Algebra Lineal

1. ESPAIS VECTORIALS

1. Estudieu si F i G son subespais vectorials de E, essent:

a) E = R4 , F = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x− y = 0} , G = [(−1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)].b) E = R2[x] , F = {p(x) ∈ E | 1 es arrel de p(x)} , G = {p(x) ∈ E | p(1) = p(0)}.c) E = M2(R) , F = {A ∈ E |A = A>} , G = {A ∈ E | detA = 0}.d) E = F (R,R) , F = {f ∈ E | f(0) = f(1)} , G = {f ∈ E | f(−x) = 5− f(x)}.

2. Considerem M ∈ Mn(K) una matriu fixada i F = {A ∈ Mn(K)|AM = MA}. Proveu que Fes un subespai vectorial de Mn(K) i trobeu-ne la dimensio.

3. Sigui E un espai vectorial i siguin F1, F2 ⊂ E dos subespais vectorials de E. Proveu queF1 ∪ F2 es un subespai vectorial de E si i nomes si F1 ⊂ F2 o be F2 ⊂ F1.

4. Siguin F , G, H subespais de l’espai vectorial E. Demostreu o doneu contraexemples de lesafirmacions seguents:

(a) F ∩ (G+H) = (F ∩G) + (F ∩H).

(b) F + (G ∩H) = (F +G) ∩ (F +H).

(c) dim(F ∩ (G+H)) = dim(F ∩G) + dim(F ∩H) + dim(F ∩H ∩G).

5. Sigui (e1, e2, e3) una base d’un espai vectorial E sobre K.

(a) La famılia de vectors {ae1 + be2, ce2 + de3, ee3 + fe1}, amb a, b, c, d, e, f ∈ K i no nuls,son una base de E?

(b) La famılia de vectors de R3, {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0,−1)} es una base de R3?

(c) I la famılia {(3, 1, 0), (0, 3, 1), (1, 0, 3)}?(d) Expresseu el vector de R3 (−2, 2, 4) com a combinacio lineal de cada una de les dues

famılies anteriors. En cada cas, son uniques les components?

6. Trobeu una base dels subespais seguents:

(a) F = [(−1, 0, 1, 0), (−2, 2, 0, 1)], G = [(−3, 2, 1, 1), (−1, 0, 1, 0)], F ∩G, F +G en R4.

(b) F = {(x, y, z, t) ∈ R4| y + z + t = 0}, G = {(x, y, z, t) ∈ R4|x + y = 0, z = 2t}, F ∩ G,F +G.

(c) F = {p(X) ∈ R3[x] | p(1) = 0, p′(1) = 0}, G = {p(x) ∈ R3[x] | p(0) = p(1) = p′(0)}, F ∩G,F +G.

(d) F = {A ∈M2(R) | trA = 0}, G = {A ∈M2(R) |A = A>}, F ∩G, F +G.

(e) F = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x+3t = y}, G = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x−y−z− t = 0}, F ∩G, F +G.

7. Trobeu un sistema d’equacions el conjunt de solucions del qual siguin els subespais:

(a) F = [(1,−2, 0, 3), (1,−1,−1, 4), (1, 0,−2, 5)], G = [(1, 2, 0, 1)], F ∩ F , F +G en R4.

(b) F = [1 + 3x2], subespai de R3[x].

(c) F =[(

1 00 −1

)], subespai de M2(R).

(d) F = [(0, 0, 1, 3), (2, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0)], G = [(0, 1, 3, 3), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0,−3)], F ∩G, F +G en R4.

(e) F = [3x+ 8, 3x2 + 2x], subespai de R2[x].

(f) G =[(

0 13 1

),

(0 11 3

),

(3 11 0

)]en M2(R).

1

8. Sigui (e1, . . . , en) una base de l’espai vectorial E i (u1, . . . , un) la famılia definida per ui =ei+1− ei, i = 1, . . . , n− 1, un = en. Proveu que (u1, . . . , un) es base de E i expresseu el vectore1 + . . .+ en en la base (u1, . . . , un).

9. Considerem els vectors (1, 2, 0, 1), (2, 3, 0, 3), (3, 2, 1, 2) de R4 i F el subespai que generen. Con-siderem G = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x − y + z + t = 0}. Determineu una base de G, comprovantpreviament que G es un subespai vectorial. Trobeu una base de F ∩G i de F +G.

10. Siguin V1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0} i V2 = {(α, 2α, 3α) | α ∈ R}. Proveu que V1,V2 son subespais vectorials, doneu la seva dimensio i una base de cadascun d’ells. Proveu queR3 = V1 ⊕ V2. Doneu la descomposicio d’un vector qualsevol de R3 en suma d’un de V1 i unde V2.

11. Siguin E = Mn(K) i F = {A ∈Mn(K) |A = A>} el subconjunt de les matrius simetriques deE i sigui G = {A ∈ Mn(K) |A = −A>} el subconjunt de les matrius antisimetriques de E.Proveu que F i G son subespais vectorials de E. Si car(K) 6= 2, proveu que E = F ⊕ G. I siK = Z/(2)?

12. En R3[t] considerem F1 = [1 + 2t + t2, 1 + t − t2 − t3] i F2 = [1 + t + t3, 1 + t + t2 + 3t3].Determineu una base de F1 ∩F2 i de F1 +F2. Es E = F1⊕F2? Analogament si, F1 = {p(t) ∈R3[t] | p(1) + p(0) = 0} i F2 = [1 + t− t2, t+ t2].

13. En M2(R) considerem

F ={(

a bc d

)∈M2(R) | a = d

}i G =

{(a bc d

)∈M2(R) | b = 0, a = −d

},

U ={(

a bc d

)∈M2(R) | a = b = c, d = 0

}i V =

{(a bc d

)∈M2(R) | c+ d = 0

}.

Estudieu si M2(R) = F ⊕G i si M2(R) = U ⊕ V .

14. Busqueu un complementari de F en E essent:

E = R4 F = [(1, 2, 0, 0), (1, 0, 0, 1)]E = R3[x] F = [1 + x, 1− x2, 1]E = M2(R) F = {A ∈ E |A = −At}E = R3[x] F = {p(x) ∈ E | p(1) = p′(1), p(0) = 0}

15. Siguin E = M2(R) i F ={(

a+ b −bb a− b

)| a, b ∈ R

}.

a) Proveu que F es un subespai vectorial de E. Doneu la seva dimensio i una base.

b) Sigui A =(

5 −44 −3

). Es A ∈ F? I A2? I A100?

c) Determineu un subespai G tal que F ⊕G = E.

16. Siguin F = {p(t) ∈ R3[t] | p(0) = p(1) = p′(1/2) = P ′′′(0) = 0} i G = [t + 1, t, t − 1]. Trobeubases de F i G.

(a) Considereu els polinomis t2 − 5t + 2 i 3t − 4. Son de G? En cas afirmatiu trobeuλ0, λ1, λ2 ∈ R tals que: p(t) = λ0(t+ 1) + λ1t+ λ2(t− 1) (essent p(t) cadascun dels dospolinomis anteriors).

(b) Son unics aquests λi? En cas afirmatiu, per que. Si no son unics trobeu-los tots.

(c) Trobeu bases de F +G, F ∩G. La suma F +G, es directa?

(d) Trobeu una base d’un complementari de F +G en R3[t].

2

17. Siguin F = {p(x) ∈ R3[x] | p(0) = p′(0) = 0} i G = {p(x) ∈ R3[x] | p(x) = p(0) + 2p(1)x +p(0)x2 + p(1)x3}.

a) Demostreu que F i G son subespais vectorials de R3[x].

b) Doneu la dimensio de F i de G

c) Doneu una base de F i de G.

d) Doneu les dimensions i bases de F ∩G i F +G.

e) Doneu una base d’un subespai complementari de F i una altra de G, en R3[x].

18. (a) Demostreu que el conjunt F = {u | u = (u0, u1, u2, . . . , un, . . .)} de les successions denombres reals amb la suma i el producte per escalars definides per u, v ∈ F , λ ∈ R,u+ v = (un + vn)n∈N, λ · u = (λun)n∈N, es un espai vectorial.

(b) Proveu que el subconjunt G = {u ∈ F | un+2 = un+1 + un ,∀n ∈ N} de les successions deFibonacci es un subespai vectorial de F .

(c) Que es pot dir de les dimensions de F i G?

19. Sigui E = F (R,R). Es diu que f ∈ E es parell si f(−x) = f(x) ∀x ∈ R i que g ∈ E es senarsi g(−x) = −g(x) ∀x ∈ R. Demostreu que el conjunt F de les funcions parells i que el G deles funcions senars son dos subespais vectorials de E. Proveu que E = F + G. Es directa lasuma?

20. Siguin F = {(x, y, z) ∈ R3 | x−y+z = 0} i G = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y = 0, x+z = 0}. Trobeubases de R3/F i R3/G.

21. Sigui F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x− y = z + t = 0}. En R4/F ,

a) Que val ((1, 0,−1, 0) + F ) + ((0, 1, 0, 1) + F )?

b) Es ((1,−1, 0, 0) + F ) + ((−1, 0, 1, 1) + F ) = (0,−1, 2, 0) + F?

c) Son (1,−1, 0, 0) + F i (0, 1,−1, 0) + F linealment independents?

22. Sigui E = M2(R) i F =[(

1 21 1

),

(1 02 3

),

(5 67 9

)].

(1 00 0

)+F genera E/F? Es

base de E/F? Es linealment independent?

23. Sigui u1, . . . , ud una base d’un subespai vectorial F d’un espai vectorial E. Siguin v1, . . . , vs

una famılia de vectors de E. Proveu que v1 + F, . . . , vs + F son vectors de E/F linealmentindependents si i nomes si u1, . . . , ud, v1, . . . , vs son vectors linealment independents de E.

24. Sigui F = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 |x1 − x3 = x3 + x4 − x5 = x1 + x4 − x5 = 0}. Doneu unabase de R5/F , i escriviu (0, 1,−1, 0, 0) + F com a combinacio lineal dels vectors de la base deR5/F donada.

25. Sigui F = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5/ x1 + x3 + x5 = x2 = 0}. Doneu una base de R5/F iescriviu (1, 0, 0, 1, 0) + F com a combinacio lineal dels vectors de la base de R5/F donada.

26. Sigui V un espai vectorial de dimensio finita, M i N subespais vectorials de V tals que lesdimensions de (M + N)/N , (M + N)/N , M ∩ N son 2, 3 i 4 respectivament. Trobeu lesdimensions de M , N i M +N .

3

ESPAIS VECTORIALS EUCLIDIANS

27. Sigui E = R3 l’espai vectorial euclidia ordinari. Proveu que

‖ x+ y ‖2 + ‖ x− y ‖2= 2 ‖ x ‖2 +2 ‖ y ‖2 .‖ x+ y ‖2 + ‖ y + z ‖2 + ‖ x+ z ‖2 − ‖ x+ y + z ‖2=‖ x ‖2 + ‖ y ‖2 + ‖ z ‖2 .

28. En l’espai ordinari euclidia R4 trobeu el complemetari ortogonal del subespai vectorial engen-drat per (1, 1, 1, 1), (3, 3,−1− 1).

29. Sigui E un espai vectorial euclidia i siguin F,G dos subespais vectorials de E. Proveu que

(F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥.

(F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥.

30. Sigui E = R4 l’espai vectorial euclidia ordinari i siguin:

F = {(x, y, z, t) | x+ y + z = 0 , y + z + t = 0}.G = [(1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3), (3, 3, 1, 2)].

Trobeu bases de F⊥, G⊥, (F +G)⊥ i de (F ∩G)⊥.

31. Sigui E = C0([−1, 1]) amb el producte escalar < f, g >=∫ 1

−1fg. Sigui F el subespai vectorial

de E de les funcions senars. Trobeu F⊥.

32. En l’espai ordinari euclidia R3 trobeu bases ortonormals, pel proces de Gram-Schmidt, a partirde:

(1,−2, 2), (−1, 0, 1), (5,−3,−7).(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1).(1, 1, 1), (3, 3,−1), (2, 0, 6).

33. En M2(R) es defineix < A,B >= tr(B>A). Proveu que es un producte escalar euclidia itrobeu-ne la matriu en la base ordinaria. Trobeu el complementari ortogonal del subespai

F =[(

0 1−1 0

)].

34. Sigui E = R2[t] l’espai vectorial euclidia amb el producte < p, q >=∫ 1

0pq. Trobeu la matriu

del producte en la base ordinaria. Trobeu una base ortonormal de E a partir de t− 1.

4

2. POLINOMIS

1. Sigui el polinomi p(x) = x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 4x− 8.

(a) Calculeu p(2), p′(2), p′′(2), p′′′(2). Que es pot deduir ?(b) Descomposeu p(x) en factors primers a R[x] i a C[x].

