El desarrollo de las habilidades aritméticas

Brian Butterworth

Instituto de Neurociencia Cognitiva del University College de Londres, Reino Unido.

Antecedentes: Aritmética habilidades son esenciales para el ejercicio efectivo de la ciudadanía en una aritmética la sociedad. ¿Cómo se adquieren estas habilidades, o dejan de ser adquirido, es de gran importancia no sólo para particulares . niños sino a la organización de la educación formal y su papel en la sociedad Método: Los datos sobre la progresión en el desarrollo normal y anormal de las habilidades aritméticas se revisa; en particular, pruebas de habilidad aritmética resultante de las habilidades cognitivas innatas específicas (numerosidad innata) vs habilidades cognitivas generales (la vista de Piaget) se compara resultados:. Éstos incluyen pruebas de in- investigación de fantasía, los estudios neuropsicológicos de la discalculia del desarrollo, de neuroimagen y genética. El desarrollo de habilidades aritméticas se puede describir en términos de la idea de numerosidad - la número de objetos en un conjunto. Aritmética precoz se suele considerar como los efectos sobre la numerosidad de operaciones sobre conjuntos como unión de conjuntos. Concepto de numerosidad del niño parece ser innata, como los bebés, incluso en la primera semana de vida, parecen discriminar matrices visuales sobre la base de numerosidad. Desarrollo se puede ver en términos de una comprensión cada vez más sofisticado de numerosidad y sus implicaciones, y en el aumento de habilidades en la manipulación de numerosidades. El deterioro en la capacidad de aprender aritmética - Discalculia - se puede interpretar en muchos casos como un déficit en el concepto en concepto de del niño numerosidad. Las bases neuroanatómicas del desarrollo aritmético y otras cuestiones pendientes son discutidos.

Conclusiones: La evidencia apoya ampliamente la idea de una capacidad específica innata para la adquisición de habilidades aritméticas, pero los efectos de los contenidos de aprendizaje, y el momento de aprendizaje en el curso del desarrollo, requiere de una mayor investigación Palabras

clave:. desarrollo Aritmética, cognitivo, discalculia, numerosidad, número, bebés, niño.

Revista de Psicología y Psiquiatría Infantil 46:1 (2005), pp 3-18 doi: 10.1111/j.1469-7610.2005.00374.x Asociación para la Psicología Ó y Psiquiatría Infantil, 2005. Publicado por Blackwell Publishing, 9600 Garsington Road, Oxford OX4 2DQ, Reino Unido y 350 Main Street, Malden, MA 02148, EE.UU.

"Un niño, al nacer, es un candidato para la humanidad; lo no puede convertirse en humano en aislamiento ". (Pieron, 1959)

Numerosidad como la base de la aritmética

El niño la adquisición de habilidades aritméticas en nuestro tipo de sociedad numerate encuentra una variedad de número- instrumentos culturales específicos. Los más evidentes son la expresiones numéricas: palabras de números (uno, dos, veintidós años, millones ...), números (1, 2, 22, 1000000 ...), números romanos, los patrones en dados, cartas y dominó. Otros serán relativamente ab- stract: hechos aritméticos (5 · 3 ¼ 15), aritmética

procedimientos (endeudamiento, multiplicación larga), arit- leyes Metical (a + b + b ¼ a; si a) b ¼ c entonces a ¼ b + c; y así sucesivamente). Las habilidades que necesitan ser adquirida incluir números de lectura y escritura, contando ob- proyectos en un conjunto, en el cálculo de cuatro aritmética básica operaciones, la lectura en voz alta los números, la escritura numer- als, aplicando estas habilidades en tareas de dinero, decir la hora y las fechas, encontrar una página de un libro, la selección de un televisor canalizar, y así sucesivamente. Todas estas habilidades son mucho más compleja y sutil de lo que pueden parecer a primera vista adultos competentes. La cuestión que se aborda en este crítica es esto: es el proceso de adquisición de estas herramientas de aritmética apoyado solamente por fines generales cog- capacidades cognitivas - como el razonamiento, la memoria (A corto y largo plazo), y una sensación de espacio - o están Nacemos con la capacidad de número específico? El niño la adquisición de habilidades numéricas no es probable ayudado por el hecho de que una expresión numérica hace no tiene un solo significado. 'Cuatro' (o '4 ') puede, por ejemplo, el nombre de un canal de televisión - una muy significante arbitrario, y no como un nombre o etiqueta apropiada. También puede ser un número de página, y ser parte de un secuencia fija familiar, que viene inmediatamente después de página 3 y antes de la página 5. Los números también se utilizan para se refieren a cantidades analógicas continuas, tales como '4 0,6 gramos '. Estos usos no son exclusivos numérica expresiones: canales de TV se pueden nombrar con palabras o acrónimos (Fox, ABC); letras del alfabeto forma una secuencia fija familiarizados; y otra cantidad expresiones (patio, toneladas) se han utilizado durante miles de años. (Para una descripción más detallada de las "situaciones" en que se utilizan expresiones numéricas, ver Fuson, 1988.) El significado distintivo de expresiones numéricas es para denotar la cantidad de cosas en una serie - de la numerosidad de un conjunto. Se utiliza (El término "numerosidad" aquí como la contraparte cognitiva para el término 'cardin- dad 'utilizado por los matemáticos y lógicos). Este es lo que es especial acerca de los números. Implica que numerosidad es abstracta: no es un objeto físico o la propiedad de un objeto (tal como un color o forma). Más bien, es una propiedad de un conjunto que puede tener cualquier tipo del miembro: objetos físicos, sonidos, u otro ab- STRACT objetos (como en tres deseos). Esto no hace hacer numerosidades misterioso o un fic-práctico ción (Giaquinto, 2001), pero sí quiere decir que nuestra comprensión de numerosidades particulares puede depender de la la naturaleza de los conjuntos. Por ejemplo, la numerosidad de un patrones familiares de puntos, como se ven en los dados, es más fácil aprehender que el mismo número de puntos dispuesto al azar, y se hace más difícil la más puntos hay (Mandler y Shebo, 1982)

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La idea de la numerosidad implica o encarna fami- iar consecuencias tales como dos conjuntos tienen el mismo numerosidad si y sólo si los miembros de cada uno se pueden poner en correspondencia uno-a-uno con ninguno sobra. En términos generales, un niño va a entender el concepto de numerosidad si él o ella: • comprende la correspondencia uno-a-uno prin- cipio; • comprende que los conjuntos de cosas tienen numerosidad y que algunas manipulaciones de estos conjuntos afectan la numerosidad - la combinación de conjuntos, teniendo subconjuntos de distancia, y así sucesivamente - y que un grupo tiene el mismo numerosidad como otro, o una mayor numerosidad, o una numerosidad más pequeño; •

comprende que los juegos no tienen que ser de las cosas visibles; pueden ser igualmente cosas audibles, cosas táctiles, cosas abstractas (como los deseos); • puede reconocer pequeños numerosidades - conjuntos de hasta cerca de cuatro objetos - sin conteo verbal. (Siguiente Butterworth, 1999) Ahora, el niño tiene que resolver cuando un numérico expresión está siendo utilizado como una etiqueta, para localizar un ob- proyecto en una secuencia, para referirse a una cantidad de cosas, o como una numerosidad definido. Las operaciones aritméticas habituales de adición, resta, multiplicación y división pueden ser de- multado en términos de operaciones sobre conjuntos y su nú- erosities, y así es como normalmente pensamos acerca ellos. La suma de una adición, por ejemplo, puede ser considerado como la numerosidad de la unión de dos o mas, conjuntos disjuntos; Del mismo modo, la resta, multi- cación y división pueden ser pensados en términos de los resultados de las operaciones sobre conjuntos (Giaquinto, 1995). En los planes de estudio formal, la multiplicación, la división y fracciones suelen seguir la suma y la resta, y se explican en función de ellos. Por ejemplo, la currículo de matemáticas en el Reino Unido se inicia en Recepción (4-5 años) y el Año 1 (5-6 años) con contar, sumar y restar, y luego en el año 2 introduce 'la operación de multiplicación como suma repetida o como describe [por ejemplo, el recuento] un array '(DfEE, 1999, Objetivos clave, página 3.), y la mesa hechos se enseñan hasta el año 5. Las fracciones son introdu- producido en el año 3 y la división, como el complemento de multiplicación, en el año 4. Esta revisión se centrará en contar, sumar y resta, ya que estos son los temas que son la más investigado, y que son el pedagógico, y en gran medida, la base conceptual de otros as- aspectos de la aritmética. Sin embargo, la multiplicación, la división y las fracciones que implican conceptos que no son fácilmente derivable a partir del concepto de numerosidad. Es se analiza más adelante. Uno de los debates más importantes es si el niño es ayudado a entender la numerosidad especial significa- ing por la posesión de una capacidad innata específica para numerosidades, en lugar de, por ejemplo, una capacidad para tratar con, o ser sensible a, cantidades más general. Evidencia crucial proviene de las personas que aparecen tener un déficit selectivo en esta capacidad que afecta profundamente a su capacidad de aprender aritmética. Esta condición se conoce como 'discalculia', y es se discute en detalle a continuación. Aunque existe un amplio consenso de que la posesión de algo así como el concepto de numerosidad es nece- sario para la competencia aritmética normal, no es de ninguna manera de acuerdo cómo los individuos llegan a este concepto. Según Piaget (1952), condiciones previas necesarias eran una comprensión de ciertos principios lógicos, ya que aritmética es realmente una parte de la lógica: Nuestra hipótesis es que la construcción de número va mano a mano con el desarrollo de la lógica, y que un período de pre-numérica corresponde a un pre-lógica nivel. Nuestros resultados, de hecho, muestran que el número es organizada, etapa tras etapa, en estrecha relación con elaboración gradual de los sistemas de inclusión (jerarquía de clases lógicas) y los sistemas de rela-asimétrica ciones (seriaciones cualitativos), la secuencia de números dando así como resultado de una síntesis operativa de clasificación- ficación y seriación. En nuestra opinión, lógico y arit- Por lo tanto, las operaciones de Metical constituyen un solo sistema esto es psicológicamente natural, el segundo resultado de una generalización y la fusión de la primera, en virtud de dos partidas complementarias de inclusión de clases y seriación de las relaciones, la calidad de ser tenida en cuenta. (Piaget, 1952, p. viii) Por lo tanto, para Piaget, ourideaofnumerosity fue builton capacidades más básicas. Estos incluyen la capacidad de razón transitiva; es decir, el niño debe ser capaz de razón fromthe hechos thatif Ais biggerthan B, y B es mayor que C, entonces A es mayor que C.

