INFERENCIA ESTADISTICA (CHI-CUADRADO) CHI-CUADRADO … · INFERENCIA ESTADISTICA (CHI-CUADRADO)...

INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA (CHI(CHI--CUADRADO)CUADRADO)

CHI-CUADRADO

Variable Aleatoria [N(µ, σ) ] xi

Tipificando

Muestras (N=1)

σµ−

= ixz

z2

21

2i2 xz χ=

σµ−

=


CHI-CUADRADO

Variable Aleatoria [N(µ, σ) ] x1 , x2

Tipificando

Muestras (N=2)

σµ−

=σµ−

= 22

11

xz ;xz

z2

22

22

212

221

2 xxzzz χ=

σµ−

+

σµ−

=+=


CHI-CUADRADO

Variable Aleatoria [N(µ, σ) ] x1 ,..., xn

Tipificando

Muestras (N=n)

σµ−

=σµ−

= nn

11

xz ,.....,xz

z2

2n

2n

212

n21

2 x ......xz....zz χ=

σµ−

++

σµ−

=++=


SOLUCION ESQUEMATICA DE UN TEST DE χ2

* Se analizan las frecuencias.

* Estadístico, diferencia entre frecuencias obser-vadas y teóricas.

* Si las diferencias son grandes se rechazará lahipótesis y si es pequeña no se podrá rechazar.


SOLUCION ESQUEMATICA DE UN TEST DE χ2

* Los límites de aceptación o rechazo, vendránestablecidos por los grados de libertad y elnivel de significación que determinemos.

* La única diferencia, para cada tipo de problema,estribará en el tipo de hipótesis nula establecida,y en las conclusiones.


CONDICIONES PARA APLICAR UN TEST DE χ2

* Ninguna frecuencia teórica puede sermenor de 1.

* No más del 20% de ellas inferiores a 5.


SOLUCIONES PARA EVITAR ESTAS SITUACIONES

* En el caso de tablas con más de dosmodalidades; podemos unir claseso aumentar el tamaño de la muestra.

* En el caso de tablas de dos por dosTest exacto de Fisher.


INDEPENDENCIA EN TABLAS DE CONTINGENCIADE 2X2

INDEPENDENCIA

* Se dice que dos sucesos son independien-tes estocásticamente, cuando la ocurrenciade uno de ellos, no modifica la probabilidadde ocurrencia del otro.



O11

VARIABLE ACATEGORIA 1 TOTALCATEGORIA 2

TOTAL

CATEGORIA 1

CATEGORIA 2

VARIABLE B

O12 O1.

O21 O22 O2.

O.1 O.2 N=O..

N O

NOO

E j..iij

×=N

OOE 1..111

×=

.1

E11O1.



O11


TOTAL

CATEGORIA 1

CATEGORIA 2

VARIABLE B

O12 O1.

O21 O22 O2.

O.1 O.2 N=O..

E11 E12

E21 E22

NOE ijij =∑=∑



FINALIDADPretendemos comprobar, si dos o más característicascualitativas están relacionada.

HIPOTESISH0 : Los caracteres A y B son independientes o

Los caracteres A y B no están relacionados oLos caracteres A y B no están asociados

H0 : Los caracteres A y B son dependientes oLos caracteres A y B están relacionados oLos caracteres A y B están asociados



TIPO DE DISTRIBUCIONEs la distribución χ2 .

GRADOS DE LIBERTAD

Grados de libertad = (f - 1) (c - 1)

f : Número de filas.

c : Número de columnas.



O11


TOTAL

CATEGORIA 1

CATEGORIA 2

VARIABLE B

O12 O1.

O21 O22 O2.

O.1 O.2 N=O..

E11 E12

E21 E22

ESTADISTICO DE PRUEBA( )

∑χ=

−=

2

1j,i ij

2ijij2

EEO


INDEPENDENCIA EN TABLAS DE CONTINGENCIADE 2X2 (Método Directo)

a


TOTAL

CATEGORIA 1

CATEGORIA 2

VARIABLE B

b a+b

c d c+d

a+c b+d N

ESTADISTICO DE PRUEBA

)ba)(dc)(db)(ca(cb- ad N 2

2++++

=χ


VARIABLE AC1 C2 ..... Cj ..... CS TOTAL

N=O..TOTAL

VARIABLE B

C1

C2...

Ci...

Cr

O1.

O2....

Oi....

Or.

O.1 O.2 ..... O.j ..... O.s

O11 O12 ..... O1j ..... O1s

O21 O22 ..... O2j ..... O2s

Oi1 Oi2 ..... Oij ..... Ois

Or1 Or2 ..... Orj ..... Ors

INDEPENDENCIA EN TABLAS DE CONTINGENCIADE r x s

NOO

E j..iij

×=

N ON

OOE 1..111

×=

.1

E11O1.


