2- INFERENCIA LOGICA

7/26/2019 2- INFERENCIA LOGICA

1/34

Equivalencia lgicaEquivalencia lgica::

Son equivalentesSon equivalentes yy ??qp

qp

Dos proposicionesDos proposiciones ss11yyss22son lgicamente equivalentes, yson lgicamente equivalentes, y

se escribese escribe cuando la proposicincuando la proposicin ss11

es verdaderaes verdadera

(o falsa) si y solo si la proposicin(o falsa) si y solo si la proposicin ss22es verdadera (falsa).es verdadera (falsa).

21 ss

A qu equivaleA qu equivale ??qp

!"#$%#!%!"#$%#!% &ng. Ale'andro Salaar S.&ng. Ale'andro Salaar S.


2/34

p q p pvq pq

$$ $$ !! !! !!

$$ !! !! !! !!

!! $$ $$ $$ $$

!! !! $$ !! !!

qpqp

Equivalencias lgicas para eliminarEquivalencias lgicas para eliminar , y, y vv..

)()()()( pqqppqqpqp

)()()()( qpqpqpqpqp

pqqp



3/34

!. ey de la doble negacin!. ey de la doble negacin

". eyes De *organ". eyes De *organ

+. eyes conmutativas+. eyes conmutativas

. eyes asociativas. eyes asociativas

-. eyes distributivas-. eyes distributivas

%. eyes idempotentes%. eyes idempotentes

. eyes de identidad. eyes de identidad

/. eyes inversas/. eyes inversas

0. eyes de dominacin0. eyes de dominacin

!$. eyes de absorcin!$. eyes de absorcin

pp

qpqp

qpqp

)(

)(

pqqp

pqqp

rqprqp

rqprqp

)()(

)()(

ppp

ppp

)()()(

)()()(

rpqprqp

rpqprqp

pTp

pFp

0

0

0

0

FppTpp

00

00

FFp

TTp

pqpp

pqpp

)(

)(


eyes la lgicaeyes la lgica


4/34

LA INFERENCIA L!ICALA INFERENCIA L!ICA1 2na tarea de la lgica es el an3lisis de los2na tarea de la lgica es el an3lisis de los

A452*6789SA452*6789S1 2n argumento consiste en un con'unto de ! o m3s2n argumento consiste en un con'unto de ! o m3s

enunciados que se utilian como apoyo de otroenunciados que se utilian como apoyo de otroenunciado.enunciado.

1os enunciados que sirven de apoyo se llamanos enunciados que sirven de apoyo se llaman:46*&SAS; el enunciado apoyado es la:46*&SAS; el enunciado apoyado es la


5/34

6'emplos de argumentos6'emplos de argumentos

1 8odos los ombres son mortales.8odos los ombres son mortales.

1 Scrates es un ombreScrates es un ombre

1 :or tanto, Scrates es mortal:or tanto, Scrates es mortal

1 9laf no es espa@ol puesto que es alto, rubio, de9laf no es espa@ol puesto que es alto, rubio, dete clara y abla con acento etran'erote clara y abla con acento etran'ero

:46*&SAS


6/34

:remisa B conclusin C argumento:remisa B conclusin C argumento

1 8anto premisas como conclusiones afirman8anto premisas como conclusiones afirman(o niegan) algo.(o niegan) algo.

1 Decimos de ellas que tienen A94 D6Decimos de ellas que tienen A94 D6

64DAD, i.e., que son verdaderas o falsas.64DAD, i.e., que son verdaderas o falsas.1 a diferencia es que la conclusin se apoyaa diferencia es que la conclusin se apoya

en las premisas. 6sto suele marcarse conen las premisas. 6sto suele marcarse con

epresiones comoepresiones como por tanto

por tanto,

, as queas

que,, por

porconsiguientecons

iguiente,, en consecuenciaen consecuencia


7/34

6'emplos de argumentos6'emplos de argumentos

1 8odos los ombres son mortales.8odos los ombres son mortales.

1 Scrates es un ombreScrates es un ombre

1 :or tanto:or tanto,, Scrates es mortalScrates es mortal

1 9laf no es espa@ol9laf no es espa@ol puesto que es alto, rubio, de te clarapuesto que es alto, rubio, de te claray abla con acento etran'eroy abla con acento etran'ero

"RE#I$A$

C%NCL&$IN


8/34


1 6n algunos casos decimos que la conclusin Ese6n algunos casos decimos que la conclusin Esesigue deF o Ees consecuencia deF las premisassigue deF o Ees consecuencia deF las premisas

1 o que dice la conclusin Ese desprendeF o est3o que dice la conclusin Ese desprendeF o est3contenido, de algGn modo, en lo que dicen lascontenido, de algGn modo, en lo que dicen laspremisas>premisas>1 8odos los ombres son mortales.8odos los ombres son mortales.

