Estad stica - Universidad Autónoma de Madrid · independencia y la homogeneidad. 5.2. Contrastes...

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Estad´ ıstica (1 o de CC. Ambientales) B. Barcel´o, P. Cifuentes, D. Gonz´alez 2016 Objetivos Adquirir las t´ ecnicas y competencias b´ asicas de los m´ etodos estad´ ısticos que sean adecuados para el estudio de los fen´ omenos ambientales. Estos objetivos generales, se concretan en los siguientes puntos: 1. Introducci´ on de las t´ ecnicas estad´ ısticas b´ asicas necesarias para el an´ alisis estad´ ıstico de los datos ambi- entales. 2. Comprensi´ on de los estudios estad´ ısticos e interpretaci´ on de los resultados obtenidos en un an´ alisis es- tad´ ıstico. 3. Utilizaci´ on de los elementos b´ asicos de programas inform´ aticos de Estad´ ıstica. Programa 1. ESTAD ´ ISTICA DESCRIPTIVA 1.1. Res´ umenes gr´ aficos y num´ ericos de datos cualitativos y cuantitativos. 1.2. Medidas de asociaci´ on entre variables: covarianza, correlaci´ on, recta de regresi´ on. Transformaciones. 1.3. An´ alisis descriptivo completo de un conjunto de datos ambientales. 2. MODELOS DE PROBABILIDAD Y T ´ ECNICAS DE MUESTREO 2.1. Variables aleatorias discretas y continuas. Media, mediana y varianza. 2.2. Modelos de probabilidad m´ as importantes: Pruebas de Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal. Propiedades. 2.3. Poblaci´ on y muestra. 2.4. Selecci´ on de una muestra. Tipos de muestreo: aleatorio simple, estratificado, por conglomerados. 2.5. R´ eplicas y pseudor´ eplicas. 3. ESTIMACI ´ ON PUNTUAL Y POR INTERVALOS 3.1. Noci´ on de estimador y propiedades deseables. 3.2. Criterios para obtener estimadores puntuales. 3.3. Noci´ on de intervalo de confianza y m´ etodo de construcci´ on. 3.4. Intervalos de confianza en poblaciones normales. Caso de datos emparejados. 3.5. Intervalos de confianza para proporciones. 3.6. Intervalos de confianza de nivel aproximado para muestras grandes. 3.7. Determinaci´ on del m´ ınimo tama˜ no muestral. 4. CONTRASTES DE HIP ´ OTESIS PARAM ´ ETRICAS 4.1. Planteamiento del problema y formulaci´ on de hip´ otesis. Hip´ otesis nula y alternativa. 4.2. Metodolog´ ıa para contrastar hip´ otesis. Estad´ ıstico del contraste. 4.3. Errores de tipo I y de tipo II.
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  • Estadstica(1o de CC. Ambientales)

    B. Barcelo, P. Cifuentes, D. Gonzalez

    2016

    Objetivos

    Adquirir las tecnicas y competencias basicas de los metodos estadsticos que sean adecuados para el estudio delos fenomenos ambientales. Estos objetivos generales, se concretan en los siguientes puntos:

    1. Introduccion de las tecnicas estadsticas basicas necesarias para el analisis estadstico de los datos ambi-entales.

    2. Comprension de los estudios estadsticos e interpretacion de los resultados obtenidos en un analisis es-tadstico.

    3. Utilizacion de los elementos basicos de programas informaticos de Estadstica.

    Programa

    1. ESTADISTICA DESCRIPTIVA

    1.1. Resumenes graficos y numericos de datos cualitativos y cuantitativos.

    1.2. Medidas de asociacion entre variables: covarianza, correlacion, recta de regresion. Transformaciones.

    1.3. Analisis descriptivo completo de un conjunto de datos ambientales.

    2. MODELOS DE PROBABILIDAD Y TECNICAS DE MUESTREO

    2.1. Variables aleatorias discretas y continuas. Media, mediana y varianza.

    2.2. Modelos de probabilidad mas importantes: Pruebas de Bernoulli, Binomial, Poisson, Normal.Propiedades.

    2.3. Poblacion y muestra.

    2.4. Seleccion de una muestra. Tipos de muestreo: aleatorio simple, estratificado, por conglomerados.

    2.5. Replicas y pseudoreplicas.

    3. ESTIMACION PUNTUAL Y POR INTERVALOS

    3.1. Nocion de estimador y propiedades deseables.

    3.2. Criterios para obtener estimadores puntuales.

    3.3. Nocion de intervalo de confianza y metodo de construccion.

    3.4. Intervalos de confianza en poblaciones normales. Caso de datos emparejados.

    3.5. Intervalos de confianza para proporciones.

    3.6. Intervalos de confianza de nivel aproximado para muestras grandes.

    3.7. Determinacion del mnimo tamano muestral.

    4. CONTRASTES DE HIPOTESIS PARAMETRICAS

    4.1. Planteamiento del problema y formulacion de hipotesis. Hipotesis nula y alternativa.

    4.2. Metodologa para contrastar hipotesis. Estadstico del contraste.

    4.3. Errores de tipo I y de tipo II.

  • 4.4. Nivel de significacion y region de rechazo. El p-valor.

    4.5. Contrastes para proporciones y en poblaciones normales.

    4.6. Relacion entre los intervalos de confianza y los contrastes de hipotesis.

    5. CONTRASTES DE HIPOTESIS NO PARAMETRICAS

    5.1. Diagnostico del modelo. Consecuencias de que no se cumplan las hipotesis sobre la distribucion, laindependencia y la homogeneidad.

    5.2. Contrastes chi-cuadrado de bondad de ajuste, independencia y homogeneidad.

    5.3. Otros contrastes: test de Kolmogorov-Smirnov, Mann-Withney, Wilcoxon.

    5.4. Metodos graficos de diagnostico: P-P plots y Q-Q plots.

    BIBLIOGRAFIA (los anos indican ediciones disponibles en la Biblioteca de Ciencias)

    1. De la Horra, J. (1995, 2001, 2003). Estadstica Aplicada. Daz de Santos.

    2. McClave, J. T. & Sincich, T. (2011). Statistics. Pearson/Prentice Hall.

    3. Milton, S. (1987, 1994, 2001, 2007). Estadstica para Biologa y Ciencias de la Salud. McGraw-Hill.

    4. Moore, D. S. (et al.) (1996, 2004, 2007, 2010, 2013). The basic practice of statistics. W. H. Freeman.

    5. Moore, D. S. (1998, 2005). Estadstica Aplicada Basica. Editorial Antoni Bosch.

    6. Pena, D. (2001). Fundamentos de Estadstica. Alianza Editorial.

    Evaluacion del curso

    Durante el curso se realizaran las siguientes pruebas de evaluacion.

    Dos controles intermedios

    Se realizaran en la hora de clase. Fechas propuestas: jueves, 3 de marzo y jueves 14 de abril.

    Examen final

    Fecha fijada por la Junta de Facultad: lunes, 8 de mayo, por la manana.

    Calificacion final

    La calificacion final del curso en la convocatoria ordinaria se calculara sumando un 15% de cada control inter-medio y un 70% del la calificacion en el examen final.En la convocatoria extraordinaria, la calificacion final sera la obtenida en el examen extraordinario, fijado porla Junta de Facultad para el viernes 24 de junio. por la tarde.

    Plan de trabajo

    Semanas Contenidos Observaciones12 Estadstica descriptiva Los das 4 y 11 de febrero la clase se impartira en el

    aula de informatica.35 Modelos de probabilidadMuestreo Al finalizar el segundo tema se realizara el primer con-

    trol.68 Estimacion puntualIntervalos de

    confianza911 Contrastes de hipotesis parametricos Al finalizar este cuarto tema se realizara el segundo con-

    trol.1213 Contrates de hipotesis no parametri-

    cosLa clase de los das XX de abril y XX de mayo se im-partiran en el aula de infromatica.

    14 Repaso

    2

  • Modelos de Probabilidad mas comunes

    X: Variable aleatoria. F (x) = P (X x): Funcion de Distribucion. E(X): Esperanza (media) de X f(x): Funcion de densidad V (X): Varianza de X

    1. Binomial: X B(n; p) con n N, 0 < p < 1 y q = 1 p.

    P (X = k) =(nk

    )pk qnk, para k = 0, 1, 2, . . . , n.

    E(X) = n p, V (X) = n p q.

    2. Poisson: X P () con > 0.

    P (X = k) = e k

    k!, para k = 0, 1, 2, . . . .

    E(X) = , V (X) = .

    3. Geometrica: X Geom(p); 0 < p < 1. P (X = k) =, para k = 1, 2, 3, . . . .

    E(X) = 1p

    , V (X) =1 pp2

    .

    4. Uniforme: X U(a, b) con a < b, a, b R.

    f(x) = 1b a , si x (a, b).

    F (x) = x ab a , si x (a, b).

    E(X) = a+ b2

    , V (X) =(b a)2

    12.

    5. Exponencial: X exp(), con > 0. f(x) = ex, x > 0. F (x) = 1 ex, x > 0. E(X) = 1/, V (X) = 1/2.

    6. Normal: X N(, ) con R y > 0.

    f(x) = 1

    2e

    (x)222 , x R.

    E(X) = , V (X) = 2.

    7. 2 de Pearson con n grados de libertad: X 2n.

    f(x) = xn/21ex/2

    constante 2n/2 , x > 0.

    E(X) = n, V (X) = 2n.

    8. t de Student con n grados de libertad: X tn.

    f(x) = 1n

    (n+12 )

    (n2 )

    (1 +

    x2

    n

    )n+12

    .

    E(X) = 0; V (X) = nn 2 , (n > 2).

    3

  • 9. F de Snedecor con m y n grados de libertad: X Fm,n

    f(x) = mn

    (m+n2 )

    (m2 )(n2 )

    (mnx)m

    21 (

    1 +m

    nx)m+n

    2.

    E(X) = nn 2, (n > 2); V (X) =

    2n2(m+ n 2)m(n 2)2(n 4) , (n > 4).

    Aproximaciones de una distribucion Binomial

    Aproximacion de una Binomial por una NormalPara n grande en relacion a p y q = 1 p (np 10q y nq 10p):

    B(n, p) N( = n p, =

    n p (1 p)

    )

    Aproximacion de una Binomial por una PoissonPara n grande (n 30) y 0 < p < 0.1:

    B(n, p) P ( = n p )

    Estimadores

    (X1, . . . , Xn) muestra aleatoria simple (m.a.s.) de X.

    Media muestral:

    X =1

    n

    n

    i=1

    Xi,

    Cuasi-varianza:

    S2 =1

    n 1n

    i=1

    (Xi X)2

    4

  • Distribucion de X cuando X N(, )

    Si X N(, ) y (X1, X2, . . . , Xn) es una m.a.s. de X, entonces X N(, /n)

    Distribucion de S2 cuando X N(, )

    Si X N(, ) y (X1, X2, . . . , Xn) es una m.a.s. de X, entonces

    S2

    2/(n 1) 2n1.

    Intervalos de Confianza y Contrastes de Hipotesis

    Intervalos de confianza mas usuales

    1. X N(, )

    Intervalo de confianza 1 para :

    I =

    [x z/2

    n

    ]( conocida)

    I =

    [x tn1;/2

    sn

    ]( desconocida)

    Intervalo de confianza 1 para 2: I =[

    (n 1)s22n1;/2

    ,(n 1)s22n1;1/2

    ]

    2. X B(1, p) (muestras grandes).

    Intervalo de confianza 1 para p: I =[x z/2

    x(1 x)

    n

    ]

    3. X P () (muestras grandes).

    Intervalo de confianza 1 para : I =[x z/2

    x

    n

    ]

    4. Dos poblaciones Normales independientes

    X N(1, 1), Y N(2, 2) independientes(X1, . . . , Xn1) m.a.s. de X; se calcula x y s

    21.