VARIABLE AC1 C2 ..... Cj ..... CS TOTAL

N=O..TOTAL

VARIABLE B

C1

C2...

Ci...

Cr

O1.

O2....

Oi....

Or.

O.1 O.2 ..... O.j ..... O.s

E11 E12 ..... E1j ..... E1s

E21 E22 ..... E2j ..... E2s

Ei1 Ei2 ..... Eij ..... Eis

Er1 Er2 ..... Erj ..... Ers


NOO

E j..iij

×=

N ON

OOE 1..111

×=

.1

E11O1.



NOE ijij =∑=∑


( )∑χ=

−=

2

1j,i ij

2ijij2

EEO


INDEPENDENCIA EN TABLAS DE CONTINGENCIACORRECION DE YATES

( )∑χ=

−−=

rs

1j,i ij

2ijij2

E5'0EO

Tablas de r x s

Tablas de 2 x 2

( )∑χ=

−−=

2

1j,i ij

2ijij2

E5'0EO

)ba)(dc)(db)(ca(2Ncb- ad N

2

2++++

−

=χ


INDEPENDENCIA EN TABLAS DE CONTINGENCIA

REGLA DE DECISION

2);1c)(1f(

2calculadoSi α−−χ<χ No se rechaza la H0

2);1c)(1f(

2calculadoSi α−−χ>χ Se rechaza la H0


RegiónAceptación Región

Rechazo

2.l.g)1c)(1f,( −−αχ

INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA (CHI(CHI--CUADRADO)CUADRADO)D I S T R I B U C I O N χ 2

n . 9 9 . 9 8 . 9 5 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 5 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 . 0 5 . 0 2 .

1 . 0 3 1 5 7 . 0 3 6 2 8 . 0 0 3 9 3 . 0 1 5 8 . 0 6 4 2 . 1 4 8 . 4 5 5 1 . 0 7 4 1 . 6 4 2 2 . 7 0 6 3 . 8 4 1 5 . 4 1 2 6 . 62 . 0 2 0 1 . 0 4 0 4 . 1 0 3 . 2 1 1 . 4 4 6 . 7 1 3 1 . 3 8 6 2 . 4 0 8 3 . 2 1 9 4 . 6 0 5 5 . 9 9 1 7 . 8 2 4 9 . 23 . 1 1 5 . 1 8 5 . 3 5 2 . 5 8 4 1 . 0 0 5 1 . 4 1 4 2 . 3 6 6 3 . 6 6 5 4 . 6 4 1 6 . 2 5 1 7 . 8 1 5 9 . 8 3 7 1 1 . 34 2 9 7 . 4 2 9 . 7 1 1 1 . 0 6 4 1 . 6 4 9 2 . 1 9 5 3 . 3 5 7 4 . 8 7 8 5 . 9 8 9 7 . 7 7 9 9 . 4 8 8 1 1 . 6 6 8 1 3 . 2

5 . 5 5 4 . 7 5 2 1 . 1 4 5 1 . 6 1 0 2 . 3 4 3 3 . 0 0 0 4 . 3 5 1 6 . 0 6 4 7 . 2 8 9 9 . 2 3 6 1 1 . 0 7 0 1 3 . 3 8 8 1 5 . 06 . 8 7 2 1 . 1 3 4 1 . 6 3 5 2 . 2 0 4 3 . 0 7 0 3 . 8 2 8 5 . 3 4 8 7 . 2 3 1 8 . 5 5 8 1 0 . 6 4 5 1 2 . 5 9 2 1 5 . 0 3 3 1 6 . 87 1 . 2 3 9 1 . 5 6 4 2 . 1 6 7 2 . 8 3 3 3 . 8 2 2 4 . 6 7 1 6 . 3 4 6 8 . 3 8 3 9 . 8 0 3 1 2 . 0 1 7 1 4 . 0 6 7 1 6 . 6 2 2 1 8 . 48 1 . 6 4 6 2 . 0 3 1 2 . 7 3 3 3 . 4 9 0 4 . 5 9 4 5 . 5 2 7 7 . 3 4 4 9 . 5 2 4 1 1 . 0 3 0 1 3 . 3 6 2 1 5 . 5 0 7 1 8 . 1 6 8 2 0 . 09 2 . 0 8 8 2 . 5 3 2 3 . 3 2 5 4 . 1 6 8 5 . 3 8 0 6 . 3 9 3 8 . 3 4 3 1 0 . 6 5 6 1 2 . 2 4 2 1 4 . 6 8 4 1 6 . 9 1 9 1 9 . 6 7 9 2 1 . 6

