ALGEBRALINEALApunteselaboradosporJuanGonzalez-MenesesLopez.DepartamentodeAlgebra.UniversidaddeSevilla.IndicegeneralTema1.Sistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1. Deniciondeecuacionesysistemaslineales. . . . . . . . . . . . . . 61.2. MetododeeliminaciondeGauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. MetododeeliminaciondeGauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Matricesysistemaslineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Tema2.Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1. Denicion,operacionesypropiedadesbasicas. . . . . . . . . . . . . 192.2. Dependencialinealyrango.TeoremadeRouche-Forbenius. . . . . . 252.3. Transformacioneselementalesymatricesinversas. . . . . . . . . . . 29Tema3.Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1. Denicionypropiedades.TeoremadeCauchy-Binet. . . . . . . . . 393.2. Desarrolloporlasycolumnas.Adjuntaeinversa. . . . . . . . . . 463.3. Calculodedeterminantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Rangoymenores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Tema4.Espaciosvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1. Estructurasalgebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534.2. Dependencialineal.Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3. Coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. Variedadeslineales:Ecuacionesparametricaseimplcitas. . . . . . . 694.5. Interseccionysumadevariedades.Formuladeladimension. . . . . 774.6. Descomposiciondevariedades.Espacioproductoycociente. . . . . 81Tema5.Aplicacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1. Denicionypropiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2. Aplicacioneslinealesymatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3. Cambiodebase.Matricesequivalentesysemejantes. . . . . . . . . 1035.4. ElespacioHom(V, V

).Elespaciodual. . . . . . . . . . . . . . . . . 107Tema6.Diagonalizaciondeendomorsmosyformascanonicas. . . . . 1136.1. Autovaloresyautovectores.Diagonalizacion. . . . . . . . . . . . . . 1136.2. FormacanonicadeJordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3. Formacanonicareal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Tema7.Espaciosvectorialeseucldeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.1. Formasbilinealesymatricessimetricas.. . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2. Espaciosvectorialeseucldeos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.3. Variedadesortogonales.MetododeGram-Schmidt. . . . . . . . . . 1424ALGEBRALINEAL5Tema1. Sistemasdeecuacioneslineales1.1. Deniciondeecuacionesysistemaslineales.Comenzaremosviendounejemplodeltipodeecuacionesquevamosaestudiar:_2x + y= 5x y= 1Setratadeunsistemalinealdedosecuacionescondosincognitas.Estesistemasepuedeverdesdevariasperspectivas:Desdeel puntodevistageometrico, cadaunadelasdosecuacionesrepresentaunarectaenel plano. Resolverel sistemaconsisteenhallar(si loshay)lospuntosdecortedelasdosrectas.Esaeslarazondequeestossistemasellamenlineales.Desdeel puntodevistaalgebraico, el problemaconsistesimplementeenhallardosn umeros, x e y, que satisfagan las dos igualdades. Las ecuaciones son lineales porquecadatermino(exceptolosterminosindependientes)tienegrado1.Sinosquedamosenelmarcoalgebraico,nadanosimpidegeneralizarelconceptodeecua-cionlineal amasdedosincognitas, yel desistemalineal amasdedosecuaciones. As,tenemoslassiguientesdeniciones:Ecuacionlineal:Esunaexpresiondelaformaa1x1 + a2x2 + + anxn= b, (1)dondea1, a2, . . . , anybsonn umerosconocidos,yx1, x2, . . . , xnsonincognitas.Una solucion de la ecuacion lineal (1) es una serie de n umeros 1, . . . , n, que la satisfagan,esdecir,queveriquen:a11 + a22 + + ann= b.6Sistemalineal:Unsistemalineal demecuacionesconnincognitasesunaex-presiondelaforma:___a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2............am1x1+am2x2+ +amnxn=bm,(2)donde cada la es una ecuacion lineal diferente, aunque las n incognitas,x1, . . . , xn,sonlasmismasparatodasellas.Una solucion del sistema lineal (2) es una serie de n umeros 1, . . . , n, que satisfagan lasmecuaciones,esdecir,talesque___a111+a122+ +a1nn=b1a211+a222+ +a2nn=b2............am11+am22+ +amnn=bm.Diremosqueunsistemalineales:compatible:siadmitealgunasolucion,incompatible:sinolaadmite.Dadounsistemacompatible,diremosqueescompatibledeterminado:siadmiteuna unicasolucion,compatibleindeterminado:siadmitemasdeuna.Eneste ultimocasoveremosqueadmiteinnitassoluciones.Ejemplos:Intersecciondedosrectasenelplano.Trescasosposibles,seg unlasrectassean1. SecantesSolucion unica.2. ParalelasNingunasolucion.73. CoincidentesInnitassoluciones.Intersecciondedosotresplanosenelespacio(dedimension3).Algunasaplicaciones:En Fsica: Calculo de los voltajes de nudos en un circuito de corriente continua.EnArquitectura:Calculodeestructurasdeedicios.EnEconoma:ModelodeLeontievdeentradasysalidas.Uncasoespecialimportantedesistemaslinealeseselsiguiente:Unsistemalineal sedicehomogeneosi todossusterminosindependientessonnulos.Esdecir,siesdelaforma:___a11x1+a12x2+ +a1nxn=0a21x1+a22x2+ +a2nxn=0............am1x1+am2x2+ +amnxn=0.Nota:Hastaahorahemoshabladoden umeros, sinespecicardequetipoden umerossetrata. Enestaasignaturausaremos, salvoqueseespeciquelocontrario, losn umerosracionales(Q), reales(R)ocomplejos(C). Aunquetambiensepuedeutilizarcualquierotro tipo de n umeros, siempre que veriquen una serie de condiciones, que veremos masadelante. Por tanto, a partir de ahora, en vez de n umeros diremos escalares, y al conjuntoden umerosqueestemosutilizandolollamaremoscuerpodeescalaresosimplementecuerpo. La denicion de cuerpo se vera mas adelante. Por ahora basta con pensar que unescalaresunn umeroracional,realocomplejo.1.2. MetododeeliminaciondeGauss.Pararesolversistemasdeecuacionesdecualquiertipo,unadelasestrategiasmasuti-lizadasconsisteenirsimplicandoel sistema, demaneraqueseacadavezmasfacil deresolver,peroquesigateniendolasmismassolucionesqueelsistemaoriginal.Portanto,debemosusarelsiguienteconcepto:8Dossistemasdeecuacioneslinealessonequivalentessitodasoluciondeunoestambiensoluciondelotro.Algunasdelasoperacionesquesepuedenaplicaraunsistema,demaneraqueseobtengaunsistemaequivalente,sonlassiguientes:1. Intercambiardosecuaciones.2. Multiplicarunaecuacionporunescalardistintodecero.3. A nadiraunaecuacionunm ultiplononulodeotra.El MetododeeliminaciondeGauss, para resolver un sistema lineal, consisteen aplicar al sistema las tres operaciones basicas anteriores, de la siguiente forma:Paso1: Si esnecesario, intercambiarlaprimeraecuacionconotra, paraquex1aparezcaenlaprimeraecuacion.Paso2: Eliminar x1decadaecuacion(salvolaprimera), sumandoleunm ultiploadecuadodelaprimeraecuacion.Paso3: Ignorando temporalmente la primera ecuacion, repetir todo el pro-ceso con las restantes ecuaciones, que forman un sistema de m1 ecuacionesconmenosdenincognitas.Al terminar de aplicar el metodo de eliminacion de Gauss, habremos transformado el siste-ma en otro equivalente, pero que va a ser muy facil de resolver. De todas formas, podremosencontrarnostrescasosdiferentes,asquevamosaestudiarprimerotresejemplos,unodecadacaso.Ejemplo1.1Resolverel sistema:___x1+ x2 x3= 12x1+ x2+3x3= 23x1+2x2+2x3= 1

___x1+x2 x3= 1x2+5x3= 00= 4.La ultima ecuacion queda 0 = 4, por tanto este sistema es imposible de resolver:Elsistemanotienesolucion.9Ejemplo1.2Resolverel sistema:___x1+ x2 x3= 12x1+ x2 3x3= 2x1+2x2+2x3= 9

___x1+x2 x3= 1x2 x3= 42x3= 4.Dela ultimaecuacionseobtienex3= 2.Sustituyendoenlasegundaecuacion,setienex2=2. Por ulitmo, sustituyendoestosdosvaloresenlaprimeraecuacion,quedax1= 1.Portanto,elsistematienesolucion unica.Ejemplo1.3Resolverel sistema:___x1+ x2 x3=12x1+ x2+3x3=23x1+3x2+2x3=3

___x1+x2 x3=1x2+5x3=00=0.La ultimaecuacion,0 = 0,severicasiempre.Lasegundaecuacionnosdicequex2=5x3. Sustituyendoestoenlaprimeraecuacion, obtenemosx1=1 4x3.Yanoquedanmas condiciones queimponer, por tanto, tenemos libertadparaelegirel valordex3. Si ledamos, porejemplo, el valorx3=1, obtendremoslasolucionx1= 3, x2=5, x3=1. Si ledamosel valorx3=0, obtendremoslasolucion x1= 1, x2= 0, x3= 0. Y as podramos seguir indenidamente. Es decir,tendremosunasoluciondistintaparacadavalorqueledemosax3.Portanto,elsistematieneinnitassoluciones.Estudiemosyaestostrescasosdeformageneral. Tomamosel sistema(2)yleaplicamosel metodo de eliminacion de Gauss. Observemos lo siguiente: el primer termino no nulo (siexiste)delaecuacioniseradelaformacijxj,paraunciertovalorj.Comoeste ndicejdependedei,lollamaremosji.Supongamosque,despuesdelaeliminaciondeGauss,nosquedan r ecuaciones no nulas. En este caso tendremos, por construccion: j1< j2< < jr.Esdecir,elprimerelementononulodecadalaestaramasaladerechaqueeldelalaanterior.Elsistemaobtenidotendra,portanto,lasiguienteforma:___c11x1+ +c1j2xj2+ +c1jrxjr+ +c1nxn=d1c2j2xj2+ +c2jrxjr+ +c2nxn=d2.........crjrxjr+ +crnxn=dr0 =dr+10 =0......0 =0.Senospuedenpresentarahoratrescasos:10Caso1: Elterminoindependientedr+1 = 0.Enestecaso,laecuacionr + 1nopuedecumplirsenunca.Portanto,noexistesolucionparaelsistemainicial.Caso2: dr+1= 0yr = n.Enestecaso, haytantasecuacionesnonulascomoincognitas. Perocomosabemosquej1< j2< < jn,elsistemahabraquedadodelaforma:___c11x1+c12x2+ + c1 n1xn1+c1nxn=d1c22x2+ + c2 n1xn1+c2nxn=d2............cn1 n1xn1+cnnxn=dn1cnnxn=dn0 =0......0 =0.Delan-esimaecuacion, deducimosqueel unicovalorposibleparaxnesxn=dncnn. Sus-tituyendoel valor dexnenlaecuacionn 1, vemos quetambienhayun unicovalorposible para xn1. Podemos seguir as, sustituyendo y despejando, ya que en la ecuacion i,tendremos:xi=dici, i+1xi+1 cinxncii.Si sabemos que las variables xi+1, . . . , xndeben tomar un unico valor, pasara lo mismo conxi.Cuandolleguemosalaprimeraecuaci on,habremosobtenidoun unicovalorparacadavariablexn, xn1, , x2, x1.Esdecir,enestecasoelsistematienesolucion unica.Caso3: dr+1= 0yr < n.Enestecaso,tendremosunasvariablesespeciales,xj1, xj2, . . . , xjr,quesonlascorrespon-dientesalprimerterminononulodecadala.Vamosallamarlasvariablespivote.Proce-demosahoradeformaparecidaalcasoanterior.Enlaecuacionr,la unicavariablepivotequeapareceesxjr.Podemosdespejarla,portanto,enfunciondelasvariablesno-pivote:xjr=dr crjr+1xjr+1 crnxncrjr.Del mismo modo, en la ecuacion r1, podemos despejar xjr1en funcion de las variables xk,conk> jr+1.La unicavariablepivotequeapareceesxjr.Pero estayasabemosescribirla11enfunciondelasvariablesno-pivote.Portanto,sustituimossuvalor,ysabremosescribirxjr1enfunciondelasvariablesno-pivote.Continuamos de este modo, de forma ascendente, y al nalizar sabremos escribir todas lasvariablespivotexj1, xj2, . . . , xjr, enfunciondelasno-pivote. Esimportantedarsecuentadequehemosusadotodaslasecuacionesdelsistema.Esdecir,elsistemanonosimponeningunacondicionmas.Portanto,siledamoscualquiervaloralasvariablesno-pivote,habremos determinadotambienel valor de las variables pivote, ypor tantohabremosobtenidounasoluciondelsistema. Pero,altenerlibertadabsolutaparaelegirlosvaloresde las variables no-pivote, deducimos que el sistema tiene innitas soluciones. Acabamosdedemostrarlosiguiente:Teorema1.4Si unsistemalineal escompatibleindeterminado, entoncestieneinnitassoluciones.Nota: Si el sistema es homogeneo, es imposible que se de el caso 1. Por tanto, unsistemahomogeneoes siemprecompatible. Esmas, si el sistemahomogeneoescompatibledeterminado, entoncessu unicasolucionesx1=x2= =xn=0, llamadasoluciontrivial.1.3. MetododeeliminaciondeGauss-Jordan.El metododeeliminaciondeGauss-Jordanpararesolversistemaslinealesconsiste, aligual queel metododeGauss, entransformarel sistemaenotroequivalente, usandolastres operaciones elementales. Dehecho, el primer pasoconsisteenaplicar al sistemaelmetododeGauss,paracontinuarsimplicandolo.Escomosigue:MetododeeliminaciondeGauss-Jordanpararesolverunsistemalineal:Paso1:AplicaralsistemaelmetododeGauss.Paso2:Multiplicarcadaecuacionnonulaporunescalarconveniente, demaneraqueelcoecientedelavariablepivotesea1.Paso3: Comenzandopor el pivote mas aladerecha, xjr, eliminar estavariable de cada ecuacion (salvo la ecuacion r), sumandole un m ultiplo con-veniente de la ecuacion r. Realizar la misma operacion con todos los pivotes,dederechaaizquierda.12Veamoscomofuncionaestemetodoconunejemplo:Ejemplo1.5Resolverel sistema:___x1+ x2+ x3+4x4= 42x1+5x2+5x3 x4=11x1+2x2+ x3+ x4=3

