Chapter # 2 Kinematics of Particles

- 1 - Diponegoro UniversityMechanical Engineering Dept.

DYNAMICSDYNAMICSDYNAMICSDYNAMICS

Mechanical Engineering DepartmentMechanical Engineering DepartmentDiponegoro UniversityDiponegoro University

Dr. Achmad WidodoDr. Achmad Widodo / Ir. Sugiyanto / Ir. Sugiyanto DEADEA

KINEMATICS OF PARTICLESKINEMATICS OF PARTICLES


INTRODUCTION INTRODUCTION

Kinematika merupakan cabang dari dinamika yang menggambarkan gerakan benda tanpa mengacu kepada gaya-gaya, baik yang mengakibatkan gerakan atau yang ditimbulkan sebagai hasil dari gerakan itu

Dalam pembahasan pada bab ini, benda dianggap sebagai partikel

Gerakan partikel dapat dinyatakan dengan menggunakan koordinat yang diukur dari sumbu acuan yang tetap (analisis gerak mutlak) atau dengan menggunakan koordinat yang diukur dari sumbu acuan yang bergerak (analisis gerak relative)


GERAK LURUS (PROBLEM SATU DIMENSI)

Yang dimaksud dengan gerak lurus adalah suatu gerak yang lintasannya membentuk suatu garis lurus

Kedudukan P setiap saat t dapat ditentukan oleh jaraknya s yang diukur dari titik acuan O yang tetap pada garis lurus tadi. Pada waktu t + ∆t partikel telah bergeser ke P’ dan koordinatnya menjadi s + ∆s.

Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan dalam koordinat kedudukan dalam selang waktu tertentu.

Kecepatan rata-rata dalam selang waktu ∆t adalah perpindahan dibagi selang waktu tersebut atau t

svav

Kecepatan sesaat adalah kecepatan dimana ∆t mendekati nol dalam limitnya, yaitu t

slimv

0t

atau

s

dtds

v (2.1)

Jadi, kecepatan adalah perubahan koordinat kedudukan s terhadap waktu. Harganya positif atau negative tergantung dari perpindahannya positif atau negative



Percepatan adalah perubah kecepatan

Percepatan rata-rata dalam selang waktu ∆t adalah kecepatan dibagi dengan selang waktu atau t

vaav

Percepatan sesaat adalah percepatan dimana ∆t mendekati nol dalam limitnya, yaitu

tv

lima0t

atau

s

dt

sddtdv

a 2

2

(2.2)

Percepatan positif atau negative tergantung dari apakah kecepatan bertambah atau berkurang. Bila kecepatan berkurang partikel mengalami perlambatan

Yang harus selalu diingat bahwa kecepatan dan percepatan adalah vector. Dengan demikian memiliki besar dan arah

Dari persamaan (2.1) dan (2.2) kita dapatkan

ds adv v ds ssd s

atau (2.3)

Persamaan (2.1), (2.2) dan (2.3) adalah persamaan diferensial gerak lurus partikel



Hubungan perpindahan s, kecepatan v dan percepatan a

Gambar a menunjukkan hubungan s dan t untuk suatu gerak lurus. Dengan menarik garis singgung pada kurva pada waktu t, diperoleh sudut arah (slope), yang merupakan kecepatan

dt

dsv

Gambar b menunjukkan hubungan v dan t, slope dari kurva v-t pada suatu waktu memberikan percepatan pada waktu itu

dtdv

Luasan di bawah kurva v-t dalam waktu dt adalah v dt, yang menunjukkan perpindahan tempat ds. Dengan demikian perpindahan neto partikel dalam selang waktu dari t1 ke t2

merupakan luasan di bawah kurva yang bersesuaian, yaitu

2

1

2

1

t

t

s

sdt vds

Dengan cara yang sama untuk gambar c kita dapatkan

2

1

2

1

t

t

v

vdt adv



Gambar a disamping menunjukkan hubungan a dan s. Luasan di bawah kurva selama perpindahan tempat ds adalah a ds. Jadi luasan neto di bawah kurva antara koordinat tempat s1 dan s2 adalah

2

1

2

1

s

s

v

vds adv v

Gambar b menunjukkan kecepatan sebagai fungsi koordinat tempat s. Sudut arah kurva pada titik A adalah

Selanjutnya dengan menarik garis normal AB dan garis AC sejajar sumbu v dari titik itu, kita dapatkan sebuah segitiga sebangun dengan segitiga yang dibentuk oleh sudut arah. Dari kedua segitiga sebangun ini kita dapatkan hubungan

dsdv

vCB

dvvds CB aCB

dsdv



s

dtds

v

sdt

sddtdv

a 2

2

Berdasarkan definisi dan diperoleh :

a. PERCEPATAN KONSTAN


2

1

2

1

t

t

v

vdtadv

2

1

2

1

s

s

v

vdsadvv dan

Untuk kondisi yang lebih familier kita ganti t1 = 0 , t2 = t , v1 = v0 ,

v2 = v , s1 = s0 ,dan s2 = s , sehingga kita peroleh

020

2

0

ssa2vv

atvv

Selanjutnya dari persamaan (2.1) dengan mengganti harga v, kita dapatkan

t

t

t

t

s

s 000

dtatvdtvds 221

o0 attvss



b. PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU


2

1

2

1

t

t

v

vdttfdv

t

00 dttfvv

2

1

2

1

t

t

s

sdtvds

t

00 dtvss

c. PERCEPATAN NOL

Dari persamaan (2.2) kita dapatkan bahwa kecepatan adalah konstan, selanjutnya dari persamaan (2.1) kita peroleh

tvss 00



d. Percepatan sebagai fungsi kecepatan a = f(v)

Dari persamaan (2.2) kita dapatkan dt

dva vf

dvadv

dt v

v

t

0 0 vfdv

dtt

dsvfdvv s

s

v

v 00

dsvf

dvv

v

v0

0 vfdvv

ss

e. Percepatan sebagai fungsi perpindahan a = f(s)

dssfdvv s

s

v

v 00

dssfdvv s

s

20

2

0

dssf2vv

Dengan kata lain kita dapatkan sgv , selanjutnya kita dapatkan

dtds

v

t

0

s

sdt

sgds

o s

so sgds

t

Dari persamaan (2.3) kita dapatkan

Dari persamaan (2.3) kita dapatkan


CONTOH SOAL GERAK LURUS

Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)

Gerak partikel sepanjang garis lurus ditentukan oleh persamaan 32 t152t23s

dimana s adalah koordinat tempat dalam meter, dan t waktu dalam sekon.

