ALGEBRALINEALCONELUSODEMATLABAUTOROmarSaldarriagaPh.D., State University of New York at BinghamtonProfesor AsociadoDepartamento de MatematicasUniversidad de Antioquia.iic _ Copyright by Omar Saldarriaga, 2009.All rights reserved.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA iiiPrefacioEl algebra lineal es el topico mas importante en Matematicas por sus numerosas aplicaciones en todas lasareas de la Matematica y a muchas otras areas, como la economa, la ingeniera, la qumica, la biologa entreotras. Este material se escribio bajo tres ideas principales:1. Un texto computacional, en este texto casi todos los temas se ven desde un punto de vista computacionalque ense na a los lectores como hacer calculos en algebra lineal sin abandonar la componente teorica.2. Un texto autocontenido: en este libro se dan las demostraciones de todos los teoremas, con excepcion delTeorema 1.1 cuya demostracion se omite por ser muy engorrosa.3. Untextoalgortmico: Enestelibrosedanprocedimientospasoporpasodecomohacerloscalculosrespectivos en cada tema.Lalosoadel textoconsisteendesarrollarcadaseccionenel siguienteorden: darprimerolateora, deesta deducir posibles algoritmos, despues dar el procedimiento paso por paso para hacer calculos y nalmentedar ejemplos algunos con calculos manuales y otros con el uso del MatLab, escribiendo los respectivos comandospara obtener la respuesta.La teora esta escrita en orden cronologico, cada captulo tiene una dependencia del anterior y se desarrollade una manera consisa y clara. Este material se ha usado como notas de clase y en encuestas realizadas a losestudiantes, estos han expresado que las notas son muy claras y que se pueden entender con mucha facilidad.Espero que los lectores encuentren en este libro un buen texto, si lo usan como tal para un curso, en casode no ser el texto gua, espero que encuentren en el una excelente referencia.ivIndicegeneralPrefacio III0. ComandosenMatLab 31.Algebradematrices 71.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Matrices y Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5. Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6. Inversa a la izquierda y a la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282. EspaciosVectoriales 352.1. Denicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Independencia Lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. Conjuntos generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Bases y Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6. Subespacios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7. Subespacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.8. El teorema de la base incompleta en Rm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. TransformacionesLineales 613.1. Denicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. Transformaciones Lineales Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3. Transformaciones lineales sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4. Isomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69vAutor:OMARDARIOSALDARRIAGA 13.5. Espacios Vectoriales arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.1. Transformaciones lineales entre espacios vectoriales arbitrarios. . . . . . . . . . . . . . . . 753.6. Propiedades de los Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824. Ortogonalidaden Rn874.1. Deniciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2. Proyeccion ortogonal sobre un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3. Proyeccion ortogonal sobre un subespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4. Mnimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5. El proceso Gramm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.6. La factorizacion QR de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Determinantes 1135.1. Denicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2. Determinantes y operaciones elementales de la. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.3. Determinante de matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4. Matriz Adjunta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. La Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.6. Interpretacion Geometrica del Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286. ValoresyVectoresPropios 1316.1. Polinomio Caracterstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2. Matrices Similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.3.1. La matriz de una transformacion con respecto a dos bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.4. Diagonalizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.5. Matrices Simetricas y Diagonalizacion Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.6. Formas Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582Captulo0ComandosenMatLabEnesteminicaptulodamosunapeque naintroduccionalusodelMatLabparahacercalculosenalgebralineal, estos comandos son muy utiles y se hara uso constante de estos en los ejemplos en el texto. La lecturade este captulo se puede obviar, ya que solo se usa como referencia para el lector.1. Para denir una matriz en MatLab se escriben las entradas la por la separando las entradas de una lacon coma o espacio y punto y coma para entrar una nueva la.Ejemplo:>>A = [1, 1; 2, 0] Con este comando se dene la matrizA =__1 12 0__.o en lugar de coma se dejan espacios entre los n umeros>>A = [11; 2 0]2. El sistema2x +y = 3x 2y = 6seresuelveconel comandoAbdondeAeslamatrizdecoecientesybeselvector de terminos independientes>>A = [2, 1; 1, 2],b = [3; 6],x = Ab3. La forma escalonada de una matriz se calcula con el comandorref(A)>>A = [2, 1; 1, 2],R = rref(A)Si se desean las respuestas en n umeros racionales se cambia el formato format rat2se ejecuta la ordende nuevo>> format rat>>R = rref(A)4. La suma de las matricesA yBse ejecuta con el comandoA+B>>A = [2, 1; 1, 2],B = [1, 1; 2, 1],A+B345. El producto de escalar por una matrizA se ejecuta con el comando A>>A = [2, 1; 1, 2], A6. El producto de las matricesA yBse ejecuta con el comandoA B>>A = [2, 1; 1, 2; 1, 0],B = [1, 1, 2; 0, 1, 2],A B7. La inversa de la matrizA se ejecuta con el comandoinv(A)>>A = [2, 1; 1, 2],inv(A)8. La transpuesta de una matrizA se calcula con el comandotranspose(A) oA

>>A = [2, 1; 1, 2],transpose(A)o tambien>>A

9. El espacio nulo de una matriz se calcula con el comandonull(A)>>A = [2, 1; 1, 2],null(A)10. El proceso Gramm-Schmidt se ejecuta con la orden orth(A), en este caso se obtiene una base orthonormalpara el espacio columna deA>>A = [2, 1; 1, 2],orth(A)11. La factorizacionQR de una matrizA se calcula con el comandoqr(A)>>A = [2, 1; 1, 2], [Q, R] = qr(A)12. la solucion de los mnimos cuadrados de un sistema inconsistente, Ax = b, se calcula ejecutando el comandolsqr(A, b)>>A = [2, 1; 1, 2; 0, 0],b = [1; 1; 1],lsqr(A, b)13. La solucion de los mnimos cuadrados tambien se puede hallar como se muestra a continuacion>>A = [2, 1; 1, 2; 0, 0],b = [1; 1; 1],inv(A

A) A

b14. El determinante de una matriz se calcula con el comandodet(A)>>A = [2, 1; 1, 2],det(A)15. El rango de una matriz se calcula con el comandorank(A)>>A = [2, 1; 1, 2],rank(A)16. El espacio columna de una matriz A se calcula con el comando colspace(a) pero se necesita usar el comandoespecialsym(a) para que MatLab entienda las columnas deA como vectores>>a = sym([1, 2; 1, 2; 1, 1]),colspace(a)Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 517. El polinomio caracterstico de una matrizA se calcula con el comandopoly(A).Advertencia: MatLab escribe solamente los coecientes del polinomio caracteristico>>c = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4];poly(c)ans =1.00 -3.75 5.25 0.00Esta respuesta signica que el polinomio caraterstico deA es33,752+ 5,25.18. Como los valores propios son las races del polinomio caraterstico, los valores propios tambien se puedencalcular con el comandoroots(poly(A)), el cual nos daria las races del polinomio caracterstico>>c = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4];roots(polyc)ans =1.8750 + 1.3170i1.8750 - 1.3170i-0.0000Advertencia: No se debe usar el formato format bank2a que este formato no muestra la parte imaginaria.19. Tambien se puede usar el comandopoly(sym(A)), de esta manera se obtiene el poinomio caraterstico yno solo los coecientes>>c = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4];poly(sym(c))ans =x3 15/4 x2 + 21/4 x20. Si se quiere factorizar el polinomio caraterstico, para encontrar por ejemplo los valores propios, se usa elcomandofactor(p)>>c = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4];factor(poly(sym(c)))21. Para calcular los valores propios de una matrizA se ejecuta el comandoeig(c)Advertencia: No se debe usar el formato format bankporque estte podria eliminar la parte imaginariade los valores propios complejos, se debe usar format short.oformat rat>> format short>>c = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4];eig(c)22. Para calcular los valores y vectores propios de una matriz A se ejecuta el comando [V, D] = eig(c). MatLabescribiralosvectorespropiosenlamatrizV ylosvalorespropiosenladiagonaldelamatrizD.EstasmatricesVyD son tambien las matrices de la diagonalizacion deA6>> format short (o format rat)>>c = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4]; [V, D] = eig(c)23. Las potencias de una matriz A se calculan usando el comando A seguido por la potencia. Por ejemplo A2se calcula con el comandoA2>>A = [1 2 1; 1 2 0; 1 1 3/4];A224. Si se tiene una matriz A de tamano mn y un vector columna b con m componentes, se puede aumentarla matrizA por el vectorb con el comando [A, b]>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04],b = [1; 0; 2; 1], [A, b]25. Si se tienen dos matrices A y B de tamanos mn y mq, respectivamente, se puede aumentar la matrizA por la matrizBcon el comando [A, B]>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04],B = [1 3; 11; 0 0; 04], [A, B]26. Si se tiene una matrizA de tamanomn y un vector lab conn componentes, se pueden aumentar laslas deA agregando el vectorb en la parte inferior de la matriz con el comando [A; b]>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04],b = [1 02 1], [A; b]27. Si se tienen dos matricesA yB de tamanosmn yq n, respectivamente, se pueden aumentar las lasdeA agregando la matrizBen la parte inferior de laA con el comando [A; B]>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04],B = [1 311; 0 0 04], [A; B]28. Si sequiereextraerlai-esimaladeunamatrizAseusael comandoA(i, :). Porejemplosi sequiereextraer la tercera la de una matrizA se escribeA(3, :)>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04],A(3, :)29. SisequieredenirunamatrizformadaporvariaslasdeunamatrizA,sepeganestasenunamatrizcomo se muestra en el siguiente ejemplo>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04], [A(3, :); A(4, :)]Esta instruccion produce una matriz formada por las las tercera y cuarta de la matrizA.30. Si se quiere extraer la i-esima columna de una matriz A se usa el comando A(:, i). Por ejemplo si se quiereextraer la segunda columna de una matrizA se escribeA(:, 2)>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04],A(:, 2)31. Si se quiere denir una matriz formada por varias columnas de una matriz A, se pegan estas en una matrizcomo se muestra en el siguiente ejemplo>>A = [31 0 0; 1 3 0 0; 714 0; 71 04], [A(:, 2); A(:, 4)]Esta instruccion produce una matriz formada por las columnas segunda y cuarta de la matrizA.Captulo1Algebradematrices1.1. SistemasdeEcuacionesLinealesComenzaremos esta seccion ilustrando un ejemplo del tema central del captulo, el cual es la solucion de sis-temas de ecuaciones lineales, y utilizaremos este ejemplo para introducir el metodo de solucion usando reduccionGauss-Jordan en matrices.Para comenzar, consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones en dos incognictas:x + 2y = 3 (1.1)4x + 5y = 6Hay varios metodos para resolver este sistema, entre los cuales destacaremos los siguientes:1. Por eliminaci on: Este metodo usa dos operaciones basicas para llevar a la solucion de un sistema lineal lascuales son:1. Sumar un multiplo de una ecuacion a otra ecuacion con el objetivo de eliminar una de las variables, porejemplo la operacion-4 ecuacion(1.1)+ ecuacion(1.2)elimina la variablex y produce la ecuacion 3y = 6.2. Multiplicar una ecuacion por una constante no cero con el objetivo de simplicar la ecuaciones, por ejemplosi multiplicamos la nueva ecuacion 3y = 6 por 13obtenemosy = 2.3.Finalmentesimultiplicamosesta ultimaecuacion(y= 2) por-2y selasumamosa laecuacion(1.1)yobtenemosx = 1, obteniendo as la solucion al sistema:x = 1 yy = 2.2. Determinantes: El metodo de Cramer (ver Seccion 5.5) nos da una formula para la solucion del sistema comoun cociente de determinantes de la siguiente forma:78x =3 26 51 24 5=33= 1 y y =1 34 61 24 5= 63= 2En general, si tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incognitas, hay tres posibles respuestas yestas son:1. El sistema tiene solucion unica, (como en el ejemplo ilustrado)2. El sistema no tiene solucion, caso en el cual, decimos que es inconsistente3. el sistema tiene innitas soluciones, caso en el cual decimos que el sistema es redundante.Cuando tratamos de resolver un sistema 3x3, de tres ecuaciones en tres incognitas, tambien podemos obtener,al igual que en el caso 2x2, tres posibles respuestas: solucion unica, solucion vacia o innitas soluciones.Unodelosobjetivosdelaseccionesmostrarquea unendimensionesmayoressepresentanexactamentelasmismas tres posibilidades. Para resolver el caso general necesitamos denir la nocion de matriz y asociar a cadasistema lineal una de estas y usarla para resolverlo. Tambien introduciremos la nocion de operacion elementalde la, las cuales seran las equivalentes a las mencionadas en el metodo de eliminacion al principio de la seccion.Denicion 1.1.Una matriz es un arreglo rectangular de n umeros reales en m las y n columnas__a11 a1n.........am1 amn__;dondeaijes un n umero real parai = 1, . . . , m yj = 1, . . . , n. A esta matriz se le llama una matriz de tama nomn.Ejemplo1.1. (MatLab)A =__1 12 0__ es una matriz de tama no 22* Esta matriz la denimos en MatLab de la siguiente forma>>A = [1, 1; 2, 0]y MatLab guardaria la matriz como el arreglo rectangularA =1 12 0Engeneral,paradenirmatricesenMatLabseescribenlasentradasentrecorchetes,escribiendolasentradasseparadas con coma la por la separando las las con punto y coma.A un sistema lineala11x1 + +a1nxn = b1...am1x1 + +amnxn = bmde mecuaciones con n incognitas, se le asocia la matriz__a11 a1nb1............amn a1nbm__de tama no m(n+1), llamada la matriz de coecientes. Cada la de esta matriz tiene los coecientes de cadauna de las ecuaciones incluyendo el termino constante al nal de la misma y hay una columna por cada incognitamas una columna extra que contiene los terminos independientes.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 9Ejemplo1.2. Al sistema linealx + 2y = 34x + 5y = 6le podemos asignar la matriz de coecientes__1 2 34 5 6__.Lasoperacionesdescritasalprincipiodelaseccionquesepuedenrealizarsobrelasecuacionesdeunsistemalineal setraducenenoperacionesdelasobrematrices, llamadasoperacioneselementalesdela, lascualesdescribimos a continuacion.Denicion1.2. SeaAunamatrizdetama nom n,unaoperacionelemental delasobreAesunadelassiguientes operaciones:1. multiplicar una la por una constante no cero,2. sumar un multplo de una la a otra la,3. intercambiar dos las.Ejemplo1.3. Al principio de la seccion resolvimos el sistema de ecuacionesx + 2y = 34x + 5y = 6aplicando las opera-ciones1. -4 ecuacion 1 mas ecuacion 2,2. 13de la nueva ecuacion,3. -2 ecuacion (y = 2) mas ecuacion (1.1).Comoenlamatrizasociadaaunsistemalineal lasecuacionesserepresentanenlas, estasoperacionessetraducen en operaciones de la, de hecho, la primera operacion se traduce en la operaci on de la 4F1+F2 F2,la segunda en13F2 F2y la tercera en 2F2 +F1 F1. Al aplicar estas operaciones obtenemos:__1 2 34 5 6__4F1+F2F2__1 2 30 3 6__13F2F2__1 2 30 1 2__2F2+F1F1__1 0 10 1 2__De esta ultima matriz obtenemos las ecuacionesx = 1 yy = 2 las cuales son la solucion al sistema.En este ejemplo se ilustra el metodo de solucion de un sistema lineal con operaciones de la sobre matrices, elcual es el objetivo de la seccion. Para ilustrar el caso general debemos mostrar como aplicar operaciones de lasobre una matriz de una manera eciente que garantice una solucion, una manera efectiva es llevar la matriz asu forma escalonada reducida, la cual denimos a continuacion.Denicion1.3. SeaA unamatriz detama nom n,decimosqueA estaen formaescalonada reducidasi Asatisface las siguientes condiciones:1. todas las las nulas (las donde todas las entradas, en esa la, son ceros) estan en la parte inferior de lamatriz,102. La primera entrada no cero de una la no nula es un uno, a esta entrada se le llama pivote,3. Si dos las consecutivas son no nulas, entonces el pivote de la de arriba esta mas a la izquierda de la deabajo,4. Todas las entradas de una columna con un pivote son cero, excepto la entrada donde esta el pivote.Ejemplo1.4. Las siguientes matrices estan en forma escalonada reducida:A =__1 0 00 1 00 0 1__B =__1 0 0 1 0 0 0__C =__1 00 0 10 0 0__D =__1 0 0 00 0 0__E =__0 1 00 0 10 0 0__F=__0 1 0 0 00 0 0__G =__0 0 10 0 00 0 0__De hecho estas son todas las formas escalonadas reducidas de tama no 3 3.Ejemplo1.5. (MatLab)LaformaescalonadareducidadeunamatrizsecalculaenMatLabconel comandorref como se muestra a continuacion. SeaA =__1 2 3 10 3 2 12 1 8 1__,>>A = [1, 2, 3, 1; 0, 3, 2, 1; 2, 1, 8, 1]; R = rref(A)R =1 0 13/3 1/30 1 2/3 1/30 0 0 0El procesodeaplicaroperacioneselementalesdelasobreunamatrizhastallevarlaasuformaescalonadareducida se le conoce como reduccion Gauss-Jordan. Este proceso nos lleva tambien a determinar si el sistematiene solucion y a encontrarla en el caso de que exista (Ver Teorema 1.2). Primero debemos garantizar que esposible llevar cualquier matriz a su forma escalonada reducida por medio de operaciones elementales.Teorema1.1. Toda matriz se puede reducir una forma escalonada reducida unicaTeorema 1.2.Considere el sistema de ecuacionesa11x1 + +a1nxn = b1...am1x1 + +amnxn = bm, sea A =__a11 a1nb1............am1 amnbm__lamatrizdecoecientesasociadaalsistemayseaA

