Fundamentos de Matematicas Superiores CCESA-UTP

7/26/2019 Fundamentos de Matematicas Superiores CCESA-UTP

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MATEMTICA BSICA I

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UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER

Vice Rectorado de Investigacin

"MATEMTICA BSICA I"

TINS Bsicos

DERECHO, ADMINISTRACIN, CONTABILIDAD Y CIENCIAS DE LACOMUNICACIN

TEXTOS DE INSTRUCCIN BSICOS (TINS) / UTP

Lima - Per2007


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MATEMTICA BSICA I

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MATEMTICA BSICA IDesarrollo y Edicin: Vice Rectorado de Investigacin

Elaboracin del TINS: Dr. Juan Jos Sez Vega

Diseo y Diagramacin: Julia Mara Saldaa Balandra

Fiorella Zender Espinoza Villanueva

Soporte acadmico: Instituto de Investigacin

Produccin: Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacinde esta obra.


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MATEMTICA BSICA I

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PRESENTACIN

La matemtica, ciencia de la ms alta jerarqua, en el concierto

de las Ciencias, desde los albores de la civilizacin humana sigue

siendo la base del desarrollo cientfico y tecnolgico de nuestro

mundo.

De all, que en la formacin acadmica, la UTP privilegia el estudio

de la matemtica, en la conviccin de dotar a sus estudiantes

firme pensamiento abstracto y amplio pensamiento innovador.

En esta proyeccin se ha desarrollado el presente texto de

instruccin, dirigido a estudiantes de las Carreras de: Derecho,

Administracin, Contabilidad y Ciencias de la Comunicacin,

para la Asignatura de Matemtica Bsica I.

Plasma la preocupacin institucional de innovacin de la

orientacin del aprendizaje en educacin universitaria, que en

acelerada continuidad promueve la produccin de materiales

educativos, actualizados en concordancia a las exigencias de

estos tiempos.

La estructura del contenido del texto permitir lograr

conocimientos de Matemtica; progresivamente modelada en

funcin del syllabus de la Asignatura acotada lneas arriba;

contenido elaborado mediante un proceso acucioso de


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MATEMTICA BSICA I

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recopilacin de temas, desarrollados en diferentes fuentesbibliogrficas.

La conformacin del texto ha sido posible gracias al esfuerzo y

dedicacin acadmica del Profesor: Dr. Juan Jos Sez Vega. La

recopilacin aludida de temas pertinentes, consistentes y

actualizados, para estudiantes del primer ciclo, tiene el siguiente

ordenamiento temtico:

Conjuntos bsicos y numricos que permiten aclarar las nociones

de nmeros y su clasificacin en naturales, enteros, racionales,

irracionales hasta completar los reales.

Ecuaciones e inecuaciones que son bsicas para el estudio del

lgebra.

Relaciones binarias que son fundamentales para la comprensin

de las funciones bsicas al estudio de la Geometra Analtica.

Los lugares geomtricos: rectas y circunferencias conectadas a

nociones algebraicas con problemas diversos dentro de la

carrera.

Al cerrar esta presentacin debemos reconocer el esfuerzo y

trabajo de los profesores que han permitido la elaboracin del

presente texto y la dedicacin paciente del Dr. Jos Reategui

Canga en la revisin de los contenidos.

Vice-Rectorado de Investigacin


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INDICE

CAPITULO I: LOGICA SIMBOLICA Y CALCULO PROPOSICIONALSEMANA 01

1. Enunciados . 82. Proposiciones Simples . 83. Relaciones Proposicionales . 10

SEMANA 024. Proposiciones Compuestas: Leyes del Algebra Proposicional 165. Regla de Inferencia 206. Cuantificadores .. 247. Negacin de Cuantificadores .. 25

CAPITULO II: ALGEBRA DE CONJUNTOSSEMANA 03

1. Determinacin de un Conjunto 312. Clases de Conjuntos . 333. Relaciones entre conjuntos . 364. Representacin grfica de los Conjuntos . 40

SEMANA 045. Operaciones con los conjuntos 43

SEMANA 056. Problemas con los conjuntos 47

CAPITULO III: ALGEBRA DE NUMEROS1. Teora de los Nmeros .. 63

SEMANA 062. Exponentes y Radicales 76

CAPITULO IV: MATRICES1. Definicin. Generalidades . 1132. Suma de matrices .. 114

SEMENA 073. Multiplicacin de matrices por una escalar. 1154. Multiplicacin de matrices . 115

SEMANA 08

5. La matriz de identidad ... 1176. Problemas de matrices ... 121SEMANA 09

7. Determinacin de la matriz A 1278. Problemas de determinantes ... 131

SEMANA 11

CAPITULO V: ALGEBRA DE ECUACIONES1. Desigualdad: Propiedades 1882. Inecuaciones ... 1903. Resolucin de ecuaciones con radicales 194


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SEMANA 124. Ejercicios: Ecuaciones Exponenciales .. 1965. Ejercicios: Ecuaciones Logartmicas . 203

CAPITULO VI: RELACIONESSEMANA 13

1. Relacin binaria: propiedades . 2052. Relaciones de equivalencia . 2073. Particin de un Conjunto .. 208

SEMANA 144. Postulado de Cantor-Dedekind 2125. Sistema Cartesiano Rectangular 2146. Carcter de la Geometra Analtica 218

SEMANA 157. Distancia entre puntos .. 2198. Pendiente de una recta . 2249. Discutir y graficar una recta . 231

CAPITULO VII: LA CIRCUNFERENCIASEMANA 16

1. Ecuacin de la Circunferencia . 2692. Familias de Circunferencias .... 289

CAPITULO VIII: LA PARABOLASEMANA 17

1. Definiciones 3052. Ecuacin de la Parbola .. 306SEMANA 18

3. Ecuacin de la Tangente a una Parbola . 325


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CAPTULO I

LGICA SIMBLICA Y

CLCULO PROPOSICIONAL

El autor que defini por primera vez en la historia fue Russell: Una

proposicin es todo lo que es cierto o lo que es falso. Uno de los fines

del clculo de proposiciones es la solucin de ciertas contradicciones de

la matemtica; as, apela al llamado principio del circulo vicioso de todo

lo que afecta a una coleccin total y no, a una parte de la misma; tal

como lo indica Burali-Forti: Si una coleccin tuviera un total, tendr

miembros que slo se podran definir en funcin de ese total, y por tanto

dicha coleccin no tiene total.

Partiendo de esto, los autores de los Principia(diremos de pasada que

ese es un tipo de descripcin ampliamente analizado en su obra)

separaron las funciones proporcionales en tipos segn posibles

argumentos. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el

lenguaje de la lgica clsica, los autores dicen que su axioma de

reducibilidad es equivalente a la hiptesis de que toda combinacin o

desintegracin de predicados es equivalente a un solo predicado en la

inteligencia de que la combinacin o desintegracin se supone dada en

contenido.

Algunos hechos trascendentes y singularmente importantes; como es la

estructura matemtica supone la necesidad de razonar en forma vlida.

Es necesaria una absoluta claridad y distinguir todo lo concerniente al


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razonamiento deductivo vlido; significado de palabras usuales,

proposiciones, definiciones, teoremas, eliminacin de complicaciones,

eliminar falacias y ambigedades.

La prestancia y calidad de la matemtica es necesaria para evitar el

rechazo del estudiante a esta ciencia formal, bsico para el desarrollo de

otras ciencias, denominadas fcticas. Es la misin de todo maestro:

Educar y formar sin rechazo al estudiante.

1.1 ENUNCIADOS

Son palabras que se emiten para comunicarse con otras

personas. Ej:

1. Estuviste de viaje?

2. Pase adelante y sintese.

3. El clima est fresco.

4. 8 es un nmero impar.

5. Vamos al estadio.

6. Antonio es amigo de Lizet.

Se trata de 6 proposiciones: una pregunta, una orden y cuatro

declarativas. Las primeras no son verdaderas, ni falsas; las cuatro

ltimas pueden ser verdaderas o falsas; a las que se conocen

como: proposiciones.

1.2 PROPOSICIONES

Son enunciados de las que podemos afirmar, sin errores, que son

verdaderas o falsas.


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Podemos decir con propiedad que: Proposicin es el

significado de toda oracin declarativa. Toda proposicin se

representa con una letra minscula: p; q; r; s; t ................

Ejemplos:

p : El sol est radiante.

q : Carlos es estudioso.

r : Fernando es un buen profesional.

s : Lizet es bonita.t : La rosa es bella.

u : Est lloviendo.

De todas las oraciones declarativas podemos afirmar: si son

verdaderas o falsas.

Negacin de Proposiciones.- La negacin de la proposicin p es

~ p (no p); obtenida anteponiendo el adverbio no a la primera.Ejemplo:

p : Hace fro

~p : No hace fro.

~q : Carlos no es deportista.

q : Carlos es deportista.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Indique 10 ejemplos de enunciados.

2. Diga cules son proposiciones y represente con una letra.

3. Niegue las proposiciones indicadas.


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1.3 RELACIONES PROPOSICIONALES1.3.1 EL CONECTIVO CONJUNCIN ( ).- Se dice que, dos o

ms proposiciones quedan relacionadas mediante el conectivo

conjuncin ( ) si se les interponen la letra y. Ejemplo.

p : Est lloviendo.

q : Hace fro.

p q : Est lloviendo y hace fro.

q : Carlos estudia.

s : Carlos es deportista.

q r : Carlos estudia y es deportista.

Principio del valor de verdad.- La conjuncin es verdadera, s y

slo si, ambas proposiciones son verdaderas.

Considera la corriente elctrica; si pasa la corriente es verdadera y

s se interrumpe es falsa.

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

La conjuncin es verdadera, s y slo s, ambas proposiciones son

verdaderas.