Gambarkan kecepatan v partikel terhadap waktu t, untuk gerakan 10 sekon pertama dan hitung percepatan a untuk t = 0 , 5 dan 10 sekon

Penyelesaian

32 t152t23s

a. Diketahui (data yang diketahui)

Perpindahan partikel dinyatakan dengan persamaan

b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) 1). Grafik Kecepatan terhadap waktu selama 10 detik pertama 2). Percepatan partikel pada t = 0, 5 dan 10 sekon

c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak diperlukan karena sudah merupakan problem matematik

d. Perhitungan-perhitungan

32 t152t23s 2

524 tt

dt

dsv t

dt

dva 5

44



t v a t v a t v a

0.00 0.00 4.00

0.25 0.98 3.80 2.75 7.98 1.80 5.25 9.98 -0.20

0.50 1.90 3.60 3.00 8.40 1.60 5.50 9.90 -0.40

0.75 2.78 3.40 3.25 8.78 1.40 5.75 9.78 -0.60

1.00 3.60 3.20 3.50 9.10 1.20 6.00 9.60 -0.80

1.25 4.38 3.00 3.75 9.38 1.00 6.25 9.38 -1.00

1.50 5.10 2.80 4.00 9.60 0.80 6.50 9.10 -1.20

1.75 5.78 2.60 4.25 9.78 0.60 6.75 8.78 -1.40

2.00 6.40 2.40 4.50 9.90 0.40 7.00 8.40 -1.60

2.25 6.98 2.20 4.75 9.98 0.20 7.25 7.98 -1.80

2.50 7.50 2.00 5.00 10.00 0.00 7.50 7.50 -2.00

Hubungan v , t dan a adalah



t v a t v a

7.75 6.98 -2.20 9.00 3.60 -3.20

8.00 6.40 -2.40 9.25 2.78 -3.40

8.25 5.78 -2.60 9.50 1.90 -3.60

8.50 5.10 -2.80 9.75 0.97 -3.80

8.75 4.38 -3.00 10.00 0.00 -4.00

e. Jawaban 1). Grafik kecepatan versus waktu : dapat dibuat berdasarkan hasil perhitungan di atas

2). Percepatan pada t = 0 sekon adalah 4 m/s2 Percepatan pada t = 5 sekon adalah 0 m/s2 Percepatan pada t = 10 sekon adalah - 4 m/s2




Kedudukan suatu partikel ditentukan oleh 5t18t2t4s 23 dengan s dalam meter, dan t dalam sekon. Tentukan waktu t dan percepatan a , bila v = 0. Hanya untuk harga t yang positif saja

Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui) 5t18t2t4s 23

b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) Tentukan waktu t dan percepatan a, bila v = 0 (untuk harga t yang positif saja)



5t18t3t4s 23 18t6t12v 2 6t24a

Untuk v = 0 kita dapatan 018t4t12 2

24306

2418124366

t 2,1



didapat t1 = 1 detik dan t2 = - 1,5 detik 3061246t24a m/s2

e. Jawaban

Percepatan a = 30 m/s2



Pada tahap akhir pendaratan di bulan “lunar module” turun dengan “retro-thrust” dari mesin pendaratannya sampai sejarak h = 6 m dari permukaan bulan dan mempunyai kecepatan ke bawah 3 m/s. Bila mesin pendarat tiba-tiba dimatikan pada kedudukan tersebut, hitung kecepatan tumbukan pada roda pendarat dengan bulan. Gravitasi bulan adalah 1/6 gravitasi bumi.


Penyelesaian


b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan)


Pada h = 6 m, v = 3 m/s Gravitasi = gravitasi bumi61

Kecepatan tumbukan pada roda pendarat dengan bulan




Gravitasi = gravitasi bumi61

Bilamana kita ambil percepatan gravitasi di bumi g = 9,81 m/s2 , kita

dapatkan m/s2635,181,9g 61

bulan Dengan menggunakan persamaan h635,1vv 2

1222

1 Kita dapatkan

e. Jawaban

62,2836635,12vh635,12v 221

22

v = 5,35 m/s

Kecepatan tumbukan pada roda pendarat dengan bulan adalah 5,35 m/s

Mohon contoh-contoh soal dibuku Mariam di baca

Mohon soal-soal dibuku Mariam di kerjakan jangan di baca


PESAN-PESAN

DINAMIKA

POKOK BAHASAN

hanya didasarkan pada beberapa konsep dan prinsip dasar dengan mengembangkan pada beberapa variasi keadaan.

Sangat diperlukan pengalaman dalam memecahkan persoalan dinamika dari keadaan yang sederhana meningkat ke variasi

keadaan yang semakin bertambah

Dengan demikian tidak cukup kita hanya membaca pemecahan persoalan yang telah dilakukan


PLANE CURVILINEAR MOTION (2 DIMENSI)

Dalam menjelaskan gerakan pada bidang kurvilinier ini kita gunakan matematika vector. Hal ini bertujuan untuk lebih mudah memahami tentang suatu perubahan posisi yang menyangkut masalah besar dan arah. Untuk hal ini diperlukan vector tempat yaitu suatu vector yang menunjukkan posisi partikel setiap saat

Gambar disamping menunjukkan sebuah partikel bergerak sepanjang kurva bidang. Pada waktu t , partikel berada di A, yang kedudukannya ditentukan oleh vector tempat r diukur dari O (titik asal yang tetap dari suatu koordinat). Pada saat t + ∆t partikel berada di A’ , kedudukannya diten-tukan oleh vector tempat r + ∆r. Jika kita perhatikan, vector r + ∆r merupakan penjumlahan dari vector r dan vector ∆r

