Independencia Lineal

INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES DE ESPECIOS VECTORALES

UNIVERSIDAD SAN CARLOS DE GUATEMALA

MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA

ING. FERNANDO AJIATAS PINTO

201590010 CAJAS CASTRO, HISMAR MANFREDO

215961145 GALICIA CASTILLO, CARLOS EDUARDO

201590009 QUEME MALDONADO, GUSTAVO ADOLFO

201590014 SILIEZAR LOPEZ, RODOLFO GUILLERMO


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Contenido INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 2

INDEPENDENCIA LINEAL ...................................................................................................................... 3

Ejemplo 1:........................................................................................................................................ 3

Ejemplo 2:........................................................................................................................................ 5

Ejemplo 3:........................................................................................................................................ 5

Ejemplo 4:........................................................................................................................................ 6

BASES DE ESPACIO VECTORIALES ........................................................................................................ 9

Definicin ........................................................................................................................................ 9

Observacin..................................................................................................................................... 9

Ejemplo 1:........................................................................................................................................ 9

Ejemplo 2:........................................................................................................................................ 9

Ejemplo 3 ....................................................................................................................................... 10

Teorema 1 ..................................................................................................................................... 11

Teorema 2 ..................................................................................................................................... 11

Teorema 3 ..................................................................................................................................... 13

Teorema 4 ..................................................................................................................................... 15

Teorema 5 ..................................................................................................................................... 16

CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 17


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INTRODUCCIN Este documento propone actividades que conducen a los estudiantes a elaborar representaciones

de carcter geomtrico aplicando los conceptos de dependencia e independencia lineal. Estas

experiencias tienen un carcter exploratorio dentro del marco de una investigacin y se han

orientado a observar qu elementos distintos a los convencionales podemos detectar cuando se

hace un tratamiento convencional en el estudio de dichos conceptos.

La idea de vector est tomada de la Fsica, donde sirven para representar magnitudes vectoriales

como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en

el plano, de tres componentes en el espacio... Se supone conocida la representacin grfica y

manejo de los vectores de 2 y de 3 . En Matemticas, tratamos de abstraer las propiedades

que caracterizan a los vectores para extenderlas tambin a otro tipo de objetos diferentes de los

vectores de la Fsica.


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INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que los vectores V1, V2, . . . , Vk de un espacio vectorial V generan a V, si cada vector en V

es una combinacin lineal de V1, V2, . . . , Vk. Adems, si se denota por S el conjunto S = {V1, V2, .

. . , Vk}, se dice tambin que S genera a V, o que {V1, V2, . . . , Vk} genera a V, o que V es

generado por S

El procedimiento para establecer si los vectores V1, V2, . . . , Vk generan el espacio vectorial V es

como sigue.

Paso 1. Seleccione un vector arbitrario v en V.

Paso 2. Determine si v es una combinacin lineal de los vectores dados. Si lo es, los vectores

dados generan a V; si no, los vectores dados no generan a V.

Ejemplo 1: Sea V el espacio vectorial R3 y sean

V1= (1, 2, 1), V2=(1,0,2) y V3=(1,1,9)

Los vectores V1, V2 y V3 generan a V?

Solucin:

Paso 1: sea v = (a, b, c) un vector arbitrario en R3 (es decir, donde a, b y c son nmeros reales

arbitrarios).

Paso 2: debemos examinar si v esa combinacin lineal de los vectores dados, es decir, si existen

constantes c1, c2 y c3 tales que c1v1 + c2v2 + c3v3 = v

Dado que existe una solucin para cualquier eleccin de a, b y c, se concluye que c1, c2 y c3 generan

a R3 .


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1. Demostrando que:

{ [

] [

] [

] }

Genera el subespacio de M22 formado por las matrices simtricas. Solucin

Paso 1. Una matriz simtrica arbitraria de 2 x 2, tiene la forma

[

]

Donde a, b y c son son nmeros reales cualesquiera.

Paso 2. Se debe encontrar constantes d1, d2 y d3 tales que

[

] [

] [

] [

]

Lo cual conduce a un sistema lineal cuya solucin es (verifique)

d1 = a, d2 = b y d3 = c.