Ejemplo: Demostrar el valor de verdad de las proposiciones:

1) p ~ q 3) p q

2) ~ p ~ q 4) ~ p q


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1.3.2 EL CONECTIVO DISYUNCIN ( ).- Se dice, que, dos o

ms proposiciones forman una disyuncin, si se les interponen la

letra o, con sentido incluyente. Ejemplo:

p : me compro zapatillas.

q : me compro una camisa.

p v q : me compro zapatillas o una camisa.

Principio del valor de verdad.- La relacin de disyuncin es

falsa, s y slo s, ambas proposiciones son falsas.

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F


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La disyuncin es falsa, s y slo s, ambas proposiciones son

falsas.

1.3.3 DISYUNCIN EXCLUSIVA ( ).- Dos o ms proposiciones

forman una disyuncin exclusiva ( ) si se les interponen la letra

o y al final se agregan las palabras pero no ambos (as).

Principio del valor de verdad

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

El conectivo disyuncin exclusiva; es verdadera s y slo s, una

de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).

1.3.4 EL CONECTIVO IMPLICACIN O CONDICIONAL ().-

Con las proposiciones p y q; se denomina relacin de implicacin

o condicional (pq); cuando se le antepone a la primera

proposicin la palabra si y se les interponen la palabra

entonces.

Ejemplo:

p : Estudio mis asignaturas.

q : Aprobar mis exmenes.

pq : S, estudio entonces aprobar mis exmenes.

p : Antecedente

q : Consecuente


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Para demostrar el principio del valor de verdad, utilicemos un

ejemplo muy humano con un nio:

p : Juanito se porta bien.

q : Le regalar un chocolate.

pq : S, Juanito te portas bien entonces te regalar un

chocolate.

- Juanito se port bien (V); se le regala el chocolate (V) es

verdadera (V).

- Juanito se port bien (V); no se le regala el chocolate (F); es

injusto, luego es falsa (F).

- Juanito se port mal (F); como se le quiere y engre, se le

regala el chocolate (V); es verdadero (V).

- Juanito se port mal; no se le regala el chocolate; es justo,

luego es verdadero (V).

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

La implicacin o condicional, es falsa (F) s y slo s; la primera

proposicin (antecedente) es verdadera (V) y la segunda

(consecuente) es falsa (F).


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1.3.5 EL CONECTIVO BICONDICIONAL O DOBLE

IMPLICACIN ( ).-Dadas las proposiciones p y q, se denomina

bicondicional o doble implicacin a la proposicin

(pq) (qp).


p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

La bicondicional o doble implicacin es verdadera (V) s y slo s,

ambas proposiciones son verdaderas (v) o falsas (F).

1.3.6 EL CONECTIVO CONJUNCIN NEGATIVA ( ).- Dadas las

proposiciones p y q; se dice que forman una conjuncin negativa

s y slo s; en el conectivo p q se niegan ambas proposiciones:

(~p ~q) (p q)


p q p q ~p ~q ~p ~q p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

La conjuncin negativa ( ) es verdadera (V) s y slo s, ambas

proposiciones son falsas (F).


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1. Dadas las siguientes proposiciones:

Si: p : Hace fro

q : La manzana es agradable

r : Juan es inteligente

s : Lorena es bonita

Representar con oraciones declarativas las proposiciones:

1. p q 7. ~p q

2. r s 8. s ~r

3. ps 9. ~ps

4. s q 10. s ~q

5. q s 11. ~q s

6. r q 12. r ~q

3. Indique (5) cinco ejemplos de proposiciones:

Niegue los (5) cinco ejemplos que propuso.

Con los ejemplos indicados represente con oraciones declarativas:

a) p q g) ~p q

b) t r h) ~r t

c) sp i) ~s~p

d) q s j) q ~s

e) p q k) ~q p

f) s t r) ~s ~t


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1.4. PROPOSICIONES COMPUESTASSi una proposicin compuesta, se relaciona con otras

proposiciones simples o compuestas mediante signos de

coleccin: parntesis ( ); llaves { }; corchetes [ ]; o barras / / se

les separan con punto y coma (;).

Ejemplos:

p : est lloviendo.

q : La fruta es deliciosa.

r : Juan es estudioso.

(p ~q)r

Si est lloviendo y la fruta no es deliciosa; entonces Juan es

estudioso.

p (q ~r)

Est lloviendo; o, la fruta es deliciosa s y slo s Juan no es

estudioso.


p : est nevando.

q : Antonio es inteligente.

r : La rosa es bella.

Representar con oraciones declarativas:

1. p(q r)

2. (r ~q) v p

3. (p ~r) v (q p)

4. (p r) (q ~p)


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TAUTOLOGAS, CONTRADICCIN, CONTINGENCIA Y LEYES DEL

LGEBRA PROPOSICIONAL

A. TAUTOLOGA.- Se dice que una proposicin compuesta es

tautolgica; s y slo s; en sus tablas de verdad, todas son

verdaderas sin que interesen las tablas de verdad de las

proposiciones simples.

B. CONTRADICCIN.- Se dice que una proposicin compuesta,

forma una contradiccin, s y slo s, sus tablas de verdades,

todas son falsas, sin que interesen las tablas de verdades de las

proposiciones simples.

C. CONTINGENCIA.-Se dice que una proposicin compuesta, forma

una contingencia, s y slo s, sus tablas de verdades, no son

tautolgicas ni contradictorias.


Demostrar sus tablas de verdades, si son: tautolgicas,

contradictorias o son una contingencia.

1. (~ p q) (p ~ q)

2. ~ (p q) (~p ~q)

3. ~ (p~q) (p q)

4. [(pq) (pq)] p q

5. ~ [~ (p q)] (~p ~ q)


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1.4.1 LEYES DEL LGEBRA PROPOSICIONAL

1. Idempotencia

p p p

p p p

2. Involucin

~ (~p) p

3. Asociativa

(p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

4. Conmutativa

p q q p

p q q p

5. Distributiva

(p q) r (p r) (q r)

(p q) r (p r) v (q r)

6. Identidad

6.1 p f f 6.2 p v p

6.3 p f p 6.4 p V v

7. Complemento

7.1 p ~p f 7.2 p ~ p v

7.3 ~ ~ p p 7.4 ~f v

7.5 ~ v f


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8. Leyes de Morgan

a) La negacin de la conjuncin es equivalente, s y slo s, a

las negaciones de la disyuncin

~ (p q) ~ p ~ q

b) La negacin de la disyuncin es equivalente, s y slo s, a

las negaciones de la conjuncin ~ (p q) ~ p ~ q

c) La negacin de la implicacin es equivalente, s y slo s, ala primera proposicin y la segunda proposicin negada.

~ (pq) p ~ q

9. Implicaciones asociadas

Directa pq

Recproca qp

Contraria ~ p~ qContra-recproca ~ q~ p

pq Recproca qp

~ p~ q Recprocas ~ q~ p

Se puede demostrar, mediante tablas de verdades que las contra-

recprocas: son tautolgicas.

Co

ntrarias

Co

ntrarias


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Demostrar:

1) (pq) (~ q~ p)

2) (~ p~ q) (qp)

Si la implicacin directa es verdadera, no se puede asegurar

respecto a la verdad o falsedad de la implicacin: recproca o

contraria.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO VLIDO

Lo ms importante en la matemtica es el razonamiento

deductivo; los teoremas se enuncian mediante una implicacin,

cuyo antecedente es la hiptesis y el consecuente la tesis; de

acuerdo con lo establecido al analizar las condicionales

conjugadas se puede afirmar la validez del teorema directo, el

contra recproco tambin se cumple; nada se puede asegurar del

teorema recproco y contrario.

El razonamiento es deductivo, s y slo s las premisas son

evidentes para una conclusin evidente. No tiene sentido afirmar

que un razonamiento es verdadero o falso; debe expresarse que

es vlido o no.

1.5. REGLA DE INFERENCIA

Se denomina Regla de inferencia a todo esquema vlido de

razonamiento independientemente de la interpretacin de las

proposiciones simples; es decir, toda regla de inferencia es

tautolgica; y son:


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a) Inferencia de la separacin (modus ponens)

pq

p .

q

b) Principio de la inferencia negativa (modus tolens)

pq

q

p

c) Principio del silogismo

pq

qr

pr


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a) Utilizando las leyes del lgebra Proposicional, simplificar las

siguientes proposiciones:

1. (p F) (p p)

2. (p V) (p ~p)

4. (p F) (p V)

5. p (p q)

6. p (~p q)

7. Es falso que, si Carlos es estudioso entonces Juana es

inteligente.

8. No es cierto que, la fruta es madura y el rbol es alto.

9. No es cierto que, el ro es caudaloso o Mara no es bonita.

10. No es verdad que, si las aves vuelan entonces las flores no

son bellas.

11. No es verdad que, Carlos es buen estudiante y Mara no es

bonita.

12. Demostrar que si el siguiente Silogismo es Tautolgico:

- Si Carlos es deportista y Ana es estudiosa; entonces las

flores son bellas; y,- Si las flores no son bellas; entonces Carlos no es

deportista y Ana es estudiosa;

Entonces:

Si, Ana no es estudiosa ni Carlos es deportista; entonces

las flores son bellas.


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13. - Si, est lloviendo; entonces hace fro o est nevando; y,

- Si, no est nevando o hace fro, pero no ambos,

entonces no est lloviendo.

Entonces:

Si, hace fro s y slo s est nevando; entonces no est

lloviendo; y,

Si, no llueve ni hace fro; entonces est nevando.

14. Escriba la contrarrecproca de la proposicin:

Si, hace fro entonces est lloviendo.

Si, no est nevando entonces est lloviendo.

Si, las flores no son bellas entonces la fruta no es

agradable.

Antonio es deportista y Ana no es estudiosa.