1 Scrates es un ombreScrates es un ombre1 :or tanto, Scrates es mortal:or tanto, Scrates es mortal


9/34


1 8anto premisas como conclusiones afirman8anto premisas como conclusiones afirman(o niegan) algo.(o niegan) algo.

1 Decimos de ellas que tienen A94 D6Decimos de ellas que tienen A94 D664DAD, i.e., que son verdaderas o falsas.64DAD, i.e., que son verdaderas o falsas.1 HHpero un argumentopero un argumento 79 8&676 A94 D679 8&676 A94 D6

64DAD64DAD, no es verdadero ni falso, no es verdadero ni falso

2n argumento puedetener

A&D6I


10/34


11/34

(i) con premisas y conclusin verdaderas.(i) con premisas y conclusin verdaderas.

(ii) con premisas falsas y conclusin(ii) con premisas falsas y conclusinverdaderaverdadera

(iii) con premisas y conclusin falsas.(iii) con premisas y conclusin falsas.

1 2n argumento 727


12/34

6'emplos de argumentos6'emplos de argumentosv3lidosv3lidos


13/34

6squemas de argumentos6squemas de argumentosv3lidosv3lidos

os argumentos anteriores responden a estos dos esquemas>os argumentos anteriores responden a estos dos esquemas>

1 8odos los : son J8odos los : son J

1 aaes un :es un :

1 :or tanto,:or tanto, aaes Jes J

1 8enemos que8enemos quep o qp o q

1 SiSipp entoncesentonces rr

1 :ero no:ero no rr

1 :or tanto,:or tanto, qq

8odo argumento que responda a esos esquemas ser3 v3lido8odo argumento que responda a esos esquemas ser3 v3lido


14/34

E'empl( )e argumen*(sE'empl( )e argumen*(sSi Nuan participa en un comit electoral de laSi Nuan participa en un comit electoral de la

universidad entonces los estudiantes se eno'ar3n de l,universidad entonces los estudiantes se eno'ar3n de l,y si no participa en un comit electoral de lay si no participa en un comit electoral de launiversidad entonces las autoridades universitarias seuniversidad entonces las autoridades universitarias seeno'ar3n con l. :ero Nuan participar3 en un comiteno'ar3n con l. :ero Nuan participar3 en un comit

electoral de la universidad o no participar3. :or lo tanto,electoral de la universidad o no participar3. :or lo tanto,los estudiantes o las autoridades universitarias selos estudiantes o las autoridades universitarias seeno'ar3n con l.eno'ar3n con l. SimboliacinSimboliacin

Nuan participar3 en un comit electoral C pNuan participar3 en un comit electoral C p

os estudiantes se eno'ar3n con Nuan C qos estudiantes se eno'ar3n con Nuan C q

as autoridades universitarias se eno'ar3n con NuanC ras autoridades universitarias se eno'ar3n con NuanC r

+p+p qq

++

pp rr))

+p+p

pp ((qq

rr))


15/34

*689D9 AO46&AD9*689D9 AO46&AD9 (p1^ p2^ p3^ ^ pn) q.

PASOS A SEGUIR:

1. Asignar el valor verdadero (v) a cada una de las premisas Pi y de falso (f) a la1. Asignar el valor verdadero (v) a cada una de las premisas Pi y de falso (f) a la

conclusin. !omo el an"eceden"e es una con#uncin de n premisas y elconclusin. !omo el an"eceden"e es una con#uncin de n premisas y el

an"eceden"e es $, en"onces cada premisa Pi necesariamen"e ser% verdaderoan"eceden"e es $, en"onces cada premisa Pi necesariamen"e ser% verdadero

(p1^ p2^ p3^ ^ pn) q v v v v fv v v v f

2. &educir el valor de cada una de las varia'les proposicionales, "eniendo en2. &educir el valor de cada una de las varia'les proposicionales, "eniendo en

cuen"a las reglas para los conec"ivos lgicos.cuen"a las reglas para los conec"ivos lgicos.