___x1+7x4= 3x23x4= 1x3= 2.Paradarlasoluciondel sistemasolohayquedespejarcadavariablepivote, conloqueseobtiene:x1= 3 7x4x2= 1 + 3x4x3= 2.Estemetodo, enrealidad, realizalasmismasoperacionesqueel metodoanterior, cuandobamos despejandoysustituyendocadavariablepivote. Envezdeeso, seaplicanmasoperaciones elementales, de forma que cada variable pivote aparezca solo en una ecuacion,concoeciente1.Portanto,sepuedeescribirdirectamenteenfunciondelasvariablesnopivote.Notemosqueeln umerodevariablespivote(r)nocambia.Ademas,setienenlasmismastres posiblidades que antes. Es decir, si llamamos di al termino independiente de la ecuacioni,despuesdeaplicarelmetododeGauss-Jordan,setiene:Sidr+1 = 0,elsistemanotienesolucion.Sidr+1= 0yr = n,elsistematienesolucion unica.Sidr+1= 0yr < n,elsistematieneinnitassoluciones.Esteresultadoloveremosmasadelante,alestudiarestossistemasusandomatrices.EsloqueseconocecomoelTeoremadeRouche-Frobenius.Nota:PodramoshaberaplicadoelmetododeGauss-Jordan,deformaclasica,haciendoceros en las columnas pivote de izquierda a derecha. Hemos preferido hacerlo de derecha aizquierda, ya que se realizan muchas menos operaciones basicas (sumas y multiplicaciones).Por tanto, al implementarloenunordenador, resultamuchomas rapidoparaejemplosgrandes.131.4. Matricesysistemaslineales.Todas las propiedades deunsistemalineal dependen unicamentedelos coecientesdecadaecuacion,ydelosterminosindependientes.Esporesoquesesuelenestudiarlossistemasusandomatrices:Unamatrizm nesunatablademlasyncolumnasdeescalares.Esdecir,unobjetodelaforma_____a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn_____,dondecadaaijesunescalar.Atodosistemalinealdemecuacionesynincognitas,delaforma___a11x1+a12x2+ +a1nxn=b1a21x1+a22x2+ +a2nxn=b2............am1x1+am2x2+ +amnxn=bm,lepodemosasociarsumatrizdecoecientes:_____a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn_____.Ademas, a nadiendole la columna de terminos independientes, obtendremos la llamadamatrizampliada:_____a11a12 a1nb1a21a22 a2nb2............am1am2 amnbm_____.Esta matriz contiene toda la informacion del sistema: cada la corresponde a una ecuacion.Por tanto, podemos conocer las propiedades deunsistemalineal estudiandosumatrizampliada. Porejemplo, lasoperacionesbasicasdelasecuaciones, quehabamosdenido14paratransformarunsistemaenotroequivalente,seconviertenahoraentransformacioneselementalesdelasdelamatriz:Las transformaciones elementales de las que se pueden aplicar a una matriz,sonlassiguientes:1. Intercambiardoslas.2. Multiplicarunalaporunescalarnonulo.3. A nadiraunalaunm ultiplononulodeotra.Recordemosquehabamosdenidocuandodossistemaslinealeseranequivalentes.Conlanotacionmatricial,tenemoslasiguientedenicion:Diremosquedosmatricessonequivalentesporlassi podemosobteneruna,apartirdelaotra,mediantetransformacioneselementalesdelas.Deaqupodemosdeducirunprimerresultado:Proposicion1.6Consideremos dos sistemas lineales. Si sus matrices ampliadas son equi-valentesporlas,entonceslossistemassonequivalentes.Demostraci on: Esto es consecuencia de que las transformaciones elementales de las deuna matriz corresponden a las operaciones elementales de las ecuaciones del sistema. Y yahemosvistoqueestasoperacionestransformanunsistemaenotroequivalente.Cuando estudiamos los sistemas lineales, usamos el metodo de Gauss, y el metodo de Gauss-Jordan, para transformarlos en otros mas sencillos. Veamos los conceptos equivalentes paramatrices:Diremosqueunamatrizesescalonadaporlassicumplelosiguiente:1. Todaslaslasdeceros(silashay)estanenlaparteinferiordelamatriz.2. Enlas las quenoseandeceros, el primer terminononulodeunalaestamasalaizquierdadelprimerterminononulodelalasiguiente.15Ejemplo1.7Lasiguientematrizesescalonadaporlas:______2 1 0 3 40 3 2 1 00 0 0 0 50 0 0 0 00 0 0 0 0______.ObservemosquelaeliminaciondeGauss, aplicadaaunsistemalineal, dabalugaraunsistemacuyamatrizampliadaesescalonadaporlas.Portanto,setiene:El metodode eliminacionde Gaussaplicadoaunamatriz, latransformaenunamatrizequivalentequeesescalonadaporlas. Consisteenlossiguientespasos:Paso1: Si es necesario, intercambiar laprimeralaconotra, paraquelaprimeracolumnaquenoseadecerostengaunelementononuloenlaprimeraposicion.Paso2:Sumaracadalaunm ultiploadecuadodelaprimera,demaneraque la primera columna que no sea de ceros tenga solo un elemento no nulo:eldelaprimerala.Paso3:Ignorandotemporalmentelaprimerala, repetirtodoel procesoconlasrestanteslas.Comoesteprocesodalugar,claramente,aunamatrizescalonadaporlas,hemosdemos-tradoelsiguienteresultado:Proposicion1.8Toda matriz mn es equivalente por las a otra matriz mn escalonadaporlas.Demostraci on: Solohayqueaplicar alamatrizinicial el metododeeliminaciondeGauss.Corolario1.9Todo sistema lineal es equivalente a otro sistema lineal cuya matriz aumen-tadaesescalonadaporlas.16Por ultimo, tambienexisteel analogoal metododeGauss-Jordanparamatrices, dandolugaralasmatricesreducidasporlas.Diremosqueunamatrizesreducidaporlassicumplelosiguiente:1. Esescalonadaporlas.2. Elprimerelementononulodecadala,llamadopivote,es1.3. Encima(ydebajo)decadapivotesolohayceros.Ejemplo1.10Lasiguientematrizesreducidaporlas:______1 0 4 3 00 1 1 2 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0______.Setieneentonces:MetododeeliminaciondeGauss-Jordanparatransformarunamatrizenotraequivalenteporlas,queseareducidaporlas:Paso1:AplicaralamatrizelmetododeGauss.Paso 2: Multiplicar cada la no nula por un escalar conveniente, de maneraquetodoslospivotessean1.Paso3: Comenzandopor el pivotemas aladerecha, eliminar todos loselementosnonulosquetengaencima, sumandoleacadalaunm ultiploconveniente de la la de este pivote. Realizar la misma operacion con todoslospivotes,dederechaaizquierda.Despues de aplicar este metodo a una matriz, se obtiene claramente otra matriz equivalente(puesto que se han aplicado transformaciones elementales de las) que es reducida por las(porconstruccion).Hemosprobadoportantoelsiguienteresultado:Teorema1.11Todamatrizm nesequivalenteporlasaotramatrizm nreducidaporlas.17Demostraci on: Basta con aplicar a la matriz inicial el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan.Corolario1.12Todo sistema lineal es equivalente a otro sistema lineal cuya matrizaumentadaesreducidaporlas.Unapropiedadimportantedelaformareducidaporlasdeunsistemaesquees unica.Peroa unnotenemoslasherramientassucientesparademostraresto.Hastaahoralas matrices nonos hanayudadomucho: simplementehemos cambiadolaformadeverlossistemas. Paraverporquelasmatricesson utilesparael estudiodelossistemas lineales, necesitamos estudiar sus propiedades mas a fondo. Esto es lo que haremosenelproximotema.18Tema2. Matrices2.1. Denicion,operacionesypropiedadesbasicas.En este tema estudiaremos las matrices con mas detalle y rigor que en el tema anterior,y no solo aplicadas al estudio de los sistemas lineales, sino como un objeto matematico in-dependiente. Veremos sus propiedades fundamentales, las operaciones basicas, y por ultimounaaplicacionimportantedeestosconceptos:elTeoremadeRouche-Frobenius.A partir de ahora jaremos un cuerpodeescalares, que llamaremos K. La denicion decuerposedaraenel Tema3. PorahoraessucientepensarqueKesel conjuntodelosn umerosracionales,realesocomplejos.Yavimosladeniciondematrizmn.Fijaremosahoralanotacion:Denotaremos Mmn(K) al conjunto de matrices mn, cuyo cuerpo de escalares esK. Si no nos interesa especicar el cuerpo de escalares, escribiremos simplementeMmn.Normalmenteusaremosunaletramay usculaparadenotarunamatriz, ylamismaletraenmin uscula,conlossubndicescorrespondientes,paradenotarsuselementosoentradas.Porejemplo,escribiremosunamatrizA Mmncomosigue:A =_____a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn_____.Si queremos especicar la letra que usaremos para los elementos de una matriz, escribiremosA = (aij).Comencemosaestudiarlaspropiedadesdelasmatrices.DiremosquedosmatricesAyBsonigualessiambastienenlasmismasdimen-siones(esdecir,A, B Mmn),yademasaij= bijparatodoi, j 1 i m,1 j n.19DadasdosmatricesA, B Mmn, denimossusuma, A + B, comolamatrizC Mmntalquecij= aij + bij.DadaunamatrizA Mmn(K)yunescalar K, denimossuproducto,A,comolamatrizD Mmn(K)talquedij= aijEsdecir, dosmatricesdelasmismasdimensionessepuedensumar, terminoatermino,dandolugaraotramatrizdelamismadimension. Ytambienpodemosmultiplicarunamatrizporunescalar, dandolugaraotramatrizdelasmismasdimensionesdondecadaterminosehamultiplicadoporelescalar.Unejemploimportantedematricessonlosvectores:Un vector es una matriz m1. Las entradas de un vector se llaman coordenadas.Aunqueseanuncasoparticulardematrices,trataremosalosvectoresdeformaespecial.Losdenotaremosconunaechaencima,ycomosolotienenunacolumna,noescribiremoselsegundo ndicedecadatermino.Porejemplo,escribiremos:v=_____v1v2...vm_____.Tambien nos referiremos como vectores la a las matrices 1n. As, un vector la podraser:v= (v1, v2, . . . , vn).En los vectores la, las coordenadas se suelen escribir separadas por comas. Pero recordemosque,sinoseespecicalocontrario,unvectorconstadeunacolumna.Losvectoressuelenresultarfamiliares, yaqueseusanpararepresentarlospuntosdelosespacios geometricos. Por ejemplo, los puntos del plano R2se corresponden con los vectoresdedoscoordenadas: M21. Lospuntosdel espacio R3secorrespondenconlosvectores20de tres coordenadas: M31. Yas se puede continuar conlos espacios de dimensionessuperiores.Ahoraestudiaremoslaoperacionmasimportanteconmatrices:lamultiplicacion.Comen-zaremosconuncasoparticular:DadasdosmatricesA = (a1a2 an) M1n, B=_____b1b2...bn_____ Mn1,sedenesuproducto,AB,comolamatrizC M11cuya unicaentradaes:a1b1 + a2b2 + + anbn.Nota:SiseconsideranlasdosmatricesAyBcomovectores(unvectorlayunvectorcolumna),elproductoqueacabamosdedenirsellamaproductoescalardeAyB.Loestudiaremosmasafondoentemasposteriores.Paraextenderestadenicionamatricesconmasdeunalaocolumna,llamaremoslaideunamatrizA=(aij) Mmn, al vectorla(ai1ai2 ain) M1n, yllamaremoscolumnajalvectorcolumna_____a1ja2j...amj_____ Mm1.Tenemosentonces:DadasdosmatricesA MmnyB Mnp,sedenesuproducto,AB,comola matriz C Mmp, donde el elemento cijes el producto de la la i de A por lacolumnajdeB.Esdecir,cij= ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj.Nota: Esimportantedarsecuentaquenosepuedenmultiplicar dos matrices decualquier dimension. Solose puedenmultiplicar AyBsi el tama node las las de21Aesigual al tama nodelascolumnasdeB. El resultadodelamultiplicacionseraunamatrizCconel mismon umerodelasqueAyel mismon umerodecolumnasqueB.Esquematicamente:_______a11a12 a1n.........ai1ai2 ain.........am1am2 amn____________b11 b1j b1pb21 b2j b2p.........bn1 bnj bnp_____=________c11 c1j c1p.........ci1 cij cip.........cm1 cmj cmp________mn n p mpNota:estadeniciondelproductodematricespuederesultarextra na.Porquenomul-tiplicarmatricessimplementemultiplicandosusentradascorrespondientes?Larespuestaproviene de los sistemas lineales. Arthur Cayley (1821-1895) estudiaba los sistemas de dosecuacionescondosincognitas_ax + by= x

cx + dy= y

comotransformacionesdel plano, queacadapunto(x, y)lehacencorresponderel pun-to(x

, y

). Portanto, podemosdecirquelamatriz_abcd_transformael plano, moviendocadapunto(x, y)alaposicion(x

