Manual de Matematicas Financieras

UNIVERSIDAD INSUCO MATEMÁTICAS FINANCIERAS I

PRESENTACIÓN.

Las Matemáticas Financieras es una derivación de las matemáticas generales aplicadas al procesamiento de valores numéricos y su interpretación con fines monetarios y/o financieros. La utilización de los parámetros y valores generados sirven a los especialistas, a los profesionistas y a diversas personas en general para apoyar y argumentar los juicios necesarios para la toma de decisiones que involucran dinero, desde la estimación de su valor a lo largo del tiempo hasta la definición y justificación de propuestas de inversión en el tiempo.

Todos conocemos o hemos oído hablar de conceptos como inflación, depreciación, capitalización, inversiones, créditos y otros variados conceptos asociados con el dinero. Pues bien, este manual agrupa los fundamentos necesarios para entender mejor las variables financieras y monetarias que a la generalidad de los profesionistas nos conviene conocer así como una serie de términos en base a los cuales podemos entender y valoras propuestas de negocios que cualquier individuo conveniente que entienda para tomar la mejor decisión.

Entre las aplicaciones concretas del análisis de información está la adquisición de vehículos, casas, créditos bancarios, inversión en valores con renta fija o variable, adquisición y conversión de documentos comerciales y moneda extranjera, arrendamientos, etc.

Igualmente, es un buen comienzo para quienes desean adentrarse en el dominio de una disciplina muy apreciada por quienes buscan consultorías en negocios y que es la Formulación, Diseño y Evaluación de Estudios y Proyectos de Inversión Económicos y Financieros.

Los conceptos que el lector adquirirá son necesarios para la determinación de un grupo significativo de variables de segundo nivel entre las que podemos mencionar, la rentabilidad, tasa interna de retorno, valores futuros, reservas de capitalización, estados de perdidas y ganancias, puntos de equilibrio. Y estos a su vez son estratégicos en el desarrollo de los llamados estudios de análisis de sensibilidad en que suelen basarse las grandes tomas de decisiones empresariales.

Bienvenidos a este curso de Matemáticas Financieras

Juan Hernández

1INSTITUTO SUPERIOR DE COMPUTACIÓN S. C.

VERSIÓN 2007



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ÍNDICE

PRÓLOGO 1

I. FUNDAMENTOS 51.1. Exponentes. 5

1.2. Leyes de los exponentes 6

1.3. Exponente cero, negativo y fraccionario. 13

1.4. Notación científica 14

1.5. Logaritmos 17

1.6. Calculo con logaritmos 18

1.7 Redondeo 19

1.8 Progresiones aritméticas 20

1.9 Progresiones geométricas 23

1.10 Progresiones geométricas infinitas 25

1.11 Proporciones. 25

2. INTERÉS SIMPLE. 29

2.1. Introducción y conceptos básicos. 29

2.2. Monto. 30

2.3. Valor actual o presente 30

2.4. Interés 31

2.5. Tasa y tipo de interés 32

2.6. Plazo o tiempo 37

2.7. Descuento 37

2.8. Graficas de interés simple 38

2.9. Ecuaciones de valores equivalentes 39

2.10. Aplicaciones 40

3. INTERÉS COMPUESTO 45


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3.1. Introducción 45

3.2. Conceptos básicos 45

3.3. Monto compuesto 53

3.4. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes 55

3.5. Valor actual o presente 57

3.6. Tiempo 58

3.7. Tasa de interés 58

3.8. Ecuaciones de valores equivalentes 61

3.9. Tiempo equivalente 66

4. ANUALUDADES SIMPLES, CIERTAS, VENCIDAS E INMEDIATAS. 69

4.1. Introducción y terminología 69

4.2. Tipos de anualidades 69

4.3. Monto 71

4.4. Valor actual 73

4.5. Renta 74

4.6. Plazo 77

4.7. Tasa de interés 79

5. ANUALIDADES ANTICIPADAS 85

5.1. Introducción 85

5.2. Monto y valor actual 86

5.3. Renta , plazo e intereses 87

6. ANUALIDADES DIFERIDAS 95

6.1 Introducción 95

6.2. Monto y valor actual 96

6.3. Renta , plazo e intereses 101

Bibliografía 111


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CAPÍTULO 1.

REVISIÓN DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS.

OBJETIVO.

El objetivo de esta primera parte del documento de Matemáticas Financieras es el que los alumnos del INSUCO de las diversas carreras profesionales refuercen y/o adquieran en su defecto, las bases matemáticas que se requieren para que apliquen con efectividad y con la mejor comprensión las diversas fórmulas y conceptos asociados con las estimaciones numéricas y los cálculos financieros que se verán en los siguientes capítulos.

1.1. EXPONENTES.

Definición.

Para comprender mejor el concepto de exponentes, es necesario entender qué es la potenciación y cuáles son los elementos que la integran.

El primer concepto que debemos identificar es el llamado “factor” el cual es el número o variable o término que será sujeta de una o varias operaciones de multiplicación

A la operación matemática que representa, en forma abreviada, la multiplicación de factores iguales se le llama potenciación. La potenciación, como expresión algebraica, la conforman los siguientes elementos:

a = base m = exponente b = potencia Así se tiene que:

En la representación anterior, el exponente es el número de veces que un término, se número, variable o combinación de ambos que será multiplicada por sí misma una o varias veces.


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UNIVERSIDAD INSUCO MATEMÁTICAS FINANCIERAS I CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS

1.2. LEYES DE LOS EXPONENTES

Con base en esta definición es posible entender las leyes de los exponentes.

Primera ley: Producto de potencias con la misma base. El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Ejemplo:

a³ • a²

Por la definición de potencia se tiene:

donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto: a³ • a² = a³+² = a5

La representación de la 1ª. Ley será:

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Veamos el siguiente ejemplo:

Por la definición de potencia se tiene:


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am ● an = a m+n


Al cancelar factores iguales queda:

En otras palabras se restan los exponentes. Recuerda que la base debe ser la misma. De lo contrario no aplica esta ley y su procedimiento.

En el siguiente ejemplo el exponente del divisor es mayor que el de la base del componente superior de la operación:

Podemos desarrollar ambas representaciones y veremos que los factores se mostrarán completos así:


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La representación queda como un inverso de a2, podemos eliminar entonces la forma de representación “inversa” pero, siempre y cuando, cambiemos el signo del exponente, la expresión es similar y por el proceso de “transitividad” quedaría:

De lo que se concluye que: “Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo” y viceversa, “todo número con exponente positivo es igual a su inverso con exponente negativo”.


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1a-m = ------- am


Tercera ley: Potencia de una potencia La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

Veamos el siguiente ejemplo:

Observamos que la base dentro del paréntesis está elevada a la 3ª. Potencia y a su vez toda la expresión está elevada a la 4ª. Potencia, si desarrollamos la expresión o la desglosamos en factores quedará:

Utilizando la 1ª. ley 1, podemos reagrupar los factores y simplificar:

Generalizando se tiene queLos exponentes se multiplican y su producto será el que elevará la base:

Cuarta ley: Potencia de un producto La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores.

Ejemplo: (ab)³ Al aplicar la definición de potencia: (ab)³ = ab • ab • ab


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(am)n = am●n


Aplicando la ley conmutativa: (ab)³ = a • a • a • b • b • b Y como la potencia es una multiplicación abreviada, queda: a³b³

Generalizando, se tiene que:

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

Ejemplo: Aplicando la definición de potencia:

Abreviando la multiplicación de fracciones:

Al generalizar se tiene que:


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(ab)n = anbn

a n an

--- = ----- b bn


Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la división de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:

Si el cociente de la división (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces equivale a elevar una misma base a la misma potencia, por tanto se restan los exponentes:

Aplicando el principio de transitividad: a° = 1

De donde se generaliza que:

Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1

Si se tiene la expresión:


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Aplicando la definición de potencia:

Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:

Por transitividad: a4 =a Generalizando:

Todo número elevado a la primera potencia es igual que ese mismo número

Mención especial merece el caso de la potenciación con exponente fraccionario.

Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:

Por la definición:


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Ejemplo:


Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene:

Por la propiedad transitiva:

Si se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:

Al eliminarse la raíz y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que:

Generalizando:

En la resolución de expresiones algebraicas, la aplicación correcta de estas leyes es de fundamental importancia para la obtención del resultado que se busca.


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EJERCICIOS DESARROLLADOS: a) b3 x bY4= bY7 f) (1 + i)5 = (1 + i)2 (1 + i)3

b) x5 = x2 (x3) g) (2a3)4 = 16 a12

c) 25 = 32 = 4 h) x 3 2 = x 6 23 8 y2 y4

d) y 15 = y15-10 = y5 i) (x4)5 = x20

y10

e) x 3 y 2 = xy j) (2xy) 3 = 8x 3 y 3 = 8xy x2 y (xy)2 x2 y2


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1.3 EXPONENTES CERO, NEGATIVO Y FRACCIONARIO.

1.3.1. Exponente cero.

Si “a” es un número real diferente de cero, y es elevado a la cero potencia, el resultado será igual a “1”. Cualquier número o base o término elevado a la potencia “0” es igual a 1

ao = 1. Aplicando este fundamento, establezcamos dos exponentes iguales, es decir la resta de uno al otro deberá ser = 0, y si la base es la misma

El principio se demuestra aplicando la regla del cociente de dos potencias de la misma base.

Considérese el siguiente cociente: am 5º = 1--- = am-n = a0 = 1an Esta aseveración se cumple cuando m = n

1.3.2. Exponente negativo.

Si n es un número entero positivo y a diferente de cero, entonces.En otras palabras en un término inverso elevado a un exponente negativo, se puede revertir la condición inversa cambiando el signo al exponente y viceversa a -n = 1/an

1.3.3. Exponente fraccionario.

Sea a la base de una potencia y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, por lo tanto (\).

am/n = n am = ( n a ) m = n am = ( 3 82 ) m

Donde:

A= 8 m = 2 n = 3 8 2/3 = 8 (2/3) = 4 ( 3 8 ) 2 = 4


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EJERCICIOS DESARROLLADOS. SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: 1) a1/3 = 3 a = ( 3 a ) 2) x1/2 = x = ( a ) 3) y1/n = n y = n y 4) 642/3 = 3 (64)2 = ( 3 64 ) 2

5) 27-1/3 = 0.3333 = 1 = 1 = 1 = 0.3333271/3 3 27 3

6) a2 1/2 (a2-3) 1/2 = (a-1)1/2 = a-1/2 = 1 = 1

a3 a1/2 a 7) x 5/2 = x5/2 - 1/2 = x2

x1/2

8) (y1/2)2/3 = y1/3 = 3 y 9) 5 120 = 2.605171085

1.4. NOTACIÓN CIENTÍFICA:

La notación científica se estableció para abreviar o sintetizar cantidades muy grandes (5000000) y cantidades muy pequeñas (0.000005), por medio de potencias de base 10 (5 x 106; 5 x 10-6) para que de esta manera se facilitaran las cuatro operaciones fundamentales con este tipo de cantidades, ya que son de uso frecuente en ciencias exactas como Física y Química entre otras mas áreas del conocimiento.


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ANÁLISIS CON EXPONENTES POSITIVOS

De donde podemos concluir que, cuando se tiene una potencia positiva de base 10 se están abreviando cantidades muy grandes y si queremos conocer la cantidad se corre el punto decimal a la derecha el numero de veces que indique el exponente.Ejemplo: 3.6 x 10 5 = 360,000

NOTA: Los espacios vacíos se ocupan por el cero. ( Véase análisis con exponentes positivos )

ANÁLISIS CON EXPONENTES NEGATIVOS


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De donde podemos concluir, que cuando se tiene una potencia negativa de base "10" se están abreviando cantidades muy pequeñas y si queremos conocer la cantidad se corre el punto decimal a la izquierda el número de veces que indique el exponente.

Ejemplo: 3.6 x 10 -5 = 0.000036

NOTA: Los espacios vacíos se ocupan por el cero (se recomienda hacer un análisis con exponentes negativos).

EJERCICIOS RESUELTOS

OPERACIONES BÁSICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

1.-SUMA: Para sumar dos cantidades en notación científica, los exponentes deben ser iguales, si no lo son se corre el punto decimal de una cantidad a la derecha o izquierda de manera que los exponentes queden iguales y así finalmente sumar los coeficientes de las potencias de base "10".Ejemplos:

2.-RESTA: La resta es semejante a la suma.Ejemplos:


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3.-MULTIPLICACIÓN: En la multiplicación no importa que los exponentes sean diferentes; para obtener el resultado se multiplican los coeficientes y los exponentes se suman.Ejemplos:

4.-DIVISIÓN: En la división también no importa que los exponentes sean diferentes; para obtener el resultado se dividen los coeficientes y los exponentes y los exponentes se restan.Ejemplos:

POTENCIACIÓN: Si tenemos una cantidad en notación científica elevada o una potencia global, debemos aplicar las Leyes de los Exponentes correspondientes para obtener un resultado correcto.


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1.5. LOGARITMO

Concepto.

Logaritmo es el exponente “n” al que hay que elevar un número “b”, llamado base, para obtener el valor de un número “a”. Es decir: a = bn, entonces logb a = n

Siguiendo con la definición de logaritmo de un número real positivo el cual ya identificamos como “b”, el cual es elevado a un número potencia también real positivo y diferente de 1, denominado “n” donde el logaritmo es este número exponente a que hay que elevar la base “b” para obtener un número “a”

log b a = n si y solo si b c = a .

Desarrollemos la explicación en los siguientes dos ejemplos

Datos Fórmula Sustitucióna = 1 000b = 10

Log b a = n, donde a = bn

Como 1000 = 103, el valor de n es tres, por tanto:log10 1000 = 3

Entonces: log10 1000 = 3, tres es el número al que elevar el valor base 10, para obtener como resultado 1 000

Datos Fórmula Sustitucióna = 256b = 4

Log b a = n, donde a = bn

Aquí 256 = 44, el valor de n es 4, por tanto:log4 256 = 4

Entonces: log4 256 = 4, pues 4 es el número al que hay que elevar la base (también 4) para obtener como resultado 256

De acuerdo con la definición tenemos que: log2 8 = 3 pues 2 3 = 8. log10 √ 10 = 1/2 pues 10 1/2 = √ 10 log1/216 = - 4 pues (1/2)-4 = 2 4 = 16 log 121 = 0 pues (12)0 = 1 log71/49 = -2 pues (7)- 2 = 1/49 log1010 = 1 pues (10)1 = 10 Los números negativos no tienen logaritmo en el conjunto de los números reales.

Cuando la base de los logaritmos es mayor que 1, los números positivos menores que la unidad tienen logaritmo negativo:


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log3 1/81 es igual a - 4 pues (3)- 4 = 1/81

Propiedades de los logaritmos

La “logaritmización” no es distributiva con respecto a la suma y resta:

Suma:log2( 2 + 4 + 8 + 2) log216=4 24=16Comparemoslog22=1log24=2log28=3log22=1El resultado sería 7 No se cumple

Resta:Tampoco es distributiva con respecto a la restalog2(64-32) log232=5 25= 32Comparemoslog264=6log232=5 La suma de ambos logaritmos es 11Tampoco se cumple ¿Qué hacer?Para el caso de la suma como en la resta se debe efectuar la operación y luego calcular el logaritmo.

Producto:El logaritmo de un producto en una base dada, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en esa misma base.

loga( m . n) = logam + logan

log5 (25 . 5) = log525 + log55 =log5 (25 . 5) = 2 + 1 = 3 log5125 = 3 pues53= 125

División.


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El logaritmo de un cociente en una base dada, es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el del divisor.

loga( m : n) = logam - logan

log2(64: 16) = log264 - log216 = 6 - 4 = 2 log2 4 = 2Potencia

loga bn = n. log ab

a) log2 8 = 3 pues 23 = 8 b) log2 4096 = 12 pues 212 = 4096

1.6. REDONDEO

Los criterios dependerán del número de cifras significativas con que necesitamos trabajar, para este manual será común dejar 4 o 3 dígitos o menos a la derecha del punto decimal, salvo que la aproximación deba ser muy estricta.

Por ejemplo, el número 2.23743, se redondea a 2.2374 para el caso de 4 cifras significativas. El último dígito “retenido” se aumenta en 1 si los dígitos “depreciados” son mayores a 5.

Ejemplo, tenemos el número 1.34637, pasa como 1.3464 si deseamos 4 cifras significativas.

Ya vimos qué pasa en el caso de números menores a 5 o mayores a 5, pero, si el número a desechar es “5” ¿cómo lo manejamos?, otra norma es la de convertir en par él último dígito retenido cuando el que le sigue es 5 y será depreciado.

Por ejemplo, 45.26753, deseamos redondear a 3 decimales, entonces lo dejamos como 45.268

1.7. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.


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El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural.

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto.

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.

1.7.1. DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMETICA.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d.Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifica que:an = an-1 + d

Ejercicio: cómo reconocer una progresión aritmética

Otra descripción es la que nos dice que la sucesión de términos también llamados términos y que se continúan uno a otro en forma sucesiva están separados por una diferencia común.

Para asegurarse de que una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión.

¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?

Respuesta:

Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ...

Es una progresión aritmética de diferencia d = -2.


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2) ¿Es 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 9/2, ... una progresión aritmética?

Respuesta:

3/2 -1 = 1/2, 3 - 5/2 = 1/2, 2 - 3/2 = 1/2, 9/2 - 3 = 3/2, 5/2 - 2 = 1/2No es una progresión aritmética.

Término general de una progresión aritmética

La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que:a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 da4 = a3 + d = (a1 + 2.d) + d = a1 + 3 da5 = a4 + d = (a1 + 3.d) + d = a1 + 4 d

Nótese que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades:- La primera es siempre a1

- La segunda es el producto (n - 1) d.an = a1 + (n - 1) dSi la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Ejercicio: cálculo del término general de una progresión aritméticaSea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su término general?

Resolución:Se trata de una progresión aritmética de diferencia d = 2 y primer término a1 = 1. El término general es, por tanto:an = 1 + (n - 1).2 = 2 n-1

Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6.° piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m.Resolución:Es claro que si se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m.Así pues, se está en el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8.El problema se resuelve calculando el término 6.°:


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an = 4 + (n - 1).2,8a6 = 4 + (6 - 1).2,8 = 18

Una progresión aritmética es un caso particular de las sucesiones. Lo que tienen de particular es que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Es decir, supongamos la siguiente sucesión.-3,-1,1,3,5,....

Si restamos un término con el anterior tenemos que:

1-(-3)=21-(-1)=23-1=2......

