Inferencia Estadística. Estimación y Contrastes · Inferencia Estadística. Estimación y...

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  • InferenciaEstadstica.Estimacin yContrastes

    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Inferencia Estadstica. Estimacin

    y Contrastes

    M Dolores [email protected]upm.es

    E.U. Arquitectura Tcnica

    U.P.M.

    Curso 2009-2010

    1

  • InferenciaEstadstica.Estimacin yContrastes

    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Introduccin

    Identicacin del comportamiento de una variable

    El reconocimiento del comportamiento de una variablealeatoria se puede realizar:

    I Por mtodos deductivos. (Clculo de probabilidades).Ejemplos:

    I Si z1, . . . , zn son N(0, 1) independientes, la variable:

    z21

    + + z2n

    = 2n.

    I Si z es una N(0, 1) independiente de una 2n, resulta

    que:

    z1

    n2

    n

    = tn.

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    Introduccin

    I Con la informacin emprica de una muestra{x1, . . . , xn} de la variable.

    I Se supondr en general que la muestra ha sido obtenida

    por m.a.s:

    I Todos los individuos de la poblacin tienen la mismaprobabilidad de pertenecer a la muestra.

    I Los elementos muestrales son independientes. (Suponereemplazamiento de los individuos muestrales enpoblaciones nitas.)

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    Mtodos de Muestreo

    Llamamos poblacin a un conjunto homogneo deelementos en los que se estudia una caracterstica dada.

    Por qu no estudiamos a todos los individuos?

    I Ensayos destructivos

    I Las muestras slo existen conceptualmente.

    I Es muy caro.

    I Requiere mucho tiempo (y puede cambiar lacaracterstica de inters.

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    Mtodos de Muestreo

    Muestreo Aleatorio Simple m.a.s.

    Est caracterizado por

    I Cada elemento tiene la misma probabilidad de salir.

    I Es con reemplazamiento (la poblacin es siempre lamisma).

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    Mtodos de Muestreo

    Muestreo Estraticado Se utiliza cuando se sospecha quela caracterstica a estudiar no es homognea en la muestra(por ejemplo en los sondeos de opinin respecto al sexo o laedad). En estos casos la muestra se toma proporcional a cadauno de los estratos en la pobalcin.

    Muestreo por Conglomerados Se utiliza cuando no sepuede realizar un m.a.s. o por estratos porque no se disponede una lista de la pobalcin aunque si se sabe que existe unacaracterizacin por estratos como regiones / provincias /municipios / barrios / etc...

    Muestreo Sistemtico Se utiliza cuando los elementos de lapoblacin estn ordenados por lista. Si el orden de la lista esal azar, este procedimiento es equivalente al m.a.s. aunque esms fcil no cometer errores.

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    Introduccin

    Obtenida la muestra {x1, . . . , xn} de la variable aleatoria, X ,ajustar un modelo que explique su comportamiento supone:

    1. Identicar su forma: Normal, exponencial, binomial,. . .

    2. Estimar los parmetros de la distribucin, que dependendel modelo. (En el caso normal, y ).

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    Introduccin

    Para conjeturar la forma del modelo que explica elcomportaniento de una variable aleatoria continua, secompara la forma de su histograma con la funcin dedensidad del modelo terico.

    I Obsrvese que estos dos objetos son comparables.

    I Ejemplo: Empleando las utilidades del programaStatgraphics, discuta si el comportamiento del tamaode los litros de los machos y de las hembras contenidosen el archivo Coleop, se puede atribuir a distribucionesnormales.

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    Contrastes deAjuste

    Estimacin de los parmetros

    Una vez identicada la forma genrica de un modelo, queexplica el comportamiento de la variable en estudio, esnecesario concretar el valor de sus parmetros.

    I Esta concrecin (estimacin) siempre ser aproximadapuesto que:

    1. Los elementos muestrales son variables aleatorias, con la

    misma distribucin que la variable base.

    2. Conjuntamente, la muestra es una variable aleatoria de

    dimensin n.

    3. Los estadsticos extrados de una muestra son variables

    aleatorias.

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    Estimacin de los parmetros

    Existen diversos mtodos para la estimacin de losparmetros del modelo, a partir de los datos muestrales.

    I El mtodo de los momentos consiste en igualar losmomentos de la muestra con los poblacionales:

    x = , s2 = 2, . . .

    I Este mtodo no emplea la informacin relativa a la

    forma de la distribucin.

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    Estimacin de los parmetros

    I El mtodo de mxima verosimilitud otorga a losparmetros los valores que maximizan la funcin dedensidad conjunta:

    f (x1, . . . , xn;),

    siendo el vector de parmetros del modelo.

    I Este mtodo s emplea la informacin relativa a la

    forma de la distribucin.