    (Y1, . . . , Yn2) m.a.s. de Y ; se calcula y y s22.

    s2p =(n1 1) s21 + (n2 1) s22

    n1 + n2 2

    Intervalo de confianza 1 para 1 2:

    5

  • I =

    x y z/2

    21n1

    +22n2

    1, 2 conocidas

    I =

    [x y tn1+n22;/2 sp

    1

    n1+

    1

    n2

    ]1, 2 desconocidas, 1 = 2

    El caso 1, 2 desconocidas, 1 6= 2 es complicado

    Intervalo de confianza 1 para 21/22: I =[

    s21/s22

    Fn11;n21;/2, (s21/s

    22)Fn21;n11;/2

    ]

    5. Comparacion de proporciones (muestras grandes e independientes)

    X B(1, p1), Y B(1, p2), independientes.(X1, . . . , Xn1) m.a.s. de X; se calcula x y s

    21.

    (Y1, . . . , Yn2) m.a.s. de Y ; se calcula y y s22.

    Intervalo de confianza 1 para p1 p2: I =

    x y z/2

    x (1 x)

    n1+y (1 y)

    n2

    6. Datos emparejados

    X N(1, 1), Y N(2, 2).D = X Y N( = 1 2, ),donde el calculo de supera el nivel de este curso.

    Contrastes de hipotesis mas usuales

    = nivel de significacion del contraste. H0 = hipotesis nula. n = tamano de la muestra. R = region crtica o de rechazo de H0.

    1.- X N(, )

    H0 : = 0 ( conocida) R ={|x 0| > z/2 n

    }

    H0 : = 0 ( desconocida) R ={|x 0| > tn1;/2 sn

    }

    H0 : 0 ( conocida) R ={x 0 > z n

    }

    H0 : 0 ( desconocida) R ={x 0 > tn1; sn

    }

    H0 : 0 ( conocida) R ={x 0 < z1 n

    }

    H0 : 0 ( desconocida) R ={x 0 < tn1;1 sn

    }

    H0 : = 0 R ={n120

    s2 /[2n1;1/2 ,

    2n1;/2

    ]}

    H0 : 0 R ={n120

    s2 > 2n1;}

    H0 : 0 R ={n120

    s2 < 2n1;1}

    6

  • 2.- X B(1, p) (muestras grandes)

    H0 : p = p0 R =

    {|x p0| > z/2

    p0(1p0)

    n

    }

    H0 : p p0 R ={x p0 > z

    p0(1p0)

    n

    }

    H0 : p p0 R ={x p0 < z1

    p0(1p0)

    n

    }

    3.- X P () (muestras grandes)

    H0 : = 0 R ={|x 0| > z/2

    0/n

    }

    H0 : 0 R ={x 0 > z

    0/n

    }

    H0 : 0 R ={x 0 < z1

    0/n

    }

    4.- Dos poblaciones Normales independientes

    (s2p calculado como en los intervalos de confianza)

    H0 : 1 = 2 (1, 2 conocidas) R =

    {|x y| > z/2

    21n1

    +22n2

    }

    H0 : 1 = 2 (1 = 2) R ={|x y| > tn1+n22;/2 sp

    1n1

    + 1n2

    }

    H0 : 1 2 (1, 2 conocidas) R ={x y > z

    21n1

    +22n2

    }

    H0 : 1 2 (1 = 2) R ={x y > tn1+n22; sp

    1n1

    + 1n2

    }

    H0 : 1 2 (1, 2 conocidas) R ={x y < z1

    21n1

    +22n2

    }

    H0 : 1 2 (1 = 2) R ={x y < tn1+n22;1 sp

    1n1

    + 1n2

    }

    H0 : 1 = 2 R ={s21/s

    22 /

    [Fn11;n21;1/2 , Fn11;n21;/2

    ]}

    H0 : 1 2 R ={s21/s

    22 > Fn11;n21;

    }

    H0 : 1 2 R ={s21/s

    22 < Fn11;n21;1

    }

    5.- Comparacion de proporciones (muestras grandes e independientes)

    X B(1, p1), (X1, . . . Xn1) m.a.s. de XY B(1, p2), (Y1, . . . Yn2) m.a.s. de Y

    }; p =

    i xi +

    i yi

    n1 + n2=n1 x+ n2 y

    n1 + n2

    H0 : p1 = p2 R =

    {|x y| > z/2

    p (1 p)

    (1n1

    + 1n2

    )}

    H0 : p1 p2 R ={x y > z

    p (1 p)

    (1n1

    + 1n2

    )}

    H0 : p1 p2 R ={x y < z1

    p (1 p)

    (1n1

    + 1n2

    )}

    7

  • Contrastes 2

    = nivel de significacion del contraste. H0 = hipotesis nula. n = tamano de la muestra. R = region crtica o de rechazo de H0.

    1. Contraste de la bondad del ajuste: Primer caso

    H0 : La poblacion X sigue el modelo P indicado. A1, A2, . . . , Ak: k clases de los posibles valores de X. Oi = frecuencia observada en la clase Ai. ei = nP (Ai) = frecuencia esperada en la clase Ai, suponiendo que H0 es cierta.

    R =

    {k

    i=1

    (Oi ei)2ei

    =

    k

    i=1

    O2iei n > 2k1;

    }

    2. Contraste de la bondad del ajuste: Segundo caso.

    H0 : La poblacion X sigue algun modelo P de una cierta familia de distribuciones r = numero de los parametros desconocidos: = (1, 2, . . . , r). A1, A2, . . . , Ak: k clases de los posibles valores de X. Oi = frecuencia observada en la clase Ai. ei = nP(Ai) = frecuencia esperada en la clase Ai, suponiendo que H0 es cierta (y usandoel estimador de maxima verosimilitud del parametro ).

    R =

    {k

    i=1

    (Oi ei)2ei

    =

    k

    i=1

    O2iei n > 2k1r;

    }

    3. Contraste de homogeneidad de poblaciones

    H0 : Las p poblaciones X1, X2, . . . , Xp son homogeneas A1, A2, . . . , Ak: k clases de los posibles valores de X. Oij = frecuencia observada en la clase Ai con la muestra j-esima.

    eij = nj P (Ai) = (

    columna i-esima )(fila j-esima )n = frecuencia esperada en la clase

    Ai con la muestra j-esima, si H0 es cierta.

    R =

    k

    i=1

    p

    j=1

    (Oij eij)2eij

    =k

    i=1

    p

    j=1

    O2ijeij n > 2(k1)(p1);

    4. Contraste de independencia

    H0 : Las caractersticas X e Y de la poblacion son independientes. A1 B1, . . . , Ai Bj , . . . , Ak Bp: k p clases de los posibles valores de X Y . Oij = frecuencia observada en la clase Ai Bj .

    eij = n P (Ai) P (Bj) = (

    columna i-esima )(fila j-esima )n = frecuencia esperada en la

    clase Ai Bj suponiendo que H0 es cierta.

    R =

    k

    i=1

    p

    j=1

    (Oij eij)2eij

    =k

    i=1

    p

    j=1

    O2ijeij n > 2(k1)(p1);

    8

  • EJERCICIOS

    hoja 1: estadstica descriptiva

    1. Interesa estudiar la variable X=((Tiempo de vida en das)) de una especie de insectos. En una muestra pequenade 11 insectos, los resultados muestrales fueron:

    20, 25, 13, 18, 32, 25, 20, 15, 28, 40, 27

    Halla el tiempo medio de vida medio, el tiempo de vida mediano, la cuasi-varianza y la desviacion tpica muestral.

    2. Con el fin de controlar la contaminacion de un ro, todas las semanas se hace una medicion del nivel de acidourico del agua. Las mediciones durante 9 semanas fueron:

    13 10 7 5 12 7 9 5 5

    Halla el nivel medio de acido urico, el nivel mediano, la cuasi-varianza y la desviacion tpica.

    3. En 1778, H. Cavendish realizo una serie de 29 experimentos, con una balanza de torsion, con objeto de medir ladensidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidad la densidad del agua, fueron:

    550 561 488 407 526 555 536 529 558 565557 553 562 529 544 534 579 510 527 539542 547 563 534 546 530 575 586 585

    a) Representa los datos por medio de un histograma.

    b) Representa los datos por medio de un diagrama de caja (boxplot).

    c) Halla la media y la desviacion tpica.

    d) Es la distribucion aproximadamente normal?

    4. Para evaluar la viabilidad de un proyecto de reforestacion de una zona sometida a una fuerte actividadturstica, se analiza la composicion en mg por cm3 de desechos organicos del territorio. Los datos que se obtienenson:

    10.87 9.01 22.50 12.35 17.39 31.05 17.19 16.74 20.3319.32 23.18 25.15 15.49 20.30 2.38 13.55 9.33 22.7210.96 25.90 27.66 9.74 18.65 9.31 24.60 17.41 24.8615.34 23.34 22.81 17.86 30.72 32.60 8.96 32.71 15.8616.71 5.48 8.25 20.57 4.57 2.30 32.56 7.92 4.844.57 26.45 23.58 19.27 9.79 3.03 19.40 23.92 22.45

    22.05 21.18 18.85 8.38 15.01 18.12 4.24 3.39 7.1722.71 22.44 15.89 24.20 24.75 28.08 19.73 13.22 17.695.53 11.42 5.58 3.15 14.06 5.83 19.42 21.13 18.32

    23.31 11.89 23.95 19.30 12.22 21.45 9.84 4.78 38.6312.65 13.89 23.82 16.91 28.09 15.73 12.53 16.52 9.484.08

    Efectuar un estudio descriptivo como en el ejercicio anterior.

    5. El maz es un elemento importante en la alimantacion animal. Sin embargo, este cereal carece de algunosaminoacidos que son esenciales. Un grupo de cientficos desarrollo una nueva variedad que s contena nivelesapreciables de dichos aminoacidos. Para comprobar la utilidad de esta nueva variedad, se llevo a cabo el siguienteexperimento: a un grupo de 20 pollos de 1 da se les suministro un pienso que contena harina de maz de la nuevavariedad. A otro grupo de 20 pollos (grupo de control) se le alimento con un pienso que solo se diferenciaba delanterior en que no contena harina de la variedad mejorada de maz. Los resultados que se obtuvieron sobre lasganancias de peso de los pollos (en gramos) al cabo de 21 das de alimentacion fueron los siguientes:

    Variedad normal

    380 321 366 356 283 349 402 462 356 410 329 399 350 384 316 272 345 455 360 431

    Variedad mejorada

    361 447 401 375 434 403 393 426 406 318 467 407 427 420 477 392 430 339 410 326

    a) Para comparar las dos distribuciones, representa los dos diagramas de caja y bigotes en un mismo grafico.Que se puede observar en estos diagramas?

    b) Cuales son las medias y desviaciones tpicas de los datos de ambos grupos? Que diferencias hay entre ambos?

    9

  • 6. Las autoridades sanitarias de un municipio estan interesadas en evaluar la calidad del agua para consumo enterminos de colonias de bacterias troficas en un acufero proximo a la ciudad. Se consideran dos zonas diferentesdel acufero y se obtienen los siguientes resultados (numero de colonias por 1000 mm de agua):

    zona 1 194 199 191 202 215 214 197204 199 202 230 193 194 209

    zona 2 158 161 143 174 220 156 156156 198 161 188 139 147 116

    Realiza un estudio comparativo de la calidad del agua en ambas zonas, utilizando resumenes numericos y dia-gramas de cajas. Se observan diferencias entre ambas zonas?

    7. Se quieren comparar dos metodos, A y B, para determinar el calor latente de fusion del hielo. La siguiente tablada los resultados obtenidos (en caloras por gramo de masa para pasar de -0.72C a 0C) utilizando ambosmetodos independientemente:

    Metodo A 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02Metodo B 80.02 79.94 79.98 79.97 79.97 80.03 79.95 79.97

    a) Compara descriptivamante de los dos metodos.

    b) Si por un error al transcribir los datos, se modifica el primer dato de cada metodo y se escribe 799.8 y 800.2,como varan la media y la mediana?

