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1

DISEDISEÑÑO EXPERIMENTALO EXPERIMENTAL(Modelos Multivariados)(Modelos Multivariados)

Universidad Nacional de La PlataUniversidad Nacional de La PlataFacultad de Ciencias Agrarias y ForestalesFacultad de Ciencias Agrarias y Forestales

CONTENIDOSCONTENIDOS

Repaso. Concepto de muestra y población. Estimadores. Pruebas de

hipótesis. Concepto de factor y de niveles de un factor. Modelo

ANOVA de un solo factor. Comparación de medias. Contrastes

ortogonales. Conceptos generales del diseño de experimentos.

Conducción de ensayos. Diseño completamente aleatorizado (DCA).

Modelos de clasificación según dos factores con una única

observación por casilla. Diseño en bloques completos aleatorizados

(DBCA). Medidas de eficiencia relativa entre cada diseño.Técnicas

experimentales.

2

� MONTGOMERY D. (1991). Diseño y Análisis de experimentos.

México: Grupo Ed.Iberoamérica.

� MONTGOMERY D.; RUNGER, G. (1996). Probabilidad y

estadística aplicadas a la ingeniería. México: Mc Graw Hill.

� KUEHL, R. (2001). Diseño de Experimentos. México: Ed.

Thomson Learning.

� PEÑA, D. (1989). Estadística: Modelos y Métodos -Tomo II: Modelos Lineales. Madrid: Alianza Universidad Textos.

Bibliografía de Referencia

3

5to año

1

2

4

¿ Qué es la estadística ?

Es la disciplina que se ocupa de la recopilación, presentación, análisis e interpretación de datos para la toma de decisiones y resolución de problemas.

La importancia que la Estadística ha alcanzado en nuestros días, tanto en el trabajo profesional como en la investigación, es innegable.

La tendencia positivista de las ciencias modernas, ha hecho que la legitimación y comprobación de resultados o garantías de su validez dependan cada vez más de la utilización de herramientas o métodos estadísticos.

5

Estos métodos estadísticos se utilizan en los campos más diversos de las actividades humanas, donde no escapan las disciplinas biológicas y en particular las ciencias agropecuarias.

Métodos estadísticos

serie de procedimientos para:

OBTENER – TRATAR – ANALIZAR

Información o datos estadísticos

describir y comprender esa variabilidad

Est. DESCRIPTIVA Est. INFERENCIAL

DATOSDATOS VARIABILIDAD

X1

X2...

Xi...XN

X1...Xn

Auxilio de la Teoría de Probabilidades

Muestra

Población

6

MUESTRO

COMO CUANTO

Muestreo simple al azar

Muestreo estratificado al azar

Variabilidad de los datos

Error admisible

Confianza

Estimación de Parámetros

Estimador: es un estadístico o función obtenido de los datos de una muestra y que pretendemos que represente lo más fielmente posible a un parámetro poblacional desconocido, que es el objeto de nuestro estudio.

Muestra

Población

θθθθ

θθθθ̂

7

Distribución de la media muestral

x es una V.A. con parámetros distribucionales:

xxx µµµµ====µµµµ====)E(n

x xx

22222222 σσσσ

====σσσσ====)V(

Teorema Central del Límite : Si x1 , x2 , ... , xn es una muestra aleatoria de

tamaño n de una población con media µx y variancia σx2 y si es la media

muestral, entonces la forma límite de la distribución de

cuando n → ∞ es la distribución normal estándar

x

Tenemos una distribución del alejamiento de un estimador

al parámetro que estima

n

xZ

x

x

σσσσ

µµµµ−−−−====

Conociendo establecer x1 y x2 tal que:x

P(x1< µµµµx <x2) = 1-αααα

Operando:

nzxi

σσσσ±±±±==== 2222αααα−−−−1111µµµµ )/()(l

Tamaño de muestra óptimo: 2222

σσσσ====

EA.z

n

Intervalo de confianza para µµµµ con σσσσ2 conocida

8

Y si no conocemos σσσσ2 ??????

