Estudo de um conversor CC-CC buck-boostDemercil S. Oliveira Jr., Luis C. TomaselliInstituto de Eletrnica de Potncia - INEP Universidade Federal de Santa Catarina UFSC Cx. Postal 5119 88040-970 Florianpolis (SC) Brasil demercil@inep.ufsc.br, lcandido@inep.ufsc.br Abstract This paper deals with a study of a DC-DC buck-boost converter in continuos conduction mode (CCM). The study begins with a description of the state equations of the converter and an analysis about his equilibrium points. The lineriazed model was obtained and a linear control was implemented. I. INTRODUO Os conversores CC-CC so utilizados para fornecer tenses contnuas reguladas a partir de uma fonte de tenso contnua no regulada. Dentre as diversas topologias que atendem esta definio existe um conversor chaveado conhecido como buck-boost. [1] O conversor buck-boost apresenta como caracterstica principal a inverso de polaridade da tenso de entrada utilizando uma mesma referncia. Uma desvantagem que tanto a corrente de entrada quanto a corrente de sada so descontnuas. Para que se possa fazer o controle do conversor necessrio levantar seu modelo dinmico e o seu comportamento frente aos pequenos desvios em seus parmetros e tambm com relao as variaes de carga e tenso de entrada. Aqui, parte-se da anlise das equaes de estado do conversor. Em uma primeira instncia observa-se o comportamento dinmico dos pontos de equilbrio para cada etapa de funcionamento do conversor. Definido os pontos de equilbrio procura-se obter as equaes que representam a dinmica do sistema. Para tanto, observa-se o comportamento mdio dos estados. E assim define-se um modelo dinmico em cima da evoluo no espao de estados mdio. No entanto o modelo obtido ainda no linear. Em seguida, utilizando-se o Jacobiano faz-se a linearizao do modelo em um ponto de operao. Com as equaes obtidas, ento, so desenvolvidos os esquemas de controle no modo tenso e no modo corrente. Os controladores utilizados so obtidos utilizando mtodos de controle linear. Para validar as leis de controle e verificar se estas respeitam as restries impostas pelos objetivos de controle faz-se a simulao do sistema via equaes de estado, utilizando o programa SIMULINK. II. MODELAGEM POR EQUAES DE ESTADO DO CONVERSOR BUCK-BOOST Para se obter a descrio por variveis de estado do conversor necessrio caracterizar as etapas de funcionamento deste alm de se assumir algumas consideraes a fim de simplificar o estudo do problema. Foram adotadas as seguintes simplificaes para se determinar as equaes de estado: Tanto a resistncia do diodo quanto do interruptor so nulas quando em conduo e infinitas quando em bloqueio; O conversor sempre opera no modo de operao contnua; No so considerados os parmetros intrnsecos dos componentes (resistncias srie equivalente do indutor e capacitor, indutncias de disperso); As variveis de estado escolhidas so corrente no indutor de entrada e tenso no capacitor de sada; Cria-se uma funo de chaveamento (q(t)), que assume dois valores possveis: um (1) quando o interruptor est em conduo e o diodo est bloqueado e zero (0) quando o interruptor est bloqueado e o diodo est em conduo. O valor mdio de q(t) sobre um perodo de comutao denominado de razo cclica (D).

Com o exposto acima percebe-se que o conversor possui duas etapas distintas de funcionamento (Fig. 1). A primeira etapa (Fig. 1-b) ocorre quanto o interruptor est em conduo. O indutor armazena energia da rede e o capacitor fornece energia para a carga. A segunda etapa (Fig. 1-c) ocorre quando o interruptor bloqueado. O indutor cede a energia armazenada durante a primeira etapa para a carga e para o capacitor de sada. Para a primeira etapa (q = 1) de funcionamento as equaes (1.1) e (1.2) so vlidas.diL vin = dt L dv0 v = 0 dt R0 C1 + Vin(t) iL(t) 2 L C Ro ic(t) ir(t) 1 + Vin(t) iL(t) 2 L C Ro ic(t) ir(t) (b) (c) Vo(t) 3 q=1 + Vin(t) iL(t) (a) 2 L C Ro ic(t) ir(t) Vo(t) 1 3 q=0 Vo(t) 3 q

(1.1) (1.2)

Fig. 1 - Etapas de funcionamento do conversor buck-boost no modo de conduo contnua.

