Algebra Lineal ACT 6 TRACOL 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA TRABAJO COLABORATIVO 2

100408-ALGEBRA LINEAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA

TRABAJO COLABORATIVO 2100408-ALGEBRA LINEAL

GRUPO 172

TUTOR: DELFINA REYES

Bogotá D.C. Abril de 2014



1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán. Para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.2−2 x−4 y−z=−5

3 x+2 y−2 z=0−5 x− y+5 z=4

(−2 −4 −13 2 −2

−5 −1 5 |−504 ) F1=F2+F1

F2=−3 F1+F2

F3=5 F1+F3

(1 −2 −30 8 70 −11 −10|

−515

−21)F1=2 F2+F1

F2=18F

2

F3=5 F1+F3

(1 0−54

0 178

0 0−3

8|−54

158

−78

)F1=

−54F

3

+F1

F2=−78F

3

+F2

F3=−83F3

(1 0 00 1 00 0 1|

5548

161962312

)1.2

−5 x+2 y−3 z+4w=−23 x−10 y−z+w=−8

(−5 2 −33 −10 1

41|−2

−8)*[ 3 f 1+5 f 2 ] ⟨−15 6 −915 −50 5

125 |−6

−40⟩



(−5 2 −30 −44 −4

417|−2

−46)∗¿ (1 −25

35

0 −44 −4

−45

17 | 25

−46)

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, Empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A−1

).3 x+ y−7 z=−3

2 x− y−3 z=−2

−x+ y−z=−1

[ 3 1 −72 −1 −3

−1 1 −1]3 1 −72 −1 −3

(3−14+3 )−(−7−9−2 )=−8−18=−26

AS=-26

[−3 1 −7−2 −1 −3−1 1 −1]−3 1

−2 −1−1 1

(−3+3+14 )− (−7+9+2 )=14+4=18

Ax= 18

[ 3 −3 −72 −2 −3

−1 −1 −1]3 1 −72 −1 −3

(6+14+9 )−(−14+9+6 )=29−1=28

Ay=28



3 1 −32 −1 −2

−1 1 −1

3 12 −1

−1 1

(3+2−6 )− (−3−6−2 )=−1+11=10

Az=10

x= AxAs

=1816

=98

y= AyAs

=2816

=74

z= AzAs

=1016

=58

X=9/8

Y=7/4

Z=5/8

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene a los puntos P = (-1,-8,-6) y Q = (-7,5,-6)Ecuación simétrica

Igualamos componentes

PQ=(−7− (−1 )+5−(−8 )−6−(−6 ))

PQ=(−6+13+0)

PQ= X+1−6

=Y +813

=Z+60

Ecuación paramétrica

Igualamos componentes

PQ=(−7− (−1 )+5−(−8 )−6−(−6 ))



PQ=(−6+13+0)

X=−1±6 t

Y=−8+13 t

Z=−6+0t

3.2 Contiene a

P=(3,7,3)y es paralela a la recta x+5−5

= y−7−1

= z−88

x=−5 t−5 t y=7+1 z=8+8

a=−5b=−1c=8

Ecuación simétrica

x−3−5

= y−7−1

= z−38

Ecuación paramétrica

x=3−5 t y=7−1 z=3+8

4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1 Contiene a los puntos P= (−1,−8 ,−6 ) ,Q=(10 ,2 ,−9 ) y R=(5 ,−8 ,−6 )

Formamos los vectores PQ y PRo PQ yQR

PQ=(10+1 ) i+(2+8 ) j+ (−9+6 )k

PQ=11 i+10 j−3k

PR=(5+1 )i+(−8+8 ) j+(−6+6 ) k

PR=11 i+10 j−3k

PR=6 i+0 j−0 k



Ahora hallamos un vector que sea perpendicular a PQ y PRy este nos sirve como vector normal.

PQ x PR| i j k11 10 −36 0 0 |=i|10 −3

0 0 |− j|11 −36 0 |+k|11 10

6 0 |¿ (0−0 ) i−(0+18 ) j+( 0+60 ) k

¿0 i−18 j−60k

0 ( x−10 )−18 ( y−2 )−60 (z+9)=0

0 x−18 y+36−60 z−540=0

−18 y−60 z=−36+540

−18 y−60 z=504

4.2 Contiene al punto P= (9 ,−1−6 )y tiene como vector normal a n=i−2 j−7 k

1(x−9)+(−2 )( y−(−1 ))+ (−7 )(z− (−6 ))=0

1 x−9+(−2 y )−2+ (−7 z )−42=0

1 x+ (−2 y )+(−7 z )=9+2+42

1 x−2 y−7 z=53

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1:−9 x+4 y−5 z=9 y π2:−6 x− y−7 z=−2

Hallar la ecuación simétrica de la recta de la forma x−aa1

= y−ba2

= z−ca3



Vamos a encontrar a X en función de Z y a X en función de Y e igualamos para tener la ecuación simétrica.

Para encontrar a X en función de Z multiplicamos los valores de Y de la primera ecuación en la segunda y Y de la segunda ecuación por la primera.

(π1 )∗1+ (π 2 )∗4

π1: (−9x+4 y−5 z=9 )∗1 = −9 x+4 y−5 z=9

π2: (−6 x− y−7 z=−2 )∗4= −24 x−4 y−28 z=−8

Sumamos (π1 )+(π2 ) = −33 x−0−33 z=1

x=1+33 z−33

Ahora hallamos a X en función de Y

(π1 )∗−7+(π2 )∗5

π1: (−9x+4 y−5 z=9 )∗−7 = 63 x−28 y+35 z=−63

π2: (−6 x− y−7 z=−2 )∗5= −30 x−5 y−35 z=−10

Sumamos (π1 )+(π2 ) = −33 x−33 y−0=−73

x=53+33 y33

Por último escribimos la intersección de los dos planos que es la misma ecuación simétrica de la recta.

x=53+33 y33

=1+33 z−33

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