Distribución t-Student:

∼∼∼∼ t(n -1)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

ns

tx ni );/()( 1111−−−−2222αααα−−−−1111µµµµ ±±±±====l

1b. Intervalo de confianza para µµµµ con σσσσ2 desconocida

ns

x

x

xµµµµ−−−−

µ1 ?

22221111σσσσ

X1µ2 ?

X2

22222222σσσσ

n1 n2

1111x 2222x

Intervalo de confianza para diferencia de medias

9

Con varianzas poblacionales conocidas

(iguales o distintas)

y

y

x

xi nn

zyxyx

22222222

2222αααα−−−−1111µµµµ−−−−µµµµ

σσσσ++++

σσσσ±±±±−−−−==== )/()( )(l

222222222222

22221111 σσσσ====σσσσ====σσσσ 2222−−−−++++

⋅⋅⋅⋅1111−−−−++++⋅⋅⋅⋅1111−−−−====

22221111

222222222222

2222111111112222

nnsnsn

s p)()(

Situación 1:

Con varianzas poblacionales desconocidas

y

p

x

pnni n

sns

tyxyxyx

22222222

2222−−−−++++2222αααα−−−−1111µµµµ−−−−µµµµ++++±±±±−−−−==== );/()( )(l

Pruebas de Hipótesis

Estimación de Parámetros Pruebas de Hipótesis

INFERENCIA ESTADÍSTICA

¿¿ QuQuéé es una hipes una hipóótesis estadtesis estadíística ?stica ?

Es una proposición o afirmación sobre la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

10

Parámetros de la distribución

Asociadas a una o más poblaciones

Forma de la distribución

EjemplosEjemplos::

La edad media de los alumnos del curso es de 22 años.

Con la aplicación de un determinado nutriente se obtendrán rendimientos

medios superiores a 2.000 kg/ha, que es la producción usual de la zona.

El peso promedio al nacimiento de ovejas hembras es menor al de los

machos

La altura de alámos sigue una distribución normal

El número de semillas germinadas por placa responde a una distribución

binomial

HipHipóótesis acerca de los partesis acerca de los paráámetros de una poblacimetros de una poblacióón:n:

Caso 1

H0: θ = θ1

H1: θ = θ2

Caso 3

H0: θ = θ0

H1: θ < θ0

Caso 4

H0: θ = θ0

H1: θ > θ0

Hipótesis nula

Hipótesis alternativa

Hipótesis puntuales o simples

Caso 2

H0: θ = θ0

H1: θ ≠ θ0Hipótesis compuestas

11

Consideraciones importantes:Consideraciones importantes:

� Las hipótesis son siempre afirmaciones relativas a la población o distribución bajo estudio, no en torno a la muestra

� La hipótesis nula siempre ‘contiene’ a la hipótesis θ = θ0

� Hay una estrecha relación entre la prueba de hipótesis en torno a un parámetro θ y el intervalo de confianza de θ

Puedan combinarse otros casos de Hipótesis nulas e Hipótesis alternativas

Caso 5

H0: θ ≥≥≥≥ θ0

H1: θ < θ0

Hipótesis compuestas

Caso 6

H0: θ ≤≤≤≤ θ0

H1: θ > θ0

EstadEstadíístico de prueba y Regla de Decisistico de prueba y Regla de Decisióónn

Ho: µ = 15

H1: µ ≠ 15X1

X2...

Xi...XN

Población

Muestra

X1...Xn

Prueba de hipPrueba de hipóótesis:tesis:

Es un procedimiento (o experiencia) que conduce a una toma de decisión en cuanto a optar por una u otra hipótesis, a la luz de la información proporcionada por una muestra aleatoria extraída de la población bajo estudio

12

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Variableµµµµ

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20µµµµ x

NO RECHAZORECHAZO RECHAZO

obsx obsxobsx

Conclusión sujeta a error

PruebasPruebas

Bilaterales

Unilaterales

Ho es Verdadera Ho es Falsa

Error Decisión correcta

Tipos de error:Tipos de error:

