Regime permanente e transitorio -...

Controlli automatici Esempi di analisi e simulazione

© 2007 Politecnico di Torino 1

Regime permanente e transitorio

2

Analisi del comportamento in regime permanente e verifica in simulazioneAnalisi del comportamento nel dominio della frequenza e in transitorio

Esempi di analisi e simulazione




4

Esempio 1 (1/2)

Si consideri il seguente schema di controllo

con c2

s 1F(s) , K 0.2

s(s 2.5s 4)(s 0.2)−

= = −+ + +

–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r



5

Esempio 1 (1/2)


con

N.B.: L’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa è già stata verificata nella lezione dedicata ad alcuni “Casi di studio” nell’unità precedente

–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r

c2

s 1F(s) , K 0.2

s(s 2.5s 4)(s 0.2)−

= = −+ + +

6

Calcolare l’errore di inseguimento in regime permanente nei seguenti casi:

r(t) = t con Kr = 0.4 (quindi ydes(t) = 0.4t), in presenza dei disturbi du(t) = Du = 0.1 e dy(t) = Dy = 0.5 r(t) = ε(t) con Kr = 2 (quindi ydes(t) = 2), in presenza dei disturbi du(t) = Du = 0.1 e dy(t) = αdyt = 0.01t

Verificare la correttezza dei risultati ottenuti, simulando il comportamento del sistema nei casi in oggetto utilizzando Simulink

Esempio 1 (2/2)



7

Per calcolare l’errore in regime permanente, tenendo conto del riferimento applicato e dei disturbi presenti lungo l’anello, è opportuno determinare tipo e guadagno stazionario di ogni blocco

Calcolo dell’errore (1/7)

8

Per calcolare l’errore in regime permanente, tenendo conto del riferimento applicato e dei disturbi presenti lungo l’anello, è opportuno determinare tipo e guadagno stazionario di ogni blocco


–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r

Tipo 0 Tipo 1



9

Il guadagno stazionario di F(s) risulta pari a


{ }F s 0K lim s F(s) 1.25

→= ⋅ = −

10


In Matlab è possibile utilizzare il comando dcgain per calcolare il guadagno stazionario, una volta definita la funzione F(s)


{ }F s 0K lim s F(s) 1.25

→= ⋅ = −



11


In Matlab è possibile utilizzare il comando dcgain per calcolare il guadagno stazionario, una volta definita la funzione F(s)


{ }F s 0K lim s F(s) 1.25

→= ⋅ = −

Kf = dcgain(s*F) dcgain calcola il valore in s = 0 della funzione messa come argomento

12

L’errore di inseguimento in regime permanente è calcolabile come:


r, du, dy,e e e e∞ ∞ ∞ ∞= + +



13



r, du, dy,e e e e∞ ∞ ∞ ∞= + +

Errore intrinseco di inseguimento al riferimento

14



r, du, dy,e e e e∞ ∞ ∞ ∞= + +


Errore dovuto alla presenza del disturbo du



15



r, du, dy,e e e e∞ ∞ ∞ ∞= + +



Errore dovuto alla presenza del disturbo dy

16

Nel primo caso:Poiché il riferimento è di grado uno e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo uno, risulta un erroreintrinseco in regime permanente finito pari a


rr,

c F

Ke 1.6

K K∞ = =⋅



17

Nel primo caso:Poiché il riferimento è di grado uno e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo uno, risulta un erroreintrinseco in regime permanente finito pari a

Poiché du(t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo uno, l’errore è finito, pari a


rr,

c F

Ke 1.6

K K∞ = =⋅

udu,

c

De 0.5

K∞ = − =

18

Poiché dy(t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l’errore è nullo


dy,e 0∞ =



19


L’errore totale in regime permanente è pertanto pari a


dy,e 0∞ =

∞e = 2.1

20


L’errore totale in regime permanente è pertanto pari a Data l’entità dell’errore risultante, la soluzione di controllo costituita da C(s) = Kc = -0.2 risulta non idonea all’esecuzione di compiti aventi le caratteristiche del caso considerato


dy,e 0∞ =

∞e = 2.1



21

Nel secondo caso:Poiché il riferimento è di grado zero e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo uno, risulta un erroreintrinseco nullo in regime permanente


r,e 0∞ =

22

Nel secondo caso:Poiché il riferimento è di grado zero e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo uno, risulta un erroreintrinseco nullo in regime permanente

Poiché du(t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo uno, l’errore è finito, pari a


r,e 0∞ =

udu,

c

De 0.5

K∞ = − =N.B.: È uguale al caso precedente!