Perpindahan partikel dalam waktu ∆t adalah vector ∆r yang merupakan perubah-an vector tempat. Sedangkan jarak sebenarnya yang ditempuh partikel ketika berpindah dari A ke A’ adalah panjang scalar ∆s yang diukur sepanjang lintasan



vector dengan arah searah ∆r dan besarnya adalah besaran ∆r dibagi ∆t t

rvav

Vektor kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai yang merupakan

Vektor kecepatan sesaat didefinisikan sebagai harga limit dari kecepatan rata-rata ketika selang waktu mendekati nol, jadi tt

rv

0lim

Jika kita perhatikan, arah dari ∆r mendekati garis singgung lintasan ketika ∆t mendekati nol. Dengan demikian kecepatan v selalu merupakan vector yang menyinggung lintasan tersebut. Sesuai dengan definisi derivative, kita dapatkan vector kecepatan (velocity) adalah

r

rv

dt

d(2.4)

Besar vector kecepatan (speed) didefinisikan

sdt

ds

dt

dv r

r v

Vektor kecepatan partikel di A adalah v dan vector kecepatan partikel di A’ adalah v’, terdapat perubahan vector kecepatan. Vektor kecepatan di A ditambah vector perubahannya harus sama dengan vector kecepatan di A’, sehingga dapat kita tuliskan persamaan vector kecepatannya adalah :

vvv'



Vektor percepatan rata-rata dari titik A ke A’ didefinisikan t

vaav

Vektor percepatan rata-rata ini memiliki arah sama dengan arah ∆v, sedangkan besarnya adalah besar ∆v dibagi dengan ∆t

Vektor percepatan sesaat didefinisikan sebagai harga limit dari percepatan rata-rata ketika selang waktu mendekati nol, jadi

v

vva

dt

d

tlimt

0

(2.5)

Perlu dipahami bahwa percepatan mengakibatkan perubahan arah dan besar kecepatan. Pada umumnya arak vector percepatan tidak menyinggung lintasan maupun tegaklurus (normal) terhadap lintasan


Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)

Sistem koordinat tegak lurus ini sangat berguna untuk menggambarkan gerakan kurvilinier menjadi dua buah gerakan lurus ke arah sumbu x dan y

Gambar disamping menunjukkan vector tempat r, kece-patan v dan percepatan a diuraikan ke arah sumbu x dan y. Berdasarkan matematika vector kita dapatkan

jirva

jirv

jir

yx

yx

yx

i dan j adalah vector satuan kearah sumbu x dan y. Karena arahnya selalu konstan maka tidak terpengaruh oleh waktu, dengan demikian tidak memiliki derivative terhadap waktu

(2.6)

x dan y adalah perpindahan kearah sumbu x dan y, merupakan fungsi waktu, sehingga memiliki derivative terhadap waktu


Komponen v dan a adalah

yv

xv

y

x

x

y

yx

v

v

vvv

tan

222

yva

xva

yy

xx 222yx aaa

Studi kasus : Gerakan sebuah proyektil

gaa yx 0

gt)v(v

)v(v

yy

xx

0

0

t)v(xx x 00

)yy(g)v(v yy 020

22

200 2

1gtt)v(yy y

Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)


CONTOH SOAL CONTOH SOAL Rectangular Coordinates (x-y)Rectangular Coordinates (x-y)


Suatu partikel yang bergerak dengan gerak kurvilinear memiliki koordinat (dalam mili-

meter) yang berubah terhadap waktu t (dalam sekon) menurut persamaan t4t3x 2 dan 3

312 tt4y

yang dibentuk vektor dengan sumbu x bila t = 2 s

Tentukan besarnya kecepatan v dan percepatan a dan sudut

Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui)


c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan)


Partikel yang bergerak menurut persamaan t4t3x 2 dan 3

312 tt4y

(x dan y dalam milimeter, t dalam sekon)

Besarnya kecepatan v dan percepatan a dan sudut yang dibentuk vektor dengan sumbu x bila t = 2 s ?

Tidak memerlukan gambar

t4t3x 2 4t6vx 6ax



3312 tt4y 2

y tt8v t28ay

Untuk t = 2 s kita dapatkan

mm/s

mm/s

12v

8v

y

x

01

x

y1x

22

31,568

12tan

v

vtan

42,14128v

mm/s

2

2

mm/s

mm/s

4a

6a

y

x

01

x

y1x

22

69,3364

tana

atan

21,746a

2mm/s

e. Jawaban

mm/s 42,14v 0x 31,56dengan

2mm/s 21,7a dengan 0x 69,33



j i r122

3

3

24

23 ttt

dan percepatan a bila t = 3 s. Apa yang dijelaskan oleh hasil ini tentang lengkung lintasan pada saat itu?





Vektor tempat dinyatakan dengan j i r122

3

3

24

23 ttt

Kecepatan v dan percepatan a bila t = 3 s


j i r

v3

323

2 ttt

dt

d

j i r

122

3

3

24

23 ttt

j i

va

234 tt

dt

d

Vektor tempat dari suatu titik yang bergerak dalam bidang x-y dinyatakan dengan

dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan v

Penyelesaian



m/s ji j i j i v

999

3

33332

32 2

m/s ji j i j i a 99933342




2

4120 tx

3

6115 ty

di mana x dan y dalam milimeter dan t dalam sekon. Hitunglah besarnya kecepatan v dan percepatan a pen untuk t = 2 s. Gambarkan arah lintasan dan tunjukkan kelengkungannya pada saat itu

