Algebra Lineal U5

8/19/2019 Algebra Lineal U5

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signatura Algebra Lineal

Unidad: 5

Trabajo: Investigación

Tema: Transformaciones Lineales

Docente: M.G.T.I Erick Alberto Cupul Burgos

Alumnos: José Ignacio Chí Chuc

José Artemio Couoh Pech

Fausto Oliverio Noh Dzul

Carrera: Ingeniería Civil

Grado y grupo: 2º Semestre “B”

Fecha: Viernes 12 De Junio del 2015


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5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios

vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios. Aquí se presentan las

funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los

espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la

multiplicación por escalares.

Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los

sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos sera sobre el tipo de

funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones

en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales.

Primeramente las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después

veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales.

Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una función

T: V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c: a) T (u + v) = T (u) + T (v)

b) T (c u) = c T (u)

Demuestre que la transformación T: R2 →R2 definida por

es lineal.


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Teniendo en cuenta que las transformaciones lineales son funciones entre

conjuntos, tiene sentido estudiar la validez de las propiedades usuales de funciones:

inyectividad, suryectividad y biyectividad.

Las transformaciones lineales que verifican alguna de estas propiedades reciben

nombres particulares:

Definición 3.6 Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f: V → W una

transformación lineal. Se dice que:

f es un monomorfismo si f es inyectiva.

f es un epimorfismo si f es suryectiva.

f es un isomorfismo si f es biyectiva.

En algunos casos, consideraremos transformaciones lineales de un K-espacio

vectorial en s ́ı mismo:

Sea V un K-espacio vectorial. Una transformación lineal f: V → V se llama unendomorfismo de V. Si f es un endomorfismo que es además un isomorfismo,

entonces se dice que es un automorfismo.


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En términos generales, una transformación es una función que permite transformar

un vector que pertenece a un espacio vectorial (dominio) en otro vector que

pertenece a otro espacio vectorial (codominio). Por esta razón, dicha función es una

función vectorial de variable vectorial, es decir, depende de vectores, y es del tipo

w fv = ( ).

Una transformación se representa como T: V→W, donde V es el “dominio” y W el

“codominio” de la transformación T.

Una aplicación T: R n → R m es llamada transformación lineal si preserva la

estructura lineal (suma y producto por escalar): 1 Si ~x, ~y ∈ R n, entonces T (~x +

~y) = T (~x) + T (~y). 2 Si ~x ∈ R n y α ∈ R, entonces T (α~x) = αT (~x).

Como consecuencia de esta definición es fácil observar que una transformación

lineal toma combinaciones lineales α1~x1 + α2~x2 + · · · +αk~xk de vectores en R

n y las lleva a transformaciones lineales de vectores en R m: T (α1~x1 + α2~x2 + ·

· · + αk~xk) = α1T (~x1) + α2T (~x2) + · · · + αkT (~xk).

En particular, por ejemplo, podemos probar que la imagen del cero ~0 ∈ R n bajo

una transformación lineal debe ser el cero ~0 ∈ R m: T (~0) = T (~x + (−~x)) = T (~x)

− T (~x) = ~0.


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1). Si V1 = (1,-1), V2 = (2,-1), V3= (-3,2) y W1= (1,0), W2= (0,-1), W3= (1,1). ¿Existe

una transformación lineal T: R2à R, tal que T (vi) = Wi para i = 1, 2,3?

Solución: Si { v1, v2 , v3 }es base de R 2 , entonces existe una única transformación

lineal T: R2 à R Pero: (-3,2) = -(1,-1) – ( 2,-1) Þ { v1, v2 , v3 } no es linealmenteIndependiente Þ { v1, v2 , v3 }no es base de R 2 Þ no existe tal transformación lineal

2). Sea T: R3 à R3 , transformación lineal , tal que : T (1,1,1) = (1,0,2) ; T ( 1,0,1) =

( 0,1,1) ; T ( 0,1,1) = ( 1,0,1) Encontrar T (x,y,z) Solución: Por demostrar que el

conjunto {(1,1,1), (1,0,1),(0,1,1)} es base de R 3 Sea a.b.c Î R, tal que . a(1,1,1) +

b(1,0,1) + c(0,1,1) = (0,0,0) a + b = 0 a + c = 0 Þ a = b = c = 0 a + b + c = 0 Luego

{(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)} es linealmente Independiente Sea (x,y,z) Î R 3 , entonces

existen escalares a,b,c Î R tal que: a(1,1,1) + b( 1,0,1) + c(0,1,1) =(x,y,z) a + b = x a

+ c = y Þ a = x + y - z ; b = z - y ; c = z - x a + b + c = z

Ejemplos:

1.