15. Demostrar la validez de las inferencias:

15.1 [ (pq) p] p

15.2 [ (pq) ~p] ~q

15.3 [ { (p q)(q r) } { (~p q)r } ] ~p

15.4 [ {p(q ~r) } {q (rp) } ] ~ (p q)


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1.6.FUNCIONES PROPOSICIONALES Y CUANTIFICADORES

Toda proposicin expresa una cualidad o caracterstica a un

sujeto particular. Una misma, cualidad, calidad o caracterstica

puede predicarse para varios sujetos; en cada caso se obtendr

una proposicin. Si P es una cualidad, calidad o caracterstica;

denotaremos con p(x) al conjunto de todas las proposiciones

singulares obtenidas al sustituir x por un sujeto; quedando definida

la funcin preposicional con una variable. p(x) no es una

proposicin.

A partir de funciones preposicionales es posible obtener

proposiciones generales que se conocen como cuantificadores.

Una proposicin queda cuantificada; s y slo s, alguna cualidad o

caracterstica se cumple para algunos o todos los sujetos.

1. Cuantificador Universal [ x : p(x)]

Cuando una cualidad o caracterstica se cumple para todos

los sujetos:

x : p(x) Todos los hombres son mortales.

x : q(x) Todas las tortugas tienen caparazn.

2. Cuantificador Existencial [ x : p(x)]

Una proposicin queda cuantificada existencialmente; s y

slo s, alguna cualidad o caracterstica se cumple para

algunos sujetos.

x : p(x) Algunas damas son virtuosas.

y : q(y) Algunos jvenes son deportistas.

z : r(z) Algunos perros muerden.


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1.7. NEGACIN DE CUANTIFICADORES1. La negacin del cuantificador universal es, s y slo s,

existencial; y la proposicin queda negada

~ [ x: p(x)] x : ~ p (x)

2. La negacin del cuantificador existencial, es Universal y la

proposicin queda negada.

~ [ x : p(x)] x: ~ p (x)

Ejemplos:

1. Negar todos los jvenes son deportistas.

Rpta.Algunos jvenes no son deportistas.

2. Algunas aves vuelan.

Rpta. Todas las aves no vuelan.

3. Si algunas damas son virtuosas entonces todos los das est

lloviendo.

~ [ x : p (x)] y: q(y)] x : p (x) y : ~ q (y)

Rpta. Algunas damas son virtuosas y algunos das no est

lloviendo.

4. Todos los jvenes son deportistas y algunas aves tienen

plumas.

~ ( x: p(x) y: q(y)] x: ~ p(x) y: ~ q(y)

Rpta.Algunos jvenes no son deportistas, o todas las aves

no tienen plumas.


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Enunciados

1. Indicar diez ejemplos de enunciados.

2. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes a la universidad.

3. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al Per.

4. Indicar diez ejemplos de enunciados referentes al sistema solar.

5. Proposiciones

De los ejemplos indicados anteriormente, indique cules son

proposiciones y anteponga una letra: p; q; r ..................

6. Negacin de proposiciones

Los ejercicios anteriormente citados, negar y anteponer: ~ p; ~ q;

~ r; ...................

7. Con los ejercicios del grupo II, relacionar mediante el conectivo

conjuncin. Represente sus tablas de verdades.

8. Los ejercicios del grupo III relacionar, mediante el conectivo

disyuncin. Representar las tablas de verdades.

9. Ponga ejemplos de proposiciones compuestas con los conectivos:

conjuncin y disyuncin. Demuestre sus tablas de verdades.

Ejemplo:

9.1. (p q) r

p (q r)

Responda con oraciones declarativas.10. Indique ejemplos con oraciones declarativas de proposiciones

compuestas con los conectivos: conjuncin, disyuncin e

implicacin.


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Ejemplo:

10.1. (p q) (q r)

10.2. (pq) (p r)

Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de

verdades.

11. Indique ejemplos de proposiciones compuestas con los

conectivos: conjuncin, disyuncin, implicacin y doble

implicacin.

Ejemplo:

11.1. (p q)(r q) } (pr)

11.2. { p ~(q r) }(r q)

Responda con oraciones declarativas. Demuestre sus tablas de

verdades.


conectivos: conjuncin, disyuncin, implicacin, doble implicacin

y conjuncin negativa, ejemplo:

Ejemplos:

12.1. { (p q) (q ~ r) } (p ~ q)

12.2. { (p q) (r ~ p) } (~q p)

Responda sus ejemplos con oraciones declarativas. Demuestre

sus tablas de verdades.


conectivos; conjuncin, disyuncin, implicacin, doble implicacin;

conjuncin negativa y disyuncin exclusiva.

Ejemplos:

{ (p q) (qr) } { (p ~ r) v (q ~ p)

{ (p~q) v (r ~p) } { (r ~q) (q r) }


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CUANTIFICADORES

1. Cuantificar universalmente y existencialmente las proposiciones:

p : Las flores son bellas

q : Carlos es deportista

r : Mara es estudiosa

s : Antonio es libre

Representar con oraciones declarativas, utilizando las

proposiciones indicadas.

1.1 x : p(x) 1.2 x : p(x)

1.3 y : ~ q(y) 1.4 y : q(y)

1.5 z : r(z) 1.6 z : ~ r(z)

1.7 u : s (u) 1.8 u : ~ s (u)

Las proposiciones:

(1.1) y (1.3) relacionar mediante la conjuncin.

(1.2) y (1.4) relacionar mediante la disyuncin.

(1.5) y (1.4) relacionar mediante la implicacin.

(1.6) y (1.8) relacionar mediante la doble

implicacin.

(1.7) y (1.2) relacionar mediante la conjuncin

negativa.(1.5) y (1.1) relacionar mediante la disyuncin

exclusiva.

Utilizar las Leyes de Morgan en las relaciones proposicionales

anteriores libremente.


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Representar con oraciones declarativas las proposiciones:

x : p(x) y : ~ q (y)

y : q (y) p z ~ r (


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Simplificar las siguientes proposiciones:

1. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las

violetas son azules.

2. No es verdad que, hace fro y est lloviendo.

3. No es verdad que, l es bajo o galn.

4. No es verdad que, hace fro est lloviendo.

5. No es verdad que, si est lloviendo entonces hace fro.

6. No es verdad que, si las rosas son rojas entonces las

violetas no son azules.

Con las leyes del lgebra Proposicional simplificar:

1. (p q) ~ p

2. p (p q)

3. ~ (p q) (~p q)

Demostrar los siguientes silogismos:

1. Si, Carlos es inteligente o Lizeth es bonita; entonces Ana es

responsable; y

Ana no es responsable y Carlos es inteligente; s y slo s,

Lizeth es bonita; entonces

Ana no es responsable ni Carlos es inteligente; s y slo s,

Lizeth es bonita.

2. Est lloviendo o hace calor, pero no ambos; y hace fro; y

Si, no hace fro ni calor; entonces est lloviendo; entonces

hace calor o hace fro, pero no ambos; s y slo s, no est

lloviendo.


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31

CAPTULO II

LGEBRA DE CONJUNTOS

CONCEPTO PRIMITIVO

Son palabras que se aceptan sin definir por ser naturales al ser humano.

2.1. CONJUNTOEn 1772 Kurt Grrellng escribi el primer libro referente a la teora

de los conjuntos. Por su resonancia mundial, el rey condecor con

el titulo de caballero a Kurt Grrellng. Sin embargo nadie le

entendi y todos les repetan que estaba loco. Efectivamente Kurt

Grrellng lleg a un estado de esquizofrenia y muri en un

sanatorio psiquitrico. En 1942 los aviones alemanes se apoderan

del cielo Europeo al no poder ser derribados por la artillera aliada.Lo que llev a la formacin de un equipo de cientficos que

estudiaron la ciberntica y la telemetra; con lo que los aviones

alemanes fueron derribados fcilmente y el ejrcito Alemn y sus

aliados fueron derrotados.

La nocin conjunto, es un concepto primitivo, se acepta sin

definir. Sin embargo, los jugadores de un equipo de ftbol;

lapiceros; alumnos en el aula; un cesto de naranjas; los

departamentos del Per; los pases de Europa; etc. Nos dan ideas

de conjuntos. Los conjuntos se representan con letras

maysculas: A; B; C; D; E; .......


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MATEMTICA BSICA I

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Cada jugador; cada lapicero; cada alumno; cada naranja; cada

departamento; cada pas; son elementos del conjunto y se

representa con letras minsculas, entre llaves.

A = {a; b; c; d; e}

B = {a; b; c; d;...}

C = {a; b; c; d;...}

Se puede tambin representar con palabras:

D = {Jorge, Manuel, Javier, Antonio}

E = {Espaa, Inglaterra, Francia, Holanda, Italia}

DETERMINACIN POR EXTENSIN

Un conjunto se determina, por extensin; nombrando a cada uno

de sus elementos.

Nmeros pares : N = {2; 4; 6; 8;10;12;..... }

Polgonos : P = {cuadrado, rombo, rectngulo,

Trapecio,.......}

Damas : Q = {Rosa, Sara, Lizet, Alexandra,......}

DETERMINACIN POR COMPRENSIN

Un conjunto se determina por comprensin, mediante una

cualidad o calidad; que especifique si un elemento pertenece o no

pertenece al conjunto. Se representa con la sigla x/x y se lee: x tal

que x; la primera x representa la cualidad o calidad y el segundo,

al elemento del conjunto:


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MATEMTICA BSICA I

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A = {x/x pases del Asia}

B = {y/y departamentos del Per}

C = {z/z capitales de los pases Americanos}

Si representamos por extensin:

A = {Japn, China....}

B = {Lima, La Libertad, Ayacucho.....}

C = {Lima, Quito, La Paz}

2.2. CLASES DE CONJUNTOS

Para un estudio ms detallado, encontramos los siguientes tipos o

clases de conjuntos:

2.2.1 CONJUNTO NULO O VACO: { } ,

Es aquel que carece de elemento; mediante una cualidad, calidad

o caracterstica.

Ejemplo:

A = {x/x, Hombres que tiene alas}

Eso no significa que no exista Lima o Francia. Sin embargo con

las caractersticas del ejercicio: no existe y se representa, en

cualquiera de las dos formas:

A = { } A = ; de ninguna manera A = { }, el cual

representara a un conjunto unitario.