Se tiene, entonces, que dado un término y la diferencia se puede obtener la progresión aritmética, ya que an=an-1+dEn concreto si tenemos el primer términoan=a1+(n-1)d

EJERCICIOS.

1 Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones:

a) 11, 23, 35…. 7 términosb) 13, 5, -3, 8 términosc) 1.00, 1.05, 1.10 6 términos

2. Determine la suma de los números pares del 1 al 50

3 Determine la suma de los números nones del 20 al 50

4. Determine los números enteros múltiplos de 5, de 10 a 500

5. En una progresión aritmética se tiene t1 = 8 y t5 = 36 Determine la diferencia y la suma de los términos

6. Una empresa recibe un préstamo bancario de $ 30,000 que acuerda liquidar en 10 pagos semestrales más intereses sobre saldos insolutos a razón de 30 % semestral, ¿qué cantidad total de intereses debe paga?

1.8. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS


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Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r.

Así, si (an) es una progresión geométrica, se verificaan = an - 1 .r

Ejemploso 3, 6, 12, 24, 48… Es una progresión geométrica cuya razón común es 2

-2, 8, -23, 128…. suna progresión geométrica cuya razón común es -4 Genere una progresión geométrica de 5 términos considerando t1 = 80 y r = 1/4

Solución 80, 20, 5, 1.25, 0.3125….

De los ejemplos anteriores concluimos que cualquier término posterior puede ser obtenido del anterior multiplicándolo por un número constante llamado cociente (o razón agregaríamos común).

Ejercicio: cómo reconocer una progresión geométrica

Para asegurarse de que una sucesión es una progresión geométrica se ha de comprobar que el cociente entre cada término y su anterior es siempre el mismo. Además esta comprobación elemental determina el valor de esta razón de la progresión.¿Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresión geométrica?

Respuesta:

15/5 = 45/15 = 135/45 = 405/135 = 3. Es una progresión geométrica de razón 3.2) ¿Es la sucesión 25, -5, 1, -1/5, 1/25, 1/125 una progresión geométrica?

Respuesta:

No es una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

La fórmula del término general de una progresión geométrica (an) se encuentra simplemente observando que:a2 = a1 .ra3 = a2. r = (a1 .r). r = a1 .r ²


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a4 = a3. r = (a1 .r ²). r = a1 .r³a5 = a4. r = (a1 .r³). r = a1 .r4

Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:- La primera es siempre a1

- La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice.

En definitiva, la expresión del término general es:an = a1 .rn - 1

Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior.Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales.Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

Ejercicio: cálculo del término general de una progresión geométrica

1) Calcular el término general de la progresión 1/3, 1, 3, 9, ...

Respuesta:Se trata de una progresión geométrica de razón r = 3 y primer términoa1 = 1/3

El término general es, por tanto:an = (1/3).3n - 1

an = 3n - 2

¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, ...?

Respuesta:Es una progresión geométrica en la que el primer término a1 vale -1, y la razón es:2/(-1) = -4/2 = 8/(-4) = -16/8 = -2

Su término general es, pues:an = -1.(-2)n - 1

Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada.


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Observa la similitud que hasta el momento se da entre las progresiones aritméticas y las geométricas. Se pueden seguir comprobando todas las propiedades, sin más que cambiar sumas por productos.

1.9. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS INFINITAS.

Aunque no es intención profundizar en el concepto de las progresiones infinitas, se hace la aclaración que en las progresiones geométricas, las razones representadas por valores fraccionarios tienden a generar términos que hace que la suma (S) de los términos acumulados solo varíe a nivel de fracciones que no afectan aparentemente las cifras significativas o mayores.

En este caso decimos que la suma se acerca a un “límite”

La expresión que describe este comportamiento esLim Sn = 2n → α

1.10 PROPORCIONES.

Es la forma de hacer referencia a la comparación bajo condiciones de equivalencia de dos razones. Se representa:

En otros documentos de matemáticas puede representarse así:

a : b = c : d o también a : b : : c : d

En esta proporción, a y d se llaman extremos y b y c se denominan medios

Propiedad fundamental de las proporciones

Establece que el producto de medios debe ser igual al producto de los extremosmedios

a : b : : c : d


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a c ----- = ----- b d


extremos

Por lo anterior ad = bc, si se conocen 3 de las cuatro variables de la proporción es posible determinar el valor de la cuarta variable desconocida.

Ejemplos resueltos:

Determine el valor de x en las siguientes proporciones1.- 20 15 20 (x) (15) (5)---- = ---- -------- = 15 20 (x) = (15) (5) x = ------------ = 3.75 5 x 5 20

2.- 4 x 4 (8) ---- = ---- -------- = x 16 = x

2 8 2

3.- x 6 30 (6) 180 ---- = ----- x = ---------- x = ------- x = 18

30 10 10 10

1.10.1 Proporción directa simple (PDS)

Son las proporciones en las cuales al aumentar o disminuir los valores de las variables conocidas, en esa proporción aumenta o disminuye la variable desconocida.

Ejemplo. Si en la forma de un libro A de $ 200, se concede un libro de $ 20. ¿Cuánto será el descuento monetario si se adquiere un libro de $ 550. a : b : : c : d 200 550200 : 20 : : 550 : x o bien -------- = ------- 20 x

200 (x) = 550 (20) x = (550)(20)/200 x = 55

Ejemplo. Si 1000 hojas cuestan $ 680, ¿300 hojas cuánto costarán? 680 (300)1000 : 680 :: 300 : x 1000 (x) = 680:300 x = ------------- = 204

1000

1.10.2 Proporción inversa simple (PIS)


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Son aquellas proporciones donde las cantidades varían en una razón inversa. En otras palabras, al aumentar el valor de una de las variables, disminuye en razón inversa el valor de la otra variable y viceversa.

Esta relación inversa se puede visualizar mejor al resolver los siguientes ejemplos:

Ejemplo. 4 máquinas generan un trabajo en 5 días, en cuantos días efectuarán el mismo trabajo 12 máquinas.

4 máquinas x Observemos que está invertida la relación de------------------ = ----------- variables conocidas.12 máquinas 5 días

Despejamos x (4) (5) = x (12) (4) (5) --------- = x 1.66 días 12 a mayor número de máquinas trabajando se requiere menos tiempo.Ejemplo. Si 6 empleados realizan un trabajo en 8 horas, 15 empleados en cuánto tiempo realizarán el mismo trabajo?Empleados Horas 6 x Despejamos (6) (8) = (x) (15) ------- = ----- 15 8 (6) (8) ----------- = x x = 3.2 horas. 15

Utilidad de las proporciones y extrapolaciones.

Entre los usos de las proporciones y sus variantes, las extrapolaciones, está la deducción de valores de interés compuestos en pagos diferidos que veremos en la parte final de este libro.

EJERCICIOS PARA HACER EN CASA.

1. Proponga dos ejemplos de progresiones geométricas y dos de progresiones aritméticas y desarróllelas.

2 Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones:


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a) 7, 35, 175…. 10 términosb) 5, -20, 80…. 8 términosc) 2/3, 2/15, 2/75…. 15 términos

3. Un jugador de ajedrez solicitó al rey después de haberle enseñado este juego que en pago le diera 1 grano de trigo por el primer cuadro, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto y así sucesivamente. ¿Cuántos granos habría de darle por el cuadro número 32?,¿Cuántos granos por los cuadros 1 al 32?¿Cuál será la cantidad acumulada por 64 cuadros del tablero?

4. Un equipo de cómputo con valor de $ 20,000 es depreciado cada mes 2 % de su valor al comienzo del mes, ¿Cuánto se depreciará al completar 10 meses de su adquisición?

5.- Encontrar la cantidad desconocida en las siguientes proporciones:

a) x 2 b) 8 d c) 4 2 ----- = ------ ----- = ----- ----- = ---- 3 5 20 50 8 f 6.- Si por $ 530,000 se cobran $ 33,000 de impuestos, ¿por $ 632,140 cuanto se deberá pagar de impuestos?

7.- En un seguro de vida por $ 12,000 pagamos $ 120 por comisión de manejo del servicio, ¿cuánto se pagará por un seguro de $ 35,125?

8.- 15 trabajadores construyen una fosa en 4 horas, cuántos trabajarán podrán realizar la misma obra en 2.5 horas.

9.- Un avión recorre 3000 kms. a una velocidad de 600 km./hr., en cuanto tiempo recorrerá la misma distancia a 900 km./hr.


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CAPÍTULO 2. INTERÉS SIMPLE

OBJETIVO.

Explicar los conceptos de interés simple, tiempo, capital, monto, valor actual, interés, descuento y ecuaciones de valores equivalentes.

2.1. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

Para una mejor comprensión de este y los siguientes capítulos es necesario que el lector entienda varios conceptos básicos y los maneje de manera similar con el resto de sus compañeros de clase junto con su maestro pues podrían existir algunas diferencias semánticas que conviene evitar.

Definamos Interés:

El interés es el valor o costo calculado sobre el dinero en un lapso de tiempo, el cual se cobra y paga sobre un monto determinado de capital bajo una tasa preestablecida sea en monto o en referencia. Usualmente se determina como “i”

En México durante décadas y aún hoy en día diversas instituciones y particulares calculan los cargos sobre los capitales prestados a una sola tasa simple y calculados por anticipado y pagados después de un período de tiempo sin ser agregados al capital inicial para nuevos cálculos de nuevos intereses sobre otros períodos de tiempo futuros.

Así decimos que el interés es una razón independiente del capital usualmente se utiliza la base porcentual (%) para el cálculo del mismo.

Es decir, el cálculo del interés será sobre la base de un capital mientras que la tasa deberá hacer referencia a un período de tiempo, así decimos que la tasa de interés es de “tanto por ciento anual”, el denominado tanto por ciento es la razón o tasa pagada sobre un determinado capital en un intervalo de tiempo x que para efectos de esta explicación hace referencia a un año (anual).

De lo anterior partimos hacia dos conceptos más, ambos asociados al término INTERÉS y que invariablemente van de la mano, estos son CAPITAL, PLAZO y CRÉDITO.


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UNIVERSIDAD INSUCO MATEMÁTICAS FINANCIERAS I CAPÍTULO 2. INTERÉS SIMPLE

2.2. MONTO

El monto hace referencia a los valores iniciales o parciales bajo los cuales se realizan cálculos, en el caso de los pagos bajo criterios de interés simple los montos son los saldos de capital para cálculo de pagos y/o en su defecto los valores a pagar de capital más los intereses a una determinada fecha de vencimiento, En el caso del interés compuesto, los intereses no pagados se acumulan al capital para ajustar el monto de adeudo en un determinado período de tiempo. Se puede utilizar las letras VF identificar el MONTO

2.3. VALOR ACTUAL (VA)

Se define como el valor presente de una anualidad o de un capital, sin tomar en cuenta o después de descontar factores de distorsión como es la inflación. El valor actual es la base principal sobre el cual se harán los cálculos de intereses los cuales a su vez se agregarán al principal para determinar “montos”.

El tiempo (plazo) es fundamental a la hora de establecer el valor de un capital.Una unidad monetaria hoy vale más que una unidad monetaria a ser recibida en el futuro. Una UM disponible hoy puede invertirse ganando una tasa de interés con un rendimiento mayor a una UM en el futuro. Las matemáticas del valor del dinero en el tiempo cuantifican el valor de una UM a través del tiempo.

Esto, depende de la tasa de rentabilidad o tasa de interés que pueda lograrse en la inversión.

El valor del dinero en el tiempo tiene aplicaciones en muchas áreas de las finanzas como la determinación de presupuestos, la valoración de bonos y la valoración accionaria, los programas de depreciaciones y de capitalización así como la creación de reservas de capitalización y de contingencia como variables inestables como la inflación y especulación.

Por ejemplo, un bono paga intereses periódicamente hasta que el valor nominal del mismo es reembolsado. Por ejemplo CETES a 7 días, o a 14 días o a 28 días o a 90 días o al 360 días.

Los conceptos de valor del dinero en el tiempo están agrupados en dos áreas: el valor futuro y valor actual.

El valor futuro (VF - Capitalización) describe el proceso de crecimiento de una inversión a futuro a una tasa de interés y en un período dado. El valor actual (VA - Actualización) describe el proceso de un flujo de dinero futuro


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Definamos Capital o Principal:

Capital es un valor nominal o suma de dinero cedida en préstamo y que usualmente lleva como costo un valor adicional llamado interés. El capital generalmente representa un agregado o inserción de valores monetarios externo a los flujos de recursos internos con que se cuenta en una empresa o proyecto. En términos financieros y contables también se le denomina PRINCIPAL. Para simbolizarlo utilizaremos la letra “C”

2.4. INTERÉS.

De acuerdo a los principios económicos y financieros el interés es el precio que tenemos que pagar por el dinero a una entidad externa a nuestro sistema interno o tesorería. Hoy en día se acepta que el dinero es un insumo como otros recursos necesarios para la actividad operativa y como tal tiene un costo, cuando no disponemos de este recurso propio y requerimos adiciones externas de dinero, este tiene un costo.

El sistema financiero se asocia al interés también con el costo de oportunidad del dinero y como referencias existen muchos como:

Certificados de la Tesorería –de la Federación- (CETES) , Tasa de Interés Interbancaria de equilibrio (TIIE), Bonos de Desarrollo (BONDES), Bonos del Tesoro de EEUU, etc. Todos estos referentes sirven para fijar el costo del dinero el cual se traduce usualmente en las tasas de interés que pagamos quienes requerimos recursos monetarios de una entidad financiera independientemente que estas a su vez sean integraciones de de costos de administración, intermediación e intereses reales que pagan los destinatarios finales de los recursos transferidos.

Otras definiciones afines:

El interés (I) es el monto pagado por la institución financiera para captar recursos, igualmente es el monto cobrado por prestarlos (colocar). El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial; sea que tratemos con créditos o con inversiones.

El interés es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio, es la renta pagada por el uso de recursos prestados, por período determinado.


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2.5. TASA Y TIPO DE INTERÉS

2.5.1. Concepto de Tasa de Interés.

La tasa de interés es una Razón financiera la cual se predetermina y se utiliza para el cálculo del costo del dinero, dependiendo de su origen será el criterio para su manejo o modificaciones.

La tasa de interés se multiplica por el monto de adeudo para la definición de los intereses nominales a pagar o la obligación resultante.

Así como se identificaron al inicio de este apartado las fuentes de referencia de los intereses, también podemos mencionar otras formas o tipos de intereses como:

a) Interés Comercial o Bancario. Presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días. b) Interés Exacto. Tiene su base en el calendario natural: un año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días.

El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor, es de uso normal por las entidades financieras

2.5.2. Tipos de Interés.

INTERSES SOBRE SALDOS SOLUTOS O INSOLUTOS.

Más que una definición o clasificación de intereses es un criterio de pago de obligaciones establece distintos caminos para el cálculo de los intereses.

Los intereses se pueden calcular sobre saldos insolutos o sobre saldos solutos, es decir, son saldos insolutos cuando los saldos que debemos se van reduciéndose con las amortizaciones subsiguientes que se programan mientras que los otros se fijan y quedan adicionados al capital inicial en los programas de pagos y se definen como solutos.

Los agiotistas, por ejemplo determinan el cálculo anticipado de intereses sobre el capital inicial en un programa de pagos no facilita la cancelación o reducción del principal.

Ejemplo de Cálculo de intereses sobre saldos solutos:

Capital inicial = $ 100Tasa de Interés = 20 %/añoIntereses = $ 20


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Monto = Capital + Intereses = $ 120Programa de pago predeterminado = 4 pagos anualesPago 1 = $120/4 = $ 30Pago 2 = ……….= $ 30Pago 3 = ……….= $ 30Pago 4 = ……….= $ 30Pago total = = $ 120

Ejemplo de Cálculo de intereses sobre saldos insolutosCapital Inicial = $ 100Tasa de Interés = 20 %/año

Intereses sobre saldos adeudados (saldos insolutos)Pago 1 = (Intereses = $ 100 x 20 %/4 = $ 5) + (Abono a Capital $100/4 = $ 25)

= $ 5 + $ 25 = 30Pago 2 = (Intereses = $ 75 x 20 %/4 = $ 3.75) + (Abono a capital $ 75/3 = $ 25)

= $ 3.75 + $ 25 = 28.75Pago 3 = (Intereses = $ 50 x 20 %/4 = $ 2.50) + (Abono a capital $ 50/2 = $ 25)

= $ 2.50 + $ 25 = 27.5Pago 4 = (Intereses = $ 25 X 20 %/4) = $ 1.25) + (Saldo de capital = $ 25)

= $ 1.25 + $ 25 = $ 26.5Pago total = $ 30 + $ 28.75 + $ 27.5 + $ 26. 5 = $ 112.75

En ambos casos se utilizó el mismo capital inicial y la misma tasa de interés, y se puede observar como hay una diferencia clara entre los montos totales pagaderos.

Otras clasificaciones de interés:Interés anticipado (ia): Es el interés liquidado al inicio del período, cuando recibimos o entregamos dinero.Interés vencido (iv): Liquidado al final del período, cuando recibimos o entregamos dinero.

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO.

A reserva de un mayor desarrollo de los conceptos siguientes en los apartados futuros, podemos abreviar otra forma de ver los intereses:

a) Interés simple.b) Interés compuesto.

También los tipos de interés se pueden definir como interés simple o interés compuesto. El interés simple se calcula en cada ocasión sobre los saldos de capital y no se agrega al capital para recalcular intereses posteriores. Por otro lado en interés compuesto es aquel que se agrega a los saldos de capital y de capital


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más intereses en períodos previos y ya adicionados se utilizan de base para el cálculo de los subsiguientes intereses.

INTERÉS SIMPLE.

Retomando los elementos anteriores, definimos Interés Simple como el cálculo de pagos por costo de financiamiento o préstamo de capital a una tasa única la cual se asocia estrictamente al capital inicial y no se agrega a los montos o saldos de capital para futuros recálculos de intereses derivados del capital inicial o de los saldos del mismo.

Otra definición del Interés Simple es la que establece a este como el importe que se cobra al final de cada período señalado y que es constante , porque la deuda o capital en saldo es la misma.

La fórmula esencial quedaría:

Donde i representa el total de intereses generados, de esta misma fórmula podemos deducir otras de las variables conociendo el valor “i”

Ejemplos.Problema. Al comprar un automóvil con un valor de $ 10,833.33 se acuerda pagarlo en 2 años a una tasa del 36 % anual, ¿Cuál es el monto de intereses pagados?

i = (10,833.33) (0.36) (2) = 7,800.00

Problema. Determinar cúanto debe pagarse por un préstamo de $ 78,000 al 36 % durante 3 años en interés simple.

i = (78,000) ( 0.36) ( 3 ) = 84,240

Problema. Supongamos que el Lic. Sergio Martínez solicitó un préstamo de $ 50,000 para adquirir un molino industrial para la empresa de que es gerente. El banco de México contrató con su empresa una línea de crédito a una tasa fija de 24 % anual con un plazo de pago de 2 años.

