CAPTULOI 3BASES MATEMATICAS PARA ESTADISTICA I 3Operaciones con enteros y racionales 3Redondeo de datos. ... 6Sistema de coordenadas rectangulares (S.C.R.). .. 6Simbologa a utilizarse en estadstica I. 7CAPTULO II. 9GENERALIDADES. 9

Concepto de estadstica. 9Importancia y aplicaciones de la estadstica en otras ciencias.. 9Clasificacin de la estadstica: Descriptiva e Inductiva... 10Estadsticas y parmetros. 10El mtodo estadstico... 10CAPTULO III.. 12NOCIONES PRELIMINARES. 12

Concepto de variables. Clasificacin.. 12Ordenacin de datos 12 Amplitud total o recorrido de la variable... 12Tamao o anchura de un intervalo de clase 13Lmites de clase.. 13Intervalos de clases..14Tabulacin de datos 15Distribucin de frecuencia...15Marca de clase o punto medio.17Frecuencia acumulada 18Porcentaje... 18CAPTULO IV. 20REPRESENTACIONES GRFICAS. 20

Representaciones grficas. 20Recomendacin para la construccin de grficas. 20Grficos lineales 20Histograma.20Polgono de frecuencias 21Interpretacin pedaggica del polgono de frecuencias 22Grfica de frecuencia acumulada.. 26Interpretacin pedaggica de la frecuencia acumulada. 27Grficos de superficie.. 28Grfica de barras.. 28Barras verticales... 29Barras horizontales29Barras compuestas.31Porcentaje de barras compuestas.. 31Grfico circular. 32CAPTULO V.. 35MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.. 35

Medidas de tendencia central 35Media Aritmtica. Tipos 35Mediana. Tipos.. 40Modo. Tipos... 43Representacin grfica de la , Mdn y Mo, en un polgono de frecuencias..45Media Geomtrica..45Media Armnica 46CAPTULO VI. 47MEDIDAS DE VARIABLILIDAD (DISPERSIN) 47

Medidas de dispersin47Desviacin media. Tipos... 47Desviacin tpica. Tipos.49Interpretacin pedaggica de la desviacin media y de la desviacin tpica.54CAPTULO VII55MEDIDAS INDIVIDUALES... 55

Medidas individuales55Cuartiles55Deciles. 59Percentiles59Puntuaciones Tipificadas (z)... 62Puntuaciones Derivadas (T).63

UNIVERSIDAD TCNICA PARTICULAR DE LOJAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACINDEPARTAMENTO DE MATEMTICASMODALIDAD ABIERTA

CAPTULO I

BASES MATEMTICAS PARA ESTADSTICA

1. Operaciones con enteros y racionales1.1. Adicin de enteros y racionales.1.1.1. Adicin de enteros positivos. Para adicionar enteros que estn precedidos de signo (+), se suman los valores absolutos y se escribe la respuesta con el signo (+), que bien puede ir sobrentendido.

EJERCICIOS: 1) +17 + 15 = +322) +100 + 58 = +1583) +1 + 8 = +9

1.1.2. Adicin de enteros negativos. Para adicionar enteros que estn precedidos del signo (-), se aumentan los valores absolutos y se escribe la respuesta con el signo (-).

EJERCICIOS: 1) -25 - 12 = -372) -80 120 = -2003) -12 0 = -12

1.1.3. Adicin de enteros de diferente signo. Para adicionar enteros de diferente signo, se restan los valores absolutos y la respuesta se la escribe con el signo del mayor valor absoluto.

EJERCICIOS: 1) -25 + 18 = -72) +17 8 = + 93) -5 + 12 = + 7

1.1.4. Adicin de racionales. Para adicionar racionales es necesario hallar el mnimo comn denominador (es el denominador comn el que contiene a todos los denominadores). Luego el m.c.d. se divide para cada uno de los denominadores y el coeficiente se lo multiplica por el numerador, por ltimo se suman los productos parciales.

EJERCICIOS: 1) 1/4 + 3/2 = = 7/42) -2/3 5/6 = = -9/6 = -3/23) 6/5 1/3 = = 13/154) -3/2 5/7 = = -31/14

1.2. Sustraccin de enteros y racionales.Para restar enteros y racionales, la resta se transforma en suma, cambindole el signo al sustraendo y luego se suman los enteros.

EJERCICIOS: Sustraccin de enteros: 1) 7 - (+4) = 7 4 = 32) -3 (5) = -3 5 = -83) +2 (-3) = +2 + 3 = +54) -3 (+10) = -3 10 = -13

Sustraccin de raciones: 1) 3/5 (-2/15) = 3/5 + 2/15 = = 11/152) -2/3 (+3/8) = -2/3 3/8 = = -25/24

1.3. Multiplicacin de enteros y racionales.Para multiplicar o dividir enteros y racionales es necesario saber la ley general de signos.

(+) . (+) = +() . () = (+) . () = () . (+) =

1.3.1. Para multiplicar enteros, se multiplican los signos y luego los valores absolutos.

EJERCICIOS: 1) (+4) (+3) = 122) (-5) (-8) = 403) (-6) (+3) = -184) (+7) (-4) = -28

1.3.2. Para multiplicar racionales, primero se multiplican los signos y luego se multiplican los numeradores y denominadores entre si.

1) (+ 3/4) (+8/9) = + 24/36 = 2/32) (-5/4) (+16/25) = -80/100 = -4/5

1.4. Divisin de enteros y decimales.1.4.1. Para dividir enteros, se multiplican los signos y luego se divide el dividendo para el divisor.

EJERCICIOS: 1) (-21) (7) = 122) (+48) (-6) = -8

1.4.2. Para dividir racionales, la divisin se transforma en multiplicacin, as, se escribe el dividendo multiplicado por el divisor invertido.

EJERCICIOS: 1) (3/5) (15/9) = (3/5) (9/15) = 27/75 = 9/252) (-8/21) (4/7) = (-8/21) (7/4) = -56/84 = -2/3

1.5. Potenciacin de enteros y racionales.La potenciacin tiene tres elementos: Base, exponente y potencia.

4 se llama la base.3 se llama el exponente.64 se llama potencia.

El exponente indica el nmero de veces que se repite la base.Para elevar un nmero entero o un racional a un cierto exponente, se multiplica el entero o el racional por si mismo, las veces que indica el exponente.

POTENCIACIN DE ENTEROS

EJERCICIOS: 1) (+5)2 = (5) (5) = 252) (-7)2 = (-7) (-7) = 493) (-2)2 = (-2) (-2) = 44) (-3)3 = (-3) (-3) (-3) = -275) (-2/3)2 = 4/96) (11/10)2 = 121/100

1.6. Radicacin de enteros y racionales.La raz cuadrada de un nmero negativo, no existe en el conjunto de los nmeros enteros ni en los racionales, pero si existe en el conjunto de nmeros complejos.1.6.1. Para extraer la raz de un entero, si Ud. Cree conveniente puede utilizar el mecanismo operatorio de raz cuadrada, caso contrario acuda a las tablas de races cuadradas o bien a mquinas calculadoras.

EJERCICIOS: 1) = 42) = 11

1.6.2. La raz de un racional, es igual a la raz del numerador sobre la raz del denominador y luego se extrae la raz del numerador y del denominador.

EJERCICIOS: 1) = = 9/52) = = 7/6

1.7. EJERCICIOS PROPUESTOS PARA EL ESTUDIANTE

1) -19+12-13+8 = 19) 1/2 3/4 = 2) 25-7+13-9-3 =20) 35/2 5/6 =3) -23-12+18-2 =21) -5/7 9/8 =4) 12 (-9) =22) -2/3 (-5/6) =5) -16 (14) =23) -9/8 (-15/8) =6) -14 (-9) =24) -56/3 (-9/5) =7) (-7) (-5) (-2) =25) (-2/7) (-5/6) =8) (-9) (-8) (-1) =26) (-9/8) (8/6) =9) (-2) (-3) (-4) =27) (2/48) (96/4) (76/98) =10) (-72) (+9) =28) (48/56) (-7/8) = 11) (-81) (-3) =29) (-58/86) (29/43) =12) (-45) (-15) =30) (24/56) (12/34) =13) (-3)4 = 31) (3/4)2 =14) (-5)3 =32) (-3/5)3 =15) (10)6 =33) (-6/5)3 = 16) = 34) =17) =35) =18) =36) =

2. Redondeo de datos:En la actualidad se utilizan con mucha frecuencia las mquinas calculadoras para realizar operaciones matemticas, obtenindose algunas cifras decimales, para evitar escribir todas las cifras decimales, es necesario el redondeo de datos utilizndose el siguiente procedimiento: Cuando el ltimo dgito es menor q 5, se omite; en cambio si el ltimo dgito es mayor o igual a 5, al dgito anterior se le aumenta 1.