Como hemos encontrado una solucin para toda eleccin de a, b y c, concluimos que S genera al

sub espacio dado

Los vectores v1, v2, . . . , vk en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen

constantes c1, c2, . . . , ck no todas iguales a cero, tales que c1v1 + c2v2 + + ckvk = 0. (1)

En caso contrario, se dice que v1, v2, . . . , vk, son linealmente independientes; esto es, v1, v2, .

. . , vk son linealmente independientes si siempre que c1v1 + c2v2 + + ckvk = 0, debemos tener,

necesariamente, que c1 = c2 = = ck = 0.

En otras palabras, v1, v2, . . . , vk, son linealmente independientes si la nica combinacin

lineal de v1, v2, . . . , vk que da como resultado el vector cero es aquella en la que todos los

coeficientes son cero. Si S = {v1, v2, . . . , vk}, se dice que el conjunto S es linealmente

dependiente o linealmente independiente segn si los vectores de S tienen la correspondiente

propiedad.

Observe que, cualesquiera sean los vectores v1, v2, . . . , vk, la ecuacin (1) siempre se cumple si

hacemos igual a cero cada uno de los escalares c1, c2, . . . , ck. El punto importante de la definicin

es si es posible satisfacer la ecuacin (1) con, por lo menos uno de los escalares, diferente de cero.

El procedimiento para determinar si los vectores v1, v2, . . . , vk son linealmente dependientes

o linealmente independientes es como sigue.

Paso 1. Plantee la ecuacin (1), la cual conduce a un sistema homogneo.

Paso 2. Si el sistema homogneo que se obtuvo en el paso 1 tiene slo la solucin trivial, entonces

los vectores dados son linealmente independientes; si tiene una solucin no trivial, entonces los

vectores son linealmente dependientes.


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Ejemplo 2:

Solucin:

Ejemplo 3:

Solucin:


6

Ejemplo 4:


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8


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BASES DE ESPACIO VECTORIALES

En esta seccin proseguiremos con el estudio de la estructura de un espacio vectorial V, para lo

cual determinaremos un conjunto mnimo de vectores de V que describa Completamente a V.

Definicin

Los vectores v1, v2, . . . , vk en un espacio vectorial V forman una base para V si (a) v1,v2, . . . , vk

generan a V y (b) v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes.

Observacin Si los vectores v1, v2, . . . , vk forman una base para un espacio vectorial V, ellos son distintos y no

nulos (vea el ejemplo 12 en las seccin 6.3); por esto los escribiremos como un conjunto {v1, v2, . . .

, vk}.

Ejemplo 1:

Los vectores e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) forman una base para R2, los vectores e1, e2 y e3 forman una base

para R3 y, en general, los vectores e1, e2, . . . ,en forman una base para Rn. Cada uno de estos

conjuntos de vectores se llama base natural, base estndar o base cannica para R2, R3 y Rn,

respectivamente.

Ejemplo 2:

Muestre que el conjunto S = {v1, v2, v3, v4}, donde v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1, 1, 2), v3 = (0, 2, 2, 1) y

v4 = (1, 0, 0, 1), es una base para R4.

Solucin Para mostrar que S es linealmente independiente, formamos la ecuacin

c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 = 0

y resolvemos para c1, c2, c3 y c4. Al sustituir los valores de v1, v2, v3 y v4, obtenemos el sistema lineal

(verifique)

c1 + c4 = 0

c2 + 2c3 = 0

c1 c2 + 2c3 = 0

2c2 + c3 + c4 = 0,

Que tiene como nica solucin c1 = c2 = c3 = c4 = 0 (verifique), lo cual muestra que S es linealmente

independiente. Observe que el coeficiente de la matriz del sistema lineal precedente consiste en

los vectores v1, v2, v3 y v4 escritos en forma de columna.

Para mostrar que S genera a R4, sea v = (a, b, c, d) un vector cualquiera de R4. Debemos encontrar

constantes k1, k2, k3 y k4 tales que


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k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4 = v.

Cuando se sustituyen v1, v2, v3 v4 y v, es siempre posible hallar una solucin (verifquelo) k1, k2, k3 y

k4 del sistema lineal resultante, para cualesquiera a, b, c, d; por lo tanto, S genera a R4. Se concluye

as que S es una base para R4.

Ejemplo 3

Demuestre que el conjunto S = {t2 + 1, t 1, 2t + 2} es una base para el espacio vectorial P2.