El Lic. Martínez y el Banco programaron la amortización o pago del crédito en 2 partes, el 50 % a los 12 meses del empréstito y el restante 50 % del capital a los 24 meses: ¿Bajo un criterio de cobro de intereses simple, cuál será el pago total de la empresa en esos 2 años?

Capital Inicial = $ 50,000Tasa de Interés = 24 % anual


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i = Capital x Tasa de Interés x Tiempo


Número de pagos = 2Tiempo de pago = 2 años

Desarrollo del cálculo:En este caso habrá dos pagos de intereses con abono parcial a capital, a los 12 meses y del 13º. Mes al 24º. mes. Por tanto, debemos calcular intereses por separado:

El saldo inicial del capital es $ 50,000 x 24 % = $ 12,000 de intereses. El primer pago quedará así: Primer pago a Capital = 50 % de $ 50,000

= $ 25,000 Intereses generados = $ 12,000 Primer pago (parcial) = $ 37,000

El segundo pago quedará así:

Cálculo de intereses del 13vo. Mes al 24vo. mes Saldo de Capital = Capital inicial de $ 50,000 – Abono a capital $ $ 25,000

= $ 25,000, para cálculo de intereses 2º. Pago de Intereses = Saldo de capital x Tasa de interés: = $ 25,000 x 24 % = $ 6,000Segundo y último pago de saldo de capital = $ 25,000 2º. Pago total = $ 31,000

Concentrando los pagos quedarían agrupados en la siguiente tabla o programa de pagos como sigue:

Período Saldo Capital($)

Abono a Capital ($)

Pago de Intereses ($)

Pago total($)

1-12 meses 50,000 25,000 12,000 37,00013-24 meses 25,000 25,000 6,000 31,000Sumas No aplica 50,000 18,000 68,000

Problema 2. El Ing. Presas compró una camioneta para su negocio bajo un sistema de financiamiento del un lote de autos con el cual hizo el trato. El acuerdo de compraventa establece amortizar el vehículo en 360 días pero divididos en 12 pagos mensuales de capital iguales más los respectivos intereses a una tasa anual de 15 %, el valor base de la Camioneta es de $ 240,000. ¿Cuánto pagará en total el Ing. Presas entre capital e intereses?

Para el desarrollo de los cálculos se sugiere una tabla como la anterior, recomendamos agregar una sexta columna para anotar la tasa de interés.

Calculemos el primer pago de intereses:C = 240,000 Tiempo: 30 días por períodot = 30/360 = i= 15 % año


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$ 240,000 x (30/360) x 15 % = $ 3,000

Capital $ 240,000Tasa de interés (i) 15 % anual ó 1.25 % mensualPeríodo Días Saldo

Capital($) (C)

Abono a Capital

($)(A)

Tasa de interés(i mes)=

15/12=1.25 %

Pago de Intereses

Calculados(C x i mes = D)

($)

Pago total($)

(A + D)

1 30 240,000 20,000 1.25 3,000 23,0002 30 220,000 20,000 1.25 2,750 22,7503 30 200,000 20,000 1.25 2,500 22,5004 30 180,000 20,000 1.25 2,250 22,2505 30 160,000 20,000 1.25 2,000 22,0006 30 140,000 20,000 1.25 1,750 21,7507 30 120,000 20,000 1.25 1,500 21,5008 30 100,000 20,000 1.25 1,250 21,2509 30 80,000 20,000 1.25 1,000 21,00010 30 60,000 20,000 1.25 750 20,75011 30 40,000 20,000 1.25 500 20,50012 30 20,000 20,000 1.25 250 20,250

360 240,000 19,500 259,500

En el ejemplo anterior podemos simplificar el cálculo del monto a pagar de interés de la fórmula C x t x iAl establecer ajuste en el factor tiempo o en la tasa de interés en ambos casos el resultado deberá ser el mismo, veamos:

Tiempo = 30 días/360 días = t = 0.0833333 = 1/12Tasa de Interés = 15 % anual /12 intervalos mensuales = 1.25 % mensual = 1/12 de la tasa anual

Aplicando el principio de la propiedad asociativa para la multiplicación obtendríamos:

Capital (C) x 30 días-período/360 días-año x i anual = (C) x i anual/12 períodosEn otras palabras, i mensual equivale a multiplicar i anual por 0.0833333Un doceavo (1/12) de la tasa anual es igual a 1/12 del periodo anual al hacer el cálculo mensual.

2.6. PLAZO O TIEMPO

Definamos Plazo.


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Cuando se realiza una operación de préstamo, es decir, se entrega un determinado capital, también se determina un período de tiempo base para el cálculo del Interés en cual será definido o establecido nominalmente estrictamente. El intervalo de tiempo para el cual se calcularán los intereses se determina con la letra “t”

El tiempo para fines de cálculo será el resultado de dividir el tiempo de pago entre el tiempo de referencia para la tasa de interés

Por ejemplo, supongamos que el plazo de pago será de 18 mesesEl tiempo de referencia para tasa i es un año o 12 mesesEl factor t para el cálculo del interés efectivo en el plazo de pago será de

t = 18/12 = 1.5

Los pagos futuros, podrán ser en cualquier intervalo de tiempo, y sabremos que proporción representan en este período en base la tasa fijada con referencia al tiempo. Por una simple operación.

El plazo entonces es el tiempo fijado para la recuperación parcial o total del capital. Este puede ser una semana, un mes, un bimestre, un trimestre, un tetramestre, un semestre, un año o cualquier otro período menor o mayor que se determine.

2.7. DESCUENTOS

Definamos Descuento.

Los descuentos pueden ser las deducciones que las instituciones financieras hacen en forma de letras o pagarés de ganancia o cobro de intereses calculados sobre el capital que se van dando al hacer los programas de pagos de capital prestado y los intereses (esto aplica al caso de los programas de pagos con cálculo de interés simple y el compuesto).

La documentación de adeudos por intereses. Es una operación de crédito llevada a cabo principalmente en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio, pagarés, facturas, etc. de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha recibida y la fecha de vencimiento. Anticipan el valor actual del documento

La formula para el cálculo del descuento es: VN o VF = C x n x dDonde:D = Descuento


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VF o VN = Valor del pagaré o documento (monto), valor nominald = Tasa de descuenton = Número de períodos hasta el vencimiento del pagaré

También, en caso de que en los pagos predeterminados se encuentre implícito o agregado el pago de intereses y agregado al capital, suele suceder que al hacer pagos anticipados o adicionales a los programados se reduzca el saldo deudor subsiguiente, por tanto, podrán, si así se acuerda, hacerse ajustes en los programas de pagos futuros, no se trata de cambiar la tasa de interés base, sino los montos globales pagados y la definición de los saldos utilizados para futuros cálculos.

RESUMEN DE VARIABLES

Resumiendo las variables asociadas al cálculo de intereses, tenemos:

C = Capitali = Tasa de Interést = Tiempo de pagoEl interés pagado es el producto de multiplicar Capital x Tasa de Interés x período de tiempoEn forma simbólica se representa = C x i x t

2.8. GRÁFICAS DE INTERÉS SIMPLE

La presenta gráfica es la representación de los pagos totales, los intereses y los abonos a capital correspondientes el ejemplo 2 del apartado 2.5 (Interés Simple), en el mismo puede observarse como aunque los abonos a capital se mantienen constantes hay una disminución global de los montos pagados (capital abonado + intereses generados en el período).


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2.9 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

Dos tasas con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes, si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Común en operaciones bancarias y también en el caso de bonos del tipo «cupón cero», el uso de la tasa de descuento (d) en vez de (o junto con) la tasa de interés, como referencia del rendimiento de la operación. Usar la tasa de descuento o la tasa de interés es puramente convencional y siempre podemos expresar una en términos de la otra.

Esto lo explicamos con las tasas equivalentes pagadas al vencimiento (iv) o por anticipado (ia).

Pactan muchas negociaciones en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Un ejemplo corriente, lo constituyen los préstamos bancarios y los certificados de depósito a término.Cuando indican un pago de interés anticipado (ia), en realidad ello significa que -en el caso de un préstamo- recibe un monto menor al solicitado.

Tasa de interés vencida : iv = i anticipado/1- i anticipado

Tasa de interés anticipada : ia = i vencido / 1+ i vencido

Estas dos fórmulas sólo son de aplicación a tasas periódicas. EJERCICIO (Tasa nominal y tasa efectiva anual)


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Interés Simple

0

2500

5000

7500

10000

12500

15000

17500

20000

22500

25000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tiempo

Pag

os

Abono interés

Pago total


Tomemos por ejemplo el caso de una tarjeta de crédito cuya tasa de interés es 2.5 % mensual. Determinar la tasa anual que realmente cobra.

Solución: i = 0.025; n = 12 períodos en el añoj = Tasa mensual anualizadaTEA = Tasa equivalente anual

EJERCICIO PRÁCTICO. Comparación o equivalente entre tasa anticipada y tasa vencida:Banco de Monterrey paga por uno de sus productos de ahorro el 18% anual y liquida trimestralmente por anticipado. Determine a cuánto equivale el interés trimestral vencido. j = 0.18. Solución:

2.10. APLICACIONES

Los conceptos anteriores tienen un uso total en instituciones fiduciarias, de crédito o de inversión, otras cajas de ahorro, tiendas departamentales, casas de empelo y todas aquellas en que se ofrece o utiliza capital externo para financiar toda clase de operaciones o inversiones con costo o cargos.

Los términos más comunes son los denominados PRÉSTAMO y la INVERSIÓN.

Por definición, préstamo es el contrato en el que una de las partes (prestamista) entrega activos físicos, financieros o dinero en efectivo y la otra (prestatario) quien se compromete a devolverlos en una fecha o fechas determinadas y a pagar intereses sobre el valor del préstamo. El préstamo es la única alternativa que existe en el mundo de las inversiones y de la que todas las demás derivan.


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j = (0.025) 12 = 0.30 o 30 %i (TEA) = [1+0.025]12-1 = 0.3499 o 34.49 %

ta = 0.18/4 = 0.045 ó 4.5 % de tasa periódica anticipadatv = 0.045/(1-0.045) = 0.04712 ó 4.71 % de tasa periódica vencida


Las alternativas más comunes de inversión, generalmente lo constituyen los distintos tipos de depósito que hacemos en los bancos: cuentas de ahorro, cuentas corrientes y plazo fijos. El banco reconoce un «interés» por nuestros depósitos (por el hecho de prestarle nuestro dinero), que los empleará para «prestárselo» a otras personas, empresas o gobierno. El banco intermedia, entonces, entre quienes tienen ahorros y los que necesitan fondos. El riesgo es la solvencia del banco para devolvernos el dinero prestado.

Relacionados con los conceptos de préstamo e inversión están las instituciones que participan más generalmente es operaciones monetarias, todas pertenecen formal o informalmente a un grupo de élite llamado Sistema Financiero

Formado por el conjunto de instituciones financieras, relacionados entre si directa o indirectamente, cuya función principal es la intermediación, es decir, el proceso mediante el cual captan fondos del público con diferentes tipos de depósitos (productos pasivos) para colocarlos a través de operaciones financieras (productos activos) según las necesidades del mercado.

Las operaciones anteriores pertenecen a varios subsistemas y en sí mismas son un producto o servicio financiero entre los que destacan:

Productos activos1) El préstamo con pagaré (líneas de crédito) de corto plazo.- Es una operación a corto plazo (máximo un año), cuyas amortizaciones mensuales o trimestrales también pueden ser pagadas al vencimiento. Por lo general, son operaciones a 90 días prorrogables a un año con intereses mensuales cobrados por anticipado. Generalmente utilizado para financiar la compra de mercancías dentro del ciclo económico de la empresa (comprar-vender-cobrar).

2) El préstamo a interés a más de un año.- Es una operación de corto a largo plazo, que puede ir desde uno hasta cinco años. Las cuotas son por lo general mensuales, pero también pueden ser negociadas y los intereses son cobrados al vencimiento. Este es un tipo de crédito de mediano y largo plazo que es utilizado generalmente para adquirir bienes inmuebles, o activos que por el volumen de efectivo que representan, no es posible amortizarlo con el flujo de caja de la empresa en el corto plazo.

3) El arrendamiento.- Operación mediante la cual, la institución financiera, adquiere bienes muebles o inmuebles de acuerdo a las especificaciones del arrendatario, quien lo recibe para su uso y preservación por períodos determinados, a cambio de la contraprestación dineraria (canon) que incluye amortización de capital, intereses, comisiones y recargos emergentes de la operación financiera. El contrato permite al arrendatario la adquisición del bien al final del período de arriendo, mediante el pago de un valor de rescate que corresponde al valor residual del bien.


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4) El descuento y quirografarios.- Generalmente, el comercio de bienes y servicios no es de contado. Cuando la empresa vende a crédito a sus clientes, recibe letras de cambio por los productos entregadas. Cuando las empresas carecen de liquidez para adquirir nuevos inventarios o pagar a sus proveedores acuden a las instituciones financieras (generalmente bancos) y ofrecen en cesión sus letras de cambio antes del vencimiento, recibiendo efectivo equivalente al valor nominal de los documentos menos la comisión que la institución financiera recibe por adelantarle el pago. Esta comisión es conocida como descuento. Según van ocurriendo los vencimientos de los documentos de crédito, la institución financiera envía el cobro para que los deudores paguen la deuda que originalmente le pertenecía a la empresa.

5) La carta de crédito y las Fianzas.- Instrumento mediante el cual, el banco emisor se compromete a pagar por cuenta del cliente (ordenante) una determinada suma de dinero a un tercero (beneficiario), cumplidos los requisitos solicitados en dicho instrumento. Producto de uso generalizado en las operaciones de importación y exportación.

Los productos pasivosEstos productos pueden ser clasificados en tres grandes grupos:

1) Los depósitos.- Son el mayor volumen pues provienen de la gran masa de pequeños y medianos ahorradores. Estos fondos son por lo general los más económicos, dependiendo de la mezcla de fondos.

2) Los fondos interbancarios.- Fondos que las instituciones financieras no colocan a sus clientes en forma de créditos. Estos no pueden quedar ociosos y son destinados a inversiones o a préstamos a otros bancos cuyos depósitos no son suficientes para satisfacer la demanda de crédito de sus clientes.

3) Captación por entrega de valores.- En algunos casos, los bancos emiten valores comerciales para captar fondos del público. Pueden estar garantizados por la cartera de créditos hipotecarios o por la de tarjetas de crédito. En cualquier caso, la tasa de interés será casi directamente proporcional al riesgo promedio total de la cartera que garantiza la emisión.

EJERCICIOS PARA REALIZAR EN CASA.

Encuentra los intereses:

1.- Determinar cuánto debe pagarse por un préstamo de $ 78,000 al 36 % anual durante 3 años en interés simple.

2.- Determina cuánto se debe pagar por un préstamo de $ 175,218 al 42 % durante 5 años en interés simple.


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3. ¿Cuánto se deberá pagar por un préstamo de $ 12,125 al 39 % anual durante 4 años en interés simple.

4. Cuánto paga de interés un préstamo de $ 6, 888,1555 al 2 % mensual durante 9 meses.

Determina el capital:

5. Deduzca el capital si, se tiene un préstamo a 5 años a una tasa del 20 % anual y se pagaron $ 50,000 de intereses.

6. Para comprar un bien se acuerda pagarlo en 18 meses a una tasa del 2 % mensual. Si se pagaron en total 450,000, ¿cuál es el precio del bien?

7. Se compra una lancha y para pagarla se acuerda un plazo de 2 años, a una tasa pactada al 10 % anual, y se pagaron en total $ 140,000, Determina el valor de la lancha.

Descubre la tasa:

8. ¿Qué tasa se pagó en un préstamo por $ 420,000 que en un plazo de 3 años generó intereses por $ 350,000?

9. Determine a qué tasa se contrató un préstamo de $ 500,000 que después de 9 meses pagó $ 100,000

10. Por un préstamo de $ 320,000 se pagaron $ 307,200 en 8 años, ¿Cuál fue la tasa?

Encuentra el tiempo:

11. ¿Cuál fue el tiempo en que se invirtió un capital de $ 450,000 a una tasa del 20 % anual si generó intereses por $ 200,000?

12. ¿Qué tiempo duró invertido un capital de $ 80,000 a una tasa del 18 % anual si generó intereses por $ 25,000?

13. Encuentra el tiempo que duró un capital de $ 60,000 en inversiones si produjo un interés de $ 40,000 a una tasa de 25 %

Otros problemas interesantes.

14. Qué interés produce un capital de $ 40,000 al 25 % anual si solo está en inversiones 8 meses.


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15. ¿Qué interés producirá un capital de $ 100,000 al 20 % anual en 5 meses?

16. ¿Cuál es el interés que produce un capital de $ 75,000 al 24 % anual en 15 meses?.

17. ¿Qué capital “x” tiene en inversión al 30 % anual si en 90 días de inversión, generó un producto de $ 230,000?

18. ¿Cuál es el interés que produce un capital de $ 120,000 al 15 % en 18 meses?

19. ¿Qué capital se necesita para producir en 80 días $ 100,000 si lo invertimos a una tasa del 25 %.

20. Si de una inversión se cobraron $ 46,000 a una tasa del 30 % y el capital permaneció invertido 13 meses, determina cuál fue el capital invertido.


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CAPÍTULO 3. INTERÉS COMPUESTO

OBJETIVO.

El alumno será capaz de explicar la estructuración de las tasas de interés capitalizadas, el efecto de las variables de tiempo, tasa de interés y la integración de los montos. Identificando claramente las diferencias con las tasas de interés simple.

Finalmente podrá lograr hacer equivalencias entre tasas simples y compuestas por métodos de sustitución de valores y variables conocidos.

3.1 INTRODUCCIÓN.

Hoy en día la generalidad de instituciones involucradas en el mercado del dinero otorgan cualquier tipo de préstamos o créditos cobra por estos capitales o el equivalente en valor monetarios de los bienes en préstamo un costo por intereses integrado por la recapitalización de los intereses que se van acumulando en un período de tiempo.

Igualmente, con la intención de atraer recursos tanto de entornos abiertos como de otras entidades con recursos para invertir, las instituciones captadoras hacen estimaciones y ofrecen a los ahorradores e inversionistas rendimientos que incluyen la capitalización de los intereses no tomados por las fuentes en un determinado período de tiempo. Una estrategia muy común incluye ofrecer una tasa de rendimiento en períodos cortos como un mes, por ejemplo, y sobre los montos cuantificados hacer una oferta para el siguiente lapso de tiempo.