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2.

5.2 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las

transformaciones lineales.

Teorema 1. Sea T: V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores

u, v, v1, v2,….vn en V y todos los escalares

Nota en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero

de la derecha es el vector cero en W.

i. T (0) = T (0 + 0)= T (0) + T (0). Así 0= T (0) – T (0) = T (0) + t (0) – T (0) = T (0)

ii.T (u-v) = T [u + (-1) v] = Tu + T [(-1) v] = Tu + (-1) Tv = Tu – Tv.

iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T

(α1v1 + α2v2) = T (α1v1) + T (α2v2) = α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación (1) se cumple

para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T (α1v1 +

α2v2+….+ αkvk+αk+1vk-1) = T (α1v1 + α2v2+….+αkvk) + T (αk+1vk+1), y usando

la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2+….αkTvk) +

αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

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Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso

iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están

completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2 Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,

v2,….vn}. Sean w1, w2,….en vectores en W. Suponga que T1y T2 son dos

transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2,…, n.

Entonces para cualquier vector v ϵ v, T 1v = T2v; es decir T1 = T2.

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn.

Tales que v = α1v1 + α2v2 +…+ αn vn.

Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T1v = T1 (α1 v1 + α2v2 +…+ αnvn)

= α1T2v1 + α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn

De manera similar T2v = T2(α1v1 + α2v2 +…+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn =

α1w1 + α2w2 +…+ αnvn

Por lo tanto, T1v =T2v.

El teorema 2 indica que si T: v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo esnecesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es,

si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de

cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v1,

v2,….vn una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba

del teorema 2, Tv = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn


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Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv1, Tv2,….Tvn

Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores

de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R3 en R2 y suponga que

Solución. Se tiene

Entonces

Surge otra pregunta; si w1, w2,…., wn son n vectores en W, ¿existe una

transformación lineal T tal que Tv1 = w1 para i = 1,2,…, n? La respuesta es sí. Como

lo muestra el siguiente teorema.

http://1.bp.blogspot.com/-y8gx2t0cwXk/T9f5Ecy2e9I/AAAAAAAAAf8/a9ooIVssInw/s1600/Imagen4.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-tYayZUI-_9U/T9f45j5VY5I/AAAAAAAAAf0/mecOYSDjMA0/s1600/Imagen3.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-KzGbaBU7gzs/T9f4qzKKuoI/AAAAAAAAAfs/Yx620-vIN-s/s1600/Imagen2.jpg


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Teorema 4 Si T: V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.

ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracion

i.Sean u y v en un T; Entonces T (u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T ( ) = = 0 = 0 de

forma que u + v y ∝u están en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto

significa que T (u + v)= Tu + Tv = w + x y T (∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y

∝w están en Im T.

Ejemplo 3. Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V (T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T

= {0}.

Ejemplo 4 Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para vϵ V (T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T

= V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera

todo se encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra enel núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección


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Sea T: R3 R3 definida por

T es el operador de proyección de R3 en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x, y, z): x = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T ={(x, y, z): z = 0}, es decir el plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definición 2 Nulidad y rango de una transformación lineal

Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

Observación. En la sección 4.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y

la nulidad de una matriz. Según el ejemplo 5.1.7, Toda matriz A de m*n da lugar a

una transformación lineal T: R´´ R´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T =

NA, Im T = Im A = CA, v (T) = v(A) y p (T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones

de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones

del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

Ejemplo 6. Núcleo y nulidad de un operador de proyección

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Sea H un subespacio de R´´ y sea Tv = proyH v. Es obvio que la Im T = H. Se tiene

que toda vϵ V si v=h + proyH v + proyHv. Si Tv = 0, entonces h=0, lo que significa498

Definición (la imagen de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales

sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de

todos los valores de la aplicación T: im(T) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T(v) . 2.

Definición (el núcleo de una transformación lineal). Sean V, W espacios vectoriales

sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El núcleo (kernel, espacio nulo) de T se define

como la pre imagen completa del vector nulo: ker (T):= x ∈ V: T(x) = 0W.

Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del

dominio). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W).