Gerak x dan y dari batang pandu A dan B dengan celah siku-siku mengendalikan gerak kurvilinear dari pen penghubung P yang meluncur pada kedua celah. Untuk selang waktu yang pendek,

dan gerakan ditentukan oleh

Penyelesaian



2

4120 tx dan

3

6115 ty

Besarnya kecepatan v dan percepatan a pen untuk t = 2 s





d. Perhitungan-perhitungan 2

4120 tx tvx 2

1 6xa

3

6115 ty

2

21 tvy tay


m/s

m/s

2

1

y

x

v

vm/s 24221

22,v

2

2

m/s

m/s

2

21

y

x

a

a 2m/s 062250

22,,a

e. Jawaban

Kecepatan = 2,24 m/sPercepatan = 2,06 m/s2




Bila sekrup pengatur pada soal (3) berputar secara periodik dan menerus-kan gerak ke 22430 tsinx

dan 2tcos3240y di mana x dan y dalam milimeter dan t dalam sekon, Tentukanlah besarnya kecepatan v dan percepatan a dari pen P untuk t = 2,5 s. Gambarkan arah lintasan dan tunjukkan kelengkungannya pada saat itu

masing-masing batang pandu bercelah dengan persamaan


2tsin2430x dan 2tcos3240y


c. Diagram Benda Bebas (gambar-gambar yg diperlukan) Tidak memerlukan gambar

Besarnya kecepatan v dan percepatan a dari pen P untuk t = 2,5 s




22430 tsinx

26

2122

tsina

tcosv

x

x

23240 tcosy

28

216

2tcosa

tsinv

y

y


mm/s

mm/s

535

726

,v

,v

y

x

mm/s 4244,v

2

2

mm/s

mm/s

955

841

,a

,a

y

x

2mm/s 869,a

Kecepatan v = 44,42 mm/sPercepatan a = 69,8 mm/s2

e. Jawaban


Normal and Tangential CoordinatesNormal and Tangential Coordinates (n-t)

Bila kita tinjau sebuah kurva lengkung seperti yang ditunjukkan pada gambar , di setiap titik dari kurva dapat dibuat sebuah garis yang menghubungkan titik dimaksud dengan pusat kelengkungan kurva (disebut garis normal) dan sebuah garis singgung (disebut garis tangensial) pada titik tersebut. Kedua garis ini saling tegak lurus dan dipergunakan sebagai system koordinat yang sangat alamiah guna memberikan gambaran gerakan kurvilinier. Pada system koordinat normal-tangensial ditetapkan bahwa arah positif n adalah menuju pusat kelengkungan lintasan, sedangkan arah positif t adalah kearah gerakan partikel


Perhatikan gambar disamping memperlihatkan sebuah partikel bergerak pada lintasan lengkung yang posisi partikel setiap saatnya ditentukan dengan koordinat normal-tangensial. Vektor satuan kearah sumbu n adalah en dan vector satuan kearah sumbu tangensial adalah et . Perlu dipahami bahwa vector satuan ini setiap saat berubah arah sesuai dengan kondisi lintasan. Sekarang kita tinjau partikel yang bergerak dari titik A ke A’ dalam waktu dt, kita dapatkan

dds Dimana ρ adalah jejari kelengkungan lintasan pada kondisi

ini (kita tidak meninjau perubahan diferensial ρ antar titik A dan A’ karena akan muncul suku order tinggi yang akan lenyap bila diambil limitnya).

dβ adalah perubahan sudut yang terjadi dalam radian



Jadi besarnya kecepatan adalah

dt

d

dt

d

dt

dsv

Vektor kecepatan adalah tt e e v

v (2.7)

Vektor percepatan adalah

ttt e e

e va

vv

dt

vd

dt

d(2.8)

Dari persamaan (2.8) terlihat bahwa vector satuan et memiliki derivative karena arahnya berubah.

teUntuk mendapatkan perhatikan gambar 2.10a yang

menunjukkan perubahan et selama penambahan diferensial gerak ketika partikel berpindah dari A ke A’. Sehubungan dengan hal ini vector et berubah menjadi et’ , dan selisih vector det ditunjukkan pada gambar 2.10b



Substitusikan persamaan (2.9) ke persamaan (2.8) dan juga memperhatikan

v , kita dapatkan

tntn e e e ea tn aav 2

(2.10)

Dimana

vv

an

22 svat

22tn aaa

Vector det dalam limit besarnya sama dengan panjang busur yang diperoleh dengan memutar vector satuan et sebesar sudut dβ dinyatakan dalam radian. Arah det sama dengan en. Jadi, kita dapatkan det = en dβ . Selanjutnya kita bagi dengan dt, kita dapatkan

nt e

e

dt

d

dt

d atau

nt e e

(2.9)



Fig. 2/11 shows schematic representations of the variation in the acceleration vector for particle moving from A to B with (a) increasing and (b) decreasing speed

In inflection point, normal acceleration = 0 due to = ~

Circular motion is a case of plane curvilinear motion, where is constant

We can replace to as presented in Fig. 2/12 that the angle of is measured from any convenient radial reference to OP, so that

ra

vrr

va

rv

vt

n

2



CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT NORMAL DAN TANGENSIAL (n-t)

Sebuah partikel bergerak pada lintasan lingkaran (circular path) dengan jejari 0,3 m. Hitunglah besarnya a dari percepatan partikel itu (a) bila kecepatannya adalah konstan 0,6 m/s dan (b) bila kepesatannya 0,6 m/s tetapi dengan laju pertambahan sebesar 0,9 m/s setiap detik (sekon).


Penyelesaian


Lintasan lingkaran dengan jejari r = 0,3 m.





(1). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s konstan.(2). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s dengan laju pertambahan sebesar 0,9 m/s2

(1). Pada lintasan lingkaran bila kecepatan partikel konstan, maka berlaku :

rv

aa2

n m/s 2,13,0

6,0a

2



e. Jawaban

(2). Karena kecepatan tidak konstan, maka laju pertambahan sebesar 0,9 m/s2 adalah percepatan ke arah tangensial ( at ). Dengan demikian kita dapatkan :

2m/s 519021

2222,,,aaa tn

(1). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s konstan adalah 1,2 m/s2.

(2). Percepatan partikel bila v = 0,6 m/s dengan laju pertambahan sebesar 0,9 m/s2 adalah 1,5 m/s2




Sebuah partikel P bergerak pada seluruh lintasan lingkaran dengan jejari 2 m. Pada saat diamati, kecepatan partikel bertambah dengan laju 6 m/s2, dan besarnya percepatan total adalah 10 m/s2. Tentukan kecepatan v dari partikel tersebut pada saat itu

Penyelesaian a. Diketahui (data yang diketahui) m 2r 2m/s 6at

2m/s 10a





Kecepatan v dari partikel tersebut pada saat itu

222nt aaa 64610

222na

2m/s 8na

e. Jawaban

r

van

2

m/s 428 rav n

Kecepatan v = 4 m/s




Sebuah mobil balap berjalan dengan kecepatan tetap melewati belokan horisontal dengan jejari kelengkungan 300 m. Berapakah kecepatan maksimum v mobil tersebut, bila

percepatan normalnya tidak dapat melebihi 0,8g tanpa menyebabkan mobil itu selip?