Los ahorradores, los inversionistas y quienes recurren a los mercados de capital deben conocer cómo se calculan los intereses y asegurar recibir el mejor beneficio.

Existen otras empresas e instituciones que otorgan financiamiento o bienes a crédito que llevan implícita una estimación de cargos, costos o beneficios, según sea el caso, sobre el valor iniciar del bien o su equivalente en dinero.

3.2. CONCEPTOS BÁSICOS.

Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses


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UNIVERSIDAD INSUCO MATEMÁTICAS FINANCIERAS I CAPÍTULO 3. INTERÉS COMPUESTO

generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).

Es decir, los intereses generados en cada período se integran al capital, y este monto gana intereses al siguiente período.Se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de interés compuesto.

En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada período por la adición de los intereses ganados de acuerdo a la tasa convenida.

El tiempo que hay entre dos fechas sucesivas en las que los intereses son agregados al capital se denomina Período de Capitalización.

El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización, el cual se denotará por p.

Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes:

"el interés es capitalizable mensualmente","es convertible mensualmente","es compuesto mensualmente","es interés nominal mensual" o"compuesto por mes".

Todos significan que cada mes los intereses se capitalizan o se integran al capital.En este caso p = 12.

3.2.1 Definición

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta.

El esquema de Capitalización Compuesta o del Interés compuesto. Se puede definir como aquel proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. Así sucesivamente, tiene lugar la capitalización periódica de los intereses. Esto en la práctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de cada período los intereses producidos por un préstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el período siguiente.

Elementos fundamentales para el cálculo de la Capitalización Compuesta:


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Co = Capital inicial n = número de períodos (años generalmente) que dura la operación. i = Tipo de interés anual, rendimiento por cada peseta invertida en un periodo. I = Interés total, suma de los intereses de cada año o de cada período. Cn = Capital final. La suma del capital inicial más los intereses.

DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN

El capital final (monto) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n), pudiéndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.

El capital final es la suma del capital inicial más los intereses generados durante el periodo de vida de la operación financiera.

Calculando el capital final existente al final de cada año calcularemos el capital final Cn, de un capital Inicial Co a un tipo de interés anual i para n períodos.

0 1 2 3 4 n ----------------------------------------> Co C1 C2 C3 C4 Cn

Capital al final del primer año: C1 = Co + ( Co * i ) = Co ( 1 + i ) Capital al final del segundo año: C2 = C1 + ( C1 * i ) = C1 ( 1 +i ) = Co ( 1 + i ) (1 + i ) = Co ( 1 + i )2 Capital al final del tercer año: C3 = C2 + ( C2 * i ) = C2 ( 1 + i ) = Co ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = Co ( 1 + i )3 Capital al final del cuarto año: C4 = C3 + ( C3 * i ) = C3 ( 1 + i ) = Co ( 1 + i )3 ( 1 + i ) = Co ( 1 + i )4

De este modo, al final de n años el capital final será:

Cn = Co ( 1 + i ) n

Analicemos el siguiente ejemplo, si depositas $ 100 pesos en una cuenta bancaria que le reditúa el 60% de interés anual,¿a cuánto ascenderá el monto acumulado al final de cinco años suponiendo que no retira la inversión?

Al finalizar el 1er año M1 = 100[1 + (1)(0.60)]=$160 El capital ganó $60

Al finalizar el 2do año M2 = 160[1+ (1)(0.60)] = $256 El capital ganó $96

Al finalizar el 3er año M3 = 256[1 + (1)(0.60)] = $409.60 El capital ganó $153.60


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Al finalizar el 4º. año M4 = 409.60[1 + (1)(0.60)] = $655.36 El capital ganó $245.76

Al finalizar el 5o. año M5 = 655.36[1 + (1)(0.60)] = $1048.576 El capital ganó $393.216

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN

Los intereses son productivos, lo que significa que: • A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes. • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período. Gráficamente, los puntos anteriores se pueden expresar en la siguiente gráfica, para una operación de tres períodos:

GRÁFICA DEL INTERÉS COMPUESTO

DESARROLLO DE LA OPERACIÓN

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del monto conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 x (1 + i)

Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 x (1 + i) = = C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2

Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 x (1 + i) =

= C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3


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La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses.

Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.

La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:

I = [Co] [( 1 + i)t - 1 ]Ejemplo. Los intereses producidos por un capital de 1 000 000 de pesos durante diez años al 4.5% anual de interés compuesto serán I = 1, 000,000 [ ( 1 + 4.5% )10 – 1 ]

Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesos a una tasa de interés del 10% durante un plazo de 1 año.

I = 2,000,000 * ((1 + 0,1)1 - 1)

I = 2,000,000 * (1,1 - 1) I = 200,000

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I

Cf = Co + Co * ((1 + i) t – 1)(sustituyendo "I" por su equivalente)

Cf = Co * (( 1 + i) t) (sacando factor común "Co") * = Multiplicación" Cf " es el capital final

Ejemplo: ¿Cual será el capital final en el ejemplo anterior?

Cf = Co + I Cf = 2,000,000 + 200,000 Cf = 2,200,000


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Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.

Con las ejemplificaciones anteriores se puede comprobar que en el interés compuesto el capital se incrementa en cada período de vencimiento; en consecuencia, cuando esto sucede se dice que hay capitalización.

El calculo de los tipos de interés equivalente, referido a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente:

1 + i = ( 1 + im )m (m se refiere a la base temporal que se utiliza) (m = 1, para años) (m = 2, para semestres) (m = 3, para cuatrimestres o para los tetramestres) (m = 4, para trimestres, grupos de 3 meses) (m = 12, para los casos de usar meses) (m = 365, para el caso de usar días)

Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.

Base temporal Calculo Tipo equivalente

Semestre 1 + 0.15 = (1 + i2) 2 i2 = 7,24 %

Cuatrimestre 1 + 0.15 = (1 + i3) 3 i3 = 4,76 %

Trimestre 1 + 0.15 = (1 + i4) 4 i4 = 3,56 %

Mes 1 + 0.15 = (1 + i12) 12 i12 = 1,17 %

Día 1 + 0.15 = (1 + i365) 365 1235 = 0.038 %

Ejercicios de capitalización compuesta. Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de 5.000.000 pesos invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta.

a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 5,000,000 * 0.16 * 1.5Luego, I = 1,200,000 pesos

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) t) - 1)


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Luego, I = 5,000,000 * (((1 + 0.16) 1.5) - 1)Luego, I = 5,000,000 * (1.249 - 1)Luego, I = 1,245,000 pesos

Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta.

Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual:

a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) 12 (" i" es la tasa anual)

Por tanto, 1 + 0.16 = (1 + i12)12

Por tanto, (1.16)1/12 = 1 + i12 Luego, 1 0124 = 1 + i12 Finalmente, i12 = 0.0124

b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3)3 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0.16 = (1 + i3) 3

Luego, (1.16) 1/3 = 1 + i3 Luego, 1.0507 = 1 + i3 Luego, i3 = 0.0507

c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) 2 (" i" es la tasa anual)

Luego, 1 + 0.16 = (1 + i2) 2

Luego, (1.16) 1/2 = 1 + i2 Luego, 1.0770 = 1 + i2 Luego, i2 = 0.0770

Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de pesos dentro de 6 meses y otro capital de 0.5 millones pesos dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. ¿Que importe se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta?.

Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos


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1er. importe: Cf = Co + I

Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) t) - 1)

Luego, I = 1,000,000 * (((1+0,12) 0.5) - 1) (tipo y plazo en base anual)Luego, I = 58,301 pesos

Luego, Cf = 1,000,000 + 58 301 = 1 058 301 pesos

2do. Importe : Cf = Co + I

Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) t) - 1)

Luego, I = 500,000 * (((1+0.12) 0.25) - 1) ( tipo y plazo en base anual)Luego, I = 14,369 pesosLuego, Cf = 500,000 + 14,369 = 514 369 pesos

Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año

Luego, Ct = 1,058,301 + 514,369 = 1 572 670 pesos

Ejercicio 4: ¿ Qué intereses serían mayor, los de un capital de 600.000 invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de 500.000 pesos invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta ?

a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t

Luego, I = 600,000 * 0.15 * 0.5 (tipo y plazo en base anual)Luego, I = 45,000 pesos

b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) t) - 1)

Luego, I = 500,000 * (((1 + 0,16) 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual)Luego, I = 500,000 * (1.249 - 1)Luego, I = 51,458 pesos

Luego en la 2ª opción los intereses son mayores.

Ejercicio 5: ¿Si un capital de 1 millón de pesos genera unos intereses durante 6 meses de 150,000 pesos, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple ?, ¿y la capitalización compuesta?.

a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t


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Luego, 150,000 = 1,000,000 * i * 0.5 (tipo y plazo en base anual)Luego, i = 150,000 / 500,000Luego, i = 0.3

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30%

b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) t) - 1)

Luego, 150,000 = 1,000,000 * (((1 + i) 0.5) - 1)

Luego, 150,000 = 1,000,000 * ((1 + i) 0.5) – 1,000,000

Luego, 1,150,000 = 1,000,000 * (((1 + i) 0.5)

Luego, 1,150,000 / 1,000,000 = (1 + i) 0.5

Luego, 1.15 = (1 + i) 0.5

Luego, (1.15) 2 = 1 + iLuego, 1.322 = 1 + iLuego, i = 0.322

Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32.2%

3.3. MONTO COMPUESTO.

Ya habiendo definido en el capítulo anterior en concepto de Monto como el capital e intereses en un período dado, el monto compuesto implica la acumulación de intereses junto al capital inicial, y sobre la base de este (Capital inicial + intereses) calcular los intereses del siguiente período:

Descripción de la generación del Monto Compuesto:

Intereses del 2º. Período = (Capital inicial para el segundo período = capital inicial + intereses del período previo) x tasa de intereses del segundo período.

Monto compuesto es la acumulación de capital inicial para el segundo período + Intereses del 2º. Periodo

Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesos a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.

I = 2,000,000 * (((1 + 0,1) 1) - 1) I = 200,000 * (1.1 - 1)


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I = 20,000 pesos

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I

Cf = Co + Co * (((1 + i) t) - 1) (sustituyendo "I" por su equivalente)

Cf = Co * (( 1 + i)t) (sacando factor común "Co")

" Cf " es el capital final

Ejemplo: ¿Cual será el capital final en el ejemplo anterior?

Cf = Co + ICf = 2,000,000 + 20,000Cf = 2,020,000 pesos

Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.

Supongamos, por ejemplo, que depositas $ 100 pesos en una cuenta bancaria que le reditúa el 60% de interés anual, ¿a cuánto ascenderá el monto acumulado al final de cinco años suponiendo que no retira la inversión?

Al finalizar el 1er año M1 = 100[1 + (1)(0.60)]=$160 El capital ganó $60

Al finalizar el 2do año M2 = 160[1+ (1)(0.60)] = $256 El capital ganó $96

Al finalizar el 3er año M3 = 256[1 + (1)(0.60)] = $409.60 El capital ganó $153.60

Al finalizar el 4to año M4 = 409.60[1 + (1)(0.60)] = $655.36 El capital ganó $245.76

Al finalizar el 5to año M5 = 655,36[1 + (1)(0.60)] = $1048,576 El capital ganó $393.216

El resultado final se puede lograr con la siguiente fórmula: M – C (1+i)n

Donde n es el número de períodos de capitalización, mientras i es la tasa de interés por período.

Sustituyendo valores en la fórmula se obtiene el mismo resultado:

M = 100 (1+0.6)6 = $ 1,048,576

Las dos variables deben ser definidas al mismo período, es decir si el período es en quincenas la tasa de interés debe ser expresada en quincenas.


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Supón, por ejemplo, que los $ 100 pesos anteriores se invierten al 60% de interés capitalizable semestralmente entonces sustituyendo en la fórmula:

M = 100 (10.30)10 = $ 1,378.58

Porque la tasa de interés es 0.60 / 2 = 0.30 semestral y 5 años tienen 10 semestres.

3.4. TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES.

Dos tasas de interés aplicadas en diferentes períodos son equivalentes si generan valores de interés compuesto iguales al final de un año.

Cuando el interés es convertible más de una vez en el año, la tasa anual dada se conoce como TASA NOMINAL ANUAL o simplemente tasa nominal.

La tasa concretizada y ganada en el mismo período se llama TASA EFECTIVA ANUAL o solamente tasa efectiva.

Veamos un ejemplo para reforzar la explicación:

De acuerdo a un contrato financiero al final de un año un inversionista recibe sobre su capital original de $ 100 a) 4 % convertible trimestralmente tendremos un monto de 100 (1.01)4 = $ 104.06

b) 4.06 % (obtenido de restar a 104.06 – 100 originales) son convertibles anualmente al multiplicar 100 x 1.0406) = $ 104.06

En otras palabras, se dice que 4 % convertible trimestralmente es equivalente con una tasa anual de 4.06 %

Aplicando esta explicación a los conceptos de tasa nominal y tasa efectiva tenemos que 4 % es la tasa nominal mientras que 4.06 % es la tasa efectiva. Redundando un poco más: 4.06 es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 4 % convertible trimestralmente.

3.4.3. TASAS EQUIVALENTES EXPLICACIÓN TEÓRICA.

Ya vimos para el caso de la capitalización simple que dos tipos de interés son equivalentes si al ser aplicados a un capital inicial determinado producen el mismo capital final durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refieran a diferentes períodos de capitalización.


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También vimos, que para la capitalización simple los tipos proporcionales son equivalentes, pues bien, en el caso del interés compuesto no es así.

Si llamamos m a la frecuencia de capitalización, es decir, el número de veces que durante un período de tiempo se capitalizan los intereses producidos tendremos que para un año:

m = 2 Cuando se capitalicen los intereses semestralmente m = 3 Cuando se capitalicen los intereses cuatrimestralmente m = 4 Cuando se capitalicen los intereses trimestralmente… m Cuando se capitalicen los intereses en períodos “m”

Por tanto, dado un tipo de interés anual i y una frecuencia m de capitalización llamaremos: i al tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de Equivalencia que todos podemos ver en el mercado financiero como TAE, por definirle un nombre. i m al tipo de interés equivalente, el tipo de interés de un período fraccionado. J m será el término que asignaremos al tipo nominal convertible. En este caso se trata de un tipo teórico, no real, pero, eso sí, es proporcional al anualizarlo, es decir, es el producto de m veces i m. Esto es:

J m = m * i m o sea: i m = J m / m

Tipos de Interés equivalentes en la Capitalización Compuesta.

Hagámonos el siguiente razonamiento:

Un dólar invertido durante un año al tipo de interés i nos dará como resultado un capital final de (1 + i). Ese mismo dólar invertido durante el mismo periodo pero con una frecuencia de capitalización m al tipo i m , nos dará un capital final de (1 + i m )m.

Para que el tipo i sea equivalente a i m, los capitales finales por definición han de ser iguales, por lo que:

( 1 + i ) = ( 1 + i m )m

Podemos por tanto: Conocer el tipo de interés anual en función del fraccionado

i = ( 1 + i m )m - 1 Conocer el tipo de interés efectivo para un período fraccionado en función

del anual. i m = ( 1 + i ) - 1


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Como resumen, recordemos lo siguiente: J m = m * i m ( 1 + i ) = ( 1 + i m )m

El calculo de los tipos de interés equivalente, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente:

1 + i = ( 1 + i m ) m (m se refiere a la base temporal que se utiliza) (m = 1, para años)

(m = 2, para semestres) (m = 3, para cuatrimestres) (m = 4, para trimestres) (m = 12, para meses) (m = 365, para días)

Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.

Base temporal Calculo Tipo equivalente

Semestre 1 + 0.15 = (1 + i2) 2 i2 = 7.24 %

Cuatrimestre 1 + 0.15 = (1 + i3) 3 i3 = 4.76 %

Trimestre 1 + 0.15 = (1 + i4) 4 i4 = 3.56 %

Mes 1 + 0.15 = (1 + i12) 12 i12 = 1.17 %

Día 1 + 0.15 = (1 + i365) 365 i365 = 0.038 %

3.5. VALOR ACTUAL

Cálculo del capital inicial o valor actual. Despejando el capital inicial Co en la fórmula ya vista Cn = Co (1 + i )n nos queda lo siguiente: Co = Cn / ( 1 + i )n

O lo que es lo mismo: Co = Cn ( 1 + i )-n Por otro lado también sabemos que Cn = Co + I por lo que si despejamos el valor del capital inicial Co nos queda: Co = Cn - I Ejemplo Se tiene un Capital final de 1,000,000 de pesos; ¿cuál fue el Capital Inicial que lo produjo invertido al 8 por ciento durante diez años?


VERSIÓN 2007


Co= 1,000,000 / ( 1 + 8%)10

3.6. TIEMPO (n)

DEFINICIÓN

Periodo de tiempo podemos definirlo como el lapso o número de intervalos o períodos en que se programan pagos, recuperaciones o aportaciones en una operación financiera.

Se trata pues en esta ocasión de despejar n en nuestra fórmula

Cn = Co (1 + i )n,

Tendremos por lo tanto:

Cn / Co = ( i + 1 )n Tomamos logaritmos para despejar l incógnita ya que está en la potencia. log (Cn / Co ) = log ( 1 + i)n Si continuamos despejando log Cn - log Co = n log ( 1 + i ) n = log Cn - log Co / log ( 1 + i )

3.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS..

Recurriremos de nuevo a la fórmula de partida Cn = Co (1 + i)n . En esta ocasión despejaremos el tanto de interés por lo que tendremos que: Cn / Co = ( 1 + i )n

Si continuamos despejando: raíz (n) de (Cn / Co) = raíz (n) de (( 1+ i)n)

raíz (n) de (Cn / Co) = ( 1 + i )

i = raíz (n) de (Cn / Co) - 1

Ejemplo A qué tipo de interés fue invertido un capital de $ 500, 000 pesos para convertirse en 625,000 al cabo de cinco años.

i = raíz (5) de (625,000 / 500,000) - 1


VERSIÓN 2007



VERSIÓN 2007


TAREA PARA HACER EN CASA

INTERÉS COMPUESTO.

1. Cuánto producirá de interés un capital de $ 10,000 a una tasa de interés de 9 % en 5 años.

2. ¿Qué interés producirá un capital de $ 10,000 impuesto al 4.5 % trimestral en 5 años.

3. ¿Qué interés producirá un capital de $ 10,000 impuesto al 1.5 % mensual en 5 años.

