Frecuencia transformada de fourier serie exponencial de fourier pdf

8/16/2019 Frecuencia transformada de fourier serie exponencial de fourier pdf

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Antecedentes

Historia

Hablar sobre el análisis de Fourier implica también hablar de un gran número depersonas. La historia moderna nos proyecta a mediados del siglo XVIII, cuandovarios matemáticos estudian el movimiento de una cuerda vibratoria entre ellosLeonhard uler, el cual demostr! "ue uno pod#a calcular los coe$icientes de lacombinaci!n lineal para un tiempo posterior de una manera muy directa a partir delos coe$icientes de tiempo anterior. %osteriormente en el a&o '()* +aniel ernoullicon bases $#sicas argument! "ue los movimientos de una cuerda pod#an ser representados mediante combinaciones lineales de modos normales aun"ue no$ue aceptado ampliamente.-ean aptiste -oseph Fourier F#sicomatemático desarroll! sus ideas sobre lasseries trigonométricas motivado por $en!menos de propagaci!n y di$usi!n delcalor, para '/0( Fourier hab#a terminado su traba1o donde encontr! "ue algunas

series de senoides relacionadas arm!nicamente eran útiles para representar ladistribuci!n de la temperatura a través de un cuerpo. 2demás sosten#a "uecual"uier se&al peri!dica pod#a ser representada por tales series aun"ue sutraba1o aún era impreciso. La perspicacia de Fourier para ver el potencial de estarepresentaci!n mediante series proporcion! un gran impulso para muchos de lostraba1os subsecuentes sobre las series de Fourier y la teor#a de $unciones devariable real. 2demás llev! este tipo de representaci!n un paso delante de suspredecesores3 obtuvo una representaci!n para se&ales aperi!dicas no comosumas ponderadas de senoides relacionadas arm!nicamente, sino comointegrales ponderadas de senoides sin relaci!n arm!nica.

Los encargados de revisar el traba1o de Fourier $ueron Lagrange, Laplace, 4ongey Lacroi5, aun"ue no $ue bien acogido por Lagrange "uien lo recha6!. n '/77,') a&os después de "ue Fourier presentara por primera ve6 sus resultados sepublic! su clásica obra Theorie Analytique de la Chaleur . 2 pesar "ue tanto%oisson como 8auchy hab#an obtenido resultados de la convergencia de lasseries de Fourier $ue hasta '/79 "ue %. L. +irichlet proporcion! las condicionesprecisas ba1o las cuales una se&al peri!dica pod#a ser representada con una seriede Fourier.


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Serie Exponencial de Fourier.

Las series de Fourier surgen de la tarea práctica de representar una $unci!nperi!dica $:t; dada en términos de $unciones seno y coseno. La serie5ponencial de Fourier es una alternativa a la $orma trigonométrica.

%ara desarrollar la $orma comple1a de la serie de Fourier "ue la representa

an cosnωt +¿∑n=1

∞

bn sennωt

f ( t )=1

2a0+∑

n=1

∞

¿


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∑n=−∞

∞

cne jnωt

2 la cual se le conoce como la $orma comple1a o e5ponencial de la

e5pansi!n de la serie de Fourier de la $unci!n f ( t ) .

%ara poder aplicar esta ecuaci!n es necesario obtener la $!rmula para calcular los

coe$icientes comple1os cn . %ara hacer esto, incorporamos las $!rmulas de uler

en las de$iniciones anteriores.

C 0=1

2 a0=

1

T ∫

d

d+T

f ( t ) dt

f ( t )cosnωt dt −¿ j ∫d

d+T

f ( t ) sennωt dt

∫d

d+T

¿

C n=1

2(an− j bn)=

1

T ¿

nωt − j sennωt cos¿¿

f (t )¿

¿ 1

T ∫

d

d+T

¿

¿ 1

T ∫

d

d+T

f ( t )e− jnωt dt

nωt + j sennωt cos¿¿

f ( t )¿

C −n=1

2 (an+ j bn )=

1

T ∫

d

d+T

¿

¿ 1

T ∫

d

d+T

f ( t )e jnωt dt

n resumen podemos escribir la $orma comple1a de la e5pansi!n en serie deFourier de una $unci!n peri!dica $:t; de periodo >, es3