1 0 2 . 5 5 8 3 . 0 5 9 3 . 9 4 0 4 . 8 6 5 6 . 1 7 9 7 . 2 6 7 9 . 3 4 2 1 1 . 7 8 1 1 3 . 4 4 2 1 5 . 9 8 7 1 8 . 3 0 7 2 1 . 1 6 1 2 3 . 2

1 1 3 . 0 5 3 3 . 6 0 9 4 . 5 7 5 5 . 5 7 8 6 . 9 8 9 8 . 1 4 8 1 0 . 3 4 1 1 2 . 8 9 9 1 4 . 6 3 1 1 7 . 2 7 5 1 9 . 6 7 5 2 2 . 6 1 8 2 4 . 71 2 3 . 5 7 1 4 . 1 7 8 5 . 2 2 6 6 . 3 0 4 7 . 8 0 7 9 . 0 3 4 1 1 . 3 4 0 1 4 . 0 1 1 1 5 . 8 1 2 1 8 . 5 4 9 2 1 . 0 2 6 2 4 . 0 5 4 2 6 . 21 3 4 . 1 0 7 4 . 7 6 5 5 . 8 9 2 7 . 0 4 2 8 . 6 3 4 9 . 9 2 6 1 2 . 3 4 0 1 5 . 1 1 9 1 6 . 9 8 5 1 9 . 8 1 2 2 2 . 3 6 2 2 5 . 4 7 2 2 7 . 61 4 4 . 6 6 0 5 . 3 6 8 6 . 5 7 1 7 . 7 9 0 9 . 4 6 7 1 0 . 8 2 1 1 3 . 3 3 9 1 6 . 2 2 2 1 8 . 1 5 1 2 1 . 0 6 4 2 3 . 6 8 5 2 6 . 8 7 3 2 9 . 11 5 5 . 2 2 9 5 . 9 8 5 7 . 2 6 1 8 . 5 4 7 1 0 . 3 0 7 1 1 . 7 2 1 1 4 . 3 3 9 1 7 . 3 2 2 1 9 . 3 1 1 2 2 . 3 0 7 2 4 . 9 9 6 2 8 . 2 5 9 3 0 . 5

1 6 5 . 8 1 2 6 . 6 1 4 7 . 9 6 2 9 . 3 1 2 1 1 . 1 5 2 1 2 . 6 2 4 1 5 . 3 3 8 1 8 . 4 1 8 2 0 . 4 6 5 2 3 . 5 4 2 2 6 . 2 9 6 2 9 . 6 3 3 3 2 . 01 7 6 . 4 0 8 7 . 2 5 5 8 . 6 7 2 1 0 . 0 8 5 1 2 . 0 0 2 1 3 . 5 3 1 1 6 . 3 3 8 1 9 . 5 1 1 2 1 . 6 1 5 2 4 . 7 6 9 2 7 . 5 8 7 3 0 . 9 9 5 3 3 . 41 8 7 . 0 1 5 7 . 9 0 6 9 . 3 9 0 1 0 . 8 6 5 1 2 . 8 5 7 1 4 . 4 4 0 1 7 . 3 3 8 2 0 . 6 0 1 2 2 . 7 6 0 2 5 . 9 8 9 2 8 . 8 6 9 3 2 . 3 4 6 3 4 . 81 9 7 . 6 3 3 8 . 5 6 7 1 0 . 1 1 7 1 1 . 6 5 1 1 3 . 7 1 6 1 5 . 3 5 2 1 8 . 3 3 8 2 1 . 6 8 9 2 3 . 9 0 0 2 7 . 2 0 4 3 0 . 1 4 4 3 3 . 6 8 7 3 6 . 12 0 8 . 2 6 0 9 . 2 3 7 1 0 . 8 5 1 1 2 . 4 4 3 1 4 . 5 7 8 1 6 . 2 6 6 1 9 . 3 3 7 2 2 . 7 7 5 2 5 . 0 3 8 2 8 . 4 1 2 3 1 . 4 1 0 3 5 . 0 2 0 3 7 . 5