Sebuah mobil balap berjalan dengan kecepatan tetap melewati belokan horisontal2m/s 848,781,98,0g8,0an

Kecepatan maksimum v mobil

r

van

2

m/s 52483008487 ,,rav n

e. Jawaban

Kecepatan maksimum v mobil = 48,52 m/s

Penyelesaian

dengan jejari kelengkungan 300 m.


Polar Coordinates (r-Polar Coordinates (r-))

Bilamana letak partikel ditentukan oleh jarak r dari suatu kutub yang tetap dan oleh pengukutan sudut θ terhadap garis radial, maka system ini dikatakan menggunakan koordinat kutub.

Gambar disamping menunjukkan koordinat kutub r dan θ yang menentukan letak sebuah partikel yang bergerak pada lintasan lengkung. Sebagai sumbu acuan untuk pengukuran kita gunakan sumbu x. Pada koordinat ini, vector satuan er dan eθ masing-masing ditetapkan pada arah r dan θ positip. Vektor tempat r bagi partikel di A mempunyai besar sama dengan jarak r dan arahnya ditentukan oleh vektor satuan er. Jadi vector tempat dapat dinyatakan

r = r er

Vektor kecepatan kita dapatkan dengan mendefe- rensialkan vector tempat, kita dapatkan

rr

r e e e r

v rrdt

rd

dt

d



Dengan cara yang sama dengan kita mendapatkan

te pada system koordinat

normal-tangensial kita cari

te dan

eDari gambar diatas, selama waktu dt arah koordinat berputar dengan sudut dθ. Hal ini mengakibatkan terjadinya perubahan vector der pada arah θ positip, dan vector deθ pada arah r negatip. Sedangkan besarnya perubahan vector ini dalam limitnya sama dengan vector satuan sebagai jari-jari kali sudut dalam radian, dapat kita tuliskan deder dan dede r

Perlu diingat bahwa panjang vector satuan adalah satu satuan panjang. Selanjutnya kita dapatkan :

e

er dd

ree

dd

dan

e eer

dtd

dan rr e ee

dt

d (2.12)

Substitusikan persamaan (2.12) kedalam persamaan vector kecepatan diperoleh :

e e v

ee ee rv

r

rrr

vv

rrrr

r

(2.13)

Dimana :

rvr

rv 22

r vvv



Komponen r dari v merupakan laju pertambahan vector r, sedangkan komponen θ dari v disebabkan oleh rotasi r

Vektor percepatan a kita dapatkan sebagai berikut :

ee e ee va rr rrrrr

e e a

e e a

r

r

aa

r2rrr

r

2

(2.14)

Dimana : 2

r rra

r2ra 22r aaa

Secara alternative dapat kita tuliskan

21r

dt

d

ra

e e v ee ee rv rrrr vvrrrr r

(2.13)



Untuk lebih memahami persamaan (2.14) perhatikan gambar (a) disamping yang menunjukkan vector kecepatan dan komponen r dan θ pada kedudukan A dan A’ setelah perpindahan tempat yang sangat kecil. Komponen-komponen ini masing-masing mengalami perubahan harga dan arah (gambar b), yaitu :

a. Perubahan harga vr rddvr

hal ini menimbulkan percepatan sebesar

rdt

rd pada arah r yang positif.

Berupa perubahan panjang vr atau

b. Perubahan arah vr

drdvr

pengaruhnya terhadap percepatan adalah

r

dtd

r pada arah θ positip.

Ditunjukkan sebagai



c. Perubahan harga vθ

v atau

rd

dan pengaruhnya pada percepatan adalah

rrdt

rdpada arah θ positip.

d. Perubahan arah vθ

drdv

dan menyumbang pada percepatan sebesar 2

rdtd

r

dalam arah r negatip.

Berupa perubahan panjang sebesar

Besarnya perubahan ini adalah



Sekarang kita perhatikan masing-masing suku yang ada pada persamaan percepatan, yaitu :

ra). Suku adalah percepatan yang akan dimiliki

partikel sepanjang jejari. 2

rb). Suku merupakan komponen normal

percepatan bila r konstan seperti pada gerak lingkaran.

rc). Suku adalah percepatan tangensial yang akan dimiliki partikel apabila r konstan, tetapi hanyalah sebagian dari percepatan karena vθ berubah besarnya apabila r peubah.

r2

rd

d). Suku terdiri dari 2 bagian, bagian pertama adalah perubahan besarnya

dari vθ akibat berubahnya r, dan bagian kedua adalah perubahan

arah vr.



Untuk gerak dalam lintasan lingkaran dengan r konstan, kita dapatkan

0rv

rv2

rar

ra

Perlu diingat bahwa arah r yang positif berada pada arah n negative, dengan demikian nr aa

Komponen percepatan ar dan aθ dalam bentuk scalar dapat juga diperoleh

dengan diferensiasi langsung dari hubungan koordinat x = r cos θ dan

y = r sin θ.


CONTOH SOAL CONTOH SOAL KOORDINAT KUTUB (r-r-)

Kedudukan blok geser P dalam lengan beralur OA dikendalikan oleh sekrup penggerak seperti terlihat pada gambar. Pada saat yang ditunjukkan


8 rad/s dan 20

rad/s2. Juga pada saat yang

sama r = 200 mm, 300r

0r

mm/s , dan

Tentukan harga komponen r dan θ dari percepatan P untuk saat itu

Penyelesaian


8 rad/s 20

rad/s2, r = 200 mm, 300r

mm/s dan 0r

b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) Tentukan harga komponen r dan θ dari percepatan P





2m/s 8,1282,00rra 22

r

2m/s 8,883,02202,0r2ra

e. Jawaban 22 m/s dan m/s 8,8a8,12ar



2t52r 2 dan 4t35,0 2 di mana r dalam mm, θ dalam radian, dan t dalam sekon. Tentukanlah besarnya kecepatan v dan komponen r dan θ dari percepatan a partikel bila t = 2 s.


