital de =@00 si se lo presta al1B anual por 2J0 d!as'

I =@000 H 2J0 H 0'1 =?0

I >J2@

Fo"$!la %a"a %e"io'os ."a&&iona"ios

Si i' anual y n' aKosentonces I "o H n' H i'

n' semestre I "o H n H i'2

n' cuatrimestre I "o H n' H i' =

n' trimester I "o H n H i' >

n' bimestre I "o H n H i' ?

n' meses I "o H n H i' 12

n dias I "o H n H i' =?0'

E9emplo ='- "ual será el inter+s ue produc!a un capital de >@00 si se lo prestaal 1@B anual por J meses'

I >@00 H J H 0'1@12

I =L='J@CALCULO DE LOS DEMAS ELEMENTOSCALCULO DE C,

"o I H =?0 n' H i'

E9emplo >'- cual 6ue el capital prestado si al cabo de L meses de 1@ d!as el inter+sproducido al 2>B anual es de &s' 1@0

"o 1@0 H =?0 2@H0'2>


7/106

"o LJ=?0>

E9emplo @'-"uanto tenemos ue prestar para poder cobrar un inter+s de &s' 2000cada mes se la tasa de inter+s es del 2B anual

"o 2000 H =?0 =0 H 0'2

"o @J1>'2

CALCULO DE 7n,8

n' I H =?0 "o H i'

E9emplo ?'- A cabo de cuanto tiempo un capital prestado de 10000 producirá uncapital de @00 si la tasa de entres es del 1B anual

n' @0010000 H 0'1

n' 100 d!as

E9emplo J'- Al cabo de cuanto tiempo un capital de &s' @000producira un inter+sde &s' @000si se lo presta al =?B anual'

n' @000 H =?0 @000 H 0'=?

n' 1000 d!asCALCULO DE 7i,8

i' I H =?0 "o Hn'

E9emplo '- A ue tasa de inter+s 6ue prestado un capital de L000 si al cabo de220 d!as produce un inter+s de 12@0

i' 12@0 H =?0 L000H220

i' 0'22J2J

Monto a inte"#s si$%leMonto,5 Monto es la suma del capital mas el inter+s'


8/106

"n "o C1nHiD

E9emplo L'- en cuanto se convertirá un capital de @00 si se lo presta al 2>B

anual por 2J0 d!as'"n @00 C12J0 H 0'2>D

=?0

"n 100=0

E9emplo 10'- cuanto recoerá un prestamista por un capital de @000 prestado por =00 d!as al 22B anual'

"n @000 C1=00 H 0'22D

=?0

"n @L1?'??

CALCULO DE CAPITAL PRESTADO

E9emplo 11'- cuanto presto una seKora si al cabo de 2@1 d!as y una tasa del 2@anual recoe un capital de &s' @0000

"o @000 12@0 H 0'2

=?0

"o @000 101L>>>

"o >1?0'?2

E9emplo 12'- Al cabo de cuanto tiempo se triplicara un capital cualuiera si se lopresta al 2@B anual

= H"n "o C1n' H 0'2@D =?0

= 1n H 0'2@ =?0

"o "n

1 n'H i

=?0


9/106

2 n H 0'2@ =?0n 2 0'2@ =?0

n 20 dais

E9emplo 1='- A ue tasa de inter+s se uintuplicara un capital cualuiera si se lopresta por un aKo

aD i' >"o H =?0"o H n'

i' > H =?0

=?0

i' >

bD @ "n "o C1=?0 H i' D =?0

> 1 =?0 H i'=?0

i' >

MONTO A INTERES SIMPLE

FORMULADLE MONTO A INTERES SIMPLE

"n "o C1nHi'D =?0

"n "o C1 n Hi' D 12

E9emplo 1>'- cuanto deberá por concepto de su capital e intereses un prestamistapor un capital de &s' 20000 al 1B anual por ? meses'

"n 20000 C1 ? H 0'1 D 12

"n 20000 C1 0'0LD

"n 2100

E9emplo 1@'-en cuanto se convertirá un capital prestado de ?000al 22B anual alcabo de 2J0 d!as

"n ?000 C12J0 H 0'22D =?0


10/106

"n ?000 C1'1?@D

"n ?LL0

E9emplo 1?'- a ue tasa de inter+s un capital de =000 se convertirá en >000 si selo presta por =00 d!as

i' 1000 H =?0 =000H=00

i' 1000 H =?0 L0000

i' >

"n =000 C1=00 H 0'2>D =?0

"n =000 H 0'2

"n ?00

E9emplo 1J'- dos capitales son prestados a 120 y 10 d!as respectivamente al2>B anual produciendo un monto total de 22@00si el primer capital es un terciodel seundo'

aD 3allar la cuant!a de los capitalesbD 3allar el monto producido por cada capital

aD "o C 1 n i' D "o C1 n i' D 22@00=?0 =?0

1 "o C1120 H 0'2> D "o C1 10 H 0'2> D 22@00= =?0 =?0

1 "o H 1'0 "o 1'12 22@00 =

0'=? H "o 1'12 H "o 22@00

1'> "o 22@00

"o 22@001'>

"o @0?J'@J

bD "n @0?J'@J H 1'0 @>J2'LJ@?

"o 1@202'J0 H 1'12 1J02J'02>


11/106

APLICACIONES A INTERES SIMPLE

Se aplican en*

aD cuentas de a3orro

bD cuenta corriente

a2 &!enta 'e aho""o

Sean* s , s , s , s , '''''s los distintos saldosy' n, n, n, n,'''''n sus tiempos de permanencia

Si la tasa de inter+s es* Ni'O os intereses saran*

s n i, s n i, s n i' P''s n i'

#or tanto el inter+s total

I s n i' s n i' s n i' ' P'' s nI i' C s n ,s n P''s n D

a' cerrar al =0:0? la cta' del sr' "arlos Tebes cuyo movimiento sea el siuiente*

- saldo 01:01:0? =@00- deposito 20:01:0? 1000- retiro 2>:01:0? 1@00- deposito 0@:02:0? 2000- retiro 1@:0=:0? 1@00- deposito 20:0>:0? 200- retiro 1@:0@:0? 2000- deposito 0@:0?:0? 1000

la tasa de inter+s ue paa el banco es del LB anual'

Fec3a )etalle DEBE HABER SALDO nr sr nr Ene-0? SA)5 =1:12 =@00 20 J0000Ene-0? )E#5SIT5 1000 >@00 > 1000Ene-0? .ETI.5 1@00 =000 12 =?000Feb-0? )E#5SIT5 2000 @000 = 1L000Mar-0? .ETI.5 1@00 =@00 =? 12?000 Abr-0? )E#5.IT5 200 ?=00 2@ 1@J@00May-0? .ETI.5 2000 >=00 21 L0=00

4un-0? @=00 2@ 1=2@004un-=0 202,2J @@02,2J 20=00

I i' s' n'

=?0


12/106

I 0'0L H20=00 =?@

I 202'2J

DOCUMENTO ÚNICO

)os o más documentos son euivalentes a un solo documento $nico siempre ycuando la suma de sus valores e6ectivos es iual al valor e6ectivo del documento$nico en una determinada 6ec3a de su vencimiento' 1 2 3 ......... nCo Co Co Co Co+ + + + ="o valor e6ectivo del documento $nico"o valor e6ectivo del documentor 1, 2,=,PP', nn vencimiento com$n Cvencimiento del documento $nicoDnr vencimiento del documentoi tasa de inter+sValo" no$inal 'e 'o&!$ento 9ni&o

*

360

1360

iCnr Cnr nr

Cni

n

−

=

−

∑ ∑

.360 360

. .360 360

i iCnr Cnr nr Cn cn

i iCn n Cn Cnr Cnr nr

− = −

= = +

∑ ∑

∑ ∑

Ven&i$iento &o$9n

.

360

360

iCn Cnr Cnr nr

ni

Cn

− +

=∑ ∑

Ven&i$iento Me'io6

Supuesto*

.

Cn Cnr

Cnr nr ñ

Cnr

=

=

∑

∑∑


13/106

11300000

100000

113

ñ

ñ dias

=

=

cD . 1360 360

i iCnr n Cnr Cn n

= − − ÷

∑ ∑

(1 )360

.

360

iCnr Cn n

iCnr nr

− −

=∑

∑

0.22100000 108000 1 282

360

11300000

360

100000 89388.00

31388.88

0.3381

i

i

i

− − ÷ =

−=

=DESCUENTO BANCARIO Y E:UILIBRIO FINANCIERA

3, Des&!ento Ban&a"io;, Valo" E.e&ti


14/106

*360

i Db Cn n=

EJEMPLORallar el descuento bancario correspondiente a la letra de cambio de &s' =@00aceptada en 6ec3a 1@-0J-200? con vencimiento 10-01-200J' Si la tasa de inter+ses el 2B anual'

Datos"n &s' =@00

n 1JL )ias *360

i Db Cn n=

i 0'2 anual)b

0.2838500*179

360 Db =

6 I 1@-0J-0?6 6 10-01-0J 5.360 Db =6 6 200J 1 106 I 200? J 1@

1a -?m @d =?0 10 @ )ias 1J@ > 1JL )ias

E?e$%lo 6 ; %na letra de cambio mensual con &s' 20000 es aceptada en 6ec3a >-0-0? al 2=B anual' Si el descuento bancario es el descuento de &s' 2200' Rallar el tiempode vencimiento'

Dato

"n 20000&s *360*

Dbn

Cn i=

n i 0'2= annual

2200*360

20000*0.23n =

)b 22006 I >-0-0? 9.81n =

E?e$%lo6 = A ue tasa de intereses 6ue aceptada una letra de cambio con valor nominal dedlares J@00 en 6ec3a J-0-0? con vencimiento el 1@-12-0? si el descuentobancario es de dlares 2@' Rallar el inter+s correspondiente'


15/106

Datos7500$

?

825

7 080615 12 06

2006 12 15

2006 08 07

Cn

i

Db

fI ff

ff

fI

==

=

= −= − −

= − −= − −

*360*

825*360

7500*123

0.32

Dbi

Cn n

i

i

=

=

=

>m d!as =?0 120 112

VALOR EFECTIVOEs la cantidad de dinero ue recibe el prestatario en e6ectivo lueo de 6irmar CaceptarD un e6ecto 6inanciero cuyo valor nominal es mayor ala suma recibida' "o /alor E6ectivo

* .

(1 * )

Co Cn Db

Co Cn Cn n i

Co Cn n i

= −= −

= −Fo"$!la 'el


16/106

Aunue la tasa de inter+s 6ue aceptado una letra de cambio por &s'1@000 en6ec3a 2-0-0? con el vencimiento al >-01-0J si se recibe en e6ectivo por &s'1=>00'Datos

13400

.15000

129

?