2 1 8 . 8 9 7 9 . 9 1 5 1 1 . 5 9 5 1 3 . 2 4 0 1 5 . 4 4 5 1 7 . 1 8 2 2 0 . 3 3 7 2 3 . 8 5 8 2 6 . 1 7 1 2 9 . 6 1 5 3 2 . 6 7 1 3 6 . 3 4 3 3 8 . 92 2 9 . 5 4 2 1 0 . 6 0 0 1 2 . 3 3 8 1 4 . 0 4 1 1 6 . 3 1 4 1 8 . 1 0 1 2 1 . 3 3 7 2 4 . 9 3 9 2 7 . 3 0 1 3 0 . 8 1 3 3 3 . 9 2 4 3 7 . 6 5 9 4 0 . 22 3 1 0 . 1 9 6 1 1 . 2 9 3 1 3 . 0 9 1 1 4 . 8 4 8 1 7 . 1 8 7 1 9 . 0 2 1 2 2 . 3 3 7 2 6 . 0 1 8 2 8 . 4 2 9 3 2 . 0 0 7 3 5 . 1 7 2 3 8 . 9 6 8 4 1 . 62 4 1 0 . 8 5 6 1 1 . 9 9 2 1 3 . 8 4 8 1 5 . 6 5 9 1 8 . 0 6 2 1 9 . 9 4 3 2 3 . 3 3 7 2 7 . 0 9 6 2 9 . 5 5 3 3 3 . 1 9 6 3 6 . 4 1 5 4 0 . 2 7 0 4 2 . 92 5 1 1 . 5 2 4 1 2 . 6 9 7 1 4 . 6 1 1 1 6 . 4 7 3 1 8 . 9 4 0 2 0 . 8 6 7 2 4 . 3 3 7 2 8 . 1 7 2 3 0 . 6 7 5 3 4 . 3 8 2 3 7 . 6 5 2 4 1 . 5 6 6 4 4 . 3

2 6 1 2 . 1 9 8 1 3 . 4 0 9 1 5 . 3 7 9 1 7 . 2 9 2 1 9 . 8 2 0 2 1 . 7 9 2 2 5 . 3 3 6 2 9 . 2 4 6 3 1 . 7 9 5 3 5 . 5 6 3 3 8 . 8 8 5 4 2 . 8 5 6 4 5 . 62 7 1 2 . 8 7 9 1 4 . 1 2 5 1 6 . 1 5 1 1 8 . 1 1 4 2 0 . 7 0 3 2 2 . 7 1 9 2 6 . 3 3 6 3 0 . 3 1 9 3 2 . 9 1 2 3 6 . 7 4 1 4 0 . 1 1 3 4 4 . 1 4 0 4 6 . 92 8 1 3 . 5 6 5 1 4 . 8 4 7 1 6 . 9 2 8 1 8 . 9 3 9 2 1 . 5 8 8 2 3 . 6 4 7 2 7 . 3 3 6 3 1 . 3 9 1 3 4 . 0 2 7 3 7 . 9 1 6 4 1 . 3 3 7 4 5 . 4 1 9 4 8 . 22 9 1 4 . 2 5 6 1 5 . 5 7 4 1 7 . 7 0 8 1 9 . 7 6 8 2 2 . 4 7 5 2 4 . 5 7 7 2 8 . 3 3 6 3 2 . 4 6 1 3 5 . 1 3 9 3 9 . 0 8 7 4 2 . 5 5 7 4 6 . 6 9 3 4 9 . 53 0 1 4 . 9 5 3 1 6 . 3 0 6 1 8 . 4 9 3 2 0 . 5 9 9 2 3 . 3 6 4 2 5 . 5 0 8 2 9 . 3 3 6 3 3 . 5 3 0 3 6 . 2 5 0 4 0 . 2 5 6 4 3 . 7 7 3 4 7 . 9 6 2 5 0 . 8

3 2 1 6 . 3 6 1 1 7 . 7 8 3 2 0 . 0 7 2 2 2 . 2 7 1 2 5 . 1 4 8 2 7 . 3 7 3 3 1 . 3 3 6 3 5 . 6 6 5 3 8 . 4 6 6 4 2 . 5 8 5 4 6 . 1 9 4 5 0 . 4 8 7 5 3 . 43 4 1 7 . 7 8 9 1 9 . 2 7 5 2 1 . 6 6 4 2 3 . 9 5 2 2 6 . 9 3 8 2 9 . 2 4 2 3 3 . 3 3 6 3 7 . 7 9 5 4 0 . 6 7 6 4 4 . 9 0 3 4 8 . 6 0 2 5 2 . 9 9 5 5 6 . 03 6 1 9 . 2 3 3 2 0 . 7 8 3 2 3 . 2 6 9 2 5 . 6 4 3 2 8 . 7 3 5 3 1 . 1 1 5 3 5 . 3 3 6 3 9 . 9 2 2 4 2 . 8 7 9 4 7 . 2 1 2 5 0 . 9 9 9 5 5 . 4 8 9 5 8 . 63 8 2 0 . 6 9 1 2 2 . 3 0 4 2 4 . 8 8 4 2 7 . 3 4 3 3 0 . 5 3 7 3 2 . 9 9 2 3 7 . 3 3 5 4 2 . 0 4 5 4 5 . 0 7 6 4 9 . 5 1 3 5 3 . 3 8 4 5 7 . 9 6 9 6 1 . 14 0 2 2 . 1 6 4 2 3 . 8 3 8 2 6 . 5 0 9 2 9 . 0 5 1 3 2 . 3 4 5 3 4 . 8 7 2 3 9 . 3 3 5 4 4 . 1 6 5 4 7 . 2 6 9 5 1 . 8 0 5 5 5 . 7 5 9 6 0 . 4 3 6 6 3 . 6