laformaescalonadareducidadeA.Entonceselsistematiene:1. solucion unica si y solo siA

tiene pivote en todas las columnas excepto la ultima,2. solucion vacia si y solo siA

tiene pivote en la ultima columna,Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 113. innitas soluciones si y solo siA

no tiene pivote en la ultima columna y hay al menos otra columna sinpivote.Corolario1.3. Unsistemadeecuacionesconmasvariablesqueecuaciones(n>m)nuncatienesolucion unica.Observacion1.1. SeaAlamatrizdel Teorema1.2asociadaaunsistemadeecuacioneslinealesyA

suformaescalonadareducida. El Teorema1.2determina, usandolamatriz A

, si el sistematienesolucionesycuantassolucioneshay( unicaoinnitas). Lamatriz A

tambiennospermiteencontrarlassolucionesdemanera explicita, como lo describimos a continuacion.1. Si el sistema tiene solucion unica entoncesm n y la solucion esta dada porx1 = c1, . . . , xn = cn, dondec1, . . . , cnson las entradas en la ultima columna deA

.2. Si el sistema tiene innitas soluciones entonces por el Teorema 1.2 hay columnas sin pivote y la solucionqueda en terminos de estas variables, a las cuales se le llamara variables libres. En particular, sij1, . . . , jkson las columnas deA

con pivote, entonces una solucion al sistema est a dada porxj1= c1, . . . , xjk= ckyxi = 0 sixies una variable libre.Ejemplo 1.6. Determine si el sistema x1 +x2 +x3 +x4 = 4x3x4 = 3tiene soluciones y en el caso armativo escribalasde forma parametricaSolucion La matriz de coecientes es__1 1 1 1 40 0 1 1 3__ y su forma escalonada reducida esta dada porA

=__1 1 0 2 10 0 1 1 3__. Notese que las columnas 1 y 3 deA

tienen pivote, entonces por la Observacion 1.1, unasolucionparticularal sistemaestadadapor x1=1, x3=3ylasvariableslibresigualesacero, esdecir,x2=x4=0. Lasinnitassolucionesal sistemasepuedendarenformaparametricaleyendoel sistemadeecuacionesdelamatrizA

,lascualessonx1 + x2 + 2x4= 0yx3 x4= 3,ydespejandoenterminosdelasvariables libresx1 = 1 x22x4(1.2)x3 = 3 +x4Deacuerdoaestasecuacioneslasvariablesx2yx4tomanvaloresarbitrariosycadapardevaloresqueseleasignen a estas variables, se tiene una solucion particular, as de esta manera las ecuaciones(1.2) nos dan todaslas soluciones al sistema de manera parametrica.Ejemplo1.7. Considereel sistemax + 2y + 3z = 13y 2z = 12x y 8z = 1.Lamatrizaumentadaasociadaal sistemaestadada12porA =__1 2 3 10 3 2 12 1 8 1__ cuya forma escalonada reducidaR fue calculada en en el Ejemplo 1.5R =__1 0 4,3333 0,33330 1 0,6667 0,33330 0 0 0__=__1 0 133130 1 23130 0 0 0__De aqui tenemos que el sistema tiene innitas soluciones las cuales estan dadas porx =13 +133zy = 13 +23zEjemplo 1.8. (MatLab) El sistemax + 2y + 3z = 12x 4y 6z = 12x y 8z = 1tiene matriz asociadaal sistemadadopor A=__1 2 3 12 4 6 12 1 8 1__. Usando MatLab para calcular la forma escalonada reducida deA obtenemos>>A = [1, 2, 3, 1; 2, 4, 6, 1; 2, 1, 8, 1]; R=rref(A)R=1 0 4,3333 00 1 0,6667 00 0 0 1De aqui tenemos que la forma escalonada reducidaR de la matrizA es la matrizR =__1 0 4,3333 00 1 0,6667 00 0 0 1__.Como esta ultima matriz tiene un pivote en la ultima columna, entonces por el Teorema 1.2 el sistema no tienesolucion.Denicion1.4. Un sistema lineal homogeneo es un sistema lineal de la formaa11x1 + +a1n = 0...am1x1 + +amn = 0,es decir, un sistema donde todos los terminos independientes son cero.Corolario1.4. Un sistema lineal homogeneo siempre tiene solucion.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 13Terminamos la seccion con la denicion de rango de una matriz.Denicion1.5. SeaA una matriz yA

su forma escalonada reducida. Denimos el rango deA, denotado porrango(A), comorango(A) = # de pivotes deA

.Ejemplo1.9. Para las matrices del Ejemplo 1.4 se tiene querango(A) = 3, rango(B) = rango(C) = rango(E) = 2 yrango(D) = rango(F) = rango(G) = 1.1.1.1. Ejercicios1. Use el metodo Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas.a.x 2y + 3z = 72x +y z = 72x y z = 7b.2x + 4y 4z = 62x 5y + 4z = 6x + 16y 14z = 3c.x +y z = 7x y +z = 42x +y +z = 3d.x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 4e.x + 2y + 3z +w = 74x + 5y + 6z + 2w = 77x + 8y + 9z + 4w = 7f.x + 2y + 3z + 4w = 1x + 2y + 3z + 3w = 2x + 2y + 2z + 2w = 3x +y +z +w = 12. Encuentre las soluciones parametricas al sistema y uselas para calcular dos soluciones particulares:x 2y + 3z +w = 3y = 2w = 13. Demuestre que el sistema2x y + 3z = a3x +y 5z = b5x 5y + 21z = ces consistente si y solo sic = 2a 3b.4. Para los sistemas cuyas matrices aumentadas estan dadas en los numerales a.-c. determine los valoresa yb para los cuales el sistema tengaI. ninguna solucionII. solucion unicaIII. innitas soluciones y en este caso dar dos soluciones particulares.14a.__1 0 a 00 1 b 10 0 a +b a b 2__b.__1 0 a 00 1 b 10 0 2a +b a +b 1__c.__1 0 a 00 1 b 10 0 a b a b 2__5. Muestre que el sistemaax +by = 0cx +dy = 0tiene solucion si y solo siad bc = 0.6. Haga una lista de todas las matrices 3x4 que esten en forma escalonada reducida.1.2. MatricesyVectoresDenicion1.6. Denimos vector columna(la) como una matriz con una sola columna(la).Ejemplo1.10. v =__121__ es un vector columna yw =_0 1_ es un vector la.Denicion1.7. (Operaciones con matrices y vectores)1. (Sumadematrices)SeanA=__a11 a1n.........am1 amn__yB=__b11 b1n.........bm1 bmn__matricesdel mismotama no,denimos la matrizA+Bcomo la matriz dada por:A+B =__a11 +b11 a1n +b1n.........am1 +bm1 amn +bmn__.Similarmente, denimos la suma de los vectoresx =__x1...xn__ yy =__y1...yn__ como el vectorx +y =__x1 +y1...xn +yn__.2.(Productodeunamatrizporunescalar)SeaA =__a11 a1n.........am1 amn__unamatrizdetama nom nyunescalar, denimos la matrizA como la matriz dada porA =__a11 a1n.........am1 amn__.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 15Ejemplo1.11. (MatLab)SeanA=__1 21 30 1__yB=__2 23 11 1__.PodemoscalcularlasmatricesA + B,ABy 3A en MatLab como sigue>>A = [1, 2; 1, 3; 0, 1];B = [2, 2; 3, 1; 1, 1];A+BA+B=1 02 21 2>>ABAB =3 44 41 0>> 2 A2 A=2 42 60 2Notacion1. Denotaremospor Omnalamatrizdecerosdetama nom n,osimplementepor Osinohaylugar a confusion y al vector cero lo denotaremos porno simplementesi no hay lugar a confusi on.El siguiente teorema establece las propiedades que satisfacen estas operaciones en matrices y vectores.Teorema1.5. SeanA,ByCmatrices de tama nosmn, yescalares, entonces tenemos1. (A+B) +C = A+ (B +C)3. A+ (1)A = 1A+A = O5. (A+B) = A+B7. ()A = (A)2. A+Omn = Omn +A = A4. A+B = B +A6. ( +)A = A+A8. 1A = AEl siguiente teorema establece las propiedades analogas que se cumplen para vectores.Teorema1.6. Seanx,yyzvectores conn componentes, yescalares, entonces tenemos1. (x +y) +z = x + (y +z)3. x + (1)x = 1x +x = n5. (x +y) = x +y7. ()x = (x)2. x +n = n +x = x4. x +y = y +x6. ( +)x = x +x8. 1x = x161.2.1. Ejercicios1. Ejecutar las operaciones indicadas con los vectoresv =__113__,w =__312__ yz =__250__.a.v +w b. 3v c. 3w d. 3v + 2d 3w2. Ejecutar las operaciones indicadas con las matricesA =__1 21 30 1__ yB =__2 23 11 1__ yz =__250__.a.A+B b.AB c. 3A d. 3A+ 2BSeanv, w yz vectores en Rny y R, demuestre lo siguiente:1.3. ProductodematricesComenzaremos la seccion con las deniciones de producto interno de vectores y transpuesta de una matriz,las cuales no permitiran denir el producto de matrices.Denicion1.8. Seanx=__x1...xn__yy=__y1...yn__vectoresdencomponentes, denimosel productointernooproducto escalar de los vectoresx yy, denotado porxy, por la formulaxy = x1y1 + +xnyn =n

i=1xiyi.Denicion 1.9. SeaA =__a11 a1n.........am1 amn__ una matriz de tama nomn, denimos la matriz transpuesta deA, denotada porAt, como la matriz que se obtiene al intercambiar las las y las columnas deA, esto es:At=__a11 am1.........a1n amn__Ahora pasemos a denir el producto de matrices.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 17Denicion1.10. (Productodematrices)SeaA=__a11 a1n.........am1 amn__unamatrizdetama nomnyB=__b11 b1q.........bn1 bnq__ de tama nonq. Denimos el productoA B como la matrizA B de tama nomq dada porAB =__c11 c1q.........cm1 cmq__ dondecij =n

k=1aikbkj = ai1b1j +ai2b2j + +ainbnjparai = 1, . . . , m yj = 1, . . . , q.Laij-esima entrada de la matrizABes la suma del producto de las entadas en la lai deA por las entradasde la columnajdeB:__a11 a1n.........ai1 ain.........am1 amn____c11 c1j c1q...............cn1 cnj cnq__Esteproductocoincideconel productoescalar _Ai_t BjdondeAieslai-esimaladeAyBjeslaj-esimacolumna deB.Ejemplo1.12. Calcular el productoABdondeA =__1 1 02 2 3__ yB =__2 02 11 0__.18Solucion Vamos a calcular cada una de las entradascijde la matrizAB:c11 =_A1_t B1 =_1 1 0_t