2. Donat el polinomi p(x) = x4 − λx3 + µx − 1, quins son els valors de λ i µ per a que 1 siguiarrel triple?

3. Donat el polinomi x5 − 5x− a ∈ R[x], per a quins valors de a pot tenir arrels multiples ? Dequina multiplicitat ?

4. Sigui p(x) = xn

n! + xn−1

(n−1)! + · · ·+ 1. Te arrels multiples? En cas afirmatiu, doneu-les.

5. Calculeu el mcd(p(x), q(x)) i el mcm(p(x), q(x)) amb

(a) p(x) = x3 − 3x2 + 3x− 2 i q(x) = x2 − 4x+ 4.(b) p(x) = x5 − 3x4 + 2x3 + 2x2 − 3x+ 1 i q(x) = x4 − 6x3 + 12x2 − 10x+ 3.(c) p(x) = x4 − x3 − 3x2 + 5x− 2 i q(x) = x2 − 6x+ 9.

Trobeu polinomis P1(x), Q1(x) tals que P1(x)p(x) +Q1(x)q(x) = mcd(p(x), q(x)).

6. Es considera p(x) = x3 + x2 − 8x− 12 ∈ R[x]

(a) Determineu p′(x) i doneu la seva descomposicio en factors primers.(b) Proveu que una de les arrels de p′(x) ho es tambe de p(x), i deduıu la seva descomposicio

en factors primers de p(x).(c) Calculeu mcd(p(x), p′(x)).(d) Determineu P1(x) i Q1(x) tals que P1(x)p(x) +Q1(x)p′(x) = mcd(p(x), p′(x)).

7. Donats p(x) = x5 − a, a 6= 0, q(x) = x3 − b, b 6= 0,

(a) Que han de complir a, b per a que mcd (p(x), q(x)) sigui un polinomi de grau 1?(b) Doneu per a aquests casos el mcd(p(x), q(x)) i el mcm(p(x), q(x)).(c) Calculeu mcd(x5 − 32, x3 − 8), mcm(x5 − 32, x3 − 8), aplicant b).

8. Doneu el desenvolupament de Taylor del polinomi p(x) = x5 + 4x4 − x3 + 2x2 + x + 1 en elpunt x = 1. Quina es la resta de dividir p(x) per (x− 1)3?

9. (a) Determineu la resta de la divisio de p(x) = x2n + nxn+1 − 3x+ 2 per (x− 1)2.(b) Proveu que P (x) = nxn+2 − (n+ 2)xn+1 + (n+ 2)x− n es divisible per (x− 1)3.

10. (a) La resta de dividir un polinomi p(x) per x− 1 es 4 i la resta de dividir-lo per x− 2 es 5.Calculeu la resta de dividir-lo per (x− 1)(x− 2).

(b) La resta de dividir un polinomi p(x) per x2 − 1 es 2x i la resta de dividir-lo per x es 1.Calculeu la resta de dividir-lo per x3 − x.

11. Trobeu el valor de a per a que els polinomis p(x) = x4 − x + a, q(x) = x2 − ax + 1, tinguindues arrels comunes.

12. Determineu m per a que els dos polinomis de R[x], p(x) = x3 +mx− 6 i q(x) = x2 +mx− 2tinguin una arrel en comu.

13. Descomposeu el polinomi p(x) = x4 + 12x− 5 ∈ R[x] en dos factors pertanyents tambe a R[x],sabent que p(x) te dues arrels x1, x2 la suma de les quals val 2.

14. Trobeu tots els polinomis p(x) de R7[x] tals que p(x) + 1 sigui divisible per (x − 1)4 i quep(x)− 1 ho sigui per (x+ 1)4.

5

3. MATRIUS I SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS

1. Interpretacio del producte de matrius per caixes. Siguin A una matriu m× n i B una

matriu n×p. Proveu que si A =(

A11 A12

A2,1 A22

)i B =

(B11 B12

B21 B22

), amb A1,1 matriu t×s

i B1,1 matriu s× u, aleshores AB =(A11B11 +A12B21 A11B12 +A12B22

A21B11 +A22B21 A21B12 +A22B22

).

2. Interpretacio del producte de matrius com files per columnes. Siguin A una matrium × n, B una matriu n × p i C = AB el seu producte, que es m × p. Denotem α1, . . . , αm ales files de A, β1, . . . , βn a les files de B i γ1, . . . , γm a les files de C. Analogament, denotema1, . . . , an a les columnes de A, b1, . . . , bp a les columnes de B i c1, . . . , cp a les columnes de C.Proveu que:

(a) γi = ai1β1 + ai2β2 + . . . + ainβn. Es diu que γi es una combinacio lineal de les filesβ1, β2, . . . , βn de B.

(b) cj = b1ja1 + b2ja2 + . . .+ bnjan. Es diu que cj es una combinacio lineal de les columnesa1, a2, . . . , an de A.

3. Transformacions elementals. Siguin A una matriu m × n i Ip la matriu identitat p × p.Denotem fij(A) a la matriu que s’obte en permutar les files i, j de A, fλi(A) a la matriu ques’obte en multiplicar per λ, λ 6= 0, la fila i de A, fi+j(A) a la matriu que s’obte en sumar ala fila i de A la fila j de A i fi−j(A) a la matriu que s’obte en restar a la fila i de A la fila jde A. Analogament, denotem cij(A) a la matriu que s’obte en permutar les columnes i, j deA, fλi(A) a la matriu que s’obte en multiplicar per λ, λ 6= 0, la columna i de A, fi+j(A) a lamatriu que s’obte en sumar a la columna i de A la columna j de A i fi−j(A) a la matriu ques’obte en restar a la columna i de A la columna j de A. Comproveu que

(a) fij(A) = fij(Im)A, fλi(A) = fλi(Im)A, fi+j(A) = fi+j(Im)A i fi−j(A) = fi−j(Im)A.

(b) cij(A) = Afij(In), cλi(A) = Acλi(In), ci+j(A) = Aci+j(In) i ci−j(A) = Aci−j(In).

Les matrius f·(Im), c·(In) s’anomenen matrius elementals i es diu que f·(A), c·(A) s’haobtingut fent transformacions elementals a la matriu A.

4. Una matriu A, m×n, es r-esglaonada per files si te exactament m−r files nul·les i si el primercoeficient no nul de cada fila no nul·la esta situat estrictament mes a l’esquerra que el primercoeficient no nul de la fila seguent no nul·la. Analogament, A es r-esglaonada per columnessi te exactament n−r columnes nul·les i si el primer coeficient no nul de cada columna no nul·laesta situat estrictament mes amunt que el primer coeficient no nul de la columna seguent nonul·la. Obteniu matrius esglaonades de les matrius seguents fent transformacions elementals iexpliciteu-ne les corresponents matrius elementals.

1 1 11 1 11 1 1

,

(2 2 5 61 1 −2 2

),

1 2 32 3 43 4 54 5 6

.

5. Matrius elementals. Una matriu quadrada A, n× n, es diu que es invertible si existeix unaaltra matriu quadrada B, n × n, anomenada la inversa de A i denotada habitualment perA−1, tal que AB = In = BA. Proveu que:

(a) Les matrius elementals per files tambe ho son per columnes i recıprocament.

(b) Les matriu elementals son invertibles i llurs inverses tambe son matrius elementals.

(c) El producte de matrius invertibles es invertible. En particular, el producte de matriuselementals es invertible.

6

6. Trobeu les inverses de les matrius elementals que heu usat en l’exercici anterior.

7. Definicio de rang d’una matriu. Sigui A una matriu m× n. Proveu que

(a) Existeixen F , m ×m, producte de matrius elementals per files, i C, n × n, producte de

matrius elementals per columnes, tal que FAC =(Ir 00 0

), amb r ≤ m,n.

(b) Si existeixen altres G, m × m, producte de matrius elementals per files, i D, n × n,

producte de matrius elementals per columnes, tal que GAD =(Is 00 0

), s ≤ m,n,

aleshores r = s. Aquest r s’anomena el rang de la matriu A.

8. Interpretacio del rang. Sigui A una matriu m× n. Proveu que:

(a) La fila i (columna j) de A es pot anul·lar fent transformacions elementals si i nomes sila fila i (columna j) es combinacio lineal de les files 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . ,m (columnes1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n).

(b) Deduıu que el rang de A es el nombre maxim de files o columnes que es pot trobar en Averificant que cap d’elles sigui combinacio lineal de les altres.

9. Conservacio del rang per transformacions elementals. Siguin A una matriu m× n i Buna matriu que s’ha obtingut de la A fent transformacions elementals. Proveu que rang(A) =rang(B).

10. Calcul del rang. Proveu que una matriu r-esglaonada te rang r. En particular, per alcalcul del rang d’una matriu es suficient reduir-la mitjancant transformacions elementals auna matriu esglaonada.

11. Calculeu el rang de les matrius:

1 1 11 1 11 1 1

,

(2 2 5 61 1 −2 2

),

1 2 32 3 43 4 54 5 6

.

12. Siguin A i B dues matrius quadrades n× n. Proveu que:

(a) rang(AB) ≤ rang(A).

(b) Si AB = In, aleshores rang(A) = n.

(c) Existeix una matriu elemental per files tal que FA = In si i nomes si existeix una matriuelemental per columnes tal que AC = In.

(d) Si rang(A) = n, aleshores existeixen C i D, dues matrius n×n, tals que AC = In = DA.

(e) Si AB = In, aleshores BA = In.

13. Sistemes d’equacions. Siguin A una matriu m× n i B una matriu m× p. La solucio delsistema AX = B es el conjunt S = {X | X matriu n × p,AX = B}. Si S = ∅ es diu queel sistema es incompatible (SI). Si S 6= ∅ es diu que el sistema es compatible (SC). Si Ste un sol element es diu que el sistema es compatible determinat (SCD). Si S te mes d’unelement es diu que el sistema es compatible indeterminat (SCI). Siguin C una matriu m×ni D una matriu m × p. Es diu que el sistema AX = B es equivalent al sistema CY = D sitenen el mateix conjunt de solucions. Proveu que si (C | D) s’ha obtingut fent transformacionselementals per files de (A | B), aleshores CY = D es equivalent a AX = B. El metode deGauss (o del pivot) per a la resolucio del sistema AX = B consisteix en transformar (A | B)en una matriu (C | D) esglaonada i resoldre CY = D fent substitucio enrera.

7

14. Resoleu en R els sistemes d’equacions seguents:

3x1 + 2x2 + 5x3 = 14x1 + 3x2 + 6x3 = 25x1 + 4x2 + 7x3 = 36x1 + 7x2 + 8x3 = 4

,x1 − x2 + 2x3 + 3x4 + x5 = 12x1 − x2 − x3 − 2x4 + x5 = 1x1 + x2 − 2x3 + x4 + 2x5 = 1

.

15. Sistemes homogenis. Siguin A una matriu m×n i B una matriu m×p. El sistema AX = Bs’anomena homogeni si B = 0. AX = 0 es un SC ja que 0 sempre es solucio. S’anomena lasolucio trivial. Proveu que AX = 0 te solucio no trivial si i nomes si rang(A) < n.

16. Teorema de Rouche-Frobenius. Siguin A una matriu m × n i B una matriu m × p iconsiderem el sistema AX = B. Proveu que:

(a) AX = B es SC si i nomes si rang(A) = rang(A | B).

(b) Si AX = B es SC i X0 es una solucio particular, aleshores tota solucio es de la formaX0 + Y amb AY = 0.

(c) AX = B es SCD si i nomes si rang(A) = rang(A | B) = n.

17. Resoleu en R els sistemes seguents, discutint-los segons els valors de a, b, c ∈ R

ax+ y + z + t = 1x+ ay + z + t = bx+ y + az + t = b2

x+ y + z + at = b3

,x+ y + z = 1

ax+ by + cz = 1a2x+ b2y + c2z = 1

.

18. Determineu la matriu X tal que AX = B, essent

A =

1 11 01 1

i B =

2 10 22 1

; A =

2 1 11 1 13 1 1

i B =

1 20 02 1

;

A =

0 1 1 41 1 1 21 0 2 1

i B =

1 12 11 0

; A =

1 0 0 11 1 0 21 1 1 3

i B =

1 12 33 4

.

19. Determineu X tal que XA = B essent

A =(

1 21 3

)i B =

(1 20 1

); A =

1 21 11 3

i B =(

0 11 0

);

A =

1 0 11 0 13 1 1

i B =(

3 1 12 0 1

); A =

2 32 12 0

i B =(

3 11 3

).

20. Determineu la inversa de les matrius:

A =113

1 3 50 −1 41 1 0

, B =

1 1 11 a 11 1 a

, C =

0 a ba 0 cb c 0

,

D =

2 0 7 00 3 0 21 0 4 00 7 0 1

, E =

1 −a 0 . . . 0 00 1 −a . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 −a0 0 0 . . . 0 1

.

8

21. Siguin A,B ∈Mn(R). Proveu que (A−B)(A+B) = A2 −B2 ⇐⇒ AB = BA.

22. Sigui A ∈ Mn(R) i AX = B un sistema compatible i determinat . Que es pot afirmar delsistema A8X = B?

23. Descomposicio QR. Sigui A ∈ Mm×n(R) tal que rang(A) = n ≤ m. Proveu que existeixenuna unica Q ∈Mm×n(R) i una unica R ∈Mn(R) tals que:

(a) Q>Q = In.