Entonces ker (T) es un subespacio de V. 4. Proposición (la imagen de una

transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio). Sean V, W

espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces im (T) es un

subespacio de W. Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se

demuestra que el conjunto im (T) es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación

por escalares, además contiene al vector cero. Mostremos que el conjunto im (T) escerrado bajo la adición. Sean w1, w2 ∈ im (T). Por la definición de la imagen, existen

v1, v2 ∈ V tales que w1 = T (v1), w2 = T (v2). Por la linealidad de T, T (v1 + v2) = T

(v1) + T (v2) = w1 + w2. Logramos encontrar un vector x = v1 + v2 tal que T(x) = w1

+ w2. Por la definición de la imagen, esto implica que w1 + w2 ∈ im (T). Núcleo e

imagen de una transformación lineal, pagina 1 de 3 Inyectividad y suprayectividad

de una transformación lineal en términos de su núcleo e imagen 5. Definición de

función suprayectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama suprayectiva o

sobreyectiva si para cualquier y ∈ Y existe un x ∈ X tal que f(x) = y. 6. Observación

(criterio de la suprayectividad de una función en términos de su imagen). Según la

definición, f se llama suprayectiva si Y ⊂ im (f). Pero la contención im (f) ⊂ Y es

válida cualquier función f: X → Y. Por lo tanto, f es suprayectiva ⇐⇒ im (f) = Y. 7.

Definición de función inyectiva (repaso). Una función f: X → Y se llama inyectiva si


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para cualesquiera x1, x2 ∈ X tales que f(x1) = f(x2), se cumple la igualdad x1 = x2.

8. Proposición (criterio de la inyectividad de una transformación lineal en términos

de su núcleo). Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L (V,

W). Entonces: T es inyectiva ⇐⇒ ker (T) = {0V}. Demostración. =⇒. Supongamos

que T es inyectiva. Tenemos por demostrar la igualdad ker (T) = {0V}. Sabemos que

la contención {0V} ⊂ ker (T) se cumple para cualquier transformación lineal. Vamos

a demostrar que ker (T) ⊂ {0V}. Para ello, consideremos un vector arbitrario v ∈ ker

(T) y demostremos que v = 0V. Por la definición del núcleo tenemos que T (v) = 0W.

Por otro lado, sabemos que T (0V) = 0W. De las ´últimas dos igualdades sigue que

T (v) = T (0V). Como T es inyectiva, podemos concluir que v = 0V. ⇐=. Supongamos

que ker (T) = {0}. Sean u, v ∈ V tales que T (u) = T (v), demostremos que u = v. Por

la linealidad de T, T (u − v) = T (u + (−1) v) = T (u) + (−1) T (v) = T (u) − T (v) = 0.

Esto significa que T (u − v) ∈ ker (T). Luego u − v = 0 y u = v.

Ejemplo 9. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación nula). La

transformación nula 0V →W: V → W está definida mediante la fórmula ∀v ∈ V 0V

→W (v):= 0W. Es fácil ver que ker (0V →W) = V, im (0V →W) = {0W}.

10. Ejercicio (el núcleo y la imagen de la transformación identidad). Determine ker

(I) y im (I) de la transformación identidad I: V → V definida mediante la fórmula ∀v ∈

V I (v):= v.

11. Ejemplo (el núcleo y la imagen de la transformación D). Consideremos el

operador D: Pan(R) → Pan(R), De = f 0. Entonces im(A) = Pn−1 (F), ker(A) = P0 (F).

12. Ejemplo (el núcleo y la imagen de una proyección en V 2 (O)). Sea P el operador

de proyección sobre `1 paralelamente a `2. Entonces ker (P) = `2, im (P) = `1.

14. Problema adicional. Sean V, W, X espacios vectoriales sobre un campo F y sean

T ∈ L (V, W), U ∈ L (W, X). Demuestre que im (UT) ⊂ im (U), ker (T) ⊂ ker (UT).

15. Problema adicional. En este problema se trata de funciones generales, no

necesariamente de transformaciones lineales. Sean f: X → Y, g: Y → Z. Demuestre

que: 1. Si la composición ge es suprayectiva, entonces g es suprayectiva. 2. Si la

composición ge es inyectiva, entonces f es inyectiva.


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5.3

LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una

transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en

Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de

gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. Más aun, v(T) = dim un

T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la

nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio

nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe

que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple

multiplicación de matrices.

Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios

vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

Teorema 1

Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n,

AT tal que

Demostración

Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1,

w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que

multiplica un vector en Rn por AT. si

http://4.bp.blogspot.com/-XnHI8W6EQRY/T9gCz0T-BuI/AAAAAAAAAg8/Xsnoad3c7X4/s1600/Imagen2.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-B6ovTinYABA/T9gCo9zm7yI/AAAAAAAAAg0/n5tVrkD_lOo/s1600/Imagen1.jpg


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Entonces

De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas

porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx

para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene queCTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una

de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra

que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición: Matriz de transformación

La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente

a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar

tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá una matriz de

transformación diferente.