__221__=__110__

__221__= 2 + 2 + 0 = 4,c12 =_A1_t B2 =_1 1 0_t

__010__=__110__

__010__= 0 1 + 0 = 1,c21 =_A2_t B1 =_2 2 3_t

__221__=__223__

__221__= 4 4 3 = 3,c22 =_A2_t B2 =_2 2 3_t

__010__=__223__

__010__= 0 + 2 + 0 = 2,De estos resultados tenemosAB =__c11c12c21c22__=__4 13 2__.Ejemplo1.13. (MatLab) SeanA=__1 1 02 2 3__y B=__2 02 11 0__las matrices del ejemploanterior,podemos calcular el producto de matrices en MatLab con el comando >> AB como se muestra a continuacion:>>A = [1, 1, 0; 2, 2, 3],B = [2, 0; 2, 1; 1, 0],C = A B,D = B AC=4 13 2D=2 2 00 4 31 1 0El producto de matrices no es en general conmutativo pero si satisface la asociatividad.Teorema1.7. SeanA,ByCmatrices de tama nosmn,n p yp q, respectivamente. Entonces se tienequeA(BC) = (AB)C.Demostracion. Seanaij,bijycijlas entradas de las matricesA,B yC, respectivamente, y seandijyeijlasentradas de las matricesAByBC, respectivamente. Por denicion del producto de matrices tenemos quedij =n

k=1aikbkjy eij =p

h=1bihchj.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 19Ahora, seanfijygijlas entradas de las matricesA(BC) y (AB)C, respectivamente. Entoncesfij =n

k=1aikekj =n

k=1aikp

h=1bkhchj =n

k=1p

h=1aikbkhchjy (1.3)gij =p

h=1dihchj =p

h=1n

k=1aikbkhchj =n

k=1p

h=1aikbkhchj(1.4)De las ecuaciones (1.3) y (1.4) tenemos que (AB)C = A(BC).El productodematricescuadradassatisfaceotraspropiedadesimportantes, entreellaslaexistenciadeunamatrizneutrabajoel producto, alacual selellamalamatrizidentidadysedenotaporIn. Estamatrizsedene porIn =__10.........01__, es decir, la matriz identidad es la matriz cuyas entradas en la diagonal principalson uno y ceros por fuera esta. Listamos las propiedades a continuacion.Teorema1.8. SeanA yCmatrices de tama nosmn yn qrespectivamente, entonces se tiene lo siguiente1. ImA = A y AIn = A. En particular si A es una matriz cuadrada de tama no nn entonces AIn = InA = A.2. OqmA = OqnyAOnq = Omqpara cualquierq = 1, 2, 3, . . . . En particular siA es una matriz cuadrada detama non n entoncesAOnn = OnnA = Onn.3. (A+B)C = AC +BC, dondeBes una matriz de tama nomn.4. A(B +C) = AB +AC, dondeBes una matriz de tama non q.A continuacion listamos otras propiedades del producto de matrices que nos van a ser muy utiles especialmentepara simplicar algunas demostraciones en los captulos.Otras propiedades del producto de matrices A continuacion listamos tres propiedades, que aunque parecenno tener mucho sentido, seran muy utiles en muchas demostraciones en el resto del libro.Lema 1.9. SeanA=__A1...Am__unamatriz de tama no m ndonde A1, . . . , Amsonlas las de A, B=_B1 Bq_detama nonqdondeB1, . . . , BqsonlascolumnasdeByx=__x1...xq__unvectorcolumna,entonces1. Las columnas del productoABson los vectoresAB1, . . . , ABq, es decirAB =_AB1 ABq_.202. las las del productoABson los vectores laA1B, . . . , AmB, es decirAB =__A1B...AmB__.3. El productoBxesel vectorx1B1 ++ xqBq.Esdecir,el vectorBxesunacombinacionlineal delascolumnas deBcon coecientes tomados dex.Ejemplo1.14. SeanA=__1 34 1__, B=__1 0 32 1 1__yx=__231__. El productoABsepuedeverdelasiguientes formasAB =___1 3_B_4 1_B__yAB =__A__12__A__01__A__31____=__1__14__+ 2__31__0__14__1__31__3__14__+ 1__31____=__5 3 02 1 11__.El productoBx es una combinacion de las columnas deB:Bx = 2__12__3__01__+ 1__31__=__58__.El producto de matrices sirve para establecer otra coneccion entre matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Seaa11x1 + +a1nxn = b1...am1x1 + +amnxn = bmun sistema de ecuaciones lineales, entonces por denicion del producto de matricestenemos que este sistema es equivalente a la ecuacion matricial Ax = b donde A =__a11 a1n.........am1 amn__, x =__x1...xn__y b =__b1...bm__. En lo que sigue del libro usaremos la ecuacion matricial Ax = b en lugar del sistema de ecuaciones.Finalizamos la seccion con el siguiente resultadoTeorema1.10. SeaAunamatrizdetamanom nyA

suformaescalonadareducida.EntoncesAx = 0siysolosi A

x = 0,esdecir, xesunasolucional sistemahomogeneoAx = 0siysolosi xesunasolucionalsistemaA

x = 0.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 21Demostracion. Si A =__a11 a1n.........am1 amn__, entonces el sistema es equivalente aa11x1 + +a1nxn = 0...am1x1 + +amnxn = 0elcual se puede resolver aplicando las operaciones elementales de la a la matriz aumentada_A 0_. Si aplicamosoperaciones hasta llegar a la forma escalonada reducida obtenemos la matriz_A

0_, la cual nos da las solucionesal sistema A

x = 0. Ahora como las operaciones elementales son reversibles, comenzando con el sistema A

x = 0,podemos llegar al sistemaAx = 0. Por tantoAx = 0 si y solo siA

x = 01.4. InversadeunamatrizDenicion 1.11. Sea A una matriz cuadrada de tama no nn, decimos que A es invertible si existe una matrizBde tama non n tal queAB = BA = In.Ejemplo1.15. La matrizA =__2 11 1__ es invertible ya que el productoA__1 11 2__=__2 11 1____1 11 2__=__1 00 1__= I2.Ejemplo1.16. Notodamatriztieneinversa, porejemplo, si lamatriz A=__1 10 0__tuvieraunainversa,entonces existiria una matrizB =__a cb d__ tal queAB = BA = I2. Sin embargoAB =__a +b c +d0 0__ entoncestendriamosque__a +b c +d0 0__ =I2=__1 00 1__portanto0=1locual esunacontradccionyAnopuedeserinvertible.Las matrices inversas satisfacen las siguientes propiedades.Lema1.11. SeaA una matrizn n una matriz invertible, entonces la inversa es unica.Demostracion. SeanByCmatrices inversas deA, entonces tenemos queAB = BA = Iny AC = CA = In.Entonces tenemos que:B = BIn = B(AC) = ( BA..In)C = InC = C.Notacion2. Comolainversadeunamatrizinvertiblees unica,entoncesdeahoraenadelantedenotaremosla inversa deA porA1.22Teorema1.12. SeanA yBmatrices de tama nosn n, entonces:1. SiA yBson invertibles entoncesABes invertible y (AB)1= B1A1.2. A es invertible si y solo siAtes invertible y (At)1=_A1_t.Ejemplo1.17. SeanA =__1 1 31 2 22 0 2__ yB =__1 1 20 0 11 2 2__, de acuerdo al teorema anterior hay dos manerasdecalcular(AB)1,lascualessonmultiplicarAyBydespuescalcularsuinversa,ocalcularA1yB1ymultiplicarlas. Aca exhibimos los calculos en MatLab>>A = [11 3; 11 2; 2 0 2],B = [11 1; 0 0 1; 21 2],C = inv(A B)C =1 0 13 3 11 2 1/2>>A = [11 3; 11 2; 2 0 2],B = [11 1; 0 0 1; 21 2],D = inv(B) inv(A)D =1 0 13 3 11 2 1/2Notese queC = D.El teorema tambien nos dice que hay dos maneras de calcular la inversa deAt, una de forma directa y la otrase obitene al transponerA1>>A = [11 3; 11 2; 2 0 2],D = transpose(inv(A))D =1 1 11 2 11/2 1/2 0Se obtiene lo mismo si se calcula de la siguiente forma>>E = inv(transpose(A))E =1 1 11 2 11/2 1/2 0SiAx = b es un sistema de ecuaciones conA invertible, entonces el sistema tiene solucion unica y esta es faclde calcular como se muestra a continuacion.Teorema1.13. SeaAx=bunsistemadeecuacioneslinealesde necuacionesconnincognitas. Si Aesinvertible entonces el sistema tiene soluci on unica y esta esta dada porx = A1b.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 23Ejemplo1.18. (MatLab) Resuelva el sistema linealx y + 3z = 2x 2y + 2z = 12x + 2z = 0.SolucionEl sistemaesequivalentealaecuacionAx=bconA=__1 1 31 2 22 0 2__yb=__210__ydeacuerdoalteorema anterior la solucion esta dada porx = A1b la cual calculamos con MatLab>> A=[1 -1 3;1 -2 2;2 0 2]; b=[2;1;0]; x=inv(A)*bx =101Entonces la solucion al sistema est a dad porx = 1, y = 0 yz = 1.1.5. MatricesElementalesDenicion1.12. SeaEuna matriz de tama non n, decimos queEes una matriz elemental siEse obtienede la identidad al aplicar una operacion elemental de la.Ejemplo1.19. Las siguientes matrices son matrices elementales:A =__0 1 01 0 00 0 1__, B =__1 2 00 1 00 0 1__y C =__1 0 00 3 00 0 1__.Cadaunadeestasmatricesseobtieneal aplicarunaoperaci onsobrelamatrizidentidad,comosemuestraaconitunacion:__1 0 00 1 00 0 1__F1 F2__0 1 01 0 00 0 1__= A__1 0 00 1 00 0 1__2F2 +F1 F1__1 2 00 1 00 0 1__= B__1 0 00 1 00 0 1__3F2 F2__1 0 00 3 00 0 1__= CNotacion3. Comohaytres tipos diferentes deoperaciones elementales, hayunn umeroigual detipos dematrices elementales entonces usaremos la siguiente notacion.24Eijdenotara la matriz elemental que se obtiene al intercambiar las lasi yjde la matriz identidad.Eij(c) denotara la matriz que se obtiene al sumarc veces la lai a la lajde la matriz identidad.Ei(c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constantec la lai de la matriz identidad.Ejemplo1.20. En el ejemplo anterior tenemos queA = E12,B = E21(2) yC = E2(3).Las operaciones elementales de la son reversibles, es decir, al aplicar una operacion elemental de la, siempresepuedeaplicarotraoperacionelementalquedeshagalaoperacionaplicada.Estosemuestraenlesiguienteejemplo.Ejemplo1.21. Parailustrar lareversibilidaddelas operaciones elementales consideremos lamatriz A=__0 1 32 0 23 1 0__,siintercambiamoslaslas1y2deestamatrizyaplicaramosnuevamentelamismaoperacion,obtenemos la matriz orginal como se muestra a continuaci on__0 1 32 0 23 1 0__F1 F2__2 0 20 1 33 1 0__F1 F2__0 1 32 0 23 1 0__En general, si se intercambian dos las de una matriz, la operacion se puede revertir al volver a intercambiarlasunavezmas.Estoalaveznosdicequelamatrizelemental Eij,asociadaaestaoperaciondeintercambiodedos las, es invertible y es igual a su propia inversa, esto esE1ij= Eij.Volviendo a la matriz A, si multiplicamos la la 2 por 1/2 y despues multiplicamos la misma la por 2 obtenemosla matriz original como se muestra a continuacion__0 1 32 0 23 1 0__12F2 F2__0 1 31 0 13 1 0__2F2 F2__0 1 32 0 23 1 0__Engeneral,sisemultiplicaunaladeunamatrizporunaconstantec ,= 0,laoperacionsepuederevertiralvolveramultiplicarlamismaladelanuevamatrizporlaconstante1c.Estoalaveznosdicequelamatrizelemental Ei(c),asociadaaestaoperaciondemultiplicarlalaiporunaconstantec ,= 0,esinvertibleysuinversa esta dada porEi(c)1= Ei_1c_.Una vez mas regresamos a la matrizA, si le sumaramos12de la la 2 a la la 1 y despues le sumaramos 12de la la 2 a la la 1 obtenemos la matriz original como se muestra a continuacion__0 1 32 0 23 1 0__12F2 +F1 F1__1 1 42 0 23 1 0__12F2 +F1 F1__0 1 32 0 23 1 0__En general, si se le suma c veces la la i de una matriz a la la j, la operacion se puede revertir al volver a sumarc veces la lai a la laj. Esto una vez mas nos dice que la matriz elementalEij(c), asociada a esta operacionde sumarc veces la lai a la laj, tambien es invertible y su inversa esta dada porEij(c)1= Eij (c) .Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 25De acuerdo a lo observado en el ejemplo anterior tenemos el siguiente resultado.Teorema1.14. Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas porE1ij= Eij, Eij(c)1= Eij(c) y Ei(c)1= Ei_1c_.Teorema1.15. SeaA una matriz de tama nom n yEuna matriz elemental de tama nom m asociada auna operacion elemental de la, el productoEA es la matriz que se obtiene al aplicar la operacion elemental dela a la matrizA.Al aplicar reduccion Gauss-Jordan a una matriz, por cada operacion elemental de la, hay una matriz elemental,la matriz que se obtiene al aplicar la operacion de la a la matriz identidad. Como toda matriz se puede reducira una forma escalonada reducida, entonces se tiene el siguiente teorema.Teorema1.16. Toda matriz se puede expresar como el producto de un n umero nito de matrices elementalespor una matriz en forma escalonada reducida. Mas concretamente, siA es una matriz de tama nomn, existenmatrices elementalesE1, . . . , Ektodas de tama nomm y una matriz escalonada reducidaA

