Inferencia Estadística. Estimación y Contrastes · Inferencia Estadística. Estimación y...

InferenciaEstadstica.Estimacin yContrastes

Loly Redondas

Introduccin.Mtodos demuestreo

EstimacinPuntual

Intervalos deconanza

Contrastes deHiptesis

Contrastes deAjuste

Inferencia Estadstica. Estimacin

y Contrastes

M Dolores [email protected]upm.es

E.U. Arquitectura Tcnica

U.P.M.

Curso 2009-2010

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Loly Redondas


EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Introduccin

Identicacin del comportamiento de una variable

El reconocimiento del comportamiento de una variablealeatoria se puede realizar:

I Por mtodos deductivos. (Clculo de probabilidades).Ejemplos:

I Si z1, . . . , zn son N(0, 1) independientes, la variable:

z21

+ + z2n

= 2n.

I Si z es una N(0, 1) independiente de una 2n, resulta

que:

z1

n2

n

= tn.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Introduccin

I Con la informacin emprica de una muestra{x1, . . . , xn} de la variable.

I Se supondr en general que la muestra ha sido obtenida

por m.a.s:

I Todos los individuos de la poblacin tienen la mismaprobabilidad de pertenecer a la muestra.

I Los elementos muestrales son independientes. (Suponereemplazamiento de los individuos muestrales enpoblaciones nitas.)

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Mtodos de Muestreo

Llamamos poblacin a un conjunto homogneo deelementos en los que se estudia una caracterstica dada.

Por qu no estudiamos a todos los individuos?

I Ensayos destructivos

I Las muestras slo existen conceptualmente.

I Es muy caro.

I Requiere mucho tiempo (y puede cambiar lacaracterstica de inters.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Mtodos de Muestreo

Muestreo Aleatorio Simple m.a.s.

Est caracterizado por

I Cada elemento tiene la misma probabilidad de salir.

I Es con reemplazamiento (la poblacin es siempre lamisma).

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Mtodos de Muestreo

Muestreo Estraticado Se utiliza cuando se sospecha quela caracterstica a estudiar no es homognea en la muestra(por ejemplo en los sondeos de opinin respecto al sexo o laedad). En estos casos la muestra se toma proporcional a cadauno de los estratos en la pobalcin.

Muestreo por Conglomerados Se utiliza cuando no sepuede realizar un m.a.s. o por estratos porque no se disponede una lista de la pobalcin aunque si se sabe que existe unacaracterizacin por estratos como regiones / provincias /municipios / barrios / etc...

Muestreo Sistemtico Se utiliza cuando los elementos de lapoblacin estn ordenados por lista. Si el orden de la lista esal azar, este procedimiento es equivalente al m.a.s. aunque esms fcil no cometer errores.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Introduccin

Obtenida la muestra {x1, . . . , xn} de la variable aleatoria, X ,ajustar un modelo que explique su comportamiento supone:

1. Identicar su forma: Normal, exponencial, binomial,. . .

2. Estimar los parmetros de la distribucin, que dependendel modelo. (En el caso normal, y ).

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Introduccin

Para conjeturar la forma del modelo que explica elcomportaniento de una variable aleatoria continua, secompara la forma de su histograma con la funcin dedensidad del modelo terico.

I Obsrvese que estos dos objetos son comparables.

I Ejemplo: Empleando las utilidades del programaStatgraphics, discuta si el comportamiento del tamaode los litros de los machos y de las hembras contenidosen el archivo Coleop, se puede atribuir a distribucionesnormales.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Estimacin de los parmetros

Una vez identicada la forma genrica de un modelo, queexplica el comportamiento de la variable en estudio, esnecesario concretar el valor de sus parmetros.

I Esta concrecin (estimacin) siempre ser aproximadapuesto que:

1. Los elementos muestrales son variables aleatorias, con la

misma distribucin que la variable base.

2. Conjuntamente, la muestra es una variable aleatoria de

dimensin n.

3. Los estadsticos extrados de una muestra son variables

aleatorias.

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Loly Redondas


EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Existen diversos mtodos para la estimacin de losparmetros del modelo, a partir de los datos muestrales.