Sin esta capacidad, el niño no podría poner los números en orden de tamaño, lo que es claramente fundamental. Una segunda capa- ciudad que el niño debe desarrollar es la idea de que la número de cosas en un conjunto es "conserva", para usar su término técnico, a menos que un nuevo objeto se añade al conjunto, o un objeto resta de ella. Simplemente moviendo el objetos a su alrededor - no deberían afectar a número: para ejemplo, separándolos hacia fuera por lo tanto ocupan más habitación. Aún más fundamental que cualquiera de estos dos capacidades, como Piaget señaló, es la capacidad de ab- STRACT lejos de las propiedades de percepción de la cosas en el set. Para captar la numerosidad de un conjunto, una hay que pasar por alto todas las características particulares de la ob- jectsinit: theircolour, theirshape, theirsize, andeven lo que son: un conjunto de tres gatos tiene el mismo nú- generosidad como un conjunto de tres sillas, o de hecho de tres deseos. La idea de la serie es abstracta. Y las ideas del "mismo número" o "diferentes números 'son abstracciones de abstracciones. La aparición de la capacidad para la numerosidad dependerá del desarrollo miento de las capacidades previas necesarias, lo que Piaget- ians llaman 'prerrequisitos'. También dependerá, al igual que muchas habilidades conceptuales y lógicos, en la interacción con el mundo. El concepto de numerosidad podía surgir como un resultado de la manipulación de objetos, para ejemplo, alineando conjuntos para establecer uno a uno cor- dencia entre los miembros de los dos grupos, para repartir dulces o juguetes. 4 Brian Butterworth

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Algunos autores han propuesto que la capa-cognitiva ciudades que no son específicos de número son necesarios, o por lo menos, muy importante, en la adquisición de aritmética habilidades. Estos incluyen la memoria de trabajo (por ejemplo, Ashcraft, Donley, Halas, y VAKALI, 1992; Hulme y Mackenzie, 1992), la cognición espacial (por ejemplo, Rourke, 1993), y habilidades lingüísticas (por ejemplo, Bloom, 1994; Carey & Spelke, en prensa). Las correlaciones entre estos Cognit- ive habilidades y las pruebas estandarizadas de la aritmética son bien establecida. Por ejemplo, Bull y Johnston (1997) encontraron una correlación de) 0,54 entre un medida de la capacidad lingüística (latencias de denominación) y logro de matemáticas. Sin embargo, no es en absoluto clara cómo funcionan las relaciones de causalidad: qué buena arit- ayuda hermético en la memoria de trabajo, espacial o idioma tareas? ¿Hay un factor común que subyace a todos las tareas? Es posible explorar la causal rela- ciones de forma sistemática en los niños con específica déficit en el aprendizaje de aritmética y con impedimentos a las capacidades cognitivas de soporte putativos.

Capacidades para bebé

Contrariamente a lo que han propuesto Piaget y otros, los bebés parecen responder a las propiedades numéricas de su mundo visual, sin el beneficio de la lengua, razonamiento abstracto, o mucha oportunidad de manip- mular su mundo.

Detección numerosidad / reconocimiento y manipulación

En un experimento pionero, Starkey y Cooper (1980) demostraron que 4-6 meses de edad fueron sensibles a la numerosidad de una matriz de puntos negros utilizando un Paradigma "habituación-deshabituación '. Los bebés, como la novedad y se verá más tiempo en cosas nuevas. Lo mismo Lo hace en repetidas ocasiones que se habitúan, perder interés, mientras

que una nueva cosa hace que se recuperen interés - a dishabituate. En este estudio, los recién nacidos sería dishabituate a un nuevo número de puntos hasta cuatro. Por supuesto, con cada cambio de numerosidad, habrá cambios de otras dimensiones de estímulo, incluyendo la cantidad total de la negritud, la longitud total de borde, y quizás la frecuencia espacial. Starkey y Cooper trató de controlar esta cambiando la disposición de los puntos de habituación en cada ensayo, y asegurándose de que el estímulo deshabituación cubierto en la misma medida. En un estudio de niños de 6-8 meses, Starkey, Spelke y Gelman (1990) utilizó las imágenes de los objetos, como una naranja, un llavero, gafas de sol, un guante y así sucesivamente. En vez de tarjetas con dos puntos próximos a- gether alternando con dos puntos muy separados, cada tarjeta tenía dos objetos, pero de diferentes objetos en cada ocasión. Por lo tanto, cada nueva tarjeta con el mismo número de objetos tenían nuevas imágenes sobre el mismo. El dishabituating tarjeta también tiene nuevas imágenes sobre el mismo, pero había tres imágenes esta vez. Dado que cada tarjeta era nueva para la bebé, el bebé podría haber clasificado mentalmente la habituar tarjetas como muestra dos cosas, así que cuando se presentó una tarjeta con tres cosas, recuperaría interés y buscar más? Si lo hacen mirar más largo, no puede ser debido a la mera novedad, ya cada carta era nueva. Resultó que los bebés se le veía significativamente más largo en la tarjeta con tres cuadros en ella. Una vez más, los bebés parecían ser sensible a la número de imágenes en la tarjeta. Esto significa que clasifican lo que vieron en una forma que es bastante abstracto: las características particulares de cada imagen - la color, los objetos representados, su tamaño, su brillante- ness - que cambian con cada tarjeta - tiene que ser en cuenta. Similarfindingshavebeenreportedforbabiesinthe primera semana de vida (ANTELL y Keating, 1983). Van Loos- broek y Smitsman (1990) mostraron bebés de 5 y 13 meses 2, 3 o 4 rectángulos en tonos de gris que movido en trayectorias aleatorias en un monitor de computadora. De vez en cuando iba a aparecer un rectángulo de pasar frente a otra, que ocluye parte de ella. Como en el pre- riores estudios, después de un tiempo los bebés miraban el detectar menos, pero cuando el número de rectángulos cambiado, ya sea mediante la adición de un rectángulo más, o tomando una distancia, comenzaron a mirar de manera significativa más. No pueden haber estado respondiendo a un cambio en el patrón, ya que cada uno de los rectángulos estaba en constante movimiento, por lo que debe de haber extraído el numerosidad de las pantallas móviles. Los bebés también parecen no sólo reconocer pequeña numerosidades hasta aproximadamente 4, que también parecen tener un cierto sentido de su tamaño relativo. Brannon (2002) mostró bebés de 11 meses de edad, una secuencia de pantallas con un número creciente de puntos, y luego una prueba secuencia. Si esta secuencia tuvo un número cada vez menor de puntos, el niño se vería casi el doble de tiempo que si también tenía un número creciente. Sin embargo, los recién nacidos dos meses más jóvenes no muestran este efecto. A pesar de estas manifestaciones de sensibilidad-bebés dad a numerosidades, varios estudios han tratado de muestran que los niños están respondiendo a continua cantidad que a la numerosidad. Ciertamente, cuando éstos se ponen en conflicto en lugar de controlar o aleatorizado, parece una cantidad continua más poderosa cue (Feigenson, Spelke, y Carey, 2002; Mezclar, Huttenlocher, y Levine, 2002). Sin embargo, un re- estudio ciento el uso de grupos de puntos en movimiento, donde la con- cantidad continua de la superficie de figuras y contornos son estrictamente controlada, mostraron que los bebés responden a numerosidad (Wynn, Bloom, y Chiang, 2002). Hay, por supuesto, no hay razón por qué los niños deben no tienen sistemas cerebrales para el procesamiento de ambos tipos de estímulo. Normalmente, el medio ambiente se correlaciona la dos tipos - más objetos

normalmente tienen mayor extensión espacial - de manera que las salidas de dos sistemas será consistente, así que depender de la cantidad continua como una guía para numerosidad podría ser adaptativa. Más experiencia del mundo, y el estrés de la importación- ción del número, cambiaría la forma en que estos con- conflictos se resuelven. El desarrollo de las habilidades aritméticas 5