Aproximacin a un entero: 9,3=9Aproximacin a un entero: 10,5=11Aproximacin a la dcima: 12,18=12,2Aproximacin a la dcima: 6,23=6,2Aproximacin a la centsima: 5,139=5,14Aproximacin a la centsima: 2,532=2,53Aproximacin a la centsima: 15,678=15,68

3. Sistema de Coordenadas Rectangulares

Esta formado por la interseccin perpendicular de dos rectas numricas, las mismas que tienen ciertas caractersticas propias.3.1. Caractersticas del Sistema Coordenado Rectangular. Esta formado por dos ejes coordenados. El eje horizontal se llama eje de las equis o eje de las abscisas. El eje vertical se llama eje de las yes o eje de las ordenadas. Se pueden representar puntos P (x,y), de tal manera que sus elementos (x,y) tienen un orden fijo.El semieje (0Y) es positivoEl semieje (0Y`) es negativoEl semieje (0X) es positivoEl semieje (0X`) es negativoEJEMPLO: Al representar el punto A(4,5) que tiene de abscisa 4 y de ordenada 5, se localiza en los respectivos ejes y luego se realiza la interseccin y ese ser el punto A.

4. Simbologa a utilizarse en Estadstica I

Por lo general todos los autores de obras de Estadstica, establecen su propia simbologa, ahora se trata de unificar la simbologa que se ha venido estudiando.

Amp. = Amplitud.ni.=Nmero de intervalos.N=Nmero total de casos o poblacin.i=ancho de intervalo.Xm=Punto medio.ls=Lmite superior.li= Lmite inferior.P=Porcentaje.f= Frecuencia.fa=Frecuencia acumulada.Ao=rea del sector circular.u=Desviacin respecto de la media supuesta.=Media aritmtica.=Media supuesta.Mdn.=Mediana.fai=Frecuencia acumulada inferior.Mo.=Modo1=Diferencia entre la frecuencia del modo y la frecuencia inferior.2=Diferencia entre la frecuencia del modo y la frecuencia superior.G.=Media geomtrica.H=Media Armnica.DM=Desviacin media.d=Desviaciones.=Desviacin estndar, o desviacin tpica.C.V.=Coeficiente de variacin.Qp1 =Ubicacin del primer cuartil.Qp2 =Ubicacin del segundo cuartil.Qp3 =Ubicacin del tercer cuartil. Q1=Primer cuartil.Q2=Segundo cuartil.Q3=Tercer cuartil.Dp1 =Ubicacin del primer decil.Dp2 =Ubicacin del segundo decil.Dp3 =Ubicacin del tercer decil.D1=Primer decil.D2=Segundo decil.D3=Tercer decil.Pn=Ubicacin del percentil.P100=Percentil.z=Puntuaciones tipificadas.T=Puntuaciones derivadas.Ls=Lmite real superior.Li=Lmite real inferior.

CAPTULO II

GENERALIDADES

1. Concepto de EstadsticaEs una parte de la matemtica, que utiliza sus propios medios para recolectar datos, expresarlos en forma matemtica, analizarlos y luego investigar las relaciones existentes entre los hechos, para poder inferir ciertas conclusiones.

2. Importancia y aplicaciones de la Estadstica en otras ciencias.2.1. Importancia de la estadstica En la actualidad toda institucin o toda organizacin, debe tener sistemas de control estadstico, desde ese punto de vista la importancia es enorme, ya que no solo en educacin podra ser utilizada, sino en la industria, en el comercio y en la salud pblica.En la escuela primaria, mediante la estadstica se podr conocer si un alumno lee muy bien o regular; si la asistencia de los escolares es normal, irregular; si la estatura est en relacin con la edad.En la escuela secundaria, los Sres. Profesores Dirigentes de curso, pueden conocer a fondo el rendimiento de su curso, mediante los mtodos estadsticos.En el campo de las predicciones ayudara a tener un concepto mas claro de cmo se produciran ciertos fenmenos.Todo profesional competente de las ciencias del comportamiento, debe conocer ciertos mtodos estadsticos y su aplicacin.

2.2. Aplicaciones de la estadstica en otras cienciasLa estadstica es un mtodo necesario, que se utiliza en las ciencias de la agricultura. Por ejemplo, cuando se desea explicar la abundancia agrcola, debido a la aplicacin estadstica, a los planos y a los anlisis de los experimentos agrcolas.La estadstica es utilizada por las ciencias econmicas en lo que respecta a las estadsticas del desempleo y sus repercusiones sociales.Las ciencias mdicas, usan las estadsticas para probar la eficacia de nuevos medicamentos. La lista sera interminable. La estadstica se emplea en la Geologa, Biologa, Psicologa, Sociologa, y en todo sector en el que las inferencias deben hacerse a base de datos o informes incompletos.Las ciencias pedaggicas tienen a la estadstica como un instrumento indispensable de trabajo, ya que puede conocer a los problemas escolares en los cuales sea posible utilizar la estadstica para poder resolverlos. Clasificacin de los alumnos de acuerdo a la edad cronolgica y de acuerdo a la edad mental. Medicin del aprovechamiento, utilizando pruebas objetivas. Evaluacin de las pruebas (fciles, difciles y normales). Clasificacin de los estudiantes de acuerdo a su calificacin. Establecer correlaciones entre asignaturas diferentes. Comprobacin del rendimiento de los estudiantes de un mismo curso o grado. Para la interpretacin de los resultados de una investigacin con el objeto de planificar el trabajo docente. Para la promocin de los estudiantes.

3. Clasificacin de la estadstica3.1. Estadstica DescriptivaEl objeto de la estadstica descriptiva es la clasificacin de datos, representar grficos, utilizar medidas de tendencia central, medidas de variabilidad, medidas individuales y obtener ciertas conclusiones.3.2. Estadstica InferencialLa inferencia estadstica tiene por tanto como funcin generalizar los resultados de la muestra, para estimar las caractersticas de la poblacin[footnoteRef:1] [1: Cfr. Barbancho Alonso, Estadstica Elemental Moderna, p.12]

La estadstica descriptiva y la Inductiva, utiliza as mismo dos tipos de elementos matemticos.La estadstica descriptiva para analizar sus datos utiliza procesos operatorios de aritmtica, en cambio la estadstica inductiva cuando trata de obtener conocimientos acerca de poblaciones a partir de muestras extradas de esa poblacin.Los medios matemticos se fundamentan en la teora de la probabilidad.

4. Estadstica y Parmetros4.1. Estadsticos. Se llama as al conjunto de caractersticas y resultados de una elaboracin estadstica cuando se han obtenido a partir de una muestra. El estadstico no afirma ni niega nada con respecto a la poblacin.4.2. Parmetros. Se llama al estadstico que por sus condiciones es aceptado como vlido para la poblacin. El parmetro no se puede obtener directamente, sino que se infiere por clculo de probabilidades.

CUADRO DE ALGUNOS PARMETROS Y ESTADSTICOS

CARACTERSTICAPARMETROESTADSTICO

Media Aritmticam

Desviacin tpicas

Varianzas22

Fraccin o proporcinpp

Coeficiente de correlacinRr

Nmero de casosnN

CUADRO No. 2

5. Mtodo EstadsticoToda investigacin experimental conlleva un mtodo de trabajo.El mtodo estadstico, para su aplicacin requiere del siguiente proceso:5.1. Determinacin precisa del problema. Es fundamental delimitar claramente el problema y plantearlo bien en todas sus dimensiones.5.2. Comprobacin de datos. Es conveniente verificar los hechos que van a ser objeto de anlisis y que han sido captados por la observacin o la experimentacin, mediante los instrumentos de medida.5.3. La Elaboracin Estadstica. Se refiere a la recoleccin, seleccin y seriacin de los datos que han de ser tratados y expresados numricamente y grficamente.5.4. La Interpretacin de los datos. Una vez que se ha llegado a determinar el valor de las cifras recopiladas, se pueden obtener ciertas conclusiones.5.5. Obtencin de inferencias y generalizacin de los resultados. Las conclusiones anteriores que son la muestra, se la puede llegar a generalizar para toda la poblacin.