Koordinat kutub dari suatu partikel ditentukan oleh

Penyelesaian




2t52r 2 dan 4t35,0 2

Besarnya kecepatan v dan komponen r dan θ dari percepatan a partikel bila t = 2 s

d. Perhitungan-perhitungan 2t52r 2 t5r

5r

4t35,0 2 2t3 23

Bila t = 2 s, maka :

mm/s

mm/s

36rv

10rvr

mm/s 36,373610v 22



e. Jawaban

2mm/s 10331025rra 22

r

2mm/s 78310223102r2ra

Besarnya kecepatan v =37,36 mm/s. 2mm/s 103ar 2mm/s 78a Komponen percepatan adalah dan



kt0 err dan tC

Tentukanlah persamaan yang menyatakan besarnya kecepatan v dan percepatan a pen, dalam besaran waktu t.

dengan r0 , k dan C adalah konstanta dan θ dalam radian.


Sebuah pen yang terkendala oleh dua bagian mesin yang bersambung dengannya mempunyai gerak kurvilinear bidang yang ditentukan oleh koordinat kutub




kt0 err dan tC

adalah konstanta dan θ dalam radian

Persamaan yang menyatakan besarnya kecepatan v dan percepatan a pen, dalam besaran waktu t.

dengan r0 , k dan C

Penyelesaian

d. Perhitungan-perhitungan kt0 err kt

0 ekrr

kt20 ekrr

tC C 0



e. Jawaban

kt0

kt0r

erCrv

ekrrv

22kt

0

kt0

2kt0

Ckerv

eCrkerv

kt22

0

2kt0

2kt0

2kt20

kt0

kt0

2kt20

2

r

eCkra

keCr2erCekra

keCr2r2ra

erCekrrra

Besarnya kecepatan 22kt

0 Ckerv

Besarnya percepatan kt220 eCkra


Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion

Bilamana partikel bergerak sepanjang kurva ruang , maka kita memerlukan adanya suatu system koordinat dengan tiga sumbu. System koordinat yang seperti ini adalah system koordinat tegak lurus (x-y-z) , koordinat silindris (r-θ-z) dan koordinat bola (R-θ-φ).

Perlu diperhatikan bahwa vector tempat dalam kasus ini kita gunakan notasi R.

Koordinat tegak lurus (x-y-z)

k j i R v a

k j i R v

k j i R

zyx

zyx

zyx

(2.15)



Koordinat silindris (r-θ-z)

Vektor tempat R bagi partikel dengan koordinat silindris adalah :

R = r er + z k

Vektor kecepatan adalah

kk ee Rv rr zzrr

Dimana : e eer

dtd 0

k

Jadi : k e e Rv

k e e Rv

r

r

zr vvv

zrr

(2.16)

Dimana :

rvr

rv

zvz

2z

22r vvvv



Vektor percepatan adalah : k e e e e e va rr

zrrrrr

Dengan substitusikan e eer

dtd

dan rr e ee

dt

d

kita dapatkan : k e e e e e va r

2

r

zrrrrr

Jadi : k e e a

k e e a

r

r

2

zr aaa

zr2rrr

(2.17)

Dimana : 2

r rra

2rdtd

r1

r2ra

zaz 2

z22

r aaaa



Koordinat bola (R-θ-φ)Pada koordinat bola ini, kita gunakan vector satuan eR , eθ dan eφ. Berdasarkan vector satuan tersebut dapat kita tuliskan vector kecepatan dan vector percepatan adalah :

e e e v R vvvR

e e e a R aaaR

(2.18)

(2.19)

Dimana :

Rvr cosRv

Rv

222

r cosRRRa

22 cosR2Rdtd

Rcos

a

cossinRRdtd

R1

a2

2


CONTOH SOAL Space Curvilinear MotionSpace Curvilinear Motion

yang bertambah secara teratur terhadap waktu t,

Tentukan persamaan kecepatan v dan percepatan a bagi pusat bola A, bila sekrup itu telah berputar satu putaran penuh dari keadaan diam. Jarak maju sekrup

(jarak maju setiap putaran sekrup) adalah L.

Sekrup daya mula-mula diam dan diberi laju putaran

tk

Soal no 1 (contoh soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA)

sesuai persamaan dengan k adalah konstanta.

Penyelesaian


tk Jarak maju = L. 2

b. Ditanyakan (hasil yang diinginkan) Persamaan kecepatan v dan percepatan a bagi pusat bola A, bila sekrup itu telah berputar satu putaran penuh dari keadaan diam.




c. Diagram Benda Bebas


(gambar-gambar yg diperlukan)

Dari gambar terlihat bahwa lintasannya berbentuk heliks pada permukaan silindris, dengan demikian kita gunakan koordinat silindris.

tkdt

d

2

2

2

12

2

1

tk

tkdttk

kt

2

Sehingga laju sudut pada satu putaran adalah : kk

k 22

Pada suatu lintasan berbentuk heliks, sudut heliks diperoleh berdasarkan persamaan

b

L

2tan

222

222

4

2cos

4

sin

2

sinsin

bL

bbLbL



Dari gambar diperoleh hubungan cos vv

Dari koordinat silindris kita dapatkan

rv

Sehingga kita dapatkan :

222

222

42

42

cosbL

k

b

bLkb

rv

Komponen percepatan diperoleh berdasarkan persamaan (2.17)

kbkbrrar 4202

2

bkkkbrra

2022

22tan

tantan

kLk

b

Lbba

bd

dv

dt

dv

dt

dvza

z

zzz

222

22

4161

24

b

Lbka

Lkkbkba



Tinjaulah sekrup daya pada contoh (1) dengan jarak maju L = 30 mm. Bila b = 150 mm dan sekrup berputar dengan laju konstan 4 putaran/sekon, hitung besarnya kecepatan dan percepatan pusat bola A.