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MATEMTICA BSICA I

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Podemos indicar otros ejemplos:

1. A = {x/x; 7 < x < 8} para un nmero natural. No existe

ningn nmero entre 7 y 8; que sea natural. Para los

nmeros racionales, no sera nulo.

El ejemplo dado se representa:

A = { } A =

2. B = {y/y, fbrica de aviones en el Per}

3. C = {z/z, automviles en el saln}

4. Tambin se puede representar: P(x) : Un extraterrestre en

la Universidad.

D = {x/x; p(x)} D = { }

2.2.2 CONJUNTO UNITARIO

Es aquel que contiene un solo elemento,

Ejemplos:

A = { a }

B = {x/x; Bandera del Per}

C = {y/y; Rector de la U.T.P.}

D = {z/z; g < x < 11} para los nmeros naturales.

2.2.3 CONJUNTO FINITO

Es aquel que se puede determinar por extensin a todos sus

elementos.

Ejemplos:

A = {a, b, c, d}

B = {x/x; 2 x 10} B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

C = {y/y, pases americanos}

D = {z/z, polgonos}


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2.2.4 CONJUNTO INFINITO

Son aquellos que no se pueden determinar por extensin a todos

sus elementos (se le recomienda leer el texto: Matemticas e

imaginacin por Edward Cassner).

Por lo general ejemplos de conjuntos infinitos se dan con

expresiones matemticas;

Ejemplos.

1. A = {x/x nmeros naturales}

A = {0; 1; 2; 3 ................. + }

B = {y/y nmeros enteros}

B = {- ......2; -1; 0; 1; 2 ..........+ }

C = {2/2 puntos en una Recta}

C = {a, b, c, d, e, f, g, .......}

2.2.5 CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL ( )

Es un conjunto que incluye a los conjuntos para un anlisis

particular. Se deja constancia, que un conjunto universal; no es

una totalidad, mucho menos un universo.

Ejemplo:

1. Si: A = {0; 1; 2; 3}

B = {2; 3; 5; 6}

C = {4; 6; 7; 8}

= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};; U = Numeros naturales

2. A = {x/x; Ayacuchanos}

B = {y/y; Piuranos}

C = {z/z; Tacneos}

= {u/u; Peruanos}


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3. A = {x/x; estudiantes sanmarquinos}

B = {y/y; estudiantes villarrealinos}

C = {z/z; estudiantes Utepinos}

U = {u/u; estudiantes universitarios}

2.3. RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS

2.3.1 SUB-CONJUNTO ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B essubconjunto de A; y se representa B A; si todos los elementos

de B; pertenecen al conjunto A.

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {0; 1; 2; 3}

2. A = {a; b; c; d}

B = {b; c; d}

A B (A no es sub-conjunto de B)

3. A = {x/x frutas}

B = {y/y naranjas, uvas, limas}

B A

2.3.2 SUB-CONJUNTO PROPIO O PARTE PROPIA ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto B es parte

propia de A; y se representa B A todos los elementos de B son

elementos de A; que contiene todos los elementos de B, que

pertenecen al conjunto A, existen elementos del conjunto A, que

no pertenecen a B.


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Ejemplo:

A = {0; 1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 4} C = {2; 3; 4}

En la relacin sub-conjunto; no, necesariamente algunos

elementos de A pertenecen a B.

Ejemplos:

1. A = {11; 12; 13; 14} y B = {11; 12; 13; 14}

B A = {11; 12; 13; 14}

BA

Este ejemplo especifica que la relacin sub-conjunto es

amplia.

2. A = {a; b; c; d} y B = {a; b}

B A

2.3.3 CONJUNTOS IGUALES (=)

Dados los conjuntos A y B; se dice que el conjunto A es igual al

conjunto B; y se representa A = B; s A y B tienen elementos

comunes.

{A B B A} A = B

Ejemplo:

A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3}

A = B

2.3.4 CONJUNTO POTENCIA (2)

Se denomina as, al conjunto formado por todos los sub-conjuntos,

del conjunto A.


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38

Ejemplo:

A = {a; b; c}

2A = {A {a; b}; {a, c}; {b,c} ; {a}, {b} ; {c}; }

23= 8 sub-conjuntos

2.3.5 CONJUNTOS COORDINABLES ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que existe una relacin decoordinabilidad entre los elementos de A y B; si y slo s, todos los

elementos de A se relacionan de uno a uno con los elementos de

B; sin que falten ni sobren dichos elementos. A este tipo de

conjuntos, se les dice que estn en relacin Bionvoca [No

necesariamente deben tener elementos comunes]

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {a; b; c; d}

A B Coordinables

2. A = {x/xciudadanos peruanos}B = {y/y nmero del DNI}

2.3.6 CONJUNTOS DISJUNTOS ( )

Dados los conjuntos A y B; se dice que los elementos de A y B;

son disjuntos, si A no contiene ningn elemento B; B tampoco

contiene ningn elemento de A.

BA

B)(Disjuntos


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Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3}

B = {a; b}

A B Disjuntos

2. A = {x/xdamas}

B = {y/y caballeros}

A B Disjuntos

2.3.7 PERTENENCIA ( )

Es la relacin de elemento a conjunto.

Ejemplo:

A = {0; 1; 2}

0 A (cero pertenece al conjunto A)

1 A (uno pertenece al conjunto A)

2 A (dos pertenece al conjunto A)

3 A (tres no pertenece al conjunto A)

No se puede representar:

{1} A {no es correcto; porque, {1} es un conjunto}

{1} A {es lo correcto}

2.3.8 CONJUNTOS COMPARABLES

Dos o ms conjuntos son comparables, s y slo si A B

B A; no son comparables si A B v B A.


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Ejemplo:

1. Si A = {0; 1; 2} B = {0; 1} .- Entonces B es comparable

con A; pues, B es un sub-conjunto de A.

B A.

2. Si C = {0; 1} y D = {1; 2; 3}; C y D no son comparables;

pues O C y D D; 3 D y 3 C.

2.4. REPRESENTACIN GRFICA DE LOS CONJUNTOS

2.4.1 DIAGRAMAS DE VENN - EULER

Es la representacin grfica de los conjuntos, mediante

polgonos. Estos diagramas estn sujetos a las siguientes

premisas:

1 Premisa N 1.- El conjunto Universal o Referencial se

representa con el rectngulo.

U

2 Premisa N 2.- Los otros polgonos se pueden representar al

interior del rectngulo; jams al contrario.

U U

AA B


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U

3 Premisa N 3.- Los otros polgonos se representan

intersecados; jams separados, as sean disjuntos.

A B

C

CORRECTO

INCORRECTO

A B

C

A B

A B

C


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DIAGRAMAS LINEALES

Se utilizan para los sub-conjuntos.

Ejemplo:

1. A B B

A

C2. A B B C

B

A

3. A = {1} B = {1; 2} C = {1; 2; 3}

D = {1; 2; 4}

C D

B

A

4. A = {1} B = {2} C = {1; 2}

C

A B


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5. A = {1} B = {2} C = {1;2} D = {1;2;3}

E = {1;2;4}

D E

A B

2.5. OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS

2.5.1 REUNIN O UNIN ( )

Dados los conjuntos A y B; se denomina reunin entre los

elementos de A y B, se representa A B = C; al conjunto C, que

contiene por lo menos un elemento de A o de B. (No existe

reunin entre conjuntos nulos).

Ejemplo:

1. A = {a} B = { } A B =

A

B

2. A = {a; b; c} B = {c; d}

A B = {a; b; c; d}

A B

A B

a

bc dc

C


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MATEMTICA BSICA I

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En la reunin se marcan todos los polgonos

Por comprensin se puede definir:

A B = {x/x, x A v x B}

a) Cumplen con la propiedad conmutativa.

A B = B A

Concretamente: A (A B) B (A B)

b) Cumplen con la propiedad asociativa.

(A B) C = A (B C)

A B

A B

C C

2.5.2 INTERSECCIN (A B)

Dados Los conjuntos A y B; se denomina interseccin entre los

elementos de A y B; y, se representa A B = C; al conjunto C,

que contiene los elementos comunes de A y B.

Ejemplo:

Si A = {a; b; c; d} y B = {d; e; f}

A B = {d}


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A B

A B = {d/d , d A d B} por comprensin.

1. Cumplen con la propiedad conmutativa.

A B = B A (A B) A = (A B) B

2. Cumplen con la propiedad asociativa.

(A B) C = A (B C)

A B A

B

=

C C

3. Cumplen con la propiedad distributiva con relacin a la

reunin.

A (B C) = (A B) (A C)

A B A

B

=

C

C

ab

c

e

fd


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2.5.3 DIFERENCIA () O COMPLEMENTO RELATIVO

Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia entre los

elementos de A y B; y, se representa AB = C; al conjunto C, que

contiene los elementos de A, que no pertenecen al conjunto B.

Notacin:AB, , A \ B, , C

Ejemplo:

1. A = {0; 1; 2; 3} y B = {3; 4; 5}

AB = {0; 1; 2}

A B

2.5.4 COMPLEMENTO (A)

Dados el conjunto Universal (U) y el conjunto A, se denomina

Complemento y se representa A = U A; a los elementos del

conjunto universal que no pertenecen al conjunto A.

Ejemplo: U = {a; b; c; d} A = {a; b}

A = {c; d}

A = {x/x, x U x A

U

A A= U

A A =

U =

(A) = A

A A

01

2

4

5

3


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2.5.5 DIFERENCIA SIMTRICA ( )

Dados los conjuntos A y B; se denomina diferencia simtrica y se

representa A B = C; al conjunto que contiene todos los

elementos de (A B) U (BA)

AB BA

A B


1. Diga, por qu las nociones: Elemento Conjunto pertenencia

son trminos no definidos.