CAPTULO III

NOCIONES PRELIMINARES

1. Concepto de variable. Variable es toda magnitud que est dispuesta a cambiar de valor.Las variables tienen dos caractersticas: La primera es la diferencia entre los valores posibles de la variable y los valores realmente observados; la segunda es la diferencia entre variables discretas y continuas, o variables cuantitativas.1.1. Diferencia entre valores posibles es el conjunto de valores realmente observados. Los valores posibles es el conjunto de valores que puede tener la variable. Por ejemplo si las calificaciones de un examen van de 0 a 20 en enteros, la variable calificacin los 21 valores que van desde 0, 1, 2,3,..20, a este conjunto se lo llama valores posibles. Los valores observados, es el conjunto de valores posibles de la variable, que se han observado realmente por Ejm. Los cuatro valores de la variable que se han observado son 10, 12, 15, 19, a este grupo se les llama valores realmente observados.1.2. Variables cuantitativas.Desde tiempos antiguos se conocen que vienen influyendo en el desarrollo de la matemtica el dominio de lo discreto y de lo continuo.1.2.1. Variable discretaLas magnitudes discretas interpretan la naturaleza matemtica en forma individual, precisa, separadas como los nmeros enteros, por ejemplo los estudiantes de un curso.1.2.2. Variable continuaLas magnitudes continuas interpretan la naturaleza y la matemtica en forma ininterrumpida, por ejm. El peso de los alumnos, la edad de las personas.1.3. Variables CualitativasSe trata de una caracterstica del fenmeno que se investiga o ms bien de una cualidad, que no puede ser representada mediante numerales, por ejm. El sexo, el tipo de colegio, etc.

2. Ordenacin de datosCuando el investigador dispone de un conjunto de datos tiene que ordenarlos de acuerdo a las variables cualitativas y cuantitativas.Para ordenar las variables cualitativas se toma en cuenta las caractersticas o cualidades de la investigacin. En cambio para ordenar de acuerdo a las variables cuantitativas, se disponen los valores que sea en forma ascendente o descendente y luego se los escribe en un cuadro estadstico.

3. Amplitud total o recorrido de la variable.Se llama amplitud total a la diferencia que se establece entre el valor mayor y el valor menor de la variable,

Ampl. = X mayor X menor.X. mayor = Valor mayor de la serie.X. menor = Valor menor de la serie.

Una serie tiene sus valores lmites que son: 185 y 131, determinar su amplitud.

Amp. = X mayor X menor.Utilizando la frmula, reemplazando los valores tenemos:Amp. = 185 131 Amp. = 54

4. Tamao o anchura de un intervalo de claseSe llama al nmero de valores que existen entre dos valores lmites.4.1. Ancho del intervalo de clase. Es conveniente en Pedagoga que toda serie tenga como ancho del intervalo un nmero impar es decir: i = 3, i = 5, i = 7, i = 9, etc.Con el objeto de que el punto medio de la serie sea un nmero entero.4.2. Determinacin del anchi del intervalo de una serie. Para conocer el nmero exacto de valores que existe en un intervalo, se lo puede hacer mediante la frmula:

i = ls li + 1ls. = lmite superior.li. = lmite inferior.i = ancho de intervalo.

A proponerse los intervalos de una serie de valores; se desea conocer el ancho del Intervalo. XSi tomamos la frmula del intervalo.i = ls li + 1al tomar el primer intervalo y reemplazar sus valores en la frmula tenemos:i = 52 48 + 1i = 5

1ra.47.5 52.5

2do.42.5 47.5

3ro.37.5 42.5

4to.32.5 37.5

5to.27.5 32.5

6to.22.5 27.5

7mo.17.5 22.5

8vo.12.5 17.5

CUADRO No. 3

5. Lmites de claseSe llaman lmites de clase a los valores expresados que estn formando los intervalos, por ejm. Los valores de la serie del cuadro No. 3.5.1. Lmite superior e inferior de un intervalo.5.1.1. Se llama lmite superior, al mayor valor del intervalo, podemos tomar los valores 52, 47, 42,37, etc. del cuadro No. 3, que son lmites superiores.5.1.2. Se llama lmite inferior al menor valor del intervalo por ejm. los valores 47, 42, 37, etc. del cuadro No. 35.2. Lmite real superior e inferior de un intervalo.5.2.1. Lmite real superior, se lo obtiene de la semisuma del lmite superior del intervalo en referencia con el lmite inferior del intervalo mayor.Para su clculo utilizamos la siguiente frmula:Ls = Lmite real superiorls = lmite superior del intervalo en referencia.li = Lmite inferior del intervalo mayor.

Obtener el lmite superior del tercer intervalo.

Ls = 42,5

5.2.2. Lmite real inferior asimismo se obtiene de la semisuma del lmite inferior del intervalo en referencia, con el lmite superior del intervalo menor. Para su clculo utilizamos la misma frmula anterior.Por ejm. obtener el lmite real inferior del tercer intervalo del cuadro No. 3.Li = Lmite real inferior

Li = 37,5

En consecuencia los lmites reales del tercer intervalo son los siguientes: 42,5 37,5

6. Intervalos de claseEs un conjunto de numerales que se los agrupa, en una clase porque debido al nmero de elementos que se repiten, no pueden ser representativos todos a la vez.Una serie de valores se la agrupa en intervalos, cuando el nmero de elementos que la forman es mayor o igual a 25.Para determinar el nmero de intervalos de clase, se divide la amplitud para el ancho del intervalo (nmero impar) que se desee de acuerdo al nmero de elementos y se le suma la unidad.

EJEMPLO: Ordenar en intervalos las estaturas de 50 estudiantes.

177- 167 169 176 - 159 - 161 165 163 167 167 160 141 133 180 168 170 172 160 161 163 163 166 163 153 148 131 185 167 173 171 160 162 162 164 165 161 154 140 131 167 175 171 160 164 161 166 164 162 158 132.Primero: se localiza los valores mayor y menor de la serie.X mayor = 185Amp. = X mayor X menorX menor = 131

Segundo: se halla la amplitudAmp. = 185 131Amp. = 54

Tercero: Se impone el ancho del intervalo (i = 9)Cuarto: Se obtiene el nmero de intervalos:

ni = 6 + 1ni = 7

De esta manera hemos obtenido que la nueva serie debe tener 7 intervalos.

7. Tabulacin de datosEs el proceso mediante el cual se anota frente a la columna de la variable el nmero de veces que se repite una magnitud, se lo puede hacer mediante rayitas verticales u horizontales.

8. Distribucin de frecuencias8.1. Frecuencia. Se denomina al nmero de veces que se repite una misma magnitud.8.2. Serie simple con frecuenciaSe llama as a la ordenacin de la variable realizada en forma ascendente o descendente, siempre que la amplitud o recorrido no sea demasiado grande, porque si esto sucede se puede ordenar por intervalos.Ejemplo: Ordenar y tabular los siguientes datos en una serie con frecuencias.

159 161 165 163 167 167 160 160 161 163 163 166 163 160 162 162 164 165 161 160 164 161 166 164 162 Se ordena la variable en forma descendente y luego se realiza el proceso de tabulacin.XTabul.Frec. f.

167166165164163162161160159 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I222343441

TOTAL:25

8.3. Serie ordenada de intervalosCuando una serie esta formada por ms de 25 elementos, es necesario utilizar los intervalos para agrupar los valores de la variable.8.3.1. Proceso para ordenar una variable mediante intervalos. Primero: Se halla la magnitud o recorrido de la variable, tomando el ejemplo propuesto en (6) tenemos:Amp. = X mayor X menor Amp. = 185 131 Amp. = 54 Segundo: Se calcula el nmero de intervalos. ni = 7

Si el nmero de intervalos es de 7 y el ancho del intervalo propuesto es de 9.

Tercero: Se construye la columna de los intervalos, inicindose por el mayor valor de la variable que es 185, se disminuye 8 unidades y se obtiene el primer intervalo: 177 185, como puede notarse en este intervalo estn incluidos (9) valores. (177,178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185) lo que equivale a decir que en el intervalo existen nueve numerales o que i= 9.Asimismo para obtener el segundo intervalo, se resta 9 unidades del primer intervalo, es decir el lmite superior y el lmite inferior se les resta 9 unidades, as obtenemos el intervalo 168 176, este mismo proceso se sigue hasta obtener los siete intervalos.