Sekrup daya pada contoh (1) dengan jarak maju L = 30 mm. Bila b = 150 mm dan sekrup berputar dengan laju konstan 4 putaran/sekon

Besarnya kecepatan dan percepatan pusat bola A.

771,342150,0

rv

011 83,1032,01502

30tantan

rad

773,383,1cos

771,3

cos 0

v

v

m/s

m/s 8,9442150.00 22

rrar m/s2

Penyelesaian



042020150,02

rra

0083,1tan150,0tan 0

baz


Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)

Pada pembahasan sebelumnya kita gunakan sumbu acuan yang tetap, hasilnya disebut besaran absulut. Sebetulnya tidaklah mungkin kita mendapatkan suatu sumbu acuan yang benar-benar tetap, dengan demikian kita perlu membahas suatu gerakan yang diukur dari suatu titik acuan yang bergerak. Untuk keperluan ini, dalam sub-bab ini kita bahas suatu sumbu acuan yang bergerak translasi, hasil analisa-nya disebut analisa gerak relative. Sekarang perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan dua buah partikel A dan B yang memiliki gerak kurvilinier yang terpisah pada suatu bidang tertentu atau pada bidang-bidang yang sejajar. Selanjutnya kita letakkan sumbu translasi (yang tidak berotasi) x-y secara sembarang pada partikel B dan mengamati gerak A dari kedudukan B yang berpindah-pindah. Vektor tempat bagi A yang diukur relative terhadap salib-sumbu x-y adalah rA/B = x i + y j. Kedudukan absulut B ditentukan oleh vector rB yang diukur dari titik asal salib sumbu tetap X-Y. Selanjutnya secara matematika vector kita dapatkan hubungan :

rA = rB + rA/B


Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)

Vektor kecepatan dan percepatan kita dapatkan sebagai berikut :

A/BBA rrr

atau A/BBA vvv (2.20)

A/BBA rrr

atau A/BBA aaa (2.21)

Dalam persamaan (2.20) dan (2.21) menunjukkan kecepatan dan percepatan yang dimiliki A yang kita amati dari kedudukan di B yang melekat pada sumbu bergerak x-y adalah

j i vr A/BA/B

yx

j i vr A/BA/B

yx

Perlu disadari bahwa percepatan partikel yang terlihat dalam system translasi x-y ini sama dengan yang terlihat pada system tetap X-Y bila system yang bergerak memiliki kecepatan yang konstan.


CONTOH CONTOH Relative Motion (Translating Axis)Relative Motion (Translating Axis)

Pesawat angkut jet B sedang terbang ke utara dengan kecepatan vB = 600 km/jam ketika peawat A yang lebih kecil lewat di bawahnya dengan arah 600 seperti tergambar. Namun oleh penumpang di B peawat A tampak seperti terbang ke samping dan bergerak ke timur. Tentukan kecepatan A sebenarnya dan kecepatan A yang tampak relative bagi B.


Penyelesaian





Jet B sedang terbang ke utara dengan kecepatan vB = 600 km/jam ketika peawat A yang lebih kecil lewat di bawahnya dengan arah 600 seperti tergambar.

Kecepatan A sebenarnya dan kecepatan A yang tampak relative bagi B?

Tidak memerlukan Diagram Benda Bebas.



Dengan memperhatikan hubungan vector vA , vB dan vA/B tersebut, dapat kita selesaikan dengan tiga cara, yaitu :

I). Trigonometri Secara trigonometri kita lihat segitiga siku- siku, sehingga berlaku :

12005,0

600

60cos 0 B

Av

v km/jam

103960tan60060tan 00/ BBA vv km/jam

N

E

VB

VA/B

600

VA

II). Vektor Secara vector kita dapatkan hubungan : vA = vA/B i + vB j

di mana : 103960tan60060tan 00/ BBA vv km/jam

Sehingga vA = 1039 i + 600 j

III). Grafis Bila diselesaikan secara grafis, yang pertama harus kita lakukan adalah menentukan skala. Untuk khasus ini kita ambil skala 1 cm = 200 km/jam.



Langkah kedua gambarkan vB = 600 km/jam sesuai dengan arahnya (ke atas).

Langkah ketiga dari pangkal vB buat garis yang membentuk sudut 600 dan dari ujungnya buat garis horizontal, sehingga diperoleh perpotongannya. Kedua garis ini sesuai dengan arah yang diketahui.Langkah ke empat ukur panjang garis vA dari pangkal vB sampai perpotongan, juga ukur panjang garis vA/B dari ujung vB sampai perppotongan, diperoleh : vA = 6 cm = 6 x 200 =1200 km/jam

vA/B = 5,2 cm = 5,2 x 200 = 1040 km/jam

e. Jawaban 1200Av km/jam

1039/ BAv km/jam



Pesawat terbang penumpang B terbang ke timur dengan kece-patan vB = 800 km/jam. Pesawat jet militer A terbang ke selatan dengan kecepatan vA = 1200 km/jam lewat di bawah B dengan ketinggian sedikit lebih rendah. Berapa kecepatan yang dimiliki A yang tampak oleh penumpang di B, dan ke mana arah kecepatan yang kelihatan itu ?





Pesawat B terbang ke timur dengan kecepatan vB = 800 km/jam. Pesawat A terbang ke selatan dengan kecepatan 1200 km/jam

Kecepatan vA yang tampak oleh penumpang di B dan arahnya.

VA

VB

VA/B

β



Dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu : d. Perhitungan-perhitungan

I). Trigonometri 14428001200vvv 222B

2AB/A

5,1800

1200

v

vtan

B

A 03,56

km/jam

II). Vektor vA = vB + vA/B i i v

j j v

B

A

800v

1200v

B

A

vA/B = – vB + vA

= – 800 i – 1200 j

5,1800

1200vv

tanB

A 03,56

III). Grafis Penyelesaiannya seperti contoh 1)

e. Jawaban 1442v B/A km/jam

03,56



Sebuah perahu mampu berkepesatan 16 knot pada air yang tenang. Perahu itu mempertahankan arah yang benar ke barat ketika menghadapi arus yang mengalir dari utara ke selatan dengan kecepatan 3 knot. Berapa arah perahu seharusnya (diukur searah jarum jam dari utara pada sudut terkecil) ?. Berapa lama waktu yang diperlukan oleh perahu itu untuk maju 24 mil laut kearah barat ?