tal queA = E1 EkA

.Ejemplo1.22. Expresar la matrizA =__1 1 01 1 22 2 2__ como un producto de matrices elementales por una matrizen forma escalonada reducida.Solucion Necesitamos aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matrizA indicando las matrices elementales asoci-adas a cada operacion aplicada__1 1 01 1 22 2 2__F1+F2F2. .E12(1)__1 1 00 0 22 2 2__2F1+F3F3. .E13(2)__1 1 00 0 20 0 2__12F2F2. .E2(12)__1 1 00 0 10 0 2__2F2+F3F3. .E23(2)__1 1 00 0 10 0 0__Porel Teorema1.15tenemosqueE23(2)E2_12_E13(2)E12(1)A=A

conA

=__1 1 00 0 10 0 0__.Entoncessetiene queA = E12(1)1E13(2)1E2_12_1E23(2)1A

= E12(1)E13(2)E2(2)E23(2)A

.26Escribiendo las matrices de manera explicita tenemos:A =__1 0 01 1 00 0 1____1 0 00 1 02 0 1____1 0 00 2 00 0 1____1 0 00 1 00 2 1____1 1 00 0 10 0 0__.A continuacion vericamos el resultado con MatLab>>E1=[1 0 0;1 1 0;0 0 1];E2=[1 0 0;0 1 0;2 0 1];E3=[1 0 0;0 2 0;0 0 1];E4=[1 0 0;0 1 0;0 2 1];A

=[1 10;0 0 1;0 0 0];A = E1 E2 E3 E4 bA =1 1 01 1 22 2 2Ahorausaremosmatriceselementalesparadaruncriteriodeinvertibilidaddeunamatriz.Primerodebemosobservar lo siguiente.Lema1.17. SeaAunamatrizdetama nonnenformaescalonadareducida,entoncesAesinvertiblesiysolo siA = I.Teorema1.18. SeaAunamatrizdetama nonn,entoncesAesinvertiblesiysolosi Asepuedeescribircomo un producto de matrices elementales.Ejemplo 1.23.Expresar la matriz A =__0 1 21 1 11 2 2__y su inversa como un producto de matrices elementales.Solucion Abajo se muestra la reducci on Gauss-Jordan de esta matriz indicando la matriz elemental asociada acada operacion aplicada de acuerdo a la Notacion 3__0 1 21 0 11 1 2__F1F2. .E12__1 0 10 1 21 1 2__F1+F3F3. .E13(1)__1 0 10 1 20 1 1__F2+F3F3. .E23(1)__1 0 10 1 20 0 1__F3+F1F1. .E31(1)__1 0 00 1 20 0 1__2F3+F2F2. .E32(2)__1 0 00 1 00 0 1__De aqu tenemos queE32(2)E31(1)E23(1)E13(1)E12A = I, por tantoA1= E32(2)E31(1)E23(1)E13(1)E12yA = E112E13(1)1E23(1)1E31(1)1E32(2)1= E12E13(1)E23(1)E31(1)E32(2)Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 27Las matrices elementales tambien nos ayudan a demostrar un algoritmo para calcular la inversa de una matriz,el cual enunciamos a continuacion.Teorema 1.19.(Algoritmo para calcular A1) Sea A una matriz invertible de tama no nn, al aplicar reduccionGauss-Jordan a la matriz aunmentada_A I_obtenemos la matriz_I A1_. Mas a un, si B es una matrizdetama nonq, al aplicarreduccionGauss-Jordanalamatrizaumentada_A B_obtenemoslamatriz_I A1B_.Ejemplo1.24. (MatLab) SeaA =__0 1 21 1 11 2 2__ calcularA1.Solucion Usando MatLab para calcular la forma escalonada reducida de la matriz_A I_ obtenemos>>AI = [0 1 2 1 0 0; 1 1 1 0 1 0; 122 0 0 1];rref(AI)1 0 0 0 2 10 1 0 1 2 20 0 1 1 1 1De donde se tiene queA1=__0 2 11 2 21 1 1__.Ejemplo1.25. (MatLab) SeanA =__0 1 21 1 11 2 2__ yB =__1 22 30 1__, calcularA1B.Solucion De acuerdo al teorema anterior debemos encontrar la forma escalonada reducida de la matriz aumen-tadaC =_A B_=__0 1 2 1 21 1 1 2 31 2 2 0 1__, la cual calculamos usando MatLab>>C = [0 1 2 1 2; 1 1 1 2 3; 122 0 1];rref(C)1 0 0 4 70 1 0 5 100 0 1 3 6De acuerdo al teorema anteriorA1B =__4 75 103 6__.Observacion 1.2. Si en el teorema anterior las columnas de la matriz B son los vectores b1, . . . , bq, entonces alaplicarreduccionGauss-Jordanalamatrizaumentada_A B_ =_A b1 bq_obtenemoslamatrizA1B =_A1b1 A1bq_, obteniendo soluciones simultaneas a los sistemasAx = b1, . . . , Ax = bq.28Ejemplo1.26. Usar la observacion anterior para resolver los sistemasx2 + 2x3 = 1x1 + x2 +x3 = 2x12x22x3 = 0yx2 + 2x3 = 2x1 + x2 +x3 = 3x12x22x3 = 1.Solucion Estos sistemas son equivalentes a las ecuaciones matricialesAx = b1y Ax = b2donde A =__0 1 21 1 11 2 2__, b1 =__120__yb1 =__231__y se pueden resolver simultaneamente calculando la forma escalonada reducida de la matriz aumentada_A b1b2_=__0 1 2 1 21 1 1 2 31 2 2 0 1__, lacual estadadapor(verejemploanterior)__1 0 0 4 70 1 0 5 100 0 1 3 6__yportantolas respectivas soluciones a los sistemas estan dadas porx1 =__453__y x2 =__7106__.1.6. InversaalaizquierdayaladerechaDenicion1.13. SeaA una matriz de tama nomn,1. decimos queA tiene inversa a la izquierda si existe una matrizL de tama non m tal queLA = In,2. decimos queA tiene inversa a la derecha si existe una matrizR de tama non m tal queAR = Im.Tenemos el siguiente criterio para caracterizar las matrices que tienen inversa a la derecha.Teorema1.20. SeaA una matriz de tama nomn, entonces las siguientes armaciones son equivalentes:1. A tiene inversa a la derecha.2. El sistemaAx = b tiene solucion para cadab Rm.3. rango(A) = m = # de las deA,4. La funcionTA : RnRmdenida porTA(x) = Ax es sobreyectiva.Demostracion. Vamos a demostrar que 1 2, 2 3 y 2 41 2Si Atieneinversaaladerecha,existeR =_r1 rm_detama nonmtalqueAR =I,donder1, r2, . . . , rm son las columnas deR. Seab = b1e1 + +bmem Rmentonces el vectorc = b1r1 + +bmrmAutor:OMARDARIOSALDARRIAGA 29es una solucion al sistemaAx = b ya queAc = A(b1r1 + +bmrm) = b1Ar1 + +bmArm=_Ar1 Arm___b1...bm__= A_r1 rm_. .=Rb=AR..=Ib= b.2 1SupongamosquelaecuacionAx =btienesolucionparacadab,entoncesparacadai = 1, . . . , m,laecuacionAx = eitiene solucion. Seanr1, . . . , rmlas soluciones respectivas dichas ecuaciones. Es decir,Ar1 = e1, . . . , Arm = em.SeaR =_r1 rm_, entonces se tiene queAR = A_r1 rm_=_Ar1..=e1 Arm..=em_=_e1 em_= ImPor tantoR es la inversa a la derecha deA.2 3Supongamos que Ax = b tiene solucion para cada b y supongamos que rango(A) < m, entonces las formaescalonada A

de A tiene al menos una la de ceros. Sean E1, . . . , Ek matrices elementales tal que A

= E1 EkAy sea b = E1k E11em entonces al aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matriz_A b_usando las operacioneselementales delaasociadas alas matrices E1, . . . , Ekobtenemos lamatriz_E1 EkA. .=A

E1 Ekb. .em_=_A

em_. Comola ultimalade A

es deceros, entonces el sistemaes inconsistente, es decir, parab =E1k E11em, la ecuacionAx = b no tiene solucion, lo que contradice la hipotesis. Por tantorango(A) = m.3 2Si rango(A) =mentoncesA

tieneunpivoteencadala,portantoparatodob Rmsetienequela matriz_A b_ no tiene pivote en la ultima columna y as el sistemaAx =b siempre tiene al menos unasolucion.2 4SilaecuacionAx =btienesolucionparatodob,entoncesparatodob Rm,existec Rntalqueb = Ac = TA(c). Por tantoTAes sobre.4 2SiTA es sobre, para todob Rm, existec Rntal queb = TA(c) = Ac, es decir,x = c es una solucional sistemaAx = b.La parte 3. de este teorema nos dice que una matriz tiene inversa a la derecha si y solo si su forma escalonadareducidatieneunpivoteencadala, locual esel criterioparadeterminarsi unamatriztieneinversaala30derecha. De el teorema tambien nos ofrece un metodo calcular la inversa a la derecha, el cual esta casi explcitoen la demostracion de 1 2, ya que en ese numeral se prueba que las columnasr1, . . . , rmde la inversa a laderechaR son las respectivas soluciones a las ecuacionesAx =e1, Ax =e2, . . . , Ax =encomo se ilustra en elsiguiente ejemplo.Ejemplo1.27. Determinesi lamatriz A=__1 2 21 0 4__tieneinversaaladerechayencasoarmativocalcular una inversa a la derecha deA.Solucion Como la forma escalonada de reducida deA es la matrizA

=__1 0 40 1 3__ se tiene querango(A) =2 = # de las, por tantoA tiene inversa a la derecha.Paraencontrarlainversaaladerechade Adebemosencontrarsolucionesalasecuaciones Ax=e1yAx=e2. Sepuedevericarquesoluciones particulares aestas ecuaciones estandadas por r1=__01/20__yr2 =__01/41/4__ y por tanto una inversa a la derecha deA esta dada porR =_r1r2_=__0 01/2 1/40 1/4__Elsiguienteteoremacaraterizalasmatricesconinversaala izquierda,laspropiedadessonanalogasalasdelteorema anterior para la inversa a derecha.Teorema1.21. SeaA una matriz de tama nomn, entonces las siguientes armaciones son equivalentes:1. A tiene inversa a la izquierda.2. El sistemaAx = b tiene a lo sumo una solucion para cadab Rm.3. La funcionTA : RnRmdenida porTA(x) = Ax es inyectiva.4. El sistemaAx = ntiene solucion unica.5. rango(A) = n = # de columnas deA.Demostracion. Para este teorema demostraremos las equivalencias en el orden 1 2, 2 3 3 4, 4 5 y5 1.1 2Supongamos que A tiene inversa a la izquierda L , y sean v y w soluciones al sistema Ax = b. Entoncesv = Iv = LAv..=b= L b..=Aw=LA..=Iw = Iw = wAutor:OMARDARIOSALDARRIAGA 31Comov = w el sistema tiene a lo sumo una solucion.2 3SupongamosqueAx=btienealosumounasolucionparatodobyqueTA(v)=TA(w), entoncesAv = Aw. Seab = Av, entonces la ecuacionAx = b tiene dos solucionesv yw, entoncesv = w.3 4Supongamos queTAes inyectiva. Entonces siv es tal queAv = se tiene que = Av = TA(v) y comoTA() = A = entoncesTA(v) = TA() y comoTAes inyectiva,v = .4 5 Supongamos que el sistema Ax = tiene solucion unica, entonces por el Teorema 1.2 la forma escalonadareducida de la matriz_A _ =_A