4. Si una persona invierte $ 100,000 al 25 % anual durante 3 años, ¿qué interés producirá?.

5. Si una persona invierte $ 95,000 al 11 % anual durante 7 años, ¿Qué interés producirá?

6. Si un fideicomiso invierte $ 70,000,000 al 36 % anual durante 2 años ¿qué interés producirá con capitalización mensual de intereses?.

7. ¿Cuánto producirá de interés un capital de $ 65,000 impuesto al 19.37 % semestral en 6 años?

8. ¿Cuánto producirá de interés un capital de $ 136,114 invertido al 9.04 % trimestral en un período de 2 años?

9. ¿Qué interés producirá un capital de $ 12,500 invertido al 0.60 % mensual en tres años.


VERSIÓN 2007


3.8. ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

La definición de valores equivalentes es la misma que la vista para las operaciones de interés de simple, es decir, dos valores cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando, aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo, producen el mismo interés o generan el mismo capital final o monto.

Otra definición para ecuaciones de valores equivalentes es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de obligaciones a determinada fecha, y es igual a la suma de los valores a esa misma fecha de otro conjunto de obligaciones.

En el caso de las ecuaciones de valor para problemas que intervenga el interés compuesto, se puede escoger cualquier fecha inicial o de valuación para todas las obligaciones ya que no influye en el resultado. En otras palabras, la fecha no es una variable diferente.

Observemos la siguiente gráfica:

Visualicemos un valor de obligaciones A (las cuales tienen programadas un vencimiento en los tiempos años 0 y 7 y valuadas en el año 5Son equivalentes a otras obligaciones B (consideradas con vencimiento en los tiempos 1 y 3 y valuadas en el año 5).

Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:

i = ik x k


VERSIÓN 2007

x x x x x x . O 1 2 3 4 5 6 7 8

Fecha de valuación


Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado.

Ejemplo

Se tienen dos deudas, una de $ 1 600.0 pagadera dentro de 6 años y otra de $ 2 000.0 a cubrir dentro de 3 años, si se desea liquidarlas en un solo pago dentro de 2 años, ¿cuál será el monto de este pago si el dinero produce un interés efectivo de 12 % anual?

La descripción de las operaciones desarrolladas en la gráfica previa es:x = 2,000 (1 + 0.12)-1 + 1,600 (1+0.12)-4

x = 2,000 (0.8928571) + 1,600 (0.6355181)

x = 1,785.71 + 1,016.83

x = 2,802.54

El monto del pago será de $ 2,802.54

Ejemplo.Un deudor tiene un adeudo A por $ 2,500 que deberá pagar al 5º. año y además un adeudo B por $ 2,800 para pagar en 3 años. Si abona $ 2,600 al final del primer año, ¿cuánto será su adeudo al final de 3 años si el dinero está generando un interés efectivo del 10 % anual?

En la siguiente página se presenta una visualización gráfica de los movimientos monetarios en el tiempo.


VERSIÓN 2007

2 000 1 600

x x x x . O 1 2 3 4 5 6 7 8

Fecha de valuación


2,600 (1+0.10)2 + x = 2,800 + 2,500 (1+0.10)-2

2,600 (1.2100) + x = 2,800 + 2,500 (0.8264463)

3,146 + x = 2,800 + 2,066.12

x = 2,800 + 2,066.12 – 3,146.00

x = 1,720.12

Supuestos:

El exponente negativo -2 al que hay que elevar el factor de interés compuesto de los $ 2,500 es porque ya sabemos cual será el monto (capital + intereses) a pagar ($2,500) y en que año está programado el pago calculado a la tasa de 10 % (año 5), también sabemos que será generado en 2 años a partir del año 3 que es el año de referencia (del año 3 al 4 y del año 4 al 5), por tanto, 5 (año final) menos 3 (año base para el cálculo) = -2.,

En otras palabras, si $ 2,500 es el monto total en 5 años de un valor previo a una tasa del 10% y

Si los $ 2,800 es el otro monto generado de capital en el 3 año a una tasa también del 10 %, y

Si $ 2,600 es un capital que deberá ahorrar un interés de 10 % que reducirá los adeudos,

La suma de los 2,600 y sus intereses generados + un faltante “x” =$ 2,800 (ya no se eleva pues ya se cumplieron sus 3 años de generación) + Un valor calculado de $ 2,066.12 que con sus respectivos intereses se convertirían en $ 2,500 en 2 años.

En otras palabras, el deudor deberá pagar $ 1,720.12 al final de los tres años. Los cuales sumados a los $ 2,600 = 2500 (menos intereses compuestos de 2 años) + 2800


VERSIÓN 2007

2,800 2,500

x x x . O 1 2 3 4 5 6 7 8 2,600

Fecha de valuación


Ejemplo.Se tiene una deuda de $ 2,000 pagaderos en 1 año y $ 13,000 pagaderos en 4 años. Si en este momento se pagan $ 4,000 y el resto en 2 años, cuánto tendrá que pagarse al final de 2 años suponiendo una tasa de rendimiento de 5 % anual convertible semestralmente?.

Visualicemos en la siguiente gráfica estos componentes:

Desarrollemos el despeje:

4,000(1+(0.05/2))2x2 + x = 2,000 (1 + (0.05/2))2 + 13,000 (1+(0.05/2)) –(2x2)

4,000 (1 + 0.025)4 + x = 2,000 (1 + 0.025)2 + 13,000 (1 + 0.025)-4

4,000 (1.1038129) + x = 2,000 (1.0506250) + 13,000 (0.9059506)

4,515.25 + x = 2,101.25 + 11,777.36

x = 2,101.25 + 11,777.36 – 4,415.25

x = 9,463.36

Este carácter acumulativo de los intereses se compensa con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia del cálculo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, en el cual se determina el monto resultante de invertir 1,000 pesos durante 1 año bajo las siguientes condiciones:

a) Interés anual del 12% Cn = 1,000 x (1 + 0,12)1 = 1,120.00

b) Interés semestral del 6% Cn = 1,000 x (1 + 0,06)2 = 1,123.60

c) Interés trimestral del 3% Cn = 1,000 x (1 + 0,03)4 = 1,125.51


VERSIÓN 2007

2,000 13,000

. x x x … O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4,000 x

Fecha de valuación


Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.

Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, que el monto final siga siendo el mismo, es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

TAREA PARA HACER EN CASA Y TRAER RESUELTA AL MAESTRO.

1. El Ing. Camilo Placencia obtiene un préstamo de $ 15,000 a una tasa de interés del 5 % anual convertible semestralmente. Acepta pagar $ 1,000 dentro de un año, $ 12,000 en dos años y el saldo en 3 años. Hallar el pago final x.

2. Una deuda de $ 2,500 pagaderos en 2 años y otra de $ 7,500 pagaderos en 6 años, se van a liquidar mediante un pago único dentro de 4 años. Hallar el importe del pago suponiendo una tasa de rendimiento del 4 % anual convertible semestralmente.

3. ¿Cuál es la tasa semestral equivalente al 35.28 % anual?

4. ¿Cuál es la tasa trimestral equivalente al 31.62 % anual?

5. ¿Qué interés producirá un capital de $ 500,000 al 20 % anual en 6 años?

6. ¿Qué interés producirá un capital de $ 480,000 impuesto al 36 % anual en 3 años?

7. ¿Cuál será el monto de una inversión de $ 1,500,000 contratada a una tasa del 25 % anual durante 6 trimestres.

8. Encontrar la tasa de un monto de $ 67,614,744.21 producido por capital de $ 16,842,320 en 4 años de plazo9.¿Cuál será la tasa de un monto de $ 37,618,122.77 producido por un capital de $ 12,818,613.25 en un plazo de 3 años?

10. Se desea saber el tiempo de una inversión, si como capital se invirtieron $ 70,000,000 al 30 % anual y originó un monto de 259,905,100

11. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $ 480,000 al 36 % anual proporcione un monto de $ 1,207,418.88?

12. Encontrar el capital, si el interés producido alcanzó $ 38,999,040 en un lapso de 3 años al 32 % anual?


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RELACIÓN DE VALORES EQUIVALENTES BAJO CRITERIO COMPUESTO

Los valores en operaciones compuestas para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relación: 1 + i = (1 + ik)k

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica:

• El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). • Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se acumulan los intereses, dentro del período, al capital para producir nuevos intereses.

3.9. TIEMPO EQUIVALENTE

Primero debemos entender el concepto de fecha de vencimiento promedio:Es la fecha o punto en el tiempo en la cual un grupo de obligaciones que originalmente tienen fechas de vencimiento diferentes pueden ser liquidadas mediante un pago único igual a la suma de las distintas obligaciones (deuda)

El tiempo equivalente es el que transcurre entre las fechas originales de vencimiento de distintas obligaciones y la fecha en que confluyen para ser liquidadas.

A continuación se presenta un ejemplo resuelto en que se visualizan los pasos para resolver este tipo de problemas.

Paso 1. Se establece la asociación de términos:

(150,000 + 250,000) (1 + 0.045)x = 150,000 (1+ 0.045)

-2 + 250,000 (1+0.045)-6

Paso 2. Simplificamos las sumas y desarrollamos los exponentes


VERSIÓN 2007

400,000 (1 + 0.045) x

------|-----------|----------|-----------|-----------|------------|-----------|----------|-- 0 2 4 6 8 10 12 150,000 Trimestres 250,000


(400,000) (1 + 0.045)x = 150,000 (0.915730) + 250,000 (0.767896)

(400,000) (1.045)x = 137,359.49 + 191,973.93

(400,000) (1.045) x = 329,333.43

(1.045) x = 329,333.43/400,000

(1.045) x = 0.82333357

Paso 3Para despejar el valor x que representa el tiempo en que se debe realizar el pago único de las dos obligaciones debemos aplicar el despeje de un logaritmo.

x (log 1.045) = log 0.82333357

Dejamos x del lado izquierdo de la igualdad y los logaritmos de del lado derecho

x = log 0.82333357/log. 1.045 x = - 0.08442148/0.01911629

x = 4.4163

La explicación de este proceso tiene fines académicos y de consulta, en la práctica será difícil que los calculistas tengan que resolver este tipo de problemas.

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PROBLEMA PARA RESOLVER EN CASA.

Problema. Una organización tiene los siguientes montos de adeudo programados para pagarse como sigue:Adeudo A = 500,000 para pagarse en el 1er. añoAdeudo B = 200,000 para pagarse en 2º. añoAdeudo C = 600,000 para pagarse en el 3er. Año

Estos adeudos incluyen capital e intereses al 10 %. Si se desea liquidar la deuda junta en un solo pago, partiendo de la fecha actual en qué fecha deberá hacerse el pago combinado?


VERSIÓN 2007



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CAPÍTULO 4. ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS,

VENCIDAS E INMEDIATAS

4.1. INTRODUCCIÓN Y TERMINOLOGÍA

ANUALIDAD.Desde un punto de vista estricto podemos definir una serie de cantidades que vencen a intervalos de 360 días, ya sea por capitales que estén programados para invertirse u obligaciones que se tengan que aplicar.

Sin embargo, la palabra anualidad se ha generalizado y se aplica a otros períodos diferentes como semestres o trimestres, en base a que se hace la equivalencia a la tasa en términos anuales, o incluso períodos más cortos. Recomendamos a quienes tengan oportunidad de determinar obligaciones o inversiones programadas especificar de forma estricta el término de las aplicaciones asociadas al tiempo y utilizar términos como semestralidad, trimestralidad, bianaulidad, etc.

4.2. TIPOS DE ANUALIDADES.

Las anualidades pueden ser clasificadas bajo varios criterios, sin embargo, los dos tipos principales son: Ciertas y Eventuales, las definiciones concretas para estos tipos son:

Anualidades Ciertas.- son aquellas en las cuales el valor de la anualidad se determina en términos anticipados precisos.

Las anualidades Ciertas se subdividen en:a) Cierta en Plazo. En este caso sabemos y programamos las anualidades en

fecha y cuantía y también en número en un determinado período de tiempo.b) Cierta en Renta Perpetua.- En esta condición, sabemos las fechas de

vencimiento, conocemos el intervalo de los vencimientos y la duración de las obligaciones preestablecidas es ilimitada en el tiempo.

Anualidades Eventuales. En este caso no hay condiciones precisas para definir y ratificar las obligaciones, pues serán las eventualidades las que determinan el monto y fecha de las cuantías a cubrir o invertir. Por ejemplo, si se logra una utilidad bruta de x monto y razón porcentual, se paga la anualidad y. o bien, la anualidad es una razón de un margen de beneficio o utilidad marginal, etc.


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En otras palabras las anualidades eventuales tienen períodos y/o montos imprevistos, por lo tanto hay que tener cuidado de no confundirlas con las rentas perpetuas que tienen montos y fechas de pago bien determinadas.

Aunque en este análisis no se profundizará en otras subdivisiones de los tipos presentados, si hace un esquema para realizar una abstracción final.

Las anualidades a su vez pueden subdividirse en subtipos dependiendo de la fecha en que haga la determinación de su posición en tiempo respecto a los vencimientos conocidos (fecha de evaluación) y de la cuantía de los montos o pagos realizados. Cabe aclarar que diversos autores proponen divisiones en parte con algunas diferencias. Dependiendo de la fuente consultada.

Una descripción de los subtipos se presenta a continuación:a) Anualidad ordinaria o vencida.- Los pagos de obligaciones contratados se hace al final del período.


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VENCIDA(Final del Período)

A PLAZO ANTICIPADA(Duración (Principio del período)limitada)

VENCIDA DIFERIDA

ANTICIPADA DIFERIDA

ANUALIDADES

RENTA PERPETUAVENCIDA

RENTA PERPETUA

RENTAS VencidaPERPETUAS

RENTA PERPETUAAnticipada

RENTA PERPETUAVencida diferida

RENTA PERPETUAAnticipada diferida


b) Anualidad anticipada. La anualidad se debe aplicar al inicio del período. Se puede confundir con los pagos adelantados que se hacen y que no están determinados y que el receptor o aportados decide tal vez voluntariamente.

c) Anualidades diferidas.- Son las que se aplican después de haber transcurrido uno o varios plazos o intervalos de tiempo determinados como períodos de pago. Se asocia este concepto a aquellos pagos “reestructurados” o reprogramados.

Este diferimiento se puede aplicar a las anualidades ordinarias o a las anticipadas para obtener un cuarto subgrupo que viene a ser el de la ordinaria diferida y la anticipada diferida.

4.3. MONTO.

Para la determinación de los montos, es conveniente partir de la descripción de las etapas y variaciones que sufre un valor al ser sujeto a una determinación de intereses, los cuales al ser agregados al valor inicial y sucesivos generan diferentes montos compuestos, este viene a ser un caso práctico de la aplicación de las operaciones con progresiones geométricas.

Aplicación en un caso concreto (ejemplo):

El Consorcio HYLSA desea reinvertir en un proyecto industrial $ 500,000 al final de cada año por 5 años con el compromiso de recibir utilidades adicionales de 10 % anual, ¿cuánto recibirá al final de los 5 años?

1ª. Anualidad $ 500,000Interés 2º. Período: $ 50,0002ª. Anualidad $ 500,000 Monto: $ 1,050,000Interés del 3er. Período: $ 105,0003ª. Anualidad $ 500,000 Monto: $ 1,655,000Interés 4º. Período: $ 165,5004ª. Anualidad $ 500,000 Monto: $ 2,320,500Interés del 5º. Período $ 232,0505ª. Anualidad $ 500,000 MONTO ACUMULADO $ 3,052,550

Este procedimiento se puede reducir con una operación que se describe en la siguiente fórmula:

M = Crn-1 o bien M = C(1+i)n-1

Donde M = MontoC = Capital inicial


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i = Tasa de interés baser = 1+ in = Períodos

El exponente compuesto es el valor n-1 ya que el período 1 no se toma en cuenta para el cálculo de interés pues la primera y demás aportaciones se hacen al final del cada período.

Ejemplo.

Se tiene un programa de inversiones de $ 80,000 al final de cada año por 4 años a una tasa de 5 % anual cuál será el monto que se integre?

C = a = $ 80,000r = 1 + i = 1.05n = 4, 3, 2

Verifiquemos de acuerdo a la descripción inicial:

Monto de la Primera anualidad (M = Crn-1) = $ 80,000 (1.05)4-1 = 92,610 Monto de la segunda anualidad = $ 80,000 (1.05)3-1 = 88,200Monto de tercera anualidad = $ 80,000 (1.05)2-1 = 84,000Monto de la cuarta anualidad = $ 80,000 (1.05)1-1 = 80,000

Monto total = = $ 344,810

La siguiente fórmula producto de procesar la progresión geométrica desarrollada en las operaciones previas permite de una forma simplificada, llegar al mismo resultado de monto acumulado (Ma):

Aplicando al mismo ejemplo anterior para hacer las verificaciones debidas, pero desarrollando la fórmula, luego simplificando y finalmente agregando el signo de pesos ($):

(1.05)4 -1 (1.2155) – 1 0.215580,000 ---------------- = 80,000 ---------------- = 80,000 -----------


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(1+i)n – 1 Ma = a ------------- = i


0.05 0.05 0.05

= 80,000 (4.310125) = $ 344,810

4.4. VALOR ACTUAL (Va).

Para el caso del estudio del valor actual debe quedar claro que el punto en el tiempo para la valuación del mismo debe coincidir con la fecha de inicio del conteo para determinar las anualidades.

La comprensión o entendimiento del concepto de valor actual a lo largo de un lapso de tiempo es útil para determinar conceptos asociados a las siguientes circunstancias:

El descuento de una serie de pagos, cada uno con vencimientos escalonados, a intervalos de tiempo similares y a una tasa igual para cada uno. Aquí se trata de determinar el valor de una obligación sobre un insumo financiero que se requiere.

Una segunda condición es la que asocia el valor actual a un inversión en tiempo a un interés fijo y poder predecir el valor de las anualidades que se pueden recibir. Aquí se trata de recibir un producto financiero, resultado de poner a trabajar el dinero.

Un tercer evento es el asociado a las amortizaciones de cantidades prestadas los cuales se liquidarán en pagos iguales y fijos.

Las aplicaciones de la determinación del Valor Actual se pueden visualizar mejor mediante los siguientes casos prácticos.

Ejemplo.Una empresa financiera tiene en garantía o prenda la factura de un equipo que hemos adquirido con un crédito por el cual debemos cubrir anualmente 7 pagos de $ 500,000 cuyo Monto incluye el valor fraccionado del recurso recibido en su momento y los intereses agregados que se saben son del orden del 15 % anual.¿Cuál es el valor actual de los 7 documentos?