X

177 185 168 176 159 167150 158141 149132 140123 131

CUADRO No. 5

Cuarto: Se tabula los valores del conjunto de datos de la serie de datos del nmero (6) y se establecen la columna de las frecuencias.

XTABULACINf

177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131 TOTAL://////////////////////////////////////////////////31225323250

CUADRO No. 6

Este es el proceso para ordenar una serie de datos, mediante intervalos.

9. Marca de clase o Punto medio. Es el valor medio de cada uno de los intervalos. Se lo representa por la letra Xm. , y para calcular su valor se utiliza la siguiente frmula:

Calcular los puntos medios de la serie del cuadro No. 7.Por ejemplo:

Xm = 181

Este es el proceso que se sigue para obtener todos los puntos medios.

XfXm

177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131 TOTAL:31225323250181172163154145136127

CUADRO No. 7 10. Frecuencia acumuladaComo su nombre lo indica, es la acumulacin de la frecuencia a partir del menor valor de la variable, su smbolo es (fa).La frecuencia acumulada es muy utilizada en la construccin de ojivas.Construir la columna de la frecuencia acumulada de la serie del cuadro No. 7.

Xffa

177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131 TOTAL:3122532325050473510752

CUADRO No. 8

11. PorcentajeSe llama as al valor correspondiente de cada frecuencia determinada por cada 100 casos del total. Se lo simboliza con una P y para el clculo se utiliza la frmula: P = porcentajeN = nmero total de elementosf= frecuencia

Hallar los porcentajes para las columnas de frecuencia y frecuencia acumulada de la siguiente tabla.

Xf% ffa%fa

177 185 168 176 159 167 150 158 141 149 132 140 123 131

39283232

618566464

50473510752

10094762014104

TOTAL:50100

CUADRO No. 9

Obtener el porcentaje de la frecuencia del primer intervalo.

P = ?f = 3 P = 6N = 50

Asimismo se obtienen el porcentaje de la frecuencia acumulada.

P = ?f = 50 P = 100N= 50

Si Ud. sigue este mismo proceso puede obtener los valores que se encuentran en las columnas.

CAPTULO IV

REPRESENTACIONES GRFICAS

1. Representaciones grficas

Las representaciones grficas tienen por objeto ofrecer una visin de conjunto del fenmeno que est investigando.Es ms fcil examinar datos que estn representados en grficos antes que cuando estn dados en tablas o en cuadros numricos.Las representaciones grficas hacen uso de todos los medios geomtricos, en consecuencia se atienen a la rigurosidad y precisin de las construcciones geomtricas.

2. Recomendaciones para la construccin de grficas

Para la construccin de grficos se debe tener presente las siguientes recomendaciones:2.1. Elegir la escala que ms se adapte al fenmeno a representarse para que puedan apreciarse todos los detalles.2.2. Tratar de que las dimensiones para el eje x y para el eje y sean simtricas, utilizando el sistema de coordenadas rectangulares.2.3. Colocar en la parte superior o inferior el ttulo.2.4. Construir el grfico en papel milimetrado, porque de esta manera es ms fcil para el que construye el grfico, como para el que interpreta el mismo.

3. Grficos Lineales

Es un tipo de grfico que utiliza el primer cuadrante del S.C.R.Para construir este tipo de grfico es necesario de que existan dos tipos de variables: Dependiente e independiente.

3.1. HistogramaUn histograma de frecuencias es una serie de rectngulos que tienen las siguientes caractersticas. La base est sobre el eje x, haciendo centro el punto medio, la longitud horizontal es igual al ancho del intervalo de clase, en forma general la variable se ubica en el eje de las equis. Asimismo la frecuencia se la ubica en el eje de las yes, como alturas.Representar los siguientes datos en un histograma.

Xf

182

175

168

1510

146

135

124

113

102

TOTAL:45

CUADRO No. 10

Representar en un histograma el siguiente cuadro de valores.

xfXm

18 20 15 17 12 14 9 116 8 3 5 310168421916131074

TOTAL43

CUADRO No. 11

Para representar un histograma de una serie ordenada en intervalos es conveniente representar en el eje de las equis el punto medio tambin se puede escribir los lmites de cada intervalo, y en el eje de las yes se ubica la frecuencia.

3.2. Polgono de frecuenciaEs un grfico lineal que se forma por la interseccin de la variable con las frecuencias dando origen al llamado polgono de frecuencias o curva de frecuencias.

xfXm

18 20 15 1712 149 116 83 5310168421916131074

TOTAL43

CUADRO No. 12

GRFICO No. 5

3.2.1. Interpretacin Pedaggica del polgono de frecuencias.El polgono de frecuencias nos permite observar cmo se distribuyen los puntajes en un grupo, y se puede estimar si el tipo de evaluacin es normal, demasiado difcil, sin tomar en cuenta otros criterios sicopedaggicos.3.2.1.1. Si en el polgono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el extremo derecho se puede decir que la evaluacin fue demasiado fcil.

xf

20191817161514131211410108632221

TOTALCUADRO No. 13

18

GRFICO No. 6

3.2.1.2. Asimismo si en el polgono de frecuencias existe un agrupamiento mayor en el extremo izquierdo, se puede decir que la evaluacin tuvo alto grado de dificultad.

xf

201918171615141312111098765111222356781010964

TOTAL77

CUADRO No. 14.

GRFICO No. 7

3.2.1.3. En cambio si existen dos agrupamientos en el polgono de frecuencias, diremos que es un curso en el cual hay dos grupos de estudio, para el primer grupo la prueba es inadecuada por ser difcil, y para el segundo grupo la prueba es demasiado fcil. xf

201918171615141312111098713477521267631

TOTAL55

CUADRO No. 15

GRFICO No. 8

3.2.1.4. Si los puntajes se distribuyen en forma uniforme o normal se obtiene el siguiente grfico, se puede decir entonces que la evaluacin tomada ha sido normal.

xf

20191817161514131211234610107532

TOTAL52

GRFICO No. 9

3.3. Grfico de frecuencia acumulada

Es un diagrama lineal que para utilizarlo en Pedagoga, se ordena en el eje de las equis la frecuencia acumulada y los valores de la variable en el eje y, la interseccin de todos los puntos da origen a la curva de magnitud a la que se llama grfico de frecuencia acumulada o tambin ojiva.

xffaXm

18 2015 1712 149 116 83 5 3101684243403014621916131074

TOTAL43

CUADRO No. 17

GRFICO No. 10

3.3.1. Interpretacin Pedaggica de la Frecuencia Acumulada.

La curva de magnitud asimismo nos permite observar la distribucin de la variable, es as que se puede resultar de mucha utilidad en el campo pedaggico, para clasificar las evaluaciones sin tomar en cuenta a algn criterio sicopedaggico.

xffa

20191817161514131211109112346754321393837353228221510631

TOTAL39

CUADRO No. 18

GRFICO No 11

La posicin de la curva (a), nos indica que la evaluacin que se ha tomado ha sido normal. (segn datos de la serie) La posicin de la curva (b) nos indicara que el tipo de evaluacin ha sido demasiada fcil. La posicin de la curva (c), asimismo nos indica que la evaluacin ha estado difcil.

4. Grficos de SuperficieEs un tipo de representacin que se la realiza por medio de puntos, lneas y superficies: es decir que existe proporcionalidad entre lnea y superficie de los valores propuestos, por ejm. Los grficos de barras, grficos circulares.4.1. Grficos de barrasEn el diagrama que se lo representa mediante rectngulos el eje de las equis sirve de base de los rectngulos, y no tiene el mismo significado que los histogramas.Cada uno de los rectngulos tiene una sola representacin, y en este tipo de grfico los rectngulos no estn unidos como en el histograma.Por ejemplo representar el siguiente cuadro de valores en un grfico de barras.