_, dondeA

es la forma escalonada reducida deA, tiene un pivoteen todas la columnas excepto la ultima, entonces A

tiene un pivote en cada columna y por tanto rango(A) = n.5 1Supongamos que rango(A) = n, entonces la forma escalonada A

de A tiene un pivote en cada columna,por tantoA

=__1 000 10............0 010 00............0 00__.SeanE1, . . . , Ekmatrices elementales tal queA = E1 Ek A

y seaB=E1k E11, entonces A

=BA. Seanb1, . . . , bmlaslasdeB, esdecir B=__b1...bm__. ComoA

=BAtenemos lo siguienteA

= BA =__b1...bm__A =__b1A...bmA__.Ahora tomemosC =__b1...bn__ la matriz formada con las primerasn las deB, veamos queCes la matriz inversaa la izquierda deA.CA =__b1...bn__A =__b1A...bnA__= primerasn las deA

=__1 000 10............0 01__= IEste teorema nos da una forma de determinar si una matriz tiene inversa a la izquierda (se calcula el rango y32la matriz tiene inversa a la izquierda si y solo si el rango es igual al n umero de columnas). El teorema tambienprovee un algorimo para calcular dicha matriz, el cual describimos a continuacion1. Se aplica reduccion Gauss-Jordan a la matriz2. Se calculan las matrices elementalesE1, . . . , Ekasociadas a cada una de las operaciones elementales apli-cadas en el paso 1.3. Se calcula el productoEk E1.4. La matrizL formada por las primerasn las de la matrizEk E1es la inversa a la izquierda.Ejemplo1.28. (MatLab)Paracadaunadelasmatricesabajo,determinesitieneninversaalaizquierdayencuentrela en caso armativo.a.A =__2 14 22 1__b.B =__1 1 02 1 1__c.C =__1 10 12 1__.Soluciona. Usando MatLab para calcular el rango de la matrizA obtenemos>>A = [21; 4 2; 2 1],r = rank(A)r = 1Comorango(A) = 1 < # de columnas, entonces la matriz no tiene inversa a la izquierda.b. La matrizBtiene 2 las, de donderango(B) 2 < 3 = # de columnas. Por tantoBno tiene inversa a laizquierda.c.El rangodeestamatrizCesdos,entoncesCtieneinversaalaizquierda.Paracalcularunainversaalaizquierda debemos aplicar el procedimiento descrito arriba,1. apliquemos reduccion Gauss-Jordan a la matrizC__1 10 12 1__2F1+F3F3. .E1__1 10 10 3__F2+F1F1. .E2__1 00 10 3__3F2+F3F3. .E3__1 00 10 0__DondeE1,E2yE3son las matrices elementales asociadas a cada una de las operaciones ejecutadas.2. Aplicamos las operaciones efectuadas enlareduccionalamatriz identidad33. Estoes equivalenteamultiplicar las matrices elementales asociadas a las operaciones.__1 0 00 1 00 0 1__2F1+F3F3__1 0 00 1 02 0 1__. .E1F2+F1F1__1 1 00 1 02 0 1__. .E2E1Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 333F2+F3F3__1 1 00 1 02 3 1__= E3E2E1.3. Lamatriz L=__1 1 00 1 0__, obtenidaal suprimirla ultimalaalamatriz E3E2E1, esunainversaalaizquierda deC.Hayotraformadecalcularlainversaalaizquierdadeunamatriz.Esfacilverquesi Resunainversaaladerecha deAtentoncesL = Rtes una inversa a la izquierda deA. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.Ejemplo1.29. (MatLab) Calcular una inversa a la izquierda de la matrizC =__1 10 12 1__.Solucion Para calcular la inversa a la derecha de Ct, necesitamos resolver las ecuaciones Ctx = e1 y Ctx = e2.Estas soluciones las calculamos con MatLab>>Ct= [1, 0, 2; 1, 1, 1],e1 = [1; 0],e2 = [0; 1],r1 = Ae1,r2 = Ae2r1 =1/301/3r2 =2/301/3Entonces una inversa a la derecha deCtes la matrizR =__1/3 2/30 01/3 1/3__, por tanto una inversa a la izquierdadeCes la matrizL = Rt=__1/3 0 1/32/3 0 1/3__.De estos resultados obtenemos la siguiente caracterizacion para matrices invertibles.Corolario1.22. (Caracterizaciondeunamatrizinvertible)SeaAunamatrizcuadradadetama nonn,entonces las siguientes armaciones son equivalentes:1. A es invertible.2. A tiene inversa a la izquierda.3. El sistemaAx = b tiene a lo sumo una solucion para cadab Rn.4. La funcionTA : RnRndenida porTA(x) = Ax es inyectiva.345. El sistemaAx = ntiene solucion unica.6. rango(A) = n = # de columnas deA=# de las deA.7. A tiene inversa a la derecha.8. El sistemaAx = b tiene solucion para cadab Rm.9. La funcionTA : RnRndenida porTA(x) = Ax es sobreyectiva.10. La funcionTA : RnRndenida porTA(x) = Ax es biyectiva.11. Ates invertible.12. A es un producto de matrices elementales.Demostracion. Lascondiciones1. y12sonequivalentesporel Teorema1.12, lascondiciones1. y13. sonequivalentes por el Teorema 1.18, las condiciones 2. a 6. son equivalentes por el Teorema 1.21 y las condiciones6. a 10. son equivalentes por el Teorema 1.20. Es suciente demostrar que 1 2, 1 10 y 1 11.12SiA es invertible, entoncesA1A = Iy por tantoA1es inversa a la izquierda deA.21SiA tiene inversa a la izquierda, entonces existeBtal queBA = Iy por el Teorema 1.21,rango(A) =n=#decolumnas. ComoAescuadradaentonces#delas=#decolumnas=rango(A), entoncesporelTeorema 1.20,A tiene una inversa a la derechaC, de dondeAC = I, entonces se tiene queB = BI = B(AC) = (BA)C = IC = CEntoncesBA = AB = Iy por tantoA es invertible yB = A1.111SupongamosqueAesinvertible, veamosquelafuncionTA1 denidapor TA1(B)=A1Beslainversa deTTA(TA1(B)) = TA(A1B) = A(A1B) = B yTA1(TA(B)) = TA1(AB) = A1(AB) = BPor tantoTA1 = T1A.1 11SiTes biyectiva es en particular inyectiva y por el Teorema 1.21A tiene inversa a la izquierda y porla parte 2. de este teorema la matrizA es invertible.Captulo2EspaciosVectoriales2.1. Denici onyEjemplosEn el captulo anterior se dieron ejemplos, sin mencionarlo, de espacios vectoriales. Mas concretamente en losTeorema 1.5 y 1.6 se mostro que el conjunto de matrices de tama nom n y el conjunto de vectores columnaRnsonespaciosvectoriales. Solonosfaltaenunciarladenicionyverqueestosconjuntoslasatisfacen. EnestecaptulosolotrabajaremossobreRnylosteoremasseranacercadeesteconjunto, enel Captulo3sedemostraran los teoremas generales.Denicion2.1. SeaV unconjuntonovaciocondosoperaciones+ :VVV y: RVV ,decimosqueVes un espacio vectorial sobre R si para todox,yyz Vy para todo y R se cumple lo siguiente:1. (x +y) +z = x + (y +z),2. existe Vtal que +x = x + = x, (Ase le llama el neutro deV )3. existewtal quex +w = w +x = , (Awse le llama el inverso aditivo dex)4.x +y = y +x,5.(x +y) = x +y,6. ( +)x = x +x,7.(x) = ()x,8. 1x = x.Ejemplo2.1. 1. El conjunto de vectores en Rmes un espacio vectorial, por el Teorema 1.6.2. El conjuntoMmnde matricesmn es un espacio vectorial, esto por el Teorema 1.53. Sea Pn = a0 +a1t + +antn[ a0, . . . , an R el conjunto de polinomios de grado a lo sumon en laindeterminadat, este conjunto es un espacio vectorial sobre R bajo las operaciones:a0 +a1t + +antn+b0 +b1t + +bntn= (a0 +b0) + (a1 +b1)t + + (an +bn)tny(a0 +a1t + +antn) = a0 +a1t + +antn.3536Veamos que estas operaciones satisfacen todas las propiedades de ladenicion de espacio vectorial.Seanp1 = a0 +a1t + +antn,p2 = b1t + +bntnyp3 = c0 +c1t + +cntn Pn,, R,1.(p1 +p2) +p3 =(a0 +a1t + +antn+b0 +b1t + +bntn)+c0 +c1t + +cntn=(a0 +b0) + (a1 +b1)t + + (an +bn)tn+c0 +c1t + +cntn(denicion de suma en Pn)=((a0 +b0) +c0) + ((a1 +b1) +c1)t +. . . + ((an +bn) +cn)tn(denicion de suma en Pn)=(a0 + (b0 +c0)) + (a1 + (b1 +c1))t +. . . + (an + (bn +cn))tn(asociatividad en R)=a0 +a1t + +antn+ (b0 +c0) + (b1 +c1)t +. . . + (bn +cn)tn(denicion de suma en Pn)=a0 +a1t + +antn+ (b0 +b1t + +bntn+c0 +c1t + +cntn)(denicion de suma en Pn)=p1 + (p2 +p3)2. Sea = 0 el polinomio constante = 0, entoncesp1 + = a0 +a1t + +antn+ 0 = a0 +a1t + +antn= p13. Seaw = a0a1t + antnentoncesw +p1 = a0a1t + antn+a0 +a1t + +antn+= (a0 +a0) + (a1 +a1)t + + (an +an)tn= 0 = .Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 374.p1 +p2 = a0 +a1t + +antn+b0 +b1t + +bntn= (a0 +b0) + (a1 +b1)t + + (an +bn)tn(Denicion de suma en Pn)= (b0 +a0) + (b1 +a1)t + + (bn +an)tn(Conmuatitividad en R)= b0 +b1t + +bntn+a0 +a1t + +antn(Denicion de suma en Pn)= p2 +p15.(p1 +p2) = (a0 +a1t + +antn+b0 +b1t + +bntn)= ((a0 +b0) + (a1 +b1)t + + (an +bn)tn)denicion de suma en Pn= (a0 +b0) +(a1 +b1)t + +(an +bn)tndenicion de producto por escalar en Pn= (a0 +b0) + (a1 +b1)t + + (an +bn)tndistributividad en R= a0 +a1t + +antn+b0 +b1t + +bntndenicion de suma en Pn= (a0 +a1t + +antn) +(b0 +b1t + +bntn)denicion de producto por escalar en Pn= p1 +p2386.( +)p1 = ( +)(a0 +a1t + +antn)= ( +)a0 + ( +)a1t + + ( +)antndenicion de producto por escalar en Pn= (a0 +a0) + (a1 +a1)t + + (an +an)tnditributividad en R= a0 +a1t + +antn+a0 +a1t + +antndenicion de suma en Pn= (a0 +a1t + +antn) +(a0 +a1t + +antn)denicion de producto por escalar en Pn= p1 +p17.()p1 = ()(a0 +a1t + +antn)= ()a0 + ()a1t + + ()antndenicion de producto por escalar en Pn= (a0) +(a1)t + +(an)tnasociatividad en R= (a0 +a1t + +antn)denicion de producto por escalar en Pn= ((a0 +a1t + +antn))denicion de producto por escalar en Pn= (p1)8.1p1 = 1(a0 +a1t + +antn) = 1a0 + 1a1t + + 1antn= a0 +a1t + +antn= p1.Los espacios vectoriales satisfacen las siguientes propiedades que se desprenden de la denicion.Teorema2.1. SeaVun espacio vectorial,x Vy R entonces1. El neutro es unico, es decir, siy

son neutros entonces =

,Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 392. el inverso aditivo dex es unico, es decir, siwyw

son inversos aditivos dex entoncesw = w

, (dada launicidad del inverso aditivo dex, este ser a denotado por x)3. = , 4. 0x = ,5. 1x = x, 6. Six = entonces = 0 ox = .Demostracion. 1. = +

=

+ =

.2. w = w + = w + (x +w

) = (w +x) +w

= +w

= w

.3. + = ( +) = , sumand el inverso aditivo de a ambos lados tenemos: = ..4. 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, sumando el inverso aditivo de 0x a ambos lados tenemos que = 0x.5. 1x+x = 1x+1x = (1+1)x = 0x = . como el inverso aditivo de x es unico, tenemos que 1x = x.6. Supongamos quex = y que ,= 0. Si multiplicamos a ambos lados por1tenemos que1(x). .=1..=1x=1..= 1x..=x= x = 2.2. SubespaciosDenicion2.2. SeaV unespaciovectorial y ,=W V , decimosqueWesunsubespaciodeV si Westambien un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma y producto por escalar deV .Ejemplo 2.2. En el Ejemplo 2.1 vimos que Pn es un espacio vectorial para ton, como Pn1 Pn y ambos sonespacios vectoriales, tenemos que Pn1es un subespacio de Pn.Para probar que un subconjunto no vacio de un espacio vectorialVes un subespacio no es necesario demostrarlasochocondicionesdeladenicion,soloesnecesarioprobarqueesteescerradobajolasumayelproductopor escalar, este resultado lo presentamos a continuacion.Teorema2.2. SeaV unespaciovectorial y ,=WV , entonces WesunsubespaciodeV si paratodow, w