23

Poiché dy(t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l’errore è finito, pari a


dydy,

c F

e 0.04K K∞

α= = −

⋅

24

Poiché dy(t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo uno, l’errore è finito, pari a



dydy,

c F

e 0.04K K∞

α= = −

⋅

∞e = 0.46



25

Il file “U3L5_es1.m” realizza in Matlab i calcoli precedentemente illustrati ed apre i modelli Simulink per la simulazione del comportamento del sistema nei due casi analizzati:

“U3L5_model_11.mdl”“U3L5_model_12.mdl”

Utilizzo di Matlab

26

Simulazione con Simulink (1/4)

Modello per la simulazione del primo caso:

ydesdu dy

uscita

errore

U3L5_es1_1.mat

To File

Ramp(slope=0.4)

F

LTI System

Kc

Gain

0.5

Constant1

0.1

Constant



27


Andamento dell’errore nel primo caso:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5e(t)

tempo (s)

come calcolato primae = 2.1∞

28


Modello per la simulazione del secondo caso:

du dy

ydes

uscita

errore

U3L5_es1_2.mat

To File

Step(amplitude=2)

Ramp(slope=0.01)

F

LTI System

Kc

Gain

0.1

Constant



29


Andamento dell’errore nel secondo caso:


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5e(t)

tempo (s)

30

Esempio 2 (1/2)


con

–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r

2

c4 3 2

0.1s 1.1s 1F(s) , K 10

s 4s 8s+ +

= =+ +



31

Esempio 2 (1/2)


con2

c4 3 2

0.1s 1.1s 1F(s) , K 10

s 4s 8s+ +

= =+ +

–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r

Esercizio proposto: Verificare l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa mediante applicazione del criterio di Nyquist

32

Calcolare l’errore di inseguimento in regime permanente nei seguenti casi:

r(t) = t con Kr = 1, in presenza dei disturbi du(t) = Du = 0.1 e dy(t) = Dy = 0.5r(t) = t con Kr = 2, in presenza del solo disturbo dy(t) = αdyt = 0.01t (du(t) = 0)r(t) = t2/2 con Kr = 1, in presenza dei disturbi du(t) = Du = 0.1 e dy(t) = Dy = 0.2

Verificare la correttezza dei risultati ottenuti, simulando il comportamento del sistema nei casi in oggetto utilizzando Simulink

Esempio 2 (2/2)



33

Si rileva la seguente tipologia dei blocchi


–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r

Tipo 0 Tipo 2

34

Si rileva la seguente tipologia dei blocchi



–

e ydy

++

F(s)ydes

+Kc

du

++Kr

r

Tipo 0 Tipo 2

{ }2F s 0

K lim s F(s) 0.125→

= ⋅ =



35

Come nell’esempio precedente, l’errore di inseguimento in regime permanente ècalcolabile come:


r, du, dy,e e e e∞ ∞ ∞ ∞= + +



Errore dovuto alla presenza del disturbo dy

36

Nel primo caso:Poiché il riferimento è di grado uno e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo due, risulta un erroreintrinseco nullo in regime permanente


r,e 0∞ =



37

Nel primo caso:Poiché il riferimento è di grado uno e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo due, risulta un erroreintrinseco nullo in regime permanente