CursosF

SextoQuintoCuartoTerceroSegundoprimero200350400450500600

TOTAL:2500

CUADRO No. 19

DATOS POBLACIONALES DE UN COLEGIO DE LA CIUDAD DE LOJA

GRFICO No. 12

4.1.1. Barras verticales y horizontales

Para la construccin de grficos de barras se tiene que tomar en cuenta algunos aspectos como ser el ancho de las barras, la distancia entre las barras y la escala a usarse.A continuacin proponemos un ejemplo de barras verticales. Asimismo es posible representar cuadros de calificaciones de estudiantes de un curso por ejm.

xfXm

18 2015 1712 149 116 8 3 5 310168421916131074

TOTAL:43

CUADRO No. 20

GRFICO No. 13

Representar el siguiente cuadro en un grfico de barras horizontales.

Cursosf

Sexto200

Quinto350

Cuarto400

Tercero450

Segundo500

Primero600

CUADRO No. 21

GRFICO No. 14

4.1.2. Barras compuestas

A este tipo de grfico se lo llama barra subdividida y se lo utiliza cuando se desea representar dos o ms series de datos.Representar en barras compuestas las calificaciones de Ciencias Naturales de dos cursos diferentes.

xXmf(A)f(B)Total f.

19 2116 1813 1510 127 94 620171411850204160804030210020514024141813185

TOTAL:3735

CUADRO No 22

GRFICO No. 15

Este tipo de grfico se lo utiliza para realizar comparaciones en el rendimiento de dos cursos diferentes.

4.1.3. Porcentaje de barras compuestas

Es un tipo de grfico mediante el cual se representa los porcentajes, donde todas las barras tienen la misma altura.Representar en un grfico de porcentaje de barras compuestas dos cursos diferentes en una misma asignatura.

xXmf(A)f (B)Total f% f (A)% f (B)

18 2015 1712 149 116 83 5191613107426148532108126441622201175037,563,644045,4542,865062,536,366054,5457,14

TOTAL:3842

CUADRO No. 23

Para trazar el grfico se ubica los puntos medios en el eje de las equis y los porcentajes tanto de A, como de B, en el eje de las yes, tomando una columna para cada intervalo.

GRFICO No. 16

4.2. Grfico CircularEs un diagrama de superficie que se lo utiliza para representar datos, el grfico est dividido en partes tales segn el nmero de variables que existan en la serie de datos.Para el clculo matemtico se utiliza la siguiente frmula:Ao = superficie en gradosf = frecuenciaN = nmero total de casos

Representar en un diagrama circular los siguientes datos de un Colegio de Loja.

CURSOSfAoPor ejemplo obtener los valores correspondientes a Sexto y Primer curso respectivamente.

Sexto20029

Quinto35050

Cuarto40058

Tercero45065

Segundo50072

Primero60086

TOTAL2500360

Para representar grficamente, se parte del semieje positivo de las equis, tomando en sentido contrario a las agujas del reloj.

GRFICO No. 17

BARRAS SUPERPUESTASEste tipo de barras, regularmente son utilizadas cuando se trata de una Poblacin Estudiantil, osea escuelas, colegios, etc., o un conjunto bien definido.Para representar grficamente se procede as:

1. Cuadro EstadsticoEjemplo: Poblacin estudiantil de un Colegio.

Ciclo Tercer CursoDiversificado Segundo Curso Primer Curso110120140

Ciclo Tercer CursoBsico Segundo Curso Primer Curso150170240

2. Se utiliza dos semiejes:a. En el semieje horizontal no se la escala con respecto al cuadro, sino se centraliza para colocar las barras.b. En el semieje vertical se lo escala con las frecuencias, o sea con el nmero mayor que exista de alumno con cualquier curso o ente que se trate. En nuestro ejemplo observamos que el nmero 240 es mayor por lo cual este semieje debe tener ese mximo, con la escala igual de acuerdo al espacio que se va a utilizar.

3. RepresentacinSe observa el cuadro estadstico y se toma el que tenga menor frecuencia, se lo coloca como barra en el centro del semieje horizontal, en nuestro caso es el tercer curso del ciclo diversificado que tiene la menor frecuencia que es 110, luego el que le siga, la frecuencia se grafica encima del primero, o sea el de segundo curso del mismo ciclo que tiene 120 y as sucesivamente todas las dems barras. Se considera para cada barra el mismo ancho y su forma es a partir del semieje horizontal.

4. Representacin de la grficaAl haber construido la grfica se pinta cada barra de diferente color o se raya de diferente manera cada una para diferenciar y a la derecha de la grfica se coloca la leyenda indicando el color o rayando utilizado para cada barra.

CAPTULO V

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. MEDIDAS DE TENDENCI CENTRALEs un conjunto de valores que tienden a ubicarse en el centro de una serie de datos ordenados.Entre las principales medidas de Tendencia Central tenemos: La media Aritmtica, la mediana, la media Geomtrica, El modo, y la media armnica.

1.1. Media AritmticaEs el valor promedio de un conjunto de datos. Por ejm: La Media de los siguientes valores es:14, 15, 13, 12, 15 = La media aritmtica de esta serie es 13,8

1.1.1. Media Aritmtica de una serie sin frecuencias.Para hallar la Media Aritmtica, se suman los valores, sin ordenarlos y luego se divide para el nmero de valores existentes. Esta proposicin se la puede transformar en una frmula.

= Media Aritmticax= Sumatoria de valoresN = Nmero de valores

Calcule la media de los siguientes pesos de alumnos dados en kilos.

47, 49, 51, 48, 50

= ?x = 245N= 5

La media aritmtica es 49 kilos.

1.1.2. Media Aritmtica de una serie simple con frecuancia.Cuando una serie se le agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media artimtica, se multiplica la variable por la frecuencia respectiva y luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el nmero de elementos. Todo esto puede representarse mediante una frmula matemtica, as:

= Media Aritmtica = Sumatoria de producto de la variable por la frecuencia.N = Nmero de elementos.

Las calificaciones de matemticas de un curso de un colegio de Loja, en el primer Trimestre de ste ao lectivo obtiene las siguientes calificaciones:

14 13 13 16 14 12 15 13 13 19 09 11 19 11 15 12 10 12 11 10 17 16 11 15 17 19 15 14 12 16 14 14 12 12 16 14 18 14 16 11- 15 14 13 14

Las mismas que al ordenarlas en una serie simple con frecuencias tenemos:

xfxf

2019181716151413121110903125595652105718348075126657255209

TOTAL44611

CUADRO No. 25

N = 44

La media aritmtica en la asignatura de Matemticas es de 13, 89.

1.1.3. Media Aritmtica de una serie ordenada en intervalos.Cuando una serie est ordenada en intervalos, es posible determinar su valor mediante dos procesos diferentes, determinados por la utilizacin de dos frmulas matemticas.

PRIMER MTODO Algunos autores le llaman Mtodo Largo, consiste en obtener los puntos medios con su respectiva frecuencia y luego se suman todos estos productos parcialesy se divide para el nmero de elementos. Todo esto traducido en una frmula quedara as:

Media Aritmtica= sumatoria de prodcuto de los puntos medios por la frecuencia.N = Nmero de casos

Se estableci un grupo de 100 estudiantes para medirles la talla en uno de los colegio de Loja, una vez ordenados los datos se obtiene la siguiente tabla de valores.El ejemplo propuesto en la tabla tiene un ancho de intervalo que es igual a 8, es decir que es un nmero par; como consecuencia todos los puntos medios tandrn decimales.

xXmfXm . f

143 150135 142127 134119 126111 118103 11095 102 146, 5138, 5130, 5122, 5114, 5106, 598, 528263120112293110833933797, 522901171, 5197

10012,250

CUADRO No. 26

122,5

SEGUNDO MTODOAs como el anterior a ste proceso algunos autores le llaman mtodo corto, porque cuando se tiene una serie con un nmero grande de casos este proceso es ms factible manejarlo que al anterior proceso.Para hallar la Media Aritmtica mediante ste mtodo, la serie debe estar ordenada en intervalos y luego seguir este proceso:

1. Se supone una media supuesta (), este valor puede ser cualquier punto medio, de preferencia que sea el que tiene mayor frecuencia.2. Se establece las diferencias entre el punto medio y la supuesta, dividiendo cada uno para el ancho del intervalo.

U= 3

3. Se realiza el producto de las diferencias por las frecuencias y se suman algebraicamente.4. Una vez que se han obtenido todos estos valores, es posible determinar la X , con la siguiente frmula.

Utilizaremos la serie del cuadro anterior para la aplicacin del segundo mtodo.