4 2 2 3 . 6 5 0 2 5 . 3 8 3 2 8 . 1 4 4 3 0 . 7 6 5 3 4 . 1 5 7 3 6 . 7 5 5 4 1 . 3 3 5 4 6 . 2 8 2 4 9 . 4 5 6 5 4 . 0 9 0 5 8 . 1 2 4 6 2 . 8 9 2 6 6 . 24 4 2 5 . 1 4 8 2 6 . 9 3 9 2 9 . 7 8 7 3 2 . 4 8 7 3 5 . 9 7 4 3 8 . 6 4 1 4 3 . 3 3 5 4 8 . 3 9 6 5 1 . 6 3 9 5 6 . 3 6 9 6 0 . 4 8 1 6 5 . 3 3 7 6 8 . 74 6 2 6 . 6 5 7 2 8 . 5 0 4 3 1 . 4 3 9 3 4 . 2 1 5 3 7 . 7 9 5 4 0 . 5 2 9 4 5 . 3 3 5 5 0 . 5 0 7 5 3 . 8 1 8 5 8 . 6 4 1 6 2 . 8 3 0 6 7 . 7 7 1 7 1 . 24 8 2 8 . 1 7 7 3 0 . 0 8 0 3 3 . 0 9 8 3 5 . 9 4 9 3 9 . 6 2 1 4 2 . 4 2 0 4 7 . 3 3 5 5 2 . 6 1 6 5 5 . 9 9 3 6 0 . 9 0 7 6 5 . 1 7 1 7 0 . 1 9 7 7 3 . 65 0 2 9 . 7 0 7 3 1 . 6 6 4 3 4 . 7 6 4 3 7 . 6 8 9 4 1 . 4 4 9 4 4 . 3 1 3 4 9 . 3 3 5 5 4 . 7 2 3 5 8 . 1 6 4 6 3 . 1 6 7 6 7 . 5 0 5 7 2 . 6 1 3 7 6 . 1

5 2 3 1 . 2 4 6 3 3 . 2 5 6 3 6 . 4 3 7 3 9 . 4 3 3 4 3 . 2 8 1 4 6 . 2 0 9 5 1 . 3 3 5 5 6 . 8 2 7 6 0 . 3 3 2 6 5 . 4 2 2 6 9 . 8 3 2 7 5 . 0 2 1 7 8 . 65 4 3 2 . 7 9 3 3 4 . 8 5 6 3 8 . 1 1 6 4 1 . 1 8 3 4 5 . 1 1 7 4 8 . 1 0 6 5 3 . 3 3 5 5 8 . 9 3 0 6 2 . 4 9 6 6 7 . 6 7 3 7 2 . 1 5 3 7 7 . 4 2 2 8 1 . 05 6 3 4 . 3 5 0 3 6 . 4 6 4 3 9 . 8 0 1 4 2 . 9 3 7 4 6 . 9 5 5 5 0 . 0 0 5 5 5 . 3 3 5 6 1 . 0 3 1 6 4 . 6 5 8 6 9 . 9 1 9 7 4 . 4 6 8 7 9 . 8 1 5 8 3 . 55 8 3 5 . 9 1 3 3 8 . 0 7 8 4 1 . 4 9 2 4 4 . 6 9 6 4 8 . 7 9 7 5 1 . 9 0 6 5 7 . 3 3 5 6 3 . 1 2 9 6 6 . 8 1 6 7 2 . 1 6 0 7 6 . 7 7 8 8 2 . 2 0 1 8 5 . 96 0 3 7 . 4 8 5 3 9 . 6 9 9 4 3 . 1 8 8 4 6 . 4 5 9 5 0 . 6 4 1 5 3 . 8 0 9 5 9 . 3 3 5 6 5 . 2 2 7 6 8 . 9 7 2 7 4 . 3 9 7 7 9 . 0 8 2 8 4 . 5 8 0 8 8 . 3

6 2 3 9 . 0 6 3 4 1 . 3 2 7 4 4 . 8 8 9 4 8 . 2 2 6 5 2 . 4 8 7 5 5 . 7 1 4 6 1 . 3 3 5 6 7 . 3 2 2 7 1 . 1 2 5 7 6 . 6 3 0 8 1 . 3 8 1 8 6 . 9 5 3 9 0 . 86 4 4 0 . 6 4 9 4 2 . 9 6 0 4 6 . 5 9 5 4 9 . 9 9 6 5 4 . 3 3 6 5 7 . 6 2 0 6 3 . 3 3 5 6 9 . 4 1 6 7 3 . 2 7 6 7 8 . 8 6 0 8 3 . 6 7 5 8 9 . 3 2 0 9 3 . 2

INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA (CHI(CHI--CUADRADO)CUADRADO)D IS T R IB U C IO N χ 2

n .9 9 .9 8 .9 5 .9 0 .8 0 .7 0 .5 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 5 .0 2 .0 1 .0 0 1

1 .03157 .03628 .00393 .0158 .0642 .148 .455 1.074 1.642 2.706 3.841 5.412 6.635 10.8172 .0201 .0404 .103 .211 .446 .713 1.386 2.408 3.219 4.605 5.991 7.824 9.210 13.8153 .115 .185 .352 .584 1.005 1.414 2.366 3.665 4.641 6.251 7.815 9.837 11.345 16.2664 297 .429 .711 1.064 1.649 2.195 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 11.668 13.277 18.467

5 .554 .752 1.145 1.610 2.343 3.000 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 13.388 15.086 20.5156 .872 1.134 1.635 2.204 3.070 3.828 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 15.033 16.812 22.4577 1.239 1.564 2.167 2.833 3.822 4.671 6.346 8.383 9.803 12.017 14.067 16.622 18.475 24.3228 1.646 2.031 2.733 3.490 4.594 5.527 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 18.168 20.090 26.1259 2.088 2.532 3.325 4.168 5.380 6.393 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 19.679 21.666 27.87710 2.558 3.059 3.940 4.865 6.179 7.267 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 21.161 23.209 29.588

11 3.053 3.609 4.575 5.578 6.989 8.148 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 22.618 24.725 31.26412 3.571 4.178 5.226 6.304 7.807 9.034 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 24.054 26.217 32.90913 4.107 4.765 5.892 7.042 8.634 9.926 12.340 15.119 16.985 19.812 22.362 25.472 27.688 34.52814 4.660 5.368 6.571 7.790 9.467 10.821 13.339 16.222 18.151 21.064 23.685 26.873 29.141 36.12315 5.229 5.985 7.261 8.547 10.307 11.721 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 28.259 30.578 37.697

16 5.812 6.614 7.962 9.312 11.152 12.624 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39.25217 6.408 7.255 8.672 10.085 12.002 13.531 16.338 19.511 21.615 24.769 27.587 30.995 33.409 40.79018 7.015 7.906 9.390 10.865 12.857 14.440 17.338 20.601 22.760 25.989 28.869 32.346 34.805 42.31219 7.633 8.567 10.117 11.651 13.716 15.352 18.338 21.689 23.900 27.204 30.144 33.687 36.191 43.82020 8.260 9.237 10.851 12.443 14.578 16.266 19.337 22.775 25.038 28.412 31.410 35.020 37.566 45.315

21 8.897 9.915 11.595 13.240 15.445 17.182 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 36.343 38.932 46.79722 9.542 10.600 12.338 14.041 16.314 18.101 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 37.659 40.289 48.268


VARIABLEX1 X2 ..... Xj ..... XS TOTAL

N=O..TOTAL

Muestras

M1

M2...

Mi...

Mr

O1.

O2....

Oi....

Or.

O.1 O.2 ..... O.j ..... O.s

O11 O12 ..... O1j ..... O1s

O21 O22 ..... O2j ..... O2s

Oi1 Oi2 ..... Oij ..... Ois

Or1 Or2 ..... Orj ..... Ors

TEST DE HOMOGENEIDAD EN TABLAS DECONTINGENCIA DE r x s

NOO

E j..iij

×=

N ON

OOE 1..111

×=

.1

E11O1.



FINALIDADPretendemos comprobar, si dos o más muestrasproceden de la misma población o se distribuyenigual.

HIPOTESISH0 : Las r muestras proceden de la misma población

p1 = p2 =.......= pn

H1 : Las r muestras proceden de la misma población p1 ≠ p2 ≠....... ≠ pn



NOE ijij =∑=∑


( )∑χ=

−=

2

1j,i ij

2ijij2

EEO



REGLA DE DECISION

2);1c)(1f(

2calculadoSi α−−χ<χ No se rechaza la H0

2);1c)(1f(

2calculadoSi α−−χ>χ Se rechaza la H0



Rechazo

2.l.g)1c)(1f,( −−αχ


¿ Existe dependencia entre el grado de acidez del jugogástrico y el tipo de enfermedad (úlcera y cáncer) con los datosde la tabla siguiente?