Usemos la fórmula M = C(1+i)n C = M/(1+i)n

1er. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)7 = 187,968.522º. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)6 = 216,163.7983º. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)5 = 248,588.3674º. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)4 = 285,876.625º. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)3 = 328,758.11


VERSIÓN 2007


6º. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)2 = 378,071.837º. Pago C = 500,000 / (1 + 0.15)1 = 434,782.60

Valor actual de los 7 pagarés = $ 2,080,211.845

Sin entrar en un desarrollo más profundo que no es objetivo de este curso de Matemáticas Financieras, el cual está enfocado más en la aplicación comprensible a casos reales. Recomendamos el uso de la siguiente fórmula para resolver de nueva cuenta en problema anterior.

Donde Va = valor actual

a = Anualidades pactadas i = Tasa de interés

n = Número de pagos

Ejemplo. Utilización de la formula simplificada.Aplicando la fórmula Va = a [ 1 – ( 1+ i )-n /i ] sustituyamos los valores anteriores. Va = 500,000 [ 1 – (1+0.15)-7 / 0.15 ] 500,000 [ 1 – 0.375937 / 0.15 ] = 500,000 [ 0.62406296 / 0.15 ]

500,000 [ 4.160419734 ] = 2,080,209.867

Observemos como los resultados son extraordinariamente similares, la diferencia está en el redondeo o el uso de más o menos fracciones decimales.

4.5. RENTA o ANUALIDAD (a). En pagos ordinarios

Cuando se conoce el Va.

De la igualdad despejamos “a” (anualidad)


VERSIÓN 2007

1 – ( 1+i )-n

Va = a ------------------i

1 – ( 1+i )-n

Va = a ------------------i

Va ( i )a = --------------------- 1 – ( 1 + i )-n


Fórmula para obtener la anualidad cuando se conoce el Va

Ejemplo.Se solicita un crédito hipotecario por $ 600,000 el cual se pagará en 10 años a una tasa del 26 % anual con amortizaciones semestrales. Se desea saber cuánto se pagará semestralmente y hacer la tabla de amortización.

Va = 600,000Tasa = 26 % entonces i = 0.26

entonces i base = 0.13 semestraln = 10 años entonces n base = 20 semestres.

600,000 (0.13) a = -------------------------- = 85,412.27

1 – (1 + 0.13)-20

Si ya sabemos el monto de la anualidad y conocemos la tasa de interés podemos determinar la composición del pago (capital + intereses) de los 20 pagos, construyamos una tabla para dar respuesta al resto del problema:

Período Valor Actual(Va)

Interés(Va)(i)

AmortizaciónMonto – (Va)(i)

Pago semestralMonto

1 600 000 78 000 7 412.27 85 412.272 592 587.73 77 036.41 8375.86 85 412.273 584 211.87 75 947.54 9 464.73 85 412.274 574 747.14 74 717.13 10 695.14 85 412.275 564 051.99 73 326.75 12 085.52 85 412.276 551 966.46 71 755.64 13 656.63 85 412.277 538 309.83 69 980.27 15 432 85 412.278 522 877.83 67 974.11 17 438.16 85 412.279 505 439.67 65 707.15 19 705.12 85 412.27

10 485 734.55 63 145.48 22 266.79 85 412.2711 463 467.76 60 250.80 25 161.47 85 412.2712 438 306.29 56 979.81 28 432.46 85 412.2713 409 873.83 53 283.59 32 128.68 85 412.2714 377 745.15 49 106.86 36 305.41 85 412.2715 341 439.74 44 387.15 41 025.12 85 412.2716 300 414.62 39 053.89 46 358.38 85 412.2717 254 056.24 33 027.30 52 384.97 85 412.2718 201 671.27 26 217.25 59 195.02 85 412.2719 142 476.25 18 521.90 66 890.37 85 412.2720 75 585.83 9 826.15 75 586.12 85 412.27

RENTA O ANUALIDAD (a). Cuando se conoce el monto


VERSIÓN 2007


Para su determinación partiremos de casos supuestos en que conocemos el valor actual, el cual es el camino más común para despejar la variable anualidad “a”:

Utilizaremos la fórmula procesada siguiente:

Despejamos “a” y

Queda así:

Vamos a aplicar la fórmula de arriba a la derecha en un ejemplo práctico para revisar como hacer la sustitución de valores, recordemos que conocemos hacia dónde vamos en cuan al objetivo de generar un producto o valor en moneda:

Abrimos una cuenta de inversión con capitalización y buscamos reunir $ 300,000 en un lapso de 4 años. La cuenta produce una renta fija de 15 %. ¿Cuánto debe invertir semestralmente para llegar a su objetivo?

Ma = 300,000n = 5 añosn = 10 mesesi = 15 % anual = 7.5 % semestrala = ¿?

Hacemos las sustituciones respectivas de los valores conocidos y despejamos:

I 0.075 0.075a = Ma ---------------- = 300,000 [ --------------------] = 300,000 ----------------- (1+i)n – 1 (1+0.075) 10 -1 2.061031 -1

= 300,000 (0.0706859) = 21,205

Hay que invertir $ 21,205.77 durante 10 semestres a una tasa del 15 % anual para reunir $ 300,000

Ejemplo 2.


VERSIÓN 2007

(1+i)n – 1 Ma = a --------------- i

ia = Ma --------------- (1+i)n – 1


Se desea formar un capital de $ 280,000 mediante inversiones semestrales al final de cada semestre, durante 3 años, depositando en valores a tasa fija que pagan el 31 %

Ma = 280,000n = 3 añosn = 6 mesesi = 31 % anual = 15.5 % semestrala = ¿?

i 0.155 0.155a = Ma ---------------- = 280,000 [ --------------------] = 280,000 ----------------- (1+i)n – 1 (1+ 0.155) 6 -1 3.224933 -1

a = 280,000 (0.48063) = $ 13,457,643

4.6. PLAZO (n).

Para el desarrollo de este apartado, el estudioso del tema debe recordar los conceptos básicos de algoritmos vistos en el primer capítulo de esta obra. En este caso se trata de obtener el valor de número de plazos a partir del conocimiento debido del valor de la inversión, el monto acumulado y la tasa de interés:

De la fórmula que hemos venido aplicando despejamos el exponente n

( Ma ) i (Ma) i--------- = ( 1 + i )n – 1 . . . . . . . . . . . [ -------- ] + 1 = (1+i)n

a a

Para determinar “n” es necesario obtener el logaritmo tanto de [(Ma) i]/a como del componente (1 + i)

Log [ (Mai/a) + 1]n = --------------------------


VERSIÓN 2007

(1+i)n – 1 Ma = a ------------- = i


Log (1 + i)

Ejemplo.¿Cuánto tiempo será necesario para que con una inversión de $ 7,500,000 al final del cada año, a una tasa de 34.7 % anual se forma un capital de $ 480,000,000

Identifiquemos las variables conocidasMa = 480,000a = 7,500,000i = 0.347n = ¿?

n es el número de plazos anuales, simplificamos la expresión desarrollada.Debemos de tener cuidado de calcular cada logaritmo por sí mismo y luego la hacer la división de la relación entre ambos.

(480,000,000) (0.347)log [ -------------------------------- + 1 ] 7,500,000 log 23.208 1.3656

n = --------------------------------------------------- = --------------- = ---------- = 10.5562 log (1+0.347) log 1.347 0.1293

El resultado es de 10 años y una fracción de 0.5562

Multiplicando 12 meses por 0.5562 obtenemos un valor de 6.6744, es decir, 6 meses y una nueva fracción de 0.6744 mesesMultiplicando 30 días que tiene un mes por o.6744 obtenemos 20.232, es decir,20 días y horas….

Para el caso de las anualidades con pago de obligación al final de cada anualidad (vencidas), la fórmula varía:

Fórmula para determinar el tiempo cuando se conoce el valor actual en anualidades ordinarias.


VERSIÓN 2007

Va ( i )Log 1 – log ( 1 - ------------ )

an = -------------------------------------------- log ( 1 + i )

Log a – [ log a – (Va (i)) ]n = -------------------------------------- log (1+i)


Existe otra fórmula para estos problemas

4.7. TASA DE INTERÉS

Para la determinación de la tasa es necesario conocer los capitales o anualidades a invertir, así como el monto acumulado que se obtendría, los despejes siguientes ayudarán en esta explicación.

La fórmula general siguiente será la base para los despejes buscados

De la fórmula vamos a dejar de un lado las variables ajenas a i…..

Observemos cómo no podemos avanzar más pues no conocemos más que la relación del Monto acumulado (Ma), las anualidades programadas y el número de períodos.

Para el caso de anualidades ordinarias o vencidas si se conoce el monto se pueden seguir 2 caminos, la realización de aproximaciones y las interpolaciones:

Aproximaciones.

Ejemplo. Durante 5 años, se invierten al final de cada período anual $ 50,000 para firmar un monto de $ 300,000 ¿a qué tasa se realizó la inversión)

Ma = 300,000C = a = 50,000


VERSIÓN 2007

(1+i)n – 1 Ma = a ------------- = i

Ma (1+i)n - 1------ = -------------- a i


n = 5,

¿De dónde partir?Si multiplicamos $ 50,000 por 5 años obtenemos $ 250,000, entonces la diferencia entre el monto acumulado y el capital puro es igual a $ 50,000.Si dividimos $ 50,000 entre $ 250,000 obtenemos una tasa global de $ 20 %, dividida en 5 años se convierte en una tasa anual de 4 %, recordemos que esta es una tasa compuesta, entonces la tasa base debe ser mayor al producto de la acumulación de los capitales invertidos y reinvertidos. Por ejemplo 6 %. Iniciamos con esta tasa y definimos la parte de la derecha de la igualdad y la comparamos con la relación de montos y anualidades para buscar:la “primera aproximación”:

Ma (1+i)n – 1 300,000 (1+0.06)5 – 1 ------ = -------------- -------------- = ------------------- a i 50,000 0.06

(1.3382) – 1 6 = -----------------

0.06 6 ≠ 5.6370

Veamos como el resultado de la operación de la derecha es menor, por tanto esa tasa se quedó “corta” se hace una“segunda aproximación”, por ejemplo 8 %

(1 + 0.08)5 – 1 (1.46932) – 1 --------------------- = ------------------- = 5.86

0.08 0.08

Se quedo corta nuevamente, probamos con 10 % ….

(1 + 0.10)5 – 1 1.61051 – 1 -------------------- = -------------------- = 6.1005

0.1 0.1El número podemos deducir que se encuentra entre 8 y 10 %, probemos una “tercera aproximación, por ejemplo 9 %

(1+0.09)5 – 1 ------------------- = (1.538623 – 1) /0.09 = 5.9847

0.09Casi tenemos el número, el cual es escasamente arriba del 9 %

Podemos seguir así hasta encontrarlo, este es de…. 9.14 %


VERSIÓN 2007


Haga esta operación y lo que es mejor, aproxime más aún, a nivel de 6 dígitos fraccionarios.

Interpolaciones.

Tomemos las dos aproximaciones alrededor del 9 %, 9 y 10,

Para 9 % = 5.98471Para 10 % = 6.10510, la diferencia es 0.12039

Construyamos la siguiente relación de diferencias y proporciones:

Tasa Razón Diferencia Razón 10 : 6.1051 :::::::::: 9 + x : 6

( - ) 9 : 5.98471 :::::::::: 9 : 5.98471______________________________________________ 1 0.12039 0 x : 0.1529

Si a 1 = 0.12039Entonces a x = 0.15290

1 x 0.1529 ---------------- = 0.12700 0.12039

Este residuo porcentual se agrega a 9 para obtener una tasa altamente aproximada de 9.12700 %.

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CASA

1. Se desea invertir $ 250,000 mensuales al final de cada mes durante 7 años a una tasa de 12 % anual. Encontrar el monto que se entregará.

2. Se desea invertir $ 500,000 trimestrales al final de cada trimestre durante 4 años a una tasa del 10 % anual, ¿Cuál será el monto por integrar?


VERSIÓN 2007


3. Se desea formar un capital de $ 300,000 mediante inversiones anuales al final de cada mes durante 5 años con depósitos a renta fija de que pagan 14 %, cuál es el monto de las anualidades?.

4. Durante 6 años se invirtió al final de cada año $ 12,000 para formar un monto de $ 100,000, ¿a qué tasa se realizó la inversión?

5. Al final de cada año se invirtieron $ 2,000,000 durante 5 años para formar un monto de 15,000,000, encontrar la tasa a la que se realizó la inversión.

Determinación del Valor Actual Va

6. Por la compra de una casa se firmaron 6 pagarés, cada uno de $ 38,760, los cuales incluyen vencimiento anual e interés del 15 %, si se desea pagar de inmediato, ¿cuál será el valor actual de los 6 documentos

7. Se compró material químico y se firmaron ocho pagarés, cada uno de $ 75,622 y que incluyen vencimiento semestral e intereses de 15 % anual. ¿Cuál será el valor actual de los ocho documentos si existe el deseo de pagar de inmediato?.

8. Se compró maquinaria y se firmaron 17 pagarés cada uno de 53,072 con vencimiento trimestral e intereses de 20 % anual. Se desea pagar de inmediato. Encontrar el valor actual de los 17 documentos.

Determinar la anualidad

9. Se desea hacer una inversión de $ 72,600 al 30.75 % anual para que durante 9 años, proporcione una renta anual, ¿cuál será este importe?

10. Se quiere efectuar un fideicomiso de administración por $ 2,372,120.0 para que durante 25 años, proporcione una anualidad. La inversión generará un rendimiento de 30.29 %. Determine el monto de la anualidad.

11. De una herencia de 365,027,000 se invertirá al 29.63 % anual y se desea que durante 13 semestres se retiren cantidades iguales hasta finiquitarse. De cuánto será cada anualidad?

Determinar tablas de amortización.

12. Se solicita un crédito hipotecario por $ 386,000, el cual se pagará en 10 bimestres a una tasa del 25 % anual con amortizaciones bimestrales. Encontrar el pago bimestral y hacer la tabla de amortización.


VERSIÓN 2007


13. Se solicita un crédito prendario por $ 150,000 el cual se pagará en 1 año a una tasa de 18 % anual con amortizaciones trimestrales. Encontrar la cantidad que debe pagarse trimestralmente y hacer la tabla de amortizaciones.

14. Se solicita un crédito hipotecario por $ 500,000 para pagarse en 15 años a una tasa del 16 % anual con amortizaciones anuales. Determinar el pago anual y realizar la tabla de amortizaciones.

Determinar el tiempo n

15. ¿En cuánto tiempo se pagará un crédito de $ 56,000 con anualidades de 3,000 y un interés de 10 %.

16. ¿Cuánto tiempo se requiere para liquidar un préstamo de $ 40,000 si las mensualidades son de $ 2,500 y el interés es de 15 %.

17. Encontrar en cuánto tiempo se pagará un crédito de $ 2,000,000 si se abonan $ 80,000 cada semestre y el interés es de 28 % anual.

Determinar la tasa i

18. Se desea pagar un crédito de $ 60,000 en un plazo de 5 años con anualidades de 15,000, encontrar la tasa de interés.

19. Se pretende pagar un crédito de $ 100,000 en un plazo de 4 años con pagos de $ 20,000 semestrales, calcular la tasa.

20. Se quiere pagar un crédito de $ 800,000 en un plazo de 6 años con pagos de $ 16,000 mensuales, ¿cuál será la tasa?

CAPITULO 5. ANUALIDADES ANTICIPADAS.

OBJETIVO.

El lector comprenderá la valoración y aplicación de obligaciones en un período de tiempo e identificará las diferencias en la determinación de los valores asociados con respecto a las anualidades vencidas.


VERSIÓN 2007


5.1. INTRODUCCIÓN.

Las anualidades anticipadas tienen una base de valoración diferente en una línea de tiempo. En las anualidades vencidas u ordinarias los montos se determinan con capital y un interés que se obtiene al final del período. Los intereses y los montos se pueden calcular con pagos a partir de una inversión inicial, pudiéndose cobrar al final de cada período una cantidad predeterminada.

En el caso de las anualidades anticipadas, los cálculos se hacen con valores a partir del inicio de cada período, estas cantidades se llaman anualidades.

El siguiente gráfico hace una comparación entre las anualidades ordinarias y las anticipadas.

Otros autores refieren que las anualidades anticipadas son aquellas cuyo pago se vence al principio del ciclo de pagos. Todos aquellos casos que exigen pagos programados al inicio son ejemplos de anualidades anticipadas.


VERSIÓN 2007

ANUALIDADES ORDINARIAS O VENCIDAS Último pago Primer pago (ordinario o vencido)

pago pago pago pago pago pago

--|--------|--------|--------|--------|-----------------------------|---------|----------- 0 1 2 3 4 …………………. n-1 n

ANUALIDADES ANTICIPADAS Primer pago (anticipado) Último pago Pago pago pago pago pago pago

--|--------|--------|--------|--------|-----------------------------|---------|----------- 0 1 2 3 4 …………………. n-1 n

UNIVERSIDAD INSUCO MATEMÁTICAS FINANCIERAS I CAPÍTULO 5. ANUALIDADES ANTICIPADAS

La figura anterior marca para fines de comparación un número n de pagos igual en ambos esquemas. Pero observamos que la anualidad ordinaria no tiene pago en el inicio (0) del período. Sin embargo sí muestra un pago en una fecha que coincide con el último período llamado n.

Las anualidades anticipadas tienen pago al inicio del primer período y el último pago corresponde a la fecha marcada para el inicio del período n-1

5. 2 MONTO Y VALOR ACTUAL CON ANUALIDADES ANTICIPADAS.

5.2.1. Determinación del Monto

Simplificando los sistemas de cálculo de los Montos iniciales (Mi) utilizaremos la siguiente Fórmula para determinar el monto de una serie de anualidades anticipadas:

Fórmula para determinar el monto con anualidades vencidas. Se conoce el Monto

El exponente marca “n+1” ya que a diferencia de las anualidades vencidas los depósitos de las obligaciones se hacen después del período por tanto generan un cálculo de interés menos (n-1). Mientras que las anualidades anticipadas generarán un dividendo desde el inicio (n+1).

Ejemplo.

Se inscribe una inversión muy atractiva que pagará réditos de 40 % semestral, se harán pagos o depósitos programados al principio de cada período semestral y serán de $ 1,500,000. ¿Los montos compuestos por obtener serán de qué valor?

Mi = ¿ ? n = 10 semestresA = $ 1,500,000 i = 0.40 semestral

Utilicemos la fórmula presentada arriba:

(1+0.4)10+1 – (1+0.4) (1.40)11 – 1.40Mi = 1,500,000 ------------------------------- = 1,500,000 -----------------------

0.40 0.40


VERSIÓN 2007

(1+i)n+1 – (1+i)Mi = a ------------------------ i


40.49565 – 1.40 = 1,500,000 ------------------------ = 1,500,000 (39.09565/0.40) 0.40 = $ 146,608,694

5.2.2. Determinación del Valor Actual (Vi)

Para fines prácticos utilizaremos una fórmula estandarizada que se puede consultar en diversos libros.