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¿Existe un límite superior para el concepto del niño de numerosidad? ¿Puede enumerar los 4, 10 o 100? Tres parece ser el máximo, aunque los lactantes en el StarkeyandCooper (1980) studydistinguished4from 3, pero 4 de ellos pueden haber representado sólo "más de tres '. Sin embargo, no podemos estar seguros de que esta limitación radica en la idea de que el bebé de la numerosidad lugar que en su capacidad de percibir y recordar lo que ha sido percibido. Nuestro entendimiento de que numer- osities no tienen límite parece depender de nuestro sentido que siempre es posible seguir añadiendo uno. Por lo tanto, ninguna limitación por parte del lactante podría tener más que ver con su capacidad para llevar a cabo adiciones sucesivas, y la cadena de razonamiento necesario para obtener de aquél al los números de ideas no tienen ningún límite superior. La limitación más probable es la capacidad de tomar en la numerosidad de la matriz visual de los objetos de un vistazo, y sin contar. Incluso en los adultos, el límite es aproximadamente cuatro. Esto parece ser un proceso especializado en percepción visual, que por lo general se le da el nombre 'Subitising' (Mandler y Shebo, 1982). Dehaene y Changeux (1993) han creado un modelo informático de este proceso, que muy sencilla y eficaz ex Tracts el número de objetos a partir de una pantalla de visualización, sin tener en cuenta su tamaño, forma o ubicación. La repre- sentación que se extrae puede ser entrenado para hacer comparaciones. Es tentador pensar que algo como esto se ha integrado en el visual sistema de procesamiento del cerebro del bebé. Para numer- osities más allá de cuatro, los bebés dishabituate cuando hay es una proporción de 2:1 (por ejemplo, 8:16), pero no cuando hay un 2:03 relación (08:12) (Xu y Spelke, 2000). La posesión de un concepto de numerosidad implica más que sólo ser capaz de decidir si dos conjuntos hacen o no tienen la misma numerosidad. Esto implica una capacidad para detectar un cambio en numerosidad cuando los nuevos miembros se añaden al conjunto, o antiguos miembros se retiran - En otras palabras, para ser capaz de calcular la aritmética consecuencias en la suma y resta. Wynn (1992) demostraron que los bebés son capaces de hacer esto, por lo que uso del hecho de que los bebés se vean más largas en los eventos que violar sus expectativas. Los bebés de 4 a 5 meses se muestra un muñeco que se coloca en un escenario, entonces COV- ascreen eredby, andthen un placedbehind seconddoll la pantalla. El bebé ahora no veía en absoluto y muñecas tenido que imaginar la situación detrás de la pantalla. Si el infanthadcomputedthatonedollplusonedollmakes dos muñecas, y luego la expectativa aritmética sería que habría dos muñecas detrás de la pantalla. Wynn encontrado que cuando se retiró de la pantalla, los bebés mirado más tiempo cuando había un muñeco o tres muñecas que cuando había dos muñecos. Del mismo modo, cuando dos muñecas fueron colocadas en el escenario, cubiertas, y una muñeca se muestra para ser eliminado, los lactantes espera que haya sería una muñeca izquierda, y se veía ya en otra números. Este experimento ha sido frecuentemente replic- ATED, y Simón, Hespos y Rochat (1995) tienen muestran que los niños de 3 a 5 meses de edad, cuando se vean más largas el número de muñecas es inesperado que cuando su identidad es inesperado (por ejemplo, una muñeca es subrepticiamente cambiado

detrás de la pantalla). También hay pruebas que los niños están respondiendo a la numerosidad y no de ubicación (Koechlin, Naccache, Block, y Dehaene, 1999). Estos estudios no han sido sin sus críticos, y ha habido fracasos para replicar (Wakeley, Rivera, y Langer, 2000), y la alternativa de explicación ciones en términos de familiaridad de los objetos que aparecen (Cohen y Marks, 2002). Wynn ha respondido a tanto Críticas, señalando las diferencias en experimental procedi- ure que podría haber dado lugar a diferentes resultados (Wynn, 2000, 2002). Más radicalmente, Carey, Spelke y sus colegas han sugerido que las operaciones mentales que parecen involucrar numerosidades realmente puede explicarse en términos de dos procesos no numéricos esencialmente. En primer lugar, hay un sistema de rastreo de objetos que es es necesario en cualquier caso para mantener la atención a hasta cuatro objetos en el medio ambiente. Los experimentos que demuestran que los lactantes responden a los cambios en número, o de hecho, a los cambios de la esperada numeroso, está explicada en términos de cambios en la estado del sistema de rastreo de objetos. En segundo lugar, hay un sistema para representar y comparar continua cantidad (Carey & Spelke, en prensa). En la expe- Ment por Xu y Spelke (2000) descrito anteriormente, los discontinuidad entre la relación mínima de pequeña discriminación número (2:03) y el gran número dis- discriminación (01:02) se explica en términos de un cambio de el sistema de rastreo de objetos a la continua quan- sistema tidad. (Aprehensión de numerosidades exactas superior a 4 dependen, según este punto de vista, en adquisición de palabras de números.) Sin embargo, el balance actual de evidencia favorece la idea de que los bebés son capaces de representar el nu- merosity de conjuntos de objetos y llevar a cabo mentales manipulaciones más de estas representaciones.

Desarrollo de conteo

Uno de los primeros y quizás el más importante póngase en contacto con entre el sentido del niño de los números y la herramientas conceptuales proporcionadas por la cultura está contando. Muchas canciones infantiles involucran conteo o conteo palabras (uno, dos hebillas mi zapato, El primer día de Navidad), e incluso los títulos de las historias para niños contener nombres de los números (Blancanieves y los Siete Enanos, Los Cinco). Contar es compleja habilidad que implica el aprendizaje de las palabras de contar en el orden correcto, la coordinación de la producción de contar palabras con la identificación de objetos en el conjunto para ser contados, y que cada objeto del conjunto se cuenta una sola vez. Por otra parte, el niño tiene que entender que el proceso de conteo puede dar el número de objetos en el juego. El filósofo John Locke (Locke, 1690/1961) reconocieron que contar palabras son útiles para mantener- ción en mente grandes numerosidades distintas. 'Algunos 6 Brian Butterworth

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Los estadounidenses los que he hablado (que eran de otro modo de partes rápidas y racionales suficientes) no podía, como lo hacemos, por cualquier medio contar hasta 1000; ni tenía ningún distintivo idea de esa cifra, a pesar de que podría contar muy bien a la 20. ' Estos americanos, los Tououpinambos de la selva brasileña ", carecía de nombres para los números por encima de 5 '. Locke creía que construimos la idea de cada número de la idea de 'uno' ('el más uni- idea universal que tenemos '). Mediante la repetición de 'esta idea en nuestra mentes y añadiendo las repeticiones juntos ... así por añadiendo [la idea de] de uno a [la idea de] uno,

tener la idea compleja de un par '. Pensó que nombres de los números eran esenciales para la adquisición de distintos ideas de números de largish, y que un sistema de 'Conduce [s] a ajuste de cuentas así' número nombres (Locke, 1690/1961). Así, para Locke, las ideas básicas de numerosidad están disponibles para nosotros sin la ayuda de cultura, sino que la cultura puede ser útil en algunos circunstancias. Por supuesto, Locke dependía de esta conclusión en la observación casual en lugar de invertir sistemática- gación y sin duda sería muy inter- sante utilizar métodos modernos para explorar esta hipótesis en los niños criados en culturas que carecían de nombres para los números superiores al 5. Unos tales culturas todavía existir, en la Amazonia, Nueva Guinea y en particular en Australia, donde algunos de la lengua de los aborígenes tienen palabras de los números por encima de tres, y los que vienen a través de préstamos (Dixon, 1980).