, y

). Si consideramosahoraotramatriz_efgh_, tam-bientransformaraelplano,moviendoelpunto(x

, y

)alaposicion(x

, y

),mediantelasecuaciones:_ex

+ fy

= x

gx

+ hy

= y

Por tanto, si hacemos actuar estas dos transformaciones, una detras de otra, el punto (x, y)iraalaposicion(x

, y

),dondeestascoordenadasverican:x

= ex

+ fy

= e(ax + by) + f(cx + dy) = (ae + cf)x + (be + df)y,yporotrolado:y

= gx

+ hy

= g(ax + by) + h(cx + dy) = (ag + ch)x + (bg + dh)y.Portanto,lacomposiciondelasdostransformacionestieneporecuacion:_(ae + cf)x + (be + df)y= x

(ag + ch)x + (bg + ch)y= y

22Si observamos la matriz de esta transformacion, vemos que es el producto de las matricesanteriores,yaque:_abcd__efgh_=_ae + cf be + dfag + chbg + ch_.Luegoelproductodematricescorrespondealacomposiciondetransformacio-nes. EstasdenicionesdeCayleysegeneralizaronacualquier dimension. Masadelanteestudiaremoslastransformacioneslinealesengeneral,yveremoscomoelproductodematricescorrespondealacomposiciondetransformacioneslineales.Hemos denidotres operaciones conmatrices: lasumayel productodematrices, yelproductodeunamatrizporunescalar.Veamoscualessonlasprincipalespropiedadesdeestasoperaciones.Propiedades de la suma de matrices: En Mmnse tienenlas siguientespropiedades:1. Propiedadconmutativa:A + B= B + A.2. Propiedadasociativa:(A + B) + C= A + (B + C).3. Elementoneutro: Existeuna unicamatriz O Mmn, llamadamatriznula,talqueA +O = O + A,paratodamatrizA Mmn.4. Elementoopuesto:DadaunamatrizA Mmn,existeotramatrizB Mmn,llamadaopuestadeA,talqueA + B= O.Lamatriznulaestaformadaporceros. Porotrolado, si BeslamatrizopuestadeA, setienebij= aij.Nota: Como Mmnvericaestascuatropropiedades, sediceque Mmnesungrupoabelianoconrespectoalasuma.Estudiaremoselconceptodegrupomasadelante.23Propiedades del productodematrices: Si A, ByCsonmatrices, delasdimensionesadecuadasparaquesepuedanmultiplicarosumar(encadacaso),setiene1. Propiedadasociativa:(AB)C= A(BC).2. Propiedadesdistributivas:a) (A + B)C= AC + BC.b) A(B + C) = AB + AC.3. Elementoneutro(aizquierdayderecha): Existeuna unicamatrizI Mnntalque:a) AI= AparatodaA Mmn.b) IB= BparatodaB Mnp.Nota: El productodematricesnoesconmutativoengeneral. Esdecir, normalmenteAB =BA, inclusocuandolosdosproductosestenbiendenidos. Ademas, nosiempreexisteel elementoinverso:dadaunamatrizcuadradaA,notieneporqueexistirotramatrizBtalqueAB= I.Porotraparte, lamatrizneutraI =(ij)sellamamatrizidentidad, yesunamatrizcuadradadenidapor: ij=0si i =j, yii=1paratodoi. Por ejemplo, lamatrizidentidaddedimension3es:I=__100010001__.Propiedadesdelproductodematricesyescalares:SiAyBsonmatrices,delasdimensionesadecuadasparaquesepuedansumaromultiplicar(encadacaso),ysiysonescalares,setiene1. (A) = ()A.2. (AB) = (A)B= A(B).3. ( + )A = A + A.4. (A + B) = A + B.24Terminaremos esta seccion estudiando una ultima operacion de matrices, llamadatrasposicion.Dada una matriz A Mmn, llamamos traspuesta de A a la matriz At Mnm,denida de forma que las las de A sean las columnas de At, y viceversa. Es decir,siAt= (bij),setieneaij= bjiparatodoi, j.Ejemplo2.1SiA =_123456_,entoncesAt=__142536__.Utilizaremoslatraspuestadeunamatrizentemasposteriores.Porahoranoslimitaremosaveralgunaspropiedades:Propiedades de la trasposicion: SeanAyBmatrices de las dimensionesadecuadas.Setiene:1. (A + B)t= At+ Bt.2. (AB)t= BtAt.3. (At)t= A.Por ultimo,hayuntipoespecialdematrizqueseraimportantemasadelante:UnamatrizAessimetricasiAt= A.Observemos que, si Aes simetrica, entonces debeser unamatrizcuadrada. Las matri-cescuadradastienenpropiedadesespeciales, queestudiaremosenestetema. Peroahoracontinuaremosconpropiedadesimportantesdelaslasycolumnasdeunamatriz.2.2. Dependencialinealyrango.TeoremadeRouche-Forbenius.El concepto de dependencialineal de vectores es fundamental para el estudio de matri-ces,sistemaslinealesy,comoveremosentemasposteriores,espaciosvectoriales.25Geometricamente, unvectordencoordenadasserepresenta, enel espaciodedimensionn, como una echa que parte del origen y termina en el punto que tiene esas coordenadas.Lasoperacionesbasicasdematrices, aplicadasavectores, sevengeometricamentecomosigue:Multiplicar un vector por un escalar (digamos, un n umero real), equivale a multiplicarlalongituddelvectorporeseescalar.Sumar dosvectoresv1yv2correspondeal siguienteprocedimiento: Si setrasladael vectorv2, sincambiar sudireccionni sutama no, hastahacer quesucomienzocoincidaconelnaldelvector v1,entoncesvector v1 +v2eselqueuneelorigendecoordenadasconelnaldeestenuevovector v2.Dados r vectores v1, . . . , vr de la misma dimension, llamamos combinacion linealdeestosvectoresacualquierexpresiondelaforma:1v1 + 2v2 + + rvr,donde1, . . . , rsonescalarescualesquiera.Esdecir,unacombinacionlinealdervectoresesotrovector,queresultadecambiareltama nodecadaunodelosvectoresiniciales, ysumarlosresultados(haciendocomenzarcadavectorenelnaldelvectorprecedente).Ejemplo2.2Unacombinacionlineal deunsolovector, v, tienelaformav,dondeesunescalar.Portantoesotrovectorconlamismadireccionquev,ycuyotama noesveceseltama node v.Portanto,vestaenlarectadetermi-nadapor v.Ejemplo2.3Unacombinaciondedosvectoresde R3esotrovectorqueestaenelplanodeterminadoporestosdosvectores.Diremos que unvector v depende linealmentede unconjunto de vectores{v1, . . . , vr}si vsepuedeescribircomocombinacionlinealde v1, . . . , vr.26Ejemplo2.4El vector(3, 2, 2)dependelinealmentedelosvectores(1, 0, 2)y(1, 2, 2),yaquesetienelacombinacionlineal:__322__= 2__102__+ (1)__122__.Ejemplo2.5El vector

0, contodassuscoordenadasnulas, dependelinealmen-tedecualquierconjuntodevectores. Bastatomartodosloscoecientes0enlacombinacionlineal.Ejemplo2.6Cualquiervectordependelinealmentedeunconjuntodevectoresquelocontenga.Bastatomarsucoeciente1,ytodoslosdemas0.Hayotraformadeverladependencialineal:Diremos queunsistema(oconjunto) devectores delamismadimensionS={v1, . . . , vr}eslinealmentedependiente, si existenrescalares1, . . . , r, notodosnulos,talesque1v1 + 2v2 + + rvr=

0.Encasocontrario,esdecir,sila unicaformadeescribirelvector 0comocombi-nacionlinealdeestosvectoresestomando1= 2= = r= 0,diremosqueelsistemaSeslinealmenteindependienteolibre.Larelacionentre estadenicionde dependencialineal ylaanterior viene dadapor elsiguienteresultado.Lema2.7Unsistemadevectores {v1, . . . , vr}eslinealmentedependientesiysolosiunodeellosescombinacionlineal delosdemas.Demostraci on: Directa.Si enunsistemadevectores, unodeellosescombinacionlineal delosdemas, esevectorsobra, desde el punto de vista geometrico. Es decir, si lo quitamos del sistema, el conjuntodevectoresquesepuededenircomocombinacionlinealdelosvectoresdelsistemasiguesiendoel mismo. Podramos, portanto, ireliminandovectoresdel sistema, hastaquenopudieramoseliminarmas; esdecir, hastaqueel sistemafueralinealmenteindependiente.Enefecto,setiene:27Teorema2.8DadounsistemadervectoresS= {v1, . . . , vr},notodosnulos,severica:1. Existeal menos unsistemaS0 Slinealmenteindependiente; ytodos los demasvectoresdeSdependenlinealmentedelosdeS0.2. TodoslossistemasS0quesatisfacenlacondicionanteriortienenel mismon umerodeelementos.Aesten umerolollamamosrangodeS.Demostraci on: Lademostracionde1yaestaesbozadaarriba. Parademostrar2, sesuponequesetienendossubsistemaslibres,S1yS2,condistinton umerodevectores.SiS2tienem asvectoresqueS1,sedemuestraque 0puedeescribirsecomounacombinacionlineal notrivial deloselementosdeS2, escribiendoestoscomocombinacionlineal delosdeS1, yusandoqueunsistemahomogeneoconmenos ecuaciones queincognitas tienesolucionesnotriviales.Elrangodeunsistemadevectoressepuedetambiendenircomosigue:El rangodeunsistemadevectoresSeseltama nodel mayorsistemalibrequesepuedeformarconlosvectoresdeS.Ahorarelacionaremos, deformamuysencilla, lossistemasdevectoresconlasmatrices.Simplemente, a un sistema de m vectores de dimension n, le asociamos una matriz mn,dondecadalaesunvectordelsistema.As,podemosdenir:El rango de una matriz es el rango del sistema de vectores formado por sus las.AlrangodeunamatrizAlodenotaremosrg(A).Si ahoramodicamoslamatriz, usandotransformacioneselementalesdelas, estaremosmodicando el sistema de vectores asociado. Podemos, por tanto, intercambiar la posiciondelos vectores, multiplicar unvector por unescalar nonulo, osumar aunvector unm ultiplononulodeotro.Peroencualquiercaso,estiene:Lema2.9Lastransformacioneselementalesdelasnoalterandel rangodeunamatriz.28Demostraci on: Directa,usandoladenicionderangodeunsistemadevectores.Graciasaesteresultado,podremoscalcularfacilmenteelrangodeunamatriz:Teorema2.10ConsideremosunamatrizA Mmn,yseaA

unamatrizreducidaequi-valentepor las aA. Entonces, el rangodeAes igual al n umerodelas nonulas deA

.Demostraci on: S olo hay que ver que las las no nulas de A

forman un sistema libre. Seformaunacombinaci onlineal igualadaacero, ysevequelascoordenadasdelospivotessolosepuedenanularsielcoecientedeesalaesnulo.Nota:Acabamosdeprobarqueeln umerodelasnonulasdelaformareducidaporlasdeunamatriz,estadeterminadoporlamatriz.Ademas,cualquierformaescalonadadelamismamatrizdebetambientenerelmismon umerodelasnonulas.Por ultimo, si volvemosanuestroproblemaoriginal, laresoluciondeunsistemalineal,el rangodelamatrizdecoecientes, ydelamatrizampliada, nosdiransi el sistemaescompatibledeterminado, compatibleindeterminadooincompatible. Esteresultadoyalohemosdemostradoenlaseccion1.2,peroahoralodamosensuformamasconocida:Teorema2.11(TeoremadeRouche-Frobenius) Dadounsistemalineal demecua-cionesconnincognitas,seaAsumatrizdecoecientesyA

sumatrizampliada.Setiene:El sistemaesincompatiblesiysolosi rg(A) < rg(A

).El sistemaescompatibledeterminadosiysolosi rg(A) = rg(A

) = n.El sistemaescompatibleindeterminadosiysolosi rg(A) = rg(A

) < n.2.3. Transformacioneselementalesymatricesinversas.Hemosestudiadotrestransformacioneselementalesaplicandolas,seg unelcaso,aecuacio-nesdeunsistemalineal, lasdeunamatriz, ovectoresdeunsistema. Vamosaestudiarmas atentamente el caso de las las de una matriz, y veremos la relacion entre estas trans-formacionesylamultiplicaciondematrices.29Comenzamosdeniendotrestiposdematrices, quellamaremosmatriceselementales,yquesonel resultadodeaplicaralamatrizidentidadlostrestiposdetransformacioneselementales. Deniremos matrices cuadradas nn, luego I Mnn sera la matriz identidaddedimensionn.Enprimerlugar,dadosi, j, 1 i, j n,denimosTijcomolamatrizqueseobtienedeIalintercambiarsuslasiyj.Tij=_____________________1...10 1... 1............... 1...1 01...1_____________________lailajAcontinuacion,dadoi, 1 i n,yunescalar K,denimosMi()comolamatrizqueseobtienedeIalmultiplicarsulaipor.Mi() =___________1...11...1___________laiFinalmente,dadosi, j (1 i, j n, i = j),yunescalar K,denimosPij()como30lamatrizqueseobtienedeIalsumarlealalailalajmultiplicadapor.Pij(a) =_____________________1...11 ... 1............... 1...0 11...1_____________________lailajPodemosdescribirestostrestiposdematricesdeotramanera:TijcoincideconI,salvoenlosterminos:tii= tjj= 0, tij= tji= 1.Mi(a)coincideconIsalvoeleltermino:mii= a.Pij(a)coincideconIsalvoeneltermino:pij= a.Larelacionentrelastransformacioneselementalesdelasyelproductodematricesvienedadaporelsiguienteresultado:Lema2.12SeaA Mnp.Setiene:1. TijAeslamatrizqueresultaal intercambiarlaslasiyjdeA.2. Mi()Aeslamatrizqueresultaal multiplicarporlalaideA.3. Pij()Aeslamatrizqueresultaal sumaralalaideA,lalajmultiplicadapor.Es decir, aplicar una transformacion elemental de las a una matriz equivale a multiplicarla,alaizquierda,porlamatrizelementalcorrespondiente.Si seguimos aplicando transformaciones elementales, estaremos multiplicando mas matriceselementalesalaizquierda.Aspodremosllegarhastaunaformareducida,equivalenteporlasalamatrizA.Portanto,setiene:31Proposicion2.13SeaA MmnyseaA

unaformareducidaporlasdeA.EntoncesexisteunamatrizP Mmm,productodematriceselementales,tal queA