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TEOREMA 2: sea AT la matriz de transformación correspondiente a la

transformación lineal T. entonces.

i. Im T = Im A = CAT

ii. P(T) = p(AT)

iii. Un T = NAT

iv. v(T) = v(AT

Ejemplo 1 Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un

vector en R3 sobre el plano xy.

Solución

Teorema 4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una

transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las

bases B1 en V y B2 en W. entonces

i.p(T) =p(AT) ii. V(A) = v(AT) iii. V(a) + p(T) = n

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Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de

transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm,

respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B2 a base Sm en Rm. Si

AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.

Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.

Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de

demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión

de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones,

compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la

coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal

http://3.bp.blogspot.com/-4FwbPKfmIPk/T9gFqexEUJI/AAAAAAAAAhk/nFV827TLEFA/s1600/Imagen7.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-wMDUn1UAvBc/T9gFjO9ohlI/AAAAAAAAAhc/THk55q55Neo/s1600/Imagen6.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-BX_SLeLEVBM/T9gFL42b7jI/AAAAAAAAAhU/0sZNsqdEsGs/s1600/Imagen5.jpg


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que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante C>1. Como

antes,

Entonces la representación matricial de T es de manera que

a) se comienza con este rectángulo.

b) Expansión en la dirección de x c = 2.

c) Expansión en la dirección de y con c = 4.

http://2.bp.blogspot.com/-5wyf9kCfayE/T9gF9WYNBTI/AAAAAAAAAhs/uLbm-CE9dBQ/s1600/Imagen8.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-tF9Gi_AfdMM/T9gGeP0mVXI/AAAAAAAAAiE/tgpA9vG6SGk/s1600/Imagen11.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-Dbdhu03PND4/T9gGSv-R5qI/AAAAAAAAAh8/MhYvukJHz5Y/s1600/Imagen10.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-RqGwFFyPL_U/T9gGGrj8YAI/AAAAAAAAAh0/wKU197FsRZ4/s1600/Imagen9.jpg


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Compresión a lo largo de los ejes x o y.

Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que

multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva 0


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Definiciones

1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio

euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio

euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto

de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal

situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es

realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es

como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos

dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un

cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del

conjunto de puntos dado con un término escalar hacia la dirección donde tiene que

ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección

de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí

el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el

punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección

de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto

puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza

para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la

rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las

manecillas del reloj.

Ejemplos

Reflexión sobre el eje xEn este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2 en

R2 que cada vector lo refleja sobre el eje x,

para obtener un vector

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En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos

rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0


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Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una

contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente

menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal.

Rotación por un ángulo

Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cuál

es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector

un ángulo , para obtener un vector

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que

y tenemos que:

http://1.bp.blogspot.com/-LOnGaUZdEjk/T9wPsJCB1rI/AAAAAAAAAmA/AupaSIyD7II/s1600/Imagen8.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-4GbmVa820Iw/T9wP1wX0TYI/AAAAAAAAAmI/OVpP1ewesDo/s1600/Imagen9.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-ShqTJOqWoRM/T9wPHqdQ0PI/AAAAAAAAAlo/0X1X7BvRyDM/s1600/Imagen6.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-fsQvR8_uzjU/T9wPfdqgF6I/AAAAAAAAAl4/9pchr8_xp1o/s1600/Imagen7.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-EGnSLdL9OJU/T9wO4sKP3nI/AAAAAAAAAlg/DRnZxyIl2-E/s1600/Imagen5.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-gl0Ci71Tg9g/T9wN2zbskmI/AAAAAAAAAlI/qr29h3XHwsc/s1600/Imagen2.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-7VdR6fS3ojk/T9wNqW_Mg7I/AAAAAAAAAlA/3VQoeYMVdW8/s1600/Imagen1.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-LFIg9Lq2rqY/T9wOXXtfClI/AAAAAAAAAlY/DkMTe8asao8/s1600/Imagen4.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-CXiQhiHFrAs/T9wOAdzxN5I/AAAAAAAAAlQ/WQlYKwLi1Xs/s1600/Imagen3.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-7VdR6fS3ojk/T9wNqW_Mg7I/AAAAAAAAAlA/3VQoeYMVdW8/s1600/Imagen1.png


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Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación

Tal que

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:

Bibliografías

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Algebra Lineal U5

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