XXmfUf . u

143 150135 142127 134146,5138,5130,5282632161626

119 128 122,531122,500

111 118103 11095 102114,5106,598,520112-1-2-3-20-22-6

1000

CUADRO No. 27

= ? = 122,5 0

N = 100

1.1.4. Media Aritmtica de varias mediasEs valor promedio de todas las medias que se dan.Este promedio se lo utiliza mucho, para saber el aprovechamiento de un curso. Ejemplo:Despues de una Junta de curso se pudo conocer que uno de los cursos en estudio obtuvo las siguientes medias en cada una de las asignaturas sealadas.

ASIGNATURAS

Idioma NacionalMatemticasEstudios Sociales Ciencias NaturalesInglsEducacin fsicaOpciones prcticasEducacin Artstica13,413,514,213,814,216,715,813,4

TOTAL115,0

CUADRO No. 28

Se utiliza la frmula: = ? 115N = 8

138

La media del aprovechamiento del curso es de 14,38: de acuerdo a la escala dada por el Ministerio de Educacin, se puede notar de que se trata de un aprovechamiento Bueno.

1.1.5. Propiedades de la Media Aritmtica1.1.5.1. La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de nmeros es igual a cero.

XX -

14151312150,21,2-0,8-1,81,2

0

CUADRO No. 29 = 13,8

1.1.5.2. Si f1 nmeros tienen de media m1, f2 nmeros tienen de media m2,.. fk nmeros tienen de media mk, entonces media de todos los nmeros es:

Se llama Media ponderada de todas las medias.

1.2. Mediana: Se llama Mediana al valor que ocupa al centro de una distribucin, dejando a cada lado el 50% de los casos.Halle la Mediana de los siguientes valores:

17 16 15 14 13

Mdn. = 15

Se puede notar que Mdn. = 15 o sea que es el valor que est ubicado en el centro de la serie.1.2.1. Mediana de una serie sin frecuencias1.2.1.1. Si el nmero de elementos es impar, se ordenan, los datos y se toma el valor central. Ejemplo: Halla la Mdn de los siguientes valores:

101 100 99 98 97 96 95Mdn. = 98

1.2.1.2. Si el nmero de elementos es par, se ordena los daros y luego los dos valores del centro se los suma y se los divide para dos. Por ejemplo: Halle la Mdn. de los valores:101 100 98 96 95 94 Mdn. = Mdn. = 97

1.2.2. Mediana de una serie simple con frecuenciaPara el clculo de la mediana en esta serie, se procede as:Se halla la columna de frecuencias acumuladas, luego se divide el nmero de casos para dos y ste valor se lo ubica en la columna (fa) en el valor igual o prximo mayor al valor N/2 y la variable correspondiente ser el valor de la Mdn.Halle la Mdn. de la siguiente serie:

Xffa

1918171615312554441403833

14928

131211109566211914831

44

CUADRO No. 30

El valor igual o prximo mayor ser 28, en consecuancia el valor de la variable es 14, por tanto la Mdn. es 14.

1.2.3. Mediana de una serie ordenada en IntervalosPara hallar el valor correspondiente a la Mdn de una serie ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la columna de la frecuencia acumulada.2. El nmero de casis se divide para dos y ste valor se lo ubica en la columna de la fa, si es el valor igual o mayor que 3. Una vez que se ha ubicado donde se encuentra la mediana, se procede a encontrar el lmite real inferior del intervalo (Li)4. Se obtiene (fai) que es el valor de la frecuencia acumulada inferior a la localizada con 5. Se escribe el valor f que es la frecuencia del intervalo donde est 6. El ancho de intervalo (i)7. Se utiliza la frmula siguiente:

Mdn. = MedianaLi = Lmite inferior real = El nmero dividido para dosfai = Frecuencia acumulada inferiorf = frecuencia del intervalo.

Obtener la Mdn de la siguiente tabla de valores.Xffa

143 150135 142127 134 28261009890

119 126 3164

111 118 103 110 95 102 2011233132

100

CUADRO No 31.

Li = 118,5fai = 33f = 31i = 8

Se reemplaza estos valores enla frmula y tenemos:

Este es el valor central.

1.3. ModoEl modo o la moda es el valor de la variable que se repite mayor nmero de veces o sea es el valor mas frecuente.Es frecuente que una serie tengs 2 valores modales, a la que se la llamara serie bimodal, etc.Por ejem: En la siguiente serie el valor modal es el 15.17 19 15 15 15 - 13 14 Mo. = 15

1.3.1. El modo de una serie sin frecuenciasPara determinar el Modo de esta serie, es muy sencillo, de avuerdo a un concepto, el Modo es el valor que se repite mayor nmero de veces.Por ejem: Halle el Mo de la Serie:155 159 161 161 162 163El Mo es 161

1.3.2. El Modo de una serie simple con frecuenciaPara determinar el Mo es esta serie, nos atenemos al concepto de Mo: Que es el valor que ms se repite.Por ejemplo: Determinar el Mo en la siguiente serie: Se procede as: se determina la variable que tiene mayor frecuencia y dicha variable ser el Mo.

Xf

191817161531255Mo = 14

149Mo

13121110956521

44

1.3.3. El Modo de una serie ordenada en IntervalosPara determinar el Mo de una serie ordenada en intervalos se procede as:1. Se localiza la mayor frecuancia en esa fila estar el Mo.2. Se halla el lmite inferior.3. Se halla el valor 1 = F . modal f . inferior4. Se determina el valor 2 = f . modal f . mayor5. Se utiliza la frmula

Halle el Modo de la siguiente serie:

Xf

143 150135 142127 134 2826Mo

119 126 31

111 118 103 110 95 102 20112

100

CUADRO No 33Mo = ?Li = 118,51 = 31 20 = 112 = 31 26 = 5i = 8

Mo = 118,5 + 5,5Mo = 124

El Mo = 124

1.4. Reepresentacin grfica de: . Mdn y MoPara su representacin grfica se la realiza en el sistema de coordenadas rectangulares en su Primer Cuadrante.Representa grficamente la , Mdn y Mo en un polgono de frecuencia para los siguientes valores.

XXmf

143 150135 142127 134119 126111 118103 11095 102 146,5 138,5130,5122,5 114,5106,598,528263120112

100

CUADRO No 34.

Para esta serie de valores, se han obtenido los siguientes resultados:

= 122,5Mdn. = 122,89Mo = 124

Mo Mdn X

1.5. Media GeomtricaEste tipo de medida no es utilizada en Padagoga.La media geomtrica de n elementos es igual a la raz de n, del producto de todos sus elementos. As puede ser: La media geomtrica de 2 valores es la raz cuadrada de su producto.La media Geomtrica de 3 valores, es la raz cbica del producto de sus valores y as sucesivamente.La frmula de la Media Geomtrica es:

Halle la Mg de 9 y 4

Mg = 6

1.6. Media ArmnicaSe define como la recproca de la media aritmtica de los inversos 1.Su frmula es:

Halla le Meda armnica de: 3, 7, 2

1. Cfr. Downie Heath; Mtodos Estadsticos Aplicados.Pag. 63

CAPTULO VI

MEDIAS DE VARIABILIDAD (DISPERSIN)

1. Medidad de dispersinSe llama dispersin a la intensidad con que los valores de una variable tienden a extenderse alrededor de un valor medio.Entre las principales medidas de variabilidad o de dispersin tenemos:La desviacin media y la desviacin tpica.

1.1. Desviacin MediaSe llama as a la diferencia que se establece entre la variable y la media aritmtica.

1.1.1. Desviacin media de una Serie de FrecuenciasEs conveniente ordenar la variable, luego se calcula la Media Aritmtica y luego se construye la columna de las desviaciones, que es la diferencia entre la variable y la media aritmtica.La frmula a utilizarse es la siguiente:

D. M. = Desviacin Mediad = Sumatoria de las desviacionesN = nmero de casos

EJEMPLO:Halle la D. M de los siguientes valores: 20 19 18 17 16 15

Xd = X -

2019181716152,51,50,5-0,5-1,5-2,5

1059

CUADRO No 35.

Para la sumatoria de las desviaciones, se las suma, sin tomar en cuenta el signo.