(b) ri,j = 0 per a tot i > j i ri,i > 0 per a tot i = 1, . . . , n.

(c) A = QR.

24. Resoleu el sistema AX = B, usant la descomposicio QR, essent

A =

1 11 01 1

i B =

2 10 22 1

; A =

0 1 01 1 11 0 0

i B =

1 20 02 1

.

9

4. DETERMINANTS

1. Calculeu els determinants seguents:∣∣∣∣∣∣∣∣3 −2 0 −10 2 2 11 −2 −3 −20 1 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 2 30 1 −2 01 −3 −1 23 −4 0 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 2 4 56 7 8 8 10

11 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣cosx eix e−ix

cos 2x e2ix e−2ix

cos 3x e3ix e−3ix

∣∣∣∣∣∣ .2. Demostreu que:∣∣∣∣∣∣∣∣

a2 a 1 bcdb2 b 1 acdc2 c 1 abdd2 d 1 abc

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (a− b)(a− c)(b− c)(b− d)(c− d)(a− d).

3. Calculeu el valor del determinant de Van der Monde:

D2 =∣∣∣∣ 1 x1

1 x2

∣∣∣∣ , D3 =

∣∣∣∣∣∣1 x1 (x1)2

1 x2 (x2)2

1 x3 (xn)2

∣∣∣∣∣∣ , Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 (x1)2 . . . (x1)n−1

1 x2 (x2)2 . . . (x2)n−1

. . .

. . .1 xn (xn)2 . . . (xn)n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

4. Demostreu que els polinomis (x − ai)4, ai ∈ K, i = 0, 1, 2, 3, 4, amb ai 6= aj per a i 6= j, sonbase de K4[x].

5. Estudieu el rang de les matrius i trobeu la inversa, si existeixen, utilitzant determinants:

A =

1 0 −12 1 13 1 −1

, B =

1 2 −1 10 1 0 1

−1 0 0 10 1 1 1

.

6. Utilitzant la regla de Cramer, trobeu la solucio dels sistemes seguents:

x1 + 2x2 − x3 = 1x2 + x3 = 0

x1 + 3x2 + x3 = 1

,x1 + x2 + x3 = 1

x1 − x3 = 02x1 + x2 = 1

,x1 − x2 − x5 = 1

x3 + x6 = 0x4 − x5 = 1

.

7. Calculeu el determinant dels endomorfismes de M2(R) definits per:

(a) f(A) = A>.

(b) f(A) = MA, on M =(a bc d

).

8. Sabent que els nombres 58.786, 30.628, 12.831, 80.743 i 16.016 son divisibles per 13, demostreuque el determinant de la matriu seguent es divisible per 13:

A =

5 8 7 8 63 0 6 2 81 2 8 3 18 0 7 4 31 6 0 1 6

.

10

5. APLICACIONS LINEALS

1. Estudieu si les aplicacions seguents son lineals:

a) f : R2 −→ R2 definida per f(x, y) = (x+ y, x)

b) f : R2 −→ R2 definida per f(x, y) = (xy, x)

c) f : R2 −→ R3 definida per f(x, y) = (x, x, x+ y)

d) f : R2 −→ R definida per f(x, y) = x2y2

e) f : R2 −→ R2 definida per f(x, y) = (y, 0)

f) f : R3 −→ R3 definida per f(x, y, z) = (x+ a, by, x+ y + z)

2. Sigui f : R3 −→ R3 l’aplicacio que ve definida per f(x, y, z) = (x − y + z, y + z, x − y + z)Proveu que f es lineal. Determineu bases de Nucf i de Imf . Es f injectiva? I bijectiva? Potser exhaustiva?

3. Sigui f : R3 → R3 definida per f(x, y, z) = ((p− 2)x+ 2y − z, 2x+ py + 2z, 2px+ 2(p− 1)y +(p+ 1)z).

a) Calculeu els valors de p per a que dim Nuc f 6= 0.

b) Trobeu una base de Nuc f per a cada cas.

c) Trobeu una base de Im f en el cas que f(4, 0,−4) = 0.

4. Sigui f : M2(R) −→M3(R) definida per f((

a bc d

))=

0 a− b cb− a 0 d− c−c c− d 0

.

a) Proveu que f es lineal.

b) Doneu una base del Nuc f i una altra de la Im f .

c) Doneu la matriu de f en les bases naturals de M2(R) i M3(R).

d) Trobeu un complementari del Nuc f en M2(R) i un complementari de la Im f en M3(R).

5. Sigui f : R3 →M2(R) definida per f(x1, x2, x3) =(x1 − x2 x2 − x3

x3 − x2 x1 − x3

).

a) Es f lineal ?

b) Obteniu la dimensio i una base de Nuc f i de Im f .

c) Es f injectiva ? Es f exhaustiva ?

d) Doneu la matriu de f en les bases naturals.

6. Trobeu totes les aplicacions lineals f : R4 −→ R2 que tinguin per nucli el subespai vectorialF = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x − 3y + t = 0, y − t = 0}. Doneu la matriu de f en les bases naturalsde R4 i de R2. Es f exhaustiva?

7. Es defineix f : R3 −→ R4 per f(0, 1, 1) = (2, 1,−1, 0), f(1, 0, 3) = (5, 2, 2, 1) i f(2, 1, 0) =(5,−2, 3, 2) i s’esten per linealitat. Trobeu la matriu de f en les bases naturals de R3 i de R4.Determineu bases de Im f i de Nuc f .

8. Existeix algun endomorfisme f de R3 tal que f(ui) = vi, i = 1, 2, 3 on

(a) u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (−1, 1, 0) i v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (8, 4, 0).

(b) u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (−1, 2, 3) i v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (8, 4, 0).

(c) u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (−1, 2, 3) i v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (0, 1, 2).

En cada cas, i en cas afirmatiu, trobeu-los tots donant-ne la matriu en les bases ordinaries.

11

9. Sigui f : R3 → R3 l’endomorfisme que te matriu en bases naturals A =

0 2 10 0 30 0 0

.

a) Trobeu els subespais Im f i Nuc f .

b) Trobeu una base de R3 per a la qual la matriu de f en aquesta base sigui

B =

0 1 00 0 10 0 0

.

10. Sigui f l’endomorfisme de R3 definit per f(x, y, z) = (3x, x− y, 2x+ y + z).

a) Trobeu la seva matriu en la base natural.

b) Trobeu la seva matriu en la base (1, 0, 1), (−1, 2, 1), (2, 1, 1).

c) Es f bijectiva? En cas afirmatiu trobeu f−1 i doneu les matrius de f−1 en les basesdefinides en a) i b).

d) Proveu que (f2 − I)(f − 3I) = 0.

11. Siguin f, g ∈ End (E), E = M2(R), definides per

f

((a bc d

))=

(a− d b+ cb+ c a− d

)i g

((a bc d

))=

(a− d b− cb− c a− d

)a) Proveu que f , g son lineals.

b) Trobeu bases de Nucf i de Nucg.

c) Calculeu f ◦ g i g ◦ f .

d) Proveu que Imf =Nuc g.

e) Trobeu Me,e(f) i Mu,u(f) on e1 =(

1 00 0

), e2 =

(0 10 0

), e3 =

(0 01 0

), e4 =(

0 00 1

)i u1 =

(1 00 1

), u2 =

(0 10 0

), u3 =

(0 11 0

), u4 =

(0 00 1

).

12. Siguin f i g els endomorfismes de R[x] definits per f(p(x)) = p(x)−p(0)x i g(p(x)) = xp(x).

a) Proveu que f , g son lineals.

b) Determineu Nucf i Imf .

c) Determineu Nucg i Img.

d) Estudieu la injectivitat i l’exhaustivitat de f ig.

e) Calculeu f ◦ g i g ◦ f .

f) Compareu els resultats de d) i e) amb el cas d’un endomorfisme d’un espai vectorial dedimensio finita.

13. Sigui f : R3 −→ R2 l’aplicacio lineal que en les bases u = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), v =

((1, 1), (1, 0)) te matriu Mu,v(f) =(

3 5 11 2 0

).

a) Trobeu la matriu de f en les bases naturals de R3 i R2.

b) Trobeu la matriu de f en les bases u′ = ((1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 0)) i v′ = ((2, 1), (1, 2)).

c) Trobeu la imatge referida a v′ del vector de components (1, 2, 3) relatives a la base u.

12

14. Sigui U ⊂ R4 el subespai engendrat per u = {(1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 0)} i V ⊂ R3 l’engendrat perv = {(1, 1, 1), (2, 1, 0)}. Siguin (x1, x2) les components d’un vector de U expressat en la baseu i definim f : U −→ V de la forma f((x1, x2)) = (x1 − x2, x1 + x2), on (x1 − x2, x1 + x2) sonles components de la imatge en la base v.

a) Doneu la matriu de f en aquestes bases.

b) Es f injectiva? Es exhaustiva?

c) Siguin u′ = ((0, 1, 0, 0), (2, 1, 2, 0)) i v′ = ((−1, 0, 1), (0, 1, 2)).

Proveu que son dues noves bases per a U i V respectivament i doneu la matriu de f enaquestes noves bases.

15. Siguin D,M : R[x] −→ R[x] definides per D(p(x)) = p′(x) i M(p(x)) = xp(x).

a) Proveu que D, M son lineals.

b) Proveu que DM −MD = id.

c) Existeix algun n ∈ N tal que Dn = 0? Compareu el resultat amb el cas d’esser D|Rn[x].Un endomorfisme f que verifica que fn = 0 per a algun n es diu que es nilpotent.

16. Siguin D, f : R[x] −→ R[x] definides per D(p(x)) = p′(x) i f(p(x)) = p(x)− p′(x).

a) Demostreu que D i f son endomorfismes de Rn[x].

b) Demostreu que existeix f−1 i que es pot posar en funcio de l’aplicacio D.

17. Fixada A ∈M2(R), definim fA : M2(R) −→M2(R) per fA(B) = AB −BA.

a) Proveu que fA es lineal.

b) Doneu la matriu de fA en la base natural de M2(R).

c) Doneu els valors maxim i mınim que pot prendre dim Nuc fA en funcio de A.

d) Doneu exemples de matrius A per a les quals dim Nuc fA assoleix aquests valors extremsi determineu els Nuc fA corresponents.

18. Considerem l’aplicacio tr : Mn(K) −→ K definida per tr(A) =traca de la matriu A.

(a) Comproveu que tr es lineal.

(b) tr(AB) = tr(BA) per a A,B ∈Mn(K).

(c) Proveu que AB −BA 6= I per a A,B ∈Mn(K).

(d) Trobeu el Nuc(tr) i Im(tr).

19. Sigui E un espai vectorial de dimensio finita. Proveu que no existeixen f , g endomorfismes deE tals que fg − gf = id.

20. Sigui f ∈ End (E) i E un K-espai vectorial amb car(K) 6= 0. Si f2 = I, F = {x ∈ E | f(x) = x}i G = {x ∈ E | f(x) = −x}, proveu que E = F ⊕G. I si K = Z/(2)?

21. Sigui E un K-espai vectorial. Direm que p ∈ End (E) es un projector si i nomes si p2 = p.

a) Demostreu que p es un projector si i nomes si I − p es un projector.

b) Demostreu que si p es un projector llavors Im p⊕Nucp = E. Es cert el recıproc ?.

c) Si car(K) 6= 0 i p1, p2 son projectors, demostreu que p1 + p2 es un projector si i nomes sip1 ◦ p2 = p2 ◦ p1 = 0. I si K = Z/(2)?

22. Sigui f ∈ End(E). Proveu:

a) ∀n ≥ 1, Imfn+1 ⊂Im fn i Nucfn ⊂Nuc fn+1.

13

b) Si dimE es finita, proveu que ∃m tal que Imfm =Imfm+1 i Nuc fm =Nuc fm+1. Escert el recıproc? I si dimE no es finita? (Indicacio: E = R[x], f la derivacio i m = 0).

23. Sigui f ∈ End(E) amb f2 + f + id = 0. Proveu que f es un isomorfisme i trobeu f−1.

24. Siguin f : E −→ F , g : F −→ G aplicacions lineals. Proveu que Nuc (gf) = f−1(Nuc g).

25. Sigui f un endomorfisme de E. Proveu que fg = gf per a tot g ∈ End (E) si i nomes sif = aid per a algun a ∈ K.

26. Suposem que w1, w2, w3, w4 ∈ (R4)∗ verifiquen que w1(1, 0, 0, 0) = 0, w2(1, 0, 0, 0) = 0,w3(1, 0, 0, 0) = 0 i w4(1, 0, 0, 0) = 0. Proveu que w1, w2, w3, w4 son linealment dependents.

27. Sigui E un espai vectorial de dimensio n i w1, w2 dos elements de E∗ linealment independents.Proveu que dim(Nucw1 ∩Nucw2) = n− 2.