I El mtodo de los momentos consiste en igualar losmomentos de la muestra con los poblacionales:

x = , s2 = 2, . . .

I Este mtodo no emplea la informacin relativa a la

forma de la distribucin.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I El mtodo de mxima verosimilitud otorga a losparmetros los valores que maximizan la funcin dedensidad conjunta:

f (x1, . . . , xn;),

siendo el vector de parmetros del modelo.

I Este mtodo s emplea la informacin relativa a la

forma de la distribucin.

I Ejemplo.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Sea X una v.a. Poisson con = 2.Calcular la probabilidad de obtener la muestra

X = (x1 = 3, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 2, x5 = 0)

P(x) =e22x

2!

Entonces

P(X ) =e223

3!

e221

1!

e220

0!

e222

2!

e220

0!

y en general

P(X ) =e22x1

x1!

e22x2

x2!

e22x3

x3!

e22x4

x4!

e22x5

x5!

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Lo podemos simplicar como

P(X ) = e10261

2!

1

2!

1

0!

1

2!

1

0!

y en general

P(X ) = en

xi1xi !

A lo que llamamos funcin de densidad conjunta.

En general mxima varosimilitud encuentra el para el quela muestra mximiza su funcin de densidad conjunta.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Propiedades de los estimadores

Diremos que un estimador de es centrado o insesgadopara si para cualquier tamao muestra

E()

=

Se dene el sesgo como

sesgo()

= E ()

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Por ejemplo (x1, . . . , xn) m.a.s. con E (xi ) = yVar (xi ) =

2

T (x1, . . . , xn) = x

es un estimador centrado de porque

E (x) =

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Por ejemplo (x1, . . . , xn) m.a.s. con E (xi ) = yVar (xi ) =

2

T (x1, . . . , xn) = s2x =

1

n(xi x)2

no es un estimador centrado de 2 porque

E(s2x)

=n 1n

2 6= 2

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Propiedades de los estimadores

Llamaremos eciencia o precisin de un estimador a lainversa de la varianza

presici on()

=1

Var()

2 es ms preciso que 1 si

Var(2

) Var

(1

)o lo que es lo mismo

presici on(2

) presici on

(1

)

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Una buena medida de los bueno que es un estimador, queadems tiene en cuenta el sesgo y la presisin es el ErrorCuadrtico Medio

ECM()

= sesgo()2

+ var()

Diremos que un estimador es consistente si

E(n

)n

Var(n

)n

0

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Propiedades de los estimadores de Mxima

Verosimilitud

I Son asintticamente centrados.

I Tienen distribucin asintticamente normal.

I Tienen asintticamente mnima varianza.

I Son invariantes: Si MV es el estimador M.V. de , y ges una funcin cualquiera, entonces g(MV ) esestimador M.V. de g()

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Distribucin en el muestreo de una proporcin

Observamos la presencia o no de un determinado atributo.Estimamos p como el nmero de elemento r que hemosobservado con el atributo de una muestra de tamao n.

p =r

n

X Bi (n, p)

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


P(p =

r

n

)= P (X = r) =

(n

r

)prqnr

E (p) = E( rn

)=

1

nE (r) =

1

nnp = p

Var (p) = Var( rn

)=

1

n2Var (r) =

1

n2npq =

pq

n

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Estimacin de los parmetros de una normal

En el caso de normalidad los mtodos de los momentos y demxima verosimilitud arrojan los mismos resultados.

Si una muestra {x1, . . . , xn} permite conjeturar que unavariable aleatoria X se distribuye como una N(, ), losmtodos de los momentos y de mxima verosimilitud tomancomo estimadores de y , respectivamente:

= x y 2 = s2.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Observaciones:

I Tanto x como s2 son variables aleatorias.

I x N(, n

). Consecuentemente:

I E (x) =

I La desviacin tpica de x disminuye con el tamao

muestral

I ns2

2 2

n1

I E (s2) 6= 2 lo que justica que, con frecuencia, seutilice s2 como estimador de 2.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Precisin en la estimacin

I Una estimacin de un parmetro es un valor aproximadodel mismo, por lo que es necesario acotar el error, paralo que se construyen los intervalos de conanza.