D. M. = 1,5

1.1.2. Desviacin Media de una serie simple con frecuenciasPara obtener la desviacin media de una serie simple se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la media aritmtica2. Se halla la columna de las desviaciones (d)3. Se construye la columna (f.d)4. La frmula a utilizarse es la siguiente

D.M = Desviacin Mediaf.d = Sumatoria de frecuencias por desviacionesN= Nmero de casos

5. Se suman todos los valores de la columna (f.d) sin tomar en cuenta los signos.

EJEMPLO:Halle la desviacin media del siguiente cuadro de valores

XfX.fdm.f.dm.

201918171615142234633403854689645423,352,351,350,35-0,65-1,65-2,656,74,74,051,4-3,9-4,95-7,95

TOTAL2338333,65

CUADRO No 36.

D.M. = 1,46

1.1.3. Desviacin media de una serie ordenada en intervalosPara el clculo de la D.M de una serie ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente proceso:1. Se halla la media aitmtica por cualquiera de los mtodos estudiados.2. Se halla la columna de las desviaciones, establecindose la diferencia entre el punto medio y la media aritmtica3. Se construye la columna f. dm. Que es el producto de la frecuencia por las desviaciones mediasAl final se suman todos los valores sin tomar en cuenta los signos.4. Se utiliza la frmula:

D.M. = Desviacin mediaf. dm. = Sumatoria de prodcutos de la frecuencia por las desviaciones medias.EJEMPLO:Calcular la desviacin media de los valores de la siguiente tabla.

XXmff. Xmdmf.dm

18 20 15 1712 149 116 83 5 19161310742416103138642081002146,923,920,92-2,08-5,08-8,0813,8415,6814,72-20,80-15,24-8,08

TOTAL1643588,36

CUADRO No 37

D.M. = 2,45

1.2. Desviacin tpicao desviacin estandarEs la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones.Para el clculo matemtico la desviacin tpica se tiene los siguientes casos:1.2.1. Desviacin Tpica de una serie sin frecuenciasPara determinar el valor de la desviacin tpica, se utiliza el siguiente procedimiento:1. Se halla la media aritmtica2. Se construye la columna de las desviaciones3. Se halla la columna (d2)4. Se utiliza la frmula

Desviacin tpica= sumatorias de las desviaciones elevadas al cuadradoN = Nmero de casos

Halle la desviacin tpica de la siguiente serie de valores:20 19 18 17 16 15

Xdd2

2019181716152,51,50,5-0,5-1,5-2,56,252,250,250,252,256,25

17,50

CUADRO No 38

1.2.2. Desviacin tpica de una serie simple con frecuenciasPara el clculo de la desviacin tpica, se utiliza el siguiente proceso:1. Se determina la media aritmtica2. Se halla la columna de las desviaciones3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado4. Se elabora la columna de f.d2.5. Se utiliza la siguiente frmula

Desviacin tpica= sumatorias del producto de las frecuancias por el cuadrado de las desviaciones.N = Nmero de casos

EJEMPLO:Halle la desviacin tpica de la siguiente serie:20 19 18 17 16 15 14

Xfdd2f . d2

2019181716151422346333,352,351,350,35-0,65-1,65-2,6511,225,521,820,120,422,727,0222,4411,045,460,482,528,1621,06

TOTAL2371,16

CUADRO No 39

Si la

1.2.3. Desviacin tpica de una serie ordenada en intervalosPara el clculo matemtico de la desviacin tpica en una serio ordenada en intervalos, se utiliza el siguiente proceso.1. Se determina la media aritmtica2. Se halla la columna de las desviaciones3. Se construye la columna de las desviaciones elevadas al cuadrado4. Se elabora la columna de f.dm25. Se utiliza la frmula:

Desviacin tpica= sumatoria del producto de las frecuencias por las desviaciones elevadas al cuadrado.N = Nmero de casos.

XfXmXsuf.udmdm2f. dm2

18 2015 1712 149 116 83 5 4141966119 1613107413

210-1-1-38140-6-12-35,942,940,06-3,06-6,06-9,0635,288,640,00393636,7282,08141,12120,960,0656,16220,3282,08

TOTAL501620,70

CUADRO No. 40

GRFICO No 19.

Como Ud. Puede darse cuenta las calificaciones estan dadas por nmeros enteros en consecuencia tenemos:Para la calificacin Sobresaliente, estarn las estudiantes que tengan los puntajes de 19 y 20 Para la calificacin muy Buena, los puntajes: 15, 16, 17 ,18.Para la calificacin Buena se tendrn los puntajes 12, 13 ,14.Para la calificacin Regular se tienen los puntajes: 8, 9. 10, 11Para la calificacin deficiente se tienen los puntajes 5, 6, 7.De acuerdo a los puntajes existentes en cada calificacin es posible determinar el nmero de estudiantes que estn ubicados en cada grupo de las calificaciones cualitativas.En el presente caso se tendran las calificaciones distribuidas as: SobresalienteMuy buenaBuenaRegular Deficiente2 Estudiantes16 Estudiantes19 Estudiantes8 Estudiantes5 Estudiantes

Total50 Estudiantes

CUADRO No 41A continuacin ampliaremos este tipo de distribucin .

1.2.4. Distribucin de las calificaciones mediante la desviacin tpica o desviacin estndar.Mediante e3stewe proceso es posible ubicar a cada uno de los estudianes en el rango de calificacin cualitativa de acuerdo a los valores de la media aritmtica y a la desviacin tpica de todo el grupo.EJEMPLO: Distribur las calificaciones siguientes que pertenecen a la tabla de valores que se utiliz en el cuadro anterior.

12 14 9 16 18 15 16 17 10 8 12 14 8 13 17 14 13 16 10 7 12 15 7 12 16 13 = 14 13 19 6 13 16 6 15 16 12 15 14 18 10 13 10 5 14 1711 13 9 16 12.Que constituye latabla de valores:

XfXm

18 2015 1712 149 116 83 5 414196611916131074

CUADRO No 42Se han obtenido en clculos anteriores los siguientes datos :

Para distribucin se debe tener en cuenta la siguiente tabla:

CUADRO No 43CALIFICACIONESNUMERALES

SobresalienteMuy buenaBuenaRegularDeficiente18,04 a 21,5614, 82 a 18,0411,30 a 14,827,78 a 11,304,26 a 7,78

Para obtener los intervalos se parte de la media aritmtica sumando y restando la mitad de la desviacin tpica, se obtiene el intervalo de la calificacin Buena. Para obtener el intervalo de la calificacin Muy Buena, al lmite superior del intervalo anterior se le adiciona el valor de la deviacin tpica; Para el intervalo de Sobresaliente, al lmite superior del intervalo anterior se le adiciona el valor de la desviacin estandar.Para obtener el intervalo de la calificacin Regular, al lmite inferior de la calificacin Buena se le resta el valor de la desviacin tpica.As mismo para obtener el intervalo de la calificacin Deficiente, al lmite inferior de la calificacin Regular, se le resta el valor de la desviacin estandar. As se obtiene todos los intervalos.As puede Ud. realizar la distribucin mediante la desviacin estandar que es muy utilizada en la escuela primaria.

2. Interpretacin Pedaggica de la Desviacin Media y de la Desviacin Tpica.En pedagoga se utiliza mucho estas medias de variabilidad, para poder realizar anlisis sobre la homogeniedad o heterogeneidad del grupo.Si la desviacin tpica o la desviacin media tiene valores menores, se considera que el grupo es ms homogenio y viseversa.La desviacin media se la utiliza cuando se desea dar la importancia a todos los puntajes de la serie.La desviacin estandar se utiliza cuando se necesita una medida de variabilidad de mayor precicin; si ha sido calculada la media aritmica, como medida de tendencia central; si se desea dar a cada valor de la serie la importancia que tiene y se proyecte realizar clculos estadsticos posteriores en la curva normal [footnoteRef:2] [2: Cfr. Vizuete, Cedeo, Estadstica Aplicada a la Educacin pg. 143 ]

CAPTULO VII

MEDIDAS INDIVIDUALES

1. Medidas individuales

En educacin, al maestro no solo le interesa conocer el valor que representa al conjunto de datos y el valor de variabilidad del grupo, si no que necesita conocer datos ms precisos que le permitan observar en forma concreta el valor de cada individuo.Mediante el desarrollo de las diferentes medidas individuales como son: los Cuartiles, Deciles, Percentiles, Puntuaciones Tipificadas ( ) y las puntuaciones derivadas T.