= PA.Este resultado tiene varias aplicaciones. En primer lugar, podemos ya probar que la formareducidaporlasdeunamatrizes unica.Lema2.14Si A, B Mmnsondosmatricesreducidasporlas, quesonequivalentesporlas,entoncesA = B.Demostraci on: Yasabemosquelastransformacioneselementalesporlasnovaranelrangodeunamatriz, yquesi unamatrizesreducidaporlas, entoncessurangoeseln umerodelasdistintasdeceroquetiene.Portanto,eln umerodelasdistintasdecerodeAyBeselmismo.Sedemuestraentonceselresultadoporinduccionenn,eln umerode columnas.Sin = 1,entonces o bien A = B= 0,o biena11= b11= 1y todas las demasentradassoncero.Encualquiercaso,A = B.Supongamosel resultadociertoparamenosdencolumnas, conn>1. SeanA

yB

lasmatrices formadas por las n1 primeras columnas de A y Brespectivamente. Ambas sonreducidas por las, pero ademas son equivalentes por las, usando las mismas transforma-cionesqueconviertenAenB.Portanto,porhipotesisdeinduccion,A

= B

.Solo queda demostrar que la ultima columna de A y de Bson iguales. Sea r = rg(A

). Haydos posiblidades: si la ultima columna de A contiene un pivote, entonces ar+1,n= 1 y todaslas demas entradas de la ultima columna son ceros. Pero en este caso rg(A) = rg(B) = r+1,luegola ultimacolumnadeBtambientieneunpivoteenlamismaposicion,yportantoA = B.Si, porcontra, rg(A)=rg(B)=r, entoncesla ultimacolumnadeAydeBpodratenersusrprimerasentradasnonulas, yel restodeberansernulas. LlamemosAnyBnala ultimacolumnadeAyB, respectivamente. ComoAyBsonequivalentesporlas, setieneB= PA,dondePesproductodematriceselementales.Masa un,comoA

= B

,lascolumnasdelosrpivotesdeAyBcoinciden. Peroal multiplicarPporlacolumnadelprimerpivotedeA,obtenemoslacolumnadelprimerpivotedeB.Esdecir:___p11 p1m......pm1 pmm________10...0_____=_____10...0__________p11p21...pm1_____=_____10...0_____.LomismoocurreconlasegundacolumnadeP(usandoel segundopivote), yas sucesi-vamente, hastausarlosrpivotes. Portanto, lasrprimerascolumnasdePsonigualesa32lasdelamatrizidentidad.Peroentonces,comoPAn=Bn,dondeAnyBnsolotienenrentradasnonulas,uncalculodirectomuestraqueAn= Bn,yportantoA = B.Teorema2.15Laformareducidaporlasdeunamatrizes unica.Demostraci on: Suhubierados formas reducidas, A

yA

, deunamatrizA, ambasseranequivalentesporlasaA,luegoseranequivalentesporlasentreellas.Portanto,seg unelresultadoanterior,A

= A

.Otraaplicaciondelasmatriceselementalesesel calculodelainversa, si existe, deunamatrizcuadrada.Sepamosprimerodequeestamoshablando:SeaA Mnn. SedicequeAesinvertiblesi existeotramatrizA1 MnntalqueAA1= A1A = I.Enestecaso,A1sellamalainversadeA.Algunaspropiedadesdelasmatricesinvertiblessonlassiguientes:Teorema2.16SeanA, B Mnn.Severica:1. LainversadeA,siexiste,es unica.2. SiAyBsoninvertibles,entonces(AB)1= B1A1.3. SiAesinvertible,entoncesAttambienesinvertible,ysetiene:(At)1= (A1)t.4. SiAtieneunalaounacolumnadeceros,entoncesnoesinvertible.Demostraci on:1. SiA

yA

sondosinversasdeA,setieneA

= A

I= A

(AA

) = (A

A)A

= IA

=A

.2. Si multiplicamos AB, ya sea a la izquierda o a la derecha, por B1A1, se obtiene I,luegoestamatrizeslainversadeAB.3. Setiene(A1)tAt= (A1A)t= It= I.Lamultiplicacionporladerechaesanaloga.334. Si lalai de Aes de ceros, al multiplicarlaaladerechapor cualquier matriz,estatendralalaideceros.Lomismoocurreconlascolumnas,multiplicandoalaizquierda.Corolario2.17Setiene:1. Si A1, A2, , Ar Mnnsoninvertibles, entoncessuproductoesinvertible, ylainversaes:(A1A2 Ar)1= A1r A12A11.2. SiunamatrizPesproductodematriceselementales,entoncesPesinvertible.Demostraci on: La primera propiedad se demuestra igual que la propiedad 2 del teoremaanterior. La segunda, demostrando que las matrices elementales son invertibles, y aplicandolapropiedad1.Dehecho,setiene:(Ti,j)1= Ti,j, (Mi())1= Mi(1), (Pi,j())1= Pi,j().Veamosahoracomoeslaformareducidaporlasdeunamatrizinvertible:Teorema2.18Si A Mnnesunamatrizinvertible, suformareducidaporlaseslamatrizidentidadI.Demostraci on: Si usamos el metodo de Gauss-Jordan para hallar A

, la forma reducidapor las de A, tenemos que A

= PA, donde Pes producto de matrices elementales. Por elresultado anterior, Pes invertible,pero A tambienloes,portanto A

es invertible.Ahorabien, A

no puede tener una la de ceros, ya que en ese caso no sera invertible. Por tanto,enA

haynpivotes,yla unicamatrizn nreducidaporlasquepuedetenernpivotesesI.Esdecir,A

= I.Corolario2.19UnamatrizA Mnnesinvertiblesiysolosirg(A) = n.34Demostraci on: Si Aesinvertible, el teoremaanteriornosdicequesuformareducidaporlasesI,quetienenlasnonulas,luegorg(A) = n.Sirg(A) 1, se llama determinante de A,ysedenotadet(A)o |A|,alescalardenidopor:det(A) = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n.Esta forma de denir el determinante se llama desarrolloporlaprimerala. Observe-mosque,ahoras,tantolosdeterminantescomolosadjuntosestanbiendenidos,yaquepara denir el determinante de una matriz de orden n (es decir, nn), se necesitan adjuntosde orden n1. Para estos, se necesitan determinantes de orden n1, y as sucesivamente,hastallegaralosdeterminantesdeorden1,queestanbiendenidosporsmismos.Estoesloquesellamaunadenicionrecurrente.Enestetemaveremosquelosdeterminantestienenmuchasaplicaciones.Yahemosvisto,porejemplo, quesirvenparacalcularareasdetrapeciosyvol umenesdeparaleleppedos.Perotambiensepuedenusarpararesolversistemaslineales, comprobarsi unamatrizesinvertible, einclusocalcularsuinversa. Comencemosviendoalgunaspropiedadesimpor-tantessobrelascolumnasdeunamatrizysudeterminante.Proposicion3.1SeaAunamatrizcuadradan n.Setiene:1. SienAseintercambiandoscolumnas,el determinantecambiadesigno.2. SienAsemultiplicaunacolumnaporunescalar,eldeterminantequedamultipli-cadopor.3. SiAtieneunacolumnadeceros,entoncesdet(A) = 0.4. Si descomponemoslacolumnaj deAensumadedosvectores,vyw, ysi llama-mosA

yA

alasmatricesqueresultandeAal sustituirlacolumnaj porvyw,respectivamente,entoncesdet(A) = det(A

) + det(A

).5. SiAtienedoscolumnasiguales,entoncesdet(A) = 0.416. Si a una columna de A le sumamos otra multiplicada por un escalar, su determinantenocambia.Demostraci on:1. Estapropiedadsedemuestrapor induccionenn. Si n=1lapropiedadnotienesentido. Si n=2, severicaclaramente. Supongamosqueesciertaparan 1yprobemoslaparan>2. Supongamos, enprimer lugar, que las columnas que seintercambian son consecutivas: jy j +1, y sea A

la matriz resultante de intercambiarestasdoscolumnas.Enesecaso,losmenoresM1k,conk =j, j + 1,setransformanenlosmenoresM

1kdelamatrizA

,dondesehanintercambiadodoscolumnas.Portanto,porhipotesisdeinduccion,det(M1k) = det(M

1k)parak = j, j + 1,esdecirA1k= A

1k.Por otraparte, M1jresultade eliminar lala1ylacolumnaj de A, que es lomismoque eliminar lala1ylacolumnaj+1de A

. Es decir, M1j=M

1j+1.Analogamente,M1j+1= M

1j.Peroentonces,comolos ndicesvaranenunaunidad,setiene: A1j= A

1j+1, yA1j+1= A

1j. Ademas, a1j=a

1j+1ya1j+1=a

1j. Portanto,det(A) =_ k=j,j+1a1kA1k_+ a1jA1j + a1j+1A1j+1=_ k=j,j+1a

1kA

1k_a

1j+1A

1j+1a

1jA

1j= det(A

).Si, por ultimo, las dos columnas intercambiadas nosonconsecutivas, observemosquepodemos intercambiarlas medianteunasucesiondeintercambios decolumnasconsecutivas (quellamaremos trasposiciones). Solohayquever queel n umerodeestosintercambiosesimpar.Seaniyj,coni < j,lascolumnasintercambiadas.Enprimer lugar,llevamos la columna i a la posicionjmediante j i trasposiciones. Lacolumna j habra quedado en la posicion j1, luego haran falta j1i trasposicionespara llevarla a la posicion i. Una vez hecho esto, todas las columnas estan en su lugar,salvolaiylajqueestanintercambiadas.Hemosusado,2i + 2j 1trasposiciones,luegohemoscambiadoel signodelamatrizunn umeroimpardeveces. Portanto,det(A) = det(A

).2. El resultadoesevidenteparan=1. Supondremosqueesciertoparan 1, yloprobaremosparan, conn>1. SeaA

lamatrizqueresultaal multiplicarporlacolumnaj deA. Setienea

1j=a1j, mientrasqueM1j=M

1j, dondeesta ultimamatrizeselmenor-(1j)deA

.Porotraparte,sik = j,tenemosa

1k= a1k,mientrasqueM

1kseobtienedeM1kalmultiplicarunadesuscolumnaspor.Porhipotesis42deinduccion,tenemosdet(M

1k) = det(M1k),esdecir,A

1k= A1k.Portanto,det(A

) = a

1jA

1j +

k=ja

1kA

1k= a1jA1j +

k=ja1kA1k= det(A).3. Sea A

la matriz que resulta al multiplicar por 0 la columna de ceros de A. ObviamenteA

= A,peroademas,alhabermultiplicadopor0unacolumna,tenemosdet(A

) =0 det(A) = 0.Esdecir,det(A) = 0.4. Sean v= (v1, . . . , vn) y w = (w1, . . . , wn). La propiedad es cierta para n = 1. Como decostumbreusaremoslainduccion,suponiendoqueelresultadoesciertoparan 1,conn>1. Al descomponerlacolumnaj, tenemos: a1j=v1+ w1=a

1j+ a

1j, yademasM1j=M

1j=M

1j,dondeestasdos ultimasmatricessonlosmenoresdeA

y A

, respectivamente. Pero tambien, para k = j, se tiene a1k= a

1k= a

1k, y ademasM

1kyM

1ksonlasmatricesqueseobtienenal descomponerendossumandosunacolumna de M1k. Por hipotesis de induccion: det(M1k) = det(M

1k) +det(M

1k), luegoA1k= A

1k + A

1k.Enresumen:det(A) = a1jA1j +

k=ja1kA1k= (a

1j + a

1j)A1j +

k=ja1k(A

1k + A

1k)=_a

1jA

1j +

k=ja

1kA

1k_+_a

1jA

1j +

k=ja

1kA

1k_= det(A

) + det(A

).5. Seg unlapropiedad1, si intercambiamoslasdoscolumnasiguales, obtenemosunamatrizA

talquedet(A

) = det(A).PeroclaramenteA

= A,portantodet(A) =det(A),luegodet(A) = 0.6. SeaBlamatrizqueresultadeAal sumarle, asucolumnai, lacolumnaj multi-plicadapor.Seg unlapropiedad4,det(B)=det(A) + det(A