Fórmula para determinar el Valor Actual Vi en anualidades anticipadas

Ejemplo.

Se tiene un programa de liquidaciones un adeudo mediante 3 pagos de $ 1,500,000 con vencimiento anual al inicio de cada año. El interés acumulado dentro de las anualidades ya pactado es de 30 % anual, si desea anticiparse la liquidación de estos documentos cuánto se desembolsaría: 1-(1+0.3)-3 Vi = 1,500,000 ---------------- (1+0.30) = (1,500,000) (1.81611288) (1.30) 0.30

Vi = 3,541,420

Si quisiéramos desarrollar por pasos la operación abreviada arriba y hacer una comprobación de la misma tendríamos los siguientes cálculos:

1ª. Anualidad anticipada (Pago 1, no genera intereses) $ 1,500,0002º. Anualidad, incluye 1 cálculo de intereses = 1,500,000/1.30 = 1,153,8463ª. Anualidad (incluye dos cálculos acumulados de intereses 1,500,000 = ---------------- = …………………………………………….. 887,574 (1.30)2 ----------------

Suma = $ 3,541,420

Se confirma la efectividad de la fórmula. Los resultados son idénticos.

5.3. RENTA, PLAZO E INTERESES.

5.3.1. Renta (a)


VERSIÓN 2007

1 – (1+i)-n

Vi = a [ ---------------] (1+i) i


Para obtener el valor de las anualidades o las rentas podemos usar la fórmula siguiente siempre y cuando conozcamos el Monto.

Las fórmulas base son las siguientes junto con si derivación, observe el cambio de los componentes “a” y Mi entre los elementos de la igualdad:

Fórmula para determinar la anualidad con anualidades anticipadas, cuando se conoce el monto. Abajo, derivada de la de la derecha

Vamos a desarrollar un ejemplo para aplicar la fórmula de arriba:

Ejemplo.Buscamos generar un producto de $ 10,000,000 en un periodo de 5 años y recurrimos a una intermediaria financiera que integra nuestro capital con otros fondos para acceder al mercado de valores que ofrece una renta fija de 30 %. ¿Cuánto es necesario depositar al principio de cada mes por esos 5 años?

Las variables conocidas:

M = 10,000,000n = 5 años = 60 mesesi = 30 % anual = 2.5 mensual (i = 0.025)

Despejemos “a” 0.025 0.025a = 10,000,000 ------------------------------ = 10,000,000 ------------------------- = (1+0.025)61 – 1.025 4.5097 – 1.025

0.025a = 10,000,000 -------------------- = 71,742.187 3.4847


VERSIÓN 2007

(1+i)n+1 – (1+i)Mi = a ------------------------- i

ia = Mi ------------------------- (1+i)n+1 – (1+i)


Ejemplo.¿Cuánto ser requiere invertir mensualmente al principio de cada mes para acumular un monto de $ 75,000,000 en período de 5 años si nos ofrecen una tasa de interés de 36 % anual?

Las variables conocidas:

M = 75,000,000n = 5 años = 60 mesesi = 36 % anual = 3.0 mensual (i = 0.03)

Despejemos “a” 0.03 0.025a = 75,000,000 ------------------------------ = 75,000,000 ------------------------- = (1+0.03)61 – 1.03 6.0835 – 1.03

0.03a = 10,000,000 -------------------- = 446,574.68 5.038351

5.3.2. Plazo (n).

Nuevamente partimos de la fórmula utilizada para derivar la fórmula de las anualidades:

Recordemos que necesitamos despejar el valor de un exponente y eso implica el manejo de logaritmos, para fines prácticos entregamos la fórmula procesada:

Fórmula para determinar el tiempo n en anualidades anticipadas cuando se conoce el monto.


VERSIÓN 2007

(1+i)n+1 – (1+i)Mi = a ------------------------- i

Mi (i) Log [ --------- + 1] a (1+i)n = ------------------------------ Log (1+i)


Desarrollaremos el siguiente ejemplo para observar el comportamiento de esta fórmula:

Ejemplo. ¿En cuánto tiempo una inversión de $ 78,000 al principio de cada año a la tasa de 18 % anual produce un monto de $ 1,117,505.65?

Identificando las variablesMi = 1,117,505.65a = $ 78,000i = 0.18 anual

(1,117,505.65) (0.18) log [ ------------------------------- + 1 ] (78,000) (1+0.18)n = ------------------------------------------------- = 7 log (1+0.18)

Existe otro formato que involucra despejar n pero se debe conocer el valor actual

Fórmula para determinar el tiempo n en anualidades anticipadas cuando se conoce el valor actual Vi.

Desarrollemos el siguiente ejemplo:Se pretende acumular una inversión capitalizada de $ 1,500,000 con ahorros o inversiones anuales de $ 347,856.17 a una tasa de 8 % anual, ¿En cuántos años lograremos nuestro objetivo?

Hagamos las sustituciones en la fórmula presentada: 347,856.17 (1+0.08) Log [ ------------------------------------------------------------ + 1] (347,856.17) (1+0.08) + (1,500,000) (0.08)


VERSIÓN 2007

a (1+i) Log [ ------------------- + 1] a (1+i) + Vi (i) n = --------------------------------------- Log (1+i)


n = ---------------------------------------------------------------------------- = 5 años log (1+0.08)

5.3.3. Intereses (i)

No existe una formula directa para despejar el interés, así que recurriremos a un procedimiento que utiliza aproximaciones o interpolaciones para lo cual usaremos la siguiente igualdad a reconstruir:

(1 - (1+i)-n

Formula base original: Vi = a [ ------------------ ] (1+i) i

Dejaremos de un lado de la igualdad los términos que no contienen i

( 1- (1+i)-n+1 Vi = a( --------------------- + 1 )

i Vi (1- (1+i)-n+1

------- -1 = ------------------------ a i

Necesariamente hacemos los despejes posibles:

Utilicemos los datos del ejercicio anterior:

Vi = $ 1,500,000a = $ 347,856n = 5 años

1,500,000 1 - (1+ n)-n+1

------------------- - 1 = ----------------------------- = 347,000 i

Despejamos el lado izquierdo y obtenemos 3.3227

En este caso debemos probar con varias tasas de interés hasta lograr el valor “n” que iguala ambos componentes de la ecuación.

Por ejemplo, probemos 5 % = 1 - (1+0.05)-5+1 0.1772

------------------------ = -------------- = 3.5459 0.05 0.05

Probemos 10 % = 1 - (1 + 0.1) -5+1) /0.1 = 3.16 93

INSTITUTO SUPERIOR DE COMPUTACIÓN S. C. VERSIÓN 2007


Al aumentar la tasa disminuye la relación en este caso a 10 % la relación se hace 3.16, mientras que una tasa de 5% genera una relación mayor a la buscada, pues resulta 3.5459, por tanto la relación es inversa, debemos buscar una tasa entre 5 y 10. Si probamos 8 % acertaremos en este problema.


Caso. Anualidades anticipadas cuando se conoce el monto

1. Se pretende hacer una inversión que pagará un interés del 18.605 % semestral y donde se harán depósitos de $ 32,821,000 al principio de cada semestre durante 4 años. Encontrar el monto por obtener.

2. Determinar el monto por obtener de una inversión que pagará intereses del 7.8 % trimestral, con depósitos de $ 5,014,300 al principio de cada trimestre durante tres años.

3. Calcular el monto por obtener de una inversión que pagará intereses del 35.31 % anual, con depósitos mensuales de $ 1,816,520 al principio de cada mes durante 5 años.

4. Calcular el monto por obtener de una inversión que pagará intereses del 35.31 % anual, con depósitos mensuales de $ 1,816,520 al principio de cada mes durante 5 años.

5. ¿Cuánto será necesario depositar al principio de cada mes para integrar un monto de $ 70,626,000 durante 4 años si se paga un interés del 31.30 % anual.


VERSIÓN 2007


6. ¿Cuánto será necesario depositar al principio de cada trimestre para integrar un monto de $ 366,021,000 durante 2 años si se paga un interés del 30.35 % anual?

7. Se requiere integrar un monto de $ 100,000,000 durante 3 años y se pagan intereses de 35.65 % anual, ¿Cuánto se debe depositar mensualmente?

8. ¿En cuánto tiempo se podrá integrar un monto de $ 359,310,000 si al principio de cada semestre se invierten $ 22,943,000 a una tasa del 29.65 % anual?.

9. Calcular el tiempo en el que se podrá integrar un monto de $ 233,888,728 si al principio de cada trimestre se invierten $ 7,095,000 a una tasa del 32.28 %.

10. ¿En cuánto tiempo se podrá integrar un monto de $ 423,784,457 si al principio de cada mes se invierten $ 917,000 a una tasa del 31.73 % anual?

11. ¿Qué tasa hay que pagar a un cliente que desea un monto de $ 93,147,949.62 al invertir cada año $ 3,028,060 durante 7 años?12. Encontrar la tasa que debe pagarse a un cliente que pretende acumular un monto de $ 230,274,449.64 invirtiendo $ 14,173,115 cada semestre en un plazo de 4 años.

13. Calcular la tasa que debe pagarse a un cliente que invierte $ 3,061,425.52 trimestralmente y desea un monto de $ 46,617,923.71 en un plazo de 2 años y 6 meses.

Caso Anualidades anticipadas cuando se conoce el valor actual

14. Se pretende liquidar un adeudo documentado mediante 5 pagarés de $ 70,000,000 cada uno, con vencimiento anual a liquidarse al principio de cada año. El interés acumulado es de 37.25 % anual ¿Cuánto tendrá que pagar en una sola exhibición?

15. Se debe liquidar un adeudo mediante 3 pagarés de $ 33,533 cada uno, con vencimiento anual a liquidarse al principio de cada año. El interés acumulado es de 35.14 % anual. Calcular la cantidad que debe pagarse en una sola exhibición?

16. Un cliente desea liquidar un adeudo de 7 pagarés de $ 15,914,216 cada uno, con vencimiento semestral a liquidarse al principio de cada semestre. El interés acumulado es de 37.45 % anual. ¿Cuánto tendrá que pagar en una sola exhibición?

17. Se desea establecer un fideicomiso en el cual se depositarán $ 1,833,000,000 para recibir durante 14 años anualidades al principio de cada año. Si este importe se invierte al 29.92 % anual, ¿Cuál será la anualidad a recibir?

18. De un fideicomiso de $ 133,521,867 se quieren percibir 20 semestralidades al principio de cada semestre. Si la inversión es al 31.18 % anual, ¿Cuál es la semestralidad por recibir?


VERSIÓN 2007


19. Calcular cuánto durará un fideicomiso de $ 173,410,000 si al principio de cada año otorga $ 53,529,536 al 38.26 % anual.

20. Encontrar el tiempo que durará un fideicomiso $ 467,000,000 si al principio de cada semestre proporciona $ 64,316,248.01 al 31.73 % anual.

21. ¿En cuánto tiempo se agotará un fideicomiso de $ 238,777,000 si con una tasa de 29.99 % proporciona $ 20,549,961.04 al principio de cada trimestre?

22. ¿Qué tasa debe pagarse a un fideicomiso de $ 428,000,000, si al principio de cada año brindará $ 134,111,474.55 durante 7 años?

23. Encontrar la tasa que debe pagarse a un fideicomiso de $ 116,029,200 si al principio de cada semestre dará $ 24,396,962.67 durante 4 años

24. ¿Qué tasa debe pagarse a un fideicomiso de $ 79,617,422, si al principio de cada mes otorga $ 2,824,385.64 durante 8 años?


VERSIÓN 2007


CAPÍTULO 6. ANUALIDADES DIFERIDAS.

OBJETIVO.Al final de este capítulo el estudiante entenderá mejor los términos asociados a ciertas operaciones de crédito en las cuales el traslado de pagos que amparan el valor de una operación (simple o compuesta) es sujeto a operaciones, cálculos o determinaciones en función de actualizaciones en el valor de los recursos involucrados y/o el monto acumulado o resultante. Asumiendo que los pagos de obligaciones o inversiones estarán programadas en períodos posteriores al inicio de las operaciones. Financieras.

6.1. INTRODUCCIÓN

Las anualidades diferidas, son programaciones de obligaciones y beneficios pospuestas más allá de los plazos o tiempos generados por alguna operación financiera. En las anualidades diferidas los plazos de pago suceden después da haber transcurrido un tiempo en que sucedieron pagos periódicos de naturaleza ordinaria.

El transferir hacia el futuro obligaciones que pudiesen ser presentes no exige períodos específicos, el acuerdo puede considerar aplazamientos por meses o años.

Un ejemplo típico es la adquisición de artículos a crédito en los cuales los cobros o pagos se trasladan al futuro.

Por tanto, entendemos que la duración de una anualidad diferida es el tiempo que transcurre entre el comienzo del intervalo de aplazamiento y el final del plazo de la anualidad diferida. Aquí observamos dos etapas;

a) Preliminar. Abarca el período o intervalo de tiempo entre el registro de la operación (tiempo actual) y el inicio del plazo de pagos de las anualidades. También se llama intervalo de aplazamiento.b) Plazo de programación de las anualidades diferidas. Inicia con el momento en que se inicia la cancelación de pagos programados hasta el momento en que se hace la última operación para cubrir el diferimiento.

El siguiente esquema puede complementar de una forma más descriptiva la definición del concepto del diferimiento. Aplicado al caso supuesto de diferir 5 años al pago de una anualidad ordinaria.

En este caso los pagos comienzan al final del quinto año de rango de períodos de la anualidad vencida.


VERSIÓN 2007

UNIVERSIDAD INSUCO MATEMÁTICAS FINANCIERAS I CAPÍTULO 6. ANUALIDADES DIFERIDAS

6.2. MONTO Y VALOR ACTUAL

6.2.1. Monto

La aplicación de las fórmulas para determinar el monto requiere el conocimiento del valor de las anualidades y la tasa de interés de las operaciones así como el período de recuperaciones.

La fórmula para deducir el monto será:

Ejemplo.Calcular el Monto de las anualidades acumuladas a lo largo de 7 años de pago, si la primera anualidad es de $ 6,000 durante y el interés es de 17 % semestral

El monto se puede calcular como el de una anualidad vencida. Por tanto la consideración de si la anualidad es diferida o inmediata carece de interés cuando se requiere determinar el monto.

(1+0.17)14 – 1 (1.17)14 - 1 (9.00745) - 1M = 6,000 ------------------------ = 6,000 ------------------ = 6,000 --------------------- 0.17 0.17 0.17

8.00745 = 6,000 --------------- = 6,000 (47.102672) = 282,616.032

0.17Ejemplo.El Sr. Pérez acuerda pagar su deuda mediante 8 pagos mensuales de $ 3,500. Sin embargo, solo hace 5 pagos consecutivos. Los pagos incluyen Capital e intereses al 21.60 % anual, pero con capitalización mensual. ¿Qué pago único deberá hacer para saldar su deuda total, si este se realiza al final del compromiso original?


VERSIÓN 2007

-|----------|----------|---------|-----------|---------|----------|----------|---------|-----------|-----------|------ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Intervalo de aplazamiento Plazo de anualidades diferidas Comienzo del pago

(1+i)n - 1M = a ----------------- i


Se entiende que los $ 3,500 incluyen la capitalización de intereses y el saldo deudor de capital. Por tanto el valor de cada mensualidad al abonar al capital reduce el saldo para los siguientes pagos, y por tanto si la mensualidad es fija incluye cada vez mayores proporciones de capital.

Resolvamos el problema:

Si la tasa anual es de 21.6 %, entonces la tasa mensual de i = 0.216/12 = 0.0180

Monto total de la deuda precalculada a partir de 8 pagos de 3,500

(1+0.0180)8 – 1 (1.018)8 – 1 M = 3,500 ------------------------ = 3,500 --------------------

0.0180 0.0180

1.1534 – 1 0.1534 = 3,500 ------------------ = 3,500 --------------- = 3,500 (8.5225) = $ 29,828.95 0.0180

Para conocer el valor de lo que en realidad pagó el Sr. Pérez aplicaremos la siguiente fórmula, donde n bis son el número de períodos con pago de interés efectivos.

Fórmula para calcular diferencias en montos contra otros pagos formulados bajo bases similares.

(1+0.018)5 – 1 1.09329 – 1 M = 3,500 --------------------- (1+0.018)3 = 3,500 ------------------ (1.054977) 0.0180 0.0180


VERSIÓN 2007

|-----------|------------|----------|-----------|----------|=====|======|======|----------|--0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pago1 Pago2 Pago3 pago4 Pago5 Pago6 Pago7 Pago8Lo pactado: 3500 3500 3500 3500 3500 3500 3500 3500

Lo ocurrido: 3500 3500 3500 3500 3500

y = Tiempo total –(período de pagos) (1+i)nbis - 1M = a ------------------- (1+i)y

i

Deuda pendiente


3,500 (5.1832) (1.054977) = $ 19,138.56

Ahora sabemos lo que debió haber pagado completa y puntualmente sin fallar en sus compromisos y sabemos cuánto representan sus pagos efectivos.

La diferencia entre ambas cantidades es lo que debe pagar

$ 29,828.95 - $ 19,138.56 = $ 10,690.39

6.2.2. Valor Actual (Vad)

Dentro del grupo de las anualidades diferidas podemos tener pagos vencidos o anticipados. Estos conceptos ya han sido explicados en los capítulos previos, base decir que los pagos diferidos vencidos son los que se hacen al final del período mientras que los anticipados se hacen al inicio de los períodos.

Para efectos de práctica de las operaciones asociadas con los montos y el valor actual haremos referencia a operaciones vencidas, que son las más típicamente encontraremos en las actividades cotidianas, como los créditos.

El siguiente esquema presenta los dos tipos de Valor Actual para las operaciones ordinarias y las anualidades vencidas diferidas.

Hay una fórmula que sintetiza la acumulación de anualidades diferidas y las trae a Valor Presente (Vad) y esta se presenta en el siguiente cuadro:

Fórmula para determinar valores presentes en anualidades vencidas diferidas.


VERSIÓN 2007

Valor actual de las Valor actual de Anualidades Vencidas Anualidades ordinarias

--|---------|----------|----------|---------|----------|----------|----------|----------|----------|------------- D 1 2 3 0 1 2 3 4 n

Vad

1 – (1+i)-n

Vad = a ------------------- (1+i)y (i)

y = Tiempo total – (período de pagos)


La variable y representa la diferencia entre los períodos totales de ciclo de operaciones y el número de períodos a partir del año 0 para iniciar la recuperación de pagos.