28. Sigui u = ((1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1,−1)) base de R3. Trobeu la seva base dual.

29. Sigui E un espai vectorial de dimensio 3 i e = {e1, e2, e3} una base de E. Sigui e∗ la base deE∗ dual de la base e. Considerem w1 = 2e∗1 + e∗2 − e∗3, w2 = e∗1 − e∗2 + e∗3, w3 = e∗3. Proveu quew = {w1, w2, w3} es una base de E∗ i trobeu una base u = {u1, u2, u3} de E tal que w = u∗.

30. Considerem les formes lineals w1(x, y, z) = 2x+y−z, w2(x, y, z) = −x−y+z, w3(x, y, z) = z,w4(x, y, z) = x + y + z de (R3)∗. Extreieu-ne una base de (R3)∗ i trobeu la base de R3 de laqual n’es dual.

31. Siguin w1, w2, w3 ∈ (R2[x])∗ definides per w1(p(x)) = p(1), w2(p(x)) = p(−1) i w3(p(x)) =p(0). Proveu que (w1, w2, w3) es base de (R2[x])∗ i trobeu una base (u1, u2, u3) de R2[x] ladual de la qual sigui (w1, w2, w3).

32. Sigui e = {e1, e2, e3} una base d’un espai vectorial E de dimensio 3 i v1 = 5e1 − e2 + 2e3,v2 = 4e1 + e2 + e3, v3 = −3e1 + e3 tres vectors de E. Proveu que v = {v1, v2, v3} formen unabase de E. Siguin e∗ i v∗ les base de E∗ duals de e i v respectivament i w = 2e∗1 + 3e∗2 − e∗3 unelement de E∗. Expresseu w en funcio de v∗.

33. Sigui f : R2[x] −→ R2 definida per f(a + bx + cx2) = (a + b, a + c). Considerem les basesu = (1, 1 + x, x2) de R2[x] i v = (1, 0), (1, 1)) de R2. Determineu la matriu de l’aplicacio dualde f en les bases v∗ i u∗, duals de v i u, respectivament.

14

6. DIAGONALITZACIO

1. Estudieu la diagonalitzacio de les matrius de Mn(K) essent K = Q, R, C:

1 2 −2−1 3 0

0 2 1

,

3 −1 −1−6 1 2

2 1 0

,

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

,

3 1 0−4 −1 0

4 −8 −2

.

2. Proveu que la matriu A =

3/4 0 1/41/4 1/2 1/40 1/2 1/2

diagonalitza i trobeu una base formada per

vectors propis. (La matriu A s’anomena estocastica en ser la suma dels elements de cadacolumna igual a 1).

3. Proveu que la matriu B =

0 −1 1−2 1 1−4 −2 4

diagonalitza i trobeu una base formada per

vectors propis.

4. Sigui A ∈ Mn(K) tal que ai,j = 1 per a tot i, j. Proveu que A diagonalitza i trobeu una baseformada per vectors propis.

5. Sigui e1, . . . , en una base de l’espai vectorial E i f ∈ End(E), f 6= 0, tal que f(e1) = . . . =f(en) =

∑ni=1 aiei. Demostreu que f es diagonalitzable si i nomes si

∑ni=1 ai 6= 0.

6. Trobeu una matriu A ∈ M3(R) amb vectors propis (1, 2,−1), (1, 0, 1), (0, 1,−2) de valorspropis −2, 1 i 2 respectivament.

7. Trobeu les condicions que han de verificar a, b, c, d, e, f per a que, en cada cas, diagonalitzi una

de els matrius seguents:

1 0 0 0a 1 0 0b c 2 0d a f 2

,

3 0 0 0a 2 d eb 0 1 0c 0 f 0

,

3 0 0 0a 2 d eb 0 1 0c 0 f 3

.

8. Sigui f : R4 → R4 definit per f(x, y, z, t) = (x − z + (a + 2)t, y + z − 2t, 2z + (a − 3)t, at).Determineu per a quins valors de a es diagonalitzable.

9. Sigui f : R3 → R3 definit per f(x, y, z) = (αx,−y + βz, 3x+ γz). Estudieu per a quins valorsde α, β, γ diagonalitza i, quan ho sigui, trobeu els valors propis de f i una base de R3 formadaper vectors propis de f .

10. Trobeu els valors propis de les matrius

a b c db a c db c a db c d a

,

b a 0 aa b 0 ab a c 0a b 0 a

.

11. Proveu que f : M2(R) −→M2(R), definit per f(A) = A> es diagonalitzable i trobeu una basede vectors propis.

12. Estudieu si f : M2(R) −→M2(R), f(A) = BA, diagonalitza si B =(

1 −10 3

).

13. Sigui f : R2[x] → R2[x]) definit per f(1) = 2− x2, f(x2) = 2x2 − 1 i f(1 + x) = 2 + 2x− x2.

(a) Trobeu la matriu A de f en la base ordinaria (1, x, x2) de R2[x].

(b) Doneu una base v de R2[x] tal que la matriu de f en aquesta base, D, sigui diagonal.

(c) Trobeu una matriu B ∈M3(R) invertible tal que BD = AB.

15

14. Sigui L : R[x] → R[x] definida per L(p) = (2x+ 1)p− (x2 − 1)p′, essent p′ el polinomi derivatde p.

(a) Demostreu que L es lineal i trobeu el grau de L(p).

(b) Deduıu un subespai invariant per L.

(c) Es exhaustiva aquesta aplicacio ?

(d) Determineu els vectors propis de L.

15. Sigui A=

0 a a2

a−1 0 aa−2 a−1 0

, on a ∈ R, a 6= 0.

(a) Proveu que A es invertible i determineu A−1 usant el Teorema de Cayley-Hamilton.

(b) Estudieu la diagonalitzacio de A, i en els casos en que aixo sigui possible, determineu unamatriu S tal que S−1AS = D sigui diagonal.

(c) Calculeu Ap ∀ p ∈ Z.

16. Estudieu la diagonalitzacio de la matriu real A =

3a −a a −aa a a −a

−a a a aa −a a a

i, en cas que sigui

diagonalitzable, determineu S tal que S−1AS sigui diagonal.

17. Sigui A ∈Mn(R) nilpotent.

(a) Demostreu que l’unic valor propi de A es el zero. Quin es el polinomi caracterıstic de A ?

(b) Deduıu el polinomi caracterıstic de A+ I. Quin es el valor de det(A+ I)?

(c) Sigui B ∈Mn(R) tal que AB = BA. Demostreu que det(A+B) = detB.

18. Proveu que si f ∈ End(E) es diagonalitzable i F es un subspai invariant per f , aleshores f|Ftambe es diagonalitzable.

19. Demostreu que si f, g ∈ End(E) commuten, els subspais nucli de g−λI, λ ∈ R, son invariantsper f i recıprocament.

20. Sigui f ∈ EndC(E), dimE < ∞. Proveu que f es diagonalitzable si i nomes si tot subspaiinvariant per f admet un complementari tambe invariant per f .

21. Determineu la forma general de les matrius que commuten amb les matrius diagonals i de lesque commuten amb les diagonalitzables.

22. Siguin A i B dues matrius de Mn(R) i A invertible.

(a) Proveu que AB i BA tenen el mateix polinomi caracterıstic.

(b) Suposem que BA diagonalitza, diagonalitza AB ?

23. Sigui f ∈ EndR(E). Proveu que si dimE es senar, aleshores f te algun valor propi i que si dimEes parell i det f < 0, f te almenys dos valors propis. Doneu un exemple d’un endomorfismesense valors propis.

24. Sigui A ∈ Mn(R) i α ∈ R no nul. Trobeu la relacio que hi ha entre el polinomi caracterısticde A i el polinomi caracterıstic de αA. Deduıu que si λ es un valor propi de A, aleshores αλes un valor propi de αA i que si x es un vector propi de A de valor propi λ, aleshores x es unvector propi de αA de valor propi αλ.

25. Sigui f ∈ End(E), on E un R-espai vectorial de dimensio n.

16

(a) Proveu que si λ es un valor propi de f llavors λp es un valor propi de fp i que els subspaispropis respectius F i G son tals que F ⊂ G. Per a p ≥ 2, trobeu un exemple en el qualF 6= G ( p ≥ 2 ).

(b) Proveu que si f es bijectiva, f−1 admet per valors propis els inversos dels valors propisde f i que els subspais propis son iguals.

26. Considerem E un espai vectorial sobre K de dimensio finita, f : E → E un endomorfisme deE i p(t) ∈ K[t].

(a) Proveu que si f diagonalitza, aleshores p(f) diagonalitza.

(b) Proveu que si Qf (t) = (λ1 − t)α1(λ2 − t)α2 . . . (λr − t)αr , λi ∈ K, aleshores Qp(f)(t) =(p(λ1)− t)α1(p(λ2)− t)α2 . . . (p(λr)− t)αr .

27. Siguin f, g ∈ End(E), on dimE = n finita. Demostreu que si λ es valor propi de g◦f , aleshoresλ es valor propi de f ◦ g.

17

7. FORMA REDUıDA DE JORDAN

1. Trobeu els polinomis caracterıstic i mınim i la forma reduıda de Jordan de l’endomorfismef ∈ End (R13) tal que dim Nuc(f − 2I) = 4, dim Nuc(f − 2I)2 = 7, dim Nuc(f − 2I)3 = 10,dim Nuc(f − 2I)4 = 12 i dim Nuc(f − 2I)5 = 13.

2. Trobeu les possibles formes de Jordan dels endomorfismes d’un R-espai vectorial amb polinomiscaracterıstic i mınim:

a) Q(t) = −(t− 3)3(t− 2)4, P (t) = (t− 3)(t− 2)2

b) Q(t) = −(t− 5)7, P (t) = (t− 5)3

c) Q(t) = (t− a)8, P (t) = (t− a)3

d) Q(t) = (t− a)5(t− b)2, P (t) = (t− a)(t− b) amb a, b ∈ R

3. Trobeu els polinomis mınim i caracterıstic dels endomorfismes les matrius dels quals son:

(a)

21 2

1 221 2

21 2

(b)

21 2

1 231 3

45

(c)

a1 a

1 aa1 a

a1 a

(d)

a1 a

1 aa

aa

a

4. Trobeu la forma reduıda de Jordan i una base de Jordan de la matriu

A =

3 1 −1 1 11 5 −1 1 −11 1 3 1 −11 −1 1 5 −10 0 0 2 4

.

5. Determineu la matriu reduıda de Jordan aixı com la base per a la qual la matriu adoptaaquesta forma, per a cada un dels casos seguents: 12 −6 −2

18 −9 −318 −9 −3

,

3 −1 1 −79 −3 −7 −10 0 4 −80 0 2 −4

,

1 0 0 02 1 0 03 2 1 04 3 2 1

0 1 0

−4 4 0−2 1 2

,

1 0 1 00 1 0 10 1 1 00 0 0 1

,

−2 1 0 −1

0 −1 0 −11 0 −2 −12 −3 0 −1

.

6. Trobeu la forma reduıda de Jordan i una base de Jordan per a les matrius:

a)

a 2a 3ab 2b 3bc 2c 3c

b)

1 a 0 0 0 00 1 a 0 0 00 0 1 a 0 00 0 0 1 a 00 0 0 0 1 a0 0 0 0 0 1

(a 6= 0).

18

7. Sigui f un endomorfisme de R7 que te per polinomis caracterıstic i mınim, respectivament,Q(t) = −(t− 1)4(t− 2)3 i P (t) = (t− 1)α(t− 2).

(a) Quins son els nombres maxim i mınim de vectors propis linealment independents que potadmetre una base de Jordan de f? Per a quins valors de α?

(b) Diagonalitza f per a algun valor de α?

(c) Suposem α = 4. Trobeu 12 subespais invariants per f .

8. Donades les matrius de M3(C), A =

4 −1 −16 −1 −23 −1 0

, B =

1 0 0α 1 01 0 β

, trobeu els valors

de α i β de manera que A i B siguin equivalents.

9. Es consideren les matrius de M3(R),

A1 =

1 0 01 1 01 0 1

A2 =

1 0 −10 3 −40 1 −1

A3 =

2 1 −1−2 −1 2−1 −1 2

.

(a) Raoneu quines d’aquestes matrius son equivalents entre sı.

(b) Si A i B son dues d’aquestes matrius equivalents, trobeu una matriu S tal que B =S−1AS.

10. Es consideren les matrius de M3(C), A =

a 1 −11 1 −2b 1 −1

, B =

0 −1 −11 −1 00 1 1

. Deter-

mineu els valors de a i b per a que existeixi una matriu S invertible, tal que A = S−1BS itrobeu S.Es unica la S? Si no es unica trobeu-ne una altra.

11. Sigui f : R7 −→ R7 un endomorfisme de R7 que te polinomis caracterıstic i mınim, respecti-vament, Q(t) = (t− 3)5(t+ 2)2, P (t) = (t− 3)α(t+ 2)β

(a) Per a quins valors de α i β, f diagonalitza?