aclonidia hipocloridia normal hipercloridiaúlcera 5 7 35 18cáncer 25 3 5 2

HIPOTESIS

H0: El grado de acidez y el tipo de enfermedad son independientes

H1 : El grado de acidez y el tipo de enfermedad son dependientes


ACLORIDIA HIPO-CLORIDIA

NORMAL HIPER-CLORIDIA

TOTAL

ÚLCERA 5 7 35 18 65

CÁNCER 25 3 5 2 35

TOTAL 30 10 40 20 100

1º Cálculo de las frecuencias teóricas:

5'19100

3065E11 =×

= 5'6100

1065E11 =×

= 26100

4065E11 =×

=

13100

2065E11 =×

= 5'10100

3035E11 =×

= 5'3100

1035E11 =×

=

14100

4035E11 =×

= 7100

2035E11 =×

=


ACLORIDIA HIPO-CLORIDIA

NORMAL HIPER-CLORIDIA

TOTAL

ÚLCERA 5(19’5) 7(6’5) 35(26) 18(13) 65

CÁNCER 25(10’5) 3(3’5) 5(14) 2(7) 35

TOTAL 30 10 40 20 100

( )∑χ=

−=

2

1j,i ij

2ijij2

EEO ( )

5'195'195 2−

=( )

5'105'1025 2−

+

( )5'35'33 2−

+ LL+ ( )772 2−

+

2Calculadoχ

31'45=

( )5'65'67 2−

+


Nivel de significación α = 0’05

Grados de libertad = (f-1) x(c-1)=(2-1)x(4-1)=3

2)3;05'0(χ


Rechazo

815'7=


n .9 9 .9 8 .9 5 .9 0 .8 0 .7 0 .5 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 5 .0 2 .0 1 .0 0 1

1 .03157 .03628 .00393 .0158 .0642 .148 .455 1.074 1.642 2.706 3.841 5.412 6.635 10.8172 .0201 .0404 .103 .211 .446 .713 1.386 2.408 3.219 4.605 5.991 7.824 9.210 13.8153 .115 .185 .352 .584 1.005 1.414 2.366 3.665 4.641 6.251 7.815 9.837 11.345 16.2664 297 .429 .711 1.064 1.649 2.195 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 11.668 13.277 18.467

5 .554 .752 1.145 1.610 2.343 3.000 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 13.388 15.086 20.5156 .872 1.134 1.635 2.204 3.070 3.828 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 15.033 16.812 22.4577 1.239 1.564 2.167 2.833 3.822 4.671 6.346 8.383 9.803 12.017 14.067 16.622 18.475 24.3228 1.646 2.031 2.733 3.490 4.594 5.527 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 18.168 20.090 26.1259 2.088 2.532 3.325 4.168 5.380 6.393 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 19.679 21.666 27.87710 2.558 3.059 3.940 4.865 6.179 7.267 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 21.161 23.209 29.588

11 3.053 3.609 4.575 5.578 6.989 8.148 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 22.618 24.725 31.26412 3.571 4.178 5.226 6.304 7.807 9.034 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 24.054 26.217 32.90913 4.107 4.765 5.892 7.042 8.634 9.926 12.340 15.119 16.985 19.812 22.362 25.472 27.688 34.52814 4.660 5.368 6.571 7.790 9.467 10.821 13.339 16.222 18.151 21.064 23.685 26.873 29.141 36.12315 5.229 5.985 7.261 8.547 10.307 11.721 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 28.259 30.578 37.697

16 5.812 6.614 7.962 9.312 11.152 12.624 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39.25217 6.408 7.255 8.672 10.085 12.002 13.531 16.338 19.511 21.615 24.769 27.587 30.995 33.409 40.79018 7.015 7.906 9.390 10.865 12.857 14.440 17.338 20.601 22.760 25.989 28.869 32.346 34.805 42.31219 7.633 8.567 10.117 11.651 13.716 15.352 18.338 21.689 23.900 27.204 30.144 33.687 36.191 43.82020 8.260 9.237 10.851 12.443 14.578 16.266 19.337 22.775 25.038 28.412 31.410 35.020 37.566 45.315

21 8.897 9.915 11.595 13.240 15.445 17.182 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 36.343 38.932 46.79722 9.542 10.600 12.338 14.041 16.314 18.101 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 37.659 40.289 48.268


35'452Calculado =χ

2)1c)(1f(;

2calculadoomoC −−αχ>χ

'8157 5'54 >Se rechaza la H0

Existe relación entre el grado de acidez del jugo gástricoy el tipo de enfermedad (úlcera o cáncer)


La recuperación producida por dos tratamientos distintos, A y B,se clasifica en tres categorías: muy buena, buena y mala. Seadministra el tratamiento A a 30 pacientes y B a otros 30. De las 22recuperaciones muy buenas, 10 corresponden al tratamiento A; delas 24 recuperaciones buenas, 14 corresponden al tratamiento A yde los 14 que tienen una mala recuperación 6 corresponden altratamiento A. ¿Son igualmente efectivos ambos tratamientos parala recuperación de los pacientes?.