    8. El tiempo de vida de ciertos insectos parece que se ve influido por el porcentaje de humedad del habitat enque se encuentran. Para estudiarlo, se toman muestras en 10 habitats diferentes de las variables X=((Porcentajemedio de humedad)) e Y=((Tiempo medio de vida)), y se obtienen un porcentaje medio de humedad del 59 % yun tiempo medio de vida 287 das. Ademas:

    x2i = 35140;

    y2i = 8573;

    xiyi = 17260

    a) Expresa el tiempo medio de vida en funcion de la humedad mediante la recta de regresion. Evalua el ajuste.

    b) Cual sera el tiempo medio de vida estimado si la humedad es del 65 %?

    9. Se quiere calibrar una nueva tecnica experimental indirecta para medir presiones en relacion con un metodoestandar directo. Para esto, se han realizado 9 tomas de presion (en mm de Hg) por el metodo estandar directo(X) y por la nueva tecnica experimental indirecta (Y ). Los resultados obtenidos se resumen a continuacion:

    xi = 343

    yi = 325

    x2i = 17693

    y2i = 16367

    xiyi = 16992

    a) Calcula la recta de regresion de Y sobre X. Para una presion de 55 mm de Hg, medida con el metodo estandar,que presion cabra esperar con la nueva tecnica?

    b) Que podemos decir del ajuste de la recta de regresion a nuestros datos?

    10. El manat de Florida (Trichechus manatus latirostris) es un mamfero marino de gran tamano (hasta 4,5m y 1 500 kg) que vive a lo largo de la costa de Florida. Cada ano las lanchas motoras hieren o matan muchosejemplares. A continuacion se presenta una tabla que da, anualmente, el numero de licencias para motorasexpedidas en Florida (expresado en miles de licencias) y el numero de manates muertos en el periodo 19771990.

    Ano Licencias Manates Ano Licencias Manates1977 447 13 1984 559 341978 460 21 1985 585 331979 481 24 1986 614 331980 498 16 1987 645 391981 513 24 1988 675 431982 512 20 1989 711 501983 526 15 1990 719 47

    a) Se quiere analizar la relacion entre el numero de licencias expedidas anualmente en Florida y el numero demanates muertos por lanchas motoras. Cual sera la variable explicativa? Dibuja un diagrama de dispersion

    10

  • con esos datos. Que indica el diagrama sobre la relacion entre esas dos variables? Estan las variables asociadaspositiva o negativamente?

    b) Halla la recta de regresion para expresar el numero de manates muertos en funcion del numero de licencias.

    c) Describe la fuerza de la relacion. Se puede predecir con precision el numero de manates muertos cada anoconociendo el numero de licencias expedidas ese ano? Si Florida decidiera congelar el numero de licencias en700 000, cual sera la prediccion del numero medio de manates muertos por lanchas motoras?

    11. Los buenos corredores dan mas pasos por segundo a medida que aumentan la velocidad. He aqu el promedio depasos por segundo de un grupo de corredoras de elite a distintas velocidades. La velocidad se expresa en metrospor segundo.

    Velocidad (m/s) 4, 83 5, 14 5, 33 5, 67 6, 08 6, 42 6, 74Pasos por segundo 3, 05 3, 12 3, 17 3, 25 3, 36 3, 46 3, 55

    a) Se quiere predecir el numero de pasos por segundo a partir de la velocidad. En primer lugar, dibuja undiagrama de dispersion.

    b) Halla la recta de regresion del numero de pasos por segundo con relacion a la velocidad.

    c) Halla el coeficiente de correlacion lineal.

    hoja 2: probabilidad

    1. Sea X una variable aleatoria cuantitativa cualquiera. Describe los siguientes sucesos:

    a) X vale a lo sumo 5. b) X vale al menos 2.

    c) {X < 10}c d) {X 10}c

    e) {X > 15}c f) {X 15}c

    2. Una urna contiene seis bolas rojas y cuatro negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento.

    a) Si se sabe que la primera es roja, cual es la probabilidad de que la segunda sea roja?

    b) Sabiendo que la segunda bola ha sido negra, cual es la probabilidad de que la primera haya sido roja?

    c) Halla la probabilidad de que la segunda bola sea roja.

    3. Se sabe que, en cierta poblacion, el numero de personas que padecen la enfermedad E es del 1 %. Se ha investigadouna prueba diagnostica que ha resultado positiva en el 97 % de las personas que padecen la enfermedad E y enel 2 % de las personas sanas. Calcula la probabilidad de que a una persona la prueba le de resultado positivo.Calcula la probabilidad de que una persona que ha dado positivo este enferma.

    4. Supongamos que se clasifica a los individuos de cierta especie animal en tres grupos A, B y C de distintascaractersticas biologicas. La probabilidad de que un individuo tomado al azar pertenezca al grupo A, B o Ces respectivamente 1/2, 1/3 y 1/6. La probabilidad de que un individuo del grupo A, B o C contraiga ciertaenfermedad S es respectivamente 1/10, 1/15 y 1/12. Calcula la probabilidad de que:

    a) Un individuo contraiga la enfermedad S.

    b) Un individuo enfermo sea del grupo A.

    c) Un individuo sano sea del grupo A.

    5. Durante la temporada de setas muchos aficionados a la micologa se dedican a su recolecta. En cierta region seesta realizando un estudio para identificar las setas comestibles y las setas toxicas (algunas incluso mortales),para ello se ha dividido el terreno en 3 zonas. La proporcion de setas que hay en la primera zona es p, en lasegunda es q y en la tercera es r. La probabilidad de que una seta sea comestible para cada una de las zonas esP , Q o R respectivamente. Calcula la probabilidad de que una seta toxica no pertenezca a la primera zona.

    6. Para averiguar el tamano N de una poblacion de lagartos se utiliza el metodo siguiente de captura-marcaje-recaptura: Se capturan k lagartos, se les marca y se les reincorpora a su poblacion. Un tiempo despues se realizann avistamientos independientes y se observa el numero de ellos que estan marcados.

    a) Plantea cual es la variable aleatoria y cual es su modelo de distribucion.

    b) Si N = 1000, k = 550 y n = 6, halla la probabilidad de que entre los 6 reptiles:

    (i) al menos uno no este marcado; (ii) al menos uno s este marcado; (iii) al menos dos esten marcados yuno no lo este; (iv) ninguno este marcado si sabemos que al menos uno de ellos no lo esta.

    11

  • 7. El ((tiempo de vida activa en das)) de un plaguicida, X, viene representado por la funcion de densidad:

    f(x) =

    {1

    500e x500 si x > 0

    0 en el resto

    a) Calcula la mediana y la media del tiempo de vida activa.

    b) Determina la probabilidad de que el plaguicida tenga un periodo de duracion entre 50 y 500.

    8. La variable aleatoria X=((Tiempo transcurrido (en horas) hasta el fallo de una pieza)) tiene funcion de densidad

    f(x) =

    {1

    15000 e x15000 si x > 0

    0 en el resto.

    Calcula el tiempo medio transcurrido hasta el fallo.

    9. En el 2010 la Consejera de Sanidad registro que el 0,04 % de la poblacion que se vacuno de la Gripe A tuvouna reaccion alergica a la vacuna. Halla la probabilidad de que en 5.000 individuos seleccionados al azar tenganreaccion alergica:

    a) exactamente tres; b) mas de 2.

    10. Una enfermedad rara es aquella que afecta a un pequeno numero absoluto de personas o a una proporcion reducidade la poblacion. Los diversos pases y regiones del mundo tienen definiciones legales diferentes. En Europa seconsidera rara a una enfermedad que afecta a menos de 1 de cada 2000 personas. Cual es la probabilidad de quehaya mas de tres afectados en un grupo de 10.000 europeos seleccionados aleatoriamente? Cual es el numeromedio de afectados en dicho grupo?

    11. Sea Z una v.a. normal estandar. Determina:

    a) P{Z > 1} b) P{Z < 1} c) P{1 < Z < 3} d) P{2 < Z < 1} e) P{|Z| > 1,5}.12. En 1969 se descubrio que los faisanes de Montana (EE.UU) padecan una apreciable contaminacion por mercurio

    que poda deberse a que haban comido semillas de plantas que fueron tratadas durante su crecimiento con metilode mercurio. Sea X el nivel de mercurio de un pajaro en partes por millon. Supongamos que X tiene distribucionnormal con media 0.25 y desviacion tpica 0.08. Calcular P{X 3}, P{X 0, 17}, P{0, 2 X 0, 4} yP{0, 01 X 0, 49}. Hay alguna razon para suponer que la normalidad no es adecuada?

    13. Se considera que la variable aleatoria ((kg de algodon recogidos por parcela)) sigue una distribucion N( =100; = 10).

    Hallar el porcentaje de parcelas en las que el numero de kg recogidos sera inferior a 115.

    14. Se supone que el numero de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoriaX con distribucionde Poisson de parametro = 0, 5.

    a) Cual es la probabilidad de que en un mm3 de agua del estanque no haya ninguna bacteria?.

    b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1 mm3 de agua en cada tubo). Que distri-bucion sigue la variable Y =Numero de tubos de ensayo, entre los 40, que no contienen bacterias? Calcular,aproximadamente, P (Y 20).

    15. Un zoologo estudia una cierta especie de ratones de campo. Para ello captura ejemplares de una poblacion grandeen la que la proporcion de dicha especie es p.

    a) Si p = 0, 3, hallar la probabilidad de que en 6 ejemplares capturados haya al menos 2 de los que le interesan.

    b) Si p = 0, 04, calcular la probabilidad de que en 200 haya exactamente 3 de los que le interesan.

    c) Si p = 0, 4, calcular la probabilidad de que en 200 haya entre 75 y 100 de los que le interesan.

    16. En una poblacion, la cantidad de plomo, X, presente en la sangre de una persona elegida al azar es una variablealeatoria con funcion de densidad:

    f(x) =

    x/300 si 0 < x < 20(50 x)/1350 si 20 < x < 500 en el resto

    a) Cantidad media de plomo en la sangre de los individuos de la poblacion.

    b) Probabilidad de que en 40 personas elegidas al azar, haya entre 20 y 30 personas con una cantidad de plomoinferior a 20.

    12

  • 17. La capacidad de enrollar la lengua esta controlada por una pareja de genes: el gen E que determina su enrolla-miento y el gen e que lo impide. El gen E es dominante, de modo que una persona Ee sera capaz de enrollar lalengua.

    En una ciudad grande se sabe que aproximadamente el 40 % no puede enrollar la lengua y el 60 % si puede.

    Si elegimos 200 personas al azar, cual es la probabilidad de que mas de 70 no puedan enrollar su lengua?

    18. Un fabricante produce varillas y recipientes para insertar las varillas. Ambos tienen secciones circulares. Losdiametros de las varillas siguen una N( = 1; = 0, 2); los diametros de los recipientes siguen una N( =1, 05; = 0, 15). Un ingeniero selecciona al azar una varilla y un recipiente. Cual es la probabilidad de que lavarilla pueda insertarse en el recipiente?

    19. Supongase que las estaturas, en pulgadas, de las mujeres de una cierta poblacion siguen una distribucion N(65, 1)y que las estaturas de los hombres siguen una distribucion N(68, 2). Se selecciona al azar una mujer e, indepen-dientemente, se selecciona al azar un hombre. Determinar la probabi-lidad de que la mujer sea mas alta que elhombre.

    20. Una lnea electrica se avera cuando la tension sobrepasa la capacidad de la lnea. Si la tension es N(100; 20) yla capacidad es N(140; 10), calcular la probabilidad de avera.