El aprendizaje de las palabras de contar

Contaje hace que el primer puente de del niño en- capacidad nate para numerosidad a la más avanzada logros matemáticos de la cultura en la que ella nació. Lo menos matemática de las culturas en- capaces a sus miembros a hacer mucho más que el niño. Ellos pueden hacer un seguimiento de bastante grandes numerosidades contando con palabras de números especiales o de partes del cuerpo nombres; que pueden hacer la aritmética más allá de la adición o restando uno de los pequeños numerosidades que se será necesario para el comercio como para los intercambios rituales. Aunque parece muy fácil para nosotros los adultos, el aprendizaje contar toma alrededor de cuatro años a partir de dos a seis. Los niños comienzan a alrededor de dos años, los avances en etapas hasta los 6 años de edad cuando entienden cómo contar y cómo utilizar el conteo en un corto manera adulta. Gelman y Gallistel (1978) han identificado la habilidades, lo que ellos llaman "principios", que se requieren para ser capaz de contar. Consideremos el ejemplo de un niño contando cinco dinosaurios: • Los nombres de los números de "uno" a "cinco", o, más correctamente, tenemos que saber que cinco palabras de contar guardamos siempre en el mismo orden. (El 'estable principio de orden ".) • Cada una de estas palabras ha de vincularse con uno y sólo un objeto: no hay palabra debe ser utilizado más de de una vez todos los objetos deben ser contados. Es decir, se debe colocar cada objeto en uno-a-uno correspondiente cia con las palabras de contar. (El "uno uno-a- principio '.) • El niño debe estar en condiciones de anunciar la número de dinosaurios de juguete usando el último conteo palabra que se usa: "Uno, dos, tres, cuatro, cinco. Cinco juguete dinosaurios '. (El "principio cardinal".) Gelman y Gallistel (1978) propusieron dos más principios, 'abstracción', lo que significa que toda- cosa puede ser contado, y 'order-irrelevancia ", que significa que puede empezar a contar con ningún objeto en el conjunto. Es claro que una comprensión de los principios fol- mínimos de entender el concepto de numerosidad. Juegos no están intrínsecamente ordenadas. Comprensión esto significa que usted entiende la orden irrelev- principio ancy. Tampoco hay ninguna restricción en la tipos de cosas que pueden ser miembros de un conjunto, pro- de Vided pueden ser individualizados. La comprensión de este implica que sostiene el principio de abstracción. De del curso, los niños y los adultos, pueden poseer el con- concepto de numerosidad sin completamente la comprensión y sin haber obtenido todos los principios que válidamente seguimiento de la misma. El aprendizaje de la secuencia de contar palabras es la primera de estas habilidades a dominar. Los niños parecen saber a las dos y media lo que una palabra número, y raramente inmiscuirse palabras no numéricas en la secuencia, incluso cuando el orden es incorrecto

(Fuson, 1988, Capítulo 10). Incluso el aprendizaje de la secuencia de las palabras de los números se No es sencillo. Los niños de dos o tres año suele pensar en las primeras palabras de los números como sólo una gran palabra 'onetwothreefourfive' y se necesita cierto tiempo para aprender que esta gran palabra es realmente cinco pequeñas palabras (Fuson, 1992). Gelman y Galli- (1978) La observación de STEL de un 3 1 2 Años de edad, niño que intenta a contar ocho objetos muestran que conseguir la secuencia derecha es una etapa difícil: "Uno, dos, tres, cuatro, ocho, diez, eleben. No, prueba dat nuevo. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, diez, eleben. No, prueba dat nuevo. Uno! dos! tres ee-cuatro, cinco, diez, eleben. No. ... [finalmente] ... Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, once! ¡Menos mal! ' Correspondencia uno-a-uno aparece alrededor de las dos años de edad, independientemente de aprendizaje de la se- cia de contar palabras. A los 2, los niños son capaces de dar un dulce a cada persona, poner una taza con cada platillo y puede nombrar a cada persona en una habitación o un imagen, o punto a ellos, una vez y sólo una vez (Potter Y Levy, 1968). Si muestra un "títere que no es muy bueno en contar 'contar el mismo objeto dos veces o falta un objeto en conjunto, los niños de 3 1 2 son muy bueno en la detección de estas violaciónes de uno-a-uno cor- dencia (Gelman y Meck, 1983). Y casi todos niños señalan a cada objeto cuando cuentan, incluso cuando pueden usar los nombres de los números correctamente, por lo existe correspondencia uno-a-uno entre los objetos, puntos y palabras (Gelman y Gallistel, 1978). Los niños de tres años o por lo que pueden contar en algunos pero no todas las circunstancias apropiadas. Cuando se le preguntó El desarrollo de las habilidades aritméticas 7

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para dar tres dinosaurios de juguete, sólo puede tomar un puñado y los dará a usted sin contar. Wynn (1990) los llama 'Grabbers'. Grabbers claramente Sé que las palabras numéricas representan un conjunto de más de uno, incluso si aún no han comprendido el papel de palabras de los números de cuenta, y no utilice la última palabra de un recuento de decir cuántos. En tal vez una etapa más temprana que piensan que la número de palabra es sólo una etiqueta que se adhiere a un ob- proyecto. Esto es lo que Adam, un sujetador, lo hizo en una de Tareas de Wynn. Experimentador (E): Entonces, ¿cuántos hay? Adán (A): [Contando tres objetos ...] Uno, dos, cinco! E: [Señalando hacia los tres artículos] Así que hay cinco en esta lista? R: No, eso es de cinco [señalando el artículo que él había marcado «cinco»] ... E: ¿Qué pasa si usted contó esta manera, uno, dos, cinco? [Experimentador cuenta los objetos en un orden diferente que Adam ha estado haciendo] R: No, esto es cinco [señalando a la que él ha etiquetado consistentemente cinco] En una tarea de dar un número, 'Contadores', por lo general unos pocos meses mayor, contará, ya sea en voz alta o en silencio, pasando que los juguetes uno por uno. También de forma fiable le dará la última palabra de la cuenta en la respuesta a "¿Cómo Cuántos? ", satisfaciendo el principio cardinal. Estos ni- niños son inicialmente capaz de contar sólo pequeñas numerosit- s, y, probablemente, aumentar su competencia sistemáticamente desde 1 hasta 2, desde 2 a 3, de 3 a 4 y así sucesivamente hasta. En una tarea de dar un número, que se iniciará por beingablereliablytogive1, thentogive2, butperhaps not3, then3butperhapsnot4.Soby3 1 2 mostchildren tener dominio de pequeñas numerosidades, y saber que contar es una manera de encontrar la numerosidad de un conjunto. Según Gelman y sus colegas, los niños aprender a contar conocer los principios antes de su habilidades se desarrollan plenamente (por ejemplo, Gelman y Gallistel, 1978). Ciertamente, el rendimiento de los niños se ve afectada por el tamaño de número, con un

número mayor de ser más difícil (Por ejemplo, Fuson, 1988), y el dominio de los tres prin- cipios no está completamente sincronizados, con estable- orden que es fiable pronto, uno-uno correspondiente rencia entre las palabras y los objetos de recuento siguiente más tarde, y el principio cardinal de la última de las tres (Fuson, 1988, capítulo 10). La palabra cardinal principio - el último número nombrado en un recuento es la numerosidad del conjunto contado - también se desprende del concepto de numer- sidad, ya que se establece una correlación ser- miembros tween de un conjunto cuya numerosidad que haces saber, los nombres de los números de hasta cinco años, por ejemplo, y miem- bros del conjunto de cosas que se van a contar, cuyo nú- generosidad no conoce. Se puede seguir en una práctica manera también. Recuerde que los niños pueden reconocer la numerosidades de objetos de hasta aproximadamente 3. Fuson (1988) sugiere que los niños pueden notar que cuando cuentan un conjunto "uno, dos, tres ', que reciben el mismo número que cuando subitise el conjunto. Este les ayuda a darse cuenta de que contar hasta N es una forma de que establece que un conjunto tiene N objetos en ella. Repitiendo el conde, y conseguir el mismo número obtenido desde subitising, reforzará la idea de que todos los nombre número representa un numerosidad único. Una vez más, esto es algo obvio para nosotros, pero no puede será obvio para el niño, sobre todo porque en la práctica el niño a veces contar el mismo conjunto y obtener resultados diferentes. Él contará (o miscount) 'uno dos tres dinosaurios, y podrá contar de nuevo, "uno dos cuatro dinosaurios ', y luego otra vez, "uno dos tres cuatro dinosaurios '. Puede preguntarse si diferentes nú- ber palabras pueden nombrar la misma numerosidad, la numerosidad del conjunto de los dinosaurios. Piaget (1952) fue uno de los primeros en ver que el pleno comprensión del concepto de numerosidad significaba poder abstraer de - ignore - perceptual irrelevante características del conjunto que se enumeran, de manera que usted lo hace No creo, por ejemplo, hay más cosas porque están más dispersos (o más de cerca embaladas en común). Él vio el desarrollo de la El pensamiento de los niños en general, como un alejamiento de la particular a lo general y abstracto. El conflicto entre las diferentes fuentes de evid- rencia sobre numerosidad se puede ver muy claramente en la forma en que los niños de entre 4 y 6 tratan de establecer si dos conjuntos tienen el mismo número. ¿Qué que parece suceder es que durante este período, llegado a relegar a las señales de percepción como la separación de objetos, y depender exclusivamente de una verdadera información numerosidad, como la correspondencia y contando. Dejan de ser engañado por el cambio el espaciado de objetos. En términos de Piaget, el número es 'Conservado' bajo transformaciones perceptuales. La niño progresa a la conservación, la señal de que el Número concepto puede entenderse, por etapas. En primer lugar, el niño se basa únicamente en las señales perceptivas; entonces el niño será capaz de usar la correspondencia uno-a-uno, pero todavía pueden confiar más en las señales de percepción, y finalmente, el niño dependerá enteramente de la correspondencia, y no será deje engañar por las señales perceptivas. Piaget creía que contar, y el aprendizaje nú- ber palabras para hacerlo, no era necesario construir la concepto de numerosidad, que pensó fue construido a partir de conceptos lógicos y razonamientos hasta pos- sesión del concepto fue evidenciado por conser- vación de número bajo transformaciones en alrededor 6 años.