Wy para todo R se satisface que1. w +w

W,2. w W.Demostracion. Debemos demostrarWcumple las ocho condiciones de espacio vectorial.401. La asociatividad se cumple para todov, v

yv

V , entoncs en particular si estos estan enW.2. ComoW ,= , existew W, entonces por hipoteses w = (1)w Wy por tanto 0 = w +w W.3. Siw Wentonces por la hipotesis 2. tenemos que w = (1)w W.4-8. Estas propiedades se cumplen para todow, w

V , en particular siw, w

W.Por tantoWes un espacio vectorial y comoW V , tenemos queWes un subespacio deV .Ejemplo2.3. SeaH =_____x1...xn__xn = 0___ Rm, demuestre queHes un subespacio de Rm.Solucion.VeamosqueHsatisfacelascondiciones1.y2.del Teorema2.2.Sean__x1...xn__,__y1...yn__ Hy R,entoncesxn = 0 = ynpor tanto__x1...xn__+__y1...yn__=__x1 +y1...xn +yn__=__x1 +y1...0__ Hy__x1...xn__= __x1...0__=__x1...0__ H.El Teorema 2.2 es muy util para vericar cuando un subconjunto es un subespacio, como en los siguientesteoremas.Teorema2.3. Sean ,= W1, W2 VentoncesW1 W2es un subespacio deV .Demostracion. Como W1 y W2 son subespacios, entonces 0 W1 y 0 W2, por tanto 0 W1W2 de dondeW1 W2 ,= , ahora probemos las condiciones 1. y 2. del Teorema 2.2.Seanw, w

W1 W2, entoncesw, w

W1yw, w

W2, luegow + w

W1yw + w

W2, por tantow +w

W1 w2.Sea R, comoW1yW2son subespacios tenemos quew W1yw W2, por tantow W1 W2.Concluimos queW1 W2es un subespacio deV .Teorema2.4. Sean ,= W1, W2 Vy denamosW1 +W2 = w1 +w2[ w1 W1yw2 W2 entoncesW1 +W2es un subespacio deV .Demostracion. Esta se deja como ejercicio.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 412.3. IndependenciaLinealEnestaseccionseestudiaraelconceptodeindependencialinealelcualnospermitiradeterminarcuandounvectorenunconjuntodadodevectoressepuedeexpresarenterminosdelosdemas.Tambiensedarauncriterio que nos permitira determinar computacionalmente cuando un conjunto de vectores en Rmes linealmenteindependiente. Se usara muy a menudo la frase combinacion lineal, la cual denimos a continuacion.Denicion2.3. SeaVun espacio vectorial y seanv1, . . . , vk V , una combinacion lineal de estos vectores esuna expresi on de la forma1v1 + +kvk,donde1, . . . , kson reales.Denicion2.4. SeaV unespaciovectorial yseanv1, . . . , vk V , decimosqueel conjunto v1, . . . , vkeslinealmente independiente si1v1 + +kvk = 0 implica que1 = 2 == k = 0.Si el conjunto v1, . . . , vk no es linealmente independiente, decimos que es linealmente dependiente.Observacion2.1. De la denicion anterior se deprende que si el conjunto v1, . . . , vk es linealmente depen-diente, entonces existen constantes1, . . . , k, no todas cero, talque1v1 + +kvk = 0. (2.1)Lo que es equivalente a decir que alguno de losvise puede escribir como una combinaci on lineal de los demas,esto ya que al menos uno de losi ,= 0, por tanto despejando porvien(2.1) tenemosvi = 1iv1 i1ivi1i+1ivi+1 kivk.Ejemplo2.4. 1. El conjunto___v1 =__112__, v2 =__230__, v3 =__196_____esLDyaquev3=3v1 2v2dedonde3v12v2v3 = 0.2.El conjuntodevectores___v1 =__110__, v2 =__011__, v3 =__101_____esLIyaquesiexistieranconstantes1, 2, 3tal que1v1 +2v2 +3v3 = 0 entonces tendriamos que__000__= 1v1 +2v2 +3v3 = 1__110__+2__011__+3__101__=__110__+__022__+__303__=__1 +31 +22 +3__42De donde1 +3 = 01 +2 = 02 +3 = 0, el cual es equivalente a la ecuacion matricial__1 0 11 1 00 1 1____123__=__000__. (2.2)Al aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matriz__1 0 11 1 00 1 1__obtenemos la matriz identidad, luego la unica solucional sistema(2.2) es la trivial,1 = 0,2 = 0 y3 = 0. Por tanto el conjunto v1, v2, v3 es LI.En Rmes facil establecer un criterio para determinar si un conjunto de vectores es LI o no. De la denicion sesigue que un conjunto de vectores v1, . . . , vk Rmes LD si existen constantes1, . . . , k, no todas cero talque1v1 + +kvk = 0 pero esta ecuacion la podemos escribir matricialmente de la siguiente forma0 = 1v1 + +kvk =_v1 vk___1...k__.De donde se sigue que los vectores son LD si la ecuacion1v1 + +kvk =_v1 vk___1...k__=__0...0__ tienesoluciones no triviales, criterio que escribimos a continuacion en le siguiente teorema.Teorema2.5. Sea v1, . . . , vk RmyseaA=_v1 vk_lamatrizcuyascolumnassonlosvectoresv1, . . . , vk, entonces el conjunto v1, . . . , vk es LI si y solo sirangoA = k = # de columnas deA.Demostracion. El conjunto v1, . . . , vk es LI si y solo si las unicas constantes 1, . . . , k tal que 1v1 + +kvk = 0 son1 == k = 0 si y solo si la unica solucion al sistema_v1 vk_. .=A__1...k__=__0...0__ es el vector__1...k__=__0...0__ y por el Teorema 1.21 esto es equivalente a querangoA = k = # de columnas deA.En este captulo nos concentraremos en estudiar criterios que aplican solo para vectores en Rm, pero estos serangeneralizados a otros espacios vectoriales en la Captulo 3.Observacion2.2. Esteteoremanosdaunprocedimientocomputacional paradeterminarsi unconjuntodevectoresesLIysi nolosontambiennospermiteencontrarladependencialineal entrelosvectores, el cualdescribimos a continuacion.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 43Sea v1, . . . , vk un conjunto de vectores en Rm, para determinar si este conjunto es LI hacemos lo siguiente:1. Aplicamos reduccion Gauss-Jordan a la matrizA =_v1 vk_.2. SilaformaescalonadareducidaA

deAtieneunpivoteencadalaentonceslosvectoressonLI,sinoentonces los vectores son LD.3. Si los vectores son LD, entonces el sistema Ax = 0 o equivalentemente A

x = 0 tiene solucion. Si x =__1...k__es una solucion a este sistema, las constantes1, . . . , ksatisfacen1v1 + +kvk = 0la cual nos da una dependencia lineal entre los vectores.Ejemplo2.5. Determine si el conjunto de vectores es LI, si no lo es, encontrar una dependencia lineal entreellos.1.___v1 =__110__, v2 =__211__, v3 =__112__, v4 =__011_____2.___v1 =__110__, v2 =__011__, v3 =__101_____Solucion. 1. Necesitamos aplicar reduccion Gauss-Jordan a la matriz_v1v2v3v4_=__1 2 1 01 1 1 10 1 2 1__, cuya forma escalonada reducida esta dada porA

=__1 0 3 20 1 2 10 0 0 0__.Comorango(A)=2>A = [12 01; 24 1 0; 510 13];rref(A)ans =__1 2 0 10 0 1 20 0 0 0__Comorango(A) = 2 < 3 = # de las, entonces los vectores no generan a R3.2. En este caso formamos la matriz A =_v1v2v3v4_=__1 2 02 4 15 9 1__. Ahora calculamos la matriz escalon-ada reducida deA, usando MatLab obtenemos>>A = [12 0; 24 1; 510 1];rref(A)ans =__1 0 00 1 00 0 1__Comorango(A) = 3 = # de las, entonces estos vectores generan a R3, es decir, v1, v2, v3) = R3.Corolario2.8. Seanv1, v2, . . . , vkvectoresen Rm,si kk,entonceselsistemaAx = 0tienemasvariablesqueecuacionesypor tanto existe al menos una solucion no trivial a este, es decir, exiten1, . . . , ltal queA__1...l__=__0...0__. (2.4)Luego, multiplicando la Ecuacion (2.3) a la derecha por__1...l__, obtenemos_w1 wl___1...l__=_v1 vk_A__1...l__. .=0porEc.(2.4)=_v1 vk___0...0__=__0...0__.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 49De donde_w1 wl___1...l__=__0...0__, o equivalentemente1w1 + +lwl = 0, luego los vectoresw1, . . . , wlson linealmente dependientes lo que contradice el hecho de que forman una base paraV , por tantok l.De igual forma se demuestra quel k y por tantok = l.Terminamos la seccion con la denicion de conjunto generador y una caracterizacion de estos conjuntos.Denicion2.7. SeaV unespaciovectorial yseanv1, . . . , vk V ,denimosel conjuntogeneradoporestosvectores,denotadopor v1. . . , vk),comoelconjuntodecombinacioneslinealesdelosvectoresv1, . . . , vk.Estoes,v1. . . , vk) = 1v1 + +kvk [ 1, . . . , k R .El conjunto generado por los vectoresv1, . . . , vk Ves un subespacio deV , este hecho se demuestra a contin-uacion.Teorema2.14. SeaV un espacio vectorial y seanv1, . . . , vk V , entoncesH = v1, . . . , vk) es un subespaciodeV .Demostracion. Como los vectores v1, . . . , vk Ventonces combinaciones lineales de estos tambien pertenecenaV , por tantoH = v1, . . . , vk) V .Ahora veamos queH = v1, . . . , vk) es cerrado bajo suma y producto por escalar.Seanv, w Hy V , entoncesv = 1v1 + +kvkyw = 1v1 + +kvk. Entoncesv +w = 1v1 + +kvk +1v1 + +kvk = (1 +1)v1 + + (k +k)vk Hyv = (1v1 + +kvk) = (1)v1 + + (k)vk v1, . . . , vk).Por tantoHes un subespacio deV .2.6. SubespaciosfundamentalesDadaunamatriz Asepuedendenir cuatrosubespacios determinados por esta, los cuales denimos acontinuacion.Denicion2.8. SeaA una matriz de tama nomn denimos los siguientes subespacios:1. El espacion nulo deA, denotadoNul(A), se dene comoNul(A) = x Rn[ Ax = 0.502. El espacio columna, denotadoCol(A), se dene comoCol(A) = c1, . . . , cn),dondec1, . . . , cnson las columnas deA.3. El espacio la deA, denotado porFil(A), se dene comoFil(A) = ft1, . . . , ftm),dondef1, . . . , fmson las las deA.4. El espacio nulo a izquierda deA, denotado porNuliz(A), se dene comoNuliz(A) = x Rm[ Atx = 0.De acuerdo al Teorema 2.14, el espacio columna, Col(A), y el espacio la, Fil(A), de una matrizA son sube-spaciosdeRmyRn, respectivamente. Paraqueloscuatroconjuntosdenidosenladenicionanteriorseansubespacios, solo nos resta demostrar queNul(A) yNuliz(A) son subespacios. Esto se demuestra en el sigu-iente teorema.Teorema 2.15. SeaA una matrizmn, entoncesNul(A) yNuliz(A) son subespacios de Rny Rm, respecti-vamente.Demostracion. Por denicionNul(A) Rny claramente 0 Nul(A) ya queA0 = 0. Veamos que es cerradobajo la suma y el producto por escalar.Seanx, y Nul(A) y seaR, entonces por denicion deNul(A) tenemos queAx = 0 = Ay, luegoA(x +y) = Ax +Ay = 0 + 0 = 0 y A(x) = Ax..=0= 0 = 0,de dondex +y Nul(A) yx Nul(A). Por tantoNul(A) es un subespacio de Rn.Ahora, como lo anterior se demostro paraA arbitraria, tenemos queNuliz(A) = Nul(At) es un subespacio, eneste caso de Rm, ya queAtes de tama non m.El proposito ahora es dar un procedimiento que nos permita hallar una base para los subespacios fundamentales.Calcularel espacionulodeunamatrizAesmassencillo, yaquelosvectoresxenesteespaciosonsoluciona la ecuacionAx = 0, el cual se resuelve aplicando Gauss-Jordan a la matriz_A 0_ (ver ejemplo abajo). Elprocedimiento para calcular una base para el espacio columna se sigue del siguiente teorema.Teorema 2.16. SeaA una matriz de tama nomn y seaA

la forma escalonada reducida deA. Entonces losvectores para los cuales la columna de A

tiene un pivote, forman una base para Col(A) y por tanto dimCol(A) =rango(A). Ademas se tiene que dimNul(A) = n rango(A).Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 51Demostracion. Seak=rango(A), sinperdidadegeneralidad, supongamoslasprimeraskcolumnasdeA

tienen pivote, es decirA

=__10 b1,k+1 b1n..................01 bk,k+1 bkn00 00..................00 00__(2.5)Sean c1, . . . , cn las columnas de A, vamos a demostrar que los vectores c1, . . . , ck forman una base para Col(A).Primeronotesequelosvectores c1, . . . , cksonlinealmenteindependientesyaqueestassonlasprimerascolumnas deA y por tanto la forma escalonada reducida de la matriz_c1 ck_ esta dada por las primerask las deA