    21. Una maquina de envasado llena sacos de fertilizante de aproximadamente 30 Kg. La cantidad de fertilizantepor saco sigue una distribucion N( = 30; = 1).

    a) Se desea que la cantidad de fertilizante por saco este entre 29 y 31 Kg. Calcular la probabilidad de queeste dentro de esos lmites.

    b) Una empresa realiza un pedido de 80 de estos sacos de fertilizante. Calcular la probabilidad de que mas de50 esten dentro de los lmites indicados.

    hoja 3: estimacion puntual & intervalos de confianza

    1. Sea Z una v.a. normal tipificada: Z N(0, 1). Si z denota el valor tal que P{Z > z} = , calcula:a) z0,025 b) z0,05 c) z0,95 d) z0,1.

    2. Sea X N(1, 2), calcular el valor C tal que P{X > C} = 0,96 (Observacion: C 6= z0,96).

    3. Para estudiar la proporcion p de caballos afectados por la peste equina se les va a someter a una prueba. Se sabeque la prueba resulta positiva si el animal esta enfermo. Ademas, si el animal esta sano, hay una probabilidad0,04 de que la prueba resulte positiva.

    a) Estudia la relacion entre la probabilidad p de que un caballo este enfermo y la probabilidad q de que la pruebaresulte positiva.

    b) Si se realizo la prueba a 500 caballos y resulto positiva en 95 casos, calcula una estimacion de p utilizando elresultado del apartado (a)).

    4. Un test para detectar si el agua presenta cierto tipo de contaminacion resulta positivo con probabilidad 0,99si el agua esta realmente contaminada (sensibilidad del test). Si el agua no esta contaminada, resulta negativocon probabilidad 0,97 (especificidad del test). La sensibilidad y la especificidad se conocen debido a que se tienemucha experiencia en el uso de la prueba.

    a) Que relacion existe entre la probabilidad de que el test de positivo y la de que el agua este contaminada?

    b) Se aplica el test a muestras de agua de 15 lagos y resulta positivo en 2 de las muestras. Utiliza la relacion delapartado (a)) para estimar el porcentaje de lagos contaminados.

    5. Unos laboratorios desarrollan una prueba sencilla para detectar la gripe aviar. La prueba tiene una fiabilidadmuy aceptable: proporciona un 4 % de falsos positivos (prueba positiva cuando el ave esta sana) y un 0 % defalsos negativos (prueba negativa cuando el ave esta enferma).

    En una granja avcola, se detecta un brote de gripe aviar. Mediante la utilizacion de la prueba sencilla que se hadescrito anteriormente, se quiere estimar la incidencia de la enfermedad en esa granja. Para esto, se seleccionan alazar 100 pollos, se les efectua la prueba y se obtienen 20 casos positivos. Estima la proporcion de pollos enfermosen la granja, explicando todo el proceso seguido.

    13

  • 6. Se sabe que el nivel de tension sangunea diastolica (mm Hg) en una poblacion sigue una distribucion normalde media = 87 y desviacion tpica = 7,5. Un individuo se clasifica como pre-hipertenso cuando su tensionesta entre 80 y 89 mm Hg. Se seleccionan aleatoriamente cuatro individuos de la poblacion y se promediansus presiones sanguneas diastolicas. Calcula la probabilidad que el promedio este entre los lmites que indicanpre-hipertension.

    7. Con los datos del experimento de Cavendish de 1778 (ejercicio 1.3) y suponiendo normalidad,

    a) Obtener estimaciones insesgadas para la media y la varianza de la densidad.

    b) Obtener un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la media. Cual es el error maximo?

    c) Determinar cuantas mediciones debera realizar Cavendish para reducir el error del apartado anterior al menosa la mitad.

    8. En una explotacion minera, las rocas excavadas se someten a un analisis qumico para determinar su contenidoporcentual de cadmio. Se puede suponer que este contenido es una variable con distribucion normal de media y varianza 2. Despues de analizar 25 rocas se obtiene un contenido porcentual medio de 9,77 con unacuasidesviacion tpica de 3,164.

    (a) Construye un intervalo de confianza de nivel 95 % para el contenido porcentual medio de cadmio en la mina.

    (b) Construye un intervalo de confianza de nivel 95 % para .

    9. Se estudia la proporcion p de individuos alergicos al polen de las acacias en una determinada poblacion. En 200individuos tomados al azar se observaron 8 alergicos. Calcula un intervalo de confianza del 95 % para p.

    10. Un equipo de investigadores quiere estimar la proporcion p de vacas que sufren el mal de las vacas locas en unagran explotacion ganadera, mediante un intervalo con un error maximo de 0,015 y nivel de confianza 0,95. Acuantas vacas deben analizar para alcanzar aproximadamente este objetivo, sabiendo que en un pequeno sondeoorientativo (muestra piloto) resulto que el 15 % de las vacas estaban afectadas por la enfermedad?

    11. Con los datos del ejercicio 1.5 y suponiendo normalidad e igualdad de varianzas, obtener un intervalo de confianza(al 95 %) para estimar la diferencia entre las ganancias medias de peso de los pollos con las dos variedades depienso.

    12. Se desea estimar la proporcion p de anades en la poblacion de un parque natural que presenta altos niveles decontaminacion por metales pesados. Para ello se realiza un sondeo preliminar con 50 ejemplares, de los cuales 9resultaron tener altos niveles de contaminacion.

    a) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0,95, para p a partir de los resultados.

    b) Que tamano muestral debera utilizarse en un nuevo sondeo para estimar p con un error maximo de 2,5puntos porcentuales y un nivel de confianza de 0,92?

    13. En una poblacion, el consumo de agua anual por individuo es una variable aleatoria con distribucion normal demedia y desviacion tpica = 7,5. Que tamano muestral hace falta para obtener un intervalo de confianzapara con un margen de error 2 y un nivel de confianza de 0,90?

    14. Un estudio sobre cicatrizacion en tritones dio los siguientes resultados (velocidad de cicatrizacion en m/h)

    25 13 44 45 57 42 50 36 35 38 43 31 26 48

    Informacion resumida:xi = 533

    x2i = 22023.

    a) Asumiendo Normalidad, calcula un intervalo de confianza del 95 % para la media de la velocidad de cicatri-zacion.

    b) Cuantos tritones habra que muestrear para estimar la media con una confianza del 95 % y un error inferiora 2 unidades.

    c) Representa los datos por medio de un diagrama de barras y de un boxplot. Que puedes decir sobre la hipotesisde normalidad?

    15. La concentracion media, X, de un determinado contaminante en la atmosfera es de 8 ppm (partes por millon).Un da se hacen mediciones en 10 puntos de una ciudad (alejados unos de otros), obteniendose los resultadosque se resumen a continuacion:

    10

    i=1

    xi = 85,2

    10

    i=1

    x2i = 773,82

    14

  • Suponiendo normalidad, calcula intervalos de confianza al nivel 0,95 para la concentracion media y para lavarianza del contaminante.

    Continua en el ejercicio 4.1.

    16. Se admite que el numero de microorganismos en una muestra de 1 mm cubico de agua de un ro sigue unadistribucion de Poisson de parametro . En 40 muestras se han detectado, en total, 833 microorganismos.Calcula un estimador puntual y un intervalo de confianza al 90 % para .

    17. Se quiere estudiar la influencia de la hipertension de los padres sobre la presion sangunea de los hijos. Para ellose seleccionan dos grupos de ninos, unos con padres de presion sangunea normal (grupo 1) y otros con uno desus padres hipertenso (grupo 2), obteniendose las siguientes presiones sistolicas:

    Grupo 1 104 88 100 98 102 92 96 100 96 96Grupo 2 100 102 96 106 110 110 120 112 112 90

    Indicacion:xi = 972,

    yi = 1058,

    (xi x)2 = 201,6,

    (yi y)2 = 707,4

    Suponiendo normalidad,

    a) podemos afirmar que la presion media es mayor en los ninos con padres hipertensos? (se supone que lasvarianzas en las dos poblaciones de ninos son iguales).

    b) Al nivel 90 % es correcto suponer varianzas iguales?

    18. En un estudio sobre el estado de la salud dental en una ciudad, se tomo una muestra elegida al azar de 280varones entre 35 y 44 anos, y se conto el numero de piezas dentarias de cada individuo. Tras la revision pertinente,los dentistas informaron que haba 70 individuos con 28 o mas dientes.

    a) Realiza una estimacion por intervalos de confianza de la proporcion de individuos de esta ciudad con 28 dienteso mas, con un nivel de confianza 0.95.

    b) Utilizando los datos anteriores como muestra piloto, calcula cual sera el tamano muestral necesario paraefectuar la anterior estimacion con un error inferior a 0,01 (al mismo nivel de confianza).

    19. La produccion de trigo (en Tm/Ha) por parcela en cierta region sigue una distribucion Normal.

    Se escogen 8 parcelas al azar y se obtienen las siguientes producciones:

    11,04 11,13 9,04 10,60 11,26 8,78 9,51 10,78

    Indicacion:xi = 82,14,

    x2i = 850,3646.

    a) Halla un intervalo de confianza del 99 % para la media de la produccion por parcela.

    b) Cual debe ser el numero de parcelas observadas para estimar la media con un error menor que 0,3 y un nivelde confianza del 99 %?

    hoja 4: contrastes de hipotesis parametricos

    1. Con los datos del ejercicio 3.15 y suponiendo normalidad, resulta aceptable, al nivel de significacion = 0,05,que el grado de contaminacion medio es el habitual?

    2. Se analiza un envo de botellas sobre las que se afirma que contienen 100 cl. de agua. Examinada una muestrade 5 botellas se obtiene que la media es de 95 cl. y la cuasivarianza es s2 = 1,1. Al nivel de significacion 5 %,existe evidencia emprica para afirmar que la cantidad media de agua no es de 100 cl.?

    3. Un sociologo afirma que el 40 % de los universitarios han viajado al extranjero al menos una vez. En una muestrade 100 universitarios, se observa que 36 han salido del pas en alguna ocasion. Contrastar la hipotesis del sociologopara un nivel de significacion del 10 %.

    4. La concentracion media de dioxido de carbono en el aire a una determinada altura es habitualmente de unas355 ppm (partes por millon). Se sospecha que esta concentracion es mayor en la capa de aire mas proxima a lasuperficie. Para contrastar esta hipotesis se analiza el aire en 20 puntos proximos al suelo elegidos aleatoriamente.Se obtiene una media muestral de 580 ppm y una desviacion tpica muestral muestral de 180 ppm. Proporcionanestos datos suficiente evidencia estadstica, al nivel 0,01, a favor de la hipotesis de que la concentracion es mayorcerca del suelo? Indica razonadamente si el p-valor es mayor o menor que 0,01.

    15

  • 5. Un fabricante de materiales para insonorizacion produce dos tipos A y B. De los 1000 primeros lotes vendidos,560 fueron del tipo A. Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadstica (al nivel de significacion 0.01)para concluir que los consumidores prefieren mayoritariamente el tipo A?

    6. Con los datos del ejercicio 1.7, se puede afirmar, a un nivel de significacion del 10 %, que existen diferenciassignificativas entre los resultados medios proporcionados por los dos metodos?

    7. Con los datos del ejercicio 1.5, continuado en el ejercicio 3.11, y suponiendo normalidad e igualdad de varianzas,se puede considerar que hay suficiente evidencia estadstica para afirmar que la ganancia media de peso esmayor con la variedad mejorada? Da una respuesta con un nivel de significacion 0,10.

    Al nivel de significacion 0,10 era razonable aceptar la hipotesis de igualdad de varianzas?

    8. Se desea comparar la proporcion de viviendas con calefaccion en Extremadura y en Galicia. Se hace un muestreoen las dos comunidades con los siguientes resultados:

    Extremadura: De 500 viviendas elegidas al azar, 300 disponen de calefaccion.

    Galicia: De 1000 viviendas elegidas al azar, 680 disponen de calefaccion.

    Hay suficiente evidencia estadstica para concluir, con un nivel de significacion del 5 %, que es menor la propor-cion de viviendas con calefaccion en Extremadura que en Galicia?