Perahu mampu berkepesatan 16 knot pada air yang tenang. Perahu mem-pertahankan arah ke barat ketika menghadapi arus yang mengalir ke selatan dengan kepesatan 3 knot.

1). Arah perahu2). Waktu yang ditempuh untuk maju

24 mil ke arah barat.

vA

vA/P

vP

β




e. Jawaban

143

vv

cosP

A 06,77

P

PA

v

vsin 7,136,77sin14v 0

PA knot

75,17,13

24v24

tPA

jam = 1 jam 45 menit

1).

2). t = 1,75 jam = 1 jam 45 menit

06,77


Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles

Pada pembahasan sebelumnya kita menitikberatkan pada partikel yang berdiri sendiri, dengan demikian seolah-olah partikel tersebut gerakannya hanya dibatasi oleh lintasannya saja.

Sekarang perhatikan gambar disam-ping yang menunjukkan partikel A terhubung dengan partikel B.

Problem kita adalah bagaimana memformulasikan gerakan kedua partikel tersebut. Untuk dapat memformulasikannya, kita harus dapat memahami gerakan kedua partikel tersebut. Jika kita perhatikan dengan seksama, terdapat dua hal yang dapat kita gunakan sebagai langkah awal yaitu :

Terdapat partikel-partikel yang saling berhubungan, dengan demikian gerak partikel yang satu terkendala gerak partikel lainnya.



a. Panjang penghubung adalah konstan

bryr

xL 12 2

2

Panjang penghubung (panjang kabel) pada gambar adalah :

Di mana L, r1 , r2 dan b semuanya konstan.

yx 20 atau BA vv 2

yx 20 BA aa 2atau

Hasilnya tidak tergantung pada panjang atau jejari puli, maka panjang penghubung bisa kita nyatakan

konstanta yxL 2

Selanjutnya kita dapatkan

b. Hubungan gerakan partikel satu terhadap gerakan partikel lain. Pada gambar diatas juga ditunjukkan gerakkan garis tengah puli bawah A’B’C pada suatu saat. Gerak A dan A’ adalah sama besarnya, demikian juga B dan B’. Dalam tinjauan ini kita anggap titik C tetap. Dengan demikian gerakan titik A’ adalah dua kali gerakan B’.

SATU DERAJAT KEBEBASAN



DUA DERAJAT KEBEBASANSistem dua derajat kebebasan ditunjukkan dalam gambar disamping. Kedudukan dari silinder bawah dan puli C tergantung pada spesifikasi dua koordinat yA dan yB. Panjang kabel yang diikatkan pada silinder A dan B masing-masing dapat ditulis sebagai :

konstanta2 DAA yyL

konstanta DCCBB yyyyL

Derivatifnya terhadap waktu adalah :

DA yy 20 dan

DCB yyy 20

DA yy 20

DCB yyy 20dan

Dengan menghapuskan suku

Dy dan

Dy kita dapatkan

042

CBA yyy dan 042

CBA yyy



Dari persamaan terlihat bahwa harga kecepatan dan percepatan tidak semuanya positip, hal ini menunjukkan adanya perbedaan arah. Misal A dan B memiliki

AA yv dan

BB yv , maka C akan memiliki

24BA

CCvv

yv

kecepatan ke bawah

kecepatan keatas

Seperti pada kasus satu derajat kebebasan, pada kasus ini dapat juga diperoleh dengan pemeriksaan gerakan dua puli di C dan D. Karena adanya penambahan dyA (dengan yB dipegang tetap), pusat D pindah ke atas sebesar 2Adymengakibatkan gerak ke atas sebesar 4Ady bagi pusat C.

2BdySedangkan penambahan dyB (dengan yA dipegang tetap), pusat C pindah ke atas sebesar

Kombinasi dari kedua gerakan tersebut akan memberikan perpindahan ke atas bagi pusat C sebesar :

24BA

Cdydy

dy 24BA

CCvv

yv


CONTOH COAL CONTOH COAL Constrained Motion of Connected ParticlesConstrained Motion of Connected Particles

Soal no 1 (soal dari buku Meriam terbitan ERLANGGA) xBila kecepatan naik blok A pada bidang

miring bertambah dengan laju 0,044 m/s setiap sekonnya, tentukan percepatan B.




044,0x

Percepatan naik

Percepatan B.

d. Perhitungan-perhitungan Dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

I). Peninjauan panjang kabel

Panjang kabel adalah :

konstanta yxL 2

A

B

Penyelesaian

B

Ay

x



Kita diferensialkan terhadap waktu, kita dapatkan

yx 20 BA vv 2

yx 20 BA aa 2

Selanjutnya kita dapatkan

022,02

044,0

2 A

Ba

a m/s2

C E

E’

B

II). Peninjauan gerakan puli Kita perhatikan puli bawah (tempat menggantung blok B)

Dari gambar, terlihat bahwa pergerakan blok B adalah sama dengan pergerakan titik D, sedangkan pergerakan blok A adalah sama dengan pergerakan titik E.Berdasarkan dua buah segitiga yang sebangun, maka pergerakan titik D adalah setengah pergerakan titik E. Dengan demikian kecepatan dan percepatan titik D adalah setengah kecepatan dan percepatan titik E.

022,02

044,0

2 A

Ba

a m/s2



Tentukan kenaikan vertical h bagi beban W selama 5 sekon bila drum pengangkat menggulung kabel dengan laju tetap sebesar 320 mm/s.






Waktu t = 5 sekon Kabel pada penggulung memili-ki kecepatan konstan 320 mm/s

Tinggi angkat h.

Dari gambar terlihat bahwa pergerakan beban W adalah seperempat pergerakan kabel yang digulung, sehingga

8032025,0 Wv mm/s

Jadi tinggi angkat h adalah 400580 tvh W mm

Chapter # 2 Kinematics of Particles

Documents

Transcript of Chapter # 2 Kinematics of Particles