Cn Bs

Co Bs

n dias

i

==

==

1 360

*360

*360*

i

Co Cn n

iCn n Cn Co

Cn Coi

Cn n

= − ÷

= −

−=

13500 15000*360

13400*129

1600

*36013271

0.12056*360

43.40

i

i

i

i

−=

===

;, E:UIVALENCIA FINANCIERA6aD "ambio de un documento por otro'

1

Cn

1n

1i

2Cn

2

n

2i

P"in&i%io*os documentos son euivalentes en una determinada 6ec3a antes de suvencimiento siempre y cuando sus valores e6ectivos son iuales'

( )( )

( ) ( )

1 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 2 2 2

1

1

1 1

Co Co

Co Cn n i

Co Cn n i

Cn n i Cn n i

=

= −= −

∴= − = −

2

1

2

2

1 *360

1

despejarCn

iCn n

Cnn

− ÷ =

−

Fo"$!la 'e la e!i


17/106

%n comerciante debe cubrir una letra de cambio J00 en e6ectivo 20-10-0?' Sinembaro estimando ue no podrá cubrir dic3a previsin en la 6ec3a prevista, en6ec3a 20-0-0? cambiando con su acreedor el e6ecto 6inanciero por otro uetena como vencimiento el 1@ 01-200J' Si la tas de inter+s ue interviene con loscálculos es el 22B anual'

aD 3allar el valor nominal del documento bD a manera de prueba 3allar la tasa de inter+scD si la tasa de inter+s del primer documento es del 1anual

Rallar la tasa de inter+s del seundo documento

Datos aD

1

1

2

2

$7800

61

0.22

138

?

Cn

n dias

i anual

n dias

Cn

==

==

=

2

2

2

0.227800 1 61*

360

0.221 148*

3607800*0.96272

0.90956

8255.88

Cn

Cn

Cn

− ÷ =

−

=

=

bD

2 1

2 2 1 1

*360

8255.88 7800*360

8255.88 *148 7800*61455.88

0 *360746070.24

0.2199

Cn Cni

Cn n Cn n

i

i

i

−=

−

−=

− −

=

"D

12 1 1 1

2

2 2

2

2

360 *360

8255.88*145 7800*61*360746070.24

0.20

iCn Cn Cn n

iCn n

i

i anual

+=

−=

=

DOCUMENTO UNICO


18/106

)os o mas documentos son euivalentes a un solo documento $nico siempre ycuando la suma de sus valores e6ectivas es iual al valor e6ectivo del documento$nico en una determinada 6ec3a de sus vencimiento' 1 2 3 ......... nCo Co Co Co Co+ + + + ="o valor e6ectivo del documento $nico

"o valor e6ectivo del documentor 1,2,=,PP',nn vencimiento com$n Cvencimiento del documento $nicoDnr vencimiento del documentoi tasa de inter+s

1 1 1

360

iCo Cn n

= − ÷

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 ....... 1360 360 360 360

.........360 360 360

n n

n n n

i i i iCn n Cn n Cn n Cn n

i i iCn Cn n Cn Cn n Cn Cn n

− = − + − + + − ÷ ÷ ÷ ÷

− + − + + −

1 1

. 1360 360

m m

r r

i iCnr Cnr nr Cn n

= =

= − ÷

∑ ∑

Valo" no$inal 'e 'o&!$ento !ni&o

*360

1360

i

Cnr Cnr nr Cn

in

−=

−

∑ ∑

.360 360

. .360 360

i iCnr Cnr nr Cn cn

i iCn n Cn Cnr Cnr nr

− = −

= = +

∑ ∑

∑ ∑

Ven&i$iento &o$9n

.

360

360

iCn Cnr Cnr nr

ni

Cn

− +

=∑ ∑

E9emplo*1%n industrial debe subir las siuientes obliaciones* >@00 al 20 10 0? =00 al 10 11 - 0? ?000 al 2= 12 0?

J000 al 1@ 02 0J


19/106

Sin embaro estima ue no podrá cubrir en 6ec3a prevista conviene cambiar lose6ectivos 6inancieros ue tenan como vencimiento*=1 12 0? si la tasa de inter+s aplicada entre cálculos es del 22B anual'

aD Rallar el valor nominal del documento $nico

bD A manera de prueba 3allar el vencimiento com$n'cD Si la tasa de inter+s aplicado al documento $nico es 2anual' Rallar la tasa de inter+s de los documentos en con9unto'

i

Cnr- * *360Cn=i

1-n360

0.2221300 *1595700

3600.22

1 72 *360

21300 975.150.956

20324.85

0.956

21260.30

Cnr nr

Cn

Cn

Cn

Cn

−

=

−

−=

=

=

bD

r "nr nr "nrHnr 1 >@00 21 L>@002 =00 ?> 2>=200= ?000 J2 >=2000> J000 11 2?000


20/106

Cnr*nr n=

Cnr

1595700

21300

74.915

n

n

=

=

cD

iCn-Cnr+ * *

360n=i

cn*

360

0.2221260.30-21300+ *1545700

360n=0.22

21260.30*360

935.45

12.9924

72

Cnr nr

n

n

=

=

II2 INTERES COMPUESTO

32 Con&e%to;2 Si$bolo-/a=2 De'!&&i(n 'e .o"$!laa2 Monto

b2 Valo" a&t!al&2 N9$e"os 'e %e"io'os'2 Tasa 'e inte"#se2 Inte"#s &o$%!esto@2 P"oble$as

32 Con&e%to,5 El inter+s compuesto es el inter+s ue se aplicara sobre el capitaly los intereses 6uncionados al capital' #or esto al$n autor a conceptuali(ado ueel inter+s compuesto como inter+s de intereses sus embaro dic3o concepto esincompleto puesto ue el inter+s compuesto se aplica al inter+s pero tambi+n alcapital'


21/106

"on el inter+s compuesto y las sucesivas capitali(aciones C6usin de los interesesal capitalD el capital va creciendo en ra(n eom+trica periodo tras periodo

;2 Si$bolo-/a

"n monto a inter+s compuesto"o valor actualn U de periodos de capitali(acini tasa o tipo de inter+s compuestoIo inter+s compuestoC1iD 6actor de capitali(acin

1 6actor de actuali(acinC1iD

=2 De'!&&i(n 'e .o"$!las

1 2 = > n 1"apital "oInter+s V " 1 V " 2 V "= V " > " n

"o i "1i "2i "=i ">i "n-1i

a2

#E.I5)5 ITE.ES M5T5

0

12

=''n

-

"o' i"1 I "o C1iD i

"1 2 "o C1iDW2 i

"n-1 I "o C1iDWn-1 I

"o

"1 "o "o'i "oC1iD"2 "o C1iD"oC1iD 1"2 "oC1iDC1iD"oC1iDW2"= "oC1iDW2 "oC1iDW2 i "oC1iDW2 "oC1iD Co> Co3i2;"= "oC1iDW2 "oC1iDW2 i "oC1iDW2 "oC1iD Co> Co3i2= "n "oC1iDWn-1 "oC1iDWn-1 i "oC1iDWn-1 "oC1iD Cn> Co3i2n

NOTA6 PERIODO DE CAPITALIACIONEs el lapso de tiempo al cabo del cual el inter+s es sumado o 6uncionado alcapital'#or e9emplo en nuestro medio las entidades 6inancieras deben capitali(ar intereses en monto de a3orro cada 6in de semestre por tanto el periodo decapitali(acin aprobada por ley, en cuentas de a3orro es de ? meses'bD valor actual

Cn = Co^

Co = Cn


22/106

cD U de periodos de capitali(acinlo "n lo "o n lo C1iD

dD tasa de inters1D con loaritmos* o C1iD lo "n lo "o

n2D sin loaritmo

C1iDWn "n"o

X C1iD Wn nX "n - 1

"o

@2 P"oble$as

1D Y"uánto deberá depositar 3oy un padre de 6amilia cuyo 3i9o cumple 10 aKospara ue al cumplir 20 aKos su 3i9o pueda cobrar un capital de 20000paracostear sus estudios universitarios si la tasa i del dinero es del LB anual concapitali(acin mensual)atos"o n 10 aKosi 0'0LB anual 0'00J@"apitali(acin mensual"n 20000

"o "nC1iDWn

"o 20000C1'00J@DW120

"o 1@'J@bD a manera de prueba 3allar el n$mero de periodos de capitali(acin o tiempo dela operacin

cD 3allar la tasa de inter+sbD n lo 20000 lo 1@'J@lo 1'00J@

n >'=0102LLL?- ='L11?2=?2?0'00=2>@0@>

n 120 meses

cD lo C1iD lo "n o "o120

o C1iD >'=0102LLL?- ='L11?2=?2? 120

o C1iD 0'00=2>@0@2 0'=2 B

n = lo Cn ! lo Co


23/106

2D un inversionista deposita @0000 con la promesa de recibir un capital de 200000dentro de 10 aKos si le proponen una capitali(acin de los cr+ditos en6orma trimestral'aD 3allar la tasa de rendimiento de la inversinbD 3allar si la capitali(acin es cuatrimestral 3allar la tasa de rendimiento

cD si la capitali(acin es semestral 3allar la tasa de rendimiento)atos"n@0000"o 200000n 10 aKos"apitali(acin trimestral

aD i n X 200000 - 1 @0000

i >0 X 200000 - 1 @0000

i 0'0=@2?>L2= ='@= B trimestral

bD i =0 X 200000 - 1@0000

i 0'0>J2L>122 >'J=B

cD i 20 X 200000 - 1@0000

i 0'0J1JJ=>?2 J'1 semestral

INTERES COMPUESTO

)atos"n 1>0000 n @ aKos"apitali(acin trimestrali 0'0 B anual 0'02 B trimestralIoIo 1>0000 C 1 1:1'02W20DIo 1>0000 H 0'=2J02???Io >@J>'01

Rallar el descuento compuesto en 6uncin del valor actualCo>Cn I&"o 1>0000 ->@J>'01"o L>21@'LLIc "o CC1iD Wn - 1DIc L>2>@'LLCC1'02D W20 -1DIc L>21@'@0


24/106

=D cual es la tasa de inter+s de un documento con valor nominal de @000 si elvalor actual es 20000 y el tiempo es de > aKos con capitali(acin cuatrimestral)atos"n @000"o 20000

n > aKos 12 cuatrimestral"apitali(acin cuatrimestrali

i 12 X @000 - 1 20000

i 0'121>J1== 12'1 B

>D al cabo de cuanto tiempo se triplicara un capital cualuiera si se lo presta al1@B anual con capitali(acin mensual