(b) Si β = 2, per a quins valors de α s’obte el maxim i el mınim de vectors propis linealmentindependents en una base de Jordan de f?

(c) Si β = 2 i α = 3, indiqueu les possibles formes de Jordan de f i en cada cas les condicionsque defineixen una base de Jordan.

12. Sigui M =

16 1 00 16 0

13 −25 3

(a) Trobeu la forma reduıda de Jordan de M .

(b) Trobeu una base de Jordan de M .

(c) Sigui α ∈ R, α > 0. Trobeu totes les matrius A tals que A2 =(α 01 α

).

(d) Utilitzant c), trobeu una matriu N tal que N2 = M .

13. Trobeu la forma reduıda de Jordan d’un endomorfisme f de R3, on f verifica:

(a) f(e1) + f(e2) + f(e3) = (1, 1, 1).

(b) f(e1)− f(e2) = f(1, 1,−2).

(c) f2 = f .

(d) Si F = {(x, y, z) ∈ R3 | y + 2z = 0} i H = [(1, 1, 0), (1, 0, 1)], F ∩H es invariant per f .

19

14. Trobeu els endomorfismes f : R3 → R3, donant la seva matriu en la base e = (e1, e2, e3)ordinaria de R3, tals que

(a) [e1, e2] i [e3] son subespais invariants per f .

(b) Nuc(f) = [(1, 2, 0)].

(c) La matriu de f en la base ordinaria es simetrica.

(d) traca(f) = 6.

(e) 1 es valor propi de f .

15. Trobeu la matriu en la base ordinaria d’un endomorfisme f de R4, on f verifica:

(a) f(0, 1, 0, 0) = (0, 1/2, 1/2, 1).

(b) Es equivalent a l’endomorfisme de R4, la matriu del qual en base ordinaria es3 3 7 02 8 14 7

−1 −3 −5 −30 0 0 2

.

(c) Deixa invariants els subespais

F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 |x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 = 0, x2 + x3 + x4 = 0}G = [(−3,−2, 3, 2), (−1, 0, 1, 0)].

(d) Els seus vectors propis pertanyen al subespai

H = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | 2x1 + x2 + x3 + x4 = 0} .

16. Trobeu la forma de Jordan de les matrius

A =

1 −1 0 . . . 00 1 −1 . . . 0

. . .0 . . . 0 1 −10 . . . 0 0 1

B =

1 2 3 . . . n0 1 2 . . . n− 10 0 1 . . . n− 2

. . .0 0 . . . 0 1

i matrius SA, SB tal que S−1

A ASA = JA, S−1B BSB = JB .

17. Considerem E un espai vectorial de dimensio 5 i f : E → E un endomorfisme de E.

(a) Si traca(f) = 0, rang(f) = 3 i rang(f2) = 1, trobeu la forma reduıda de Jordan de f .

(b) Trobeu la forma reduıda de Jordan i una base de Jordan de f , si E = R5 i la matriu de

f en la base ordinaria e de R5 es A = Me,e(f) =

1 1 2 1 21 0 1 0 1

−1 0 −1 0 −20 0 0 0 10 0 0 0 0

.

18. Sigui E el subespai vectorial del R-espai vectorial de les funcions derivables reals de variablereal generat per 1, t, cos(t), sin(t). Considerem D : E → E l’endomorfisme derivar, es a dir, sif ∈ E, aleshores D(f) = f ′ es la derivada de f .

(a) Descomposeu E en la suma directa de dos subespais vectorials propis invariants per D.

(b) De quantes maneres es pot descomposar E en suma directa de subespais vectorials propisinvariants per D ?

20

19. Considerem E un R-espai vectorial de dimensio n ≥ 5 i f : E → E un endomorfisme de E.Suposem que existeix λ ∈ R, λ 6= 0, tal que traca(f) = nλ, det(f) = λn i rang(f − λI) = 2.Trobeu i justifiqueu com ha de ser la forma reduıda de Jordan de f .

20. Siguin E un espai vectorial de dimensio finita, f : E → E un endomorfisme de E i F unsubespai vectorial de E invariant per f . Si el polinomi mınim anul·lador de f es p(t) = a(t)b(t),on a(t) i b(t) son dos polinomis primers entre sı, proveu que

F = (F ∩Nuc(a(f)))⊕ (F ∩Nuc(b(f))) .

21. Trobeu la forma reduıda de Jordan i una base de R5 de Jordan relatives a l’endomorfismef : R5 → R5 que te matriu en base ordinaria

A = Me,e(f) =

2 0 0 0 0

−2 3 −2 1 15 −1 5 −1 −1

11 −3 8 −1 −35 −1 3 −1 1

.

21

EXAMENS CURS 2000-2001

Examen d’Algebra Lineal. FME.7 de novembre de 2000

Escriviu 1,2,3 separats de 4,5,6.

1 (2 PUNTS) Sigui E = M2(R) l’espai vectorial de les matrius 2 × 2 amb coeficients reals.Considerem el subespai F = [I, J ] generat per les matrius

I =(

1 00 1

), J =

(1 1

−2 −1

).

(a) Proveu que si A,B ∈ F , aleshores AB ∈ F .

(b) Proveu que F es un anell commutatiu amb unitat amb la suma i el producte ordinaris.Es un cos ?

2 (2 PUNTS) Siguin K = Z/(3), E = K4 i F = {(x, y, z, t) | x+ y− t = 0, y− z+ t = 0}. Trobeuuna base de E/F .

3 (2 PUNTS) En E = R4, prenem F = [(1,−1, 1, 0), (1, 0, 1, 2), (1, 1, 1, 4)] i G = {(x, y, z, t) |y + 3z = 0,−x+ 5z + t = 0}. Trobeu bases de F +G i de F ∩G.

4 (2 PUNTS) Sigui E un espai vectorial de dimensio 4. Siguin F,G,H tres subespais vectorialsde E. Suposem que u1, u2, u3, u4 son quatre vectors no nuls de E tals que H = [u1, u2, u3, u4],H ∩ F = [u1, u2] i H ∩G = [u3, u4]. Si E = F ⊕G, raoneu quines de les afirmacions seguentsson certes o falses:

(a) F = [u1, u2], G = [u3, u4] i H = E.

(b) dim(E/F ) = 2.

(c) dim H ≥ 2.

(d) F ∩G = [u1 + u2 + u3 + u4].

5 (1 PUNT) Siguin E,F,G tres espais vectorials i f : E → F , g, g′ : F → G, tres aplicacionslineals. Proveu que (g+ g′) ◦ f = g ◦ f + g′ ◦ f indicant el perque. Cal que totes les aplicacionssiguin lineals per a que la igualtat sigui certa ?

6 (1 PUNT) Proveu que si E es un espai vectorial de dimensio 1 i f, g : E → E son dosendomorfismes de E, aleshores f ◦ g = g ◦ f .

22

Examen d’Algebra Lineal. FME19 de gener de 2001

Escriviu els exercicis 1,4,5 en fulls separats dels exercicis 2,3.

1 (2 PUNTS) Sigui E = Mn(R) l’espai vectorial de les matrius n × n amb coeficients reals.Definim l’aplicacio ϕ : E → E∗, (ϕ(A))(X) = traca(AX), per a A,X ∈ E.

(a) Proveu que ϕ esta ben definida, es a dir, ϕ(A) ∈ E∗ per a tot A ∈ E.

(b) Proveu que ϕ es lineal.

(c) Proveu que ϕ es injectiva.

(d) Proveu que si ω ∈ E∗, aleshores existeix una unica A ∈ E tal que ω(X) = traca(AX) pera tot X ∈ E.

2 (2 PUNTS) Trobeu els endomorfismes f : R3 → R3, donant la seva matriu en la base e =(e1, e2, e3) ordinaria de R3, tals que

(a) [e1, e2] i [e3] son subespais invariants per f .

(b) Nuc(f) = [(1, 2, 0)].

(c) La matriu de f en la base ordinaria es simetrica.

(d) traca(f) = 6.

(e) 1 es valor propi de f .

3 (2.5 PUNTS) Sigui f : R4 → R4 un endomorfisme de R4 la matriu del qual en la base ordinariaes:

A =

4 −18 −9 180 1 0 01 −2 −2 20 2 0 −1

.

(a) Trobeu la forma de Jordan J de f .

(b) Trobeu una matriu S tal que S−1AS = J .

4 (1 PUNT) Sigui F el subespai vectorial de R4 definit per x+ y + z + t = 0. Trobeu una baseortogonal de F .

5 (2.5 PUNTS). Sigui f : E → E un endomordisme d’un espai vectorial E sobre K de dimensiofinita. Sigui p(t) ∈ K[t] un polinomi que anul·la f i suposem que p(t) = a(t)b(t) on a(t), b(t) ∈K[t] son primers entre sı.

(a) Proveu que Nuc(a(f)) es un subespai invariant per f .

(b) Proveu que E = Nuc(a(f))⊕Nuc(b(f)).

23

Examen d’Algebra Lineal. FME6 de juliol de 2001

Escriviu els exercicis 1,2,3 en fulls separats dels exercicis 4,5.

1 (2 PUNTS) Es considerem les tres formes lineals de R3 definides per

ω1(x, y, z) = x+ 2y + 3z , ω2(x, y, z) = 2x+ y − z , ω3(x, y, z) = x+ 3y + 5z .

(a) Denotem per (e1, e2, e3) a la base ordinaria de R3 i (e∗1, e∗2, e

∗3) la seva base dual. Trobeu

les components de ω1, ω2, ω3 en la base (e∗1, e∗2, e

∗3) i proveu que (ω1, ω2, ω3) es una base

del dual de R3.

(b) Trobeu una base (u1, u2, u3) de R3 tal que la seva base dual sigui (ω1, ω2, ω3).

2 (2 PUNTS) Siguin E un espai vectorial de dimensio finita, f : E → E un endomorfisme deE i F un subespai vectorial de E invariant per f . Si el polinomi mınim anul·lador de f esp(t) = a(t)b(t), on a(t) i b(t) son dos polinomis primers entre sı, proveu que

F = (F ∩Nuc(a(f)))⊕ (F ∩Nuc(b(f))) .

3 (2 PUNTS) Trobeu la forma reduıda de Jordan i una base de R5 de Jordan relatives al’endomorfisme f : R5 → R5 que te matriu en base ordinaria

A = Me,e(f) =

2 0 0 0 0

−2 3 −2 1 15 −1 5 −1 −1

11 −3 8 −1 −35 −1 3 −1 1

4 (2 PUNTS) Determineu una base ortogonal (respecte del producte escalar ordinari de R5) del

subespai vectorial F definit per

F = {(x1, x2, x3, x4, x5) | x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0 , x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0} .

5 (2 PUNTS) Siguin E i F dos espais vectorials i f : E → F una aplicacio lineal. Proveu que findueix un isomorfisme de f : E/Nuc(f) → Im(f).

24


Examen d’Algebra Lineal. FME.

9 de novembre de 2001

Escriviu cada exercici en fulls separats.

1 (2 PUNTS) En Z, considerem la relacio a ∼ b⇔ a2 + a = b2 + b.

(a) Proveu que es una relacio d’equivalencia.

(b) Donat a ∈ Z, expliciteu tots els elements de la classe de l’element a.

2 (2 PUNTS) Discutiu el sistema AX = B, segons el valor dels parametres a, b ∈ R, i resoleu-loquan sigui compatible indeterminat, on

A =

a 2a− 1 a+ 20 a− 1 a− 3a 3a− 2 3a+ 1

i B =

1 b1 + a −b2− a b

.

3 (2 PUNTS) Considerem el determinant

D(n, k) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1k 2k . . . nk

2k 3k . . . (n+ 1)k

......

...nk (n+ 1)k · · · (2n− 1)k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(a) Calculeu D(1, 1), D(2, 1), D(3, 1).

(b) Proveu que D(n, 2) = 0 per a tot n > 3.

4 (2 PUNTS) Sigui E = R4[x] l’espai vectorial dels polinomis en x de grau menor o igual que4 amb coeficients reals. Siguin F = {p(x) ∈ R4[x] | p(−x) = p(x)} i G = {p(x) ∈ R4[x] |p(−x) = −p(x)}.

(a) Proveu que F i G son subespais vectorials i trobeu bases de F,G, F +G i F ∩G.

(b) Trobeu una base d’un complementari en E/F del subespai

H = [(1− 2x+ x2) + F, (2 + x+ x4) + F ] .

5 (2 PUNTS) Enuncieu i demostreu la Formula de Grassmann.

25


16 de gener de 2002


1 (2 PUNTS) Siguin F = {p(x) ∈ R4[x] | p(x) multiple de x− 1} i G = [1, x+ x2, x4].

(a) Trobeu un subespai H tal que F = (F ∩G)⊕H.

(b) Calculeu α ∈ R per a que q(x) = −1 + 2x+ αx3 + x4 ∈ F .

(c) Trobeu la descomposicio de q(x) en la suma directa F = (F ∩G)⊕H.