HIPOTESIS

H0: Son homogéneas las recuperaciones en ambos tratamientos

H1: No son homogéneas las recuperaciones en ambos tratamientos


I II III TOTAL

TRATAMIENTO A 10 14 6 30

TRATAMIENTO B 12 10 8 30

TOTAL 22 24 14 60

1º Cálculo de las frecuencias teóricas:

1160

2230E11 =×

= 1260

2430E12 =×

= 760

1430E13 =×

=

1160

2230E21 =×

= 1260

2430E22 =×

= 760

1430E23 =×

=


I II III TOTAL

TRATAMIENTO A 10(11) 14(12) 6(7) 30

TRATAMIENTO B 12(11) 10(12) 8(7) 30

TOTAL 22 24 14 60

( )∑χ=

−=

2

1j,i ij

2ijij2

EEO ( )

111110 2−

=( )

121214 2−

+2Calculadoχ

( )778 2−

+ 13'1=

LL+


Nivel de significación α = 0’05

Grados de libertad = (f-1) x(c-1)=(2-1)x(3-1)=2

2)2;05'0(χ


Rechazo

991'5=


n .9 9 .9 8 .9 5 .9 0 .8 0 .7 0 .5 0 .3 0 .2 0 .1 0 .0 5 .0 2 .0 1 .0 0 1

1 .03157 .03628 .00393 .0158 .0642 .148 .455 1.074 1.642 2.706 3.841 5.412 6.635 10.8172 .0201 .0404 .103 .211 .446 .713 1.386 2.408 3.219 4.605 5.991 7.824 9.210 13.8153 .115 .185 .352 .584 1.005 1.414 2.366 3.665 4.641 6.251 7.815 9.837 11.345 16.2664 297 .429 .711 1.064 1.649 2.195 3.357 4.878 5.989 7.779 9.488 11.668 13.277 18.467

5 .554 .752 1.145 1.610 2.343 3.000 4.351 6.064 7.289 9.236 11.070 13.388 15.086 20.5156 .872 1.134 1.635 2.204 3.070 3.828 5.348 7.231 8.558 10.645 12.592 15.033 16.812 22.4577 1.239 1.564 2.167 2.833 3.822 4.671 6.346 8.383 9.803 12.017 14.067 16.622 18.475 24.3228 1.646 2.031 2.733 3.490 4.594 5.527 7.344 9.524 11.030 13.362 15.507 18.168 20.090 26.1259 2.088 2.532 3.325 4.168 5.380 6.393 8.343 10.656 12.242 14.684 16.919 19.679 21.666 27.87710 2.558 3.059 3.940 4.865 6.179 7.267 9.342 11.781 13.442 15.987 18.307 21.161 23.209 29.588

11 3.053 3.609 4.575 5.578 6.989 8.148 10.341 12.899 14.631 17.275 19.675 22.618 24.725 31.26412 3.571 4.178 5.226 6.304 7.807 9.034 11.340 14.011 15.812 18.549 21.026 24.054 26.217 32.90913 4.107 4.765 5.892 7.042 8.634 9.926 12.340 15.119 16.985 19.812 22.362 25.472 27.688 34.52814 4.660 5.368 6.571 7.790 9.467 10.821 13.339 16.222 18.151 21.064 23.685 26.873 29.141 36.12315 5.229 5.985 7.261 8.547 10.307 11.721 14.339 17.322 19.311 22.307 24.996 28.259 30.578 37.697

16 5.812 6.614 7.962 9.312 11.152 12.624 15.338 18.418 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39.25217 6.408 7.255 8.672 10.085 12.002 13.531 16.338 19.511 21.615 24.769 27.587 30.995 33.409 40.79018 7.015 7.906 9.390 10.865 12.857 14.440 17.338 20.601 22.760 25.989 28.869 32.346 34.805 42.31219 7.633 8.567 10.117 11.651 13.716 15.352 18.338 21.689 23.900 27.204 30.144 33.687 36.191 43.82020 8.260 9.237 10.851 12.443 14.578 16.266 19.337 22.775 25.038 28.412 31.410 35.020 37.566 45.315

21 8.897 9.915 11.595 13.240 15.445 17.182 20.337 23.858 26.171 29.615 32.671 36.343 38.932 46.79722 9.542 10.600 12.338 14.041 16.314 18.101 21.337 24.939 27.301 30.813 33.924 37.659 40.289 48.268


13'12Calculado =χ

2)1c)(1f(;

2calculadoomoC −−αχ<χ

No se rechaza la H0 '9915 '131 <

Existe homogeneidad en la recuperación en ambos trata-mientos, es decir, son igualmente eficaces.

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