Profa. Maribel I. Mojica C.

REPUBLICA DE PANAMA

MINISTERIO DE EDUCACION

INSTITUTO PROFESIONAL Y TECNICO EL SILENCIO

MODULO 9° A

ASIGNATURA

MATEMATICA

PROFESORA

MARIBEL MOJICA

CORREO

m.espinoza965@gmail.com

WHATSAPP

67492774

TURNO

MATUTINO

2020

Profa. Maribel I. Mojica C.

INTRODUCCION

El presente módulo se ha confeccionado con el objetivo de formar estudiantes capaces de analizar y resolver problemas que contemplan una de las áreas de Algebra.

El mismo se ha basado al contenido de los programas de estudios de noveno grado de matemáticas del currículo priorizado de los colegios oficiales y particulares del país, que recomienda el Ministerio de Educación. En él los estudiantes tendrán una herramienta de consulta teórica práctica que les facilite una mejor comprensión de los temas que se dictan en los cursos de este nivel.

El módulo contiene el tema de casos de factorización, objetivos y ejemplos desarrollados; además incluyen las actividades prácticas que los estudiantes pueden desarrollar en equipos y de manera individual.

Los ejercicios evaluativos serán calificados por tu docente de matemática. Si las instrucciones en cada uno necesitan ampliarse podrás consultarle a la profesora para evitar desaciertos y dudas innecesarias.

Además, como las matemáticas requieren de una práctica constante, se hace necesario que el discente investigue, lea, practique, analice y conozca las aplicaciones de estos temas; lo que le ayudara a obtener una sólida formación para enfrentar otros niveles de estudios. Finalmente, debo agregar que se hace necesaria la consulta de otras bibliografías para complementar los contenidos en este módulo.

RECOMENDACIONES PARA EL BUEN USO DE ESTE MODULO.

Para resolver algunos problemas es necesario que te apoyes con una calculadora científica.

Comprueba que tus resultados estén correctos cotejándolos con los que se te presentan en algunos problemas.

Si no llegaste a la solución correcta de algún problema, trata de encontrar tus errores e intenta resolverlo otra vez.

Procura resolver todas las preguntas y en todo caso te asesores con Tu profesora.

Profa. Maribel I. Mojica C.

Objetivos de aprendizaje

Emplea la factorización como proceso que le

permite descomponer en factores una expresión

algebraica para resolver ejercicios y situaciones

del entorno.

Aprende a resolver los casos de factorización

Concepto

La factorización de una expresión algebraica consiste en hallar dos o más factores cuyo producto da como resultado la expresión inicial; es decir es la operación inversa a los productos notables. La factorización es la estrategia más empleada en el trabajo matemático para convertir una expresión algebraica de manera conveniente, con el fin de resolver algún algoritmo.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los términos que multiplicados entre sí dan

como producto la primera expresión. La factorización busca simplificar el trabajo.

Para poder factorizar una expresión algebraica es

necesario que siempre exista al menos un factor en

común dentro de sus términos, ya sean números y/o

letras.

Factor común de una expresión algebraica es el máximo común divisor (m.c.d.) de los términos que la componen.

Los casos de factorización que usaremos en este documento se muestran a continuación:

1. Factor común a. Monomio b. Polinomio

2. Factor común por agrupación 3. Trinomio cuadrado perfecto

4. Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

5. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 6. Diferencia de cuadrados perfectos 7. Suma o diferencia de cubos perfectos

LECCION # 1

FACTORIZACION

Profa. Maribel I. Mojica C.

Caso 1. Factor común monomio

Es el factor que está en cada término del polinomio. En el caso de los coeficientes numéricos, el factor común es el mayor divisor posible entre ellos y el factor literal está conformado por las letras presentes en todos los términos con el menor exponente.

Ejemplos:

Descomponer en factores 𝑎2 + 2𝑎.

𝑎2 y 2a contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del

paréntesis escribimos cocientes de dividir 𝑎2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2, y tendremos:

𝒂𝟐 + 𝟐𝒂 = a (a + 2)

Descomponer 10 𝑎2 − 5𝑎 + 15 𝑎3

El factor común es 5a. Tendremos: 𝟏𝟎 𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 +𝟏𝟓 𝒂𝟑 = 𝟓𝒂(𝟐𝒂 − 𝟏 + 𝟑𝒂𝟐).

Descomponer 8𝑚2 − 12𝑚𝑛.

Identificamos el factor común de 8𝑚2 y 12𝑚𝑛 el cual es 4m( esto es buscando un número que los

divida a ambos), entonces dividimos los términos de la expresión por 4m así:

8𝑚2

4𝑚= 2𝑚 y

12𝑚𝑛

4𝑚= 3𝑛

Escribimos la factorización:

𝟖𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎𝒏 = 𝟒𝒎(𝟐𝒎 − 𝟑𝒏)

Práctica #1

Factorar o descomponer en dos factores

1. 𝟑𝒂𝟑 − 𝒂𝟐.