),dondelacolumnai deA

esigual alacolumnaj multiplicadapor . Peroentonces, por lapropie-dad2, det(A

)=det(A

), dondeA

tienedoscolumnasiguales, esdecir, porlapropiedad5,det(A

) = 0.Uniendotodoesto,setiene:det(B) = det(A) + det(A

) = det(A) + det(A

) = det(A) + 0 = det(A).Gracias al resultado anterior, hemos visto como se comporta el determinante de una matrizsileaplicamostransformacioneselementalesdecolumnas(propiedades1,2y6).Estonosvaaayudaraobtenerfacilmentemuchasmaspropiedadesdelosdeterminantes.43Lema3.2ConsideremoslamatrizidentidadI Mnn.Setiene:det(I) = 1.Demostraci on: Directa,porinduccionenn,apartirdeladenicion.UnamatrizA Mnnsedicesingularsidet(A) = 0.Encasocontrariosedicenosingular.Teorema3.3UnamatrizA Mnnesnosingularsiysolosirg(A) = n,esdecir,siysolosiesinvertible.Demostraci on: Si Aes nosingular, es decir, det(A) =0, aplicar transformacioneselementalesdecolumnasnuncapuedeanularel determinante, yaque, obiencambiadesigno, o bien se multiplica por un escalar no nulo, o bien se mantiene. Por tanto, la reducidaporcolumnasdeAtienedeterminantenonulo.Peroestareducida,obieneslaidentidad,con lo que rg(A) = n y se tiene el resultado, o bien tiene una columna de ceros, con lo quesudeterminanteseracero,yllegaramosaunacontradiccion.Si, porotraparte, Atienerangon, entoncessuformareducidaporcolumnasesI. Portanto, aplicandounaseriedetransformacioneselementalesdecolumnasaA, obtenemosunamatriz, I, cuyodeterminante vale 1. Ahorabien, si Afuerasingular, es decir, sidet(A)=0,alaplicarcualquiertransformacionelementaleldeterminanteseguirasiendocero,luegoesimposible.Ahoraveamoscomosecomportael determinanteconrespectoal productodematrices.Primeroestudiaremoslasmatriceselementales:Proposicion3.4Losdeterminantesdelasmatriceselementalessonlossiguientes:1. det(Tij) = 1.2. det(Mi()) = .3. det(Pij()) = 1.44Demostraci on: LamatrizTijseobtieneal permutardoscolumnasdeI, luegosude-terminanteesel opuestoal deI, esdecir, 1. LamatrizMi()seobtieneal multiplicarlacolumnai deI por, luegosudeterminanteesdet(I) =. Por ultimo, lamatrizPij()resultadesumarle,alacolumnajdeI,lacolumnaimultiplicadapor,luegosudeterminanteesigualaldeI,esdecir,1.Proposicion3.5Si A Mnnes unamatriz cualquiera, y P1, , Pr Mnnsonmatriceselementales,entoncesdet(AP1 Pr) = det(A) det(P1) det(Pr).Demostraci on: Loharemosporinduccionenr.Sir = 1,lamatrizAP1eselresultadodeaplicaraAlatransformacionelementaldecolumnascorrespondienteaP1.Portanto,elresultadoseobtienedelasproposiciones3.1y3.4.Sir>2ysuponemoselresultadociertoparamenosdermatriceselementales,seaP

=P1 Pr1. Por hipotesis de induccion, tenemos det(A) = det(AP

Pr) = det(AP

) det(Pr).Pero, de nuevopor hipotesis de induccion, det(AP

) =det(A) det(P1) det(Pr1), dedondesesigueelresultado.Corolario3.6Si P Mnnes producto de matrices elementales: P= P1 Pr, entoncesdet(P) = det(P1) det(Pr).Demostraci on: Esteesuncasoparticulardel resultadoanterior, tomandoA=I, yrecordandoquedet(I) = 1.Teorema3.7(TeoremadeCauchy-Binet) DadasA, B Mnn,setiene:det(AB) = det(A) det(B).Demostraci on: SupongamosprimeroqueBessingular.Enesecasodet(B) = 0,yB

,laformareducidaporcolumnasdeB,tieneunacolumnadeceros.PeroB

= BP,dondePes producto de matrices elementales, luego B= B

P1, donde P1tambien es productodematriceselementales(recordemosquelainversadeunamatrizelemental tambienesunamatrizelemental). Portanto, AB=AB

P1. ComoB

tieneunacolumnadeceros,AB

tambienlatiene, portantodet(AB

)=0. Perosabemosque, al serP1productodematriceselementales, det(AB)=det(AB

P1)=det(AB

) det(P1)=0. Portanto,det(AB) = 0,yelresultadoesciertoenestecaso.45SupongamosentoncesqueBesnosingular.Entoncestienerangon,luegoesproductodematrices elementales: B= P1 Pr. Pero en este caso, la proposicion 3.5 y el corolario 3.6nosdicenquedet(AB) = det(A) det(P1) det(Pr) = det(A) det(B).3.2. Desarrolloporlasycolumnas.Adjuntaeinversa.Hasta ahora hemos visto una unica denicion del determinante de una matriz: su desarrolloporlaprimerala. Enestaseccionveremosotrasdenicionesalternativas, desarrollandopor cualquier la o cualquier columna, y mostraremos que todas las propiedades que hemosvisto para columnas se verican tambien para las. Para ello, vamos a empezar estudiandolatrasposiciondematrices.Proposicion3.8SiP Mnnesunamatrizelemental,entoncesdet(P) = det(Pt).Demostraci on: Recordemos que (Tij)t= Tijy (Mi())t= Mi(), luego para estos tiposde matrices, el resultado es evidente. Por otra parte, (Pij())t= Pji(), pero det(Pij()) =det(Pji()) = 1,luegoelresultadoescierto.Teorema3.9DadaA Mnn,setienedet(At) = det(A).Demostraci on: Si Aessingular, entoncesrg(A)=rg(At) j.Elsiguienteresultadoesevidenteapartirdelasdeniciones:Proposicion3.13Setiene:Unamatrizcuadradaescalonadaporlasestriangularsuperior.Unamatrizcuadradaescalonadaporcolumnasestriangularinferior.50Latraspuestadeunamatriztriangularsuperiorestriangularinferior,yviceversa.Calculemosahoraeldeterminantedelasmatricestriangulares:Proposicion3.14Si A Mnnes triangular inferior osuperior, entonces sudeter-minante es el producto de los elementos de sudiagonal principal. Es decir, det(A) =a11a22 ann.Demostraci on: Procedemosporinduccionenn. El resultadoesclaramenteciertosin = 1on = 2.Supongamosentoncesquen > 2,yqueelresultadoesciertoparan 1.Supongamos primeroqueAes triangular inferior. Entonces, todos los elementos desuprimera la son nulos salvo, a lo sumo, a11. Por tanto, det(A) = a11A11= a11 det(M11). PeroM11 es tambien triangular inferior, y los elementos de su diagonal principal son a22, , ann.Portanto,porhipotesisdeinduccion,det(M11) = a22 ann,yelresultadoescierto.Por ultimo, si A es triangular superior, la primera columna de M1jes una columna de ceros,para todo j= 2, . . . , n. Por tanto, A1j= 0 si j> 1. Luego det(A) = a11A11= a11 det(M11).PeroM11estriangularsuperior,asquepodemosaplicar,igualqueantes,lahipotesisdeinduccionparaobtenerelresultado.Yatenemosportantounmetodorapidoparaelcalculodedeterminantes:Metodoparacalcular determinantes: DadaA Mnn, usamos el meto-dodeeliminaciondeGaussparahallarunaformaescalonadaA

deA. Vamosrecordando, duranteel proceso, las transformaciones elementales utilizadas. EldeterminantedeAesel productodelosdeterminantesdelasmatriceselemen-tales correspondientes, multiplicado por los elementos de la diagonal principal deA

.Esdecir,siA = P1 PrA

,dondeP1, . . . , PrsonlasmatriceselementalesqueseempleanenelmetododeGauss,yA

esescalonadaporlas,setiene:det(A) = det(P1) det(Pr) det(A

),perolos determinantes decadaPisonconocidos y, comoA

es triangular superior, sudeterminanteesmuyfacildecalcular.As,tenemos:det(A) = det(P1) det(Pr)a

11 a

nn.513.4. Rangoymenores.Terminaremosestetemadandounanuevacaracterizaciondelrangodeunamatriz,utili-zandolosdeterminantes. Yasabemosque, dadaunamatrizA Mnn, det(A) =0si ysolosirg(A) = n.PeronosabemosnadasobreelrangodeAsidet(A) = 0,osilamatriznoescuadrada. Parapoderprecisarmas, deniremoslosmenoresdeunamatriz, delosqueyavimosalgunosejemplosenseccionesprecedentes.DadaA Mmn, ydadasplas1 i1r,52entonces A tendra unmenor no nulode ordenp,lo cuales imposible.Y sirg(A) = q< r,entoncestodoslosmenoresdeAdeordenmayorqueqserannulos.Peroestotambienesimposible,yaquesabemosquetieneunmenornonulodeordenr.Terminemos estetemadandounmetodoparacalcular el rangodeunamatriz, usandomenores.Hayquedecirqueestemetodonoeselmasecaz,yaqueusandoelmetododeeliminaciondeGauss, queesmasrapido, obtenemosunamatrizescalonada, enlaqueeln umerodelasnonulasesel rangodelamatriz. Sinembargo, el metodoquevamosadarpuedeservirparaestudiarlosvectoreslaovectorescolumnadeunamatriz,yaque,adiferenciadelmetododeGauss, estenolosvaamodicar.Metododelorlado,paracalcularelrangodeunamatrizA Mmn.1. SiAesunamatrizdeceros,entoncesrg(A) = 0.2. Sino,elegimosunelementoai1j1 = 0.3. Buscamos otra la i2, y otra columna j2, tal que el menor de orden 2 corres-pondientealaslasi1, i2yalascolumnasj1, j2seanonulo. Si noexiste,entoncesrg(A) = 1.Siexiste,recordamoslosdatos(i1, i2; j1, j2).4. Continuamos con el mismo proceso: si conocemos los ndices(i1, , ip; j1, , jp) tales que el menor correspondiente es no nulo,buscamosunalaip+1,yunacolumnajp+1,talesqueelmenorasociadoa(i1, , ip+1; j1, , jp+1)seanonulo.Sinoexiste,entoncesrg(A) = p.Siexiste,repetimosestepaso,paraunordenmayor.5. Enalg unmomentonopodremosseguiraumentandoel orden, yhabremosobtenidoelrangodeA.Proposicion3.16El metododel orladofunciona.Demostraci on: No es evidente que este metodo funciona: Hay que demostrar que, dadauna matriz A Mmn, si tenemos un menor no nulo de orden p, y el rango de A es mayorquep,entoncesexisteunmenornonulodeordenp + 1quecontieneal anterior.Supongamos entonces que rg(A) > p, y que tenemos un menor no nulo de orden p. Las p lascorrespondientes a ese menor, digamos i1, . . . , ip, son entonces linealmente independientes,ytambienlosonlaspcolumnas,j1, . . . , jp.Seai / {i1, . . . , ip}.Supongamosquelalai53dependelinealmentedelaslasi1, . . . , ip. Esdecir, si llamamos

fial vectordeterminadoporlalai,tendremos:

fi= 1

fi1 + + p

fip.En ese caso, podemos transformar la la i, mediante transformaciones elementales de las(restandole cada la

fikmultiplicada por k), hasta convertirla en una la de ceros. Si estoocurrieraparatodoi/ {i1, . . . , ip},obtendramosunamatrizA

,equivalenteporlasaA(luegorg(A

)=rg(A)), quesolotendraplasdistintasdecero. Enesecasotendramosrg(A) = p,loquenoesposible.Por tanto, debe existir una la, ip+1, que no dependa linealmente de las las i1, . . . , ip. En esecaso, las las i1, . . . , ip+1 de A son linealmente independientes. Sea A

M(p+1)n la matrizformadaporlaslasi1, . . . , ip+1deA.Sabemosquerg(A

) = p + 1,ytambienconocemospcolumnas,j1, . . . , jpquesonlinealmenteindependientes.Ahorapodemosprocedercomoantes: si una columna j / {j1, . . . , jp} depende linealmente de estas p columnas, podremoshacerla nula mediante transformaciones elementales por columnas. Si esto pasara para todoj / {j1, . . . , jp}, obtendramosunamatrizA

equivalenteporcolumnasaA

, conrangop. Comoestoesimposible, existiraunacolumnajp+1quenodependalinealmentedelacolumnasj1, . . . , jp,yportantoeldeterminantedelamatrizmenorformadaporlaslasi1, . . . , ip+1,ylascolumnasj1, . . . , jp+1deA,esnonulo.Ahoraqueyasabemosmanejarlosvectoresylasmatrices, yconocemosmuchasdesuspropiedades, vamos a hacer un esfuerzo de abstraccion. Nos quedaremos solo con sus pro-piedades basicas, y veremos que puede haber muchos objetos matematicos con las mismaspropiedades, que podremos usar de la misma manera. A partir de ahora, por tanto, aunquesigamospensandoenmatricesyenvectores,estudiaremosuntipodeobjetosmuchomasgeneral:loselementosdeunespaciovectorial.54Tema4. Espaciosvectoriales4.1. Estructurasalgebraicas.Entemasanterioreshemosdenidomatricesyvectores, estudiandoalgunasdesuspro-piedades. Tambienhemostrabajadoconcuerposdeescalares, suponiendoquesetratabade Q, Ro C, perosindarmasdetalles. Ahoravamosaestudiarconrigorestosconcep-tos. Deniremosalgunasdelasprincipalesestructurasqueseutilizanenalgebra, comoson:grupos,anillos,cuerposyespaciosvectoriales.Acontinuacionnoscentraremosenlaestructuraqueseestudiaenestaasignatura:losespaciosvectoriales.Lasestructurasalgebraicassonconjuntosdondehaydenidasciertasoperaciones,quesatisfacen unas determinadas propiedades. Las operaciones pueden ser de varios tipos. Porejemplo, unaoperacioninterna, denidaenunconjuntoX, esunafuncionqueadoselementosdeX(dadosenorden),lehacecorresponderotroelementodeX.Esdecir,unafuncionp : X X X.Por ejemplo, ppodraser lasuma, ladiferenciaolamultiplicacionden umeros reales.Observemosque, enocasiones(ladiferenciaden umerosreales, porejemplo)el ordenenquesedenlosdoselementosimplicadosinuyeenelresultado.Cuandosetrabajaconunaoperacioninterna,sesueleutilizarunsmbolo,porejemplo ,demaneraqueelresultadodeaplicarlaoperacionadoselementos,ayb,seescribea b.Unejemplotpicoesel smbolo+paralasumaden umeros. Enocasiones, ni siquieraseutilizasmboloalguno, comoenel casodel productoden umeros, dondeabrepresentaelproductodeayb.La primera estructura algebraica que estudiaremos, una de las mas basicas y utilizadas, esladegrupo:Grupo:SeaGunconjuntonovacio, ysea unaoperacioninternadenidaenG.Sediceque(G, )esungrupo,sisecumplenlassiguientespropiedades:1. Asociativa: (a b) c = a (b c), a, b, c G.2. Elementoneutro: e G talque a e = e a = a, a G.3. Elementoopuesto: a G, a