    I Ejemplo.

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    Estimacin de los parmetros

    Sea X una v.a. Poisson con = 2.Calcular la probabilidad de obtener la muestra

    X = (x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 2, x5 = 0)

    P(x) =e22x

    2!

    Entonces

    P(X ) =e223

    3!

    e221

    1!

    e220

    0!

    e222

    2!

    e220

    0!

    y en general

    P(X ) =e22x1

    x1!

    e22x2

    x2!

    e22x3

    x3!

    e22x4

    x4!

    e22x5

    x5!

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    Contrastes deAjuste

    Estimacin de los parmetros

    Lo podemos simplicar como

    P(X ) = e10261

    2!

    1

    2!

    1

    0!

    1

    2!

    1

    0!

    y en general

    P(X ) = en

    xi1xi !

    A lo que llamamos funcin de densidad conjunta.

    En general mxima varosimilitud encuentra el para el quela muestra mximiza su funcin de densidad conjunta.

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    Estimacin de los parmetros

    Propiedades de los estimadores

    Diremos que un estimador de es centrado o insesgadopara si para cualquier tamao muestra

    E()

    =

    Se dene el sesgo como

    sesgo()

    = E ()

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    Contrastes deAjuste

    Estimacin de los parmetros

    Por ejemplo (x1, . . . , xn) m.a.s. con E (xi ) = yVar (xi ) =

    2

    T (x1, . . . , xn) = x

    es un estimador centrado de porque

    E (x) =

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    Estimacin de los parmetros

    Por ejemplo (x1, . . . , xn) m.a.s. con E (xi ) = yVar (xi ) =

    2

    T (x1, . . . , xn) = s2x =

    1

    n(xi x)2

    no es un estimador centrado de 2 porque

    E(s2x)

    =n 1n

    2 6= 2

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    Estimacin de los parmetros

    Propiedades de los estimadores

    Llamaremos eciencia o precisin de un estimador a lainversa de la varianza

    presici on()

    =1

    Var()

    2 es ms preciso que 1 si

    Var(2

    ) Var

    (1

    )o lo que es lo mismo

    presici on(2

    ) presici on

    (1

    )

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    Estimacin de los parmetros

    Una buena medida de los bueno que es un estimador, queadems tiene en cuenta el sesgo y la presisin es el ErrorCuadrtico Medio

    ECM()

    = sesgo()2

    + var()

    Diremos que un estimador es consistente si

    E(n

    )n

    Var(n

    )n

    0

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    Estimacin de los parmetros

    Propiedades de los estimadores de Mxima

    Verosimilitud

    I Son asintticamente centrados.

    I Tienen distribucin asintticamente normal.

    I Tienen asintticamente mnima varianza.

    I Son invariantes: Si MV es el estimador M.V. de , y ges una funcin cualquiera, entonces g(MV ) esestimador M.V. de g()

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    Estimacin de los parmetros

    Distribucin en el muestreo de una proporcin

    Observamos la presencia o no de un determinado atributo.Estimamos p como el nmero de elemento r que hemosobservado con el atributo de una muestra de tamao n.

    p =r

    n

    X Bi (n, p)

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    Estimacin de los parmetros

    P(p =

    r

    n

    )= P (X = r) =

    (n

    r

    )prqnr

    E (p) = E( rn

    )=

    1

    nE (r) =

    1

    nnp = p

    Var (p) = Var( rn

    )=

    1

    n2Var (r) =

    1

    n2npq =

    pq

    n

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    Estimacin de los parmetros

    Estimacin de los parmetros de una normal

    En el caso de normalidad los mtodos de los momentos y demxima verosimilitud arrojan los mismos resultados.

    Si una muestra {x1, . . . , xn} permite conjeturar que unavariable aleatoria X se distribuye como una N(, ), losmtodos de los momentos y de mxima verosimilitud tomancomo estimadores de y , respectivamente:

    = x y 2 = s2.

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    Estimacin de los parmetros

    Observaciones:

    I Tanto x como s2 son variables aleatorias.

    I x N(, n

    ). Consecuentemente:

    I E (x) =

    I La desviacin tpica de x disminuye con el tamao

    muestral

    I ns2

    2 2

    n1

    I E (s2) 6= 2 lo que justica que, con frecuencia, seutilice s2 como estimador de 2.

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    Contrastes deAjuste

    Precisin en la estimacin

    I Una estimacin de un parmetro es un valor aproximadodel mismo, por lo que es necesario acotar el error, paralo que se construyen los intervalos de conanza.

    I Un intervalo de conanza para un parmetro es unintervalo numrico, en el que se encuentra el valorverdadero del parmetro con un nivel de seguridad(conanza) conocido.