Desarrollo de la aritmética

El conteo es la base de la aritmética para la mayoría de los niños. Dado que el resultado de sumar dos numerosidades es equivalente a contar la unión de dos conjuntos disjuntos con

esos numerosidades, los niños pueden aprender sobre añadiendo poniendo dos juegos juntos y contando el miembros de su sindicato.

De contar todos a contar con

Los niños hacen uso de sus habilidades para contar a principios del etapas del aprendizaje de la aritmética. Los nombres de los números, como 8 Brian Butterworth

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se señaló en la introducción, tener tanto una secuencia andanumerosity (orcardinal) meaning.AsFusonand Kwon (1992) señalan: "A fin de que el número de palabras ser utilizado para la suma y la resta, deben tomar en los significados cardinales "(p. 291). Los niños a menudo rep- resentir la numerosidad del sumando mediante conteo- objetos que puedan, especialmente los dedos, para ayudar a pensar sobre y resolver problemas aritméticos. Parece que hay tres etapas principales en el desarrollo de conteo como estrategia de adición:

1. Contando todos. Para 3 + 5, los niños contarán 'uno, dos, tres "y luego" uno, dos, tres, cuatro, cinco " countables para establecer la numerosidad de los conjuntos que se añade, de manera que dos conjuntos se pueden hacer visibles - por ejemplo, tres dedos de una mano y cinco dedos en el otro. El niño contará entonces todo los objetos.

2. Contando desde primero. Algunos niños llegan a darse cuenta de que no es necesario para contar el primero sumando. Se puede comenzar con tres, y luego contar con otros cinco para obtener la solución. Uso contar con los dedos, el niño ya no cuente el primer set, pero se inicia con la palabra "tres", y a continuación, utilizar una mano para contar con el segundo sumando: "Cuatro, cinco, seis, siete, ocho.

3. Contando desde mayor. Es más eficiente, y menos propenso a errores, cuando el menor de los dos sumandos se cuenta. El niño ahora selecciona la número mayor para comenzar con: 'Cinco', y luego auto- rios sobre "Seis, siete, ocho". (Butterworth, 1999; Carpenter & Moser, 1982) Las etapas no son estrictamente separados, en ese niño- s puede cambiar las estrategias de un problema a la siguiente. Hay un marcado cambio hacia la Fase 3 en los primeros seis mes de la escuela (alrededor de 5-6 años en los EE.UU., donde se llevó a cabo este estudio (Carpenter y Moser, 1982). Etapa 3 muestra una comprensión del hecho de que la toma de los sumandos en cualquier orden darán el mismo resultado. Esto puede seguir de una comprensión de los efectos de la unión de dos conjuntos, es decir, tomando la unión de dos conjuntos disjuntos. Incluso en las primeras fases del desarrollo de habilidades Además, los niños no tienen que contar el unión de los conjuntos. En un conjunto de experimentos, Starkey y Gelman (1982) mostró a los niños dos juegos uno a la vez así que no había oportunidad de contar todos los elementos. En estas circunstancias, más de tres años de edad podrían resolver 2 + 1, y algunos podrían resolver 4 + 2. Por 5 años, todos podrían resolver el primero y 81% de la segundo. Curiosamente, sólo el 56% resuelto 2 + 4, sugiriendo gesting que algunos de los niños no contaban con de más grande, pero aún estaban contando desde la primera.

De contar con los hechos aritméticos

El adulto capacitado normalmente no será necesario calcular o contar los problemas de un solo dígito, como 3 + 5, 3 · 5, 5) 3, o 6, 3 y simplemente recuperar la solución de la memoria. Una variedad de modelos de la organización mental de se ha propuesto hechos aritméticos. Uno influen- vista cial ha sido que los niños aprenden a asociar 3 + 5 con varias respuestas, pero la asociación con 8 va a terminar como el más fuerte (Siegler y Shrager, 1984). Otro punto de vista es que los hechos se almacenan típicamente asociaciones, específicamente verbales, aunque resta- ción y división requieren nuevos procesos de 'Elaboración semántica "que implica la manipulación de un representación magnitud analógica (Dehaene y Cohen, 1995). En ambos modelos, la recuperación dependerá en la historia de aprendizaje del individuo. Así, hechos que se aprenden más temprano o más practicado mostrará mayor accesibilidad. El único argumento más fuerte en contra de estos puntos de vista es que los tiempos de recuperación muestran un fuerte problema- efecto del tamaño de los problemas de un solo dígito: cuanto mayor sea elsuma o producto más largo es el problema lleva a resolver (Ashcraft et al., 1992). Este factor es mucho más potente que la frecuencia de ocurrencia (ver Butter- vale la pena, Girelli, Zorzi, y Jonckheere, 2001). Tenga en cuenta también que los niños que están usando un conteo estrategia para resolver problemas aritméticos no están utilizando recuperación de la memoria. Es probable que los recuerdos se establecen abajo durante la Etapa 3 de contar con de mayor tamaño. Este significaría que el niño iba a salir el resultado de grande Sumando + Smaller Sumando (en lugar de Primer sumando + segundo sumando) y guárdelo en que formulario. Alguna evidencia para esto viene de Butter- vale la pena et al. (2001), quienes demostraron que los adultos, que presumiblemente recuperar respuestas, son más rápidos para resolver Grandes sumando + problemas sumando más pequeñas que Sumando Smaller + problemas sumando más grandes. La frecuencia de los problemas en los libros de texto no era un buen predictor de tiempos de solución. Tanto ésta como la efecto un problema de tamaño sugiere que las operaciones de suma son organizada en términos de tamaño de número y no como vectores ortogonales verbales o de una red de asociación ciones moduladas por efectos de la práctica. Se obtuvieron resultados similares para los niños, 6-10 años de edad, haciendo la multiplicación. Agrandar · Menor era más rápido que Más pequeño · más grande, a pesar de que el (Italiano) sistema educativo enseña Smaller · Ampliar anterior. Por ejemplo, 2 · 6 está en la mesa (Italiano) 2 · que se imparte antes de 6 · 2, que está en la tabla 6 · (Butterworth, Marchesini, y Girelli, 2003). De hecho, Este estudio mostró que los niños comienzan privilegiando la forma en que se enseña el problema, y más tarde reorganizar su almacén de memoria a privilegiar el Agrandar · formato más pequeño. Una vez más, esto sugiere una espe- organización cíficamente numérica a los hechos aritméticos. No son sólo las asociaciones memorísticas.

La multiplicación, la división y fracciones

Los planes de estudio suelen introducir la multiplicación y división más tarde de la suma y la resta, y explicarlas en términos de suma repetida y repitió la sustracción y particiones de conjuntos, por lo tanto sobre la base de los conceptos de series y numerosidades. El desarrollo de las habilidades aritméticas 9