3. i cada una de las varia'les proposicionales "iene3. i cada una de las varia'les proposicionales "iene * ++ $A+- ($ o )* ++ $A+- ($ o ),,

en"onesen"ones la inferenciala inferenciano es v%lidano es v%lida. /s decir no implicacin pues"o que la. /s decir no implicacin pues"o que la

con#uncin de premisas es $ y la conclusin en con#uncin de premisas es $ y la conclusin en

0. i una varia'le proposicional llega a "ener0. i una varia'le proposicional llega a "ener &+ $A+-/ A A $/&+ $A+-/ A A $/($ y ),($ y ),

en"onces quedar% demos"rado que no es posi'le que la con#uncin de premisasen"onces quedar% demos"rado que no es posi'le que la con#uncin de premisas

sea $ y la conclusin . Por "an"o, ay implicacin ysea $ y la conclusin . Por "an"o, ay implicacin y la inferencia es v%lidala inferencia es v%lida..!"#$%#!%!"#$%#!% &ng. Ale'andro Salaar S.&ng. Ale'andro Salaar S.


16/34

LE-E$ E LA INFERENCIA.LE-E$ E LA INFERENCIA.

#()us "(nen)( "(nens +#"#()us "(nen)( "(nens +#"

Ley )el sil(g/sm( 0ip(*1*ic( +$0Ley )el sil(g/sm( 0ip(*1*ic( +$0

#()us 2(llen)( 2(llens +#2#()us 2(llen)( 2(llens +#2

q

qp

p

idia gana !$ millones en la loterMa.Si idia gana !$ millones en la loterMa, entonces uis de'ar3 de traba'ar.

:or lo tanto, uis de'ar3 de traba'ar

rp

rq

qp

Si +-" es divisible por +0%, entonces es divisible por %%

Si +-" es divisible por %%, entonces es divisible por +

:or lo tanto, si +-" es divisible por +0%, entonces es divisible por +

p

q

qp

Si


17/34

Leyes )e la in3erencia +c(n*.Leyes )e la in3erencia +c(n*.

Ley )el 2(llen)( "(nens +2"Ley )el 2(llen)( "(nens +2"

Ley )e la c(n*ra)iccin +CLey )e la c(n*ra)iccin +C

Ley )e la c(n'uncin +LCLey )e la c(n'uncin +LC

q

pqp

a cartera de Oruno est3 en su bolsa o en su escritorio

a cartera de Oruno no est3 en su bolsa

:or lo tanto, la cartera est3 en el escritorio

p

Fp

0

qp

q

p


p

qqp


18/34

Reglas )e in3erencia +c(n*.Reglas )e in3erencia +c(n*.

Ley )e la simpli3icacin c(n'un*iva +$CLey )e la simpli3icacin c(n'un*iva +$C

Ley )e la ampli3icacin )isyun*iva +$Ley )e la ampli3icacin )isyun*iva +$

Ley )e la prue4a c(n)ici(nal +"CLey )e la prue4a c(n)ici(nal +"C

Leya )e la in3erencia equivalen*e +IELeya )e la in3erencia equivalen*e +IE

p

qp

qp

p

rrqp

qp

)(


q

p

qp


19/34

Ley )e la in3erencia +c(n*.Ley )e la in3erencia +c(n*.

Ley )e la prue4a p(r cas(s +"CLey )e la prue4a p(r cas(s +"C

Ley )el $il(gism( isyun*iv( +$Ley )el $il(gism( isyun*iv( +$

Ley )el )ilema )es*ruc*iv( +Ley )el )ilema )es*ruc*iv( +

rqp

rqrp

)(

sq

rp

srqp

rp

sq

sr

qp



20/34

r

rq

qp

p

Demostrar la valide de los siguientes argumentos>Demostrar la valide de los siguientes argumentos>

p

u

ut

st

sr

rp

u

tp

utr

srq

qp

)(

)(

Si la banda no toca mGsica o losalimentos no se entregan a tiempo, la

fiesta de a@o nuevo se cancelar3 yAlicia se molestar3.Si la fiesta se cancela, se deber3n dedevolver las entradas.7o se devolvieron las entradas.6ntonces la banda tocar3 mGsica.



21/34

Demostrar la valide del siguiente argumento con la pruebaDemostrar la valide del siguiente argumento con la pruebade contradiccin (se anea la conclusin negada y elde contradiccin (se anea la conclusin negada y elresultado esresultado esFF00).).

p

r

rq

qp



22/34

Demostrar la invalide de los siguientes argumentos a travsDemostrar la invalide de los siguientes argumentos a travsde un contrae'emplo (premisasde un contrae'emplo (premisas VV00, conclusin, conclusinFF00).).