2. Las afirmaciones siguientes, represente connotaciones:

A no incluye a B.

B contiene al conjunto de A.

a no pertenece a B.

e es elemento de A.

C no es sub-conjunto de B.

B es parte propia de A.

3. Discuta y aclare las siguientes afirmaciones:

3.1 Si A = {x/x, 4x = 12} b = e entonces b = A?

3.2 Si se tiene A = {a; b; c; d} Qu afirmaciones son correctas y

cules incorrectas?


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3.2.1. a A 3.2.5 {b} A

3.2.2. c A 3.2.6 d A

3.2.3. d A 3.2.7 c A

3.2.4 {b} A 3.2.8 b A

4. En las siguientes expresiones enuncia con oraciones declarativas;

luego, representa en forma tabular:

A = {x/x; x3= 64}

B = {x/x; x5 = 8}

C = {x/x; x es un nmero positivo y x es un nmero

negativo}

D = {z/z; z es un elemento de la palabra AYACUCHO}

Representar los siguientes conjuntos, constructivamente:

A : est formado por las letras a; b; c; d

B : es un nmero par positivo.

C : es un pas sudamericano.

D = {x/x, x2 = 7}

E = {x/x, Presidente del Per luego de Alan Garca}

Cules son conjuntos finitos y cules son infinitos?

A = {2; 3; 4 ........... 99; 100}

B = {x/x, meses del ao}

C = {y/y, departamento del Per}

D = {z/z, habitantes de la tierra}

E = {u/u, nmero par}

F = {x/x,0 < x 5 para todo nmero racional}

G = {y/y, 3 y 20}


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Cules de estos conjuntos son iguales?. Explique:

A = {x/x, es una letra de la palabra TOCATA}

B = {x/x, las letras de la palabra TACTO}

C = {x/x, es una letra de la palabra COTA}

D = {a; c; o; t}

Indique la similitud o diferencia entre las palabras: vaco cero y

nulo.

Entre las expresiones que siguen cules son diferentes?

; {o} ; { }; p

Cules de estos conjuntos son nulos:

A = {x/x, en el alfabeto, letra despus de z}

B = {x/x, x2=9 3x=5}

C = {y/y; y y}

D = {z/z, 2 + 8 = 8}

Hallar todos los sub-conjuntos de: A = {a; b; c; d}

Definir los siguientes conjuntos de polgonos en el plano Euclidiano y

cules son sub-conjuntos propios.

A = {x/x, es un cuadrado}

B = {x/x, es un rectngulo}

C = {x/x, es un rombo}

D = {x/x, es un cuadriltero}


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Todo conjunto A tiene un sub-conjunto propio?. Analice.

Conjunto vaco , entonces A = .

Si se tienen los conjuntos A = { }; B = {c, d} ; C = {a; b; c}

D = {a; b} ; E = {a; b; d}

Establecer la verdad o falsedad de las afirmaciones:

1. D C 6. E C

2. B A 7. A C

3. B E 8. D E

4. E D 9. C = B

5. E A 10. B D

Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {4; 5; 6; 7; 8; 9} C = {2; 4; 8; 9}

D = {4; 5} ; E = {2; 4} ; F = {2}

Sea x un conjunto desconocido.- Cules de los conjuntos:

A; B; C; D; E; F pueden ser iguales al conjunto x con las

siguientes relaciones:

1. x A y x B 3. x A y x C

2. x B y x C 4. x B y x C.

Si se tienen las relaciones:

A subconjunto de B; B sub-conjunto de C; suponiendo a

A; b B y c C; adems de A; e B , f C; cules

de las afirmaciones son verdaderas:


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1. a C 4. d B

2. b A 5. e A

3. c A 6. e A

Graficar el diagrama lineal para los conjuntos:

A = {a; b; c} B = {a; b} C = {a; c}

Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:

A = {a; b; c} B = {a; b} C = {b}

Trazar un diagrama lineal para los conjuntos:

R = {r; s; t} S = {s} T = {s; t; u}

Sean los conjuntos:

Q = {x/x, es un cuadriltero}

R = {x/x, es un rectngulo}H = {x/x, es un rombo}

S = {x/x, es un cuadrado}

Trazar el diagrama lineal.

Se tienen los conjuntos:

V = {d} ; W = {c; d} ; X = {a, b, c}

Y = {a; b} ; Z = {a; b; d}


Sean los conjuntos: V = {d} ; W = {e, d} ; X = {a; b; c} ;

Y = {a; b} y, Z = {a; b; d}



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Sea S un conjunto cualquiera. Construir el diagrama lineal para los

conjuntos:{ }; S, y U

Si se tienen los conjuntos:

(1) A B ; (2) A B ; (3) A = B

(4) A B ; (5) A B

Trazar los diagramas de Venn-Euler correspondiente.

Examinar el siguiente diagrama lineal de los conjuntos: A; B; C y D.

A

B

C D

Determinar seis afirmaciones del ejercicio anterior.

Construir diagramas de Venn-Euler para los

conjuntos: A; B; C; D del diagrama lineal en el ejercicio

(4.23)

Qu se puede afirmar del ejercicio { {2; 3} }

Dado el conjunto A = {2; {3; 4}; 3} cules son

afirmaciones incorrectas y por qu?


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MATEMTICA BSICA I

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1. {3; 4} A ; 2. {3; 4} A

3. { {3; 4} } A ; 4. 4 A

5. {4} A ; 6. 4 A

Hallar el conjunto potencia del conjunto

S = {3; {1; 4} }

Cules de las afirmaciones se definen en un desarrollo

axiomtico de la teora de conjuntos:

1. Conjunto ; 2. Sub-conjunto ; 3. Disjunto ; 4. Elemento;

5. Es igual a ; 6. Pertenece a ; 7. Superconjunto.

Representar en notacin conjuntista, las afirmaciones:

1. x no pertenece al conjunto A.

2. R es subconjunto de S.

3. d es elemento de E.

4. F no es sub-conjunto de C.

5. H no incluye a D.

6. A es subconjunto de D.

7. A y B son coordinables.

8. A y B son disjuntos.

Si B = {0; 1; 2} hallar todos los sub-conjuntos de B.

Si F = {0 {1; 2} }. Hallar todos los sub-conjuntos de F.

Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}

Hallar y graficar con los diagramas de Venn-Euler.


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1. A B 2. A C 3. B C

4. B B 5. A B 6. A C

7. B C 8. U

Si A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4; 6; 8} C = {3; 4; 5; 6}

Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler y el

diagrama lineal.

1. (AB) ; 2. (CA) 3. (BC)

4. (BA) ; 5. (AA) 6. (A B)

7. (A C) ; 8. (B C)

Si U = {1; 2; 3 8; 9}

A = {1; 2; 3; 4} ; B = {2; 4; 6; 8}

C = {3; 4; 5; 6}

Hallar y graficar con el diagrama de Venn-Euler:

1. A 2. B 3. C

4. (A C) 5. (A C) 6. (AB)

7. (CB) 8. (A B) 9. (B C)

10. (A C) 11. (A B) 12. (B C)

13. (B C)

Si A = [4; 8[ ; B = [7; 12]

C = {3; 4; 7; 13; 14}

Hallar y graficar las operaciones:

1. (AB) 2. (C A) 3. (B A)

4. (A B) (A C)

5. (A B) (C B)


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MATEMTICA BSICA I

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1. Una persona consume caf y t durante el mes de mayo, tomacaf 20 das y t 23 das. Cuntos das consume caf y tsimultneamente. El mes de marzo tiene 31 das.Observemos y graficamos.

Sumamos: 20 + 23 =43

x

x

x

12

3143

3143

Rpta: 12 das tomo t y caf

2. Se han realizado 200 informaciones entre los estudiantes de SanMarcos, 103 estudian matemtica; 90 Fsica y 89 Qumica,Matemtica y Fsica 32; Matemtica y Qumica 48; Fsica yQumica 26. Cuntos estudian las 3 asignaturas y cuntos unasola asignatura.Grafiquemos y analicemos:

24

20073103

x

x

Rpta: 24 las tres asignaturas y 142 una sola asignatura

xt caf

x

10+x

26-x 48-x

32-x45+x

15-x

90103

89

24

69 34

39

2

8

24


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3. A y B son dos conjuntos: A B = 58, AB = 23. Hallar A B.4. En una Academia trabajan 72 personas. 40 hablan Ingls y 56

Alemn. Cuntos hablan un solo idioma y cuntos ambos idiomas.

5. De 120 amas de casa; 72 compran arroz; 64 verduras y 36 carne,12 los tres productos. Cuntos han comprado exclusivamente dosproductos.

6. Se tienen los conjuntos A y B. A = 3x+ y; B = 2y + 3; yA B = x + y = 4. Cuntos elementos tiene A B?

7. Se ha realizado una encuesta entre 10,000 personas. 70%sintonizan radio; el 40% leen peridico, y el 10% observantelevisin. Entre los que sintonizan radio, el 30% leen peridico yel 4% observa televisin; el 90% de los que observan televisin,lee peridicos; del total 2% lee peridico, observa televisin ysintoniza radio. Cuntos no leen peridico, no sintonizan radio, niobservan televisin. Cuntos leen peridico nicamente?

8. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3;4};B = {1; 4; 13; 14} ;C = {2; 8} ;D = {10; 11; 12} ;Hallar: graficar los resultados:8.1) A B8.2) A C8.3) (D C)8.4) B D

8.5) (C A)8.6) (C A) B8.7) (C A) (C B)8.8) C (A B)8.9) (C A) (C D)8.10) C (A D)8.11) C |(A B)8.12) (A B)D

8.13) (A B)D8.14) (AB) (BD)8.15) (A B) (BD)8.16) (A B)(A B)

8.17) (A B) (C D)8.18) (A C) (BD)8.19) (AB) (C D)8.20) (A B) (C D)


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9. Sean A y B dos conjuntos de tal modo:A B = 34; AB = 20; BA = 16.Hallar: 5 {A4B}

10. Se hizo una encuesta entre 200 persona: saban 56 Espaol; 60Alemn y 84 Francs. Espaol y Alemn 16; Espaol y Francs20 y Alemn y Francs 10. Los tres idiomas 6.

a. Cuntos no estudiaban idiomas;b. Cuntos exclusivamente Francs.