)atos"o =0000i 0'1@ anual 0'1@ : 12 0'012@"apitali(acin mensualn

n lo "n lo "olo C1i D

n loL0000 lo=0000o C1'012@D

n >'L@>2>2@0L >'>JJ1212@@0'00@=L@0=1

n '>>B

Inte"#s Co$%!esto6E?e"&i&iosE9ercicio 1* "alcular el inter+s de un capital de @'000'000 ptas' invertidos durante

un aKo y medio al 1?B, aplicando capitali(acin simple y capitali(acincompuesta'E9ercicio 2* Rallar el euivalente del 1?B anual en base* aD mensual< bDcuatrimestral< cD semestral' Aplicando la 6ormula de capitali(acin compuesta'E9ercicio =* Se recibe un capital de 1 milln de ptas' dentro de ? meses y otrocapital de 0,@ millones ptas' dentro de L meses' Ambos se invierten al 12B anual'Y 8ue importa se tendrá dentro de 1 aKo, aplicando capitali(acin compuesta 'E9ercicio >* Y 8u+ intereses ser!an mayor, los de un capital de ?00'000 invertidosdurante ? meses al 1@B anual, aplicando capitali(acin simple, o los de un capitalde @00'000 ptas' invertidos durante meses al tipo del 1?B en capitali(acincompuesta


25/106

E9ercicio @* Y Si un capital de 1 milln de pesetas enera unos intereses durante ?meses de 1@0'000 ptas, u+ tipo de inter+s se estar!a aplicando si se estuvieraaplicando la capitali(acin simple , Yy la capitali(acin compuesta 'SOLUCIONES E9ercicio 1*

aD Aplicando la 6ormula de capitali(acin simple* I "o H i H t

ueo, I @'000'000 H 0,1? H 1,@ueo, I 1'200'000 ptas'

bD Aplicando la 6ormula de capitali(acin compuesta* I "o HCCC1 iD W tD - 1D

ueo, I @'000'000 H CCC1 0,1?D W 1,@D - 1Dueo, I @'000'000 H C1,2>L - 1D

ueo, I 1'2>@'000 ptas'E9ercicio 2*

/amos a calcular los tipos euivalentes al 1?B anual*

aD En base mensual* 1 i C1 i12D W 12 CZ iZ es la tasa anualD

ueo, 1 0,1? C1 i12D W 12ueo, C1,1?D W 1:12 1 i12ueo, 1,012> 1 i12ueo, i12 0,012>

bD En base cuatrimestral* 1 i C1 i=D W = CZ iZ es la tasaanualD

ueo, 1 0,1? C1 i=D W =ueo, C1,1?D W 1:= 1 i=ueo, 1,0@0J 1 i=ueo, i= 0,0@0J

cD En base semestral* 1 i C1 i2D W 2 CZ iZ es la tasa anualD

ueo, 1 0,1? C1 i2D W 2ueo, C1,1?D W 1:2 1 i2ueo, 1,0JJ0 1 i2ueo, i2 0,0JJ0

E9ercicio =*Tenemos ue calcular el capital 6inal de ambos importes dentrode 1 aKo y sumarlos

1er importe* "6 "o I"alculamos los intereses I "o H CCC1 iD W tD - 1D


26/106

ueo, I 1'000'000 H CCC10,12D W 0,@D - 1D Ctipo y pla(o enbase anualDueo, I @'=01 ptas'ueo, "6 1'000'000 @'=01 1'0@'=01 ptas'

2do importe* "6 "o I"alculamos los intereses I "o H CCC1 iD W tD - 1Dueo, I @00'000 H CCC10,12D W 0,2@D - 1D C tipo y pla(o enbase anualDueo, I 1>'=?L ptas'ueo, "6 @00'000 1>'=?L @1>'=?L ptas'

[a podemos sumar los dos importe ue tendremos dentro de 1aKo

ueo, "t 1'0@'=01 @1>'=?L 1'@J2'?J0 ptas'E9ercicio >*

aD En el 1\ caso, aplicamos la 6rmula de capitali(acin simple* I "o H i H t

ueo, I ?00'000 H 0,1@ H 0,@ Ctipo y pla(o en base anualDueo, I >@''000 ptas'

bD En el 2\ caso, aplicamos capitali(acin compuesta* I "o HCCC1 iD W tD - 1D

ueo, I @00'000 H CCC1 0,1?D W 0,??D - 1D C tipo y pla(o enbase anualDueo, I @00'000 H C1,2>L - 1Dueo, I @1'>@ ptas'

ueo en la 2 opcin los intereses son mayores'E9ercicio @*

aD Aplicando la 6ormula de capitali(acin simple* I "o H i H t

ueo, 1@0'000 1'000'000 H i H 0,@ Ctipo y pla(o en baseanualDueo, i 1@0'000 : @00'000ueo, i 0,=

#or lo tanto, se está aplicando un tipo de inter+s anual del =0B

bD Aplicando la 6ormula de capitali(acin compuesta* I "o HCCC1 iD W tD - 1D

ueo, 1@0'000 1'000'000 H CCC1 iD W 0,@D - 1D


27/106

ueo, 1@0'000 1'000'000 H CC1 iD W 0,@D - 1'000'000ueo, 1'1@0'000 1'000'000 H CCC1 iD W 0,@Dueo, 1'1@0'000 : 1'000'000 C1 iD W 0,@ueo, 1,1@ C1 iD W 0,@ueo, C1,1@D W 2 1 iueo, 1,=22 1 iueo, i 0,=22

#or lo tanto, se está aplicando un tipo de inter+s anual del=2,2B

DESCUENTO COMPUESTO

1'- EE.AI)A)ES

2'- SIM&55IA='- F5.M%AS>'- #.5&EMAS 1'- EE.AI)A)ES'- #ara periodos mayores a un aKo se debe utili(ar eldescuento compuesto' El descuento compuesto bancario solo es $til paraoperaciones 6inancieras má;imo un aKo' %tili(ar descuento bancario paraperiodos mayores a un aKo podr!a llevarnos a resultados absurdos'

2'- SIM&55IA'-)c )escuento compuesto i tasa de inter+s n tiempo de vencimiento "n valor nominal a descuento compuesto "o valor actual del descuento compuesto )b descuento bancario

='- F5.M%AS'- )c 6 C "n D Cen 6uncin del valor nominalD

n )c "n C 1 - 1 D 1 i

)c 6 C "o D Cen 6uncin del valor actualD

n )c "o C C 1 i D - 1 D

#ar 3allar el valor actual *


28/106

"o "n - )b

#ara 3allar descuento bancario*

)b "n H n H i

>'- #.5&EMAS'- aD Rallar el valor e6ectivo correspondiente a un documento con valor nominal de1=@00 con un vencimiento de cuatro aKos con tasa de inter+s anual del 2@Banual'

Sol*

)atos *

"n 1=@00 n > aKos i 2@ B anual

"o Rallamos descuento compuesto

> )c 1=@00 C 1 - 1 D

1 0'2@

)c 1=@00 H 0'@L0>

)c JLJ0'>0

Rallamos el valor actual del descuento compuesto

"o 1=@00 - JLJ?'>0

"o @@2L'?0

Rallamos descuento bancario)b 1=@00 H > H 0'2@

)b 1=@00

Rallamos el valor actual del descuento compuesto

"o 1=@00 - 1=@00

"o 0 CabsurdoD


29/106

NUDA PROPIEDADVALUACIÓN DE BOSQUES

NUDA PROPIEDAD'-Es el valor actual del $nico 6lu9o neto ue puede producir una inversin despu+s de transcurrido cierto numero de periodos de tiempo

E4EM#5S1'- 8uiere vendernos un bosue en el municipios de A;iomas provincia Iturraldedel )epartamento de a #a( en us =000000 ba9o el arumento ue dic3obosue nos podrá reportar un 6lu9o neto de 1000000 dentro de 1@ aKos si lata(a de inter+s es del LB anual con capitali(acin trimestralaD Rallar la ta(a e6ectiva anual del dinero

bD Rallar la nuda propiedadcD Rallar el valor actual netodD Rallar la ta(a interna de retorno

)atosF1@ 10000000I0 =000000I 0'0L anualcapitali(acin trimestral

>Ie C10'0LD -1

> Ie 0'0L=

bD # 10000000 1@

C10'0L=D

NP > ;=@=G,3 H =o conviene

2) VALORA ACTUAL NETO '- Es el valor actual de los 6lu9os netos uepueden producir una inversin aKo tras aKo desde el aKo 0 3asta el despu+sde proporcionar el costo de oportunidad de dinero

/A 2?=>>L?'1? =0000000 /A -=?@@0='>

o cubredD TI. TI. Tasa interna de .etorno

"N#

NP = n

$ i%= (1+in)&1

$

'AN = NP & I


30/106

TIR > VAN > TI. Io #

TI. n Fn Io

TI. 1@ 10000000 - 1

=000000TI. > 0'0=@J '=@ V L'= o "onviene

Si 3allamos la ta(a de Inter+s

In ] n ie 1 - 1^ m

In ] > 0'0L= 1 - 1 ^ >

In 0'0LL'LLB

EJEMPLO 2 8uieren vendernos un terreno en la localidad de "3uma en =@000 ba9o elarumento de ue dic3o terreno podremos venderlo dentro de 10 aKos en120000 si la tasa de inter+s del dinero es del 11B anual con capitali(acinmensual

aD 3allar la ta(a e6ectiva anual del inter+sbD 3alla la nuda propiedadcD 3allar el valor actual netodD 3allar la ta(a interna de retorno

)AT5S F10120000"o =@000I 0'11"apitali(acin mensual

"Nn

Io= n

(1+i)

$

I% =( 1 + in)


31/106

Ie C10'11D12 - 112

Ie = 0.1157

bD # Fn C1IDn

# 120000 10

10'11@J# >01@1'LJ@0

"D /A # -Io

VAN = 40151.975 ! 5000 = 5151.975 S" #$n%"enecD TI. n Fn - 1 Io

TI. 10 120000 1=@000

&IR = 0.11SI "5/IEE

EJEMPLO =os o6rece depositar a a3orro del 20000 por un bono convertible dentro de aKos a J@000 si la ta(a de inter+s es del 1= anual con capitali(acin mensual

eD 3allar la ta(a e6ectiva anual6D 3alla la nuda propiedadD 3allar el valor actual neto3D 3allar la ta(a interna de retorno

)atos'-F J@000"o 20000I0'1= anual

aD Ie C10'1=D

12

-112


32/106

Ie 0'1=0bD# J@000

C10'1=0D

# 2???='JcD /A # - "o/A ???=0J

AD TI. n Fn "o

TI. J@000 - 1 20000

TI. 0'1JL1J'L _ 1=0


33/106

III2 ANUALIDADES• CONCEPTO Y 0ENERALIDADES• CLASIFICACION SE0ÚN EL TRATAMIENTO MATEMATICO

• CLASIFICACION SE0ÚN SU FINALIDAD Y MODALIDADES DE PA0O• ANUALIDADES DE IMPOSICION CONSTANTES E INMEDIATASA2 VENCIDASB2 ADELANTADAS

• CONCEPTO Y 0ENERALIDADES,5 Anual es todo pao peridico,tambi+n se llaman rentas e9emplo Aluileres de 3abitacin tel+6ono lu(aua pensiones a la e; mu9er o e; marido'