y de 2.5, se obtiene que esta tiene un pivote en cada columna, luego por el Teorema 2.5, estos sonlinealmente independientes.52Ahora, de 2.5 tenemos lo siguiente__x1...xn__ Nul(A) si y solo siAx = 0 si y solo siA

x = 0si y solo six1 +b1,k+1xk+1 + +b1nxn = 0...xk +bk,k+1xk+1 + +bknxn = 0si y solo six1 = b1,k+1xk+1 b1nxn...xk = bk,k+1xk+1 bknxnsi y solo si__x1...xkxk+1...xn__=__b1,k+1xk+1 b1nxn...bk,k+1xk+1 bknxnxk+1...xn__= xk+1__b1,k+1...bk,k+11...0__+ +xn__b1n...bkn0...1__. (2.6)Entonces Nul(A) =___b1,k+1...bk,k+11...0__, . . . ,__b1n...bkn0...1___y en particular los vectores__b1,k+1...bk,k+11...0__, . . . ,__b1n...bkn0...1__ Nul(A)Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 53por tanto los vectoresc1, , cnsatisfacen lo siguiente__0...0__= A__b1,k+1...bk,k+11...0__=_c1 cn___b1,k+1...bk,k+11...0__...__0...0__= A__b1n...bkn0...1__=_c1 cn___b1n...bkn0...1__Estas ecuaciones matriciales producen las ecuacionesb1,k+1c1 bk,k+1ck +ck+1 = 0 ck+1 = b1,k+1c1 + +bk,k+1ck...b1nc1 bknck +cn = 0 cn = b1nc1 + +bknckLuego six Col(A), por denicionx =1c1 + +kck +k+1ck+1 + +ncn=1c1 + +kck +k+1(b1,k+1c1 + +bk,k+1ck) + +n(b1nc1 + +bknck)=(1 +k+1b1,k+1 + +nb1n)c1 + + (k +k+1bk,k+1 + +nbkn)ck c1, ck)LuegoColA = c1, . . . , ck), entonces los vectoresc1, . . . , ckgeneran aCol(A) y como sonson linealmente inde-pendientes entonces forman una base paraCol(A).Finalmente, observese que dimCol(A) =k=rango(A) y por la Ecuacion 2.6 tenemos que dimNul(A) =n k = n rango(A).Corolario2.17. SeaA una matriz de tama nomn, entoncesdimCol(A) + dimNul(A) = n = # de columnas de A.54Ejemplo2.10. Calcule los cuatro subespacios fundamentales de la matrizA =__1 1 0 12 2 1 43 3 1 5__.Solucion: Calculando la forma escalonada reducida deA obtenemos__1 1 0 12 2 1 43 3 1 5__2F1+F2F22F1+F3F3__1 1 0 10 0 1 20 0 1 2__F2+F3F3__1 1 0 10 0 1 20 0 0 0__entoncesporelteoremaanteriorlaprimerayterceracolumnadeAformanunabaseparaelespaciocolumnadeA, es decirCol(A) =___123__,__011___.Ahora para el espacio nulo resolvemos el sistemaAx = 0 o equivalentementeA

x = 0 y obtenemos lo siguienteA

__x1x2x3x4__=__000__x1x2+x4 = 0x3 + 2x4 = 0x1 = x2x4x3 = 2x4__x1x2x3x4__=__x2x4x22x4x4__= x2__1100__+x4__1121__.Por tantoNul(A) =___1100__,__1121___.Ahora, comorango(A) = rango(At) entonces la transpuesta de las dos primeras las es una base paraFil(A),es decir,Fil(A) =___1101__,__2214___.Ahora calculamos la escalonada reducida deAt__1 2 31 2 30 1 11 4 5__F1+F2F2F1+F4F4__1 2 30 0 00 1 10 2 2__F2F3__1 2 30 1 10 0 00 2 2__Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 552F2+F1F12F2+F4F4__1 0 10 1 10 0 00 0 0__entonces un vectorx =__x1x2x3__ satisface la ecuacionAtx = 0 si y solo siAt__x1x2x3__=__0000__x1 +x3 = 0x2 +x3 = 0x1 = x3x2 = x3__x1x2x3__=__x3x3x3__=__111__.Por tantoNuliz(A) =___111___.2.7. SubespaciogeneradoSi v1. . . , vn son vectores en Rm, hay dos preguntas que que abordaremos en esta seccion acerca del subespacioH = v1, . . . , vn), las primera de las cuales es:1. Si los vectoresv1, . . . , vnno son linealmente independientes, como encontrar una base paraH.SihacemosA=_v1 vn_entoncesCol(A)= v1, . . . , vn)=HyaplicandoelTeorema2.16obtenemosuna base paraCol(A) = H.Ejemplo2.11. Calcular una base paraH = v1, v2, v3) dondev1 =__125__, v2 =__2410__ yv3 =__011__.Solucion. Aplicandoreducci onGauss-Jordanalamatriz A=__1 2 02 5 15 5 1__obtenemos A

=__1 2 00 0 10 0 0__.Entonces los vectoresv1yv3forman una base paraH.2. SiHes un subespacio de Rmcon base v1, . . . , vk yb es un vector en Rm, como determinar sib H.HaciendoA=_v1 vk_tenemosqueb Hsi ysolosi existenconstantes 1, . . . , ktal queb=1v1 + +kvk =_v1 vk___1...k__= Ax conx =__1...k__. En otras palabras,b Hsi y solo si la ecuacion56Ax = b tiene solucion y six =__1...k__ es una solucion a esta ecuacion, entoncesb = 1v1 + +kvk.Ejemplo2.12. SeaH=_v1 =__125__, v2 =__011___yseab =__121__,determinarsi b H,encasoarmativoexpresar ab como combinaci on lineal dev1yv2.Solucion. Aplicando reduccion Gauss-Jordan a la matriz__1 0 12 1 25 1 1__ obtenemos__1 0 12 1 25 1 1__2F1+F2F25F1+F3F3__1 0 10 1 40 1 4__F2+F3F3__1 0 10 1 40 0 0__de donde tenemos que la ecuacionAx = b tiene solucion1 = 1 y2 = 4, por tantob = v14v2.En el siguiente ejemplo se muestra que algunas veces los subespacios de Rnaparecen como el espacio nulo deuna matriz.Ejemplo2.13. Calcular una base para cada uno de los siguientes subespacios.1. H =_____xy__y = mx, m R___2. H =_____xyz__x = at, y = bt yz = ct, a, b, c R___.3. H =_____xyz__ax +by +cz = 0, a, b, c R, c ,= 0___4. H =_____xyz__x +y +z = 0, 2x y z = 0___.1.__xy__ Hsiysolosi y =mxsiysolosi__xy__ =__xmx__ =x__1m__siysolosi__xy__esunm ultiplode__11__.Por tantoH =___11___.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 572.__xyz__ Hsi y solo six = at,y = bt yz = bt si y solo si__xyz__=__atbtct__= t__abc__ si y solo si__xyz__ es un m ultiplode__abc__. Por tantoH =___abc___.3.__xyz__ Hsi y solo siax+by +cz = 0 si y solo siz = acxbcy si y solo si__xyz__=__xyacx bcy__= x__10ac__+y__01bc__ si y solo si__xyz__ es una combinacion lineal de__10ac__ y__01bc__. Por tantoH =___10ac__,__01bc___.4.__xyz__ Hsiysolosi x + y + z=0y2x y z=0siysolosi__1 1 12 1 1____xyz__=__00__siysolosi__xyz__ Nul(A) conA =__1 1 12 1 1__. Para calcular el espacio nulo deA aplicamos reduccion Gauss-Jordan__1 1 12 1 1__2F1+F2F2__1 1 10 3 3__13F2F2__1 1 10 1 1__F2+F1F1__1 0 00 1 1__Entonces__xyz__ Nul(A) si y solo six = 0 yy +z = 0 si y solo six = 0 yy = zsi y solo si__xyz__=__0zz__=z__011__. Por tantoH =___011___.Terminamos el captulo con con un teorema que sera muy util en el proximo captulo.Teorema2.18. SeaA una matriz de tama nomn, entonces1. Nul(A) = 0 si y solo sirango(A) = n = # de columnas deA.2. Col(A) = Rnsi y solo sirango(A) = m = # de las deA.58Demostracion. 1. Nul(A)=0si ysolosi la unicasolucionalaecuacionAx=0esx=0si ysolosirango(A) = n = # de columnas deA (Teorema 1.21.)2. Col(A) = Rnsi y solo sib Col(A) para todob Rnsi y solo si para todob Rn,Ax = b si y solo si laecuacionAx =b tiene solucion para todob Rnsi y solo sirango(A) =m = # de las deA (Teorema1.20.)2.8. Elteoremadelabaseincompletaen RmEnelCorolario2.6sedemostroquesi v1, . . . , vksonvectoreslinealmenteindependientesen Rmentoncesk m.ElTeoremadelabaseincompletadicequesi k>A = [01; 11; 12];R=rref([A, eye(3)])R=601 0 0 2/3 1/30 1 0 1/3 1/30 0 1 1/3 1/3El productodelasmatriceselementaleseslamatrizcompuestaporlas3 ultimascolumnasdeR, lacualpodemos denir usando MatLab como sigue>>C = [R(:, 3), R(:, 4), R(:, 5)]C =0 2/3 1/30 1/3 1/31 1/3 1/32. Ahora calculamosB = C1como sigueB = inv(C)B=0 1 11 1 01 2 0Notese que efectivamente las dos primeras columnas de esta matriz son los vectoresv1yv2y por tanto losvectoresv1,v2yv3 =__100__ forman una base para R3.Captulo3TransformacionesLineales3.1. Denici onyEjemplosEn este captulo se estudiaran funciones entre espacios vectoriales que preservan la estructura, estas funcionesse llaman tranformaciones lineales, comenzamos con la denicion.Denicion 3.1. SeanVyWespacios vectoriales yT: V Wuna funcion, decimos queTes una transfor-macion lineal siTsatisface:1. T(v +v

) = T(v) +T(v

), para todov, v

V .2. T(v) = T(v), para todov Vy para todo R.Observacion3.1. Comoconsecuenciadeladeniciontenemosquesi T: VWesunatransformacionlineal,v1, . . . , vn Vy1, . . . , n R entonces1. T(1v1 +2v2) = 1T(v1) +2T(v2), y en general2. T(1v1 + +nvn) = 1T(v1) + +nT(vn).Ejemplo3.1. 1. La funcionT: R2R denido porT____xy____ = x +yes una transformacion lineal yaqueT____xy__+__x

y

____= T____x +x

y +y

____= x +x

+y +y

= (x +y) + (x

+y

) = T____xy____+T____x

y

____T____xy____= T____xy____= x +y = (x +y) = T____xy____2. SiA es una matrizmn, la funcionT: RnRmdenida porT(x) = Ax es una transformacion linealya que satisface los axiomas 1 y 2 de la denicion, mas especicamente tenemos que6162T(x +y) = A(x +y) = Ax +Ay = T(x) +T(y) yT(x) = A(x) = Ax = T(x).Destacamos las siguientes propiedades que cumple cualquier transformacion lineal.Teorema3.1. SeanVyWespacios vectoriales y seaT: V Wuna transformaci on lineal, entonces1. T(0) = 02. T(v) = T(v).Demostracion. 1. T(0) = T(0 + 0) = T(0) +T(0) por tantoT(0) = 0.2. T(v) = T((1)v) = 1T(v) = T(v).Por ahora nos concentraremos solo en transformaciones lineales de Rnen Rm, ya que estas, como se muestraen el siguiente teorema, son de la forma dada en el ejemplo 2, es decir, para toda transformacion lineal se puedeencontrar una matrizA de tamaomn tal queT(x) = Ax. Pasamos a enunciar el teorema.Teorema3.2. SeaT : RnRmunatransformacionlineal, sea e1, . . . , enlabaseestandar deRnyA=[T(e1)T(en)], lamatrizcuyascolumnassonlosvectoresT(e1), . . . , T(en), entoncesT(x)=Ax,para todox Rn.Demostracion. Seax =__1...n__ Rn, entoncesx = 1e1 + +1eny tenemos lo siguienteT(x) = T(1e1 + +1en) = 1T(e1) + +1T(en)= [T(e1)T(en)]. .=A__1...n__= Ax.Notacion4. SiT: Rn Rmes una transformacion lineal yE = e1, . . . , en es la base estandar de Rn, ala matrizA = [T(e1)T(en)] se llama la matriz de la transformacion y sera denotada porA =ETE.Ejemplo3.2. Calcular la matriz de la transformacionT: R2R denida porT____xy____= x +y.Solucion. De acuerdo al teorema anterior debemos calcularT(e1) yT(e2):T(e1) = T____10____= 1 + 0 = 1 T(e2) = T____01____= 0 + 1 = 1.Luego la matriz de la transformacion esETE = [1 1].Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 63Ejemplo 3.3.Calcular la matriz,ESE, de la transformacion S : R3R2denida por S_______xyz_______=__x + 2yy 3z__.Solucion. En este caso debemos calcularS(e1),S(e2) yS(e3).S(e1) = S_______100_______=__1 + 200 30__=__10__S(e2) = S_______010_______=__0 + 211 30__=__21__y S(e3) = S_______001_______=__0 + 200 31__=__03__Por tanto la matriz de la transformacion esESE =__1 2 00 1 3__.En el siguiente teorema demostraremos que la composicion de transformaciones lineales es una transformacionlineal.Teorema3.3. SeanV, WyZespaciosvectorialesyseanT: VWyS: WZtranformacioneslineales,entoncesS Tesunatransformacionlineal.Masa un,si V = Rn, W= RmyZ= Rqentonceslamatriz deS Testa dada porESE E TE, es decir,E(S T)E =ESE E TE.Demostracion. Primero demostremos queS Tes una transformacion lineal, seanv, v