Para a segunda etapa (q = 0) tem-se as equaes (1.3) e (1.4). diL v0 = (1.3) dt L dv0 v i = L 0 (1.4) dt C R0 C Somando (1.1) com (1.3) e (1.2) com (1.4) e inserindo a funo de chaveamento obtm-sev diL vin = q + 0 (1 q) dt L L v dv0 v i = 0 q + 0 L (1 q ) dt R0 C R0 C C

x = Ax + Bu = 0

(1.13)

Para a primeira etapa (equaes (1.1) e (1.2)) pode-se concluir que x1 x2 = 0

(1.14)

(1.5) (1.6)

A evoluo do estado x1 depende somente da integral da tenso de entrada em relao ao tempo dividida pela indutncia. Deste modo tem-se que para entradas com valores mdios no nulos o estado tende a infinito. O estado x2 depende somente de seu valor inicial e dado este ele tende assintoticamente a zero (a constante de decaimento obtida pela composio da resistncia de carga e da capacitncia de sada). A Fig. 2 apresenta graficamente este comportamento.0 -10

Simplificando as equaes (1.5) e (1.6) obtm-se as expresses abaixo:diL 1 = vin q + v0 (1 q ) dt L dv0 v i = L [1 q ] 0 dt C R0 C

(1.7) (1.8)

-20 -30 x2 -40 -50

Definindo as seguintes variveis de estado di iL = x1 L = x1 dt dv vo = x2 0 = x2 dt

-60

(1.9)

0

2

4 x1

6

8

10

Fig. 2 Plano de fase para o sistema quando q = 1.

Pode-se reescrever as equaes (1.7) e (1.8) na seguinte forma 1 x1 = [ vin q + x2 (1 q) ] (1.10) L x x (1.11) x2 = 1 (1 q ) 2 C R0 C Ou na forma matricial 0 x1 = 1 x2 ( q 1) C 1 0 x1 y= 0 1 x2 1 (1 q ) 1 q x L 1 + L vin 1 x2 0 R0 C

Para a segunda etapa (equaes (1.3) e (1.4)) conclui-se quex1 = x2 = 0

(1.15)

Os pontos de equilbrio dos estados sempre sero nulos nesta etapa. Para se obter o comportamento dinmico deve se analisar os autovalores da matriz dinmica do sistema nesta etapa. Calculando-se os autovalores chega-se a seguinte equao

(1.12)

1,2 =

1 1 1 1 4 2 R0 C 2 R0 C LC

2

(1.16)

Onde q(t) pode somente assumir os valores 0 e 1. III. ANLISE DOS PONTOS DE EQUILBRIO Primeiramente analisa-se os pontos de equilbrio para cada etapa em separado. Para se obter os pontos de equilbrio toma-se o conjunto de equaes diferenciais associadas a cada etapa e faz-se suas derivadas como sendo nulas (equao (1.13)) e deste modo chegando ao ponto de equilbrio para cada estado definido.

Em acordo com os valores assumidos pelos autovalores tem-se um comportamento dinmico diferente e consequentemente o ponto de equilbrio uma funo dos parmetros do circuito. Como L, C e R0 sempre sero maiores que zero a parte real sempre ser negativa, e por conseguinte, o sistema sempre ser assintoticamente estvel. Em acordo com o resultado do radicando ter-se- um ponto fixo tipo n (autovalores reais) ou foco (autovalores com parte imaginria) hiperblico.

1 1 >2 autovalores reais R0 C LC 1 1