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∑n=−∞

∞

cne jnωt

donde

cn= 1T ∫d

d+T

f (t ) e− jnωt dt n=0,±1,±2,…

1emplo '3

ncuentre la $orma comple1a de la e5pansi!n en serie de Fourier de la $unci!nperi!dica $:t; de$inida por

f ( t )=cos 1

2t (−π


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¿ j

2 π [( e− jnπ e jπ

2

2n−1+e− jnπ

e

− jπ 2

2n+1 )−( e jnπ

e

− jπ 2

2n−1+e jnπ

e

jπ

2

2n+1 )] 2hora debemos decir "ue

e− j π

20

=cos 1

2 π + jsen

1

2π =− j e− jnπ =e jnπ =cosnπ =(−1)n

cn= j

2π ( j2n−1− j2n+1+ j2n−1− j2n+1 ) (−1 )n

¿(−1 )n

π ( 12n+1− 12n−1 )= −2 (−1)n

(4n2−1 ) π

ntonces la serie de Fourier en su $orma e5ponencial de $:t; es

f ( t )=∑n=−∞

∞ −2 (−1)n

(4n2−1 ) π e

jnt


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• Transformada de Fourier


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ntonces podemos decir "ue

f L (t )= 1

2 L∫− L

L

f L (v ) dv

w n xf L (v ) sen wn v dv

cos¿ w∫− L

L

f L ( v ) cos wn v dv+( senw n x ) w∫− L

L

¿

¿¿¿

+1π ∑

n=1

∞

¿

sta representaci!n es válida para cual"uier L $i1a, arbitrariamente grande, pero$inita.

2hora se hace "ue LD ∞ y se supone "ue la $unci!n no peri!dica resultante

f ( t )= lim L→∞

f L (t )

s absolutamente integrable sobre el e1e 5E es decir, "ue e5isten los siguientesl#mites $initos3

denotado¿

|f (t )|dt + limb →∞

∫0

b

|f ( t )|dt (∫−∞

∞

|f ( t )|dt ¿)

∫a

0

¿

lima →−∞

¿

ntonces 'L D0, y el valor del primer término del segundo miembro de :'; tiende

a 0. 2demás, w=π

L D0 y parece plausible "ue la serie in$inita de :'; se

convierta en una integral de 0 a ∞ , "ue representan f(t), a saber,

f ( t )=1

π ∫−∞

∞

[( v ) coswvdv+senwt ∫−∞

∞

f ( v ) sen wvdv ]dw


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! (w )=1

π ∫−∞

∞

f ( v )coswvdv" (w )=1

π ∫−∞

∞

f ( v ) senwvdv

wx+" (w ) senwx ! (w )cos¿

¿¿

f ( x )=∫0

∞

¿

E cuando > se apro5ima al in$inito, f(t)se convierte en una $unci!n no peri!dicaE entonces la representaci!n de Fourier deesta $unci!n no peri!dica.


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2hora se hace "ue >D ∞ , y as#, se anula, D ∞ , ω→dω , y la sumatoria se convierte en la integral sobre

ω E es decir , la $unci!n no peri!dica f (t ) se convierte en3

f ( t )=∫−∞

∞

[∫−∞

∞

f ( x ) e− jωx dx ]e jωt dω


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2nálogamente # −1

es el s#mbolo "ue se utili6a para indicar la operaci!n inversa

o sea obtener f (t ) cuandoω

# ¿ ; está dadoE esto es,

# −1 { # (ω ) }= 12π ∫−∞

∞

# (ω )e jωt d ω=f (t )

= f ( t ) se denomina trans$ormada inversa de Fourier de # (ω) generalmente

está dada por

∫∞

∞

|f ( t )|dt


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n este caso se supone un comportamiento convencional de f ( t ) para valores

negativos del tiempoE al interpretar los resultados, por supuesto, se debe tener

presente "ue f ( t ) está de$inida s!lo para t mayores de 0


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# s [e−$t ]=∫

0

∞

e−$t

sen ωtdt ,

ntonces

% 1=∫

0

∞e−$t

cosωt dt

¿−e−$t

cosωt

$ |∞0−ω$ ∫0∞

e−$t

senωt dt

¿ 1

$ −

ω

$ % 2

2nálogamente integrando %

2

% 2=∫0

∞

e−$t

senωt dt

¿−e−$t

sen ωt

$ |∞0−ω$ ∫0∞

e−$t

cosωt dt

¿ ω

$ % 1

esolviendo para % 1 e % 2 resulta

% 1= $

$ 2+ω2

% 2=

ω

$ 2+ω2

%or lo tanto, # c [ e

−$t ]= $ $

2+ω2

# s [e−$t ]= ω

$ 2+ω2


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Propiedades de la transformada de Fourier