Solucin Debemos mostrar que S genera a V, y que es linealmente independiente. Para probar

que genera a V, sea el polinomio at2 + bt + c un vector arbitrario en V. Determinaremos

Constantes a1, a2 y a3, tales que

at2 + bt + c = a1(t2 + 1) + a2(t 1) + a3(2t + 2)

= a1t2 + (a2 + 2a3)t + (a1 a2 + 2a3).

Dado que los dos polinomios coinciden para todos los valores de t slo si los coeficientes de las

respectivas potencias respectivas de t son iguales, obtenemos el sistema lineal

a1 = a

a2 + 2a = b

a1 a2 + 2a3 = c.

Cuya solucin es

a1 = a, a2 = a + b c

2

, a3 = c + b a

4

Por lo tanto, S genera a V. Para ilustrar este resultado, considere el vector 2t2 + 6t + 13. Aqu, a =

2, b = 6 y c = 13. Al sustituir estos valores en las expresiones precedentes para a1, a2 y a3,

encontramos que

a1 = 2, a2 = 5/2, a3 = 17/4.

Por lo tanto,

2t2 + 6t + 13 = 2(t2 + 1) 5/2(t 1) + 17/4 (2t + 2).


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Para probar que S es linealmente independiente, formamos la combinacin lineal

a1(t2 + 1) + a2(t 1) + a3(2t + 2) = 0.

De ella se deduce que

a1t2 + (a2 + 2a3)t + (a1 a2 + 2a3) = 0.

Una vez ms, esta igualdad se satisface para todos los valores de t slo si

a1 = 0

a2 + 2a3 = 0

a1 a2 + 2a3 = 0.

La nica solucin para este sistema homogneo es a1 = a2 = a3 = 0, es decir, S es linealmente

independiente. En consecuencia, S es una base para P2.

El conjunto de vectores {t n, t n1, . . . , t, 1} forma una base para el espacio vectorial Pn,

denominada base cannica, base estndar o base natural para Pn. En el ejemplo 5 de la

seccin 6.3 se demostr que este conjunto es un generador de Pn. La demostracin de la

independencia lineal de tales vectores se deja como ejercicio (ejercicio T.15).

Teorema 1

Si S = {v1, v2, . . . , vn} es una base para un espacio vectorial V, entonces cada vector en V se

puede escribir de una y slo una forma como combinacin lineal de los vectores en S.

Teorema 2

Sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores no nulos en un espacio vectorial V y sea W = gen

S. Entonces, algn subconjunto de S es una base para W.


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Teorema 3

Si S = {v1, v2, . . . , vn} es una base para un espacio vectorial V y T = {w1, w2, . . . , wr}

es un conjunto linealmente independiente de vectores en V, entonces r n.


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COROLARIO

Si S = {v1, v2, . . . , vn} y T = {w1, w2, . . . , wm} son bases para un espacio vectorial, entonces n =

m.


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Teorema 4

Si S es un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensin

finita V, existe una base T para V, que contiene a S. El teorema 6.8 establece que un conjunto

linealmente independiente de vectores en un espacio vectorial V puede extenderse a una

base para V.


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Teorema 5

Sea V un espacio vectorial de dimensin n y sea S = {v1, v2, . . . , vn} un conjunto de n vectores en

V.

(a) Si S es linealmente independiente, entonces es una base para V.

(b) Si S genera a V, entonces es una base para V.


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CONCLUSIONES

Se concluye que el diseo de las actividades se basan en el contexto de las

representaciones geomtricas, que nos brindarn elementos para problematizar la

adquisicin del concepto de combinacin lineal en un primer momento y como una

consecuencia en la segunda etapa de las mismas, el de dependencia e independencia

lineal, reconociendo en ellos, una especial complejidad debido a su carcter abstracto y

as, al llevar a los estudiantes a escenarios geomtricos, podremos, a partir de las

exploraciones realizadas y la recopilacin de los indicios de comprensin o no de dichos

conceptos, para as estructurar preguntas ms precisas sobre la factibilidad de adquisicin

de los conceptos antes referidos mediante el uso de representaciones visuales como una

propuesta alternativa.

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vaco,

una operacin interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una

operacin externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro.

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