Se llaman anualidades por ue en principios se re6er!an a paos anuales sinembaro con el transcurso del tiempo anualidad es todo pao peridico

ue puede ser anual semestral cuatrimestral trimestral mensual semanal odiario

• CLACIFICACION SE0ÚN EL TRATAMIENTO MATEMATICO '- desdeel punto de vista del tratamiento matemático las anualidades puedenser anualidades ciertas o inciertas

• ANULIDADES CIERTAS'- Son auellas de las cuales se sabe cuandocomien(an y o cuando terminan' Estas anualidades son tratadas por la matemática 6inanciera'

En cambio las anualidades inciertas son auellas ue no se sabe cuando

comien(an y cuando terminan'E9emplo.entas vitalicias seuros de vida y otros seuros continentesEstas anualidades son tratas por las matemáticas actuariales• CLACIFICACION SE0ÚN SU FINALIDAD Y MODALIDADES DE PA0O,5 Anualidades de imposicin '- auellas ue trata de 6ormar un capital Anualidades de amorti(acin'- tratan de e;tinuir una deuda a su ves

estas anualidades pueden ser *"onstante o variable y las constantes son inmediatas o di6eridas por el tiempode espera las variables son las ue periodo tras periodo var!an y tambi+n son

inmediatas o di6eridas, las inmediatas o di6eridas son vencidas o adelantadas loue pueden ser crecientes o decrecientes y pueden ser en ra(n eom+trica oaritm+tica'

SEGÚN SU ANUALIDAD.-


34/106

En r'()n *e$+,-r"#'Cre#"en-e En r'()n 'r"-+,-"#'

Ven#"'s De#re#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'En r'()n 'r"-+,-"#'

In+e"'-'s

Ae/'n-''s Cre#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'En r'()n 'r"-+,-"#'

De#re#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'En r'()n 'r"-+,-"#'

C$ns-'n-esCre#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'

En r'()n 'r"-+,-"#'

Ven#"'s De#re#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'En r'()n 'r"-+,-"#'

D"er"'s

Ae/'n-''s Cre#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'En r'()n 'r"-+,-"#'

De#re#"en-e En r'()n *e$+,-r"#'En r'()n 'r"-+,-"#'

34


35/106

• ANULIDADES DE INPOSICION COSNTANTES E INMEDIATAS

L's %en#"'s s$n 'n'/"'es e se e3$s"-'n.S$n "n+e"'-'s 3$r e #$+"en('n ' e3$s"-'rse "n+e"'-'+en-ees3,s e 'er 's+"$ e/ #$+3r$+"s$ e $r+'r e/ #'3"-'/

S$n %en#"'s 3$r e /$s e3)s"-$s se e3$s"-'n '/ "n'/ e #'' 3er"$$

• SIMBOLOS

Cn.! C'3"-'/ $r+'$n.! N6+er$s e 'n'/"'es -"e+3$ e $3er'#")n.i .! /' -'(' $ -"e+3$ e "n-er,sa.! An'/"'es %en#"'s1 i '! '#-$r e #'3"-'/"('#")n

1

1i 8'#-$r e '#-'/"('#")n

DEDUCCION DE LAS FORMULAS.-

35

A

A

A

A (1+i)n&1

A

(1+i)n&2

A(1+i)n&3

E = Cn

Cn = Co (1+i)n


36/106

ECUACION FUNDAMENTAL

Cn = ' 1:"; n!1 : ' 1:";n!2

S = ' 1! n1!

8ORMULA DE SUMA DE UNA SERIE s ?0000 +e"'n-e #"er-$se3)s"-$s -r"+es-r'/es %en#"$s r'n-e '@$s. S" /' -'s' e "n-er,s e 3'*$e/ B'n#$ es e/ 9 'n'/

'; '//'r /' 'n'/"' e "+3$s"#")n; #$ns-r"r e/ #'r$ e +$%"+"en-$s e $n$s#; ' +'ner' e 3re' '//'r e/ n6+er$ e 'n'/"'es; ' +'ner' e 3re' #'/#/'r /' -'(' e "n-er,s

D'-$sCn = ?0000 >sn = '@$s = 12 -r"+es-res" = 0009 'n'/ 0.0225 -r"+es-r'/De3)s"-$s -r"+es-r'/es %en#"$s' = ' = = #'r$#= n = = " =

A = ?0000 0.022512

1.0225 1 A= ?0000 F 0.07517

A= 441104

; CUADRO DE MOVIMIEN&O DE 8ONDOS " = 0.022536


37/106

&r"+es-re An'/"' e"+3$s"#")n

Ser%"#"$ e"n-ereses

C'3"-'/ 3'r#"'/

8$r+'$ -$-'/

0 12

45 ? 7 G 910 1112

!4411.044411.04

4411.044411.044411.044411.044411.044411.044411.044411.044411.044411.04

!!99.25

200.704.49410.59519.0G ?0.0174.4G59.41977.991099.25 122.2

!4411.044510.29

4?11.77 4715.54G21.?490.12 5041.05 5154.47 5270.45 5G9.05510.295?4.27

!4411.04G921.

15.091G24G.?2 2070.25 2G000.7 041.42 G195.G944??.44GG55.7 54?5.?? ?0000

#;n = L$* ?0000F0.0225 :1 4411.04 L$*. 1.02255

n = L$* 1.0?05L$* 1.0225

n = 12

37


38/106

;

Cn= ' n7"

n7" = Cn'

n7" = 1.?022

FORMULA EMPIRICA PARA CALCULAR LA TASA

I= 0.011: 0.00 0.011; 1.?027 ! 12?5.14.1920 12?5

I= 0.02271

ANUALIDADES DE IMPOSICINVARIABLES EN RAN ARITMKTICA

3, Si$bolo-/a;, De'!&&i(n 'e las .o"$!las

a, Ven&i'asb, A'elanta'as

=, C!a'"o 'e $o


39/106

3, SIMBOLI01A

aC

/ Suma de las Imposiciones o capital 6ormado'n $mero de imposiciones'

i Tasa o tipo de inter+s'd .a(n aritm+ticad _ 0 "reciented V 0 )ecrecientesa #rimera anualidad de imposicin vencida'a #rimera anualidad de imposicin adelantada'

iS n Suma de las anualidades de imposicin contantes para la unidadde capital'

;, DEDUCCIN DE LAS FORMULAS,

0 n

1 2 = n-1

"n

d naid aid aiaCn nnn )1(...)1)(2()1)(()1( 121 −++++++++++= −−− )(α

M!lti%li&a" )(α %o" )1( i+

[ ] )1()1(...)1)(2()1)(()1()1( 21 inaid aid aiaiCn nnn +−++++++++++=+ −− )(β

)(β 5 )(α

[ ] d nd aid id d id iaiCn nnnn +−−++++++++++=+ −−− )1(...)1()11()1()1()1( 321

39

a

)( d a +

)2( d a +

=−+ d na )1(

∑=

1)1( −+ nia2

)1)(( −

++ n

id a

3)1)(2( −++ nid a

d na )1( −+


40/106

nd ai

id iaCn

nn

i −−

−+++= 1)1()1(

nd i

i

d aiaCn

nn

i −

−+

+−+=

1)1(

)1(

i

nd

i

i

i

d

i

iaCn

nn

−−+

+−+

= 1)1(1)1(

i

nd iS

i

d iaS Cn

nn −++=

i

nd

i

d aiS Cn n −

+=

i

iiS

n

n

1)1( −+=

iS

i

nd iS Cn

an

n +−=

iS i

nd

i

d iCnS a nn

11 −− +−= P"i$e"a an!ali'a'


41/106

S 14336.006.06 =

ai

d

i

d nC S

g

nin −

+−

*/1

a @000

+

606.0

100*65000 -

06.0

100

a 0'1>==? H1@0001???'?J

a >='J=

bDC!a'"o 'e Mo


42/106

a @000

−+

06.0

)100(*65000

06.0

100

a 0'1>==? HC-1@000D1???'?J

a L>L'J

bDC!a'"o 'e Mo


43/106

a 0'1>==? H C1>J1?'LD - 1???'?J

a >>='1?

bDC!a'"o 'e Mo==? H C-@2='02D - 1???'?J

43


44/106

a LL0'=0

bDC!a'"o 'e Mo


45/106

as anualidades de amorti(acin son constantes y comprenden la amorti(acindel capital y el inter+s del capital adeudado'

"omo periodo tras periodo el saldo adeudado va disminuyendo, disminuye elinter+s y aumenta la amorti(acin del capital'

Si$bolo-/a

"o "apital #restado

aAnualidades de Amorti(acin

n U de amorti(aciones y tiempo de pr+stamo

i tasa o tipo de interes

C1iD 6actor de capitali(acin

1 6actor de actuali(acin1i

n

recibe `Terminode

1 2 = n-1 pao

a:1i a

a:C1iD2 a

Ca:C1iD =D a

Ca:C1iDDn a

"o

E&!a&i(n F!n'a$ental

"o a a a PPP'' a C1iD C1iD2 C1iD= C1iDn

45


46/106

"o aC1iDn-1 aC1iD n-2 aC1iDn-= PP'a a C1iDn

"o a C1iD

n-1

i C1iDn

"o a C1iDn-1

i C1iDn Hi"o C1iD - n C1iD - n

"o a 1-C1H i D n

i

a "o i 1-C1iD n

"alculo de NnO

"o a C1iD n -1 C 1iDn H i

C1iDn "o i aC1iD n -a

C1iDn "o H i a C1iD n -a

C1iDn C"o H i aD -a

C1iD n a "o H i -a

n lo C1iD lo C -a D C "o i a D

n lo C aD C"o i aD o C1iDSe-!n'a Fo"$a

C"o H i aD "o H i 1 C1iD n

a

46


47/106

C1iD -n 1C1iD n

C1iD n 1 1- "o H i

nn lo C1iD lo C 1D C1 "o H iD C a D

n lo 1 1 "o H i a lo C1iD

n lo 1 1 "o H i a lo C1iDE?e$%lo N!$#"i&o

"o us @000

n = aKos ? semestres

i 0'12 0'0? Semestral

)epsitos semestrales vencidas

a

C!a'"o 'e A$o"ti)a&in

a @000 0'0? 1-1'0? -?

a @000 0'0? 0'2L@0=L>?

a @000H 0'20==?2?2

a 101?'1

C!a"#$ "% A&$#'i(ai*n Si+'%&a F#an,+

Se$est"e Ca%ital %o" An!ali'a' Se"


48/106

'e 'e A$o"ti)a&i(n I$%osi&i(n Inte"#s Pa"&ial Total0 @0001 >2=,1L 1'01?,1 =00,00 J1?,1 J1?,12 ='@2=,> 1'01?,1 2@?,LL J@L,2 1'>J?,?=

= 2J1J,L 1'01?,1 211,>1 0@,>0 2'22,0=> 1?>,2> 1'01?,1 1?=,0 @=,J= ='1=@,J?@ L@L,2 1'01?,1 111,@ L0>,L? >'0>0,J2? 1'01?,1 @J,@? L@L,2@ @'000,00