11. De 134 personas encuestadas. 94 conocen Ingls; 70 Alemn y46 ambos idiomas. Cuntos no conocen ambos idiomas.

12. Si se tienen los conjuntos:A = 3x + y; B = 3y + 3; y A B = x + yHallar: A B.

13. Entre 240 estudiantes: 144 estudian Anlisis Matemtico; 128

Biologa; 72 Ciencias Sociales; y 24 las tres asignaturas. Cuntosestudian exclusivamente dos asignaturas.

14. Se tienen los conjuntos:A = {a; c; d} ; B = {e; f; g} y C = {c; e; p; k}Hallar: A (B C)

15. Si U = {a; b; c; d; e}A B = {a; b; c; d} ; A B = {a; c} y AB = {6}. Hallar A y B.

16. Si se tienen los conjuntos:A = {5; 6; 7; 8} B = {6; 7; 1; 2}C = {4; 5; 7; 9}Hallar:16.1) A B.16.2) (A B) C


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16.3) A (BC)16.4) C(A B)

17. Si A B = {1; 2; 3; 4}A B = {1; 3} y AB = {2}Hallar A y B.

18. Si A B = {a; b; c; d}A B = {a; c} y AB = {b}Hallar A y B.

19. Si A = {-1; 0; 1} B = {-2; -1; 0; 1; 2}C = {-3; 1; 2}.Hallar y graficar.19.1) B19.2) A19.3) (A B)19.4) A B

19.5) B C19.6) A c19.7) (B C)19.8) (A B)

20. Se tienen los conjuntos:U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 4; 6; 8; 10}

Hallar y graficar:20.1) A B20.2) A B20.3) AB20.4) BA20.5) A20.6) B20.7) (A B)


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20.8) A B20.9) (A B)20.10) (A B)

21. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}A = {1; 4; 5; 6} ; B = {2; 4; 6}Hallar y graficar:21.1) A21.2) B21.3) A B21.4) B A21.5) A B21.6) (A B)21.7) A B21.8) A B

22. Si U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;11; 12; 13; 14}A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 4; 13; 14} C = {2; 8}

Hallar y graficar:22.1) A B22.2) A C22.3) B D22.4) D C22.5) A22.6) A B22.7) A B22.8) (A B)

22.9) A C22.10) (A D)22.11) (A C)22.12) (A B)C22.13) (AB) (BA)22.14) (A B) - (A B)22.15) (A B) (B A)

23. Si se tienen los conjuntos:A = {1; 2; 5; 7; 8} B = {2; 3; 4; 7; 9}C = {1; 3; 5; 6; 8} U = {x/x x N; x 9}Hallar y graficar:23.1) [ (A B)(A C) ]23.2) [ (A B)(A C) ]23.3) [ (A - B) (AC) ]


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23.4) [ (A B) (AC) ]23.5) [ (CB) (A C) ]23.6) (A B) (B C)

24. Si se tienen las relaciones entre los conjuntos A y BA B = {1; 2; 3; 4; 5} ; A = {2; 3; 5; 7}B = {1; 4; 7} ; U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}Hallar y graficar:A y B

25. Graficar las siguientes operaciones con los conjuntos: A; B y C.25.1) A B.25.2) A C.25.3) (A B) C.25.4) (A B) C.25.5) A B25.6) AB25.7) (A B)

25.8) (A B)25.9) A A25.10) A A25.11) A (B C)25.12) A (B C)

26. Demostrar grficamente que, s se cumplen las propiedades conlos conjuntos: A; B y C.26.1) A B = B A.

26.2) A B = B A.26.3) (A B) C = A (B C).26.4) (A B) C = A (B C).26.5) A (B C) = (A B) (A C).26.6) A B = (A B)26.7) AB = A B26.8) A B = (A B)26.9) (A B) C = (A C) (B C)


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26.10) (A B)C = (AC) (BC)26.11) (A B)C = (AC) (BC)26.12) A (A B)26.13) B (A B)26.14) (A B) A26.15) (A B) B26.16) A (B C) = (A B) (A C)

27. En un Instituto de Idiomas estudian 200 alumnos: Italiano 56;Ingls 60; Francs 84; Italiano e Ingls 16; Italiano y Francs 20;Ingls y Francs 20; Italiano y Francs 10; los tres idiomas 6.1. Cuntos no estudiaban ningn idioma.2. Cuntos estudiaban un solo idioma.3. En un saln de 68 estudiantes 48 juegan ftbol; 25 bsket; y

30 natacin. 6 de ellos practican los tres deportes.4. Cuntos practican un solo deporte.5. Cuntos practican dos deportes.6. De 240 alumnos, 144 estudian Matemtica; 128 Fsica y 72

Qumica; 24 estudian los tres cursos. Cuntos estudian doscursos.


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VECTORES

CONCEPTOS BSICOS

PAR ORDENADO.-Llamaremos par ordenado a dos objetos cualquiera

a y b; que denotaremos por (a,b), donde a es llamado la primera

componente y b la segunda componente.

Ejemplo.-

Son pares ordenados (1,4), (-2,3), (Pedro , Mara), (hombre, mujer).

Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si sus primeras

componentes son iguales y las segundas tambin.

En forma simblica es:

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-

Consideremos dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y

B, al conjunto de los pares ordenados (a,b) donde a pertenece al

conjunto A, y b pertenece al conjunto B y denotaremos por A x B.

Es decir :

Sean y , el producto cartesiano de A y B es:


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=

Si , denotaremos y para nuestro caso tomaremos ,

es decir y a sus elementos llamaremos pares ordenados de

nmeros reales.

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas de ejes X e Y, y a

los puntos de este sistema de coordenadas cartesianas, denotaremos

por , etc.

Grfico:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-

Consideremos dos puntos y , a la distancia de a

denotaremos por y es dado por la frmula:

Es decir: En l , por

Pitgoras si tiene:

Adems se tiene:


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Reemplazando (2) en (1) se tiene:

SUMA DE ELEMENTOS EN RxR=R2

Dado dos puntos y de , la suma de elementos de

se define del modo siguiente:

MULTIPLICACIN DE UN NUMERO REAL POR UN ELEMENTO DE

R2

Sean R y , el producto de un escalar r por un elemento

de que denotamos por y se define como:

ESPACIO TRIDIMENSIONAL

EJES CORDENADOS.- Los ejes de coordenadas son generalmente

identificados por las letras X, Y, Z y hablaremos frecuentemente del eje

X, del eje Y y del eje Z.

La direccin positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de

coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados

planos coordenados; planos XY, plano XZ y plano YZ, estos planos

dividen al espacio tridimensional en ocho regiones llamadas octantes.


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MATEMTICA BSICA I

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Considere un punto p cualquiera en el espacio tridimensional, a travs de

p se construye planos perpendiculares a cada de los ejes coordenados.

Sea A el punto en el cual el plano perpendicular al eje X intercepta en

dicho eje.

Sea B el punto en el cual el plano perpendicular al eje Y intercepta en

dicho eje.

Sea C el punto en el cual el plano perpendicular al eje Z intercepta en

dicho eje.

Los nmeros , son las coordenadas de p y representa

al punto p.


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MATEMTICA BSICA I

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-

La distancia no dirigida entre dos puntos y en el

espacio tridimensional est dado por:

Dentro de las aplicaciones de la matemtica a la fsica e ingeniera se

usan frecuentemente cantidades que poseen magnitudes y direcciones;

por ejemplo tenemos la fuerza, velocidad, y aceleracin y

desplazamiento, a estas cantidades se representan geomtricamente por

un segmento de recta dirigida al cual llamaremos vector.

Consideremos un punto P u un punto Q y al segmento de recta dirigido

de P a Q denotaremos por se llama vector de P a Q y denotaremos

por: .


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VECTORES BIDIMENSIONALES.-

DEFINICION.-

Un vector bidimensional es una pareja ordenada de nmeros reales

, donde x se llama la primera componente y, y se llama la

segunda componente.

a) OBSERVACION

1) A los vectores bidimensionales se le representa por letra

minsculas y en la parte superior se le coloca un segmento de

recta o una flecha, es decir:

2) Al conjunto de los vectores bidimensionales denotaremos por ,

tal que:

3) Al vector cero simbolizaremos por .

4) Si , entonces el opuesto del vector quedar

definido por: .

5) El vector fila, sus componentes se escriben una a continuacin de

la otra: .

6) El vector columna, sus componentes se escriben una debajo de la

otra:

Donde es la primera componente.

es la segunda componente.


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REPRESENTACIN GEOMETRICA DE UN VECTOR

BIDIMENSIONAL

Un vector bidimensional es representado, mediante un

segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es cualquier punto

del plano cartesiano y el extremo final es el punto cuyas coordenadas

son , tal como se muestra en la figura.

VECTOR DE POSICION O RADIO VECTOR.-

Al vector cuyo punto inicial se encuentra en el origen del sistema decoordenadas y el extremo libre puede ubicarse en cualquier cuadrante

del plano cartesiano, se denomina, vector de posicin o radio vector, as

como se muestra en la figura.

OBSERVACIN.- Al vector lo representaremos por cualquier punto

siendo su direccin indefinida.


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Ejemplo.- Representar grficamente al vector , cuyo punto inicial es, sabiendo que su representacin de posicin es:

1)

2)

3)

VECTOR TRIDIMENSIONAL

DEFINICION.-

Un vector tridimensional es una terna ordenada de nmeros reales

, donde son las componentes del vector.

As como las ternas ordenadas , determinan a los

vectores en donde 3,4,5 y 1,-3,2, son sus componentes.

a) OBSERVACIONES.-

1) A los vectores tridimensionales se denota por:

, , , , etc.