El siguiente ejemplo explica por pasos la determinación de Valor Actual a partir de los otros valores o variables conocidas.

Se desea invertir un capital a la tasa de 30 % anual durante 7 años y retirar anualidades de $ 120,000 a partir del vencimiento del cuarto año. ¿Cuál será el capital a invertir?

a = $ 120,000 y = Tiempo total – (período de pagos) = 7-3 n = 4y = 3i = 0.30

Sustituimos en nuestra fórmula y despejamos Vad:

1- (1+0.30)-4 1-0.35012Vad = 120,000 ---------------------- = 120,000 ----------------------- = 118,319.92 (1+0.3)3 (0.3) (2.1970) (0.30)

Desarrolle en casa la demostración de la fórmula llenado los vacíos de la columna C en siguiente cuadro:

Concepto Estado de la operación o saldos

Registro de cálculos,

Actualización de saldos,

Capital Inicial 118 319.9Intereses del 1er. AñoMonto al final del primer añoIntereses del 2º. AñoMonto al final del 2º. Año 199, 960.6Intereses del 3er. AñoMonto al final del 3er. AñoIntereses del 4º. AñoMonto al final del 4º. Año

Menos Pago 1ª. Anualidad (4º.año)Capital después de la 1ª. anualidadIntereses del 5º. AñoMonto al final del 5º. Año 283,323.6

Menos Pago de 2ª. Anualidad (5º. Año)Capital después de 2ª. AnualidadIntereses al final del 6º. AñoMonto final del 6º. Año

Menos Pago de la 3ª. anualidadCapital después de la 3ª. Anualidad


VERSIÓN 2007


Intereses al final del 7º. AñoMonto al final del 7º. Año 120,000

Menos Pago del la 4ª. AnualidadDiferencia 0.0

Otro planteamiento explicativo.

EjemploCalcular el valor actual de una renta semestral de $ 6,000 durante 7 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es de 17 % semestral

Recomendamos construir una gráfica lineal de tiempo para ubicar fechas y pagos:

Hay que tener cuidado de no confundir los tiempos de pago. Cuente cuidadosamente los semestres o número de pagos a partir del primer pago semestral.“…durante 7 años..” equivale a 14 semestres que inician a partir del sexto período (…”dentro de 3 años..”)

Recuerde que:

Para despejar y debe encontrar la diferencia entre el Tiempo Total es el rango total en que se harán operaciones desde el año 0 hasta el último pago mientras que el primer vencimiento es el intervalo de tiempo entre el inicio (0) y el primer vencimiento.

Para este problema y = 19 - 14

Debe tener cuidado de aplicar correctamente la tasa de interés y no confundir con períodos de tiempo. En este problema se hace perfectamente referencia a una tasa de interés semestral.

1- (1+i)-n

Va = a -------------- (1+i)-y

i102

INSTITUTO SUPERIOR DE COMPUTACIÓN S. C. VERSIÓN 2007

Primer pago (p1) Períodos de pago = 14 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12 p13 p14|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|------|-----|-----|-----|------|-----|------|------|------|------|-----|0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Tiempo total de la operación = 19

y = Tiempo total –(período de pagos)


1 – (1+0.17)-14 1- 0.111019Va = 6,000 ----------------------- (1+0.17)-5 = 6,000 -------------------- (0.456111) 0.17 0.17

Simplificamos las divisiones,

= 6,000 (0.88898/0.17)(0.456111)= 6,000(5.22929)(0.456111) = 14,310.84

6.3. RENTA, PLAZO E INTERESES EN LOS PAGOS DIFERIDOS

Esquema que explica el concepto de Anualidad vencida diferida:

6.3.1. Anualidad, con pago al vencimiento:

De la misma fórmula anterior podemos deducir el valor de la anualidad, la fórmula modificada será:

Recuerde que:


VERSIÓN 2007

--|---------|----------|----------|---------|----------|----------|----------|----------|---------|---------|---- D 1 2 3 0 1 2 3 4 6 7

Vad

(Vad) (1+i)yia = --------------------- 1- (1+i)-n

(Vad) ia = ----------------- (1-i)y

1- (1+i)-n

y = Tiempo total –(período de pagos)


Ya con la fórmula preparada resolveremos el siguiente problema y observemos en el mismo el procedimiento de sustitución de las variables por los valores conocidos y despejemos a:

ProblemaSupongamos una inversión de $ 2,000,000 bajo un esquema de producción que genera un rendimiento de 29 % anual, la primera anualidad se recibirá al final del 6 año, siendo que las anualidades se recibirán durante 4 años.

Hagamos un esquema:

Vad = 2,000,000i = 29 %n = 4 añosy = 5 años

2,000,000 (0.29) 580,000 580,000a = ------------------------ (1.29)5 = --------------- (3.5723) = ----------- (3.5723) 1 – (1+0.29)-4 1 – 0.3611 0.6389

a = (907,810.299) (3.5723) = 3,242,970.731

6.3.2. Plazo en los pagos diferidos (n).

Fórmula para obtener el tiempo n en anualidades diferidas.


VERSIÓN 2007

Anualidades = n = 4 . Inicio de pagos a partir del fin del 6º. año 1a 2a 3a 4a |----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|-----0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y = Tiempo total – (período de pagos) 9 – 4

log a – log [a – Vad ((1+i)y i)]n = ----------------------------------------- log (1+i)


Utilizando el problema resuelto despejaremos el valor n, como supuesto desconocido, el planteamiento quedaría así:

Tenemos una inversión de $ 2,000,000 la cual generará dividendos a una tasa de 29 % que será pagado en 4 años a partir del 6º año de iniciarse la inversión. Las anualidades serían de $ 3,243,032.97

a = $ 3,243,032.97Vad = 2,000,000i = 0.29 anualy = 5 años

log 3,243,032.97 – log [3,243,032.97 – 2,000,000(1+0.29)5 (i)]n = -------------------------------------------------------------------------------------- log (1+0.29)

6.5109513 – log [3,243,032.97 – 2,000,000(3.572305)(0.29)]n = ----------------------------------------------------------------------------------- log 1.29

6.5109513 – log (3,243,032.97 – 2,071,936.996) n = ---------------------------------------------------------------------- = 0.11058971

n = 6.5109513 – log (1,171,095.974) 6.5109513 – 6.068592 --------------------------------------------- = --------------------------------- 0.11058 0.11058

0.4423588n = --------------------- = 4.000025 0.11058971

Ejemplo de comprobación:

Concepto o Estado de la operación

Registro de cálculos,

Actualización de saldos,

Capital inicial 2,000,000.00Intereses del 1er. año 580,000.00Monto Final del 1er. año 2,580,000.00Intereses del 2o. año 748,200.00Monto final del 2o. año 3,328,200.00Intereses del 3er. año 965,178.00


VERSIÓN 2007


Monto al final del 3er año 4,293,378.00Intereses del 4o. año 1,245,079.62Monto al final del 4o. año 5,538,457.62Intereses del 5o. año 1,606,152.71Monto final del 5o. año 7,144,610.33Intereses del 6º. año 2,071937.00Monto al final del 6o. Año 9,216,547.33

Menos Pago de Primera anualidad (6o. Año)

3,243,032.97

Capital al inicio del 7o. año 5,973,514.16Intereses del 7o. Año 1,732,319.16Monto al final del 7o. año 7,705,833.32

Menos Pago del Segunda anualidad (7o. Año)

3,243,032.97

Capital al inicio del 8o. año 4,462,800.35Intereses del 8o. Año 1,294,212.10Monto al final del 8o. Año 5,757,012.45

Menos Pago de la 3a. Anualidad en 8o. Año

3,243,032.97

Capital al inicio del 9o. año 2,513,979.48Intereses del 9o. Año 729,054.05Monto al final 3,243,032.00

Menos Pago de 4a. Anualidad 3,243,032Saldo de Capital del 10o. año 0.00

6.3.3. Intereses en los pagos diferidos.

A partir de la fórmula de Valor Actual diferido (Vad) podemos derivar una variable en la que dejamos del un lado de la ecuación las variables ajenas a la tasa y del otro aquellos términos que están integrados a la tasa de interés quedando la relación como sigue:

Para encontrar la tasa se requiere hacer aproximaciones sucesivas y/o concretar el resultado a partir de interpolaciones hasta lograr igualar ambos lados de la fórmula modificada de la derecha.

El siguiente ejemplo es una variante de las fórmulas previas aplicadas a un caso concreto:

Se contrató un crédito de $ 25,000, se hacen 5 pagos mensuales, de $ 7,000


VERSIÓN 2007

1 – (1+i)-n

Vad = a ------------------- (1+i)y (i)

Vad 1- (1+i) -n 1------ = [ --------------] [ ---------] a i (1+i)y


Comenzando 8 meses después de contratar el crédito, ¿que tasa de interés se cobró? .Hagamos una gráfica lineal descriptiva de las operaciones:

El componente derecho de la igualdad puede simplificarse a la forma:

Hagamos las sustituciones respectivas:

25,000 1 – (1+i)-5 ----------- = ---------------- = 3.5714285717,000 i

Hacemos pruebas con diferentes valores para i hasta encontrar dos valores cercanos por arriba y por debajo de la relación 3.57

Por ejemplo, probamos y encontramos que la siguiente tabla de relaciones cuando variamos i como sigue:

Valor Relación


VERSIÓN 2007

25,000 = Inversión inicial Pagos = n = 5 Inicio de pagos a partir del fin del 6º. Año

1o 2o 3er 4o 5o |-------|-------|------|------|------|-- ----|-------|-------|-------|--------|--------|-------|---- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12 = Tiempo total de la operación

Vad 1- (1+i) -n 1------ = [ --------------] [ ---------] a i (1+i)y

Vad 1- (1+i) -n

------ = [ --------------] a i (1+i)y


i resultante0.05 3.07680.04 3.38300.03 3.7237

0.035 3.54870.034 3.5830

De los datos generados deducimos que cuando la tasa baja de 5 % a 4 % la relación sube de 3.0768 a 3.3830, entonces nos invita a probar una tasa aun menor, en este caso 3 %, el resultado se pasa de 3.57 y vemos que la relación se va hasta 3.7237.

Por tanto, probamos tasas menores a 4 % pero mayores a 3 %. Hacemos una prueba con 3.5 % por ejemplo y nos acercamos a 3.5487. Por tanto es un valor entre 3.5 % y 3 %. Hacemos una 5a. prueba con 3.4 % y obtenemos una relación ligeramente mayo de 3.5830.

Con estos valores hacemos una última operación utilizando un esquema de proporcionalidad:

Intereses Relaciones .

- 0.0115975

i – 0.034 3.5714284571 – 3.583026 Se hacen las restas-------------------- = ---------------------------------------- posibles.3.035 – 0.034 3.548790 – 3.583026

0.001 - 0.034236

i – 0.034 – 0.0115975 i – 0.034-------------- = ------------------- ------------ = 0.338752 0.001 – 0.034236 0.001

Despejamos i i – 0.034 = (0.338752) (0.001)i – 0.034 = 0.000338751i = 0.000338751 + 0.034

i = 0.3443, o sea 3.4338 %


VERSIÓN 2007

Tasa buscada

0.034 i 0.035 ------|-------------------------------------------|---------------------------------------|------ 3.583026 3.57142857 3.548790


El Ing. Francisco Hernández adquirió a crédito una casa el 16 de mayo, además de los pagos mensuales contrató obligaciones para cubrir el enganche de $ 45,000 en partes. Dio un anticipo de $ 15,000 cuando firmó contrato por la casa y tres pagarés por $ 11,000 para liquidarlos mensualmente y tres meses después. Estos tres pagos incluyen el saldo pendiente del enganche de la casa e intereses capitalizados mensualmente por el financiamiento del mismo a una tasa que deseamos determinar

Hagamos una gráfica lineal descriptiva de las operaciones:

Con la información disponible deducimos el valor y

Hacemos las sustituciones requeridas y generamos la relación para buscar la proporción que nos lleve a despejar por aproximación i:

30,000 1 – (1+ i)-3

------------ = ----------------- = 2.727272 11,000 i (1+ i)2

Al hacer sustituciones sucesivas obtenemos la siguiente tabla de resultados

Valori

Relación resultante

0.025 2.7184040.020 2.7718980.024 2.7289960.0245 2.723693

0.03 2.666237


VERSIÓN 2007

45,000 = Obligación inicial - 15,000 = Anticipo

30,000 = Saldo -11,000 -11,000 -11,000

Mayo Junio Agosto Septiembre Octubre Noviembre |-----------------|----------------|------------------|-----------------|----------------|-------- 0 1 2 3 4 5 Pagaré 1 Pagaré 2 pagaré 3

Vad 1- (1+i) -n

------ = [ --------------] a i (1+i)yy = Tiempo total – (período de pagos)

5 – 3


Observemos que la tasa de interés entre 0.0245 arroja una relación de 2.7236 mientras que la tasa 2.4 genera una relación de 2.7289. La primera es mayor a la relación 2.7272 asociada a la tasa i buscada mientras que la tasa 2.45 es menor. Se deduce que es entre estas dos tasa que está el valor i buscado.

Con la siguiente gráfica lineal representaremos el rango de tasas y relaciones que cubre la tasa i esperada.

Con estos valores hacemos una última operación utilizando un esquema de proporcionalidad:

Intereses Relaciones . - 0.001724

i – 0.024 2,72727272 – 2.728996 Se hacen las restas--------------------- = ---------------------------------------- posibles.0.0245 – 0.024 2.723693 – 2.728996+

0.0005 - 0.005303

Se simplifican las proporciones:

i – 0.024 – 0.001724 i – 0.024-------------- = ------------------- -------------- = 0.325099 0.0005 – 0.005303 0.005

Despejamos i i – 0.024 = (0.325099) (0.005)i – 0.024 = 0.00162549i = 0.00162549 + .024

i = 0.02562 o sea 2.562 %


VERSIÓN 2007

Tasa buscada

0.024 i 0.0245 ------|-------------------------------------------|---------------------------------------|------ 2.728996 2.727272 2.723693



1.- Una persona que cumple hoy 33 años desea depositar en inversiones una cantidad a una tasa de 18 % capitalizable mensualmente que le permita recibir $ 10,000 mensualmente por 20 años a partir del día que cumpla 40 años., ¿Cuánto debe depositar?

2. A que cantidad anual pagada por anticipado equivalen tres pagos bimestrales de $ 2,000 realizadas al principio de cada uno de los últimos 3 bimestres del año si el interés es de 14.4 % anual capitalizable bimestralmente.

3. El 2 de mayo del año 1 se depositan $ 15,000, y a partir del 2 de noviembre del año 3 y hasta el 2 de mayo del año 5 se depositan cada 6 meses $ 8,000 en una cuenta que paga 8 % semestral, cuánto se habrá acumulado al 2 de noviembre del año 10?

4. ¿Qué cantidad pagada durante cada uno de 5 trimestres es equivalente a $ 5,000 pagados 21 meses antes de realizar el primer pago trimestral, si el interés es de 16.9 % capitalizable trimestralmente.

5. Un automóvil que vale $ 139,500 se vende mediante un enganche de 50 % y el saldo mediante abonos mensuales de $ 3,750 comenzando 6 meses después de la compra. Si el interés es de 18 % capitalizable mensualmente, ¿cuántos abonos mensuales deben hacerse? Desarrolle la solución matemática y construya la solución práctica.

6. ¿Cuántos depósitos de $ 2,500 realizados al principio de cada semestre son equivalentes a un monto de $ 34,725.42 que se retira 3 semestres después de realizado el último depósito si el interés es de 10 % semestral.

7. Una persona debe pagar $ 11,000 dentro de 6 meses. ¿Con cuántos pagos bimestrales de $ 2,187.63 podría liquidar su adeudo si el interés es de 19.76 % convertible cada 2 meses, y realiza el primer pago dentro de 12 meses?

8. Para pagar $ 6,000 que vencían el 14 de julio, el Sr. Martínez abona 5 mensualidades de $ 1,349.43, realizando la última el 14 de enero del siguiente año. ¿Cuánto pagó de interés mensual?

9. Se pretende invertir un capital a la tasa de 25 % anual durante 7 años, y retirar anualidades de $ 3,825,530 a partir del vencimiento del 4 año. ¿Cuál será el capital por invertir?Datos: a = 10,000,000, n = 4, y = 3, i = 0.25

10. Se desea invertir un capital a la tasa del 27 % anual durante 5 años y retirar anualidades de $ 28,498,000 a partir del vencimiento del tercer año. Encontrar el capital por invertir.


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Datos: a = 28,498,000 n = 3 y = 2 i = 0.27

11. Se requiere invertir un capital a la tasa de 29 % anual durante 4 años y retirar anualidades de $ 17,700,000 a partir del vencimiento del tercer año. ¿Cuál será el capital por invertir?.Datos: a = 17,700,000 n = 2 y = 2 i = 0.29

12. Encontrar la anualidad que se recibirá al final de cada año, durante 4 años, si se han invertido $ 20,000,000 al 29 % anual y se desea recibir la primera anualidad al final del 4o. añoDatos: Vad = 20,000,000 i = 0.29 n = 4 años y = 3 años

13.¿Cuál sería la anualidad que se recibirá al final de cada año, durante 4 años, si se han invertido $ 45,000,000 a una tasa de 24 % anual y se desea recibir la primera anualidad al final del cuarto año?Datos: Vad = 45,000,000 i = 0.24 n = 4 años y = 3 años

14. Determinar la anualidad que se recibirá al final de cada año, durante 3 años, si se han invertido $ 62,000,000 a una tasa de 23 % anual y se desea recibir la primera anualidad al final del tercer año.Datos: Vad = 62,000,000 i = 0.23 n = 3 años y = 2 años


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BIBLIOGRAFÍA

Ayres, Frank, MATEMÁTICAS FINANCIERAS, 1a. Edición, Mc Graw Hill, México, 1988

Budnick, Frank S., CURSO BREVE DE MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES, Tercera Edición, Mc. Graw Hill, México, 1995

Díaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez, Víctor M., MATEMÁTICAS FINANCIERAS, Tercera Edición, Mc. Graw Hill, México, 1999

Toledano y Castillo, Mario A. e Himmelstine Lilia E., MATEMÁTICAS FINANCIERAS , 16ª. Reimpresión, C.E.C.S.A., México, 1981-2004 Zendejas Núñez, Hugo M., MATEMÁTICAS FINANCIERAS, 2a. Edición, Ed. Trillas, México, 1993


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Manual de Matematicas Financieras

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