)atos

"o20000

n 2 aKos H > trimestres

i 0'1 anual 0'0>@ trimestral

S$!i*n a20000 H 0'0>@ 1-1'0>@ -

a 20000 H 0'0>@ 0'2L?1

a 20000 H 0'1@1?1

a =0=2'1L

C!a'"o 'e A$o"ti)a&i(n Siste$aF"ans

Se$est"e Ca%ital %o" An!ali'a''e

Se"


49/106

='0=2,1L 1=0,@J 2'L01,?2 20'000,00E9emplo =

"o 2@000i 11 B 0'11 Anual 0'0@@

n = aKos ? Semestres#asos Semestrales

Solucin

a2@000 0'0@@ 1-C10'0@@D -?

a 2@000 H 0'2001JL>J

a @00>'>J

49


50/106

C!a'"o 'e A$o"ti)a&i(n

Se$est"e Ca%ital %o" An!ali'a''e

Se"' #roblemas

1' "5"E#T5Son anualidades decrecientes en ra(n aritm+tica de manera ue lasamorti(aciones son constantes periodo tras periodo'

Este sistema de amorti(acin es el ue utili(a, en nuestro medito, la

banca comercial'

#or este sistema, el prestatario llea a paar menos inter+s ue con elsistema 6ranc+s ue utili(an las mutuales de a3orro y pr+stamo'

2' SIM&55IA

"o "apital prestadon $mero de anualidades y tiempo de pr+stamoi tasa o tipo de inter+sa #rimera anualidad de amorti(acind .a(n aritm+tica decreciente'

=' E)%""I5 )E A F5.M%A

50


51/106

Ecuacin Fundamental*

"o a:C1iD CadD:C1iD2 Ca2dD:C1iD= P' ]a Cn-1D^:C1iDn

#ero, como las amorti(aciones son constantes*

a:C1iD CadD:C1iD2 Ca2dD:C1iD= P' ]a Cn-1D^:C1iDn

)e donde* "o n a:C1iD

)espe9ando NaO, tenemos*

a "o:n C1iD "o:n "o'i:n "o C1:n i:nD

#ero, como NaO es la primera anualidad, entonces n 1, de donde*

a ra(n aritm+tica será*

51

0 1 2 3 n-1

n

(+*)

(+2*

) [a + (n-1)]

a/

(1+i)

(a+d)/

(1+i)2

(a+d)/

(1+i)3

[a + (n-1)]/

(1+i)n

=Co = Co (1,n

P-i$%-nli** *%

$o-/iin

* = Co.i,nRn -i/$/i*%-%i%n/%


52/106

>' #.5&EMAS%n comerciante reuire un pr+stamo de us' 2'000, paadero medianteanualidades trimestrales vencidas decrecientes en ra(n aritm+tica, durantedos aKos' Si la tasa de inter+s ue paa el banco es del 1>B anual*

a' Rallar la primera anualidad de amorti(acinb' Rallar la ra(n aritm+tica decrecientec' "onstruir el Estado de Amorti(acin

USUFRUCTO

52

ATS Co = 28.000 n = 2 o = 8 /-i$%/-%

i = 014 nl = 0035 /-i$%/-l

= 28.000 (1,8 + 0035) = 28.000 + 016 = $!"0#00

* = 28.000 0035,8 = : 122#


53/106

1' %su6ructo'- Es el valor actual de los 6lu9os netos ue puede producir unainversin cada periodo dos o más periodos' Sirve para el valor nominal, paospetroleros, 3oteleros, valoracin de minas'

Simbolo!a*% %su6ructoF 6lu9o neto del periodo CanualDi "osto de oportunidad del dinero CT##Dn umero de periodos

)onde*Fi Flu9o neto del aKo 1F 9 Flu9o neto del aKo r 4 1, 2, =, >, @,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n

1 Factor de actuali(acin

C1 iD

% F1 F2 F= PPPPPPP' Fn

C1 iD C1 iD 2

C1 iD =

C1 iD n

% F9 _ F1 U F2 U''''''''''''''''''''''''''''''' ''U Fn

C1 iD 9

2' /alor Actual eto C/AD'- es el valor monetario ue reporta una inversindespues de reportar o devolver el costo de oportunidad del dinero'

Io Inversin inicial precio de activo

/A /alor Actual eto /ASi*/A _ 0 si/A 0 si no/A V 0 no /A1

0 TI.1 TI.2TASAS

/A2

=' Tasa Interna de .etorno CTI.D'- Esa la tasa ue 3ace cero al /A, esla tasa ue iuala al usu6ructo con la inversin'

53

'AN = ; !

; = "N 1&(1+i)n


54/106

TI. TI.1 /ATI.2 TI.1 /A2 /A1

TI. TI. CTI.1-TI.2D /A

/A2 - /A1TI. _ /A 0TI. _ % Iu

E9emplo

8uieren vendernos un 3otel en Trinidad en el &eni a us' 1@00'000,-, ba9o elarumento ue dic3o 3otel puede producir un 6lu9o neto anual de us' 2@0'000,-,durante 1@ aKos' Si el costo de oportunidad del dinero por la T## es del 11Banual*

aD Rallar la tasa e6ectiva si la capitali(acin es trimestral'bD %tili(ar la tasa e6ectiva y decidir si no conviene la compra'cD Rallar el valor actual neto' C/ADdD Rallar la tasa interna de retorno' CTI.D'

)AT5S

Io us' 1@00'000,-F us' 2@0'000,-n 1@ aKos _ 0,11 anual nominal"apital Trimestral

aD ie C1 inD -1 n

ie C1 0,11D> - 1>

ie 0,11>?

bD % F 1 C1 ID-n

i % 2@0'000,- ; 1 C1 0,11>?D-1@ 0,11>?

% 2@0'000 ; J,011L % 1J@2'L2,1> % _ Iu convienecD /A % Iu

54


55/106

/A 1J@2'L2,1> 1@00'000,-/A 2@2'L2,1> _ 0 si

dD

%' 20B 2@0'000,- ; 1 C1 0,20D

-1@

0,20 % 11?'?,1?

TI. 11?'?,1?

/A2 11?'?,1? 1@00'00,- /A2 - ==1'1=1,>

TI. 11,>? C11,>? 20D 2@2'L2,1> -==1'1=1,> 2@2'L2,1>

TI. 11,>? C-,@>D 2@2'L2,1>- @>'11=,L

TI. 11,>? =,J 1@,1?B _ 11,>?E9emplo

8uieren vendernos una %niversidad acreditada Internacionalmente en su' @000'000,-, reali(adas nuestras averiuaciones dic3a %niversidad, puede enerar un 6lu9o eneral >00'0,- durante 20 aKos, si el costo de oportunidad del dinero esde LB anual una capitali(acin mensual'

aD Rallar la tasa e6ectiva del costo de oportunidad'bD Rallar el usu6ructo, decidir si conviene o no la compra'cD "on6irmar la decisin anali(ando el valor actual neto'dD Rallar la tasa interna de retorno'

)AT5S

Io us' @000'000,-F us' >00'000,-n 20 aKosi 0,0L

"apitali(acin mensual

aD ie C1 iHnDn - 1n

ie C1 0'0LD12 1

55


56/106

12 ie 0'0L=

bD % F 1 C1 iD-n

i % @000'000,- ; 1 C1 0'0L=D-20

0'0L= % @000'000,- ; =,2>L?

% 1?2L'000 "onviene

cD / A % Iu /A 1?2L'000,- - @000'000,- /A ==J0'200,- _ 0 si

56


57/106

V2 METODO DE DEPRECIACION

1' "5"E#T5

2' MET5)5 #.5#5."I5AES=' MET5)5 )E .E)%""I5 %IF5.ME>' MET5)5 )E ITE.ES "5M#%EST5

1. CONCEPTO )epreciacin es la p+rdida de valor de los activos por*

• %so y desaste• 5bsolencia• Simple paso del tiempo• Aotamiento• Eventos continentes

2. METODO PROPORCIONALES

METODO DIRECTO

#or este m+todo la depreciacin es proporcional a la vida $til en aKo del activo' Esel m+todo ue suiere la ley >='

E)IFI"I5 >0 aKos 2'@B AnualE8%I#5 10 aKos 10BM%E&ES [ ESE.ES 10 aKos 10BMA8%IA.IAS aKos 12'@BRE..AMIETAS > aKos 2@B/ERI"%5 @ aKos 20B"5M#%TA)5.A > aKos 2@B

. Anualidad de depreciacin " "osto oriinal

. c s

n

−

E4EM#5

" 1000

S =000 . 18000 3000

5

− =000

n @ aKos

57


58/106

CUADRO DE DEPRECIACION

AOS ANUALIDAD DEDEPRECIACION

DEPRECIACIONACUMUILADA

VALOR ENLIBROS

0 10001 =000 =000 1@0002 =000 ?000 12000= =000 L000 L000> =000 12000 ?000@ =000 1000 =000

/alor residual =000 es el valor ue tiene el activo despu+s de sus aKos de vida $til'

METODO DE RENDIMIENTO

El activo se deprecia se$n la cantidad de unidades ue produce'

n es la vida $til en unidades de produccin o productor depreciacin por unidad numero de unidades producidas por el activo a un determinado tiempo

E4EM#5

" -1000 r 18000 3000

350000

−

S =000

n =@0000m r 15000

350000 0'0>2?m

1>0000m . 0'0>2? H 1>0000 ?000 /c3 1000 ?000 12000METODO DEL SERVICIO

El m+todo consiste en ue el activo se deprecia se$n la cantidad de 3oras ue6unciona como por e9emplo< luminarias pantallas'

METODO DE REDUCCION UNIFORME

a 2 M#to'o 'e lo N9$e"os D/-itos

58

. r H n

. H r


59/106

as anualidades de depreciacin decrecen en ra(n aritm+tica' El m+todo esaplicable a activos ue demandan cada ve( mayor costo de mantenimiento yreparacin como por e9emplo< mauinas, ve3!culos'

" "osto oriinal

S /alor residual vida $til∑[i Suma de los d!itos de los aKo de vida $til

1 R #rimera anualidad de depreciacind .a(n aritm+tica decreciente

1 R C"-SDi

n

Y ∑

d C"-SD1

iY ∑E4EM#5

" 1000 aD #rimera anualidad de depreciacin n @ aKos bD .a(n Aritm+tica decrecienteS >000 cD "uadro de depreciacin

aD 1 R C1000->000D5

15 bD d C1000->000D

1

15

∑[i 12=>@ 1@ d 1>000 1

15

1 R 1>00H0'===== d L=='==

1 R >???'?J

CUADRO DE DEPRECIACION

AOS ANUALIDAD DEDEPRECIACION

DEPRECIACIONACUMULADA

VALOR ENLIBROS

0 10001 >???'?J >???'?J 1===='==

2 =J=='== >00'00 L?00= 200'00 11200 ?00> 1??'?? 1=0??'?J >L=='==@ L=='== 1>000 >000

b2 METODO DE LA TASA CONSTANTE

59


60/106

as anualidades decrecen en un porcenta9e 6i9o o tasa de depreciacin

d Tasa de depreciacin

DEDUCCION DE LA FORMULA

AOS DEPRECIACION ANUAL VALOR EN LIBROS0 e c1 "ol2 cC1-dDd cC1-dD c C1-d D cC1-dDC1-dD c ( )