)()]()]([)([ tsrtsrqqpp

prpsrsqqp )]()()()[(



23/34



24/34



25/34

5. Cuan*i3ica)(res5. Cuan*i3ica)(res

2na sentencia declarativa es una2na sentencia declarativa es una declaracin abiertadeclaracin abierta si>si>a)a) xx9pciones>9pciones> ZZ (2niverso)(2niverso)

p(2) : Vp(2) : V p(1): Fp(1): F



26/34

5eneraliando las sustituciones de la siguiente manera>5eneraliando las sustituciones de la siguiente manera>

a)a) :ara algGn:ara algGnx, p(x).x, p(x).

b)b) :ara algGn:ara algGnx,x, p(x).p(x).

c)c) :ara todo:ara todo x, p(x).x, p(x).

as frases Eas frases Epara algnpara algnF y EF y Epara toopara tooFF cuantificancuantificanaap(x)p(x)

8enemos entonces dos tipos de cuantificadores>8enemos entonces dos tipos de cuantificadores>

AsM, para nuestro e'emplo>AsM, para nuestro e'emplo>

x

x

Verdades)(xxp

Falsoes)(xxp



27/34

:ara el universo:ara el universo RR, con las siguientes declaraciones>, con las siguientes declaraciones>

p(x): x ! 0p(x): x ! 0 q(x):xq(x):x22! 0! 0 r(x): xr(x): x22"3x"# $ 0"3x"# $ 0 s(x)$xs(x)$x22"3%0."3%0.

Determina si son ciertas los siguientes composiciones>Determina si son ciertas los siguientes composiciones>)]()([ xrxpx

)]()([ xqxpx

)]()([ xsxqx

)]()([ xsxrx

)]()([ xpxrx



28/34

9bservacin>9bservacin>

Sea p() una declaracin abierta dentro de un universo noSea p() una declaracin abierta dentro de un universo no

vacMo. 6ntonces sivacMo. 6ntonces si es tambin lo eses tambin lo es


29/34

DeclaracinDeclaracin


30/34

SeanSeanp(x), q(x)p(x), q(x)declaraciones abiertas definidas para undeclaraciones abiertas definidas para ununiverso dado. as declaracionesuniverso dado. as declaraciones p(x)p(x)yy q(x)q(x)sonsonlgicamentelgicamente

equivalentes,equivalentes,esto esesto es , cuando el, cuando elbicondicionalbicondicional p(a) & q(a)p(a) & q(a)eses VVpara cada sustitucin depara cada sustitucin de aa enenel universo.el universo.

Si la implicacinSi la implicacin p(a) q(a)p(a) q(a)eses VVpara cadapara cada aaen el universo,en el universo,

esto esesto es ,decimos que,decimos que p(x)p(x)implicaimplicalgicamentelgicamente aa q(x)q(x)..

)]()([ xqxpx

)]()([ xqxpx

2niverso> 8odos los tri3ngulos en el plano.2niverso> 8odos los tri3ngulos en el plano.

p(x): x 's 'qungulo.p(x): x 's 'qungulo.q(x): x 's 'qult'roq(x): x 's 'qult'ro

Son lgicamente equivalentes?


31/34

:ara las declaraciones abiertas:ara las declaraciones abiertas p(x), q(x)p(x), q(x)Pdefinidas para unPdefinidas para ununiverso prescritoQ y la declaracin universal cuantificadauniverso prescritoQ y la declaracin universal cuantificada

definimos>definimos>6l6l contrapositivocontrapositivoeses

6l6l conversoconverso eses

6l6l inversoinversoeses

)]()([ xqxpx )]()([ xpxqx

)]()([ xpxqx

)]()([ xqxpx

2niverso>2niverso> RR..

p(x): *x* % 3.p(x): *x* % 3.

q(x): x % 3.q(x): x % 3.

aloraralorar y sus contrapositivo, inverso yy sus contrapositivo, inverso yconverso.converso.

)]()([ xqxpx



32/34

2niverso>2niverso> ZZ

r(x): 2x + 1 $ r(x): 2x + 1 $ s(x):xs(x):x22$ $

alora las siguientes declaracionesalora las siguientes declaraciones

Ju podemos decir de lo siguiente?Ju podemos decir de lo siguiente?)()()]()([ xxsxxrxsxrx

)]()([)()(

)()()]()([

xsxrxxxsxxr

xxsxxrxsxrx



33/34

Equivalencias e implicaci(nes lgicas.Equivalencias e implicaci(nes lgicas.

:ara un universo prescrito y cualesquier declaraciones:ara un universo prescrito y cualesquier declaracionesabiertasabiertasp(x), q(x)p(x), q(x)en la variableen la variable xx>>

)]()([)]()([

)]()([)]()([

)]()([)]()([

)]()([)]()([

xqxpxxxqxxp

xxqxxpxqxpx

xxqxxpxqxpx

xxqxxpxqxpx



34/34

!RACIA$!RACIA$

!"#$%#!%!"#$%#!% &ng Ale'andro Salaar S&ng Ale'andro Salaar S

2- INFERENCIA LOGICA

Documents

Transcript of 2- INFERENCIA LOGICA