G talque a a

= a

a = e.55Normalmente, la operacion interna sera la suma o el producto de elementos. En la notacionaditiva, el elementoneutrosedenota0, yel elementoopuestoaasedenota a. Enlanotacionmultiplicativa,elelementoneutrosedenota1,yelelementoopuestoaa,queenestecasosellamaelinversodea,sesueledenotara1,obien1a.Sea(G, )ungrupo. SedicequeGesconmutativooabelianosi, ademasdelaspropiedadesdegrupo,vericalasiguiente:4. Propiedadconmutativa: a b = b a, a, b G.Ejemplo4.1Algunosejemplosdegrupossonlossiguientes:(Z, +), (Q, +), (R, +)y (C, +)songruposabelianosaditivos.(Q\{0}, ), (R\{0}, )y (C\{0}, ), donde sereerealproducto,songruposabe-lianosmultiplicativos.Elconjuntodematrices Mmn(K),dondeKesuncuerpo(ahoraveremosladeni-ciondecuerpo),juntoconlasumadematrices,esungrupoabelianoaditivo.El conjuntode matrices cuadradas nosingulares de Mnn(K), donde Kes uncuerpo, junto con la multiplicacion de matrices, forma un grupo que se llama GrupolinealdeordennsobreK,ysedenotaGl(n, K).Estegruponoesabeliano.El conjunto de matrices cuadradas de Mnn(K) con determinante igual a 1, juntoconlamultiplicaciondematrices, formaungrupoquesellamaGrupoespeciallinealdeordennsobreK,ysedenotaSl(n, K).Tampocoesabeliano.Losvectoresdencoordenadas,conlasumadevectores,formanungrupoabeliano.En ocasiones, se dene mas de una operacion interna sobre un conjunto. Existen estructurasquedependendedosomasoperaciones. Porejemplo, lamassencillaeslaestructuradeanillo. Usaremos las notaciones tradicionales, + y , para las dos operaciones internas, perodebemosrecordarquepuedenseroperacionescualesquieravericandolascondicionesdeladenicion:56Anillo: SeaAunconjuntonovaco, ysean+, dosoperacionesinternas, quellamaremos suma y producto, denidas en A. Se dice que (A, +, ) es un anillo, sisecumplenlassiguientespropiedades:1. (A, +)esungrupoabeliano.2. Propiedadasociativadelproducto: (a b) c = a (b c), a, b, c A.3. Propiedaddistributivadelproductorespectoalasuma:___a (b + c) = a b + a c, a, b, c A,(a + b) c = a c + b c, a, b, c A.Sisevericaalgunapropiedadmas,tenemostiposespecialesdeanillos:Dadounanillo(A, +, ),sedicequeesunitario,oquetieneelementounidad,sicumplelasiguientepropiedad:Elementoneutro: u A talque a u = u a = a a A.Dadounanillo(A, +, ),sedicequeesconmutativosicumplelasiguientepro-piedad:Propiedadconmutativa: a b = b a, a, b A.Ejemplo4.2Algunosejemplosdeanillosonlossiguientes:(Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, )sonanillosconmutativos.SiZ[x] esel conjuntodelospolinomiosenlavariablex, concoecientesenZ, ydenimosnaturalmentelasuma(+) yel producto() dedospolinomios, entonces(Z[x], +, )esunanilloconmutativo.Deigual modo,(Q[x], +, ), (R[x], +, ), y (C[x], +, )sonanillosconmutativos.57Elconjunto Mnn(K),conlasumayelproductodematrices,esunanillonocon-mutativo.En resumen, si (A, +, ) es un anillo, entonces (A, +) es un grupo, y (A, ) es casi un grupo:s ololefaltaelelementoinverso,ypuedequeelelementounidad.Hayelementos, comoel 0enel casodelosn umeros, quenopuedentenerinversomulti-plicativo.Perosicualquierotroelementopuedeinvertirse,esdecir,si(A\{0}, )fueraungrupo,ya unmas,ungrupoabeliano,entoncesestaramosanteuncuerpo.Cuerpo:SeaKunconjuntonovaco,ysean+, dosoperacionesinternas,quellamaremos suma y producto, denidas en K. Se dice que (K, +, ) es un cuerpo,sisecumplenlassiguientespropiedades:1. (K, +)esungrupoabeliano.2. (K\{0}, )esungrupoabeliano,donde0eselelementoneutrodelasuma.3. Propiedaddistributivadelproductorespectoalasuma:a (b + c) = a b + a c, a, b, c K,Observemos que la propiedaddistributiva solo tiene una condicion. Esto es porque elproductoesconmutativo,luegolaotracondicionesconsecuenciadelaprimera.Ejemplo4.3Algunosejemplosdecuerposonlossiguientes:(Q, +, ), (R, +, ) y (C, +, )soncuerpos.Losgruposdematricesinvertibles, Gl(n, k), odedeterminante1, Sl(n, k), nosoncuerpos,yaqueel productodematricesnoesconmutativo.Loscuerpostienenmultituddepropiedades,quenoseestudiaranenestaasignatura.No-sotros los usaremos para denir estructuras mas complejas, que generalicen las propiedadesdelosvectores,quehemosvistoenlostemasanteriores.Paraellodebemosdenirlasoperacionesexternas. ConsideremosunconjuntoX, yotroconjunto Kque llamaremos conjuntodeescalares. Llamaremos operacionexterna sobre58X, aunafuncionquetomeunelementodeKyunelementodeX, ydecomoresultadounelementodeX.Esdecir,unafuncion:p : K X X.Normalmente, aunaoperacionexternade este tipoladenotaremos ylallamaremosmultiplicacionporescalar;yalresultadodeaplicarlaaunescalar Kyaunelementox X,lodenotaremos x,osimplementex,ylollamaremosproductodeporx.Por tanto, si tenemos unconjuntoXyotroconjuntode escalares K, podemos teneroperaciones internas encadaunodeesos conjuntos, yoperaciones externas entreellos.Usandoestasdosposiblidades,sedenenlosespaciosvectoriales.Espacio vectorial: Sean Vy Kconjuntos no vacos. Sea + una operacion internasobreV ,ysea unaoperacionexternasobreVconconjuntodeescalaresK,quellamaremos productopor escalar. Diremos queV , conestas operaciones, es unespaciovectorialsisecumplenlassiguientespropiedades:1. (V, +)esungrupoabeliano.2. Kesuncuerpo.3. Elproductoporescalarvericalassiguientespropiedades:a) ( + )v= v + v, , K, v V .b) (v + w) = v + w, K, v,w V .c) (v) = ()v, , K, v V .d) 1v= v, v V ,donde1eselelementoneutrodelamultiplicaciondeK.Aloselementosdeunespaciovectorial losllamaremosvectores, ylosdenotaremosconunaechaencima.Enunespaciovectorialhay,portanto,cuatrooperaciones:lasumadevectores,lasumayproductodeescalares,yelproductodevectoresporescalares.Ejemplo4.4Algunosejemplosdeespaciosvectorialessonlossiguientes:Losvectoresquevimosenlostemasanteriores, formanunespaciovectorial. El es-paciovectorialdelosvectoresdencoordenadasobreuncuerpoK,sedenotaKn.Lasuma se realiza coordenada a coordenada, y el producto por escalar tambien. Ejemplosdeestetiposon R2o R3.59Lasmatrices Mmn(K),conlasumadematricesyel productoporescalar,formanunespaciovectorial.Observemosqueel productodematricesnoseutilizaaqu:Engeneral, no tiene por que existir una multiplicacion de vectores en un espacio vectorial.El espacio vectorial trivial es el conjuntoV ={0}, conrespectoacualquiercuerpoK. Cualquieroperaciondondeintervengaalg unvectordacomoresultadoel unicoelemento:0.Losconjuntosdepolinomios Q[x], R[x]y C[x]sonespaciosvectorialesconcuerpodeescalares,respectivamente, Q, Ry C.Losconjuntos Q[x]n, R[x]ny C[x]n,formadosporpolinomiosdegradomenoroigual an,sonespaciosvectorialesconcuerpodeescalares,respectivamente, Q, RyC.Terminamosestaseccionconalgunasconsecuenciassencillasdeladeniciondeespaciovectorial:Proposicion4.5SiVesunespaciovectorialsobreuncuerpoK,setienenlassiguientespropiedades,paratodo, Kytodo v,w V :1.

0 =

0,donde 0esel elementoneutrodelasumaenV .2. 0v=

0,donde0esel elementoneutrodelasumaenK.3. Siv=

0entonces,obien = 0obien v=

0.4. Siv= vy v =

0,entonces = .5. Siv= wy = 0,entonces v= w.6. ()v= (v) = v.4.2. Dependencialineal.Bases.Lanociondedependenciaoindependencialineal yalahemosestudiado, entemasante-riores,paravectoresdeKn.Ladenicionesexactamentelamismaparaelementosdeunespaciovectorialcualquiera.Repetimosaqulasdenicionesyresultadosprincipales:60SeaV unespaciovectorial sobreK. Dadosrvectoresv1, . . . , vr V , llamamoscombinacionlinealdeestosvectoresacualquierexpresiondelaforma:1v1 + 2v2 + + rvr,donde1, . . . , r K.SeaV unespaciovectorial.Diremosqueunvectorvdependelinealmentedeun conjunto de vectores {v1, . . . , vr} si v se puede escribir como combinacion linealde v1, . . . , vr.Sea Vun espacio vectorial sobre K. Diremos que un sistema (o conjunto) de vec-toresS= {v1, . . . , vr} V eslinealmentedependiente,siexistenrescalares1, . . . , r K,notodosnulos,talesque1v1 + 2v2 + + rvr=

0.Encasocontrario,esdecir,sila unicaformadeescribirelvector 0comocombi-nacionlinealdeestosvectoresestomando1= 2= = r= 0,diremosqueelsistemaSeslinealmenteindependienteolibre.Lema4.6SeaV unespaciovectorial.Unsistemadevectores {v1, . . . , vr} V eslineal-mentedependientesiysolosiunodeellosescombinacionlineal delosdemas.Lema4.7Si unvectorudependelinealmentedelosvectoresv1, . . . , vp, ycadaunodeestosdependelinealmentedelosvectoresw1, . . . ,wq, entoncesudependelinealmentede w1, . . . ,wq.Demostraci on: DirectaLema4.8SeaS V unsistemalinealmenteindependiente. Si v es unvector quenodepende linealmente de los vectores de S, entonces S {v}es unsistemalinealmenteindependiente.61Demostraci on: DirectaSistemadegeneradores:SeaV unespaciovectorial.Diremosqueunsistemade vectores S= {v1, . . . , vr} es un sistemadegeneradores de Vsi todo vectordeV puedeescribirsecomocombinacionlinealdelosvectoresdeS.EnestecasodiremosqueV estageneradoporS,oporlosvectoresdeS.Un espacio vectorial puede tener muchos sistemas de generadores diferentes. Incluso puedehaber sistemas degeneradores dondesobrealg unvector. Por ejemplo, si tenemos unsistema con cuatro vectores en R3, nos basta con tres de ellos para generar todo el espacio.Esto nos va a llevar al concepto de base. Pero antes debemos hacer una restriccion, puestoqueexistenespaciosvectorialesdemasiadograndes.Un espacio vectorial Vse dice que es de tipo nito si esta generado por un n umeronitodevectores.Esdecir,siexisteunsistemadegeneradoresS= {v1, . . . , vr}.Paraestosespaciosvectorialesdetiponito,podemosdenirsinproblemaslanociondebase:Base:SeaV unespaciovectorialdetiponito.Diremosqueunsistemadevec-toresB V esunabasedeV sicumple:1. BesunsistemadegeneradoresdeV .2. Beslinealmenteindependiente.En otras palabras, una base es un sistema de generadores de un espacio vectorial en el quenosobraning unvector, yaque, al serlinealmenteindependiente, ningunodeellospuedeescribirsecomocombinacionlinealdelosdemas.Unapropiedadimportantedelasbaseseslasiguiente:Teorema4.9SeaV unespaciovectorial detiponito, yseaBsistemadevectoresdeV .EntoncesBesunabasesiysolositodovectordeV sepuedeexpresardeuna unicamaneracomocombinacionlineal delosvectoresdeB.62Demostraci on: Directa.Ahora veamos que un espacio vectorial de tipo nito, que no sea trivial, siempre tiene unabase.Ademasveremosc omoseconstruye,apartirdeunsistemadegeneradores.Teorema4.10(deexistenciadebase) Sea V = {

0} un espacio vectorial de tipo nito.DadocualquiersistemanitodegeneradoresG V ,existeunabaseBdeV formadaporvectoresdeG.Demostraci on: Consideremosel sistemadegeneradoresG= {v1, . . . , vp}. Si eslibre,entonces es unabase, yhemos acabado. Si no, hayunelementoviGque dependelinealmente de los demas. Pero entonces G1= G\{vi} sigue siendo sistema de generadores.Si eslibre, G1esunabase. Si no, existiraotrovectorvjquedependelinealmentedelosdemasvectoresdeG1,ytambienlopodremoseliminar.Continuamos este proceso mientras el sistema de generadores sea linealmente dependiente.Perocomomuchopodremos eliminar p 1vectores yaque, comoV = {