DECISIÓ

N Rechazo H0

No Rechazo H0 Decisión correcta Error

Error de Tipo I

Error de Tipo II

P(Error Tipo I) = P(Rechazar H0 | H0 es Verdadera) = α

P(Error Tipo II) = P(No Rechazar H0 | H0 es Falsa) = β

Potencia = 1 - β = P(Rechazar H0 | H0 es Falsa)

13

ProcedimienoProcedimieno general para una prueba de hipgeneral para una prueba de hipóótesis:tesis:

Del contexto del problema identificar el parámetro de interés

Plantear H0 y H1

Planificar una experiencia para la extracción de la muestra

Establecer el nivel de significación de la prueba

Seleccionar un estadístico de prueba e identificar su distribución bajo H0

Establecer regiones de rechazo y no rechazo para el estadístico de prueba

Calcular de la muestra el valor del estadístico

Decidir si debe o no rechazarse H0 e interpretar esto en el contexto del problema

Prueba t : comparación de 2 medias

H0: µµµµ1 = µµµµ2 µµµµ1 - µµµµ2 = 0

H0: µµµµ1 ≠≠≠≠ µµµµ2 µµµµ1 - µµµµ2 ≠≠≠≠ 0

2

22

1

21

2121 )()(

ns

ns

xxtobs

++++

−−−−−−−−−−−−====

µµµµµµµµ

ANANÁÁLISIS DE LA VARIANCIALISIS DE LA VARIANCIA

14

Si H0 : σσσσ12 = σσσσ2

2 tobs ∼∼∼∼ t(n1+n2 –2)

221

222

2112

−−−−++++

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

nnsnsn

s pond

ns

xxt

pondobs 2

21

.2

)( −−−−====

Si H0 : σσσσ12 ≠≠≠≠ σσσσ2

2 tobs ∼∼∼∼ t(νννν )

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

1/

1/

//

2

2

22

2

1

2

12

1

2

22

212

1

−−−−++++

−−−−

++++====

nns

nns

nsnsυυυυ

Contrastar 3 o más medias comparación de a pares

Inconvenientes:

Engorroso y poco práctico

Aumento de error tipo I

Ejemplo: comparación 5 medias = 10 pruebas

P(no rechazar H0/H0 es verdadero) = 0,9510 = 0,5987

ααααGlobal = 0,40

2

5

∼∼∼∼

15

Regla de Bonferroni:

Error Tipo I cada prueba:

donde:

Forma aproximada:

en nuestro caso: αααα = 0,05/10 = 0,005 (0,00511)

entonces ααααglobal = 1 - (1-αααα)10 = 1-0,995 10 = 0,0488

cglobalαααα

αααα ====

====

2

Nro.mediasc

cglobal )1(1 αααααααα −−−−−−−−====

≤≤≤≤ cglobal )1(1 αααα−−−−−−−−

MODELO DE CLASIFICACIMODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN UN SOLO FACTORN UN SOLO FACTOR

OBJETIVO: Determinar si existen diferencias significativas entre

medias correspondientes a distintos niveles de un factor

Factor: variable controlada que clasifica los individuos, también llamada

‘tratamiento’ (fertilizante, temperatura, color, estado civil)

Nivel: diversas categorías o valores que puede tomar un factor

Variable de respuesta: variable objeto de estudio (cuantitativa)

Repeticiones: conjunto de individuos que reciben igual nivel del factor

16

SUPUESTOS:

Existen k poblaciones de medias µµµµ1 , µµµµ2 , ... , µµµµk asociadas a los

distintos niveles del factor, donde las observaciones o datos están

distribuidos de manera normal e independiente, con la misma

varianza para cada población.