Poiché du(t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo due, l’errore è finito, pari a


r,e 0∞ =

udu,

c

De 0.01

K∞ = − = −

38

Poiché dy(t) è di grado zero e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l’errore è nullo


dy,e 0∞ =



39




dy,e 0∞ =

∞e = -0.01

40

Nel secondo caso:Poiché il riferimento è di grado uno e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo due, risulta un erroreintrinseco nullo in regime permanente


r,e 0∞ =



41


Poiché dy(t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l’errore è nullo


r,e 0∞ =

dy,e 0∞ = N.B.: du(t) = 0

42


Poiché dy(t) è di grado uno e la cascata di blocchi che lo precede è complessivamente di tipo due, l’errore è nullo

L’errore totale in regime permanente è pertanto nullo


r,e 0∞ =

dy,e 0∞ = N.B.: du(t) = 0



43

Nel terzo caso:Poiché il riferimento è di grado due e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo due, risulta un erroreintrinseco in regime permanente finito pari a


rr,

c F

Ke 0.8

K K∞ = =⋅

44

Nel terzo caso:Poiché il riferimento è di grado due e Ga(s) = Kc F(s) è di tipo due, risulta un erroreintrinseco in regime permanente finito pari a

Poiché du(t) è di grado zero, il blocco che lo precede è di tipo zero, mentre il blocco che lo segue è di tipo due, l’errore è finito, pari a


udu,

c

De 0.01

K∞ = − = −

rr,

c F

Ke 0.8

K K∞ = =⋅

N.B.: È uguale al primo caso!



45




dy,e 0∞ =

∞e = 0.79

46

Il file “U3L5_es2.m” realizza in Matlab i calcoli precedentemente illustrati ed apre i modelli Simulink per la simulazione del comportamento del sistema nei tre casi analizzati:

“U3L5_model_21.mdl”“U3L5_model_22.mdl”“U3L5_model_23.mdl”

Utilizzo di Matlab



47


Modello per la simulazione del primo caso:

ydesdu dy

uscita

errore

U3L5_es2_1.mat

To File

Ramp(slope=1)

F

LTI System

Kc

Gain

0.5

Constant1

0.1

Constant

48


Andamento dell’errore nel primo caso:

come calcolato primae = -0.01∞

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1e(t)

tempo (s)



49


Modello per la simulazione del secondo caso:

du dy

ydes

uscita

errore

U3L5_es2_2.mat

To File

Ramp(slope=2)

Ramp(slope=0.01)

F

LTI System

Kc

Gain

0

Constant

50


Andamento dell’errore nel secondo caso:

come calcolato primae = 0∞

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

1.5e(t)

tempo (s)



51


Modello per la simulazione del terzo caso:

ydesdu dy

uscita

errore

U3L5_es2_3.mat

To File

Ramp(slope=1)

F

LTI System

1s

Integrator

Kc

Gain

0.2

Constant1

0.1

Constant

52


Andamento dell’errore nel terzo caso:


0 5 10 15 20 25 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4e(t)

tempo (s)




54

Esempio 3 (1/2)

Il sistema di controllo in esame è rappresentato dal seguente schema a blocchi

dcost è un disturbo costante (BF) di ampiezza 0.5dAF è un disturbo in AF (ω≥200) di ampiezza 0.1

+

–

ydAF

++r

F(s)C(s)

dcost

++ u y’e



55

Esempio 3 (2/2)

(modello del sistema)

(fdt del compensatore)

La catena è di tipo 1, per cui L’errore stazionario di inseguimento al gradino, eg, ènulloL’errore stazionario di inseguimento alla rampa, er, èfinito e vale 1/KGa = 1/(C(0)⋅KF) = 1/(1⋅4) = 0.25

)100s10s()1s(s)20s(20)s(F 2 +++

+=

6s6s4)s(C

++

=

56

Analisi degli errori (1/4)

Per ridurre er sarebbe necessario aumentare il guadagno stazionario C(0) del compensatore (ma, a pari specifiche, sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica)Per azzerare er sarebbe necessario introdurre un integratore nel compensatore (ma, a pari specifiche, anche in questo caso sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica)