0}, al menosdebehaberunvectorencualquiersistemadegeneradores. Portanto, enalg unmomentodebemosteneralg unGiquesealibre,luegoseraunabasecontenidaenG.Ya estamos a punto de poder denir la dimension de un espacio vectorial. Solo necesitamoselsiguienteresultado:Teorema4.11(Teoremafundamentaldelaindependencialineal) Sea Vun espa-cio vectorial generado por un sistema G de m vectores. Si S Ves un sistema linealmenteindependiente,formadopornvectores,entoncesn m.Demostraci on: SeaG= {u1, . . . , um}unsistemade generadores de V , yseaS ={v1, . . . , vn} un sistema linealmente independiente. Supongamos que n > m. Como G es unsistema de generadores, podemos escribir cada vicomo combinacion lineal de los elementosdeG:vi= a1iu1 + + amium.Porotraparte,comoSeslinealmenteindependiente,laecuacionx1v1 + + xnvn= 0solopuedeadmitirlasoluciontrivial, x1= =xn=0. Ahorabien, sustituyendocadavi,obtenemoslaecuacionequivalente:x1(a11u1 + + am1um) + + xn(a1nu1 + + amnum) = 0,63donde,sacandofactorcom unlos ui,setiene:(a11x1 + + a1nxn)u1 + + (am1x1 + + amnxn)um= 0.Una posible solucion para esta ecuacion se obtendra si cada coeciente fuera cero, es decir,si___a11x1+a12x2+ +a1nxn=0a21x1+a22x2+ +a2nxn=0............am1x1+am2x2+ +amnxn=0.Este sistema homogeneo tiene, como maximo, rango m, ya que tiene m las. Ahora bien, sin > m, el Teorema de Rouche-Frobenius nos dice que es un sistema compatible indetermi-nado, es decir, existe una solucion para x1, . . . , xn donde no todos son cero. Esto contradicequeSseaunsistemalibre.Veamosentoncesqueesladimensiondeunespaciovectorial:Teorema4.12(Teoremadeladimension) SeaV unespaciovectorial detiponito.TodaslasbasesdeV tienenel mismon umerodeelementos. Aesten umeroselellamadimensiondeV .Demostraci on: Sean B1y B2dos bases de V , de m y n vectores respectivamente. ComoB1essistemadegeneradores,yB2eslibre,entoncesn mporelteoremafundamentalde la independencia lineal. Pero como B2es sistema de generadores, y B1es libre, se tienem n.Portanto,m = n.Dimension:LadimensiondeunespaciovectorialV ,quedenotamosdim(V ),sedenecomosigue:SiV= {

0},entoncesdim(V ) = 0.SiV esdetiponito,sudimensioneseln umerodeelementosdecualquierbasedeV .Si Vno es de tipo nito, diremos que tiene dimension innita, y escribiremosdimV= .64Ejemplo4.13El espaciovectorial Rntiene dimensionn. Unabase, llamadalabasecanonica,estaformadaporlosvectores {e1, . . . , en},dondeei= (0, . . . , 0,(i)1 , 0, . . . , 0).Ejemplo4.14El conjunto de polinomios, R[x], es un espacio vectorial de dimension in-nita.Enefecto,supongamosqueexisteunsistemadegeneradoresGde R[x],formadoporunn umeronitodepolinomios. Seaentoncesmel mayorgradodetodoslospolinomiosdeG.Entonces,cualquiercombinacionlineal delospolinomiosdeGtienecomomaximogradom,luegonopodramosobtenerlospolinomiosdegradomayorquem,yGnoserasistemadegeneradores.Portanto,dim(R[x]) = .La dimension de un espacio vectorial nos impone restricciones sobre el tama no que puedentenerlossistemaslibres,olossistemasdegeneradores:Proposicion4.15SeaS= {v1, . . . , vm}unsistemadevectoresdeunespaciovectorialVdedimensionnita.Setiene:1. SiSesunsistemadegeneradores,entonces m dimV .2. SiSeslinealmenteindependiente,entonces m dimV .3. SiSessistemadegeneradores,y m = dimV ,entoncesSesbasedeV .4. SiSeslinealmenteindependiente,y m = dimV ,entoncesSesbasedeV .Demostraci on: Esconsecuenciadirectadel teoremafundamental delaindependencialineal,ydelteoremadeexistenciadebase.Unapropiedadimportantedelasbaseseslasiguiente:Teorema4.16(Teoremadelabaseincompleta) SeaV unespaciovectorial detiponito.Todosistemalinealmenteindependientepuedecompletarsehastaobtenerunabase.Es decir, si dimV =n, yS= {v1, . . . , vm}es unsistemalibre, conm1, yqueel resultadoesciertoparam1.MultiplicandoporAlasumadeestosvectores,setiene:A(v1 +v2 + +vm) =

0 1v1 + 2v2 + + mvm=

0.Peroporotrolado, algunodelosautovaloresdebesernonulo(supongamosqueesm).Multiplicamosentonceslasumainicialporm,ytenemos:mv1 + mv2 + + mvm=

0.Restandoestasdosexpresiones,concluimos:(1m)v1 + (2m)v2 + + (m1m)vm1 +

0 =

0.Pero los m1 vectores de esta expresion son no nulos, luego esto es imposible por hipotesisdeinduccion.Corolario6.4UnamatrizA Mnnnopuedetenermasdenautovaloresdistintos.Demostraci on: Comolasumadesusespaciospropiosesdirecta, ladimensiondelasumadetodoslosespaciospropioseslasumadelasdimensionesdecadaespacio.Comoesta suma no puede ser mayor que n (la dimension de V ), se concluye que no puede habermasdenespaciospropios,luegonopuedehabermasdenautovalores.Hemosdenidoentonceslosautovaloresyautovectoresdeunamatriz,odeunendomor-smodeV . Unapropiedadimportanteesquelosautovaloresdeunamatriznocambiansi cambiamos de base. Ademas, las dimensiones de los subespacios propios tambiensemantienen.Esdecir:116Proposicion6.5Si dos matrices A, B Mnnsonsemejantes, sus polinomios carac-tersticoscoinciden,ylossubespaciospropioscorrespondientesacadaautovalortienenlamismadimension.Demostraci on: Sabemos que P1AP= Bpara una cierta matriz P. Entonces se tiene:P1(A I)P= (P1A P1)P= P1AP P1P= B I.Portanto,|B I| = |P1(A I)P| = |P1||A I||P| = |A I|,esdecir,lospolinomioscaractersticosdeAyB(yportantosusautovalores)coinciden.Porotraparte, si jamosunautovalordeAyB, ladimensiondel subespaciopropiocorrespondientevienedeterminadaporel rangodelamatrizA I, oB I, encadacaso.PerohemosvistoqueB I= P1(A I)P,donde Pes una matriz no singular. Por tanto los rangos de AIy de B Icoinciden.Volvamosal problemadeinicio. Estamosintentandosaber, dadaunamatrizA, si existeuna matriz semejante que sea diagonal. Vimos que si Dera una matriz diagonal, entoncesexistennautovectoreslinealmenteindependientes(losdelabasecanonica). Estoquieredecirque, si Desdiagonal, lasumadelasdimensionesdetodoslossubespaciospropiosdebesern.Comoestasdimensionessoninvariantesporsemejanza,estamismapropiedadla deben satisfacer todaslasmatricesdiagonalizables. Es una condicion necesaria para queAseadiagonalizable.Veremosquetambienesunacondicionsuciente.Paradenirlaconmaspropiedad,comenzaremosdeniendolasmultiplicidadesdelosautovalores:Multiplicidadalgebraicaygeometricadeunautovalor: Sea A Mnn(yfelendomorsmoquerepresenta).Sea0unautovalordeA.Sedenelamultiplicidadalgebraicade0comoeln umerodevecesqueapa-rece0comorazdelaecuacioncaractersticadeA. Esdecir, lamultiplicidadalgebraicade0esmsielpolinomiocaractersticodeAsepuedeescribir:|A I| = ( 0)mp(),dondep()esunpolinomioquenotienea0comoraz.Se dene la multiplicidadgeometrica de 0como la dimension del subespaciopropioV0.117Proposicion6.6Sea0unautovalordeunmatrizA Mnn. Seamsumultiplicidadalgebraicayseagsumultiplicidadgeometrica.Entonces1 g m.Demostraci on: La desigualdad 1 g es muy sencilla de demostrar: si 0 es un autovalor,esto signica que tiene alg un autovector asociado, es decir, que la dimension g= dim(V0)debeseralmenos1.Por otro lado, sea B0= (e1, . . . , eg) una base de V0. Por el teorema de la base incompleta,podemos completar B0hastaunabaseBdeV . Podemos entonces cambiar debase, yescribirlamatrizArespectodelabaseB.EstoquieredecirquetenemosunamatrizA

,semejante a A, que representa al mismo endomorsmo (f) que A, pero respecto de la baseB. Ahorabien, sabemosquef(ei) =0ei, parai =1, . . . , g. TambiensabemosquelascolumnasdeA

representanf(ei)parai = 1, . . . , n.Portanto,setiene:A

=_0IgMO N_,para unas ciertas submatrices My N. Pero entonces el polinomio caracterstico de A

, quecoincide(alsersemejantes)conelpolinomiocaractersticodeA,esdelaforma:|A

I| =_(0)IgMO N I_= (0)g|N I| = (0)gp(),paraunciertopolinomiop() quepodra, ono, contener a0comoraz. Por tanto, lamultiplicidadalgebraicade0esalmenosg,comoqueramosdemostrar.Enesta demostracion hemos visto como se puede diagonalizarun trozo de matriz: simple-mentetomandoautovectorescomoelementosdelabase.Estoesexactamenteloquehayquehacerenelcasogeneral.Portanto,elresultadoquebuscabamoseselsiguiente:Teorema6.7UnamatrizA Mnnesdiagonalizable, esdecir, existePinvertibletalqueP1APesdiagonal,siysolosiAadmitenautovectoreslinealmenteindependientes.Es decir, si lamultiplicidadalgebraicade cadaautovalor coincide consumultiplicidadgeometrica,ylasumadetodaslasmultiplicidadesesigual an.Demostraci on: Si Des unamatrizdiagonal, entonces los vectores ei=(0, . . . , 0,(i)1, 0, . . . , 0) sonautovectores deD. Por tantoDadmitenautovectores linealmenteinde-pendientes. Estoesequivalenteag1 + + gd=dim(V1) + + dim(Vd)=n, donde1, . . . , dson los autovalores de D.Pero gi mi(donde mies la multiplicidad algebraica118dei, parai=1, . . . , d), ylasumadetodaslasmultiplicidadesalgebraicasnuncapuedesermayorquen(queeselgradodelpolinomiocaracterstico).Portanto,setiene:n = g1 + + gn m1 + + mn n,esdecir,n = g1 + + gn= m1 + + mn= n,yportantogi= miparatodoi = 1, . . . , d.Ahorabien, si Aesdiagonalizable, entoncesP1AP=D. Hemosdemostradoquesi dosmatricessonsemejantes,entoncessuspolinomioscaractersticos,ylasdimensionesdesussubespacios propios, coinciden. Por tanto, las multiplicidades algebraicas y geometricas delos autovalores de A yDcoinciden.Siestas multiplicidades son miygi,para i = 1, . . . , d,setienegi=miyg1 + + gd=m1 + + md=n. Comopodemostomargivectoreslinealmente independientes de cadaVi, ytodos estos subespacios sonindependientes,concluimosqueAadmitenautovectoreslinealmenteindependientes.Recprocamente, si A admite n autovectores linealmente independientes, basta formar unanuevabaseBconestosnautovectores, ytomarPcomolamatrizdel cambiodebase.Lamatrizresultante:P1APesdiagonal,yloselementosdeladiagonalprincipalsonlosautovaloresdeA.Algunas observaciones sencillas, que nos puedenayudar adeterminar si unamatriz esdiagonalizable,sonlassiguientes:Proposicion6.8SeaA Mnn. Sean1, . . . , dsus autovalores, yseangiymilasmultiplicidadesgeometricayalgebraica,respectivamente,dei.Setiene:1. Sid = n,esdecir,siAtienenautovaloresdistintos,entoncesAesdiagonalizable.2. Sigi< miparaunvalordei,entoncesAnoesdiagonalizable.Demostraci on: Laprimerapropiedadsetieneyaque1 giparatodoi.Portanto,sin = d,tenemosn g1 + + gn n,portantog1 + + gn= n,yAesdiagonalizable.Lasegundapropiedadesconsecuenciadirectadelresultadoanterior.1196.2. FormacanonicadeJordan.Continuamosenestaseccionestudiandolosendomorsmosdeunespaciovectorial V dedimensionn, oanalogamente, las matrices de Mnn(K). Vimos enlaseccionanteriorquesiunamatrizA Mmnadmitenautovectoreslinealmenteindependientes,entoncespodemos formar una base con esos autovectores, y al representar A respecto de esta nuevabase, obtenemos una matriz diagonal, D, semejante a A, donde los elementos de la diagonalprincipalsonlosautovaloresdeA.Pero no todas las matrices son diagonalizables. En el caso en que solo existan m < n auto-vectoreslinealmenteindependientes,vamosabuscarotrosn mvectores,quecompletenlosautovectoreshastaunabasedeV ,talesquealcambiardebaselamatrizseconviertaen otra lo mas simple posible. Veremos en esta seccion el caso en que A tenga exactamentenautovalores(contandomultiplicidades).Esdecir,siAtienepautovalores,demultiplici-dadesalgebraicasm1, . . . , mp,ysetienem1 + + mp= n,entoncesexistiraunamatrizJ, semejante a A, que se llama formacanonicadeJordan, y que es sucientemente simple,aunquenoseadiagonal.Nota: Normalmente, enlos ejemplos que usamos, el cuerpo Kes igual aQ, RoC.Deestostrescuerpos, Cesel masaconsejable, yaqueesuncuerpoalgebraicamentecerrado. Esto quiere decir que todo polinomio de grado n en C tiene exactamente n races(contandomultiplicidades). Portanto, si consideramosK= C, todamatrizadmiteunaforma canonica de Jordan, ya que su ecuacion caracterstica tendra n races. Sin embargo,estonoocurrepara Qy R.VamosadeniryacomosonlasmatricesdeJordan. Comenzamosconunapiezabasicaparaconstruirestasmatrices:BloquedeJordan:Dadounescalar K,llamamosbloquedeJordandeordenmasociadoa,alamatrizmmsiguiente:J() =_______ 1 1...... 1_______.Esdecir,paratodoi,laentrada(i, i)es,ylaentrada(i, i + 1)es1.Todaslasdemasentradassonnulas.120UsandoestosbloquesdeJordan,podemosdenirunamatrizdeJordan:Matriz de Jordan: Diremos que unamatriz J Mnnes unamatriz deJordan,siexistenunosbloquesdeJordan,J(1), . . . , J(r)(nonecesariamentedelmismotama no),talesqueJesdiagonal porbloques,delasiguienteforma:J=______J(1)J(2)...J(r)______,dondetodaslasentradasdeJfueradelosbloquesreferidossonnulas.Observemos que si Jes una matriz de Jordan, entonces las unicas entradas que pueden sernonulassonaquellasdelaforma(i, i)o(i, i + 1), yestas ultimassolopuedentomarlosvalores1o0.Portanto,unamatrizdeJordanescasiunamatrizdiagonal.Queremosdemostrar,entonces,quetodamatrizA Mnnquetenganautovalores(con-tandomultiplicidades),essemejanteaunamatrizdeJordan.SupongamosqueAtienepautovaloresdistintos, 1, . . . , p, conmultiplicidadesgeometricasg1, . . . , gp, ymultiplici-dadesalgebraicasm1, . . . , mp. Sabemos, porlaseccionanterior, queexisteng1 + + gpautovectores linealmente independientes. Si este n umero es igual a n, entonces la matriz esdiagonalizable, ycomotodamatrizdiagonal esdeJordan(conbloquesdeorden1), estecaso ya esta probado. Vamos a suponer entonces que existe alg un autovalor icon gi< mi.Necesitaramos entonces migivectores mas, asociados a i, para intentar completar unabasequecontengaalosautovectores.Laideaes lasiguiente. Los autovectores asociados aisonaquellosvV tales que(A iI)v =