2 (2 PUNTS) Siguin E i F dos espais vectorials sobre K i ϕ : E × F → K una forma bilineal.

(a) Proveu que Eϕ = {x ∈ E | ϕ(x, y) = 0 ,∀y ∈ F} es un subespai vectorial de E.

(b) Proveu que l’aplicacio ψ : E/Eϕ → F ∗, ψ(x + Eϕ)(y) = ϕ(x, y), esta ben definida, eslineal i injectiva.

(c) Si F = E i E es de dimensio finita, caracteritzeu quan ψ es un isomorfisme.

3 (2 PUNTS) Siguin E un espai vectorial sobre R de dimensio finita n ≥ 1 i f : E → E unaaplicacio lineal tal que Nuc(f − 3I) = Im(f − 3I). Trobeu la forma reduıda de Jordan de f .

4 (2 PUNTS) Sigui f : R5 → R5 l’endomorfisme de R5 la matriu del qual en la base ordinaria ede R5 es:

A = Me,e(f) =

1 −2 1 1 0

−2 3 −2 −3 0−1 2 −1 −1 0−2 3 −2 −3 0

1 2 1 2 0

Trobeu la forma reduıda de Jordan i una base de Jordan de f .

5 (2 PUNTS) Siguin E i F dos espais vectorials de dimensio finita i f : E → F una aplicaciolineal. Demostreu que dim E = dim Nuc(f) + rang(f).

26


5 de juliol de 2002


1 (2 PUNTS) Siguin F = {(x, y, z, t, u) ∈ R5 | x − t = 0, y − z = 0, 2x − y + z − 2t + u = 0} iG = {(x, y, z, t, u) ∈ R5 | x− t = 0}.

(a) Estudieu la dependencia lineal de (0, 0, 0, 1, 1) + F i (2,−1, 1, 3,−1) + F a R5/F .

(b) Estudieu la dependencia lineal de (0, 0, 0, 1, 1) +G i (2,−1, 1, 3,−1) +G a R5/G.

(c) Trobeu una base de G/F que contingui el vector (1, 0, 0, 1, 1) + F .

(d) Trobeu les components del vector (1, 1, 1, 1, 1) + F respecte de la base que heu trobat enl’apartat anterior.

2 (2 PUNTS) Sigui f : M2(R) → M2(R) l’aplicacio definida per f(A) = MA − AM−1, on

M =(

1 11 2

).

(a) Proveu que f es lineal.

(b) Trobeu la matriu de f en la base ordinaria de M2(R).

(c) Calculeu el Nuc(f) i la Im(f).

(d) Proveu que Im(f) = Im(fn) per a tot n ≥ 1.

3 (2 PUNTS) Sigui f : R3 → R3 una aplicacio lineal tal que Qf (t) descomposa totalment enR[t]. Proveu que si la traca(f2) = 0, aleshores f3 = 0

4 (2 PUNTS) Sigui f : R4 → R4 l’endomorfisme de R4 la matriu del qual en la base ordinaria ede R4 es:

A = Me,e(f) =

4 −1 2 −12 0 3 −20 0 2 04 −1 3 1

Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R4 on Mu,u(f) = J .

5 (2 PUNTS) Expliqueu el proces d’ortonormalitzacio de Gram-Schmidt.

27





1 (2 P) Sigui K un cos i p(x) ∈ K[x] un polinomi de grau 3.

(a) Proveu que p(x) es irreductible si i nomes si p(x) no te cap arrel en K.

(b) Siguin K = Z/2Z i F un subespai vectorial de K3[x] de dimensio 3 tal que dim(F ∩K1[x]) = 2. Proveu que existeix un complementari de F en K3[x] generat per un polinomiirreductible a K[x] de grau 3.

2 (2 P) Siguin F i G dos subespais vectorials de R2 definits per

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y − z + t = 0, x− y − z = 0} ,G = [(1, 2, 0,−1), (2,−1, 1, 2), (1,−8, 2, 7)] .

(a) Trobeu una base de F +G i una de F ∩G.

(d) Trobeu un subespai vectorial H tal que G⊕H = R4 i expresseu el vector (1, 1, 0, 0) coma suma d’un vector de G mes un de H.

3 (2 P) Sigui ϕ : R2 × R2 → R definida per

ϕ((x1, x2), (y1, y2)) = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2.

(a) Proveu que ϕ es un producte escalar.

(b) Calculeu, amb aquest producte escalar, l’angle entre els vectors (1, 0), (0, 1).

4 (2 P) Sigui f : R3[x] →M2×2(R) l’aplicacio lineal definida per

f(a+ bx+ cx2 + dx3) =(b− c+ d a+ c− da+ b a+ 2b− c+ d

).


(b) Calculeu el Nuc(f) i la Im(f) i digueu si f es injectiva, exhaustiva o bijectiva.

5 (2 P) Enuncieu i proveu la Formula de Grassmann.

28


20 de gener de de 2003


1 (3 P) En R4 considerem els vectors u1 = (0, 2,−1, 2), u2 = (4, 3, 0,−3), u3 = (1, 1, 1, 1) i elssubespais vectorials F = [u1, u2, u3] i G = {(x, y, z, t) ∈ R4 | y + 2z − t = 0}.

(a) Trobeu una base de F ∩G i una base de l’espai quocient R4/F ∩G.

(c) Trobeu una base de F +G que contingui alhora una base de F i una base de G.

(d) Trobeu un subespai vectorial H de R4 que compleixi alhora: dim([u1 +H,u2 +H]) = 2,dim([u1 +H,u3 +H]) = 2 i dim([u2 +H,u3 +H]) = 2.

2 (3 P) Siguin f : R3 → R3[t] i g : R3[t] → R3 les aplicacions lineals definides per

f(1, 0, 0) = 1 + t2 , f(0, 1, 0) = 1 + t+ t2 , f(0, 0, 1) = 1 + t+ t2 − t3 ig(a+ bt+ ct2 + dt3) = (a− b, a+ b+ c+ 5d,−b− c− 2d).

(a) Trobeu les matrius de g ◦ f i f ◦ g en les bases ordinaries i digueu si g ◦ f i f ◦ g soninjectiva, exhaustiva i bijectiva.

(b) Proveu que g ◦ f es diagonalitzable.

(c) Existeix algun endomorfisme h ∈ End(R3) tal que f ◦h◦g = Id ? Justifiqueu la resposta.

3 (3 P) Sigui f : R4 → R4 l’endomorfisme de R4 la matriu del qual en la base ordinaria es:

A =

7 −4 0 −18 −4 0 −10 0 0 010 −8 1 −2

.

(a) Trobeu la forma de Jordan J de f .


(c) Trobeu tots els subespais vectorials de R4 de dimensio 3 que son invariants per f . Justi-fiqueu el perque no n’hi ha mes.

4 (1 P) Enuncieu i proveu la desigualtat de Cauchy-Schwartz.

29


7 de juliol de de 2003


1 (2 P) Sigui F ⊂ R4[t] el subconjunt de polinomis divisibles per t2 − t+ 1.

(a) Demostreu que F es un subespai vectorial i trobeu-ne una base.

(b) Sigui G = [t2, t− 1]. Trobeu bases dels subespais F ∩G i F +G.

(c) Trobeu un subespai H complementari de F tal que H ∩G = {0}.

2 (2 P) Sigui f : R3 → R3 l’endomorfisme tal que f(1, 0, 0) = (2,−1, 3), f(2,−1, 3) = (−3, 1,−3)i el vector (1,−1, 2) es del nucli.

(a) Trobeu la matriu de f en la base ordinaria de R3.

(b) Trobeu una base del nucli i una base de la imatge.

(c) Demostreu que el subespai G = {(x, y, z) : z + 3y = 0} es invariant per f .

(d) Trobeu la matriu de la restriccio de f a G en una base de G.

3 (2 P) Considerem l’endomorfisme f ∈ End(M2(R)) definit per

f

(a bc d

)=

(c −a+ b+ ca −a+ 2b+ c− d

).

(a) Trobeu la matriu A = Mu(f) de f en base

u =((

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)).

(b) Comproveu que f es diagonalitzable i trobeu una base de M2,2(R) formada per vectorspropis de f .

(c) Trobeu una matriu invertible S i una matriu diagonal D tals que S−1AS = D.

(d) Calculeu A1000 i A1003 − 2A1002 +A1001.

4 (2 P) Sigui f : R4 → R4 l’endomorfisme de R4 la matriu del qual en la base ordinaria es:

A =

32 0 − 1

2 0−a 0 a −1− 1

2 0 32 0

2a 2 −2a 3

.

(a) Trobeu, en funcio del parametre a, la forma de Jordan J de f .


5 (2 P) Sigui E un espai vectorial de dimensio finita i sigui F un subespai vectorial de E. Proveuque dim (E/F ) = dim E − dim F .

30





1 (2 P) Sigui R3[x] el conjunt dels polinomis de grau 3 o menor.

(a) Trobeu un polinomi monic p(x) ∈ R3[x] tal que el reste de la divisio per x− 2 es 3 i quete dues arrels comunes amb q(x) = x3 − 2x2 − x+ 2.

(b) Trobeu a(x), b(x) tals que a(x)p(x) + b(x)q(x) = x2 − 1.

2 (3 P) Sigui F un subespai vectorial de M2(R). En R5 considerem

U ={

(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5

∣∣∣∣( x1 x2

x3 x4

)∈ F

}.

(a) Demostreu que U es un subespai vectorial de R5.

(b) Trobeu la relacio entre dim F i dim U . Justifiqueu la resposta.

(c) Demostreu que si G es un complementari de F en M2(R), aleshores

V ={

(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5

∣∣∣∣( x1 x2

x3 x4

)∈ G , x1 − x3 + x5 = 0

}es un complementari de U en R5.

3 (3 P) Siguin A =(a bc d

)∈ M2(R) i f : M2(R) → M2(R) l’aplicacio definida per f(X) =

XA.


(b) Calculeu la matriu de f en la base ordinaria de M2(R) quan A =(

2 −1−2 1

).

(c) Raoneu per a quines A l’aplicacio f es injectiva?

4 (2 P) Enuncieu i proveu el Teorema de Steinitz.

31


19 de gener de 2004


1 (2 P) Sigui F = {q(t) ∈ R5[t] | q(t) multiple de 1 + t3}.

(a) Proveu que F es un subespai vectorial de R5[t].

(b) Trobeu una base de R5[t]/F .

(c) Son linealment independents les classes (1− 2t2 + t4) + F , (t+ t2) + F i (−1 + t2) + F?

2 (1 P) Trobeu la dimensio del subespai vectorial de L(R3,R3) generat pels endomorfismesf : R3 → R3 que compleixen f2 − I = 0.

3 (3 P) Sigui A ∈ Mn×n(R) una matriu simetrica i p(t) el seu polinomi mınim anul·lador.

(a) Si X ∈ Mn×1(R), proveu que X>X ≥ 0. Proveu que X>X = 0 si i nomes si X = 0.

(b) Proveu que Nuc(A2) = Nuc(A).

(c) Si λ es un VAP de A, proveu que Nuc[(A− λI)2

]= Nuc(A− λI).

(d) Si λ ∈ R es una arrel de p(t) de multiplicitat β ≥ 1, proveu que β = 1.

(e) Si t2 + bt+ c es un factor real de p(t), proveu que b2 − 4c > 0. Indicacio: calculeu Y >Yper a Y = (A+ b

2I)X on X 6= 0 es tal que A2X + bAX + cX = 0.

(f) Deduıu que si A ∈ Mn×n(R) es una matriu simetrica, aleshores A diagonalitza.

4 (2 P) Sigui f : R5 → R5 l’endomorfisme de R5 la matriu del qual en la base ordinaria e de R5

es:

A = Me,e(f) =

4 6 −1 −9 94 7 −1 −10 103 3 −1 −5 55 6 −1 −10 101 −1 0 0 0

.

(a) Calculeu A3.

(b) Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R5 tal que J = Mu,u(f).

5 (2 P) Expliqueu el proces d’ortonormalitzacio de Gram-Schmidt.

32

Examen d’Algebra Lineal. FME.6 de juliol de 2004


1 (2 P) Considerem els dos subespais vectorials de R4:

F = [(0, 1,−2, 1), (1, 4,−1, 2), (1, 2,−1, 0)] iG = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x = z = t}.

(a) Trobeu bases de G, F ∩G i F +G.

(b) Sigui H tal que H ⊕ (F ∩G) = F . Es cert que H ⊕G = R4? Justifiqueu la resposta.

(c) Trobeu un H tal que H ⊕ (F ∩G) = F .

2 (1 P) Siguin E,F,G tres espais vectorials de dimensio finita sobre un mateix cos K. Siguinf ∈ L(E,F ) i g ∈ L(F,G). Proveu que

2rang(g ◦ f) ≤ rang(f) + rang(g) ≤ dim F + rang(g ◦ f).


es:

A = Me,e(f) =

1 0 0 0

−a 1 −a 1−1 −1 a −1a a a 0

.

(a) Trobeu els valors de a pels quals F = [e1 − e2, e1 − e4] es un subespai vectorial invariantper f .