I Un intervalo de conanza para un parmetro es unintervalo numrico, en el que se encuentra el valorverdadero del parmetro con un nivel de seguridad(conanza) conocido.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Intervalos de confianza

Construccin de intervalos de conanza para la media

de una normal con conocida

Sea X N(, ), con conocida, y x la media muestral deuna muestra cualquiera de X de tamao n.

Como

x N(,

n

),

resulta que

x /n N(0, 1).

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Sea z/2 el valor que en una N(0, 1), Z , verica que:

P(z/2 Z z/2) = 1 .

Entonces,

P

(z/2

x /n z/2

)= 1 .

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


De donde:

P

(x z/2

n x z/2

n

)= 1 ,

y el intervalo(x z/2

n, x z/2

n

)es un intervalo de conanza al (1 ) 100% para .

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Construccin de intervalos de conanza para la media

de una normal con desconocida

Si no es conocida no se puede emplear el hecho de que

x /n N(0, 1).

Sin embargo, se puede demostrar que

x s/n tn1.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


De donde, si t/2 es el valor que en una tn1:

P(t/2 tn1 t/2) = 1 ,

operando como en el caso anterior se tiene que:(x t/2

sn, x + t/2

sn

)es un intervalo de conanza al (1 ) 100% para .

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Construccin de intervalos de conanza para una

proporcin

Utilizando la misma idea y sabiendo que la proporcin seaproxima a una normal, podemos obtener el intervalo deconanza para una proporcin:

p z/2

pq

n p p + z/2

pq

n

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Construccin de intervalos de conanza para la

varianza de proporciones normales

Para construir el intervalo de conanza de la varianza de unanormal, tenemos en cuenta que:

ns2

2=

(n 1) s2

2 X 2n1

Por lo que buscamos valores a y b que veriquen

P

(X 2n1,a

ns2

2 X 2

n1,b

)= 1

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Construccin de intervalos de conanza para la

varianza de proporciones normales

O lo que es lo mismo

P

(1

X 2n1,b

2

ns2 1

X 2n1,a

)= 1

de donde podemos obtener el intervalo(ns2

X 2n1,b

,ns2

X 2n1,a

)

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Ejemplo V

Empleando las utilidades del programa Statgraphics genereuna muestra aleatoria de tamao 100 procedente de unaN(5, 2).

I Emplee esta muestra para analizar el efecto del cambiodel nivel de conanza sobre la longitud del intervalo.

I Discuta qu relacin existe entre la precisin de laestimacin y el nivel de conanza.

Suponiendo normalidad, calcule intervalos de conanza parala media y la varianza del tamao de los litros de los machosy las hembras contenidos en el archivo coleop.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Contrastes de hiptesis

I Realizar un contraste con respecto a un parmetro, ,consiste en analizar si existe evidencia empricasuciente para admitir que este parmetro puedacumplir alguna condicin conocida.

I Contrastes habituales tienen por objeto asegurarse de si

I = 0

I > 0

I < 0

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I En general, la realizacin de un contraste requieredeterminar con precisin:

I Lo que se quiere contrastar, hiptesis nula, representada

por H0.

I Aquello que se aceptara si se rechaza la hiptesis nula

hiptesis alternativa, representada por H1.

I Un estadstico de distribucin conocida, que relacione el

parmetro con los datos muestrales.

I Alguna medida de precisin del contraste.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


El contraste de la t para la media de una normal

Sea X una variable aleatoria N(, ), con desconocida.

I Supngase que se desea realizar el contraste:

H0 : = 0, frente a H1 : 6= 0,

I Elegida una muestra {x1, . . . , xn} se sabe que:

x s/n tn1

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I De donde, si H0 es cierta:

x 0s/n tn1.

I Por lo tanto, si t/2 es el valor que en una tn1:

P(t/2 tn1 t/2) = 1 .