0. Es decir, sonlas preimagenes de

0por laaplicaciong asociadaalamatrizAiI.Sinotenemossucientesautovectoresindependientes,consideraremoslaspreimagenesporgdelosautovectores. Si a unnotenemossucientes, consideraremoslaspreimagenes por gde estos ultimos, y as sucesivamente hasta que obtengamos mivectoreslinealmenteindependientes.Estosseranlosvectoresqueusaremosparacompletarlabasedeautovectores.121Subespacios propios generalizados: Sea A Mnn, de autovalores 1, . . . , p.Parai = 1, . . . , p,yparaj 1,llamamossubespaciospropiosgeneralizadosasociadosai,alossubespacios:Vi,j= {v V | (A iI)jv=

0}.Esdecir,sillamamosgalaaplicacionlinealdenidaporlamatrizA iI,Vi,j= ker(gj).Estossubespaciosformanunacadenaascendente,queseestabiliza.Esdecir:Proposicion6.9DadaA Mnn,ydadounautovalorideA,setiene:Vi,1 Vi,2 Vi,3 Vi,4 Ademas, seakel menorn umerotal queVi,k=Vi,k+1. EntoncesVi,k=Vi,pparacualquierp > k.Demostraci on: SeaglaaplicacionlinealdenidaporA iI,yseaj 1.Si v Vi,j,entoncesgj(v) =

0.Aplicandogdenuevo,setienegj+1(v) =

0,porloque v Vi,j+1.Portanto,Vi,j Vi,j+1,luegolacadenaesascendente.Porotraparte, debeexistirunktal queVi,k=Vi,k+1, yaquetodosestosespaciosestancontenidos enV , que tiene dimensionnita, yconcadainclusionestrictaaumentaladimensiondel subespaciocorrespondiente. Portanto, comomaximok=n. Seaentonceskel mnimoenterotal queVi,k=Vi,k+1. Estoquieredecirquesiv

esunvectortal quegk+1(v

) =

0,entoncesgk(v

) =

0.Seaentonces v Vi,p,conp > k.Setienegp(v) =

0 gk+1(gpk1(v)) =

0.Comop k 1 0,podemosconsiderarelvector v

= gpk1(v).Tenemosentoncesgk+1(v

) =

0 gk(v

) =

0 gp1(v) =

0.LuegoVi,p= Vi,p1,paratodop > k.Esdecir,Vi,p= Vi,kparatodop > k.Sea A Mnn, y sea iun autovalor de A. Sean Vi,j, para j 1, los subespaciospropios generalizados asociados a i, y sea kel menor entero tal que Vi,k= Vi,k+1.EntoncesVi,ksellamasubespaciopropiogeneralizadomaximalasociadoai,ylodenotamosVmaxi.122LaimportanciadeesteespacioVmaxiesquevamosapoderobtenerde ellosvectoresquebuscamos,paracompletarunabasequecontengaalosautovectores.Ademas,alcambiaraestanuevabase,lamatrizAsetransformaraenunamatrizdeJordan.Elresultadoquenecesitamoseselsiguiente.Proposicion6.10Con las notaciones anteriores, existe una base Bde Vmaxital que, paratodo v B, o bien g(v) =

0 (es decir, ves un autovector de autovalor i), o bien g(v) B.Demostraci on: Comenzaremos por denir una base conveniente de Vi,1=Vi. Eneste subespacio propio, formado por los autovectores asociados a i, puede que hayaautovectoresquepertenezcanaIm(g). TambienpuedehaberautovectorescontenidosenIm(g2), Im(g3), . . . , Im(gk1). Nonecesitamosirmasalla, yaqueIm(gk) Vi= {

0}. Enefecto, si un vector vpertenece a Im(gk) Vi, es decir, si existe u tal que gk(u) = v Vi,entoncesgk+1(u)=g(v)= 0. Peroenesecaso, comoVi,k+1=Vi,k, setienegk(u)= 0, esdecir, v=

0.Portanto,tenemosunasucesionascendentedesubespaciosdeVi,1= Vi:{

0}_Im(gk1) Vi__Im(gk2) Vi_ (Im(g) Vi)Vi.Denotaremoslasdimensionesdeestossubespaciospk, pk1, . . . , p1, respectivamente. Ten-dremos entonces pk pk1 p1. Consideremos entonces una base BkdeIm(gk1)Vi. La podemos ampliar a una base Bk1 de Im(gk2)Vi, y as sucesivamente,hastaunabaseB1deVi.VamosahoraaampliarlabaseB1=(v1, . . . , vp1), formadaporautovectores, usandolosvectores de Vi,2, Vi,3, . . . , Vi,k. Para ello, consideramos B2= (v1, . . . , vp2), que es una base deIm(g) Vi. Cada vector de B2tendra, por tanto, al menos una preimagen por g. ElegimosentoncesunsistemadevectoresT2=(v(2)1, v(2)2, . . . , v(2)p2)talesqueg(v(2)j)= vj,paratodoj.EstosvectorespertenecenaVi,2,yaqueg2(v(2)j) = g(vj) =

0.Ahorabien, comolosvectoresdeB3pertenecenalaimagendeg2, entonceslosvectoresv(2)1, . . . , v(2)p3admitiranpreimagenesporg, quedenenel sistemaT3=(v(3)1, . . . , v(3)p3), yquepertenecenaVi,3. Continuamos esteproceso, llamandosiemprev(r)jalapreimagenporgdev(r1)jquehayamoselegido, yconstruyendosistemasT1, . . . , Tk, dedimensionesrespectivasp1, . . . , pk(porunicarlanotacion,hemosllamadoT1= (v(1)1, . . . , v(1)p1),dondev(1)j= vj).Hemosdenido,portanto,unsistemadevectoresB= T1 Tk.Vamosaprobarporinduccionenj,queelsistemaT1 TjesbasedeVi,j,yconestohabremosprobadoqueBesbasedeVi,k= Vmaxi.123Para j= 1, tenemos T1= B1, que es base de Vi,1. Podemos entonces suponer que T1 Tj1esbase deVi,j1,yprobaremoselresultadoparaj.Primeroveamosque T1 Tjsistemadegeneradores: Dadounvectorv Vi,j, sabemosquegj1(v) Im(gj1) Vi,1,luego podemos escribir gj1(v) como combinacion lineal de los vectores de Bj. Tendremos:gj1(v) = 1v1 + + pjvpj.Consideremosahoraelvector v

= 1v(j)1+ +pjv(j)pj.EstevectorescombinacionlinealdelosvectoresdeTj, peroademas, comogj1(v(j)r)= vrparatodor, setienegj1(v

)=gj1(v).Esdecir,gj1(v v

)= 0.Peroentonces v v

Vi,j1,ypodemosescribirestevector como combinacion lineal de los vectores de T1 Tj1. Por tanto, v= (vv

)+v

se puede escribir como combinacion lineal de los vectores de T1 Tj, luego este sistemageneraVi,j,comoqueramosdemostrar.AhoraveamosqueT1 Tjesunsistemalibre.Supongamosquetenemosunacombi-nacionj

r=1_(r)1v(r)1+ + (r)pr v(r)pr_=

0.Aplicandogatodalaigualdad,yrecordandoqueg(v(1)l) =

0paratodol,quedaj

r=2_(r)1v(r1)1+ + (r)pr v(r1)pr_=

0.Pero esta es una combinacion lineal de elementos de T1 Tj1, que es un sistema librepor hipotesis de induccion.Por tanto, los coecientes (r)l= 0 para todo r > 1. Nos quedaentonceslaigualdad(1)1v(1)1+ + (1)p1 v(1)p1=

0,perocomolosvectoresimplicadossonlosdelabaseB1, todosloscoecientesdebensernulos,yportanto,T1 Tjeslibre,comoqueramosdemostrar.Hemosprobado, portanto, queBesbasedeVmaxi. Ahora, dadounvectorv(r)jB, obienr =1, yenese casov(r)j=vjes unautovector asociadoai, obienr >1, yg(v(r)j) = v(r1)j B.Estoterminalademostracion.La base Bde Vmaxiconstruida en esta proposicion es muy importante para hallar la formacanonicadeJordandeunamatriz. Peronecesitamosordenarsusvectoresdelasiguientemanera: para cada autovector vj, sea Svj= (vj, v(2)j, . . . , v(r)j), donde v(r)jya no admite prei-magen por g. Es decir, Svesta formado por el autovector v y por sus sucesivas preimagenesporg.Entoncestenemos:B= Sv1 Sv2 Svp1.124Estaes labasedeVmaxiqueusaremos paratransformar lamatrizAenunamatrizdeJordan.Proposicion6.11SeafunendomorsmodeV ,seaiunautovalordef, vunautovec-torasociadoai, ySv=(v, v(2), . . . , v(r))el sistemadevectoresdenidoanteriormente.Entoncessetienef(Sv) V(Sv),ylamatrizdelarestriccionf|V(Sv)respectodelabaseSvesunbloquedeJordanJ(i).Demostraci on: Porsimplicarlanotacion, llamaremosv=vj, yllamaremosJalamatrizdelendomorsmof|V(Svj).RecordemosqueSv= (v, v(2), . . . , v(r)),paraunciertor,y que las columnas de Jseran las coordenadas, respecto de esta base,de las imagenes porfdeloselementosdelabase.ApliquemosfacadaelementodeSv.Enprimerlugar,como vesunautovector,setienef(v) = iv.Portanto,f(v) V(Sv),ylaprimeracolumnadeJsera(i, 0, . . . , 0).Ahora,paratodor>1,tendremosg(v(r))= v(r1),esdecir,f(v(r)) iv(r)= v(r1).Portanto,f(v(r)) = v(r1)+ iv(r),luegof(v(r)) V(Sv),ylacolumnacorrespondientedelamatrizJsera(0, . . . , 0,(r1)1 ,(r)i, 0 . . . , 0).Portanto,tendremosJ=_______i1i1......i1i_______= J(i),comoqueramosdemostrar.Corolario6.12Conlascondicionesanteriores, f(Vmaxi) Vmaxi, ylamatrizdef|V maxirespectodelabaseB= Sv1 Svp1esunamatrizdeJordan.Demostraci on: Bastaaplicar el resultadoanterior acadaunode los sistemas Svj,yobtendremos quelamatrizM(f|V maxi) es diagonal por bloques deJordan, todos ellosasociadosalautovalori.Corolario6.13Conlascondicionesanteriores, si itienemultiplicidadalgebraicami,entoncesdim(Vmaxi) = mi.125Demostraci on: Llamemos d a la dimension de Vmaxi, y consideremos la base Bde Vmaxidenidaanteriormente. AmpliemosBhastaunabaseB

detodoV , yllamemosMalamatrizdefrespectodelabaseB

.YasabemoscomosonlasdprimerascolumnasdeM,luegoestamatrizseradelaforma:M=_J POQ_,dondeJesunamatrizdeJordanformadaporbloquesasociadosai, y Oeslamatriznula.ComoJesunamatriztriangularsuperior,yloselementosdesudiagonalprincipalsontodosigualesai,setiene:|M I| = (i)d|QI|.Portanto,d mi,yse