Propiedad de la linealidad


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# [ f ( at ) ]=1a∫−∞

∞

f ( t ) e− j(ωa )t

dt

¿ 1

|a|

#

(

ω

a

)%ara aG0 # [ f ( at ) ]=∫

−∞

∞

f ( at ) e− jwt dt


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# [ f (−t ) ]= # (−ω) .

tra $orma de soluci!n a la trans$ormada de Fourier es f (−t ) es

# [ f (−t ) ]=∫−∞

∞

f (−t ) e− jωt

dt

Haciendo Jt @ 5 dentro de la integral, se obtiene

# [ f (−t ) ]=−∫−∞

∞

f ( x ) e jωx dx

¿∫−∞

∞

f ( x ) e− j(−ω) x dx

¿∫−∞

∞

f (t ) e− j (−ω )t dt

¿ # (−ω) .

Propiedad de desplazamiento en el tiempo


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¿e− jωt 0∫−∞

∞

f ( x ) e− jωx dx

¿e− jωt 0 # (ω) .

Propiedad de desplazamiento en la frecuencia


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Convolución


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>ambién cumple la ley asociativa

[ f 1 (t )∗f 2 (t ) ]∗f

3 (t )=f 1 (t )∗[ f 2 (t )∗f 3 (t ) ]


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& ( t )∗f 3 (t )=∫−∞

∞

f 2 ( y ) ' (t − y ) dy=f 1 (t )∗' ( t ))

sto es,

[ f 1 (t )∗f 2 (t ) ]∗f 3 (t )=f 1 (t )∗[ f 2 ( t )∗f 3 (t ) ]

l teorema de convoluci!n en el tiempo a$irma "ue # [ f 1 (t ) ]= # 1 (ω ) , y # [ f 2 (t ) ]= # 2 (ω ) entonces

# [ f 1 (t )∗f 2 (t ) ]= # 1 ( ω) # 2 (ω)

La trans$ormada de Fourier de f 1 (t )∗f 2 (t ) es

# [ f 1 (t )∗f 2 (t ) ]=∫−∞

∞

[∫−∞

∞

f 1 ( x ) f 2 (t − x )dx ]e− jωt dt 8ambiando el orden de integraci!n se tiene

#

[f 1(t )∗f

2(t )

]=

∫−∞

∞

[∫−∞

∞

f 2 (t − x ) e− jωt dt

]dx

%or la propiedad de despla6amiento en el tiempo de la trans$ormada de Fourier setiene

∫−∞

∞

f 2 (t − x )e− jωt dt = #

2(ω )e− jωx


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¿ # 1 (ω) #

2 (ω ) .

l teorema de convoluci!n en la $recuencia a$irma "ue si # −1 [ # 1 (ω) ]=f 1(t ) y

# −1 [ # 2 (ω) ]=f 2(t ) , entonces

# −1 [ # 1 (ω)∗ # 2 (ω) ]=2π f 1 (t ) f 2 (t )

# −1 [ # 1 (ω)∗ # 2 (ω) ]=

1

2 π #

1(ω )∗ #

2(ω )= 1

2π ∫−∞

∞

# 1 ( y ) #

2(ω− y ) dy


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8onclusi!n

l análisis de Fourier tiene varias aplicaciones tanto en ingenier#a, por lo cual noses de suma importancia aprenderla, las aplicaciones en el área de lastelecomunicaciones es demasiado amplio por lo cual es una herramientaindispensable para nuestra $ormaci!n. 8on aplicaciones como la modulaci!n, elteorema de muestreo nos permite aprovechar esta herramienta, distribuyendocanales y ordenando el radioespectro.


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ibliogra$#a

lyn -ames et al. :7007; 4atemáticas avan6adas para ingenier#a, 7da edici!n,%M>I8 H2LL 4NXI8.%áginas *(9A*B

ppenheim V. 2. y OillsPy

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