2) Al conjunto de vectores tridimensionales denotaremos por: , de

modo que:

3) Al vector cuyas componentes son llamaremos vector cero y

simbolizaremos por: .


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MATEMTICA BSICA I

71

4) Si , al puesto del vector quedara definido

por: .

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE UN VECTOR

TRIDIMENSIONAL.-

Sea un vector en el espacio, al cual lo representaremos

mediante un segmento dirigido tal como ; donde es el punto

inicial y es el extremo libre del vector (tal como

se muestra en la figura).

VECTOR DE POSICIN O RADIO VECTOR.-

Un vector es de posicin, si el punto inicial coincide con el

origen de coordenadas y el extremo del vector est ubicado en cualquier

punto del espacio, tal como se muestra en la figura.


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MATEMTICA BSICA I

72

VECTOR n-DIMENSIONAL.-

Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de nmeros reales que

denotaremos por , donde ,

Al conjunto de vectores n-dimensional representaremos por , es decir:

Si

Al vector cero denotaremos por:

El vector opuesto de n-dimensiones quedara definido por:

OPERACIONES CON VECTORES.-

IGUALDAD DE VECTORES.-Dos vectores son iguales si y slo si, sus componentes correspondientes

toman los mismos valores.

Es decir: Si entonces escribimos:

Si , y escribiremos

as:

Si no son iguales, entonces escribiremos:

para algn


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INTERPRETACIN GEOMETRICA DE LA IGUALDAD DE

VECTORES.-

VECTORES IGUALES.- Dos vectores son iguales si tienen la misma

direccin, el mismo sentido, el mismo tamao, el mismo punto inicial y al

mismo punto terminal se denota por =

VECTORES EQUIVALENTES.- Dos vectores son equivalentes si

tienen la misma direccin, el mismo sentido, el mismo tamao pero

diferente punto inicial y se denota

Ejemplo.- Calcular el valor M = 7x + 5y si donde =

(5x + 3y, 4x-y-4),


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MATEMTICA BSICA I

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Solucin

Aplicando el concepto de igualdad de vectores.

(5x + 3y, 4xy -4) = (4x +2y + 5, 3x + y +7)

5x + 3y = 4x + 2y + 5 x = 7

4xy -4 = 3x + y +7 de donde y = -2

M = 7X + 5Y = 7(7) + 5(-2) = 49 -10 = 39 M = 39

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.-

Sea un escalar ( R) y sea un vector cualquiera entonces

llamaremos producto de por denotado por: . , al vector

resultante cuyas componentes deben ser mult iplicadas por , esto es:

Si = ( luego = .( = (

Si = ( , luego = .( = (

en general si luego = .( = (

Ejemplo.- Sea = un vector donde:

1. A(1,1), B(4,3), = 2 graficar los vectores y


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Solucin

= = A = (4,3)(1,1)

= (3,2)

= 2(3,2) = (6,4)

= -2(3,2) = (-6,-4)

2. Si = (2,3) graficar 3 y -3

Solucin

3 = 3(2,3) = (6,9)

-3 = -3(2,3) = (-6,-9)

PROPIEDADES.-

Para todo es escalar r,s R y los vectores , se verifican las

siguientes propiedades.

1) r. es un vector. 2) (r + s) = r + s

3) r( + ) = r + r 4) r(s. =

5) 1. =


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MATEMTICA BSICA I

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SUMA DE VECTORES.-

Dados los vectores y , el vector resultante suma + se obtiene

sumando sus correspondientes componentes, esto es:

Si , = ( , = (

= (

Si , = ( , = (

= (

Si , = ( , = (

= (

Ejemplo.-

Si = (3,5) y = (1,4) entonces: = (3,5) + (1,4) = (3 + 1,

5 + 4) = (4,9)

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA SUMA DE VECTORES.-

En la interpretacin geomtrica de la suma de vectores consideramos los

mtodos siguientes:

1er. MTODO DEL PARALELOGRAMO.-

Se dibujan las representaciones de los vectores desde el mismo

punto (se hace coincidir los puntos terminal de y inicial de ) y se


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MATEMTICA BSICA I

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completa el paralelogramo. La diagonal trazada desde el punto comn

representa .

2do. MTODO DEL TRINGULO.-

Los vectores se grafican uno a continuacin del otro, luego el

vector resultante se obtiene del punto inicial del vector con el

punto final del vector .

3er. MTODO DEL POLIGONO VECTORAL.-

La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los

vectores una a continuacin de otro haciendo coincidir el extremo de uno

con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el

origen del primer vector con el extremo del ltimo vector.


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MATEMTICA BSICA I

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PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES

Para todo vector se verifica las siguientes propiedades:

1) es un vector.

2) = , conmutativa

3) , asociativa

4) vector, existe un nico vector tal que , neutro

aditivo.5) vector, existe un nico vector tal que ,

inverso aditivo.

DIFERENCIA DE VECTORES

Consideremos los vectores ; a la diferencia de estos vectores se

define de la siguiente manera:Si = ( , = ( , de donde:

Si = ( , = ( , de donde:


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Ejemplo.-Sean )3,1(a

y ).8,4(b

Hallar 3.( baab

26)2

Solucin

)2,6()6,2()8,4()3,1.(2)8,4(2ab

)2,14()16,8()18,6()8,4(2)3,1.(626 ba

)8,4()2,14()6,18()2,14()2,6.(326)2(3 baab

INTERPRETACIN GEOMETRICA DE LA DIFERENCIA DE

VECTORES.-

A los vectores ba

, lo representamos por los segmentos dirigidos

PQ y PR con la condicin de tener el tener es decir el origen

comn en el punto P, entonces la diferencia de ba

, es decir: ba

quedara representado por el segmento dirigido QR puesto que

abab

)( .

Ejemplo.- Dado la representacin de a y b

dibuje ba , usando la

definicin de resta y la regla del triangulo para la suma.


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Solucin

Dibujando los vectores ,ABa ,ACb

desde el mismo punto inicial A.

Ahora dibujamos b

Empleando la regla del triangulo para la suma se dibuja ba

LONGITUD O MDULO O NORMA DE UN VECTOR.-

La longitud o mdulo de un vector a es el nmero real no negativo,

representado por a y es definido por la raz cuadrada de la de los

cuadrados de sus componentes, esto es:

i) Si a 2V 1(aa , 2a ) de donde: 2221 aaa

cuya representacin grfica es:


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Si 1(aa

, 2a ) es un vector de posicin cuyo mdulo yrepresentacin grfica es:

ii) Si a 3V 1(aa ,

2a , 3a ) de donde:

2

3

2

2

2

1 aaaa

cuya representacin grfica es:

Si 1(aa , 2a , 3a ) 3V es un vector de posicin cuyo

mdulo y representacin grfica es:


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Sobre el plano XY se tiene 1(ad

, 2a ) donde su mduloes: 22

2

1 aad . De donde al incluir el eje Z se tiene el

mdulo del vector 1(aa ,

2a , 3a ), es decir:

2

3

2

2

2

1

2

3

2

aaaada

232

2

2

1 aaaa

En general si a nV 1(aa , 2a , , na ) de donde su

mdulo es:

n

i

in aaaaa1

222

2

2

1 ...

Ejemplo 1.-Si 3(a ,4) su mdulo es:

52516943 22a

Ejemplo 2.-Si (a 1, 3, 4) su mdulo es:

261691a

Ejemplo 3.-Si (a 2, 4) y (b 3, 5) entonces:

7,5158,9415,98,45,334,2.232 ba

74492575 22

Ejemplo 4.-Hallar el valor de M= 2x + 6y- 3z si el mdulo

de zyzxxa 2,35,28 es igual a cero.


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Solucin

Como a 3V y 0a 0,0,00a , es decir:

zyzxxa 2,35,280,0,0 de donde

2

Luego

PROPIEDADES DEL MODULO DE UN VECTOR

Se verifican las siguientes propiedades:

1. vector

2.

3. vector,

4. (desigualdad triangular)

Demostracin

1. Si = (

, como entonces

En forma similar si

= (


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2. SiSi = ( entonces

. Por lo tanto

En forma similar si = ( entonces

Por tanto

Si

Si

Si

3. Si = ( entonces: su mdulo

es:

Por lo tanto

Si = ( , entonces:

. Por lo tanto:

4. La desigualdad triangular lo demostraremos posteriormente en

base a la desigualdad de CAUCHY-SCHWARZ.


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MATEMTICA BSICA I

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VECTOR UNITARIO.-

Se llama vector unitario cuyo mdulo es la unidad, es decir: es un

vector unitario si y solo si = 1.

Ejemplo.-El vector es unitario por que =

TEOREMA

Dado un vector entonces el vector es un vector unitario.

Demostracin

Sea = ( entonces:

es unitario si

Es decir

Por lo tanto como entones es unitario.

En forma similar para los vectores

Ejemplo.- Si , por lo tanto:

es unitario.

DIRECCIN DE UN VECTOR EN R2

Cada vector no nulo = ( y su representacin como radio vector le

corresponde una direccin dad por la medida del ngulo formado por el

vector y el eje X positivo en sentido antihorario.


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Si = (

... (1)

adems y de (1) se tiene:

= (

Por lo tanto, un vector queda determinado por su magnitud y su

direccin.

Si es un vector unitario es decir

Luego si es un vector unitario se puede expresar en funcin de es

decir:

Y el ngulo se denomina ngulo de inclinacin o ngulo de direccin

del vector

OBSERVACION.- la medida del ngulo se obtiene de la forma

siguiente.

Mediante un ngulo de referencia y haciendo uso de una tabla de

valores se halla el valor de con para el cual ,


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Si 1er. cuadrante:

, 2do. cuadrante:

, 3er. cuadrante:

, 4to. cuadrante:

Ejemplo.- Hallar un vector de longitud y que tiene la misma

direccin de un vector que forma un ngulo de 30 con el sentido positivo

del eje X.