21 d −

= c ( ) 2

1 d − d c ( ) 2

1 d − - c ( ) 2

1 d − c ( ) 2

1 d − C1-dD c ( ) 3

1 d −

c ( ) 1

1 nd

−− d c ( ) 1

1 nd

−− - c ( ) 1

1 nd

−− d c ( ) 1

1 nd

−− C1-dD

( )1 nd − S

S ( )1 n

d − n s

c 1-d

Tasa de depreciacin

E4EM#5

" 1000 d 1- 54000

18000S >000n @ aKos d 1- 0'J>021 0'2@LJ@d

cuadro CUADRO DE DEPRECIACIONAOS ANUALIDAD DE

DEPRECIACIONDEPRECIACIONACUMUILADA

VALOR ENLIBROS

0 1000'001 >?J?'1> >?J?'1> 1==2='?2 =>?1'=@ 1=J'>L L?2'@1= 2@?2'1= 10?LL,?2 J=00'=

60

d 1- n s

c


61/106

> 1L?'@= 12@L?'1@ @>0='@@ 1>0='> 1>000'00 >000'00

. METODO DEL INTERES COMPUESTO

a 2 METODO DEL FONDE DE AMORTIACIONas anualidades se depositan en una cuenta de a3orro o #)F y por tanto ananinterese con los cuales se NayudaO a 6ormar un capital de reposicin del activo'

E4EM#5

" 1000 5 0.10∑ 5

5

1.10 1

0.10

− ?'10@1

S >000n @ aKos .

18000 4000

6.1051

− 22L='1?

i 0'10 anualCUADRO DE DEPRECIACION

i 0'10AOS ANUALIDAD

DEDEPRECIACION

SERVICIODEINTERES

FONDODE

PARCIAL

AMOTIACION

TOTAL

VALORENLIBROS

0 1000'00

1 22L='1? - 22L='1? 22L='1? 1@J0?'>2 22L='1? 22>'=2 2@22'> >1@'?> 1=1>'=?= 22L='1? >1'@? 2JJ>'J2 J@L0'=? 10>0L'?>> 22L='1? 2@L'0> =0@2'=0 10?>2'@? J=@J'>>@ 22L='1? 10?>'2? ==@J'>1 1>000'00 >000'00

61

niΣ ( )

1 1n

i

i

+ −


62/106

b2 FONDO DE AMORTIACION CON CAPITALIACION DE INTERES SOBREEL COSTO

Se pide ue el activo NdevuelvaO su depreciacin y los interese ue de9o de anar el dinero invertido en el'

.

( )1 n

ni

c i s+ −∑

50.10∑

51.10 1

0.10

− ?'10@1 .

518000*1.10 4000

6.1051

− >0>='1?

CUADRO DE DEPRECIACION Y MOVIMIENTO DE FONDOSi 0'10 para el otro inter+s 0'0B

AOS ANUALIDAD

DEDEPRECIACION

SERVICIO

DEINTERES

FONDO

DE

PARCIAL

AMOTIACION

TOTAL

VALOR

ENLIBROS

0 -1000'00

1 >0L='1? 100'00 22L='1? 22L='1? 1@J0?'>2 >0L='1? 1@J0'? 2@22'> >1@'?> 1=1>'=?= >0L='1? 1=1'>> 2JJ>'J2 J@L0'== 10>0L'?>> >0L='1? 10>0'L? =0@2'=0 10?>2'@? J=@J'>>@ >0L='1? J=@'J> ==@J'>1 1>000'00 >000'00

. ( )1 n

ni

C i s+ −∑

100.08∑

101 0.08 1

0.08

+ − 1>'>?@?2>J .

550000*1.08 4000

14.48656247

− >JL@'2=

62


63/106

VI2 MATEMATICAS ACTUARIALES

1' "oncepto 2' Tablas de Mortalidad =' #robabilidad de Muerte >' #robabilidad

de /ida @' .elaciones importantes entre los valores de las Tablas de Mortalidad ?'#robabilidad de /ida y Muerte para #eriodos Mayores de un aKo J' .entas/italicias ' Seuros de /ida

1' "oncepto y eneralidades

a matemática actuarial es el tratamiento matemático de las anualidadesinciertas' Es decir, la matemática actuarial trata de establecer el valor econmico de una anualidad cuyo inicio y:o 6inal depende de eventoscontinentes y, por tanto, son 3ec3os probabil!sticas' as anualidadespueden ser Nprimas anualesO o Nrentas vitaliciasO ue deben ser costeadas

por el bene6iciario en su etapa de vida activa* mientras pueda traba9ar'

a matemática actuarial tiene por ob9eto la evaluacin matemática de lossucesos o acontecimientos aleatorios en base a e;periencias y estad!sticasrecoidas en determinados periodos anuales, etc', cuyas 6recuencias seproyectan a 6uturo asinándoles valores econmicos'

E;isten riesos in3erentes a la interidad 6!sica y la vida de las personas,tales como son los accidentes de traba9o, de tránsito, ue producen lainvalide( o incapacidad para el traba9o en 6orma temporal o permanente,en6ermedades en eneral, muerte, ve9e( y otros, los cuales impiden una

subsistencia normal de las personas por causa de impedimento en laactividad laboral y consiuiente p+rdida de salario'

a necesidad de ponerse a cubierto de las p+rdidas materiales ocasionadapor los riesos descritos, as! como para la incapacidad de seuir en elservicio laboral, se 3a instituido el SE%.5 y:o las .ETAS /ITAI"IAS'

Estas anualidades o rentas ue sirven para paar un seuro o para cobrar un seuro, son calculadas con la ayuda de Tablas de Mortalidad y Tablasde "onmutacin'

2' Tablas de Mortalidad%na tabla de mortalidad es básicamente, un reistro estad!stico de unn$mero su6icientemente rande de personas, con los siuientes datos*Edad, n$mero de muertos cada aKo y edad al morir' Estos datos se tabulany procesándolos se puede deducir, entre otros datos, la probabilidad de viday la probabilidad de muerte entre distintas edades, de las personas delrupo representativo de las tablas'

63


64/106

"ada conlomerado social, cada rupo de traba9adores deber!a tener supropia tabla de mortalidad' o es lo mismo una tabla de mortalidad para losmaestros urbanos ue una tabla de mortalidad para los c36eres detransporte pesado' Seuramente, entre los c36eres de transporte pesado

e;iste mayor probabilidad de muerte ue entre los maestros urbanos por lascaracter!sticas y condicionamientos de ambas ocupaciones'

TABLA DE MORTALIDAD

E'a' N9$e"o 'e


65/106

AL0UNAS RELACIONES IMPORTANTES ENTRE LOS VALORES DELAS TABLAS DE MORTALIDAD

El n$mero de personas vivas a la edad ;, es iual a la suma de laspersonas ue 6allecerán 3asta la edad 6inal de la tabla'

l > ' ' 3 ' ; ' = ,, '

Sumando las relaciones*

' > l 5 l 3 ' 3 > l 3 5 l ;

' n53 > l n53 5 ' nde donde, se tiene*

l 5 l n > ' ' 3 ' ; ,, ' n53PROBABILIDAD DE VIDA Y MUERTE PARA PERIODOS MAYORES A UNAO

a probabilidad de ue una persona de edad ; viva al menos 3asta la edadC;nD'

E?e$%lo 36 Rallar la probabilidad de ue un 3ombre de de =@ aKos viva almenos 3asta los @@ aKos*

20p=@ l QQ l =Q 20p=@ Q@,3G3 G,QQ@

20p=@ +=3G o sea +=3G

a probabilidad de ue una persona de edad ; muera antes de cumplir laedad C;nD'

65

n ? = % &+n / % &

n < = ( % & - % &+n ) / % &


66/106

E?e$%lo ;6 Rallar la probabilidad de ue un 3ombre de de 2@ aKos mera

antes de cumplir =@ aKos* 102@ l ;Q 5 l =Q 2 l ;Q 20p2@ G=G,3G G,QQ@2 G,QQ@

20p2@ = o sea =

=' Tablas de "onmutacin

as tablas de conmutacin proporcionan el valor actual, al costo deoportunidad del dinero ue puede estar dado por la Tasa #asiva #romediodel mercado T##, publicada por el &anco "entral de cada pa!s*

); es el valor actual del n$mero de personas vivas a la edad ;,

; es la suma de los valores actuales de las personas vivas desde la edad; 3asta la edad l!mite '

As!*

[

)e la misma manera*

"; es el valor actual del n$mero de personas muertas a la edad ;'

M; es la suma de los valores actuales de las personas muertas desde laedad ; 3asta la edad l!mite '

As!*

Entonces, una tabla de "onmutacin tiene la siuiente disposicin*

66

C = @+1 * *on*% @+1 = (1+i )&

= C + C +1+C +2 + B..

= @ l *on*% @ =&

N = + +1+ +2 + B..


67/106

TABLA DE CONMUTACIONen !s, al ;Q

E'a' D N C M1 LJ@'?10 =0'=@1'12 @'?2L'2? 1=L'1LL,@2 L>?'=22 2L'=J@'@1 '='L1J'?J 22L'>?'>

P' P P P P

L >0,=J @1'22 2L'2? =L'12LL 10,> 10,> 10'> 10,@

ANUALIDADES VITALICIAS

as anualidades ue se paan a una persona durante su vida, reciben el nombrede .ETAS /ITAI"IAS

%na anualidad o renta vitalicia, consiste en una serie de paos iuales cuyot+rmino ueda 6i9ado por la duracin de la vida de la persona ue 3a de recibir larenta' Es decir son anualidades continentes y como anualidades pueden ser simples o enerales, vencidas o adelantadas, inmediatas o di6eridas, etc'

as más 6recuentes son las simples vencidas' Son anualidades ue se paan al6inal de cada periodo'

ANUALIDAD VITALICIA ORDINARIA

En una anualidad vitalicia ordinaria, los paos se 3acen a una persona de edad ;'

El primer pao a la edad ;1, el seundo a la edad ;2, y as! sucesivamente3asta la muerte del bene6iciario'

"onsiderando cada pao independientemente, la renta vitalicia es una serie dedotales puros, paaderos al 6inal de 1, 2, =,P', aKos' Terminando con la muertedel bene6iciario' El valor actual de la suma de estos dotales es la #.IMA ETA%I"A'

%n seuro dotal puro está dado por*

a ; /alor actual de una anualidad vitalicia ordinaria para la unidad de capital,paadera a una persona de edad ;'

67

n E = (l +n , l ) @ n

= 1E + 2E + 3E + B..+ E


68/106

Sustituyendo el valor n E ; por su valor en 6uncin de l;, se tiene*

En 6uncin de sus valores de conmutacin, tenemos*#or tanto, tenemos*

E9emplo =* "alcular el valor de la prima neta $nica de una renta vitalicia ordinaria de &s' 12'000 anuales para

una persona de @@ aKos, si el costo de oportunidad del dinero es del 2,@B anual'

El valor de la prima neta $nica para la unidad de capital es de &s' 1='20>1?'