L’errore stazionario di inseguimento alla parabola cresce indefinitamente (→∞)



57

L’errore stazionario edcost, indotto dal disturbo dcost, è dato dalla seguente espressione

NB: edcost dipende solo da C(0)Per ridurre |edcost| sarebbe necessario aumentare il guadagno stazionario del compensatore (ma, a pari specifiche, sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica)


5.0)0(C

5.0s5.0

)s(F)s(C1)s(Fslime

0sdcost −=−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+−

⋅=→

58


Per azzerare |edcost| sarebbe necessario introdurre un integratore nel compensatore (ma, a pari specifiche, anche in questo caso sarebbe certamente da riprogettare la restante parte dinamica)

Ipotesi di lavoro: modificare solo il guadagno stazionario del compensatore originario, ovvero inserirvi un integratore, senza riprogettare la parte dinamica →

C1=CC2=2CC3=3CC4=C/s



59


È facile verificare che il sistema in catena chiusa diventa instabile nei seguenti casi

Fattore moltiplicativo ≥ 3.37 un (10.6 dB)Aggiunta del fattore 1/s (integratore)

60

Errore di inseguimento alla rampa

0 5 10 15 20 25 30-0.05

00.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Errore di inseguimento per r(t)=rampa 1

Tempo (sec)

Am

piez

za

C1

C2

C3

0.250

0.125

0.083



61

Errore indotto dal disturbo di BF

0 5 10 15 20 25 30-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Errore di inseguimento per d cos t (t)=0.5

Tempo (sec)

Am

piez

za

C1

C2

C3

-0.5

-0.25

-0.167

62

Risposta al gradino con C1

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2y(t) per r(t)=gradino 1

Tempo (sec)

Am

piez

za

C1



63


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Tempo (sec)

Am

piez

za

C2

64


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Tempo (sec)

Am

piez

za

C3



65

Risposta al gradino

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Tempo (sec)

Am

piez

za

C1

C2

C3

66

Margini di stabilità (1/2)

-100

-50

0

50

100

Mod

ulo

(dB

)

10-2 10-1 100 101 102-405-360-315-270-225-180-135

-90

Fase

(deg

)

Margini di stabilità

ω (rad/sec)

C1

C2

C3C4

rad/s 73c ÷≅ω



67


-315 -270 -225 -180 -135 -90-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

400 dB

6 dB

0.25 dB0.5 dB

1 dB

3 dB

DdNic di G ai

Fase catena aperta (deg)

Mod

ulo

cate

na a

pert

a (d

B)

C1

C2

C3

C4

68

Effetti dell’aumento del guadagno d’anello

Dai DdB e dai DdNic è facile osservare che all’aumentare del guadagno del compensatore (e quindi d’anello) si riducono sia il margine di fase che il margine di guadagno



69



Nel dominio del tempo: minore smorzamento nella dinamica della catena chiusa

70



Nel dominio della frequenza: maggiore picco di risonanza della catena chiusa



71



Nel dominio del tempo: minore smorzamento nella dinamica della catena chiusaNel dominio della frequenza: maggiore picco di risonanza della catena chiusa

72

Risposta in frequenza della fdt W

-150

-100

-50

0

50

Mod

ulo

(dB

)

10-1 100 101 102-360-270-180

-900

90180

Fase

(deg

)

ω (rad/sec)

C1

C4

C2

C3



73

Esempio 3 con nuovo progetto (1/2)

È stato progettato un nuovo compensatore (C5) con l’obiettivo di azzerare l’errore di inseguimento alla rampa e l’errore indotto dal disturbo dcont

Come già detto tale compensatore deve avere un integratoreLa restante parte dinamica del compensatore ètale da rispettare le altre specifiche giàsoddisfatte dal compensatore C1 (stabilità della catena chiusa, tempo di salita, ecc.)