µµµµ1 µµµµ2 µµµµi µµµµkYijµµµµ

i = 1, 2, ... , k

j = 1, 2, ... , nj

yij = µ µ µ µ + (µµµµi - µµµµ) + (yij - µµµµi)

EFECTO TRATAMIENTO

ERROR ALEATORIO

Modelo Poblacional

yij = µ µ µ µ + ττττi + ξξξξij con ττττi = 0 y ξξξξij ∼∼∼∼ N(0,σσσσ2)∑∑∑∑====

k

i 1

Hipótesis

H0: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµk = µµµµ

H1: al menos una µµµµi ≠≠≠≠

H0: ττττi = 0 ∀∀∀∀ i

H1: ττττi ≠≠≠≠ 0 para algún i

Modelo Muestral

)()( iijiij yyyyyy −−−−++++−−−−++++====

17

Descomposición de la Variablidad

)()()( iijiij yyyyyy −−−−++++−−−−====−−−−

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ======== ======== ====

−−−−++++−−−−====−−−−k

i

n

jiij

k

i

n

ji

k

ii

n

ijij yyyyyy

1 1

2

1 1

22 )()()(

SCTotal (SCY) SCTrat (SCEntre Grupos) SCError (SCDentro Grupos)

glTotal = n.k – 1 glTrat = k - 1 glError = nk - k

Fórmulas de Cálculo

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==== ========

==== ====

======== ====

−−−−====

−−−−====−−−−====k

i

n

jij

k

i

k

i

n

jijn

jij

k

i

n

jij kn

yy

kn

y

yyy1

2..

1

2

1

2

1 1

1

2

1 1

2Total ..

)(SC

FC)(SC 1

2.

1 1

2Trat −−−−====−−−−====

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ====

==== ==== n

yyy

k

iik

i

n

ji

FC

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====

====

======== ====

−−−−====−−−−====k

i

k

iin

jij

k

i

n

jiij n

yyyy

1

1

2.

1

2

1 1

2Error )(SC Por diferencia

18

Cuadrados Medios

glSC

CM ====

2ERROR σ)E(CM ====

∑∑∑∑==== −−−−

++++====k

i

i

kn

1

22

TRAT 1.)E(CM

ττττσσσσ

ERROR

TRATOBS CM

CMF ====

TABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACITABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN UN SOLO FACTORN UN SOLO FACTOR

F.V. gl SC CM E(CM) Fobs Fcrit

Trat. k-1 FC1

2.

−−−−∑∑∑∑

====

n

yk

ii

1SCTRAT

−−−−k ∑∑∑∑

==== −−−−++++

k

i

i

kn

1

22

1.

ττττσσσσ

ERROR

TRAT

CMCM

Fcrit 5%

Fcrit 1%

Error k(n-1) Diferencia )1(

SCError

−−−−nk 2σσσσ

Total nk-1 ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====

−−−−k

ii

n

ijijy FC2

19

Estructura Tabla de Datos

Ejemplo

TRAT Repeticiones Totales

1 2 . . . i . . k

y11 y12 ... y1j ... y1n y21 y22 ... y2j ... y2n ……....................... ……....................... ……....................... yi1 yi2 ... yij ... yin ……....................... ……....................... yk1 yk2 ... ykj ... ykn

y1. Y2. . . .

yi. . .

yk.

y..

TRAT Repeticiones Tot. Medias S2

T1

T2

T3

3 5 2 3 2 4 5 4 6 7 5 7 9 8 6

15 26 35

3 5,2 7

1,5 1,7 2,5

76

Comparaciones IndividualesComparaciones Individuales

1. Pruebas a Posteriori H0: µµµµi = µµµµj ∀∀∀∀ i ≠≠≠≠ j

1a. Prueba LSD

nt

gl

ERROR

)2

1;CM.(crit

CM.2.

ERRORαααα

−−−−====∆∆∆∆

Rechazo H0 si | µµµµi - µµµµj | > ∆∆∆∆crit

20

1b. Prueba de Tukey (1953): más conservador

nq

kgl

ERROR

)2

1;;CM.(crit

CM.

ERRORαααα

−−−−====∆∆∆∆

1c. Prueba de Dunnett (1964): sólo k-1 comparaciones con testigo

H0: µµµµ0 = µµµµi ∀∀∀∀ i

1d. Pruebas de Newman-Keuls (1952) y Duncan (1955):

El valor de diferencia crítica tiene en cuenta en número de

medias p que pertenecen al rango determinado por las dos

medias analizadas

2. Pruebas a Priori

2a. Contrastes ortogonales: se plantean comparaciones de dos

grupos de medias por algún interés experimental antes de conocer

los resultados de la prueba F. Descomposición de SC y gl de

Tratamiento.