(b) Per a aquests valors de a, trobeu la matriu de la restriccio de f sobre F en la basee1 − e2, e1 − e4.

(c) Estudieu si f |F es diagonalitzable i, si ho es, trobeu una base en la que diagonalitzi.


es:

A = Me,e(f) =

2 −1 −1 4 00 2 2 −2 −10 0 4 −1 00 0 1 2 00 0 −1 2 3

.

Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R5 tal que J = Mu,u(f).

5 (2 P) Enuncieu i proveu el teorema que caracteritza els endomorfismes diagonalitzables entermes del seu polinomi caracterıstic.

33


Algebra Lineal, FME. 5 de novembre de 2004

Temps: 4 hores. Escriviu cada exercici en fulls separats.

1 (2 P) En el conjunt A = Q×Q×Q considereu les operacions internes

(a, b, c) + (a′, b′, c′) = (a+ a′, b+ b′, c+ c′)(a, b, c)(a′, b′, c′) = (aa′, ab′ + a′b+ 2(bc′ + b′c), ac′ + a′c+ bb′ + 2cc′)

i la relacio binaria

(a, b, c)R(a′, b′, c′) ⇔ b = b′ i a− a′ = 2(c′ − c)

(a) Proveu que R defineix una relacio d’equivalencia en A.

(b) Se sap que les operacions estan ben definides en el conjunt quocient A/R i que defineixenuna estructura de cos. Quin es l’element unitat de A/R? Quina es la caracterıstica deA/R? Justifiqueu les respostes.

(c) Trobeu l’invers de la classe del (1, 1, 1) en A/R.

2 (2 P) En R[x], i si p(x) = x5 − 2x3 + 2x2 − 3x + 2, q(x) = x5 − 3x4 + 5x3 − 5x2 + 3x − 1 if(x) = x4 + ax+ b, aleshores:

(a) Trobeu la descomposicio en factors primers de p(x) i calculeu el m.c.d.(p(x), q(x)).

(b) Proveu que si a+ b 6= 0, aleshores f(x) te alguna arrel no real. (Indicacio: expresseu elscoeficients de grau 2 i grau 3 d’un polinomi de grau 4 en funcio de les seves arrels).

3 (2 P) Sigui F i G els subespais vectorials de R5 definits per:

F = [(1, 2, 0, 1, 0), (1, 3,−1, 3, 1), (1, 0, 2,−1, 0), (2, 4, 0, 3, 1)].G = {(x, y, z, u, v) ∈ R5 | x+ y − 2v = 0, 5x− z − 4v = 0, 2x− y + u− 2v = 0}.

(a) Calculeu bases de F , G, F +G i F ∩G.

(b) Calculeu un complementari de F ∩G en F i un complementari de F +G en R5.

4 (2 P) Sigui f : M2(K) → K3[x] l’aplicacio definida per:

f

((a bc d

))= a+ c+ (a+ b+ d)x+ (b+ c)x2 + (c+ d)x3.

(a) Proveu que f es lineal i trobeu la matriu de f en les bases naturals.

(b) Si K = R, trobeu el Nuc(f) i Im(f) i digueu si f es injectiva, exhaustiva, bijectiva.

(c) Es poden assegurar les mateixes conclusions de l’apartat (b) per a qualsevol cos K?

5 (2 P) Sigui E un espai vectorial de dimensio finita i sigui F un subespai vectorial de E. Proveuque dim(E/F ) = dim E − dim F .

34

Algebra Lineal, FME. 10 de gener de 2005


1 (2.5 P) En E = R3[x] considerem els subespais vectorials

F = {p(x) ∈ E | p(1) = 0, p′′(0) = 0},G = [1 + x, x+ x3].

(a) Trobeu bases de F , G, F +G i F ∩G.

(b) Trobeu bases de (F +G)/F i G/(F ∩G).

(c) Trobeu una base d’un complementari V de (F +G)/F en E/F .

(d) Expresseu el vector (x+ x3) + F com a suma d’un vector de (F +G)/F i un de V .

2 (1 P) Sigui E un espai vectorial de dimensio finita. Siguin F i G dos subespais vectorials deE de la mateixa dimensio. Proveu que existeix un subespai vectorial H que es complementaride F i de G alhora.

3 (2.5 P) Sigui f : R3 → R3 un endomorfisme no injectiu de R3 tal que f(1, 0, 0) = (5, 1,−2),f(1, 1, 0) = (6, 6, 0) i f(1, 1, 1) = (4, 8, a), on a ∈ R.

(a) Trobeu la matriu de f en les bases naturals.

(b) Trobeu bases de Nuc(f) i de Im(f).

(c) Proveu que R3 = Nuc(f)⊕ Im(f).

(d) Proveu que f diagonalitza i trobeu una base formada de E per vectors propis de f .

(e) Proveu que f2 = 6f .


es:

A = Me,e(f) =

−1 0 −1 0

1 0 1 1−1 −1 −1 −4

0 0 0 0

.

(a) Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R4 tal que J = Mu,u(f).

(b) Proveu que hi ha exactament 2 subespais vectorials invariants per f de dimensio 3.

5 (2 P) Enuncieu i proveu la desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Notes i consultes el 13 de gener a les 11 al Departament de Matematica Aplicada 1

35

Algebra Lineal, FME. 6 de juliol de 2005


1 (2.5 P) En R4 considerem els subespais vectorials:

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ 2y − z = 0, x+ y + z + t = 0},Ga = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y + 5z + at = 0}.

(a) Trobeu els valors de a ∈ R pels quals F ⊂ Ga.

(b) Per a aquests a ∈ R trobeu una base d’un subespai Ha tal que F ⊕Ha = Ga.

(c) Trobeu els valors b ∈ R pels quals v = (b, 1, 0, 0) ∈ Ga i la descomposicio v = u+ w ambu ∈ F i w ∈ Ha.

2 (1 P) Sigui A ∈Mn×n(R) tal que el seu polinomi caracterıstic descomposa totalment en R[t].Proveu que A i A> tenen la mateixa forma reduıda de Jordan.

3 (2.5 P) Sigui f : R4 → R4 l’endomorfisme de R4 la matriu del qual en la base ordinaria e deR4 es:

A = Me,e(f) =

4 −3 3 −5

−1 2 −3 10 0 −1 03 −3 3 −4

.

(a) Trobeu el polinomi caracterıstic de f .

(b) Trobeu una base u de R4 i una matriu diagonal D tal que Mu,u(f) = D.

(c) Quin es el polinomi mınim de f ?

(d) Calculeu la matriu de f7 − 2f6 − f5 + 2f4 − f2 en la base u.


es:

A = Me,e(f) =

1 −1 −1 0 01 2 0 1 10 1 3 −1 −11 0 0 2 0

−1 0 0 0 2

.

Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R5 tal que J = Mu,u(f).

5 (2 P) Enuncieu i proveu el teorema de Steinitz.

Notes i consultes el 13 de juliol a les 11 al Departament de Matematica Aplicada 1.

36




1 (2 P) En el conjunt R2 = {(x, y) | x, y ∈ R} es consideren les operacions:

(x, y)⊕ (z, t) = (x+ z − 1, y + t− 1), per a (x, y), (z, t) ∈ R2

λ� (x, y) = (λx− λ+ 1, λy − λ+ 1), per a λ ∈ R, (x, y) ∈ R2.

Defineixen una estructura d’espai vectorial sobre R? Justifiqueu la resposta.

2 (2 P) En R[x] considerem els polinomis A(x) = x5 + x4 + x3 − 7x+ 2 i B(x) = x4 − x− 1.

(a) Trobeu el quocient q(x) i el reste r(x) de la divisio entera de A(x) per B(x).

(b) Factoritzeu r(x) en R[x] i calculeu el m.c.d.(A(x), B(x)).

3 (2 P) Siguin F i G els subespais vectorials de R5 definits per:

F = {(x, y, z, u, v) ∈ R5 | 2x− 2y − 6u+ v = 0, 2x− 3y − z − 3u = 0},G = [(1, 2, 1, 1, 0), (2, 1, 3, 2, 2), (0, 1, 2, 1, 0), (4, 3, 1, 2, 2)].

(a) Calculeu bases de F , G, F +G i F ∩G.

(b) Calculeu una base d’un complementari de F ∩G en R5.

4 (2 P) Sigui E = M3(R) i F = {A ∈ E | A> = A}. Sigui f : R3 → E/F l’aplicacio linealdefinida per:

f(x, y, z) =

x −y zy x xz x x

+ F.

(a) Trobeu la matriu de f en la base natural de R3 i una base de E/F .

(b) Calculeu bases de Nuc(f) i Im(f) i digueu si f es injectiva, exhaustiva, bijectiva.

5 (2 P) Enuncieu i proveu la formula de Grassmann.

37



1 (3P) Sigui E = Mn×n(R) l’espai vectorial de les matrius n × n amb coeficients reals, n > 1.Sigui A ∈ E tal que A2 = In, A 6= ±In. Considerem F = [In, A] el subespai vectorial de Egenerat per In i A.

(a) Tenint en compte que (E,+, ·) es un anell unitari amb les operacions habituals, deduıuque (F,+, ·) es un anell unitari. Es commutatiu?

(b) Donats a, b ∈ R, b 6= 0, trobeu el polinomi mınim de B = aIn + bA.

(c) Sigui fB : F → F l’endomorfisme definit per fB(C) = BC. Proveu que fB es diagona-litzable.

(d) Per a qualsevol m ≥ 1, expresseu Bm en la base {In, A}.(e) Trobeu els divisors de zero en l’anell (F,+, ·).

2 (2P) Siguin E = R3, F = {(x, y, z) ∈ E | x + 2y + z = 0}, v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 3, 2),v3 = (1, 1, 1) i G = [v1, v2].

(a) Trobeu bases de F , G, F +G i F ∩G.

(b) Trobeu un subespai H tal que H ⊕ (F ∩G) = F .

(c) Trobeu una base de F/(F ∩G).

(d) Sigui f : E → E l’aplicacio lineal definida per f(v1) = v1 + 3v2, f(v2) = v1 + 4v2 if(v3) = 0. Digueu si f diagonalitza i trobeu la matriu de f en les bases naturals.

3 (1P) Sigui f : R3 → R3 una aplicacio lineal amb polinomi mınim mf (t) = t2. Suposem queF,G,H son tres subespais vectorials invariants per f i que E = F ⊕G. Es cert en general queH = (F ∩H)⊕ (G ∩H)?

4 (2P) Sigui f : R4 → R4 l’endomorfisme de R4 la matriu del qual en la base ordinaria e de R4

es:

A = Me,e(f) =

0 1 0 10 0 0 04 3 4 30 0 0 0

.

(a) Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R4 tal que J = Mu,u(f).

(b) Quants subespais vectorials invariants per f de dimensio 3 hi ha?

5 (2P) Siguin E un espai vectorial de dimensio finita i F un subespai de E. Proveu quedim(E/F ) = dimE − dimF .


38

Algebra Lineal, FME. 30 de juny de 2006


1 (3P) Sigui E = Mn×1(R) l’espai vectorial de les matrius n × 1 amb coeficients reals i siguinZ1, . . . , Zm ∈ E. Sigui F = [Z1, . . . , Zm] el subespai vectorial generat per Z1, . . . , Zm. SiguiF ′ = {X ∈ E | Z>X = 0 per a tot Z ∈ F}.

(a) Proveu que F ′ es un subespai vectorial de E.

(b) Proveu que dimF ′ = n− dimF .

(c) Proveu que (F ′)′ = F .

(d) Proveu que si F ⊂ G, aleshores F ′ ⊃ G′.

(e) Proveu que (F +G)′ = F ′ ∩G′.

(f) Proveu que (F ∩G)′ = F ′ +G′.

2 (2P) Sigui f : R4 → R4 l’endomorfisme de R4 definit per

f(x, y, z, t) = (x, y + z,13(2x− y + 4z − t),

13(2x− y − 2z + 2t)).

Siguin Ga = [(0, 1, 0,−1), (1, a, a, 2)].

(a) Per a quins a ∈ R, Ga es subespai vectorial invariant per f?

(b) Per a quins d’aquests a ∈ R la restriccio de f en Ga es diagonalitzable?

(c) Es f diagonalitzable?

3 (1P) Siguin E un espai vectorial sobre un cos K de dimensio n i f : E → E un endomorfismede E amb polinomi mınim mf (t) = (t − λ)n. Quants subespais vectorials invariants per f hiha de dimensio m? (m es un enter 0 ≤ m ≤ n).


es:

A = Me,e(f) =

10 −5 3 41 5 1 1

−1 1 5 −1−2 3 −1 4

.

Sabent que Qf (t) = (6− t)4, trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i una base u de R4 talque J = Mu,u(f).

5 (2 P) Siguin E i F dos espais vectorials sobre un mateix cos K de dimensio finita i f : E → Funa aplicacio lineal. Proveu que dimE = dim Nuc(f) + rang(f).

Notes i consultes el 5 de juliol a les 11 al Departament de Matematica Aplicada 1.