#ara el valor actual de la renta vitalicia de &s' 12'000 se tiene*

68

l +1 '+1 + l +2 '+2 + l +3 '+3 + l +4 '+4 . . .#/

= DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

+1+ +2 + +2 + B.. +

= DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

55 = N 56 , 55 = 2.560.828.2,193.941

A = 12.000 55 = 12.000 13.20416

A = . 158.463.18


69/106

ANUALIDAD VITALICIA ORDINARIA DIFERIDA

#osiblemente las anualidades de uso más 6recuente en nuestro medio, son lasanualidades vitalicias ordinarias di6eridas'

En las rentas o anualidades di6eridas, el primer pao ueda apla(ado un cierton$mero de aKos, y se paa un aKo despu+s de e;pirado el periodo deapla(amiento y se contin$a los paos peridicos de la misma manera ue unarenta vitalicia ordinaria'

a 6rmula uedar!a e;presada como siue*

E9emplo =* "alcular el valor de la prima neta $nica de una renta vitalicia ordinariade &s' =?'000 anuales ue debe paar una persona de =0 aKos, si el primer paolo recibirá un aKo despu+s de cumplir ?@ aKos, si el costo de oportunidad del

dinero es del 2,@B anual'El valor de la prima neta $nica para la unidad de capital es de &s' 2,=L@J

#ara el valor actual de la renta vitalicia de &s' =?'000 se tiene*

69

N ++F+1

F = DDDDDD

35A30 = N 30+35+1, 30 = N66 , 30

A = 36.000 3530 = 36.000 23957


70/106

SE0UROS DE VIDA

N El seuro es el con9unto de operaciones ue se reali(an en el comercio delrieso, en unos caso, o por el Estado en otros, tendientes a orani(ar e;istenciaseconmicas actuales para atender prestaciones y obliaciones credadas por ey opor el contrato, con relacin a 3ec3os posibles o 6uturos comprendidos en elriesoO Mario .ivarola esta de6inicin ya se vislumbra la distincin deprestaciones u obliaciones creadas por contrato re6iri+ndose a los Seuros#rivados, o por obliaciones instituidas por la ey en cuanto concierne a losSeuros Sociales' CAbelardo /alde( Montero, Estudios Matemáticos Financieros,Editado por el "oleio de Economistas de a #a( &olivia, 1LLJD'

SE%.5 )E /I)A T5TA

a #li(a de seuro de vida total, mantiene su viencia durante la vida del

aseurado y al 6inal del aKo de su 6allecimiento, la compaK!a aseuradora paa alos bene6iciarios el valor nominal de la pli(a'

SE%.5 )E /I)A )5TA

%na pli(a de seuro dotal oblia a la compaK!a a paar el valor nominal de lapli(a, a los bene6iciarios si el aseurado muere dentro de un pla(o especi6icado, yal aseurado si este sobrevive al pla(o 6i9ado'

SE%.5 )E /I)A A TE.MI5

%n seuro de vida a t+rmino, suministra proteccin contra el rieso de muertedurante un cierto n$mero de aKos' Este tipo de seuro es muy utili(ado en lasventas a cr+ditos a mediano y laro pla(o' En &olivia, es el seuro dedesravámen'

#.IMA ETA %I"A [ #.IMA A%A )E % SE%.5 )E /I)A T5TA

Suponamos ue l; personas de edad ; se proponen paar a3ora, a unacompaK!a de seuro, una suma tal ue permita paar a los 3erederos de cada unade ellas , la sma de una unidad monetaria, al 6inal del aKo de su muerte'

Al 6inal del primer aKo, la compaK!a tendrá ue paar a los 3erederos de los d;6allecidos en el aKo< al 6inal del seundo aKo, tendrá ue paar a los 3ereeros delos d;1 6allecidos en el seundo aKo' [ as! sucesivamente 3asta el 6inal del aKo enue muera el $ltimo rupo de personas'

#.IMA ETA %I"A70


71/106

El valor actual es iual a la suma de los valores actuales de las cantidadespaadas en los distintos aKos' %tili(ando el s!mbolo A; para desinar el valor dela prima neta $nica de un seuro de una unidad monetaria para una persona deedad ;< se tiene para las l; personas del rupo l;A; /d; / 2 d ;1 P' Rasta el

l!mite de la tabla'

%tili(ando los valores conmutativos*

/ ;1 d; "; y M; "; ";1 P'' 3asta el l!mite de la tabla

Estos seuros de vida total paados con primas anuales anticipadas reciben elnombre de SE1= Bs,;,G

#.IMA ETA A%A 5 #E.I5)I"A

%tili(aremos el s!mbolo #; para la prima neta anual de una pli(a de seuroordinario de vida, de una unidad monetaria, para una persona de edad ;'

as primas #; 6orman una anualidad vitalicia anticipada, 6ormando la ecuacin dede euivalencia entre los valores actuales, se tiene,

#; ; A;

71

' +1 * + ' +2 * +1 + BB #/ %l Gnl*% l />l

A = ,

P-i$ Hni *%n %-o *%@i* /o/l


72/106

)e donde #; A;:; pero, A; M;:); y ; ;:);

o sea

E?e$%lo ;* Rallar la prima neta anual ue tendr!a ue paar una persona de =0aKos de edad para obtener un seuro de vida total por &s' @0'000 si el costo deoportunidad del dinero es del 2,@B anual'

@0'000#=0 @0'000 M=0:=0, sustituyendo los valores se tiene*

#rima neta anual @0'000 ; 12'>0=,@:10'@L>'20 @0'000 ; 0,01J2 Bs,+,+

72

P = ,N


73/106

0LOSARIOINTERES N#recio del dineroO< pao de aluiler sobre el dinero< caro e6ectuado al prestatariopor el prestamista por el uso del dinero' NEl pao en e;ceso ue se e6ect$a al devolver el dlar prestado se denomina inter+sO' CMacfen(ie, M'A', Interest and &ond /aluesD' Se e;presa ent+rminos de un porcenta9e sobre el principal' As!, por e9emplo, si se paa ?'00 por el uso anual de

100, el tipo es de un ? por ciento' El inter+s se paa con 6recuencia a intervalos más cortos, perorara ve( a intervalos mayores' El inter+s sobre los pr+stamos a la demanda, por e9emplo,eneralmente se paa mensualmente< sobre las 3ipotecas, por semestres y sobre los bonos por semestres' ITE.ES SIM#E El inter+s simple es auel ue se computa sobre el principal, sin re6erencia alper!odo de inter+s, en el supuesto ue Cpara el inter+s simple e;actoD 1:=?@ del inter+s de un aKose acumule cada d!a' Euivale a un acuerdo a momento de e6ectuar el cálculo, y si el per!odo deinter+s es menor de un aKo, el tipo de inter+s simple nominal es mayor ue el tipo de inter+s realacordado anualmente' Sin embaro, en la práctica, esta di6erencia no se toma en consideracin' Elinter+s simple ordinario se basa en el supuesto de ue cada d!a viene a ser 1:=?0 de un aKo' Elinter+s ordinario por un d!a es alo mayor ue el inter+s e;acto por un d!a' El inter+s compuesto secalcula sobre el principal más el inter+s ue se 3aya acumulado, y paadero en la 6ec3a convenida

para el pao del inter+s' #or lo eneral, el inter+s se acuerda mensual, trimestral, semestral oanualmente' C/er )escuento, Tablas de Inter+s, %suraD'INTERES ACUMULADO Inter+s anado, pero a$n no vencido y a paar' El inter+s se acumula entodos los paar+s y e6ectos comerciales'INVERSION En sentido eneral, el empleo de capital con ánimo de lucro, ya sea en un neocio, 6inca, bienesinmuebles urbanos, bonos del obierno, bonos industriales, acciones petroleras, mercanc!as, o eneducacin' En un sentido más estricto, representa la compra de propiedades por el inreso ue lasmismas produ(can, pero siempre con vista a eliminar el rieso de daKo del principal, a di6erenciade la Especulacin Cv+aseD' NEl inversionista compra para obtener el inreso ue produce el capital,mientras ue el especulador compra para aseurar las utilidades ue pueda acumular por unaumento lorado en el valor del capitalO' Careruist* Investment Analysis' #ratt Cen gorf o6 gallStreetD e;presa ue* NAl e6ectuar una compra, la seuridad es lo 6undamental, la cantidad del

inreso es importante, pero secundaria'O %n inversionista, a di6erencia de un especulador,Ncontempla poco o nin$n rieso, inresos por intereses 6i9os, y poco o nin$n propsito deutilidadesO'A$o"ti)a&i(n En t+rminos enerales, amorti(acin es cualuier modalidad de pao o e;tincin deuna deuda' Au! 3aremos re6erencia a la más com$n de estas modalidades' a e;tincin de unadeuda mediante un con9unto de paos de iual valor en intervalos reulares de tiempo' En otraspalabras, este m+todo de e;tinuir una deuda tiene la misma naturale(a 6inanciera ue lasanualidades' os problemas de amorti(acin de deudas representan la aplicacin práctica delconcepto de anualidad'Tabla de amorti(acin a tabla de amorti(acin es un desplieue completo de los paos ue

deben 3acerse 3asta la e;tincin de la deuda' %na ve( ue conocemos todos los datos delproblema de amorti(acin Csaldo de la deuda, valor del pao reular, tasa de inter+s y n$mero deperiodosD, construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, deslosamos el pao reular enintereses y pao del principal, deducimos este $ltimo del saldo de la deuda en el per!odo anterior,repiti+ndose esta mecánica 3asta el $ltimo per!odo de pao' Si los cálculos son correctos, veremosue al principio el pao corresponde en mayor medida a intereses, mientras ue al 6inal el ruesodel pao reular es aplicable a la disminucin del principal' En el $ltimo per!odo, el principal de ladeuda deber ser cero'CAPITAL Es-e -,r+"n$ -"ene #'-r$ s"*n""#'$s En e/ sen-"$ e#$n)+"#$ e"%'/e ' /$s"enes e #'3"-'/ es e#"r '/ #$nKn-$ e "enes e 3r$##")n #'n-"' s"#' +s "en e %'/$r +$ne-'r"$; '#+/'$s $ r"e(' re3resen-'' 3$r e/ e#een-e e /' 3r$##")n s$re e/ #$ns+$. En $-r's 3'/'r's es n' 're%"'-r' e /$s "enes e #'3"-'/ $ %'/$r e #'3"-'/es3e#"'/+en-e 'e//' 3$r#")n e /$s re#rs$s e se ' se3'r'$ #$n e/ "n e 'se*r'r /'