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De hecho, (1952) Tratamiento de Piaget sobre la multiplicación es en términos de la correspondencia de uno a muchos algunos años más tarde que la suma y la resta. Sin embargo, las ideas la división como reparto son en realidad muy temprano en desarrollo, en algunos aspectos, antes incluso de contar (ver Nunes y Bryant, 1996), y la idea de un medio como la partición de un conjunto se introduce en el Año 1 de la escuela en el Reino Unido (DfEE, 1999). Algunos de multiplicación sin duda problemas pueden ser resueltos mediante la adición o por duplicar contando el multiplicador y el multiplicando. Sin embargo, pensando en la multiplicación o división de dos números sólo en términos de conjuntos con uno-muchos correspondencias no hace justicia a los tipos de situación, el niño encuentra en la vida cotidiana, como así como en el aula. Los precios, como '50p cada 'es ni el conjunto de objetos que se compran, ni el mon- conjunto monetaria del costo. Más bien se trata de una relación en- tre los dos conjuntos, y sigue siendo el mismo (es conservada, si se quiere) si compró seis objetos o sesenta. Así que la multiplicación por el precio no se en- mentar el precio, pero sólo el costo. El precio es de un proporción, o una especie de división, que se conserva bajo algunos tipos de multiplicación. Por ejemplo, 2/4 es el misma proporción que 4/8 ó 100/200. Comprender esto es fundamental para la comprensión de toda una gama de matemáticas de la escuela primaria, incluyendo la multiplicación ción, división y fracciones. Estos tipos de números se refieren a menudo como «cantidades intensivas", para distinguirlos de los números cuyos significados son 'extensa', es decir, conjuntos (Schwartz, 1988). Interpretación de números se necesitan cantidades intensivas para los problemas cotidianos la participación de la temperatura y la concentración. Niños del 6 al 8 de creer que si se añaden dos tazas de agua, cada uno a 40 ° C, la mezcla resultante será más cálido que las originales, porque va a agregar tem- turas (Stavy y tirosh, 2000); y los niños de 10 a 11 les resulta difícil calcular cuál de las dos mezclas de jugo de naranja concentrado y agua degustarán más anaranjados: 3 tazas de concentrado a 2 tazas de agua, o 4 tazas de concentrado a 3 tazas de agua (Noelting, 1980a, 1980b). En ninguno de los tipos de casos que hace una idea de numerosidad preparar plenamente al niño a la razón en el de manera apropiada. Piaget (1952) señaló que los problemas involucrando proporciones sería difícil. División también introduce un nuevo tipo de número en términos de fracciones y decimales, es decir, racional números. Estos sólo se han encontrado previamente en el concepto de un medio, pero son importante en el contexto de las medidas de todos los días. Una vez más, los conceptos ocasionados por numerosidades (como cada número tiene un sucesor único) no funcionará en estos contextos. Nunes y Bryant (1996), en una revisión muy útil, comenzar su discusión del razonamiento de la multiplicación con la advertencia: este "es un tema muy complicado ya que adopta distintas formas y se ocupa de muchas situaciones, y eso significa que la empírica investigación sobre este tema se complica demasiado "(p. 143). Lo Parece claro que donde el niño puede pensar la multiplicación y la división como la manipulación en conjuntos, entonces es relativamente fácil de adquirir, pero cuando la tarea exige comprensión de números como intensiva cantidades, entonces es difícil.

Comprender los conceptos aritméticos

Los niños ingresan a la escuela con conceptos informales de número y la aritmética en base a sus experiencias de el recuento y cálculo; sin embargo, mucho educa- práctica nacional fue, y

sigue siendo, enfocada en la perforación hechos aritméticos básicos, como los bonos de números y tablas. La justificación teórica proviene de la obra de Thorndike (1922), formulador de la "ley de la efecto '- o lo que ahora llamaríamos refuerzo - que declaró que las asociaciones que llevan a 'satisfactoria estados de cosas 'se refuerzan, las que conducen a estados insatisfactorios debilitadas. La idea entonces fue construir redes de asociaciones reforzadas entre combinaciones de números como 5 + 3 y su resultado aritmético. A medida que la red, con-cuidado truido por el profesor, se construye en la mente del niño, por lo que las generalizaciones (conceptos y leyes) sería captado. Por supuesto, Thorndike insistió en que la perforación de los hechos tuvieron que ser divertido, lo que significaba, entre otras cosas, por ser capaz de ver su práctica ap- complicaciones. Más recientemente, la "distribución de la aso- modelo ciaciones '(Siegler, 1988; Siegler y Shrager, 1984) ha sido muy influyente. Aquí se supone que el niño puede asociar una combinación de números con tanto en el mal y la respuesta correcta. La clave para éxito aritmética es fortalecer la asociación con la respuesta correcta. El modelo predice que el rendimiento en las tareas informativas aritmética de un solo dígito será la frecuencia relativa de la asociación entre el problema (por ejemplo, 6 + 3, 6 · 3, 6) 3, 6, 3) y la solución correcta (9, 18, 3, 2) en comparación con la frecuencia de asociación entre los pro- LEM y soluciones incorrectas. A pesar de que se están adoptando el enfoque Thorndike por los educadores, una alternativa estaba siendo com- demandado por Brownell, quien abogó por "significativa aprendizaje "en lugar de perforación (Brownell, 1935). Al- aunque la investigación mostró que el ejercicio puede hacer que re- trieval de los hechos más rápido, la transferencia del aprendizaje a la nueva problemas era mucho mejor con el aprendizaje significativo ing. (Ver Resnick & Ford, 1981, capítulo 1, para un discusión.) El curso temporal del desarrollo de un un- comprensión de conceptos aritméticos y prin- pios, y aplicarlos de una manera significativa, es por lo tanto probable que sea fuertemente influenciado por la educación cional practica el niño sufre (Canobi, Reeve, Y Pattison, 1998).

Conmutatividad, asociatividad

El papel de la comprensión ha sido probado en com- pares apagados de las operaciones de suma (6 + 3, 3 + 6) y tablas de multiplicación (6 · 3, 3 · 6). 10 Brian Butterworth

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Si se entiende la conmutatividad, entonces es nece- necesario o incluso deseable almacenar, en la memoria a largo plazo, ambas formas del viaje? Hay pruebas de que la forma con m + n se accede más fácilmente que n + m (Butterworth et al., 2001). Esto no significa, sin embargo, implica la comprensión. Sólo puede significar que el niño ha aprendido que no importa que ordene aparecen los sumandos. Como se mencionó anteriormente, Butterworth et al. (2003) encontró que los niños de 6 a 10 años de edad aprender tablas de multiplicar reorganizar sus recuerdos privilegio M · n, con el n · M, incluso cuando N · m era aprendido anteriormente y, presumiblemente, se practica más. Una vez más, esto sugiere, aunque no prueba, que estos niños a entender la conmutatividad de multiplicación. Curiosamente, algunas culturas no enseñan la todo el conjunto de las tablas de multiplicar del 1 · 1-9 · 9 en forma de tabla. En China, sólo enseñan la mitad de el conjunto, a partir de 2 · 2 (el 1 · bienestar mesa considerado trivial) a 2 · 9; pero desde 2 · 3 tiene Ya ha aprendido, la tabla 3 · comienza con 3 · 3, y así sucesivamente. De esta manera, sólo 36 tienen que ser hechos adquirida, y la equivalencia de

los pares conmutadas tiene que aprender (Yin Wengang, comunión personal medicación). La investigación muestra que los adultos chinos son más exacto y más rápido a la solución de la multiplicación problemas que sus pares occidentales (Campbell & Xue, 2001; Lefevre y Liu, 1997). Aunque esto ha sido atribuido a más de perforación (Campbell y Xue, 2001; Penner-Wilger, Leth-Steensen, y LeFevre, 2002), que puede reflejar exactamente lo contrario - un menor número de hechos que memorizar y comprender mejor.

Complementariedad

Piaget (1952) ha argumentado, con bastante razón, que una niño no entiende realmente la adición o sub- tracción sin entender la relación ser- tre ellos. Es decir, si 5 + 3 es igual a 8, a continuación, 8 - 5 debe ser igual a 3, y 8 -. 3 debe ser igual a 5 Esta es la Principio de Complementariedad. Todo esto debe seguir de una comprensión de los conjuntos y numerosidades: si conjunto B se añade al conjunto A, y luego se retira, la numerosidad resultante seguirá siendo A. ¿Entienden los niños el Principio de Comple- complementariedad, y si es así ¿a qué edad o etapa hace La comprensión de empezar? Ahora, por supuesto, es perfectamente posible llegar a la respuesta correcta sin comprender el principio de complementariedad. A la inversa, es posible entender el prin- cipio, pero a veces conseguir la respuesta equivocada. Este significa que la capacidad o incapacidad para resolver estos problemas no es una guía segura para la comprensión. Por el contrario, los investigadores se han preguntado si "inversión" problemas que se pueden resolver por el principio son resuelto mejor que los problemas de control que no se puede. Starkey y Gelman (1982) no encontraron convincentes pruebas de comprensión en los niños de 3 a 5 años de edad, mientras que otros investigadores han encontrado pruebas de comprensión en los niños mayores (Stern, 1992). Un estudio sistemático de este tema fue recientemente reportado por Bryant, Christie, y de Rendu (1999). Miraron a 5-7 años de edad, y con mucho cuidado con- controlado para los tipos de estrategias de solución que podrían ser utilizado. Por ejemplo, en una tarea utilizando un conjunto de objetos, si Se añaden tres nuevos objetos, y luego exactamente el misma se toman lejos, entonces la respuesta correcta puede lograrse sobre la base de una "revocación" general pro- procedimiento que podría aplicarse a situaciones que no son numéricos tales como salpicaduras de pintura en una pared y lavarlo. Bryant et al. controlado para este mediante la comparación de la adición y la eliminación de los mismos objetos con la adición de y retirar el mismo número de diferentes objetos. Ellos también visitaron los problemas equivalentes con números. Los niños tuvieron mucho más éxito con inversión problemas, tales como 12 + 9) 9, que los problemas de control emparejados por suma, tales como 10 + 10) 8. Lo que es más, que podrían utilizar el Principio de más compleja proble- blemas que requerían descomposición del sustraendo. Por lo tanto, parecían hacer uso del principio en problemas tales como 7 + 4) 5 por descomposición en 5 4 + 1. De hecho, muchos de los niños reveló por análisis de rendimiento que deberá utilizar el principio fueron capaces de expresar con palabras, pero de ninguna manera todos. Aunque los niños que utilizan el principio de resolver los problemas de inversión lo hizo mejor en general que aquellos que calcula las soluciones, no en todos los niños que también utilizan el principio. Factor análisis y correlaciones revelaron dos separados factores: un factor de cálculo y la comprensión factor de. Se plantean problemas similares en relación con los com- complementariedad de la multiplicación y la división. Si 9 · 3 ¼ 27 se conoce, entonces de 27 años, 9 ¼ 3 y 27, 3 ¼ 9 deben seguir tanto sin

necesidad de cálculo. La Tabla 1 resume los principales hitos en la el normal desarrollo de la aritmética.