    9. Se van a probar dos medicamentos, A y B, contra una enfermedad. Para esto se tratan 100 ratones enfermoscon el medicamento A y otros 100 con el medicamento B. El numero medio de horas que sobreviven con A esx = 1 200 y el numero medio con B es y = 1 400. Suponiendo normalidad en ambos casos y sabiendo que:

    (xi x)2 = 900 000

    (yi y)2 = 950 000

    a) Se puede aceptar igualdad de varianzas con = 0,10?

    b) Es mas efectivo el medicamento B? Plantea el contraste adecuado al nivel de significacion 0,05.

    10. Con objeto de estudiar si el numero de pulsaciones por minuto en hombres (X) puede considerarse menor queen mujeres (Y ), se toman muestras de 16 hombres y 16 mujeres, obteniendose los siguientes resultados:

    xi = 1 248

    x2i = 97 570

    yi = 1 288

    y2i = 103 846

    Que se puede decir al respecto?

    11. Una compana americana de distribucion de gasolina quiere probar el rendimiento de un nuevo combustible.Para esto hace pruebas con 8 modelos de coches diferentes en una autopista. El numero de millas recorridas porgalon de gasolina con cada coche con el antiguo combustible y con el nuevo combustible se da a continuacion:

    Coche 1 2 3 4 5 6 7 8Antiguo combustible 58 52 50 50 50 49 44 42Nuevo combustible 60 55 52 51 48 50 42 46

    Suponiendo normalidad, se puede concluir que el nuevo combustible proporciona un mejor rendimiento? Daruna respuesta con un nivel de significacion de 0,05.

    Cambia la variable de estudio de ((millas por galon)) a ((litros de consumo por cada 100 km)). Suponiendo denuevo normalidad realiza el mismo contraste.

    Que se puede decir de la hiotesis de normalidad en ambos casos?

    12. Con el objeto de estudiar la efectividad de un agente diuretico, se eligieron al azar 11 pacientes, aplicando a 6 deellos dicho farmaco y un placebo a los restantes. La variable observada en esta experiencia fue la concentracionde sodio en la orina a las 24 horas, la cual dio los resultados siguientes:

    Diuretico 20.4 62.5 61.3 44.2 11.1 23.7Placebo 1.2 6.9 38.7 20.4 17.2

    Se supone que las concentraciones de sodio, en ambos casos, tienen una distribucion N (1, ) y N (2, ) respec-tivamente. Contrasta, a un nivel de significacion del 5 %, si existe diferencia en el efecto medio al usar el agentediuretico.

    16

  • 13. Se desea estudiar si la utilizacion de tratamientos para reducir el nivel de colesterol reduce tambien el riesgode sufrir infartos. Para ello, 2 051 hombres de mediana edad recibieron un tratamiento para reducir el nivel decolesterol a base de gemfibrozil mientras que un grupo de control de 2 030 hombres recibio un placebo. Durantelos cinco anos siguientes, 56 hombres del grupo de gemfibrozil y 84 del grupo del placebo sufrieron infartos.

    (a) Existe evidencia emprica, al nivel = 0,05 de que el gemfibrozil es eficaz para reducir el riesgo de sufririnfartos?

    (b)Determina razonadamente si el p-valor del contraste es mayor o menor que 0,05.

    14. Algunos estudios parecen sugerir que tomar cada da una aspirina puede tener efectos beneficiosos para la salud.En un amplio estudio sobre 22 071 personas sanas de mas de 40 anos, se administro una aspirina diaria durantecierto periodo de tiempo a 11 037 personas mientras que el resto recibio un placebo. En la siguiente tabla apareceel numero de personas que sufrieron infartos y embolias para cada grupo:

    Grupo aspirina Grupo placeboInfartos 139 239Embolias 98 119

    (a) Aportan estos datos suficiente evidencia emprica al nivel = 0,05 de que tomar una aspirina es beneficiosopara evitar sufrir embolias?

    (b) Calcula un intervalo de confianza de nivel 0,95 para la la diferencia de proporciones de individuos que sufrenun infarto entre los que han tomado y no han tomado aspirinas.

    15. Una compana petrolfera esta considerando la posibilidad de introducir un nuevo aditivo en su gasolina, espe-rando incrementar el kilometraje medio por litro. Los ingenieros del grupo de investigacion prueban 10 cochescon la gasolina habitual y otros 10 coches con la gasolina con el nuevo aditivo. El resumen de los resultados es:

    ((Kilometraje medio sin aditivo))= 14,2 km/l s21 = 3,24

    ((Kilometraje medio con aditivo))= 15,4 km/l s22 = 5,76

    a) Se puede considerar probado que el nuevo aditivo aumenta el kilometraje medio por litro? Plantea el modelocorrespondiente (suponiendo normalidad e igualdad de varianzas) al nivel de significacion 0,05.

    b) Con los datos disponibles, era razonable trabajar con la hipotesis de igualdad de varianzas en el apartadoanterior? Da una respuesta razonada con un nivel de significacion de 0,10.

    16. Se quieren comparar dos metodos rapidos para estimar la concentracion de una hormona en una solucion. Sepreparan en el laboratorio 10 dosis de la hormona y se mide la concentracion de cada una con los dos metodos.Se obtienen los siguientes resultados:

    Dosis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Metodo A 10,7 11,2 15,3 14,9 13,9 15,0 15,6 15,7 14,3 10,8Metodo B 11,1 11,4 15,0 15,1 14,3 15,4 15,4 16,0 14,3 11,2

    Al nivel de significacion 0,05, contrasta si los dos metodos proporcionan, en media, las mismas estimaciones.

    17. El contenido medio habitual de arsenico en un parque nacional es de 9 ppm. Se cree que ultimamente estecontenido medio ha podido aumentar. Para estudiar este posible aumento de la contaminacion, se toma unamuestra del contenido de arsenico en 20 puntos diferentes del parque. Se obtiene una media muestral de 10 ppm,y una cuasi-varianza de 2,1 ppm.

    Son los datos lo suficientemente concluyentes como para poder afirmar que, efectivamente, ha habido unacontaminacion, es decir, que el contenido medio en la actualidad es superior al habitual de 9 p.p.m.? Da unarespuesta, al nivel de significacion 0,05, suponiendo normalidad en los datos.

    Es el p-valor de estos datos superior o inferior a 0,05? Da una respuesta razonada sin hacer calculos adicionales.

    18. Se desea estudiar la efectividad de un insecticida ecologico contra los afidos en los cultivos de patata. Para ello,se tratan por un lado 40 plantas con el insecticida, obteniendose una media de 15 afidos por planta con unacuasi-varianza de 9,1. Por otro lado, sobre un grupo de control de 30 plantas que no reciben tratamiento, seobtiene una media de 18,3 afidos por planta con una cuasi-varianza de 10,5.

    a) Suponiendo normalidad e igualdad de varianzas, se puede concluir que el insecticida es eficaz? Es decir, sepuede concluir que el numero medio de afidos por planta es menor cuando se utiliza el insecticida ecologico? Dauna respuesta razonada con un nivel de significacion de 0,10.

    b) Era aceptable asumir la igualdad de varianzas? Da una respuesta razonada al nivel de significacion 0,10.

    17

  • 19. En otro lugar, se lleva a cabo otro estudio diferente con el insecticida ecologico del ejercicio anterior. En estenuevo estudio, queremos comparar proporciones de plantas afectadas.

    Por un lado, se tratan 100 plantas con el insecticida y se comprueba que 10 de ellas tienen afidos.

    Por otro lado, se tiene un grupo de control de otras 100 plantas diferentes que no reciben tratamiento y secomprueba que 15 de ellas tienen afidos.

    Podemos concluir, al nivel de significacion 0,05, que la proporcion de plantas con afidos es menor cuando sontratadas con el insecticida?

    20. La produccion de trigo (en T/ha) que se obtiene un ano en 5 parcelas es la siguiente:

    11,04 15,13 9,04 20,60 31,26

    Se quiere estudiar la efectividad de un nuevo fertilizante. Para ello, se observa la produccion de trigo que seobtiene al ano siguiente, usando el nuevo fertilizante. Los resultados en las mismas 5 parcelas son los siguientes:

    12,08 17,28 10,82 18,90 32,03

    Se puede afirmar que el nuevo fertilizante aumenta la produccion media? Responde razonadamente, al nivel designificacion 0,01.

    Haz una crtica razonada del diseno.

    21. El nivel ceraunico de un lugar es el numero de das al cabo del ano en los que hay tormenta (se considera dacon tormenta a aquel en el que al menos se oye un trueno). En cierta comarca, se conoce por datos historicosque el nivel ceraunico sigue una distribucion de Poisson con una media () de 20 das.

    Sin embargo, se piensa que ultimamente su nivel ceraunico ha aumentado, como consecuencia del cambio climati-co. En un seguimiento de los ultimos 50 anos, se ha obtenido que el numero medio de das al ano con tormentaha sido de 22. Se puede afirmar que efectivamente se ha producido un aumento del nivel ceraunico? Da unarespuesta razonada, al nivel de significacion del 5 %.

    hoja 5: contrastes de hipotesis no parametricos

    1. Estamos interesados en comprobar la perfeccion de un dado cubico: un dado normal de 6 caras. Para estorealizamos 300 lanzamientos del dado anotando los puntos obtenidos en cada lanzamiento. A la vista de losresultados obtenidos, y con un nivel de significacion del 5 % hay razones para rechazar que el dado sea perfecto?

    Puntuacion del dado (X) 1 2 3 4 5 6Frecuencias 43 49 56 45 66 41

    2. Se quiere comprobar que un programa de ordenador genera observaciones de una distribucion N(0; 1). Para ellose obtiene una muestra aleatoria de 450 observaciones mediante dicho programa, que proporciona los siguientesresultados:

    Valor x de la observacion x < 2 2 < x < 1 1 < x < 0 0 < x < 1 1 < x < 2 2 < xNumero de observaciones 30 80 140 110 60 30

    Se puede aceptar, al nivel = 0,01, que el programa funciona correctamente?

    3. Con los datos del experimento de Cavendish (ejercicios 1.3 y 3.7), se puede aceptar, al nivel de significacion0,05, que la densidad de la tierra se ajusta a una distribucion normal?

    4. Para estudiar si el grupo sanguneo de los individuos se relaciona con la predisposicion a padecer diabetes, seseleccionan al azar 400 sujetos de los que se determina el grupo sanguneo y el nivel de glucosa en sangre enidenticas condiciones experimentales. Clasificada la segunda medida en niveles bajo, medio y alto, se obtiene:

    Bajo Medio Alto Total0 137 86 35 258A 42 23 11 76B 19 17 7 43

    AB 14 7 2 23Total 212 133 55 400

    Comprueba si existe independencia entre el grupo sanguneo y el nivel de glucosa al nivel de significacion 0,05.

    18

  • 5. Para estudiar el numero de ejemplares de cierta especie en peligro de extincion que viven en un bosque, sedivide el mapa del bosque en nueve zonas y se cuenta el numero de ejemplares de cada zona. Se observa que 60ejemplares viven en el bosque repartidos en las 9 zonas de la siguiente forma:

    8 7 35 9 116 4 7

    Mediante un contraste de hipotesis, analiza si estos datos aportan evidencia emprica de que los animales tienentendencia a ocupar unas zonas del bosque mas que otras.

    6. Se desea estudiar el numero de accidentes por da que se producen en cierto regimiento. Para ello se toman alazar los partes de 200 das dentro de los ultimos 5 anos, encontrando los siguientes resultados:

    Numero de accidentes/da 0 1 2 3 4 5 6Numero de das 58 75 44 18 3 1 1

    a) Se puede aceptar, con nivel de confianza del 90 %, que el numero de accidentes por da sigue una distribucionde Poisson?

    b) Suponiendo que el numero de accidentes por da sigue una Poisson(), hay suficiente evidencia estadstica(tomar nivel de significacion = 0,05) de que el verdadero valor medio del numero de accidentes por da esmenor que 1,35? El p-valor, es mayor o es menor que 0,05?