Ejemplo: H0: µµµµ1 vs { µµµµ2 ; µµµµ3 } H0: 2µµµµ1 - µµµµ2 - µµµµ3 = 0

FC2

)(SC

2.3.2

2.1

c1 −−−−++++

++++====nyy

ny

glc1 = 1

OJO !!!!! con FC cuando no intervienen

todas las medias en un contraste

21

Expresión vectorial de un contraste:

c1 : [ 2 -1 -1 ]

c2 : [ 0 1 -1 ]

Fórmula general SC de un contraste:

k’ = niveles que intervienen en el contraste

c = coeficientes del contraste∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

==== '

1

2

2'

1.

c

.

.SC k

i

k

ii

cn

yc

2b. Polinomios ortogonales: cuando variable clasificatoria carácter

ordinal tendencia

Para 2 gl Tendencia lineal: [1 0 -1]

Tendencia cuadrática: [1 -2 1]

Para 3 gl Tendencia lineal: [-3 -1 1 3]

Tendencia cuadrática: [ 1 -1 -1 1]

Tendencia cúbica: [-1 3 -3 1]

22

VerificaciVerificacióón de supuestosn de supuestos

1. Aleatoriedad de residuales

2. Normalidad de residuales

3. Homocedasticidad Test de Levene

|eij| = µ µ µ µ + ττττi + ξξξξij

H0: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµk = µµµµ


Conclusiones de un ANOVAConclusiones de un ANOVA

1. Agrupamiento niveles de tratamiento: uso de letras o líneas

2. Intervalos de confianza para medias

3. Intervalos de confianza para diferencias de medias

4. Representaciones gráficas

Current effect: F(2, 12)=10,561, p=,00226

Effective hypothesis decomposition

Vertical bars denote 0,95 confidence intervals

T1 T2 T3

Tratamiento

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

23

DISEDISEÑÑO ASOCIADOO ASOCIADO

DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

DCA

T1

T1

T1

T1

T1 T2 T2

T2

T2 T2 T3

T3T3

T3T3

Modelo Poblacional

yij = µ µ µ µ + ααααi + ββββj + ξξξξij

Con: ααααi = 0 , ββββj = 0

ξξξξij ∼∼∼∼ N(0,σσσσ2) σσσσ2 = cte ∀∀∀∀ i,j

ααααi y ββββj aditivos

∑∑∑∑====

a

i 1∑∑∑∑

====

b

j 1

iid

i = 1,2, ... , a

j = 1,2, ... , b

MODELO DE CLASIFICACIMODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN DOS FACTORES SIN INTERACCIN DOS FACTORES SIN INTERACCIÓÓNN

24

Hipótesis

H01: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµi = ... = µµµµa = µµµµαααα


H01: ααααi = 0 ∀∀∀∀ i

H11: ααααi ≠≠≠≠ 0 para algún i

Modelo Muestral

H02: µµµµ1 = µµµµ2 = µµµµj = ... = µµµµb = µµµµββββ

H12: al menos una µµµµj ≠≠≠≠

H02: ββββj = 0 ∀∀∀∀ j

H12: ββββj ≠≠≠≠ 0 para algún j

)()()( ............ yyyyyyyyyy jiijjiij ++++−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−++++====

Diseño asociado: DBCA (aleatorización restringuida)

C A

N A

L

R I E G O

BI BII BIII BIV BV

T1

T2 T1

T2 T1

T3

T2

T1

T2

T3 T1

T2

T3T3 T3

Técnicas en Fábricas

Nivel Social en Escuelas

25

B1 B2 ... Bj ... Bb

A1 A2 . . .

Ai . .

Aa

y11 y12 ... y1j ... y1b y21 y22 ... y2j ... y2b yi1 yi2 ... yij ... yib ya1 ya2 ... yaj ... yab

y1.

Y2. . . .

yi. . .

ya.

y.1 y.2 ... y.j ... y.b y..