Las diferencias de sexo en la aritmética?

En el logro académico, los niños tienen en el pasado las niñas han superado en la edad de 18 años. Este ha sido un preocupación oficial desde el Cockcroft comisión de investigación en la Enseñanza de la Matemática presentó su informepara el gobierno británico. Pero eso fue en 1982. Antes de eso, pocos parecían importarle, y muchos pensaron que casi impropio para las niñas a ser bueno en matemáticas. En una relativamente ilustrada Manual para Maestros, emitidosen 1937, el gobierno británico aconsejó: En la capacidad mental y los intereses intelectuales [Muchachos y las chicas] tienen mucho en común, el rango de diferencia en uno u otro sexo que es mayor que la diferencia entre los sexos. Pero en la adolescencia temprana los pensamientos de los niños y niñas recurren con tanta fuerza hacia su futuro roles de hombres y mujeres que sería totalmente inadecuado basar su educación únicamente en su similitud intelectual. (Ver fórmula de Cockcroft (1982), Apéndice B) El desarrollo de las habilidades aritméticas 11

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Sin embargo, en el momento de la escritura (2004) las niñas en Inglaterra superan fácilmente los niños en todas las materias en absoluto edades. Hay una excepción a esta regla general: matemáticas. Las niñas son apenas superando a los chicos. (DfES, 2004) Geary (1996) examinó una amplia gama de industrial- ralizan países que muestran que los niños, en promedio, todavía niñas superan en resolución de problemas matemáticos. Entre los adolescentes de Estados Unidos, hay más niños que niñas en la parte alta de la SAT-M (Scholastic Apti- Prueba tud - matemáticas), un requisito para la univer- admisión sidad. La diferencia entre los niños y las niñas se hace más grande cuanto más alto de la gama. Sin embargo, incluso en los EE.UU. a los 17 años el promedio diferencia entre niños y niñas es tan sólo del 1%. La la mayoría de las

comparaciones internacionales recientes que utilizan la mismas pruebas en todos los países, la Tercera Internacional Matemáticas y Ciencias Encuesta (TIMSS, claves, Harris, y Fernandes, 1996) refuerza theoverall imagen thatin la mayoría de los países, incluyendo los EE.UU., no hay stat- diferencia istical entre niños y niñas (ver Tabla 2). Sin embargo, todavía hay algunos países en los que chicos superan a las chicas de forma fiable, más dramáticamente en Inglaterra. Lo que sí está claro a partir de los datos del TIMSS es que las diferencias entre países, entre prácticas educativas, tiene un efecto mucho mayor en rendimiento que la diferencia entre sexos.

Discalculia del desarrollo

Trastornos del desarrollo aritmética ', de desarrollo discalculia '(en adelante DD), puede resultar útil en entender el curso del desarrollo normal y hacer frente a nuestra pregunta original: es la discalculia la consecuencia de propósito general CAPA-cognitiva ciudades o es debido a un anormalidades del en un capacidad innata para numerosidades? DD ha sido definido por el Departamento para el Educación y Habilidades como: Una condición que afecta a la capacidad de adquirir habilidades aritméticas. Alumnos Dyscalculic pueden tener dificultad para comprender conceptos numéricos simples, carecen de una comprensión intuitiva de los números, y tienen pro- blemas aprendizaje de hechos y procedimientos numéricos. Aunque producen una respuesta correcta o usan una correcta método, pueden hacerlo mecánicamente y sin confianza. (DfES, 2001) Esta definición hace hincapié en la 'intuitiva comprensión de los números ", que es esencialmente captar el idea de numerosidades. Los otros problemas que enfrentan los alumnos dyscalculic derivan de la falta de un intuir- ive comprensión de número.

La prevalencia de los trastornos de aprendizaje aritmética

Trastornos específicos de la aritmética son ni mucho reconocido ni bien entendido. Los niños pueden ser malos en matemáticas de muchas maneras diferentes. Algunos pueden tener especial dificultad con hechos aritméticos, otros con los procedimientos y estrategias (Temple, 1991), mientras que más parecen tener dificultades en todo el conjunto espectro de tareas numéricas (Landerl, Bevan, y Butterworth, 2004). Las definiciones tradicionales (por ejemplo, DSM-IV) afirman que el niño debe sustancialmente bajos resultados en una prueba estandarizada en relación con el nivel esperado dada la edad, la educación y la inteligencia, y debe experimentar interrupción de académico logro o la vida diaria. Estandarizada alcanza- Ment pruebas, sin embargo, por lo general a prueba una serie de habilidades, que puede incluir las habilidades espaciales y verbales, ser- tanto el colapso total en una puntuación global de 'Matemáticas logro'. Además, las pruebas estandarizadas son diversas, así que lo que se entiende por "matemáticas logro.

Puede variar sustancialmente entre las pruebas. Por esta razón por la que ha sido difícil para los investigadores identificar los déficits clave en la discalculia, o para estar seguro de cómo definir dyscalculics para su estudio. Una serie de términos para en referencia a la discapacidad matemáticas de desarrollo tiene surgido, incluyendo 'discalculia del desarrollo "o DD (Shalev y Gross-Tsur, 1993; Temple, 1991); "Discapacidad matemática" o MD (Geary, 1993); 'Aritmética discapacidad de aprendizaje': AD, ARITHD o ALD (Geary y Tesoro, 2001; Koontz y Berch, 1996; Siegel Y Ryan, 1989); "Desorden número hecho 'o NF (Temple Y Sherwood, 2002); y las "dificultades psicológicas en matemática "(Allardice y Ginsburg, 1983). Como Geary (1993) y Geary y Tesoro (2001) Observación, estas diferentes clasificaciones parecen en la mayoría de los casos a describir la misma condición. Se utilizará 'discalculia del desarrollo "El término en esta anotación, pero está destinado a referirse a todos estos grupos. La Tabla 3 muestra tres poblaciones estimaciones de prevalencia. Existen diferencias notables entre estos estim- ates, presumiblemente debido a diferencias en los criterios. También hay una co-morbilidad llamativa con déficits en alfabetización, a pesar de las diferencias entre los estudios en ambos criterios y la ortografía. Sin embargo, más de la mitad de todos los niños dyscalculic reportados en estos estudios no tienen déficit de alfabetización. Esto da lugar a dos cuestiones importantes: (1) ¿por qué es la incidencia de dificultades de alfabetización entre dyscalculics y de las matemáticas dificultades entre los disléxicos tan alto en relación con ni- niños normales? (2) ¿por qué la mayoría de ambos grupos libre de un doble déficit?

Características de la discalculia

En general se acepta que los niños con discalculia tener dificultad para aprender y recordar arith- hechos cosméticas (Geary, 1993; Geary y Tesoro, de 2001; Ginsburg, 1997; Jordan & Montani, 1997; Kirby y Becker, 1988; Russell y Ginsburg, 1984; Shalev y Gross-Tsur, 2001), y en la ejecución de cálculo procedimientos. Temple (1991) ha demostrado utilizando estudios de caso que estas habilidades son disociables en discalculia del desarrollo, aunque esto no hace parece ser cierto para la mayoría de los dyscalculic ni- niños que tienen problemas con los dos (Russell y Ginebras- Burg, 1984). Muchos investigadores sugieren que la discalculia es sec- secundaria a cognitiva básica más general o más habilidades como la memoria semántica (Geary et al., 2000, 2001). Sin embargo, estudios neuropsicológicos de adultos con daño