    7. Se desea evaluar la efectividad de una nueva vacuna antigripal. Para ello se decide suministrar dicha vacuna, demanera voluntaria y gratuita, a una pequena comunidad. La vacuna se administra en dos dosis, separadas porun perodo de dos semanas, de forma que algunas personas han recibido una sola dosis, otras han recibido lasdos y otras personas no han recibido ninguna. La siguiente tabla indica los resultados que se registraron durantela siguiente primavera en 1000 habitantes de la comunidad elegidos al azar.

    No vacunados Una dosis Dos dosisGripe 24 9 13No gripe 289 100 565

    Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadstica (al nivel de significacion 0,05) para indicar una depen-dencia entre la clasificacion respecto a la vacuna y la proteccion frente a la gripe?

    8. Se quiere comparar la biodiversidad de dos montes cercanos. Para ello se sigue el procedimiento siguiente.

    En uno de los montes se eligen al azar 50 zonas, de 4 m2 cada una, se recuenta el numero de especies vegetalesdiferentes que hay en cada una y se observa que: en 20 zonas haba menos de 6 especies; en 17 zonas haba entre6 y 8 especies; y en 13 zonas haba mas de 8 especies.

    En el otro monte se hace el mismo recuento en 40 zonas elegidas con las mismas caractersticas y se observa que:en 12 zonas haba menos de 6 especies diferentes; en 20 zonas haba entre 6 y 8 especies diferentes; y en 8 zonashaba mas de 8 especies diferentes.

    Son similares los dos montes en lo que se refiere a su biodiversidad? Haz el contraste correspondiente con unnivel de significacion del 0,10.

    9. Se han clasificado 1000 individuos de una poblacion segun su sexo y segun fueran normales o daltonicos.

    Masculino FemeninoNormal 442 514Daltonicos 38 6

    Segun un modelo genetico, las probabilidades deberan ser:

    12 p

    12 p

    2 + pq

    12 q

    12 q

    2

    donde q = 1 p = proporcion de genes defectuosos en la poblacion.A partir de la muestra se ha estimado que q = 0,087. Concuerdan los datos con el modelo?

    19

  • 10. Se estudia la distribucion de los grupos sanguneos O, A, B, AB en dos comunidades. Se obtienen los resultadossiguientes.

    O A B ABComunidad 1 121 120 79 33Comunidad 2 118 95 121 30

    a) Se puede considerar que son homogeneas ambas comunidades?

    b) Consideremos ahora solo los datos de la comunidad 1. El modelo teorico asigna las siguientes probabilidadesa cada uno de los grupos:

    O A B ABr2 p2 + 2pr q2 + 2qr 2pq

    (p+ q + r = 1)

    A partir de los datos de la muestra se han obtenido las siguientes estimaciones de los parametros: p = 0, 2465 yq = 0, 1732. Obtener las frecuencias esperadas segun el modelo teorico y contrastar la hipotesis de que los datosse ajustan a el.

    11. Se ha desarrollado un modelo teorico para las diferentes clases de una variedad de moscas. Este modelo indicaque la mosca puede ser de tipo L con probabilidad p2, de tipo M con probabilidad q2 y de tipo N con probabilidad2pq (p+ q = 1). Para confirmar el modelo experimentalmente se toma una muestra de 100 moscas, y se obtienen10, 50 y 40 moscas de los tipos L, M y N, respectivamente.

    Se ajustan los datos al modelo teorico, al nivel de significacion 0,05?

    12. Un Ayuntamiento decide poner 4 contenedores para reciclar papel en una zona de la ciudad con la idea deque sean utilizados por la misma cantidad de personas (aproximadamente). Para ver si esto es cierto, hace unaencuesta en la zona a 300 personas, preguntandoles que contenedor utilizan. Los resultados obtenidos son lossiguientes:

    El contenedor 1 es utilizado por 80 personas El contenedor 2 es utilizado por 70 personasEl contenedor 3 es utilizado por 85 personas El contenedor 4 es utilizado por 65 personas

    a) Como consecuencia de estos resultados, resulta aceptable que los 4 contenedores tienen el mismo nivel deutilizacion? Da una respuesta razonada, con un nivel de significacion de 0,10.

    b) El p-valor del contraste anterior, es inferior o superior a 0,10? Dar una respuesta razonada.

    13. Se han clasificado los alumnos de un curso segun su grupo sanguneo y su Rh con los resultados siguientes.

    Rh/ Grupo A B AB 0+ 48 32 12 40- 16 6 5 12

    a) Son las variables ((Rh)) y ((grupo sanguneo)) independientes? Da una respuesta razonada al nivel de signifi-cacion 0,05.

    b) El p-valor de los datos es inferior o superior a 0,05? Da una respuesta razonada.

    14. En una ciudad existen 4 puntos limpios para recogida de residuos: A, B, C y D. Por la forma en que estanrepartidos en la poblacion, se piensa que las proporciones o probabilidades de uso de estos 4 puntos limpiossiguen el modelo:

    P (A) = p P (B) =1

    2 p P (C) = 1

    2 p P (D) = p.

    Se extrae una muestra aleatoria de 120 hogares y se obtienen las siguientes frecuencias:

    Punto limpio A B C DOi 18 32 41 29

    a) Se ajustan bien los datos al modelo propuesto? Da una respuesta al nivel de significacion = 0,05, (se haestimado p = 0, 20).

    b) Decide razonadamente si el p-valor es inferior o superior a 0,05.

    20

  • TABLAS ESTADISTICAS

    Indice

    1. Distribucion Binomial 22

    2. Distribucion de Poisson 24

    3. Distribucion Normal 25

    4. Distribucion t de Student 26

    5. Distribucion 2 27

    6. Distribucion F 28

  • Distribucion Binomial B(n, p)

    pn = 5 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.95099 0.77378 0.59049 0.44371 0.32768 0.23730 0.16807 0.07776 0.031251 0.99902 0.97741 0.91854 0.83521 0.73728 0.63281 0.52822 0.33696 0.187502 0.99999 0.99884 0.99144 0.97339 0.94208 0.89648 0.83692 0.68256 0.500003 1.00000 0.99997 0.99954 0.99777 0.99328 0.98438 0.96922 0.91296 0.812504 1.00000 1.00000 0.99999 0.99992 0.99968 0.99902 0.99757 0.98976 0.968755 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 6 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.94148 0.73509 0.53144 0.37715 0.26214 0.17798 0.11765 0.04666 0.015621 0.99854 0.96723 0.88574 0.77648 0.65536 0.53394 0.42017 0.23328 0.109382 0.99998 0.99777 0.98415 0.95266 0.90112 0.83057 0.74431 0.54432 0.343753 1.00000 0.99991 0.99873 0.99411 0.98304 0.96240 0.92953 0.82080 0.656254 1.00000 1.00000 0.99995 0.99960 0.99840 0.99536 0.98906 0.95904 0.890625 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99994 0.99976 0.99927 0.99590 0.984386 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 7 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.93207 0.69834 0.47830 0.32058 0.20972 0.13348 0.08235 0.02799 0.007811 0.99797 0.95562 0.85031 0.71658 0.57672 0.44495 0.32942 0.15863 0.062502 0.99997 0.99624 0.97431 0.92623 0.85197 0.75641 0.64707 0.41990 0.226563 1.00000 0.99981 0.99727 0.98790 0.96666 0.92944 0.87396 0.71021 0.500004 1.00000 0.99999 0.99982 0.99878 0.99533 0.98712 0.97120 0.90374 0.773445 1.00000 1.00000 0.99999 0.99993 0.99963 0.99866 0.99621 0.98116 0.937506 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99994 0.99978 0.99836 0.992197 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 8 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.92274 0.66342 0.43047 0.27249 0.16777 0.10011 0.05765 0.01680 0.003911 0.99731 0.94276 0.81310 0.65718 0.50332 0.36708 0.25530 0.10638 0.035162 0.99995 0.99421 0.96191 0.89479 0.79692 0.67854 0.55177 0.31539 0.144533 1.00000 0.99963 0.99498 0.97865 0.94372 0.88618 0.80590 0.59409 0.363284 1.00000 0.99998 0.99957 0.99715 0.98959 0.97270 0.94203 0.82633 0.636725 1.00000 1.00000 0.99998 0.99976 0.99877 0.99577 0.98871 0.95019 0.855476 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99992 0.99962 0.99871 0.99148 0.964847 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99993 0.99934 0.996098 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 9 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.91352 0.63025 0.38742 0.23162 0.13422 0.07508 0.04035 0.01008 0.001951 0.99656 0.92879 0.77484 0.59948 0.43621 0.30034 0.19600 0.07054 0.019532 0.99992 0.99164 0.94703 0.85915 0.73820 0.60068 0.46283 0.23179 0.089843 1.00000 0.99936 0.99167 0.96607 0.91436 0.83427 0.72966 0.48261 0.253914 1.00000 0.99997 0.99911 0.99437 0.98042 0.95107 0.90119 0.73343 0.500005 1.00000 1.00000 0.99994 0.99937 0.99693 0.99001 0.97471 0.90065 0.746096 1.00000 1.00000 1.00000 0.99995 0.99969 0.99866 0.99571 0.97497 0.910167 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99989 0.99957 0.99620 0.980478 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99974 0.998059 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 10 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.90438 0.59874 0.34868 0.19687 0.10737 0.05631 0.02825 0.00605 0.000981 0.99573 0.91386 0.73610 0.54430 0.37581 0.24403 0.14931 0.04636 0.010742 0.99989 0.98850 0.92981 0.82020 0.67780 0.52559 0.38278 0.16729 0.054693 1.00000 0.99897 0.98720 0.95003 0.87913 0.77588 0.64961 0.38228 0.171884 1.00000 0.99994 0.99837 0.99013 0.96721 0.92187 0.84973 0.63310 0.376955 1.00000 1.00000 0.99985 0.99862 0.99363 0.98027 0.95265 0.83376 0.623056 1.00000 1.00000 0.99999 0.99987 0.99914 0.99649 0.98941 0.94524 0.828127 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99992 0.99958 0.99841 0.98771 0.945318 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99997 0.99986 0.99832 0.989269 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99990 0.9990210 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    1