1.1. Los cuartiles

Es un tipo de medidas individuales que se los utiliza para dividir la serie en cuatro partes iguales, las mismas que reciben el nombre de Cuartiles: Primer Cuartil (Q1), Segundo Cuartil (Q2) y Tercer Cuartil (Q3).Conviene indicar que bajo primer cuartil est el 25 % de los casos, entre el primero y el segundo cuartil est otro 25% de los casos y sobre el tercer cuartil est el otro 25 %.

1.1.1. Calculo de los cuartiles de una serie simple con frecuencias.

Se utiliza el siguiente proceso:

1. Se construye la columna de la frecuencia acumulada.2. Se ubica la posicin de cada uno de los cuartiles en la columna de la frecuencia acumulada, mediante la utilizacin de las siguientes frmulas:

Qp1 = Posicin del cuartil uno.Qp1 = N / 4Qp2 = Posicin del cuartil dos.Qp2 = 2N / 4Qp3 = Posicin del cuartil tres.Qp3 = 3N / 4

3. Una vez que ha sido ubicado cada uno de los cuartiles en la frecuencia acumulada, es posible determinar el valor de cada cuartil, tomando el valor de la variable, correspondiente al cuartil ubicado.

EJEMPLO:

Determine los cuartiles de los puntajes de un curso que estn dados en la siguiente tabla.

Xffa

201918171615141312 1110987651234321542323221150494744Qp3

4037Qp2

352016Qp1

141196421

Total50

CUADRO No 44

Qp1 = N/4Qp1 = 50/4Qp1 = 12,5Equivale: Q1 = 11QP2 = 2N/4QP2 = 25Equivale: Q2 = 14QP3= 3N/4QP3 =37,5Equivale: Q3 = 16

Se puede observar que la posicin del cuartil uno es 12,5; y el valor que corresponde en la variable es 11; por tanto Q1 = 11 y as se obtienen los dems valores.

1.1.2. Clculo de los cuartiles de una serie ordenada en intervalos:Para el clculo de los cuartiles de una serie ordenada en intervalos se utiliza el siguiente procedimiento.1. Se halla la frecuencia acumulada.2. Se ubica a los cuartiles de acuerdo a su posicin en cuartil uno, cuartil 2, y cuartil tres.3. Se emplea las siguientes frmulas para hallar los cuartiles:

Uds. Pueden notar que estas frmulas son aplicaciones de la frmula de la mediana.Q1= Cuartil unoQ2= Cuartil dosQ3= Cuartil tresLi= Lmite real inferiorN= Nmero de elementosfai= Fraccin acumulada inferiorf= Fraccin del intervalo donde est ubicado el cuartili= ancho del intervalo.EJEMPLO:Calcular los cuartiles de la siguiente tabla de valores:XXmfFa

43 5144 4740 4336 3932 3528 1124 2720 2316 1912 158 114 749,545,541,537,533,529,525,521,517,513,59,55,5267101218131065429593878070584027171162

Total95

CUADRO No. 45

Ubicacin de los cuartiles:Qp1= N/4Qp1= 95/4Qp1= 23,75Qp2= 2N/4Qp2= 190/4Qp2= 47,5Qp3= 3N/4Qp3= 285/4Qp3= 71,25

Clculo de los cuartiles:Para el Primer cuartilDatos:Li = 19,5N/4 = 23,75fai = 17f = 10i = 4 Frmula:

Para el Segundo Cuartil.Datos:Li= 27,52N/4 = 47,5fai= 40f= 18i = 4Frmula

+ 1,666

Para el tercer Cuartil.DatosLi = 35,53N / 4 = 71,25fai = 70f= 10i= 4

Frmula:

Toda la serie se ha dividido en tres cuartiles:Q1 = 22,2Q2= 29,17Q3= 36

Podemos notar que Q2 es equivalente al valor de la mediana, en consecuencia es la misma frmula de la mediana.

1.2. Los DecilesLos deciles dividen a la serie en diez partes.As como en el caso de los cuartiles, para su clculo matemtico, los deciles se los puede ubicar en forma directa en una serie simple con frecuencias.Mientras tanto que para su clculo en una serie ordenada en intervalos es conveniente ubicarlos en la frecuencia acumulada y despus para el clculo matemtico se utilizan las frmulas que damos a continuacin:

FRMULAS DE UBICACIN DE FRMULAS PARA EL CLCULO DELOS DECILES LOS DECILES

Dp1 = Dp2 = Dp3 = Dp4 = Dp5 = Dp6 = Dp7 = Dp8 = Dp9 =

Ud. Puede realizar aplicaciones tomando como modelo el ejercicio propuesto en los cuartiles.

1.3. Los PercentilesLos percentiles dividen a la serie total en cien partes.Para su clculo matemtico hay que tomar en consideracin las siguientes frmulas: de posicin y de clculo.Frmula de posicin Frmula de clculo de percentil

Determine los valores correspondientes a los percentiles: P10, P30, P50, P75.XXmFfa

48 5144 4740 4336 3932 3528 31 24 2720 23 16 1912 158 114 7 49,545,541,537,533,529,525,521,517,513,59,55,526710121813106542959387P75

8070P50

5840P30

2717P10

1162

Total95

CUADRO No 46

Ubicacin de los percentiles:

P10 = 9,5 P30 = 28,5

P50 = 47,5

P75 = 71,25

Para el clculo de los diferentes percentiles, se necesita los siguientes datos:

P10 = ?Pp = 9,5fai = 6f = 5i = 4

Para el P30Datos:Li = 23,5Pp = 28,5fai = 27f = 13i = 4

Para el P50Datos:Li = 27,5Pp = 47,5fai = 50f = 18i = 4

Para el P75

Datos:Li = 35,5Pp = 71,25fai = 70f = 10i = 4

Frmulas:

De esta manera Ud. puede obtener los 99 percentiles.

1.4. Puntuaciones tipificadas Z.Se llama puntuacin tipificada a la desviacin de cada uno de los valores con respecto a la media aritmtica de todo el grupo y a esta diferencia se le divide para la desviacin tpica de todo el grupo.La frmula para su clculo matemtico es:

1.4.1. Aplicacin de las puntuaciones tipificadasSe utiliza para determinar cuando un estudiante est mejor ubicado en una cierta asignatura.As por ejemplo un estudiante de colegio obtiene las siguientes calificaciones:

AsignaturasX

I. NacionalMatemticasE. Sociales151417161216222,5

CUADRO No47

I Nacional : z = - 1/2 z = - 0,5Matemticas: z = 2/ 2 z = 1E. Sociales: z = 1/ 2,5 z = 0,4

Se puede notar claramente que el estudiante esta mejor ubicado en matemticas, porque su puntaje est por encima de la media, as mismo su variacin es mnima.En cambio en Estudios Sociales su puntaje as mismo es mayor que en , pero la desviacin tpica es menor, en consecuencia los puntajes tienen mayor variacin.En Idioma Nacional se puede notar que z es un valor negativo, ya que su puntaje est por debajo de la , a pesar de que tiene la misma variacin que en matemticas.

1.5. Puntuacin derivada TEste tipo de puntuaciones se las utiliza con el objetivo de aumentar la escala evitando la utilizacin de decimales menores que la unidad y de valores negativos en la aplicacin de z.Para su clculo matemtico se utiliza la siguiente frmula:

T = 20z +50

T = Puntuacin derivada T.Z = puntaje z20 y 50 = son valores constantes

EJEMPLO:Transformar los siguientes puntajes z en puntuacin derivada T.

Z = 0,21T= 20 . 0,21 + 50 T= 4,2 + 50T= 54,2Z = -2,3T= 20 .( -2,3) + 50T = -46 + 50T = 4Z = 1,5T= 20 . (1,5) + 50T = 30 + 50T = 80Z = -1,6T= 20 . (-1,6) + 50T = -32 + 50T = 18Z = 0,08T= 20 . (0,08) + 50T = 1,6 + 50T = 51,6

Se puede observar claramente que entre los dos valores negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto por ejm. Z= 2,3 mediante los puntajes T se obtiene: T = 4 y Z= -1,6 mediante los puntajes T, se obtiene: T = 18.

Mediante los puntajes T, esta diferencia se puede aclarar fcilmente y se puede notar de que el valor de Z = -1,6 es mayor porque T= 18.

GALO LUNA Z.

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