74

Esempio 3 con nuovo progetto (2/2)

La fdt del nuovo compensatore è la seguente:

Nelle diapositive successive sono messe a confronto le risposte in catena chiusa con i compensatori C1 e C5

2

2

5 )6.13s(s)68.0s(3.114)s(C

++

=



75

Errore di inseguimento alla rampa

0 5 10 15 20 25 30-0.05

00.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Errore di inseguimento per r(t)=rampa 1

Tempo (sec)

Am

piez

za

C1

C5

76

Errore indotto dal disturbo di BF

0 5 10 15 20 25 30-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1Errore di inseguimento per d cont(t)=0.5

Tempo (sec)

Am

piez

za

C1

C5



77

Risposta al gradino di y in catena chiusa

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4y(t) per r(t)=gradino 1

Tempo (sec)

Am

piez

za

C1

C5

78

Risposta al gradino di u in catena chiusa

C1

C5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4u(t) per r(t)=gradino 1

Tempo (sec)

Am

piez

za



79


10-1 100 101 102 103-360

-270

-180

-90

Fase

(deg

)

-150

-100

-50

0

50

100

Mod

ulo

(dB

)

ω (rad/sec)

C1C5

80


-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0

-30

-20

-10

0

10

20

30

-20 dB

3 dB6 dB

0.25 dB

-12 dB

1 dB

0.5 dB

-6 dB

-1 dB

-3 dB

DdNic di G a1 e di G a5

Fase catena aperta (deg)

Mod

ulo

cate

na a

pert

a (d

B)

C1C5



81

DdB di W1 e di W5

-150

-100

-50

0

Mod

ulo

(dB

)

10-1 100 101 102 103-360

-270

-180

-90

0

Fase

(deg

)

ω (rad/sec)

10-1

101-4

0

2

C1C5

82

Effetto del disturbo di AF su y (1/3)

Analisi degli effetti di dAF sull’uscita y

⎩⎨⎧

=⇒∞→ω≅⇒=ω

+==

1W1W200

CF11

dyW

AF,y

AF,y

AFAF,y



83


10-1 100 101 102 103-40

-30

-20

-10

0

10

20

30M

odul

o (d

B)

ω (rad/sec)

1 un

C5

C1

C2

C3

84


0 2 4 6

0

0.5

1

1.5

2

t

y

Con compensatore C1

0 2 4 6

0

0.5

1

1.5

2

t

y

Con compensatore C2

0 2 4 6

0

0.5

1

1.5

2

t

y

Con compensatore C3

0 2 4 6

0

0.5

1

1.5

2

t

y

Con compensatore C5

)1.0(1 ±⋅=



85

Effetto del disturbo di AF su u (1/3)

Analisi degli effetti di dAF sul controllo u

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∞=⇒∞→ω

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≅⇒=ω

+−

==

5

3

2

1

AF,u

5

3

2

1

AF,u

AFAF,u

C con 0C con 12C con 8C con 4

)(CW

C con 57.0C con 12C con 8C con 4

W200

CF1C

duW

86


10-1 100 101 102 103-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Mod

ulo

(dB

)

ω (rad/sec)

12 un8 un

4 un

0.57 un

C5

C1

C2

C3



87


0 2 4 6-10

-5

0

5

10

15

t

u

Con compensatore C1

0 2 4 6-10

-5

0

5

10

15

t

u

Con compensatore C2

0 2 4 6-10

-5

0

5

10

15

t

u

Con compensatore C3

0 2 4 6-10

-5

0

5

10

15

t

u

Con compensatore C5

)1.0(4 ±⋅= )1.0(57.0 ±⋅=

)1.0(8 ±⋅= )1.0(12 ±⋅=

88

Strumenti di analisi (1/2)

I grafici relativi all’esempio trattato sono stati ottenuti con l’ausilio dello script Matlab“Sim_dist_AF.m” che a sua volta apre il modello Simulink “Dist_AF.mdl”



89

Strumenti di analisi (2/2)

u ys yer

y

u

1

U_AF1

Y_AF1F

Processo

C1

Controllore

Clock0.1*sin(200t)

Modello Simulink Dist_AF.mdl

Regime permanente e transitorio -...

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