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    Contrastes deAjuste

    Intervalos de confianza

    Construccin de intervalos de conanza para la media

    de una normal con conocida

    Sea X N(, ), con conocida, y x la media muestral deuna muestra cualquiera de X de tamao n.

    Como

    x N(,

    n

    ),

    resulta que

    x /n N(0, 1).

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    Intervalos de confianza

    Sea z/2 el valor que en una N(0, 1), Z , verica que:

    P(z/2 Z z/2) = 1 .

    Entonces,

    P

    (z/2

    x /n z/2

    )= 1 .

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    Intervalos de confianza

    De donde:

    P

    (x z/2

    n x z/2

    n

    )= 1 ,

    y el intervalo(x z/2

    n, x z/2

    n

    )es un intervalo de conanza al (1 ) 100% para .

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    Contrastes deAjuste

    Intervalos de confianza

    Construccin de intervalos de conanza para la media

    de una normal con desconocida

    Si no es conocida no se puede emplear el hecho de que

    x /n N(0, 1).

    Sin embargo, se puede demostrar que

    x s/n tn1.

    28

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    Intervalos de confianza

    De donde, si t/2 es el valor que en una tn1:

    P(t/2 tn1 t/2) = 1 ,

    operando como en el caso anterior se tiene que:(x t/2

    sn, x + t/2

    sn

    )es un intervalo de conanza al (1 ) 100% para .

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    Intervalos de confianza

    Construccin de intervalos de conanza para una

    proporcin

    Utilizando la misma idea y sabiendo que la proporcin seaproxima a una normal, podemos obtener el intervalo deconanza para una proporcin:

    p z/2

    pq

    n p p + z/2

    pq

    n

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    Intervalos de confianza

    Construccin de intervalos de conanza para la

    varianza de proporciones normales

    Para construir el intervalo de conanza de la varianza de unanormal, tenemos en cuenta que:

    ns2

    2=

    (n 1) s2

    2 X 2n1

    Por lo que buscamos valores a y b que veriquen

    P

    (X 2n1,a

    ns2

    2 X 2

    n1,b

    )= 1

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    Intervalos de confianza

    Construccin de intervalos de conanza para la

    varianza de proporciones normales

    O lo que es lo mismo

    P

    (1

    X 2n1,b

    2

    ns2 1

    X 2n1,a

    )= 1

    de donde podemos obtener el intervalo(ns2

    X 2n1,b

    ,ns2

    X 2n1,a

    )

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    Contrastes deAjuste

    Ejemplo V

    Empleando las utilidades del programa Statgraphics genereuna muestra aleatoria de tamao 100 procedente de unaN(5, 2).

    I Emplee esta muestra para analizar el efecto del cambiodel nivel de conanza sobre la longitud del intervalo.

    I Discuta qu relacin existe entre la precisin de laestimacin y el nivel de conanza.

    Suponiendo normalidad, calcule intervalos de conanza parala media y la varianza del tamao de los litros de los machosy las hembras contenidos en el archivo coleop.

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    Contrastes de hiptesis

    I Realizar un contraste con respecto a un parmetro, ,consiste en analizar si existe evidencia empricasuciente para admitir que este parmetro puedacumplir alguna condicin conocida.

    I Contrastes habituales tienen por objeto asegurarse de si

    I = 0

    I > 0

    I < 0

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    Contrastes de hiptesis

    I En general, la realizacin de un contraste requieredeterminar con precisin:

    I Lo que se quiere contrastar, hiptesis nula, representada

    por H0.

    I Aquello que se aceptara si se rechaza la hiptesis nula

    hiptesis alternativa, representada por H1.

    I Un estadstico de distribucin conocida, que relacione el

    parmetro con los datos muestrales.

    I Alguna medida de precisin del contraste.

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    Contrastes de hiptesis

    El contraste de la t para la media de una normal

    Sea X una variable aleatoria N(, ), con desconocida.

    I Supngase que se desea realizar el contraste:

    H0 : = 0, frente a H1 : 6= 0,

    I Elegida una muestra {x1, . . . , xn} se sabe que:

    x s/n tn1

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    Contrastes de hiptesis

    I De donde, si H0 es cierta:

    x 0s/n tn1.

    I Por lo tanto, si t/2 es el valor que en una tn1:

    P(t/2 tn1 t/2) = 1 .

    Es decir:

    P

    (t/2

    x 0s/n t/2

    )= 1

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    Contrastes deAjuste

    Contrastes de hiptesis

    Una vez realizado el clculo del estadstico

    t =x 0s/n,

    I Cuando ocurra que

    t/2 t t/2,

    no hay evidencia de la falsedad de H0, por lo que no serechaza dicha hiptesis al (1 ) 100% de conanza.