Solucin

=


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Ejemplo.-Expresar el vector en trminos de su magnitud y

su ngulo de inclinacin o direccin.

Solucin

Como , de donde

Calculando se tiene 4to. Cuadrante

Donde

Luego

Por lo tanto

CONBINACIN LINEAL DE VECTORES.-

Sea un conjunto de vectores, llamaremos combinacin

lineal de los vectores , a la expresin siguiente:

Donde

DEFINICION

Diremos que el vector esta expresado en combinacin lineal de los

vectores y si existen escalares , tal que:


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Ejemplo.-Expresar al vector en combinacin lineal de los vectores y

siendo

Solucin

El vector es expresado en combinacin lineal de los vectores y si

existen , R tal que: .

(2,2)=

De donde resolviendo el sistema si tiene ,

Luego la combinacin lineal es:

DEFINICION

Un conjunto de n vectores se dice que son linealmente

independiente, si toda combinacin lineal igualada al vector nulo.

, , implica que

Cuando los vectores no son linealmente independiente se dice que son

linealmente dependientes.


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MATEMTICA BSICA I

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OBSERVACION

1) Los vectores , son linealmente dependiente cuando los

vectores y son colineales.

2) Los vectores , son linealmente independiente cuando los

vectores y son no colineales.

Ejemplo

1) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores

, .

Solucin

Utilizando la definicin correspondiente, formularemos la

combinacin lineal y determinaremos las escalares respectivos

siempre que sea posible.

, de donde

por igualdad


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resolviendo el sistema se tiene , donde esarbitrario.

Entonces , y son linealmente dependiente.

2) Determinar la dependencia o independencia lineal de los vectores

Solucin

En forma similar al ejemplo anterior expresaremos a los vectores

, y en combinacin lineal.

de donde

por igualdad

resolviendo el sistema se tiene:

Entonces los vectores , y son linealmente independiente.

VECTORES FUNDAMENTALES

Consideremos los vectores y en al cual denotaremos as:

, estos vectores son unitarios y se representan a partir

del origen de coordenadas, situadas sobre los ejes coordenados en

sentido positivo al de los ejes; a estos vectores se les

denomina vectores fundamentales.


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Todo vector de se puede expresar en combinacin lineal de los

vectores fundamentales ,

Sea pero

de donde: =

A los nmeros , se denominan componentes escalares de y los

vectores se denomina componentes vectoriales del vector .

En forma similar consideremos los vectores y en

al cul denotaremos as:

Estos vectores son unitarios y se representan a partir del origen de

coordenadas, situada sobre los ejes coordenados en sentido positivo al

de los ejes; a estos vectores se les denomina vectores fundamentales.

Todo vector de es decir:

, puede expresarse como

combinacin lineal de los vectores

fundamentales. En efecto:

Ejemplo.- Expresar el vector como combinacin lineal de los

vectores y , siendo , .


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Solucin

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar (o producto interno) de dos vectores est dado

por la suma de los productos de sus componentes correspondientes.

Es decir: S

Si

En general para se tiene:

Ejemplo.- S y entonces

-

OBSERVACION.-El producto de dos vectores es un nmero real.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Consideremos tres y un nmero real cualquiera; entonces:

1)


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2)3)

4)

5)

6)

Ejemplo.-S , y . Hallar

Solucin

VECTORES PARALELOS Y ORTOGONALES

a) Dos vectores y son paralelos si uno de ellos es igual al otro

vector multiplicando por un nmero real, es decir:

tal que

Ejemplo.-S , , entonces , tal que

Ejemplo.- Los vectores y no son paralelos porque

, tal que


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OBSERVACIN.-El vector nulo es paralelo a todos los vectores, enefecto: , vector, , entonces: y son paralelos.

CONSECUENCIA.- Si entonces ,

, ahora si y son diferentes de cero, se tiene de la

igualdad.

de donde ,

Luego tenemos que:

es decir si entonces existe proporcionalidad entre las componentes

correspondientes.

Ejemplo.-Determinar si los vectores y son

paralelos.

Solucin

Si debe existir proporcionalidad entre las componentes

correspondientes:

. Luego y son paralelos.

CRITERIO DE COLINEALIDAD.- Un conjunto de punto A, B y C son

colineales si y slo si pertenecen a una misma recta.


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Por lo tanto, tomando de dos en dos se obtienen vectores paralelos,

.

Ejemplo.-Determinar si los puntos y son

colineales.

Solucin

Los puntos A, B y C son colineales situados de dos en dos se generan

vectores paralelos

Luego los puntos A, B y C son colineales.

b) Dos vectores y son ortogonales si se verifica la siguiente

relacin.

As por ejemplo, los vectores y son ortogonales,

en efecto:

(1)

(2)

Comparando (1) y (2) se tiene:


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Si los vectores y son ortogonales entonces denotaremos por, es decir:

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA ORTOGONALIDAD DE

VECTORES

Como los vectores y son las

diagonales del paralelogramos cuyos lados

son y , entonces si los vectores y son

ortogonales esto significa que el

paralelogramos es un rectngulo, por lo

tanto sus diagonales son congruentes.

Otro modo de interpretar la ortogonalidad de los vectores y es:

TEOREMA.-Los vectores y son ortogonales s y slo s

Demostracin

i) Si (por demostrar)

Por hiptesis se tiene que y son ortogonales entonces

(por definicin de ortogonalidad).


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Luego desarrollando los cuadrados de la

igualdad se tiene: de donde

ii) Si (por demostrar)

Como

De donde

Esta relacin nos indica que los vectores a y b son ortogonales

(por definicin de ortogonalidad).

Ejemplo.-Determinar cules de los pares de vectores dados son

ortogonales.

1)

entonces y son

ortogonales.

2)

3) entonces yno son ortogonales.

TEOREMA

Los vectores son ortogonales s y solo s


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PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTE

Consideremos dos vectores y no nulos, construyamos un tringulo

rectngulo cuya hipotenusa sea el vector y su base sea el vector

(donde ) paralelo al vector de modo que los lados del tringulo

quedar representado as:

Hipotenusa al vector y por catetos a los vectores , donde

Como o lo que es lo mismo entonces

. , de donde es el nico nmero real, como ,

significa que el tringulo cuya hipotenusa es el vector tendr por

catetos a los vectores: ; En consecuencia: al vector

que es paralelo al vector , llamaremos proyeccin ortogonal del vector

sobre el vector .

Al vector expresaremos en la forma siguiente: , de

donde es el vector unitario en la direccin del vector , en tanto que el

nmero es la longitud dirigida del vector proyeccin, al nmero

llamaremos componente del vector en la direccin del vector .


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DEFINICIONES

i) Sean y dos vectores, donde , definimos la

proyeccin ortogonal del vector sobre el vector y los

representamos del modo siguiente:

ii) Sean y dos vectores, donde , al nmero que es

la longitud dirigida del vector le llamaremos la

componente del vector en la direccin del vector y

denotaremos as:

RELACIN ENTRE PROYECCIN Y COMPONENTE

Consideremos dos vectores y donde por definicin sabemos

que:

Al vector expresaremos en la forma siguiente:

, como

Entonces se tiene:


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i) Si la , la y tienen la misma direccin.

ii) Si la , la y tienen direcciones opuestas.

iii) Si la quiere que .

OBSERVACION.- La diferencia entre proyeccin ortogonal y

componente radica en que la proyeccin ortogonal es un vector y la

componente es un nmero real.

NGULO ENTRE DOS VECTORES

TEOREMA.-Demostrar que el ngulo formado entre dos vectores y

no nulos corresponden a la siguiente relacin.


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MATEMTICA BSICA I

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Demostracin

Como y son dos vectores no nulos y es el ngulo formado por estos

dos vectores , de modo que el campo de variabilidad est

dado por .

Por definicin de componente sabemos que:

(1)

del grfico se sabe que de donde

(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

Ejemplo.-Dados los vectores , . Hallar:


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a) La proyeccin de sobre .b) La componente de en la direccin de .

c) El ngulo entre los vectores propuestos.

Solucin

a)

b)

c)

LA DESIGUALDAD DE CAUCHYSCHWARZ.-

TEOREMA.- Demostrar que: para todo vector y se verifica la

siguiente relacin.

Demostracin

Veremos primero para el caso en que

Por Pitgoras del grfico se tiene:

, lo que es mismo


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MATEMTICA BSICA I

104

, adems

por lo tanto (1)

Ahora veremos el caso cuando es decir:

Si tal que

Por lo tanto:

Luego de (1) y (2) se tiene:

APLICACIN.- Como aplicacin de este teorema, demostraremos la

desigualdad triangular.

, de donde

por lo tanto:

OBSERVACIN.- Consideremos el vector

definiremos un vector ortogonal al vector al cual denotaremos por

cuyos componentes son y que es obtenido aplicando un giro de

90 sobre el vrtice del vector en sentido antihorario, el vector

as definido es ortogonal al vector .

En efecto: =

Luego


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MATEMTICA BSICA I

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Ejemplos.-Sean su ortogonal es

Sean su ortogonal es

ANGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y NMEROS

DIRECTORES.-

Sea entonces:

Definimos los siguientes ngulos: , , ,

entonces:

a) A los nmeros se les llama nmeros directores del vector

.


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b) A los ngulos formados por los ejes positivos y el vector ,

se les llaman ngulos directores del vector .

Los ngulos directores toman valores entre y es decir:

.

c) A los cosenos de los ngulos directores se les llama cosenos

directores del vector . Es decir:

Como , de donde

, de donde

, de donde

como

, tomando mdulo en ambos lados se

tiene:

AREA DE: TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS.-Consideremos un paralelogramo cuyos lados son los vectores y .


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MATEMTICA BSICA I

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La altura del paralelogramo es:

como rea del paralelogramo es:

pero

En consecuencia el rea del tringulo cuyos lados son

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