Es decir:

P

(t/2

x 0s/n t/2

)= 1

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


Una vez realizado el clculo del estadstico

t =x 0s/n,

I Cuando ocurra que

t/2 t t/2,

no hay evidencia de la falsedad de H0, por lo que no serechaza dicha hiptesis al (1 ) 100% de conanza.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I Si por el contrario

t / (t/2, t/2)

habr evidencia de que la hiptesis nula es falsa y serechazar al (1 ) 100% de conanza.

I Al intervalo (t/2, t/2) se le denomina regin deaceptacin del contraste, mientras que


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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I Todo contraste se resuelve creando, a travs de unestadstico apropiado, estadstico pivote, una zona deaceptacin y otra de rechazo.

I Todo contraste lleva asociada una decisin, que puedeser errnea.

I Error de tipo I : Rechazar H0 cuando es cierta.

I Error de tipo II : Aceptar H0 cuando es falsa.

I La metodologa habitual construye contrastes en los que

se persigue no cometer error de tipo I .

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I Todo contraste lleva asociado un p-valor, que es unamedida de la abilidad de la decisin tomada.

I Si el estadstico pivote, d , es una medida dediscrepancia entre la hiptesis nula y la muestraobservada, se dene el p-valor del contraste como

P(d > d |H0),

siendo d el valor del estadstico pivote en la muestra.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste


I Valores altos de p sugieren conanza en la decisin deaceptacin de la hiptesis.

I Valores bajos de p sugieren conanza en la decisin derechazo de la hiptetsis.

I Cuando se realiza un contraste al (1 ) 100%:

I p < implica rechazar la hiptesis nula.

I p > supone aceptar la hiptesis nula.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Ejemplo VI

Con la muestra generada en el ejemplo V ,

I Analice el efecto del cambio del nivel de conanza en larealizacin del contraste:

H0 : = 5, frente a H1 : 6= 5.

I Modique la hiptesis nula y discuta qu relacin existeentre la discrepancia entre la hiptesis nula con lamuestra, y el p-valor obtenido en los distintos contrastes.

Suponiendo normalidad, realice contrastes de hiptesis parala media y la varianza del tamao de los litros de los machosy las hembras contenidos en el archivo coleop.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Contrastes de ajuste

I En ocasiones la hiptesis que se desea contrastar sereere a si una muestra conrma el comportamiento deuna variable, segn un modelo de probabilidaddeterminado:Normal, Poisson, exponencial, . . .

I De estos contrastes (de ajuste), el ms comn es el testde la Chi cuadrado, que analiza la concordancia entre elhistograma de los datos y la funcin de densidad (o deprobabilidad) del modelo.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

El test de la Chi cuadrado I

El test de la chi cuadradocontrasta la hiptesis de quela variable sigue un modelo deprobabilidad concreto.

El estadstico empleado es unamedida de la discrepanciaentre los datos, el histograma,y el modelo, su funcin dedensidad.

-2 1 4 7 10 130

10

20

30

40

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

El test de la Chi cuadrado II

I Cuando la hiptesis nula es cierta, la variable sigue elmodelo previsto, el estadstico:

d =k

i=1

(Oi Ei )2

Ei 2

kr1,

donde:

I k es el nmero de clases en que se divide a los datos.

I Oi es la frecuencia observada en cada clase.

I Ei es la frecuencia esperada en cada clase.

I r es el nmero de parmetros estimados con la muestra.

I El anlisis del valor de d permite discutir el contraste.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Otros Contrastes

I Contraste de Kolmogorov-Smirnov

Dn = |Fn(x) F (x)|

Slo es vlido para funciones continuas, pero funcionabien con muestras pequeas.

I Contraste de Saro-WilksDibuja los datos en papel probabilstico normal. Labondad de ajuste la da lo bien que se aproximan losdatos a la recta.Slo funciona bien para normalidad, pero lo hace conmuestras muy pequeas.

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EstimacinPuntual



Contrastes deAjuste

Ejemplo VII

Con la muestra generada en el ejemplo V ,

I Analice la normalidad de la poblacin a la querepresenta la muestra.

I Estudie la normalidad del tamao de los litros de losmachos y las hembras contenidos en el archivo coleop.

I Discuta si la realizacin de transformaciones mejora losresultados obtenidos.

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