Estructura Tabla de Datos

Factor B

Fac

tor

A

Sumas de Cuadrados y Grados de Libertad

bay

ba

ya

i

b

jij

..FC

2..

2

====

====

∑∑∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑ −−−−====a

i

b

jijy FCSC 2

TOTAL

FCSC

2.

A −−−−====∑∑∑∑

b

ya

ii

FCSC

2.

B −−−−====

∑∑∑∑

a

yb

jj

gl = a.b - 1

gl = b - 1

gl = a - 1

26

TABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACITABLA ANOVA MODELO DE CLASIFICACIÓÓN N

SEGSEGÚÚN DOS FACTORES ADITIVOSN DOS FACTORES ADITIVOS

F.V. gl SC CM E(CM) Fobs Fcrit

Factor A a-1 FC

2.

−−−−∑∑∑∑

b

ya

ii

1

SCA

−−−−a

11

2

2

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++∑∑∑∑

====

a

ba

iiαααα

σσσσ ERROR

A

CM

CM====AF Fcrit 5%

Fcrit 1%

Factor B b-1 FC

2.

−−−−

∑∑∑∑

a

yb

jj

1

SC

−−−−bb

1

1

2

2

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

∑∑∑∑====

b

ab

jjββββ

σσσσ ERROR

B

CM

CM====BF

Fcrit 5%

Fcrit 1%

Error (a-1).(b-1) Diferencia )1).(1(

SCError

−−−−−−−− ba 2σσσσ

Total a.b-1 ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ −−−−a

i

b

jijy FC2

Ejemplo

Ho1: No hay efecto factor A

Ho2: No hay efecto factor B

1

A

2

B

3

Y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A1 B1 6,00

A1 B2 2,00

A1 B3 9,00

A1 B4 3,00

A2 B1 8,00

A2 B2 9,00

A2 B3 11,00

A2 B4 12,00

A3 B1 4,00

A3 B2 4,00

A3 B3 10,00

A3 B4 6,00

B1 B2 B3 B4

A1

A2

A3

6 2 9 3

8 9 11 12

4 4 10 6

20

40

24

18 15 30 21 84

27

Univariate Results for Each DV (NLIN)

Sigma-restricted parameterization


GENERAL

EffectDegr. of

Freedom

Y

SS

Y

MS

Y

F

Y

p

Intercept

A

B

Error

Total

1 588,00 588,00 160,3636 0,000015

2 56,00 28,00 7,6364 0,022438

3 42,00 14,00 3,8182 0,076473

6 22,00 3,67

11 120,00

FC

Salidas Statistica

5,14 10,94,76 9,98

Tukey HSD test; variable Y (NLIN)

Probabilities for Post Hoc Tests

Error: Between MS = 3,6667, df = 6,0000

Cell No.A {1}

5,0000

{2}

10,000

{3}

6,0000

1

2

3

A1 0,0238 0,7512

A2 0,0238 0,0577

A3 0,7512 0,0577

A; LS Means




A1 A2 A3

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Y

B; LS Means




B1 B2 B3 B4

B

0

2

4

6

8

10

12

14

Y

A1 A3 A2

B1 B2 B3 B4

28

Eficiencia de un DBCA respecto a un DCA

SCERROR DBCA < SCERROR DCA SIEMPRE !!!!

CMERROR DBCA significativamente < CMERROR DCA cuando efecto bloque**

)()(

EfDBCACMDCACM

error

error====

Cómo obtener CMerror(DCA)

F.V. gl SC CM F P-value

A 2 56,00 28,00 7,63 0,0224

B 3 42,00 14,00 3,81 0,0764

Error 6 22,00 3,67

Total 11 120,00

F.V. gl SC CM F P-value

A 2 56,00 28,00 7,63 0,0224

Error 9 64,00 7,11

Total 11 120,00

94,167,311,7

Ef ======== DBCA 94% más eficiente

29

Si DBCA más eficiente y deseara trabajar con un DCA

necesitaría mayor número de repeticiones para neutralizar la

heterogeneidad del material experimental que no se tiene en

cuenta al no bloquear

Existen otras expresiones de eficiencia

con correcciones por gl

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