neurológico indican fuertemente que el conocimiento número es disociable de semántica memoria (Cappelletti, Butterworth, y Kopelman (2001), y que los sistemas de memoria semánticos para información numérica y no numérica son localizados en diferentes áreas del cerebro (Thioux, Seron, y Pesenti, 1999). Dificultades de la memoria de trabajo también han sido implicados. Geary (1993) sugiere que los pobres de trabajo recursos de memoria no sólo conducen a dificultades en el exe- cuting procedimientos de cálculo, pero también puede afectar el aprendizaje de hechos aritméticos. Koontz y Berch (1996) niños evaluados con y sin el uso de la discalculia ambos dígitos y el rango carta (este último es una medida que la capacidad de memoria de trabajo fonológica es No confundir con el procesamiento numérico). Este estudio encontró que los niños realizan dyscalculic debajo de la media en ambas tareas abarcan, aunque no era IQ controlada. McLean y Hitch (1999) no encontraron dife- rencia en una prueba de la tarea no numérica phonolo- gica laboral memoria (No palabras repetición), lo que sugiere que los niños dyscalculic no tienen re- fonológico producido capacidad de memoria de trabajo en en general, a pesar de que puede tener una dificultad específica con la memoria de trabajo para obtener información numérica. Templo y Sherwood (2002) no encontraron diferencias entre los grupos en cualquiera de la memoria de trabajo medidas (hacia adelante y hacia atrás la secuencia de dígitos, la palabra lapso y los bloques de Corsi) y correlación sean- tre las medidas y las medidas de memoria de trabajo capacidad de la aritmética. Por lo tanto, aunque las diversas formas de dificultad memoria de trabajo puede así co-ocurrir con dificultades matemáticas, no hay evidencia convincente que implican a toda forma de memoria de trabajo como causal función en la discalculia. Si bien existe una alta comorbilidad entre aritmética y alfabetización discapacidades (véase el cuadro 2), es claro por qué esto debería ser. Rourke (1993) tiene sugerido que las personas que sufren una doble déficit se tener un problema hemisferio izquierdo, mientras que el puro dyscalculics tendrán un hemisferio derecho anor- formalidad que afecta las habilidades espaciales. Sin embargo, Shalev, Manor, y Gross-Tsur (1997) no encontraron cualitativa diferencia entre los niños con la lectura y la matemáticas discapacidad y los niños con discapacidad de matemáticas solamente. No hay diferencias cuantitativas a las matemáticas tareas se encontraron entre los niños y dyscalculic aquellos con tanto la dislexia y discalculia cuando el grupos fueron emparejados por el CI (Landerl et al., 2004). Otras condiciones que se han asociado con DD es el TDAH (Badian, 1983; Rosenberg, 1989; Shalev et al., 2001), la mala coordinación ojo-mano (Siegel y Ryan, 1989); y la mala memoria para los no- material verbal (Fletcher, 1985). Shalev y Gross- Tsur (1993) examinó a un grupo de siete niños con discalculia del desarrollo que no estaban respondiendo a la intervención. Los siete fueron sufriendo de adi- condiciones neurológicas internacionales, que van desde petit Las ausencias a través de la dislexia para números, aten- trastorno por déficit ción y de desarrollo de Gerstmann síndrome. En resumen, mientras que es claramente el caso de que DD es frecuentemente comórbida con otras discapacidades, causal relaciones entre los trastornos no han sido probada. Además, la utilidad de subtipificación dyscal- culics de acuerdo con neuropsicológica o cognitiva correlatos no estará claro hasta que se ha demostrado que los diferentes subtipos muestran cualitativamente diferentes patrones de déficit numérico. DD parece ser un problema específico con bajo- de pie conceptos numéricos básicos, especialmente la concepto de numerosidad. Esto podría afectar incluso muy tareas simples como contar o comparar magnitudes numéricas, como se sugirió en nuestra en cuenta el desarrollo normal. Geary, Hamson, y Tesoro (2000) encontró un grupo pequeño pero sistemática diferencias entre los niños primero dyscalculic grado y los

controles en la magnitud de comparación, mientras Koontz y Berch (1996) encontró que los niños dyscalculic parecía estar contando hasta tres en lugar de Subit- ising en una tarea de puntos de coincidencia. Ambos de estos estudios sugieren que esta capacidad muy fundamental podría ser ligado a la comprensión del niño de numerosidad. Ciertamente, se ha argumentado que se basa el adquisición de habilidades para contar (Fuson, 1988). Un estudio reciente mostró un tiempo de reacción fiable diferencias entre los niños y las matemáticas dyscalculic niños normales (incluyendo un grupo con dislexia) sobre pruebas de recuento y de número magnitud com- parisón (Landerl et al., 2004). A discalculia específica screener se basa en medidas de tiempo de reacción de estimar el número de puntos y la magnitud com- parisón (Butterworth, 2003.

¿Existe un sistema neuroanatómico específico?

La neuroimagen funcional revela que el parietal lóbulos, especialmente los surcos intraparietal, son activas en procesamiento y cálculo numérico (Dehaene, Piazza, Pinel, y Cohen, 2003), y los estudios sobre el cerebro- pacientes lesioned (Cipolotti & van Harskamp, 2001) han identificado la intraparietal Sulcus izquierda (IPS) y el giro angular como crítico para aritmética normales rendimiento. Capacidades numéricas simples, tales como la capacidad para estimar la numerosidad de pequeños conjuntos, parece estar especializado en el IPS derecha (Piazza, Mechelli, Butterworth, & Price, 2002). Hasta la fecha, no se sabe si la intraparietal sustentan los surcos capacidades infantiles, y por lo tanto su papel en el desarrollo posterior está lejos de ser clara. ¿Cómo- Alguna vez, un estudio morfométrico basado en vóxel reciente del cerebro de los adolescentes con pobres regalos aritméticas evidencia intrigante. Isaacs, Edmonds, Lucas, y Gadian (2001) estudiaron dos grupos de adolescentes con muy bajo peso al nacer. A un grupo se Cognit- vamente normal, mientras que el segundo tenía un déficit sólo en la operaciones subprueba numérico de la wond (Wechsler, 1996). Cuando los cerebros de estos dos grupos se compararon, aquellos con aritmética deterioro tenía menos materia gris en las IPS izquierda. De Por supuesto, no podemos decir si menos materia gris en la IPS que quedaba era una de las causas de la mala aritmética, o su consecuencia.

¿Existe una base genética específica?

KOSC (1974), en uno de los primeros estudios sistemáticos de desarrollo discalculia (DD), propuso un papel de la herencia. Un estudio reciente mostró que el doble de DD probandos, 58% de los gemelos monocigóticos y 39% de co-gemelos dicigóticos también eran DD y que el con- tasas Cordance fueron 0,73 y 0,56, respectivamente (Alar- Con, Defries, Gillis Luz, y Pennington, 1997). En una estudio de la familia, Shalev et al. (2001) encontraron que aproximadamente la mitad de todos los hermanos de niños con DD También se dyscalculic, con 5-10 veces mayor riesgo que para la población general. Los niños con síndrome de Williams, que han rel- tivamente escatimado habilidades lingüísticas a pesar severamente habilidades cognitivas deterioradas, muestran anormalidades en tareas numerosidad simples, tales como número de compa- Ison, y son también mucho peor en simples numérica tareas como la seriación, contar, y de un solo dígito aritmética de la edad cronológica y la edad mental, controles de la misma, y los niños con de Down Syn- drome (Paterson, Girelli, Butterworth, y Karmiloff- Smith, presentado). Aparecen algunas anormalidades del cromosoma

X para afectar las capacidades numéricas con mayor severidad que otras habilidades cognitivas. Esto es particularmente claro en Síndrome de Turner, donde los sujetos pueden estar a un ni- mal o nivel superior en las pruebas de coeficiente intelectual, lenguaje y lectura, pero severamente deshabilitado en aritmética (Butter- vale la pena et al, 1999.; Rovet, Szekely, y Hockenberry, 1994; Templo y Carney, 1993; Templo y Marriott, 1998).

Conclusiones

La Tabla 1 resume los principales hitos en la el desarrollo de la aritmética por la edad. No hay edad normas para los hitos descritos aquí, y la edades son aquellas en las que la mayoría de los niños evaluados demostrar estas capacidades con la reli-razonable capacidad. Tenga en cuenta que los estudios descritos son no se centra en las edades, pero en etapas; diferentes niños puede alcanzar los hitos en edades muy diferentes. Los hitos se piensan para ser independiente de la cultura, pero los datos provienen de estudios de los niños criados en Contextos europeos y estadounidenses. Hay pruebas de que la estructura del sistema de numeración palabra puede acelerar o retardar la adquisición de conceptos aritméticos, por lo los niños criados en idiomas con una muy regular sistema, como el chino, adquirir alguna aritmética conceptos anteriormente (Butterworth, 1999; Nunes y Bryant, 1996). En términos generales, entonces, el desarrollo de la aritmética puede ser visto en términos de una cada vez más sofisticada comprensión de la numerosidad y sus implicaciones, y en el aumento de habilidades en la manipulación de numer- osities. El deterioro en la capacidad de aprender aritmética - discalculia - se puede interpretar de muchas casos como un déficit en el concepto en el concepto de que el niño de numerosidad. Vale la pena señalar, sin embargo, que hay varias lagunas importantes en nuestro conocimiento. La rela- ción entre las primeras capacidades que se muestran en la competencias numéricas posteriores infantil y todavía necesita que se describirá en detalle, especialmente en lo que respecta a la emergencia del hemisferio izquierdo del cerebro especializada sistema. Está aún no determinó también si existe un período crítico o sensible de adquirir aritmética conceptos, y cómo podría interactuar con la educación nal de entrada.