Circuito RC in regime transitorio

Information and Communication Technology – Modulo n. 6 Pag. 1

C. Cancelli – Circuito RC in regime transitorio Ed. 1.0 – Dicembre 2010

Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)



“Circuito RC in regime transitorio”

OOGGGGEETTTTOO TTaallee ddooccuummeennttoo èè iill rriissuullttaattoo ddeellll’’aatttt iivviittàà dd ii llaabboorraattoorriioo ddii EElleettttrroonniiccaa cchhee ppuuòò ccooiinnvvoollggeerree ggllii ssttuuddeennttii ddeell 55°° aannnnoo ddeellll’’IIssttiittuuttoo TTeeccnniiccoo IInndduussttrriiaallee nneellll’’aammbb iittoo ddeellllee aatttt iivviittàà llaabboorraattoorriiaallii dd ii EElleettttrroonniiccaa ppeerr vveerriiffiiccaarree iill rreeggiimmee ttrraannss iittoorriioo ddii uunn cciirrccuuiittoo RRCC mmeeddiiaannttee iill pprrooggrraammmmaa dd ii ssiimmuullaazziioonnee LLaabbVVIIEEWW.. LLee aatttt iivviittàà ddii ssvviilluuppppoo ppoossssoonnoo eesssseerree ssvvoollttee ccoonn ll’’aaiiuuttoo ddeell ddoocceennttee ee llee aatttt iivviittàà ddii vveerriiffiiccaa iinn mmooddoo aauuttoonnoommoo.. LLoo ssccooppoo ddii ttaallee ddooccuummeennttoo èè dduupplliiccee:: ddaa uunn llaattoo vveennggoonnoo rriicchhiiaammaattee llee nnoozziioonnii tteeoorriicchhee rreellaatt iivvee aall cciirrccuuiittoo RRCC iinn rreeggiimmee ttrraannssiittoorriioo,, ppeerr ccoonnsseennttiirree iinn ttaall mmooddoo ll’’aannaalliissii ee llaa vveerriiffiiccaa ddeellllee ccoonncclluussiioonnii ssppeerriimmeennttaallii,, ee ddaallll’’aallttrroo ddooccuummeennttaarree ii rriissuullttaatt ii ddeellllee ssiimmuullaazziioonnii ssuullllaa bbaassee ddeellllee ssppeecciiffiicchhee ddaattee..

IINNDDIICCEE

1. OObbiieettttiivvii PPaagg.. 33.. 2. DDeessttiinnaattaarrii PPaagg.. 33.. 3. RRiiffeerriimmeennttii PPaagg.. 33.. 4. LLaa tteeoorriiaa PPaagg.. 33.. 5. SSttrruummeennttaazziioonnee uuttiilliizzzzaattaa PPaagg.. 77.. 6. LLaabboorraattoorriioo PPaagg.. 77.. 7. VVeerriiffiiccaa PPaagg.. 99.. 8. CCoonncclluussiioonnii PPaagg.. 1111..



CIRCUITO RC IN REGIME TRANSITORIO

1. Obiettivi

Tale esercitazione si prefigge lo scopo di introdurre il programma LABVIEW per consentire agli studenti di iniziare a valutare le potenzialità di uno strumento alternativo ai mezzi di programmazione tradizionali per l’acquisizione di dati, elaborazione dei segnali e la gestione di strumentazione elettronica.

Gli obiettivi che si intendono raggiungere con tale esercitazione risultano i seguenti:

Svolgere le prove di simulazione sulla base della definizione di specifiche iniziali (vedasi “obiettivi” del paragrafo “Laboratorio”); Apprendere gli elementi di LabVIEW che consentono di realizzare le funzioni proposte;

Simulare le condizioni che consentono di verificare se le specifiche di ingresso sono rispettate compatibilmente alle nozioni teoriche acquisite.

2. Destinatari

Classe: Quinta

Indirizzo: Elettronica e Telecomunicazioni - ITIS

Materia : Elettronica

3. Riferimenti

Libro di testo: Elettronica Analogica - Volume 1 – G. Licata – Thecna

LabVIEW Vers.7 Express – Student Edition

Programmazione Modulare - Modulo 2 “Regime Transitorio” – Unità Didattica 2.2 “Transitorio nel circuito RC: analisi e simulazione”

4. La teoria

4.1 Fase di carica

Posizione Interruttore “1”

Il circuito riportato in figura consente di studiare la fase transitoria in un circuito composto da una resistenza in serie ad una capacità.