73

http://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DESCUENTOhttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_t.htm#TABLAS%20DE%20INTEREShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_t.htm#TABLAS%20DE%20INTEREShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_t.htm#TABLAS%20DE%20INTEREShttp://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEMhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/reper/reper.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/newton-fuerza-aceleracion/newton-fuerza-aceleracion.shtmlhttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_t.htm#TABLAS%20DE%20INTEREShttp://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEMhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/metods/metods.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/naturaleza/naturaleza.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/reper/reper.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/basda/basda.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/newton-fuerza-aceleracion/newton-fuerza-aceleracion.shtmlhttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DESCUENTO


74/106

#$n-"n"' e /'s '#-"%"'es 3r$#-"%'s. os economistas 3acen una distincin entre bienes deproduccin y bienes de consumo' os primeros son los instrumentos de la produccin, o la riue(aintermedia ue se emplea en la produccin de bienes de consumo o servicios' #or e9emplo, losedi6icios, 6ábricas, mauinaria, euipos, 6errocarriles, etc', representan bienes de produccin' Encambio, los bienes de consumo comprenden auellos productos ue se destinan para ser utili(ados de inmediato, es decir, alimentos, ropa, inventario de mercanc!as en los anaueles deldetallista, servicios personales, etc' 2 En el sentido contable, el capital es sinnimo de valor neto,y se mide por el e;ceso de los activos sobre los pasivos' Esto es cierto, prescindiendo de la 6ormade orani(acin del neocio' En los casos de propiedad $nica, el capital está representado por lacuenta o cuentas ue seKalan la responsabilidad del propietario 3acia el neocio< en una sociedad,por la suma de las cuentas de los socios< y en una corporacin, por la suma de las distintascuentas de capital, superávit y utilidades no distribuidas' = En los neocios, se 3ace una distincinentre el capital circulante y el capital 6i9o' El capital circulante tambi+n es conocido como activol!uido ue en el curso usual del neocio se convierte en dinero, es decir, mercanc!as, cuentas por cobrar, etc' En cambio, el capital 6i9o corresponde más o menos al concepto de los economistas enrelacin con los bienes de produccin, y consiste en activos ue no se convierten en dinero en elcurso usual del neocio, sino ue se utili(an para ocuparse del neocio' Está Ninmovili(adoO oNinvertidoO en activos 6i9os, es decir, terrenos, edi6icios, mauinaria, euipos, etc'

CAPITAL ACTIVOS FIJOS2 )esde el punto de vista de la inversin en un proyecto de nueva

inversin son los astos necesarios para construir la nueva industria o empresa' "omprende elvalor de todas las inversiones 6i9as Cinvertidas en edi6icios productivos, mauinarias, euipos,3erramientas, etc'D más el asto de preproduccin Co sea, auellos astos en ue se incurre en elper!odo de prueba de la nueva empresaD y astos de las 6acilidades temporales' CAPITAL DE EWPLOTACION .ecursos 6inancieros invertidos o astos en los ue se incurre lueode construida la industria y ue aranti(an su e;plotacin' "omprende los astos en servicios,materias primas, transporte, astos en promocin y distribucin, cuenta bancaria, mano de obra,astos de electricidad, astos de insumos o pie(as de repuestos, etc' El cálculo de este capital sereali(a en el primer aKo de traba9o de la nueva instalacin' CAPITAL DE RIES0O "omo 6uente de 6inanciamiento de una empresa, con9unto de medios ueconstituyen el patrimonio neto y ue, por lo tanto, están e;puestos plenamente al rieso de estin'

El capital de rieso se compone de inversiones iniciales y sucesivas de capital Ccomprendidas laseventuales reservas de sobreprecio de emisinD y del auto6inanciamiento enerado en el curso dela estin' El capital de rieso o capital propio, se contrapone al capital de pr+stamo' A veces elt+rmino se usa en la acepcin de venture capital' CAPITAL PROPIOX CAPITAL NETO #atrimonio neto de una empresa, resultante de la di6erenciaentre activos y pasivos' En t+rminos monetarios e;presa el derec3o de propiedad del titular o delos socios y se oriina en los aportes iniciales, en los sucesivos aumentos de capital y en lasutilidades reinvertidas' CAPITAL SOCIAL En t+rminos de 6inanciacin o inversin para un proyecto de nueva inversin,se le considera al dinero aportado por los socios y sobre el cual pueden paarse dividendos, Cenoposicin a la deuda ue es dinero ue se 3a tomado en pr+stamo para el proyecto, el cual debe

reembolsarse y sobre el cual normalmente se cobran interesesD, más el 6inanciamiento a laropla(o para la etapa de pre - inversin, más el 6inanciamiento a corto pla(o para e;plotacin de lanueva instalacin'DEPOSITO A LA VISTA)inero mantenido en cuentas de c3eues de bancos comerciales ue es parte de la o6ertamonetaria'DEPOSITOSSaldos debidos a los depositantes de un banco< los 6ondos acreditados a las cuentas de losdepositantes' os depsitos pueden clasi6icarse de manera amplia en enerales, espec!6icos yespeciales'

74


75/106

os depsitos enerales se componen de dinero o c3eues y cr+ditos bancarios' Siempre ue losdepsitos sean de esta naturale(a, la relacin entre el banco y el depositante es la de deudor yacreedor' El banco se convierte en propietario del depsito' El depositante tiene un cr+dito contra elbanco por el importe depositado' Todos los depsitos se me(clan y no resulta posible distinuirlos'El banco no está obliado en 6orma aluna a devolver al depositante el mismo depsito de e6ectivotoda ve( ue no es un )E#5SITA.I5 Cv+aseD, como sucede en el caso de los depsitosespeciales' Si un banco uebrara, el depositante com$n se convierte en un acreedor com$n y tieneparte en los activos en liuidacin disponibles proporcionalmente con los restantes acreedorescomunes'os depsitos espec!6icos son auellos ue se e6ect$an con un propsito de6inido y por los cualesel banco act$a en calidad de depositario, como por e9emplo, dinero de9ado para cubrir un paar+, opara aduirir valores'os depsitos especiales consisten en propiedades, e;cluido el dinero, por e9emplo, bonos,acciones, paar+s, pli(as de seuro de vida y otros documentos de valor, 9oyas, art!culos de plata,va9illas, etc', ue se entrean al banco, en custodia, y cuya propiedad es del depositante' En estecaso la relacin entre el banco y el depositante es la de depositario y depositante' os depsitosespeciales nunca pasan a ser activos del banco y en caso de uiebra no son aplicables a laliuidacin de sus pasivos sino ue deben ser devueltos intactos a los depositantes' os depsitosespeciales se reciben ba9o un contrato de depsito, y muc3os bancos ue no cuentan conbvedas, se 3acen caro de la custodia de los valores de sus depositantes, dándoles el mismo

cuidado ue dan a sus propios valores, pero sin asumir responsabilidad adicional' El servicio loprestan mediante pao o ratuitamente'

DEPOSITOS A LA VISTAos depsitos a la vista se de6inen como au+llos paaderos dentro de =0 d!as' os depsitos a lavista son auellos su9etos a e;traccin mediante c3eues y ue pueden ser retirados por eldepositante, de inmediato, y sin noti6icacin de su intencin de e;traerlos' C/er )epsitosD' DEPOSITOS A PLAO O A TERMINO)epsitos no su9etos a e;traccin mediante c3eue, y sobre los cuales el banco puede reuerir aviso con treinta d!as de anticipacin de la intencin de retirar los 6ondos')e acuerdo con la de6inicin de la 4unta de obernadores del Sistema de la .eserva FederaC%SAD, la e;presin Ndepsitos a t+rmino, cuentas abiertasO se entiende ue Nincluye todas lascuentas no evidenciadas por certi6icados de depsitos o libretas de a3orro, en relacin con las

cuales e;ista un contrato escrito con el depositante, en la 6ec3a en ue se e6ect$a el depsito, encuanto a ue ni el total, ni una parte de dic3o depsito puede ser e;tra!do por c3eue o de otra6orma, e;cepto en una 6ec3a dada o previa noti6icacin por escrito ue debe reali(ar el depositantecon un n$mero determinado de d!as de antelacin, en nin$n caso menor de =0 d!asO' C/er )epsitosD'

DEPOSITOS CONJUNTOSEn lenua9e bancario, el t+rmino Ncuentas con9untasO Cde acuerdo con las leyes estadounidensesDse re6iere indiscriminadamente a las cuentas corrientes o de a3orro abiertas a nombre de dospersonas, bien como tenedores mancomunados o indistintos' o obstante, el contrato de depsitoal iual ue el t!tulo de la cuenta deben ser espec!6icos, puesto ue las incidencias leales sondi6erentes'En el caso de cuentas mancomunadas, no e;iste el derec3o de supervivencia, por lo ue en caso

de 6allecimiento de uno de los co-depositantes el sobreviviente no tiene derec3o sobre el total desaldo de la cuenta' En ve( de esto, el sobreviviente comparte la cuenta por iual con los 3erederosdel di6unto' Mientras vivan ambos depositantes, los depsitos pueden ser e6ectuadosindistintamente por cualuiera de ellos, pero las e;tracciones reuieren la accin con9unta'En las cuentas indistintas o solidarias, el sobreviviente de los co-depositantes tiene derec3o sobreel total del saldo de la cuenta en caso de muerte de uno de los co-depositantes, por e6ecto delderec3o de sobreviviente' )urante la vida de los co-depositantes cualuiera de ellos puededepositar o e;traer libremente' DEPRECIACION

75

http://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITARIOhttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITOShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITOShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITOShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITARIOhttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITOShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITOShttp://www.cubaindustria.cu/ContadorOnline/Glosario/Glosario_d.htm#DEPOSITOS


76/106

T+rmino contable ue denota la disminucin en el valor de un activo debido a C1D deterioro 6!sico odesaste natural< C2D desuso y C=D repentina declinacin en el precio del mercado o del valor comercial' El t+rmino tambi+n se re6iere a un asto operativo e6ectuado para la reposicin 6inal deun activo a la terminacin de su vida $til, o para compensar la disminucin de su valor si no 3a dereponerse'eneralmente, la reduccin del valor de un activo' Tanto en la contabilidad de las empresas comoen la nacional, la depreciacin es la estimacin en dlares del rado en ue se 3a ZaotadoZ oastado el euipo de capital en un per!odo dado' a depreciacin del capital tiene tres c

DOSSIER MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES.doc

Documents

Transcript of DOSSIER MATEMATICAS FINANCIERAS Y ACTUARIALES.doc