39




1 (2 P) A R[x] considerem el polinomi p(x) = x7 − x6 + 5x4 − 8x3 + 9x2 − 5x+ 2.

(a) Sabent que p(x) te una arrel α ∈ C de multiplicitat 3, trobeu la descomposicio de p(x)en producte de polinomis irreductibles en R[x].

(b) Trobeu m.c.d.(p(x), q(x)), on q(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 8x− 4.

2 (2 P) Sigui E un espai vectorial. Sigui (u1, u2, u3, u4) una base de E i v1, v2, v3 vectors lineal-ment independents de E. Suposem que (v1, v2, u3, u4) i (v1, v3, u2, u4) son dues bases de E.Argumenteu si es certa o falsa cada una de les dues afirmacions:

(a) (v1, v2, v3, u4) es base de E.

(b) O (v1, u2, u3, u4) o (v1, u1, u3, u4) es base de E.

3 (2 P) Siguin F i Gλ, λ ∈ R, els subespais vectorials de R4 definits per:

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x− y + z = 0, y + 4z − 2t = 0, 2x+ 5z − 2t = 0},G = [(1, 4, λ, 6), (3, 4, 2λ− 6,−2)].

(a) Segons els valors de λ ∈ R, trobeu bases de F , Gλ, F +Gλ i F ∩Gλ.

(b) Segons els valors de λ ∈ R, trobeu una base d’un complementari de F ∩Gλ en R4.

4 (2 P) Siguin E = M2×2(R) i A =(a bc d

)∈ E fixada. Sigui f : E → E definida per

f(M) = AM −MA.

(a) Proveu que f es lineal i trobeu la matriu de f en les bases naturals de E.

(b) Si a − d 6= 0, calculeu bases de Nuc(f) i Im(f) i digueu si f es injectiva, exhaustiva,bijectiva.

5 (2 P) Sigui E un espai vectorial de dimensio finita. Sigui F un subespai vectorial de E. Proveuque dim(E/F ) = dimE − dimF .

40



1 (2.5P) A R5 considerem els subespais vectorials

F = [(1,−1, 0, 1,−2)] , G = [(2, 0, 1, 1,−2), (3, 0, 5, 2, 0), (1, 1, 1, 0, 0)] iH = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 + 2x2 − x3 + 3x4 + x5 = 0}.

(a) Proveu que F ⊂ G i que F ⊂ H.

(b) Trobeu bases de G ∩H i G+H.

(c) Trobeu bases de G/F i de H/F .

(d) Expresseu (1, 0, 2, 0, 1) + F de H/F en la base trobada a l’apartat anterior.

(e) Trobeu una base de R5/F que contingui una base de G/F i una base de H/F .

2 (2.5P) Sigui f : R3 → R3 una aplicacio lineal tal que:

(a) Qf (t) = (−1− t)(2− t)2 i mf (t) = (t+ 1)(t− 2);

(b) f(1,−1, 0) = (2,−2, 0) i f(2, 1, 2) = (4, 0, 0);

(c) El subespai vectorial H = [(1, 1, 0), (0, 1, 2)] es invariant per f .

Trobeu la matriu de f en la base ordinaria de R3.


es:

A = Me,e(f) =

0 1 0 1

−1 3 0 31 −3 0 −31 −1 0 0

.

(a) Calculeu el polinomi caracterıstic de f i trobeu la forma reduıda de Jordan J de f .

(b) Trobeu una base u de R4 tal que J = Mu,u(f).

(c) Justifiqueu quants subespais vectorials invariants per f de dimensio 3 hi ha i digueu quinsson.

4 (2P) Siguin E i F dos espais vectorials sobre el mateix cos K i de dimensions finites. SiguiL(E,F ) = {f : E → F | f aplicacio lineal} l’espai vectorial de les aplicacions lineals de E enF . Proveu que dimL(E,F ) = (dimE)(dimF ).


41

Algebra Lineal, FME. 28 de juny de 2007


1 (2P) A R4 considerem els subespais vectorials:

F = [(1, 0,−1, 0), (2, 1,−3, 2), (0, 1,−1, 1)],G = [(0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 2), (1, 2,−1, 0)].

(a) Trobeu bases de F ∩G i F +G.

(b) Es (1, 1,−2, 3) ∈ F? Expresseu-lo, si es possible, com a suma d’un vector de F ∩G i undel subespai H = [(1, 0,−1, 0)]. Es unica aquesta descomposicio? Per que?

2 (3P) Considerem l’aplicacio lineal f : M2×2(R) →M2×2(R) definida per

f

(a bc d

)=

(−a a+ b+ c+ 2d

−6a+ 2c+ 6d 2a− c− 3d

).

(a) Trobeu la matriu A = Mu,u(f) de f en la base

u =((

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)).

(b) Proveu que f es diagonalitzable i trobeu una base de M2×2(R) formada per vectors propisde f .

(c) Trobeu dos subespais vectorials F i G de M2×2(R) tals que verifiquin simultaniament:

(i) dimF = dimG = 3 i dim(F ∩G) = 2.(ii) F i G son invariants per f .

(iii) Els polinomis mınims de les restriccions de f a F , G i F ∩ G tenen graus 3, 3 i 2,respectivament.

(d) Trobeu la matriu Mu,u(g) de l’endomorfisme g = (∑100

n=1 fn)2.


es:

A = Me,e(f) =

1 0 0 0

−5 4 3 −1−2 0 1 0

0 1 2 2

.

(a) Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f .

(b) Trobeu una base u de R4 tal que J = Mu,u(f).

(c) Digueu quants subespais vectorials invariants per f de dimensio 3 hi ha i el perque.

4 (2P) Enuncieu i proveu el teorema que caracteritza els endomorfismes diagonalitzables entermes del polinomi caracterıstic.

Notes i consultes el 29 de juny a les 16 al Departament de Matematica Aplicada 1

42


Algebra Lineal, FME. 30 d’octubre de 2007


1 (3 P) Considerem el polinomi p(x) = x4 − 4x3 + 8x2 − 8x+ 4 ∈ Q[x].

(a) Calculeu el mcd(p(x), p′(x)) i trobeu la descomposicio de p(x) en producte de polinomisirreductibles de Q[x].

(b) Sigui α ∈ C una arrel de p(x) i considerem el subconjunt de C definit per F = {q(α) |q(x) ∈ Q[x]}. Proveu que F es un Q-subespai vectorial del Q-espai vectorial C.

(c) Trobeu una base de F i la dimensio de F .

2 (2 P) Discutiu el sistema d’equacions lineal seguent segons els parametres a, b.

x+ ay + z = 33x+ bz = ax+ 2y + z = b

3 (3 P) Siguin F i G, els subespais vectorials de R4 definits per:

F = [(1,−1, 2, 3), (0, 1,−1, 0), (2,−1, 1, 1)]G = [(3,−1, 2, 4), (−1, 0, 1, 2), (1, 0, 1, 0)]

(a) Trobeu bases de F , G, F +G i F ∩G. Es directa la suma de F i G?

(b) Trobeu un complementari de F en R4.

(c) Trobeu un vector v ∈ F +G tal que v 6∈ F i v 6∈ G.

4 (2 P) Siguin E un espai vectorial de dimensio finita i F un subespai vectorial de E.

(a) Proveu que dim(F ) tambe es finita.

(b) Proveu que dim(F ) ≤ dim(E). Proveu que dim(F ) = dim(E) si i nomes si F = E.

43



1 (2P) En E = R3[x] considerem els subespais vectorials

F = {p(x) ∈ E | p′(x) = xp′′(x)} i G = [2 + x2 + x3, 1 + x3].

(a) Trobeu una base de F +G i una de F ∩G.

(b) Trobeu una base de E que contingui alhora una base de F i una base de G.

(c) Trobeu una base de (F + G)/F i expresseu els vectors (2 + x2 + x3) + F , (1 + x3) + Fcom a combinacio lineal d’aquesta base.

(d) Per a un p(x) ∈ E, sigui Hp = {p(x)+q(x) | q(x) ∈ G}. Quan es Hp un subespai vectorialde E?

2 (2P) Sigui (E, 〈, 〉) un espai vectorial euclidia de dimensio dimE = n i End(E) = L(E,E).

(a) Per a f ∈ End(E), sigui Hf = {g ∈ End(E) | 〈f(x), g(y)〉 = 0,∀x, y ∈ E}. Proveu queHf es un subespai vectorial del R-espai vectorial End(E).

(b) Si r es el rang de f , quina es la dimensio de Hf?

(c) Per a u ∈ E fixat, sigui ϕ : End(E) × End(E) → R definida per ϕ(f, g) = 〈f(u), g(u)〉.Es ϕ un producte escalar en End(E)?

3 (2P) Sigui f : R4 → R4 una aplicacio lineal tal que f2 = 3f .

(a) Si dimNuc(f3) = 1, calculeu el polinomi caracterıstic de f .

(b) Si a mes a mes, Nuc(f − 3id) = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x − y + z = 0} i u 6∈ Nuc(f − 3id),quines condicions ha de complir (a, b, c, d) ∈ R4 per a que f(u) = (a, b, c, d)?

(c) Si a mes a mes, [(1, 0, 0, 0)] es subespai invariant per f , trobeu una base de R4 tal que lamatriu de f en aquesta base sigui diagonal.


es:

A = Me,e(f) =

0 0 2 02 2 −3 10 0 0 02 0 −4 2

.

(a) Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f i trobeu una base u de R4 tal que J = Mu,u(f).

(b) Digueu quins son els subespais vectorials invariants per f i justifiqueu perque no n’hi hames.

5 (2P) Sigui E un espai vectorial sobre K, dimE = n i f : E → E lineal. Proveu que per a unr ≥ 1

dimNuc(fr+1)− dimNuc(fr) ≤ dimNuc(fr)− dimNuc(fr−1).


44

Algebra Lineal, FME. 2 de juliol de 2008


1 (2P) A R4 considerem els subespais vectorials:

F = [(1,−1, 2, 1), (3, 2, 1, 4), (1, 1,−1, 3)] i Ga = [(2, a, 5, a), (4,−2, 5, 6)].

(a) Trobeu els valors a ∈ R tal que Ga ⊂ F . Trobeu una base de F ∩G0.(b) Son linealment independents (1, 0, 0, 0)+F ∩G0, (0, 1, 0, 0)+F ∩G0, (0, 1, 0, 0)+F ∩G0

i (0, 0, 0, 1) + F ∩G0? Si no ho son, trobeu una relacio de dependencia lineal.

2 (2P) Sigui E l’espai vectorial sobre R de les successions de nombres reals x = (xn)n≥0, amb lesoperacions naturals suma (xn)n+(yn)n = (xn+yn)n i producte per escalars λ.(xn)n = (λxn)n.Considerem l’aplicacio f : E → E definida per

f((xn)n) = (2xn − xn+1 − 2xn+2 + xn+3)n.

(a) Proveu que f es lineal. Es f exhaustiva?(b) Quina recurrencia satisfan les successions de Nuc(f)? Proveu que {u, v, w} es una base

de Nuc(f), on u, v, w son les uniques successions de Nuc(f) amb

u = (1, 0, 0,−2,−4, . . .), v = (0, 1, 0, 1, 0, . . .) i w = (0, 0, 1, 2, 3, . . .).

(c) Trobeu tots els α ∈ R tals que la progressio geometrica (αn)n≥0 pertany a Nuc(f).(d) Utilitzeu l’apartat (c) per a trobar una expressio per al terme general de cadascuna de les

successions u, v i w de l’apartat (b). Per a (xn)n ∈ Nuc(f) qualsevol deduıu una expressiode xn en funcio de x0, x1, x2 (i n).

3 (2P) Considerem l’endomorfisme f ∈ End(M2(R)) definit per

f

((a bc d

))=

(−b− d −a+ d

0 a− b− c− 2d

).

Per a cada λ ∈ R, considerem el subespai vectorial de M2(R) definit per

Fλ ={(

a bc d

)∈M2(R) | λa+ c− λd = 0

}.

(a) Trobeu tots el λ ∈ R tals que Fλ es invariant per f .(b) Existeix algun λ ∈ R tal que Fλ es subespai vectorial invariant per f i tal que la restriccio

f|Fλes diagonalitzable? En cas afirmatiu, trobeu λ i doneu una base de Fλ formada per

vectors propis de f|Fλ.

4 (2P) Sigui f : R4 → R4 lineal la matriu de la qual en la base ordinaria e de R4 es:

A = Me,e(f) =

1 0 −1 02 0 −2 21 0 −1 03 0 −5 2

.

(a) Trobeu la forma reduıda de Jordan J de f una base u de R4 tal que J = Mu,u(f).(b) Digueu quin son els subespais vectorials invariants per f i justifiqueu perque no n’hi ha

mes.

5 (2P) Enuncieu i proveu el Teorema Espectral.

Consultes el 7 de juliol, 11-12 al Departament de Matematica Aplicada 1

45

Algebra Lineal

Documents

Transcript of Algebra Lineal