Considerata la legge che lega la corrente alla variazione di tensione in un condensatore:

(4.1.1)

Per la legge di Ohm risulta:

(4.1.2)

L’equazione differenziale del 1° ordine porta alla soluzione generale del tipo:

(4.1.3)

L’equazione caratteristica che deriva dalla 4.1.2 risulta:

(4.1.4)

Da cui:

(4.1.5)

C R

R E

+

−

+ Vcs

-

+ Vcc

-

Ic Is21

dtdVcc

CIc =

Edt

dVRCV CC

CC =+

tt

cc BeAeBvAvV 21

21

λλ +=+=

0*1 =+ λRC

CR/11 −=λ 02 =λ



sostituendo:

(4.1.6)

Le costanti A e B si trovano imponendo le condizioni iniziali:

per t=0 supponiamo che Vcc sia uguale a zero, ossia il condensatore ha carica iniziale nulla; risulta, A + B = 0

mentre per t > ∝ B = E. Sostituendo, si ricava che A = -E

La soluzione risulta:

(4.1.7)

ed il grafico che evidenzia il transitorio risulta:

Se poniamo t=RC, risulta che Vcc= 0,63E. Il prodotto RC prende il nome di Costante di Tempo e rappresenta il tempo in corrispondenza del quale la tensione Vcc è pari al 63% del valore finale E.

(4.1.8)

Dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo, il valore della tensione ai capi del condensatore è di circa il 99% del valore E, e quindi si può considerare concluso il transitorio coincidente con il periodo di carica.

RCT =

BAeV RCt

cc +=−

)1( RCt

CC eEV−

−∗=

Vcc

RC t

0,63E

E



4.2 Fase di scarica

Posizione Interruttore “2”

Se l’interruttore commuta in posizione 2 dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo, il condensatore si comporta come un generatore di tensione variabile dal valore massimo accumulato, E, fino a scaricarsi completamente, anche in questo caso dopo un tempo pari a 5T.

Partendo ancora dalla soluzione generale:

(4.2.1)

per t=0, ai capi del condensatore la tensione iniziale è Vs, quindi A + B = Vs.

mentre per t > ∝ B = 0. Sostituendo, si ricava che A =Vs

La soluzione è quindi:

(4.2.2)

ed il relativo grafico:

Esempio) Uno scambiatore di calore ha una resistenza termica RT pari a 0,02 K/W, e deve provvedere a rendere costante il flusso termico di calore tra 25 oC e 75 oC,

BAeV RCt

cc +=−

RCt

SCS eVV−

∗=

RC

Vcs

Vs

0,37 Vs

t



avendo la capacità di ricevere una quantità di calore pari a 10.000 J. Calcolare la costante di tempo τ ed il flusso termico di calore.

FQ = ? T/ RT = 50/0,02 = 2500 W

C T = ? Q/? T = 10.000/50 = 500 J/oC

T = C T * RT = 10 sec.

5 Strumentazione utilizzata

L’esercitazione è condotta nel laboratorio di informatica, con installato il pacchetto LabVIEW Vers.7 Express – Student Edition.

6 Laboratorio

6.1 Obiettivi

Simulare il comportamento di carica e di scarica del condensatore, al variare:

Ø del valore di capacità C (max 10 nF);

Ø del valore della resistenza R (max 100 Mohm);

Ø del gradino di tensione d’ingresso E durante la fase di carica;

Ø della tensione di carica iniziale, Vs, del condensatore durante la fase di scarica, rilevando la condizione di non accettabilità Vs>E.