    22

  • n = 15 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.86006 0.46329 0.20589 0.08735 0.03518 0.01336 0.00475 0.00047 0.000031 0.99037 0.82905 0.54904 0.31859 0.16713 0.08018 0.03527 0.00517 0.000492 0.99958 0.96380 0.81594 0.60423 0.39802 0.23609 0.12683 0.02711 0.003693 0.99999 0.99453 0.94444 0.82266 0.64816 0.46129 0.29687 0.09050 0.017584 1.00000 0.99939 0.98728 0.93829 0.83577 0.68649 0.51549 0.21728 0.059235 1.00000 0.99995 0.99775 0.98319 0.93895 0.85163 0.72162 0.40322 0.150886 1.00000 1.00000 0.99969 0.99639 0.98194 0.94338 0.86886 0.60981 0.303627 1.00000 1.00000 0.99997 0.99939 0.99576 0.98270 0.94999 0.78690 0.500008 1.00000 1.00000 1.00000 0.99992 0.99922 0.99581 0.98476 0.90495 0.696389 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99989 0.99921 0.99635 0.96617 0.8491210 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99988 0.99933 0.99065 0.9407711 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99991 0.99807 0.9824212 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99972 0.9963113 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99997 0.9995114 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.9999715 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 20 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.81791 0.35849 0.12158 0.03876 0.01153 0.00317 0.00080 0.00004 0.000001 0.98314 0.73584 0.39175 0.17556 0.06918 0.02431 0.00764 0.00052 0.000022 0.99900 0.92452 0.67693 0.40490 0.20608 0.09126 0.03548 0.00361 0.000203 0.99996 0.98410 0.86705 0.64773 0.41145 0.22516 0.10709 0.01596 0.001294 1.00000 0.99743 0.95683 0.82985 0.62965 0.41484 0.23751 0.05095 0.005915 1.00000 0.99967 0.98875 0.93269 0.80421 0.61717 0.41637 0.12560 0.020696 1.00000 0.99997 0.99761 0.97806 0.91331 0.78578 0.60801 0.25001 0.057667 1.00000 1.00000 0.99958 0.99408 0.96786 0.89819 0.77227 0.41589 0.131598 1.00000 1.00000 0.99994 0.99867 0.99002 0.95907 0.88667 0.59560 0.251729 1.00000 1.00000 0.99999 0.99975 0.99741 0.98614 0.95204 0.75534 0.4119010 1.00000 1.00000 1.00000 0.99996 0.99944 0.99606 0.98286 0.87248 0.5881011 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99990 0.99906 0.99486 0.94347 0.7482812 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99982 0.99872 0.97897 0.8684113 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99997 0.99974 0.99353 0.9423414 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99996 0.99839 0.9793115 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99968 0.9940916 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99995 0.9987117 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.9998018 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.9999819 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000020 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    n = 25 0.01 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.50 0.77782 0.27739 0.07179 0.01720 0.00378 0.00075 0.00013 0.00000 0.000001 0.97424 0.64238 0.27121 0.09307 0.02739 0.00702 0.00157 0.00005 0.000002 0.99805 0.87289 0.53709 0.25374 0.09823 0.03211 0.00896 0.00043 0.000013 0.99989 0.96591 0.76359 0.47112 0.23399 0.09621 0.03324 0.00237 0.000084 1.00000 0.99284 0.90201 0.68211 0.42067 0.21374 0.09047 0.00947 0.000465 1.00000 0.99879 0.96660 0.83848 0.61669 0.37828 0.19349 0.02936 0.002046 1.00000 0.99983 0.99052 0.93047 0.78004 0.56110 0.34065 0.07357 0.007327 1.00000 0.99998 0.99774 0.97453 0.89088 0.72651 0.51185 0.15355 0.021648 1.00000 1.00000 0.99954 0.99203 0.95323 0.85056 0.67693 0.27353 0.053889 1.00000 1.00000 0.99992 0.99786 0.98267 0.92867 0.81056 0.42462 0.1147610 1.00000 1.00000 0.99999 0.99951 0.99445 0.97033 0.90220 0.58577 0.2121811 1.00000 1.00000 1.00000 0.99990 0.99846 0.98927 0.95575 0.73228 0.3450212 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99963 0.99663 0.98253 0.84623 0.5000013 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99992 0.99908 0.99401 0.92220 0.6549814 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99979 0.99822 0.96561 0.7878215 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99996 0.99955 0.98683 0.8852416 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.99990 0.99567 0.9461217 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99998 0.99879 0.9783618 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99972 0.9926819 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99995 0.9979620 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99999 0.9995421 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.9999222 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.9999923 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000024 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.0000025 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

    2

    23

  • Distribucion de Poisson

    k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    0,02 0,980 0,020 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,04 0,961 0,038 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,06 0,942 0,057 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,08 0,923 0,074 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,10 0,905 0,090 0,005 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,15 0,861 0,129 0,010 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,20 0,819 0,164 0,016 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,25 0,779 0,195 0,024 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,30 0,741 0,222 0,033 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,35 0,705 0,247 0,043 0,005 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,40 0,670 0,268 0,054 0,007 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,45 0,638 0,287 0,065 0,010 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,50 0,607 0,303 0,076 0,013 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,55 0,577 0,317 0,087 0,016 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,60 0,549 0,329 0,099 0,020 0,003 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,65 0,522 0,339 0,110 0,024 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,70 0,497 0,348 0,122 0,028 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,75 0,472 0,354 0,133 0,033 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,80 0,449 0,359 0,144 0,038 0,008 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,85 0,427 0,363 0,154 0,044 0,009 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,90 0,407 0,366 0,165 0,049 0,011 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,95 0,387 0,367 0,175 0,055 0,013 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,00 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,10 0,333 0,366 0,201 0,074 0,020 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,20 0,301 0,361 0,217 0,087 0,026 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,30 0,273 0,354 0,230 0,100 0,032 0,008 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,40 0,247 0,345 0,242 0,113 0,039 0,011 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,50 0,223 0,335 0,251 0,126 0,047 0,014 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,60 0,202 0,323 0,258 0,138 0,055 0,018 0,005 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,70 0,183 0,311 0,264 0,150 0,064 0,022 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,80 0,165 0,298 0,268 0,161 0,072 0,026 0,008 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001,90 0,150 0,284 0,270 0,171 0,081 0,031 0,010 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0002,00 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036 0,012 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0002,20 0,111 0,244 0,268 0,197 0,108 0,048 0,017 0,005 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0002,40 0,091 0,218 0,261 0,209 0,125 0,060 0,024 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0002,60 0,074 0,193 0,251 0,218 0,141 0,074 0,032 0,012 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0002,80 0,061 0,170 0,238 0,222 0,156 0,087 0,041 0,016 0,006 0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003,00 0,050 0,149 0,224 0,224 0,168 0,101 0,050 0,022 0,008 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003,20 0,041 0,130 0,209 0,223 0,178 0,114 0,061 0,028 0,011 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0003,40 0,033 0,113 0,193 0,219 0,186 0,126 0,072 0,035 0,015 0,006 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000 0,0003,60 0,027 0,098 0,177 0,212 0,191 0,138 0,083 0,042 0,019 0,008 0,003 0,001 0,000 0,000 0,000 0,0003,80 0,022 0,085 0,162 0,205 0,194 0,148 0,094 0,051 0,024 0,010 0,004 0,001 0,000 0,000 0,000 0,0004,00 0,018 0,073 0,147 0,195 0,195 0,156 0,104 0,060 0,030 0,013 0,005 0,002 0,001 0,000 0,000 0,0004,20 0,015 0,063 0,132 0,185 0,194 0,163 0,114 0,069 0,036 0,017 0,007 0,003 0,001 0,000 0,000 0,0004,40 0,012 0,054 0,119 0,174 0,192 0,169 0,124 0,078 0,043 0,021 0,009 0,004 0,001 0,000 0,000 0,0004,60 0,010 0,046 0,106 0,163 0,188 0,173 0,132 0,087 0,050 0,026 0,012 0,005 0,002 0,001 0,000 0,0004,80 0,008 0,040 0,095 0,152 0,182 0,175 0,140 0,096 0,058 0,031 0,015 0,006 0,003 0,001 0,000 0,0005,00 0,007 0,034 0,084 0,140 0,175 0,175 0,146 0,104 0,065 0,036 0,018 0,008 0,003 0,001 0,000 0,0005,20 0,006 0,029 0,075 0,129 0,168 0,175 0,151 0,113 0,073 0,042 0,022 0,010 0,005 0,002 0,001 0,0005,40 0,005 0,024 0,066 0,119 0,160 0,173 0,156 0,120 0,081 0,049 0,026 0,013 0,006 0,002 0,001 0,0005,60 0,004 0,021 0,058 0,108 0,152 0,170 0,158 0,127 0,089 0,055 0,031 0,016 0,007 0,003 0,001 0,0005,80 0,003 0,018 0,051 0,098 0,143 0,166 0,160 0,133 0,096 0,062 0,036 0,019 0,009 0,004 0,002 0,0016,00 0,002 0,015 0,045 0,089 0,134 0,161 0,161 0,138 0,103 0,069 0,041 0,023 0,011 0,005 0,002 0,0016,20 0,002 0,013 0,039 0,081 0,125 0,155 0,160 0,142 0,110 0,076 0,047 0,026 0,014 0,007 0,003 0,0016,40 0,002 0,011 0,034 0,073 0,116 0,149 0,159 0,145 0,116 0,082 0,053 0,031 0,016 0,008 0,004 0,0026,60 0,001 0,009 0,030 0,065 0,108 0,142 0,156 0,147 0,121 0,089 0,059 0,035 0,019 0,010 0,005 0,0026,80 0,001 0,008 0,026 0,058 0,099 0,135 0,153 0,149 0,126 0,095 0,065 0,040 0,023 0,012 0,006 0,0037,00 0,001 0,006 0,022 0,052 0,091 0,128 0,149 0,149 0,130 0,101 0,071 0,045 0,026 0,014 0,007 0,0037,20 0,001 0,005 0,019 0,046 0,084 0,120 0,144 0,149 0,134 0,107 0,077 0,050 0,030 0,017 0,009 0,0047,40 0,001 0,005 0,017 0,041 0,076 0,113 0,139 0,147 0,136 0,112 0,083 0,056 0,034 0,020 0,010 0,0057,60 0,001 0,004 0,014 0,037 0,070 0,106 0,134 0,145 0,138 0,117 0,089 0,061 0,039 0,023 0,012 0,0067,80 0,000 0,003 0,012 0,032 0,063 0,099 0,128 0,143 0,139 0,121 0,094 0,067 0,043 0,026 0,015 0,0088,00 0,000 0,003 0,011 0,029 0,057 0,092 0,122 0,140 0,140 0,124 0,099 0,072 0,048 0,030 0,017 0,009

    Built with Gnumeric Spreadsheet 1.12.9, typeset with LaTeX at Depto. Matematicas, UAM

    24

  • Distribucion Normal

    z

    SAGE 4.7.1

    Ejemplos: si Z tiene distribucion N(0, 1),1. P (Z > 0.43) = 0.33360;2. P (Z > 3.4) = 3.37 104 = 0.000337

    z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.47608 0.47210 0.46812 0.464140.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.43644 0.43251 0.42858 0.424650.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.39743 0.39358 0.38974 0.385910.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.35942 0.35569 0.35197 0.348270.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.32276 0.31918 0.31561 0.312070.5 0.30854 0.30503 0.30153 0.29806 0.29460 0.29116 0.28774 0.28434 0.28096 0.277600.6 0.27425 0.27093 0.26763 0.26435 0.26109 0.25785 0.25463 0.25143 0.24825 0.245100.7 0.24196 0.23885 0.23576 0.23270 0.22965 0.22663 0.22363 0.22065 0.21770 0.214760.8 0.21186 0.20897 0.20611 0.20327 0.20045 0.19766 0.19489 0.19215 0.18943 0.186730.9 0.18406 0.18141 0.17879 0.17619 0.17361 0.17106 0.16853 0.16602 0.16354 0.161091.0 0.15866 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 0.14457 0.14231 0.14007 0.137861.1 0.13567 0.13350 0.13136 0.12924 0.12714 0.12507 0.12302 0.12100 0.11900 0.117021.2 0.11507 0.11314 0.11123 0.10935 0.10749 0.10565 0.10383 0.10204 0.10027 0.098531.3 0.09680 0.09510 0.09342 0.09176 0.09012 0.08851 0.08691 0.08534 0.08379 0.082261.4 0.08076 0.07927 0.07780 0.07636 0.07493 0.07353 0.07215 0.07078 0.06944 0.068111.5 0.06681 0.06552 0.06426 0.06301 0.06178 0.06057 0.05938 0.05821 0.05705 0.055921.6 0.05480 0.05370 0.05262 0.05155 0.05050 0.04947 0.04846 0.04746 0.04648 0.045511.7 0.04457 0.04363 0.04272 0.04182 0.04093 0.04006 0.03920 0.03836 0.03754 0.036731.8 0.03593 0.03515 0.03438 0.03362 0.03288 0.03216 0.03144 0.03074 0.03005 0.029381.9 0.02872 0.02807 0.02743 0.02680 0.02619 0.02559 0.02500 0.02442 0.02385 0.023302.0 0.02275 0.02222 0.02169 0.02118 0.02068 0.02018 0.01970 0.01923 0.01876 0.018312.1 0.01786 0.01743 0.01700 0.01659 0.01618 0.01578 0.01539 0.01500 0.01463 0.014262.2 0.01390 0.01355 0.01321 0.01287 0.01255 0.01222 0.01191 0.01160 0.01130 0.011012.3 0.01072 0.01044 0.01017 0.00990 0.00964 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.008422.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.00657 0.006392.5 0.00621 0.00604 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 0.00508 0.00494 0.004802.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.00415 0.00402 0.00391 0.00379 0.00368 0.003572.7 0.00347 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.002642.8 0.00256 0.00248 0.00240 0.00233 0.00226 0.00219 0.00212 0.00205 0.00199 0.001932.9 0.00187 0.00181 0.00175 0.00169 0.00164 0.00159 0.00154 0.00149 0.00144 0.00139

    z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.93 1.35e-03 9.68e-04 6.87e-04 4.83e-04 3.37e-04 2.33e-04 1.59e-04 1.08e-04 7.23e-05 4.81e-054 3.17e-05 2.07e-05 1.33e-05 8.54e-06 5.41e-06 3.40e-06 2.11e-06 1.30e-06 7.93e-07 4.79e-07

    Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matematicas, UAM

    25

  • Distribucion t de Student

    t

    Ejemplo: para n = 25 y = 0.05, t25;0.05 = 1.708, significa que P (T > 1.708) = 0.05 .

    n 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.008 0.005 0.004 0.0025 0.0017 0.0010 0.00051 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 39.780 63.66 79.573 127.321 187.239 318.3 636.62 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 7.811 9.925 11.113 14.089 17.106 22.33 31.603 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 4.930 5.841 6.322 7.453 8.517 10.21 12.924 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.010 4.604 4.908 5.598 6.221 7.173 8.6105 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 3.573 4.032 4.262 4.773 5.224 5.893 6.8696 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.320 3.707 3.898 4.317 4.679 5.208 5.9597 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.157 3.499 3.667 4.029 4.339 4.785 5.4088 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.043 3.355 3.507 3.833 4.108 4.501 5.0419 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 2.958 3.250 3.390 3.690 3.941 4.297 4.781

    10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 2.894 3.169 3.301 3.581 3.815 4.144 4.58711 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 2.843 3.106 3.231 3.497 3.717 4.025 4.43712 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 2.801 3.055 3.175 3.428 3.638 3.930 4.31813 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 2.767 3.012 3.128 3.372 3.573 3.852 4.22114 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.739 2.977 3.089 3.326 3.520 3.787 4.14015 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.714 2.947 3.056 3.286 3.474 3.733 4.07316 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.693 2.921 3.028 3.252 3.435 3.686 4.01517 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.675 2.898 3.003 3.222 3.401 3.646 3.96518 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.658 2.878 2.982 3.197 3.371 3.610 3.92219 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.644 2.861 2.962 3.174 3.345 3.579 3.88320 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.631 2.845 2.945 3.153 3.322 3.552 3.85025 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.584 2.787 2.882 3.078 3.236 3.450 3.72530 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.553 2.750 2.841 3.030 3.181 3.385 3.64635 0.682 0.852 1.052 1.306 1.690 2.030 2.438 2.532 2.724 2.813 2.996 3.143 3.340 3.59140 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.516 2.704 2.792 2.971 3.115 3.307 3.55145 0.680 0.850 1.049 1.301 1.679 2.014 2.412 2.503 2.690 2.776 2.952 3.093 3.281 3.52050 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.494 2.678 2.763 2.937 3.076 3.261 3.49675 0.678 0.846 1.044 1.293 1.665 1.992 2.377 2.465 2.643 2.725 2.892 3.025 3.202 3.425

    100 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.451 2.626 2.706 2.871 3.001 3.174 3.390125 0.676 0.845 1.041 1.288 1.657 1.979 2.357 2.442 2.616 2.695 2.858 2.986 3.157 3.370150 0.676 0.844 1.040 1.287 1.655 1.976 2.351 2.437 2.609 2.688 2.849 2.977 3.145 3.357 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.409 2.576 2.652 2.807 2.929 3.090 3.291

    26

  • Distribucion 2

    SAGE 4.7.1

    Ejemplo: para n = 10 y = 0.05, 210;0.05 = 18.307, significa que P (210 > 18.307) = 0.05

    n 0.9975 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025

    1 9.82e-06 3.93e-05 1.57e-04 9.82e-04 3.93e-03 1.58e-02 0.1015 0.4549 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 9.1412 5.01e-03 1.00e-02 2.01e-02 5.06e-02 0.1026 0.2107 0.5754 1.386 2.773 4.605 5.991 7.378 9.210 10.60 11.983 4.49e-02 7.17e-02 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 1.213 2.366 4.108 6.251 7.815 9.348 11.34 12.84 14.324 0.1449 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.064 1.923 3.357 5.385 7.779 9.488 11.14 13.28 14.86 16.425 0.3075 0.4117 0.5543 0.8312 1.145 1.610 2.675 4.351 6.626 9.236 11.07 12.83 15.09 16.75 18.396 0.5266 0.6757 0.8721 1.237 1.635 2.204 3.455 5.348 7.841 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 20.257 0.7945 0.9893 1.239 1.690 2.167 2.833 4.255 6.346 9.037 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 22.048 1.104 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 5.071 7.344 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 23.779 1.450 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 5.899 8.343 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 25.46

    10 1.827 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 6.737 9.342 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 27.1111 2.232 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 7.584 10.341 13.70 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 28.7312 2.661 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 8.438 11.340 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 30.3213 3.112 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 9.299 12.340 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 31.8814 3.582 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 10.17 13.34 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 33.4315 4.070 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 11.04 14.34 18.25 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 34.9516 4.573 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 11.91 15.34 19.37 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 36.4617 5.092 5.697 6.408 7.564 8.672 10.09 12.79 16.34 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 37.9518 5.623 6.265 7.015 8.231 9.390 10.86 13.68 17.34 21.60 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 39.4219 6.167 6.844 7.633 8.907 10.12 11.65 14.56 18.34 22.72 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 40.8820 6.723 7.434 8.260 9.591 10.85 12.44 15.45 19.34 23.83 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 42.3421 7.289 8.034 8.897 10.28 11.59 13.24 16.34 20.34 24.93 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 43.7822 7.865 8.643 9.542 10.98 12.34 14.04 17.24 21.34 26.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 45.2023 8.450 9.260 10.20 11.69 13.09 14.85 18.14 22.34 27.14 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 46.6224 9.044 9.886 10.86 12.40 13.85 15.66 19.04 23.34 28.24 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 48.0325 9.646 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 19.94 24.34 29.34 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 49.4426 10.26 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 20.84 25.34 30.43 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 50.8327 10.87 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 21.75 26.34 31.53 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 52.2228 11.50 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 22.66 27.34 32.62 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 53.5929 12.13 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 23.57 28.34 33.71 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 54.9730 12.76 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 24.48 29.34 34.80 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 56.3335 16.03 17.19 18.51 20.57 22.47 24.80 29.05 34.34 40.22 46.06 49.80 53.20 57.34 60.27 63.0840 19.42 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 33.66 39.34 45.62 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77 69.7045 22.90 24.31 25.90 28.37 30.61 33.35 38.29 44.34 50.98 57.51 61.66 65.41 69.96 73.17 76.2250 26.46 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 42.94 49.33 56.33 63.17 67.50 71.42 76.15 79.49 82.6655 30.10 31.73 33.57 36.40 38.96 42.06 47.61 54.33 61.66 68.80 73.31 77.38 82.29 85.75 89.0360 33.79 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 52.29 59.33 66.98 74.40 79.08 83.30 88.38 91.95 95.3465 37.54 39.38 41.44 44.60 47.45 50.88 56.99 64.33 72.28 79.97 84.82 89.18 94.42 98.11 101.670 41.33 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 61.70 69.33 77.58 85.53 90.53 95.02 100.4 104.2 107.875 45.17 47.21 49.48 52.94 56.05 59.79 66.42 74.33 82.86 91.06 96.22 100.8 106.4 110.3 114.080 49.04 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 71.14 79.33 88.13 96.58 101.9 106.6 112.3 116.3 120.190 56.89 59.20 61.75 65.65 69.13 73.29 80.62 89.33 98.65 107.6 113.1 118.1 124.1 128.3 132.3

    100 64.86 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 90.13 99.33 109.1 118.5 124.3 129.6 135.8 140.2 144.3110 72.92 75.55 78.46 82.87 86.79 91.47 99.67 109.3 119.6 129.4 135.5 140.9 147.4 151.9 156.2120 81.07 83.85 86.92 91.57 95.70 100.6 109.2 119.3 130.1 140.2 146.6 152.2 159.0 163.6 168.1150 105.9 109.1 112.7 118.0 122.7 128.3 138.0 149.3 161.3 172.6 179.6 185.8 193.2 198.4 203.2200 148.4 152.2 156.4 162.7 168.3 174.8 186.2 199.3 213.1 226.0 234.0 241.1 249.4 255.3 260.7

    Built with Gnumeric Spreadsheet 1.10.1, typeset with LaTeX at Depto. Matematicas, UAM

    27

  • Distribucion F = 0.01

    Fn1 ,n2 ;

    SAGE 4.7.1

    Ejemplo: para n1 = 5, n2 = 10 y = 0.01, F5,10;0.01 = 5.636, significa que P (F5,10 > 5.636) = 0.01

    n1n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 16 18 20 24

    1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6106 6157 6170 6192 6209 62352 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.44 99.44 99.45 99.463 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.83 26.75 26.69 26.604 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.15 14.08 14.02 13.935 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.051 9.888 9.722 9.680 9.610 9.553 9.4666 13.75 10.92 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7.976 7.874 7.718 7.559 7.519 7.451 7.396 7.3137 12.25 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 6.719 6.620 6.469 6.314 6.275 6.209 6.155 6.0748 11.26 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 5.911 5.814 5.667 5.515 5.477 5.412 5.359 5.2799 10.56 8.022 6.992 6.422 6.057 5.802 5.613 5.467 5.351 5.257 5.111 4.962 4.924 4.860 4.808 4.729

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    100 6.895 4.824 3.984 3.513 3.206 2.988 2.823 2.694 2.590 2.503 2.368 2.223 2.185 2.120 2.067 1.983125 6.842 4.779 3.942 3.473 3.167 2.950 2.786 2.657 2.552 2.466 2.330 2.185 2.147 2.082 2.028 1.944150 6.807 4.749 3.915 3.447 3.142 2.924 2.761 2.632 2.528 2.441 2.305 2.160 2.122 2.057 2.003 1.918175 6.782 4.729 3.895 3.428 3.123 2.907 2.743 2.614 2.510 2.424 2.288 2.143 2.105 2.039 1.985 1.899200 6.763 4.713 3.881 3.414 3.110 2.893 2.730 2.601 2.497 2.411 2.275 2.129 2.091 2.026 1.971 1.886300 6.720 4.677 3.848 3.382 3.079 2.862 2.699 2.571 2.467 2.380 2.244 2.099 2.061 1.995 1.940 1.854400 6.699 4.659 3.831 3.366 3.063 2.847 2.684 2.556 2.452 2.365 2.229 2.084 2.045 1.979 1.925 1.838500 6.686 4.648 3.821 3.357 3.054 2.838 2.675 2.547 2.443 2.356 2.220 2.075 2.036 1.970 1.915 1.829750 6.669 4.634 3.808 3.344 3.042 2.826 2.663 2.535 2.431 2.345 2.208 2.063 2.024 1.958 1.903 1.816

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    28

  • Distribucion F = 0.01

    n1n2 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 150 200 300 500 1000

    1 6240 6261 6276 6287 6296 6303 6313 6321 6326 6331 6334 6345 6350 6355 6360 63632 99.46 99.47 99.47 99.47 99.48 99.48 99.48 99.48 99.49 99.49 99.49 99.49 99.49 99.50 99.50 99.503 26.58 26.50 26.45 26.41 26.38 26.35 26.32 26.29 26.27 26.25 26.24 26.20 26.18 26.16 26.15 26.144 13.91 13.84 13.79 13.75 13.71 13.69 13.65 13.63 13.61 13.59 13.58 13.54 13.52 13.50 13.49 13.475 9.449 9.37