2. 𝟓𝒎𝟐 + 𝟏𝟓𝒎𝟑.

3. 𝟐𝒂𝒙𝟐 + 𝟔𝒂𝒙𝟐

4. 𝟗𝒂𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒂𝒙𝟑.

5. 𝟑𝟓𝒎𝟐𝒏𝟑 + 𝟕𝟎𝒎𝟑

6. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐

7. 𝟏𝟓𝒚𝟑 + 𝟐𝟎𝒚𝟐 − 𝟓𝒚.

Profa. Maribel I. Mojica C.

8. 𝟗𝟔 − 𝟒𝟖𝒎𝒏𝟐 + 𝟏𝟒𝟒𝒏𝟑.

9. 𝟗𝒂𝟐 − 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟐 − 𝟐𝟒𝒂𝒃𝟐.

10. 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟒 − 𝟒𝒂𝟓 + 𝟔𝒂𝟔.

Factor común polinomio

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión. (es el polinomio que se repite).

Ejemplos:

Descomponer 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑚(𝑎 + 𝑏).

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (𝑎 + 𝑏), es el polinomio que se repite.

Escribo (𝑎 + 𝑏) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común

(𝑎 + 𝑏),o sea: 𝑥(𝑎+𝑏)

(𝑎+𝑏)= 𝑥 y

𝑚(𝑎+𝑏)

(𝑎+𝑏)= 𝑚 y tendremos:

𝒙(𝒂 + 𝒃) + 𝒎(𝒂 + 𝒃) = (𝒂 + 𝒃)(𝒙 + 𝒎).

Descomponer (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)

Dividiendo entre el factor común (𝑥 − 1) tenemos:

(𝑥+2)(𝑥−1)

(𝑥−1)= (𝑥 + 2) y

−(𝑥−1)(𝑥−3)

(𝑥−1)= −(𝑥 − 3)

Por tanto:

(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏) − (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)

= (𝒙 − 𝟏)[(𝒙 + 𝟐) − (𝒙 − 𝟑)]

=(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐 − 𝒙 + 𝟑)

= (𝒙 − 𝟏)(𝟓)

= 𝟓(𝒙 − 𝟏).

Descomponer 𝑚(𝑥 + 2) + 𝑥 + 2.

Esta expresión podemos escribirla así:

𝑚(𝑥 + 2) + (𝑥 + 2) = 𝑚(𝑥 + 2) + 1(𝑥 + 2).

Factor común (𝑥 + 2). Tendremos:

𝒎(𝒙 + 𝟐) + 𝟏(𝒙 + 𝟐) = (𝒙 + 𝟐)(𝒎 + 𝟏).

Profa. Maribel I. Mojica C.

Práctica #2

Factorar o descomponer en dos factores.

1. 𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝒚(𝒙 − 𝟏)

2. 𝒙(𝒂 + 𝟏) − 𝒂 − 𝟏

3. 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) − 𝟐𝒚(𝒙 − 𝟐)

4. (𝒂 + 𝟑)(𝒂 + 𝟏) − 𝟒(𝒂 + 𝟏)

5. (𝒙𝟐 + 𝟐)(𝒎 − 𝒏) + 𝟐(𝒎 − 𝒏).

6. (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟒) + (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒).

7. (𝒂 + 𝒃 − 𝒄)(𝒙 − 𝟑) − (𝒃 − 𝒄 − 𝒂)(𝒙 − 𝟑).

8. 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟏) − 𝟐𝒚(𝒙 − 𝟏) + 𝒛(𝒙 − 𝟏).

9. (𝟏 + 𝟑𝒂)(𝒙 + 𝟏) − 𝟐𝒂(𝒙 + 𝟏) + 𝟑(𝒙 + 𝟏).

10. (𝟑𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝒚 − 𝒛) − (𝟑𝒙 + 𝟐) − (𝒙 + 𝒚 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟐).

Caso 2. Factor común por agrupación de términos.

En este caso, se trata de agrupar los términos de

manera que, en cada grupo podamos obtener un factor

común monomio y, a la vez, un factor común polinomio.

Ejemplos:

Descomponer 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦

Los dos primeros términos tienen el factor (común x y los dos

últimos el factor común y. agrupamos los dos primeros términos

en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis precedido

del signo + porque el tercer término tiene el signo + y

tendremos:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)

= 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)

= 𝑎 + 𝑏)(𝑥 + 𝑦).

Factorizar 3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛.

Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los dos

últimos el factor común 4. Agrupando tenemos:

3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛

= (3𝑚2 − 6𝑚𝑛) + (4𝑚 − 8𝑛)

= 3𝑚(𝑚 − 2𝑛) + 4(𝑚 − 2𝑛)

= (𝑚 − 2)(3𝑚 + 4)

Profa. Maribel I. Mojica C.

Práctica # 3

Factorizar o descomponer en dos factores

1. 𝑎𝑥 − 2𝑏𝑥 − 2𝑎𝑦 + 4𝑏

2. 𝑥2 − 𝑎2 + 𝑥 − 𝑎2𝑥

3. 3𝑎𝑏𝑥2 − 2𝑦2 − 2𝑥2 + 3𝑎𝑏𝑦2

4. 6𝑎𝑥 + 3𝑎 + 1 + 2𝑥

5. 6𝑚 − 9𝑛 + 21𝑛𝑥 − 14𝑚𝑥

6. 4𝑎𝑚3 − 12𝑎𝑚𝑛 − 𝑚2 + 3𝑛

7. 3 − 𝑥2 + 2𝑎𝑏𝑥2 − 6𝑎𝑏

8. 3𝑎2 − 7𝑏2𝑥 + 3𝑎𝑥 − 7𝑎𝑏2

Caso 3. Trinomio cuadrado perfecto.

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de

otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores

iguales.

Así, 4𝑎2 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 2𝑎.

Ejemplos:

Factorizar 9𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 16𝑦2

1) Hallamos la raíz del primer término 3x y el tercer término 4y.

2) Verificamos si 2 (3x) (4y) es igual al segundo término:

2 (3x) (4y) = 24xy

3) Como el paso 2 es verdadero, entonces la factorización

es: 9𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 16𝑦2 = (3𝑥 + 4𝑦)2

Factorizar 121 − 198𝑎6 + 81𝑎12

1) Hallamos la raíz del primer término 11 y el tercer término

9𝑎6.

2) Verificamos si 2 (11) (9𝑎12) es igual al segundo término:

2 (11) (9𝑎6) =198𝑎6

3) Como el paso 2 es verdadero, entonces la factorización

es: 121 − 198𝑎6 + 81𝑎12 = (11 − 9𝑎6)2

Profa. Maribel I. Mojica C.

Práctica #4

Factorizar o descomponer en dos factores.

1. 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

2. 𝑎2 − 10𝑎 + 25

3. 36 + 12𝑚2 + 𝑚4

4. 4𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 9𝑦2

5. 1 + 14𝑥2𝑦 + 49𝑥4𝑦2

6. 121 + 198𝑥6 + 81𝑥12

7. 400𝑥10 + 40𝑥5 + 1

8. 16𝑥6 − 2𝑥3𝑦2 + 𝑦4

16

Caso 4. Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Trinomios de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 son trinomios como:

𝑥2 + 5𝑥 + 6

𝑎2 − 2𝑎 − 15

𝑚2 + 5𝑚 − 14

Que cumplen las condiciones siguientes:

Profa. Maribel I. Mojica C.

1) El coeficiente del primer término es 1.

2) El primer término es una letra cualquiera

elevada al cuadrado.

3) El segundo término tiene la misma letra que el

primero con exponente 1 y su coeficiente es una

cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4) El tercer término es independiente de la letra

que aparece en el 1° y 2° termino y es una

cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Regla para factorar un trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

1 — Abrimos paréntesis (x )(x ) y copiamos la raíz de 𝑥2 la

cual es x.

2 — Se escribe el signo del segundo término del trinomio

en el primer paréntesis.

3 — Se escribe la combinación del signo del segundo

término por el signo del tercero. Más por menos, más por

mas, menos por menos, etc.

4 — Si ambos factores tienen signos iguales. Buscamos

dos números que multiplicados den como resultado el

tercer término. Y sumados el segundo término. En cambio,

si ambos factores tienen signos diferentes, buscamos dos

números que multiplicados den como resultado el tercer

término y restados el segundo término del trinomio.

Profa. Maribel I. Mojica C.

Ejemplos:

Factorar

Solución:

Encontramos la raíz del primer término:

Buscamos los dos números que sumados nos den el valor

del segundo término del trinomio (4) y multiplicados nos

den el valor del tercer término del trinomio (3)

entonces: y

Armamos la factorización:

Factorar

Solución:

Encontramos la raíz del primer término:

Buscamos los dos números que sumados nos den el valor

del segundo término del trinomio (11) y multiplicados nos

den el valor del tercer término del trinomio (30)

entonces: y

Armamos la factorización:

Factorar

Solución:

Encontramos la raíz del primer término:

Buscamos los dos números que sumados nos den el valor

del segundo término del trinomio (-11) y multiplicados nos

den el valor del tercer término del trinomio (+30)

entonces: y

Armamos la factorización:

Factorar

Solución:

Encontramos la raíz del primer término:

Como el último término es negativo buscamos los dos

números que restados nos den el valor del segundo

Profa. Maribel I. Mojica C.

término del trinomio (-20) y multiplicados nos den el valor

del tercer término del trinomio (-30)

entonces: y

Armamos la factorización:

Práctica #5

Factorizar

1. 𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒

2. 𝒙𝟖 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝟎

3. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 − 𝟏𝟓𝒂𝟐

4. 𝒂𝟐 − 𝟒𝒂𝒃 − 𝟐𝟏𝒃𝟐

5. 𝒎𝟐 + 𝒎𝒏 − 𝟓𝟔

6. 𝒙𝟒 + 𝟕𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝟎𝒂𝟐

7. 𝒙𝟖 + 𝒙𝟒 − 𝟐𝟒𝟎

8. 𝟏𝟓 + 𝟐𝒚 − 𝒚𝟐

Caso 5. Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Son trinomios de esta forma: 2𝑥2 + 11𝑥 + 5

3𝑎2 + 7𝑎 − 6

10𝑛2 − 𝑛 − 2

Que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso

anterior en que el primer término tiene un coeficiente

distinto de 1.

Para la factorización de un trinomio de ésta forma existen

distintos métodos y reglas que seguir:

Método 1 para la factorización de un trinomio de la

forma

Se deben seguir las siguientes reglas:

1. Ordenamos el trinomio dado en orden decreciente.

2. Multiplicamos todo el trinomio dado por el

coeficiente del primer término y al mismo tiempo se

Profa. Maribel I. Mojica C.

divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el

segundo término solo se indica la multiplicación.

3. Simplificamos el producto para que de esta manera

nos quede expresado como un trinomio de la forma

x²+bx+c.

4. Factorizamos ese trinomio.

5. Sacamos el factor común de cada uno de

los binomios formados y simplificamos de modo

que eliminemos el coeficiente del termino

cuadrático que esta dividiendo.

6. Formamos la factorización encontrada.

Método 2 para la factorización de un trinomio de la

forma

Se deben seguir las siguientes reglas:

1. Encontramos dos números enteros (r y s) que

sumados den igual a (b) y que multiplicados sean

igual a (ac).

2. Reescribimos el trinomio de la siguiente

manera:

3. Agrupamos.

4. Usamos la propiedad distributiva para sacar

el factor común y factorizar el polinomio.

Profa. Maribel I. Mojica C.

Ejemplos:

1.- Factorizar

Solución:

Por método 1

Multiplicamos todo el trinomio dado por el

coeficiente del primer término y al mismo tiempo se

divide todo esto entre el mismo coeficiente. En el

segundo término solo se indica la multiplicación no

se resuelve

Simplificamos el producto para que de esta manera

nos quede expresado como un trinomio de la forma

x²+bx+c.

Factorizamos

Sacamos el factor común de cada uno de los

binomios

Simplificamos y la factorización nos queda:

2.- Factorizar

Solución:

Por Método 2

Encontramos dos números enteros (r y s) que

sumados den igual a (b) y que multiplicados sean

igual a (ac).

y ya que r + s

=b y r * s

=ac

Reescribimos el trinomio

Agrupamos

Usamos la propiedad distributiva para sacar

el factor común de cada grupo y factorizar el

polinomio

Profa. Maribel I. Mojica C.

Usamos la Propiedad Distributiva para

tomar como factor común de los pares

La factorización nos queda:

3.- Factorizar

Solución:

Por método 2 sacando el factor común primero

Encontramos dos números enteros (r y s) que

sumados den igual a (b) y que multiplicados sean

igual a (ac)

ya

que y

Reescribimos el trinomio de la siguiente

manera

Agrupamos

Usamos la propiedad distributiva para sacar el

factor común de cada grupo y factorizar el

polinomio

Usamos la Propiedad Distributiva para

tomar como factor común de los pares

La factorización nos queda:

.

Profa. Maribel I. Mojica C.

Práctica #6

Factorizar

1. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐

2. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟔

3. 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔

4. 𝟑 + 𝟏𝟏𝒂 + 𝟏𝟎𝒂𝟐

5. 𝟐𝟎𝒚𝟐 + 𝒚 − 𝟏

6. 𝟖𝒂𝟐 − 𝟏𝟒𝒂 − 𝟏𝟓

7. 𝟕𝒙𝟐 − 𝟒𝟒𝒙 − 𝟑𝟓

8. 𝟏𝟔𝒎 + 𝟏𝟓𝒎𝟐 − 𝟏𝟓

Datos

Realiza todas las prácticas en tu cuaderno de manera

ordenada.

Para cualquier consulta, mi contacto está en la

primera página.

Saludos.

Profa. Maribel I. Mojica C.