Simulare la condizione di carica e di scarica:

Ø facendo uso di un unico indicatore grafico;

Ø facendo uso delle formule matematiche 4.1.7 e 4.2.2

6.2 Modalità operativa con LabVIEW

Dopo aver creato il file “circuito_rc” si dispone del front panel per attivare con le librerie disponibili:

Ø la funzione di controllo numerico (numeric controls) sulle variabili di ingresso (la resistenza, la capacità, l’ampiezza del gradino di tensione di ingresso);

Ø la funzione di indicatore numerico (numeric controls) per la visualizzazione della costante di tempo e per l’indicazione E>Vs;



Ø la funzione di visualizzazione del grafico “Vcc/Vcs=f(t,T,E/Vin)” tramite “X-Y Graph” (graph indicator);

Ø la funzione booleana on-off, tramite un interruttore (toggle switch), necessaria per la funzione di switch CARICA/SCARICA.

Tramite la finestra “block diagram”, si provvederà ad inserire nuove funzioni per le quali è necessaria una breve introduzione.

Si pensa ad una struttura iterativa (structure) , realizzata tramite la funzione di loop (for loop).

Poiché R può variare fino ad un valore max di 100 Mohm, e C fino a 10 nFarad, la costante di tempo può assumere un valore max pari ad 1 secondo. Seguono le seguenti considerazioni:

1. dopo un tempo pari a circa 5 sec, il transitorio si può considerare esaurito; si pensa di visualizzare sull’asse dei tempi un valore tmax prossimo quindi a tale valore. Se si pensa di discretizzare il ciclo for, per un numero max di 10 (per i da 0 a 9) volte il periodo T, si vedrà una spezzata visibile. Se N si pone uguale a 100, con l’indice i che moltiplica T, da 0 fino a 99, si vedrà una curva con un transitorio che prenderà il 5% della durata totale.

2. se si vuole evitare di notare una spezzata si pensi almeno a 50 iterazioni, ma il prodotto i*T=50 sec. vedrebbe il transitorio occupare il 10 % della curva visibile sullo schermo;

3. un compromesso è utilizzare un passo pari a 1/10 di T ed iterare 50 volte, in modo che il prodotto porti ad un tempo max di circa 5 volte la costante di tempo.

Tali condizioni si verificheranno nel paragrafo 7, dopo aver completato il “block diagram”.

La soluzione scelta è la seguente: il periodo si dividerà per 1000 in modo da ottenere il valore in sec., si dividerà per 10 per avere un passo di discretizzazione uguale a T/10 e si moltiplicherà per i, al fine di ottenere la variabile “tempo”, che varierà tra 0 e 49.

Ora facendo uso della funzione “Formula Node” in Structure , si attiveranno gli ingressi (Vs, E, T, t) e le uscite (Vcc, Vcs, t, All). Si scriveranno quindi le

5 *T = 50 * T/10

T/10

1 0 49



formule di carica e di scarica della tensione ai capi del condensatore in funzione dei parametri di ingresso, e con la condizione “if” si verificherà se la tensione Vs è maggiore di E, ponendo a zero la variabile booleana “All” per poter disattivare la visualizzazione dei grafici.

Per concludere si provvedere ad attivare la selezione tra Vcc e Vcs, sulla base dello stato dell’interrrutore. Agli ingressi X , Y ed enable dell’ XY Graph si perviene tramite dei convertitori dei dati in formato scalare.

9 Verifica

Esercizio n. 1 - Iterare 10 volte il loop, con t=i*T, ed osservarne il risultato.



Esercizio n. 2 2- Iterare 50 volte il loop, con t=i*T, ed osservarne il risultato.



Esercizio n. 3 2- Simulare la condizione di carica R = 50 Mohm, C = 6 nF e osservarne i risultati, con il gradino d’ingresso pari a 3 V. Verificare che:

Ø la scarica è possibile solo se la Vs è >= 3V;

Ø dopo un tempo pari a T, il valore della tensioneai capi di C è circa pari al 67% di 3 V.

10 Conclusioni

Si riportano i motivi che rendono valido l’uso di tale strumento nelle scuole secondarie superiori:

10.1 L’introduzione ad uno dei programmi universalmente riconosciuti come valido per la simulazione da sistemi semplici a sistemi molto complessi;

10.2 Aver creato la sensibilità alla programmazione senza l’uso di alcuna linea di codice;

10.3 L’interattività immediata con risultati grafici molto accattivanti;

10.4 Uso gratuito di una versione idonea agli studenti degli istituti tecnici e professionali.



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Qualsiasi osservazione che possa contribuire a rendere il documento più completo è ben accolta!

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