Vy R,S T(v +v

) = S(T(v +v

)..T(v)+T(v

)) = S(T(v) +T(v

)). .S(T(v))+S(T(v

))= S(T(v)) +S(T(v

))= S T(v) +S T(v

) yS T(v) = S(T(v). .T(v)) = S(T(v))..S(T(v))= S(T(v)) = S T(v)Ahorademostremoslasegundaparte, seanA=ETEyB=ESE, entoncesT(v)=Avparatodov RnyS(w) =Bwparatodow Rm.VeamosqueBAeslamatrizdeS T,esdecir, S T(v) =BAvparatodov Rn.S T(v) = S(T(v)..Av) = S(Av). .BAv= BAv.Por tantoBA es la matriz deS T.Ejemplo 3.4. SeanTySlas transformaciones lineales denidas en los Ejemplos 3.2 y 3.3 entonces la matrizde la transformacionT S,E(T S)E, esta dada porE(T S)E =ETE E SE =_1 1___1 2 00 1 3__=_1 3 3_.64Por tantoT S_______123_______=_1 3 3___123__= 1 + 3233.Ejemplo3.5. (MatLab) Denir matrices 3x4 y 4x3 y calcular las matrices de las composiciones.La matriz de una transformacion se puede usar para conseguir informacion util acerca de la transformacion,porejemplo, estasepuedeusarparadeterminarsi unatransformacionlineal esinyectiva, si essobre, si esbiyectiva y tambien se puede usar para calcular el rango de la transformacion. Esto lo veremos en las secciones3.2-3.43.2. TransformacionesLinealesInyectivasComenzamos el estudio de las transformaciones inyectivas con la dencion de kernel de la transforacion.Denicion3.2. SeanV yWespacios vectoriales y seaT:V Wuna transformacion lineal, denimos elnucleo o kernel deTcomo el conjuntoKer(T) = x V [ T(x) = 0.Para transformaciones lineales de Rnen Rm, la matriz de la transformacion se puede usar para calcular elkernel. Este es el resultado del siguiente teorema.Lema3.4. SeaT: RnRmunatransformacionlineal yseaA=ETElamatrizdelatransformacion,entoncesKer(T) = Nul(A).Demostracion. x Ker(T) si y solo siT(x) = 0 si y solo siT(x) = Ax = 0 si y solo six Nul(A).Concluimos queKer(T) = Nul(A).Ejemplo3.6. Calcular el kernel de la transformacion lineal Sdenida en el Ejemplo 3.3.Solucion. La matriz de la transformacion esA =__1 2 00 1 3__, necesitamos calcularNul(A):__1 2 00 1 3__F12F2 F1__1 0 60 1 3__Luegotenemosqueunvectorx =__xyz__ Nul(A)siysolosesatisfacenlasecuacionesx = 6zy = 3z.Entoncestenemos quex =__xyz__ Nul(A) si y solo si__xyz__=__6z3zz__= z__631__.Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 65Por tanto tenemos queKer(T) = Nul(A) =___631___.Teorema 3.5. SeaT: V Wuna transformacion lineal, entoncesTes inyectiva si y solo siKer(T) = 0.Demostracion. Supongamos queTes inyectiva, entonces siT(x) = T(y), tenemos quex = y.Ahora,supongamosquex Ker(T),entoncesT(x) = 0 =T(0),luegox = 0 ypor tantoKer(T) 0.Laotrainclusionsedayaque Ker(T) es unsubespaciode V ypor tanto0 Ker(T). Concluimos queKer(T) = 0.Supongamos queKer(T) = 0 y demostremos que siT(x) = T(y), entoncesx = y, para todox, y V .SupongamosentoncesqueT(x)=T(y). LuegoT(x y)=T(x) + T(y)=T(x) T(y)=0, sesiguequex y Ker(T) = 0 por tantox y = 0 o equivalentementex = y. Concluimos queTes inyectiva.En el caso particular de transformaciones lineales que van de Rnen Rm, este teorema y el Lema 3.4 nos danun algoritmo para calcular el kernel, este se hara evidente con el siguiente teorema.Teorema3.6. SeaT: Rn Rmunatransformacionlineal yseaA =ETElamatrizdelatransformacion.EntoncesTes inyectiva si y solo sirango(A) = n = # de columnas deA.Demostracion. Tes inyectiva si y solo siKer(T) = 0 (Teorema anterior) si y solo siNul(A) = 0 (Lema 3.4)si y solo sirango(A) = n.Este teorema nos da una manera de determinar si una transformacion lineal es inyectiva y en caso negativo,usamos el Lema 3.4 para calcularlo. A continuacion damos el ejemplo.Ejemplo3.7. Determinesi latransformacionlineal T: R3 R2denidaporT_______xyz_______=__x + 2yy 3z__esinyectiva.Solucion. Enel Ejemplo3.6vimos quelamatriz delatransformaciones A=__1 2 00 1 3__ylaformaescalonada reducida deA esA

=__1 0 60 1 3__. De esto deducimos querango(A) = 2 < # de columnas deA,por tantoA no es inyectiva.a=[1 -2 3 4;2 3 -4 5;3 4 5 6;4 5 6 7];Ejemplo3.8. (MatLab)SeaA =__1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 7__yseaT: R4 R4latransformacionlineal denidaporT(x) = Ax. Determine siTes inyectiva y calcular su kernel.66Solucion. Es f acil ver queA =ETEes la matriz de la tranformacion, para determinar siTes o no inyectiva,necesitamos calcular el rango deA, lo cual calculamos como sigue en MatLab:>>A = [12 3 4; 2 34 5; 3 4 5 6; 4 5 6 7];rank(A)ans =4De aqui se sigue querango(A) = 4 = # de columnas deA y tenemos queTes inyectiva yKer(T) = 0.Ejemplo3.9. (MatLab)SeaA=__1 2 1 1 11 0 1 3 10 1 1 1 10 1 1 1 11 0 1 3 1__yseaT: R5 R5denidaporT(x)=Ax,determine siTes inyectiva y calcularKer(T).Solucion. Primero calculamos el rango deA para determinar si la transformaci on es inyectiva>>A = [12 1 1 1; 1 0 13 1; 0 11 1 1; 0 11 1 1; 1 0 13 1];rank(A)ans =3Obtenemos querango(A) = 3 y por tantoTno inyectiva. Para calcular el kernel, computamos el subespacionulo deA.>>null(A,

r

)ans =1 31 11 00 10 0Obtenemos queKer(T) = Nul(A) =___11100__,__31010___.3.3. TransformacioneslinealessobreyectivasComenzamos recordando la denicion de imagen (o rango) de funcion y la de funcion sobreyectiva.Denicion3.3. SeanVyWespacios vectoriales yT: V Wuna transformaci on lineal,Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 671. Denimos la imagen (o rango) deT, denotada porIm(T), como el conjuntoIm(T) = T(v) [ v V = w W [ existev Vtal quew = T(v).2. Decimos queTes sobreyectiva siIm(T) = W.Cuando las transformacion esta denida de Rnen Rmpodemos calcular la imagen usando la matriz de latransformacion. Este hecho se demuestra en el siguiente teorema.Lema3.7. SeaT: Rn Rmunatransformacionlineal yseaA =ETElamatrizdeT,entoncesIm(T) =Col(A).Demostracion. Antes de hacer la demostracion denotemos porC1, . . . , Cnlas columnas deA.w Im(T)siysolosiexistev Rntalquew=T(v)=Avsiysolosiexistev=__1...n__ Rntalquew = Av = [C1 Cn]__1...n__= 1C1 + +nCnsi y solo siw C1, . . . , Cn) = Col(A).Por tantoIm(T) = Col(A).Ejemplo3.10. SeaA =__1 01 23 0__ yT: R2 R3la transformaci on lineal denida porT(x) = Ax, calcularla imagen deT.Solucion. De acuerdo al lema anterior necesitamos calcularCol(A).Si calculamos la forma escalonada deA obtenemosA

=__1 00 10 0__ y por tantoIm(T) = Col(A) =___113__,__020___.El lema anterior nos muestra como la matriz de la transformacion se puede usar para calcular la imagen deuna transformacion, esta tambien sirve para determinar si la transformacion es sobreyectiva, esto lo mostramosa continuacion.Teorema 3.8. SeaT: RnRmuna transformacion lineal yA la matriz deT, entoncesTes sobreyectiva siy solo sirango(A) = m = # de las deA.Demostracion. Tes sobre si y solo si Rm= Im(T) = Col(A) yCol(A) = Rmsi y solo sirango(A) = m = #de las deA.68El lemaanteriornosdicequeencontrarel rangodeunatransformacionesequivalenteaencontrarel es-pacio columna de la matriz de la transformacion y el teorema anterior reduce el problema de determinar si latransformacion es sobre a encontrar el rango de esta matriz. Esto lo ilustramos en los siguientes ejemplos.Ejemplo3.11. Determine si la transformacion del ejemplo anterior es sobre.Solucion.LaformaescalonadadelamatrizdeTesA

=__1 00 10 0__yportantorango(A)=2>A = [12 1 1 1; 1 0 13 1; 0 11 1 1; 0 11 1 1; 1 0 13 1];rank(A)ans =__1 0 1 3 00 1 1 1 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0__Obtenemos queIm(T) =___11001__,__20110__,__11111___, correspondientes a la 1a, 2a y 5a columna deA.Otraformadecalcular laimagenes usandoel comando colspace(sym(A)), el cual nodaralabasedeCol(A) = Im(T).>>A = [12 1 1 1; 1 0 13 1; 0 11 1 1; 0 11 1 1; 1 0 13 1];colspace(sym(A))ans =[1, 0, 0][0, 1, 0][0, 0, 1][0, 0, 1][0, 1, 0]Autor:OMARDARIOSALDARRIAGA 69De esta manera obtenemos que el conjunto_____10000__,__01001__,__00110_____es una base paraIm(T).3.4. IsomorsmosLas transformaciones lineales biyectivas (inyectivas y sobreyectivas) se llaman isomorsmos, la palabra iso-morrmosignicaigualforma.Enestasecci onveremoscomolosisomorsmospreservanlaestructuradelosespacios vectoriales. Comenzamos con la denicion de isomorsmo.Denicion3.4. SeanV yWespaciosvectorialesyT: VWunatransformacionlineal,decimosqueTesunisomorsmosiesunafuncionbiyectiva.TambindiremosqueV esisomorfoaWlocual denotaremosV = W.Los teoremas 3.6 y 3.8 implican lo siguiente.Teorema3.9. SeaT: Rn Rmunatransformacionlineal yA=ETElamatrizdeT, entoncesTesunisomorsmo si y solo sirango(A) = m = n.Corolario3.10. Rn = Rmsi y solo sim = n.Ejemplo3.13. SeaT: R2 R2latranformacionlinealcuyamatrizesA =__1 11 1__,determinarsi Tesun isomorsmo.Solucion. La forma escalonada reducida deA es la matrizA = I, por tantoTes un isomorsmo.Teorema 3.11. SeaT: RnRnuna transformacion lineal yA =ETEla matriz deT, entoncesT1es unatransformacion lineal y su matriz esA1.Demostracion. Demostracion. Primero veamos queT1es lineal. Seany1, y2 Rn, comoTes sobre, existenx1, x2 Rntal quey1 = T(x1) yy2 = T(x2), entoncesT1(y1 +y2) = T1(T(x1) +T(x2)) = T1(T(x1 +x2)) = x1 +x2= T1(y1) +T1(y2)Ahora, sea R, entonces tenemosT1(y1) = T1(T(x1)) = T1(T(x1)) = x1 = T1(y1).Por tantoT1es lineal. Ahora veamos queA1es la matriz deT. Notese quey Rnentoncesy = AA1y =T(A1y), aplicandoT1a ambos lados obtenemosT1(y) = A1y.70Conluimos queA1es la matriz deT1.Observacion3.2. Engeneral si T:VWesunisomorsmo,entoncesT1:W V tambienesunatransformacion lineal.Ejemplo3.14. Enel ejemploanteriorvimosquelatransformacionlineal T : R2R2cuyamatrizesA =__1 11 1__ es invertible, entoncesT1es un isomorsmo y su matriz esA1=__1/2 1/21/2 1/2__. Es decir, latransformacion est a dada porT____xy____=__12(x +y)12(x y)__.Hasta ahora la mayoria de los teoremas que hemos visto en el captulo y en el anterior aplican solamente alespacio vectorial Rny a transformaciones lineales de Rnen Rm. Vamos a usar la teora de isomorsmos parageneralizar los teoremas vistos, comenzamos con un resultado que nos va a servir de puente para extender estosteoremas.Teorema 3.12. SeaVun espacio vectorial y v1, . . . , vn una base paraV , entoncesV = Rn. Un isomorsmoentre estos espacios est a d