    38

  • InferenciaEstadstica.Estimacin yContrastes

    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Contrastes de hiptesis

    I Si por el contrario

    t / (t/2, t/2)

    habr evidencia de que la hiptesis nula es falsa y serechazar al (1 ) 100% de conanza.

    I Al intervalo (t/2, t/2) se le denomina regin deaceptacin del contraste, mientras que

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    Loly Redondas

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    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Contrastes de hiptesis

    I Todo contraste se resuelve creando, a travs de unestadstico apropiado, estadstico pivote, una zona deaceptacin y otra de rechazo.

    I Todo contraste lleva asociada una decisin, que puedeser errnea.

    I Error de tipo I : Rechazar H0 cuando es cierta.

    I Error de tipo II : Aceptar H0 cuando es falsa.

    I La metodologa habitual construye contrastes en los que

    se persigue no cometer error de tipo I .

    40

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    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Contrastes de hiptesis

    I Todo contraste lleva asociado un p-valor, que es unamedida de la abilidad de la decisin tomada.

    I Si el estadstico pivote, d , es una medida dediscrepancia entre la hiptesis nula y la muestraobservada, se dene el p-valor del contraste como

    P(d > d |H0),

    siendo d el valor del estadstico pivote en la muestra.

    41

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    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Contrastes de hiptesis

    I Valores altos de p sugieren conanza en la decisin deaceptacin de la hiptesis.

    I Valores bajos de p sugieren conanza en la decisin derechazo de la hiptetsis.

    I Cuando se realiza un contraste al (1 ) 100%:

    I p < implica rechazar la hiptesis nula.

    I p > supone aceptar la hiptesis nula.

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    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Ejemplo VI

    Con la muestra generada en el ejemplo V ,

    I Analice el efecto del cambio del nivel de conanza en larealizacin del contraste:

    H0 : = 5, frente a H1 : 6= 5.

    I Modique la hiptesis nula y discuta qu relacin existeentre la discrepancia entre la hiptesis nula con lamuestra, y el p-valor obtenido en los distintos contrastes.

    Suponiendo normalidad, realice contrastes de hiptesis parala media y la varianza del tamao de los litros de los machosy las hembras contenidos en el archivo coleop.

    43

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    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Contrastes de ajuste

    I En ocasiones la hiptesis que se desea contrastar sereere a si una muestra conrma el comportamiento deuna variable, segn un modelo de probabilidaddeterminado:Normal, Poisson, exponencial, . . .

    I De estos contrastes (de ajuste), el ms comn es el testde la Chi cuadrado, que analiza la concordancia entre elhistograma de los datos y la funcin de densidad (o deprobabilidad) del modelo.

    44

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    Introduccin.Mtodos demuestreo

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    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    El test de la Chi cuadrado I

    El test de la chi cuadradocontrasta la hiptesis de quela variable sigue un modelo deprobabilidad concreto.

    El estadstico empleado es unamedida de la discrepanciaentre los datos, el histograma,y el modelo, su funcin dedensidad.

    -2 1 4 7 10 130

    10

    20

    30

    40

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    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    El test de la Chi cuadrado II

    I Cuando la hiptesis nula es cierta, la variable sigue elmodelo previsto, el estadstico:

    d =k

    i=1

    (Oi Ei )2

    Ei 2

    kr1,

    donde:

    I k es el nmero de clases en que se divide a los datos.

    I Oi es la frecuencia observada en cada clase.

    I Ei es la frecuencia esperada en cada clase.

    I r es el nmero de parmetros estimados con la muestra.

    I El anlisis del valor de d permite discutir el contraste.

    46

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    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Otros Contrastes

    I Contraste de Kolmogorov-Smirnov

    Dn = |Fn(x) F (x)|

    Slo es vlido para funciones continuas, pero funcionabien con muestras pequeas.

    I Contraste de Saro-WilksDibuja los datos en papel probabilstico normal. Labondad de ajuste la da lo bien que se aproximan losdatos a la recta.Slo funciona bien para normalidad, pero lo hace conmuestras muy pequeas.

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  • InferenciaEstadstica.Estimacin yContrastes

    Loly Redondas

    Introduccin.Mtodos demuestreo

    EstimacinPuntual

    Intervalos deconanza

    Contrastes deHiptesis

    Contrastes deAjuste

    Ejemplo VII

    Con la muestra generada en el ejemplo V ,

    I Analice la normalidad de la poblacin a la querepresenta la muestra.

    I Estudie la normalidad del tamao de los litros de losmachos y las hembras contenidos en el archivo coleop.

    I Discuta si la realizacin de transformaciones mejora losresultados obtenidos.

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    Introduccin. Mtodos de muestreoEstimacin PuntualIntervalos de confianzaContrastes de HiptesisContrastes de Ajuste